06 - Rotacija krutog tijela -...

Rotacija krutog tijela

6. Rotacija krutog tijela

Djelovanje sile na tijelo

promjena oblika tijela (deformacija)

promjena stanja gibanja tijela

Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj oblik - razmaci estica krutog tijela ostaju uvijek isti- idealizacija

Gibanje krutog tijela: translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)


Tijelo se giba TRANSLATORNO ako linija koja povezuje bilo kojedvije njegove estice zadrava svoj smjer u prostoru, tj. ako pri gibanju ostaje paralelna svom poetnom poloaju.Sve toke tijela imaju iste brzine i akceleracije.Dovoljno je poznavati gibanje CM.

Translacija krutog tijelaPri ROTACIJI krutog tijela sve njegove estice gibaju se istom kutnom brzinom po krunicama ija sredita lee na istom pravcu koji se zove OS ROTACIJE (rotacija krutog tijela oko nepomine osi).

Rotacija krutog tijela


Openito gibanje krutog tijela:

translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi ne osi

Sve toke tijela izvode gibanje po krunicama ija sredita lee na osi rotacije.Na rotaciju oko nepomine osi utjee samo moment okomite sile.

O

r i

Fti

mi

r i

Izvod j. gibanja:'

2

2

i i i

zi i ti i i ti i i

z zi i i zi i

M r F

M r F r m a m r

M M m r I

= = = =

= = =

2z i i

i

I m r= - moment inercije

z zM I = - j. gibanja (II Newtonov zakon za rotaciju krutog tijela oko nepomine osi)

F m a=

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi ne osi

Ako je M = 0, tada je = 0, te e tijelo ili mirovati ili se jednoliko vrtjeti.

Ako je Mz = const. tijelo e se vrtjeti oko nepomine osi konstantnom kutnom akceleracijom ( = const.).

6.4. Moment inercije (tromosti)

- veliina karakteristina za svako tijelo koje rotira- utjee na rotaciju slino kao to masa utjee na translaciju tijela tijela s veim I tee je zarotirati nego ona s manjim = mjera tromosti tijela pri rotaciji

2 2

1

limn

i in

i

I m r r dm =

= =

2I r dV= 0limVm dm

V dV

= =

2I r dV= - za homogeno tijelo


Primjer:Izraunaj moment inercije homogenog tapa oko osia) kroz sredite tapab) oko jednog kraja tapa

L

dxx

2

12

mLI =

L

dxx

a)

b)2

3

mLI =


Primjer:Izraunaj moment inercije homogenog prstena oko osi kroz sredite prstena, okomitu na ravninu prstena.

R

2I mR=

6.4. Moment inercije (tromosti) Steinerov pou ak

Moment tromosti ovisi o osi oko koje tijelo rotira.

os rotacije

os kroz CM

' 'CM CMx x x y y y= + = +

CMI 2M D0= 0=


2CMI I M D= +

Moment inercije tijela oko neke osi jednak je momentu inercije oko osi koja prolazi kroz centar mase i paralelna je toj osi, uveanoj za umnoak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi.

os rotacije

os kroz CM

D M


Primjer:Odredite moment inercije tapa obzirom na os koja prolazi jednim njegovim krajem.

L

dxx

2

12CMmL

I =

2

3

mLI =

a)

b)

2 2 2 2

2 12 4 3CML mL mL mL

I I m = + = + =

c) Steinerov pouak:

L

dxx

6.5. Moment koli ine gibanja (kutna koli ina gibanja, moment impulsa, zakretni impuls, angularni moment, orbitalni moment)

Zakretni impuls materijalne toke m, impulsa p:

L r p=

[kg m2/s]

- smjer: pravilo desne ruke

( )M r F=

Zakretni impuls krutog tijela:

2

,i ii iii

z i i zi

L r m v v r

L m r I

= =

= =

- za bilo koju nepominu os oko koje rotira kruto tijelo

6.5. Moment koli ine gibanja

L I= - ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije L i w imaju

isti smjer i lee na osi rotacije- openito (za nesimetrino tijelo) L i w ne moraju imati isti smjer

