7/27/2019 PRIMI.pdf
1/42
1 - 1
1 - DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI E DELLE AZIONI
INTERNE
ESERCIZIO n. 1-1
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
A B
10 kN
10 kN
500 1000 500
- REAZIONI VINCOLARI
Equilibrio alla rotazione intorno al punto A:
RB 2000 + 10 500 10 1500 = 0 da cui: RB =
2000= 5 kN
Equilibrio alla traslazione verticale:
Ipotizzando che il verso di RA sia quello indicato in figura, si ha:
RA 1 0 + 1 0 RB = 0 da cui: RA = RB = 5 kN
10 kN
10 kNR = 5 kN
R = 5 kNAB
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+
-
+5
- 5
5
7/27/2019 PRIMI.pdf
2/42
1 - 2
Partendo da sinistra si ha un taglio positivo e pari a 5 kN che rimane costante finch non si
incontra il primo carico verticale di 10 kN con verso opposto. In questo punto si ha una
discontinuit del taglio pari al carico applicato e il taglio risultante, nella sezioneimmediatamente a destra, sar di - 5 kN e rimarr costante fino al punto in cui si incontra il
secondo carico verticale. Anche in questo punto si ha una discontinuit del taglio pari al
carico applicato e il taglio nella sezione immediatamente a destra varr + 5 kN fino
allestremit B della trave.
- TAGLIO MASSIMO:Tmax = 5 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
+
-
2,5 kNm
2,5 kNm
Partendo da sinistra il momento flettente prodotto dalla reazione RA aumenta linearmente
e mette in trazione le fibre inferiori. Quando si incontra il primo carico verticale, che produceun momento flettente di verso opposto a quello prodotto da RA, il diagramma subir un
cambiamento di direzione ma non una discontinuit (gradino) perch in quel punto non applicata una coppia esterna. Poich il carico applicato il doppio della reazione RA, la
pendenza del diagramma si invertir: (se ad esempio la forza applicata fosse uguale econtraria alla reazione RA il diagramma diventerebbe orizzontale). Il diagramma proseguir
rettilineo fino al punto in cui si incontra la seconda forza applicata e pertanto, per la simmetriadella trave, attraverser lasse dello zero in corrispondenza del punto di mezzo. Poich la
seconda forza d un momento flettente opposto a quello della prima forza, il diagramma
invertir ancora la propria pendenza e si andr ad annullare nellestremit B.
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO
Il momento flettente massimo si ha nei due punti di applicazione dei carichi e vale:
Mmax = RA 500 = RB 500 = 5 500 = 2500 kNmm = 2,5 kNm
Nota:
Quando il diagramma del taglio ha una discontinuit, il valore massimo del taglio il pialto fra i due valori a destra e a sinistra della discontinuit e non il valore della discontinuit.
A rigore, nei punti in cui sono applicati i carichi, il taglio nullo perch il diagramma del
taglio attraversa lasse dello zero. A riprova di ci si osservi che in quei punti il momentoflettente massimo e pertanto la sua derivata, che il taglio, deve essere nullo. Tuttavia,
poich nelle sezioni immediatamente a destra e a sinistra il taglio ha un valore non-nullo, siconsidera per quella sezione il pi elevato dei due valori.
7/27/2019 PRIMI.pdf
3/42
1 - 3
ESERCIZIO n. 1-2
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
20 kN
10 kN 10 kN
100 100 100 100
- REAZIONI VINCOLARI
Poich i carichi applicati hanno risultante nulla e momento risultante nullo, le reazioni
vincolari sono nulle.
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+
-
10
10
- TAGLIO MASSIMOTmax = 10 kN
- MOMENTO FLETTENTE
+
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO
Il momento flettente massimo in mezzeria e vale:
Mmax = 10 100 = 1000 kNmm = 1 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
4/42
1 - 4
ESERCIZIO n. 1-3
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
100 100
400
10 kN m 10 kN m
- REAZIONI VINCOLARI
Poich i carichi applicati hanno risultante nulla e momento risultante nullo, le reazionivincolari sono nulle.
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
Non essendovi n carichi applicati n reazioni vincolari, il taglio nullo in tutta la trave.
- MOMENTO FLETTENTE
- 10 kNm
Partendo dallestremit sinistra, il momento flettente nullo (essendo nulla la reazionevincolare) fino al punto in cui applicata la prima coppia esterna. In questo punto si ha una
discontinuit (gradino) pari al valore della coppia applicata. Il diagramma rimane costante(non essendoci carichi applicati che possano farlo variare) fino al punto in cui applicata la
seconda coppia esterna. In questo punto il momento flettente subisce una discontinuit
(gradino) uguale e contraria alla precedente perch la coppia applicata uguale e contraria
alla precedente. Il diagramma resta poi nullo fino allestremit destra della trave.