Jednadba gibanja za rotaciju krutog tijela

i i iL r p=

- zakretni impuls materijelne toke krutog tijela

i i ii i i ii

d pd L drp r r F M

dt dt dt= + = =

0i

i iii

d rp v m v

dt = =

i i

i i

dL M

dt=

- za kruto tijelo

6.5. Moment koli ine gibanja

z zL I =

( )zz zz z

dL dM I

dt dtM I

= =

=

d LM

dt=

d pF

dt

=

Ukupni moment vanjskih sila (obzirom na toku O) jednak je vremenskoj promjeni ukupnog zakretnog impulsa (obzirom na istu toku O).

Jednadba gibanja za rotaciju krutog tijela

( )F m a=

6.6. Zakon o uvanja zakretnog impulsa

6.6. Zakon o uvanja zakretnog impulsa

d LM

dt=

L const=

- j. gibanja za rotaciju krutog tijela:

- zatvoreni sustav (Fi=0, Mi=0) : 0d L

Mdt

= =

U zatvorenom sustavu ukupni zakretni impuls je ouvan (po iznosu i smjeru) ako je rezultantni moment sila, koji djeluje na taj sustav, jednak nuli.

Poseban sluaj: vrtnja sustava oko nepomine osi z:

z zL I const= =

1 1 2 2I I const = =

6.7. Gibanje zvrka

Zvrk je rotaciono simetrino tijelo koje se vrlo brzo vrti oko svoje osi simetrije, pri emu je stalno uvreno u jednoj toki koja lei na toj osi.

a) gibanje slobodnog zvrka (M=0); zvrk je poduprt u svom teitu

0d L

M L constdt

= = =

Smjer i iznos zakretnog impulsa su konstantni jer nema vanjskog momenta sile.

O

G

b) precesija zvrka (M0); zvrk nije poduprt u teitu

6.7. Gibanje zvrka

M r G=

- teina stvara moment oko O

- os zvrka se zakree, a teite se giba po krunici

- M je okomit na L; L mijenja smjer a iznos mu je konstantan- vrh vektora L opisuje krunicu (precesija)

z z

z

M L

L I

M

I

= =

=

Kutna brzina precesije proporcionalna je momentu sile, a obrnuto proporcionalna momentu inercije i kutnoj brzini zvrka.

d LM

dt=

6.8. Rad, snaga i kineti ka energija pri rotaciji

21

2i i iK m v=

Kinetika energija materijalne toke mi:

Kinetika energija krutog tijela:

2 2 21 1

2 2i i i i ii i iK K m v m r = = =

21

2K I=

2i i

i

I m r= -moment inercije

-kinetika energija

6.8. Rad, snaga i kineti ka energija pri rotaciji

Ukupni rad koji obave vanjske sile pri rotaciji kru tog tijela oko vrste osi jednak je promjeni kineti ke energije rotacije.

( )sindW F d s F rd = =

Rad vanjske sile na tijelo koje rotira:

dW Md=

dW dP M M

dt dt

= = =

Snaga pri rotaciji:

( )P F v=

d d d dM I I I I

dt d dt d

= = = = Md dW I d = =

2 21 1

2 2

f

i

f i KW Md I d I I E

= = = =

Primjer:Za sustav tijela na slici odredi moment inercije i kinetiku energiju rotacije.

Primjer: za sustav na slici izraunaj kutnu akceleraciju kotaa, akceleraciju utega i napetost niti.

6.9. Kotrljanje krutog tijela

K = suma rotacijske kinetike energije oko CM i kinetike energije CM

Primjer: Odredi brzinu CM sfere kada se spusti niz kosinu.

Primjer: Sfera mase m1 i blok mase m2 povezani su uetom preko koloture radijusa R i mase M (prsten koloture). Blok klie bez trenja. Nai linearnu akceleraciju ovih tijela koristei zakretni impuls i moment.

Zakretni impuls obzirom na os rotacije koloture:

Zakretni moment za istu os:

06 - Rotacija krutog tijela -...

Documents

Transcript of 06 - Rotacija krutog tijela -...