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO
In tutto il tratto compreso fra le due coppie il momento flettente vale:
Mmax = 10 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
5/42
1 - 5
ESERCIZIO n. 1-4
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
500 500
5 kN m
10 kN
E conveniente, in casi come questo, utilizzare il METODO DELLA
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, considerando separatamente i due carichi e
sommando punto per punto le rispettive azioni interne.
Il caso in esame equivale alla somma:
10 5
+ =
- REAZIONI VINCOLARI
+ =
10
5 5 5 5
5
100
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+ =
+
- --
5
5 510
- TAGLIO MASSIMO:
Tmax = - 10 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
6/42
1 - 6
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
+ =+
-
+ +
2,5 kNm
- 2,5 kNm
2,5 kNm 5 kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO:
In mezzeria, nella sezione immediatamente a destra, il momento flettente massimo e
vale:
Mmax = 2,5 + 2,5 = 5 kNm
ESERCIZIO n. 1-5
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
100
300
10 kN m
- REAZIONI VINCOLARI
Non essendovi forze applicate alla trave, le reazioni vincolari orizzontale e verticale
nellunico vincolo devono essere nulle, per gli equilibri alle due traslazioni. Per lequilibrio
alla rotazione, vi sar un momento dincastro in B uguale e contrario alla coppia esterna
applicata.
10 kNm 10 kNm
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
Poich non vi sono n forze verticali applicate n reazioni vincolari verticali, il taglio nullo.
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
+10 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
7/42
1 - 7
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 10 kNm
ESERCIZIO n. 1-6
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
500 1000 500
C = 10 kN m
2 kN A B
- REAZIONI VINCOLARI
Equilibrio alla traslazione orizzontale:
NA 2 = 0 da cui: NA = 2 kN
Equilibrio alla rotazione intorno a B:
Ipotizzando che i versi di RA e di RB siano quelli indicati in figura, si ha:
C RA 1 = 0 da cui: RA = C = 10 kNm
Equilibrio alla traslazione verticale:
RB RA = 0 da cui: RB = 10 kN
I segni positivi di RA e di RB significano che i versi ipotizzati sono quelli esatti.
N = 2 kNA
R = 10 kN R = 10 kNAB
2 kN
10 kNm
- DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE
Partendo dallestremit sinistra della trave, si ha una forza applicata, di compressione, che
rimane costante fino allappoggio situato nel punto A che reagisce con una forza Nuguale e
contraria. Dal punto A fino allestremit destra della trave lo sforzo normale nullo.
7/27/2019 PRIMI.pdf
8/42
1 - 8
- 2 kN
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
- 10 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 10 kN
nel tratto compreso fra gli appoggi.
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
10 kNm +
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 10 kNm
nel tratto compreso fra lestremit sinistra e lappoggio A.
ESERCIZIO n. 1-7
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
500 500
10 kN5 kN m
Applicando, anche in questo caso, il metodo di sovrapposizione degli effetti, il casoassegnato la somma dei due casi semplici:
7/27/2019 PRIMI.pdf
9/42
1 - 9
B B
+5 kNm
10 kN
- REAZIONI VINCOLARI
+ =
10 kNm
5 kNm 5 kNm10 kN
5 kNm10 kN
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+ =-10 KN -10 KN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = -10 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
++ =
5 kNm
5 kNm-
+
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 5 kNm
ESERCIZIO n. 1-8
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
PA B
P
L / 4 L / 4 L / 4 L / 4
L
7/27/2019 PRIMI.pdf
10/42
1 - 10
- REAZIONI VINCOLARI
- Equilibrio alla rotazione intorno ad A:
VB L PL4
P 34
L = 0 da cui: VB = P = 10 kN
- Equilibrio alla traslazione verticale:
VA + VB 2 P = 0 da cui: VA = P = 10 kN
PP
V = 10 kNA BV = 10 kN
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+
-
10 kN
10 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = 10 kN
- MOMENTO FLETTENTE
+
2,5 kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO
Mmax = VA 4= 10
4= 2,5 kNm
ESERCIZIO n. 1-9
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
7/27/2019 PRIMI.pdf
11/42
1 - 11
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
PP
L / 2 L / 2
L
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla traslazione verticale:
P + P V = 0 da cui: V = 2 P = 20 kN
- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit destra:
P L + P2
M = 0 da cui: M =2
P L = 15 kNm
P P
V = 2P
M
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
-10 kN20 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 20 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
-5
15 kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 15 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
12/42
1 - 12
ESERCIZIO n. 1-10
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, M = 30 kN m.
A BL
M
M
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A:
M + M VB
L = 0 da cui: VB
=L
= 60 kN
- Equilibrio alla traslazione verticale:
VA VB = 0 da cui: VA = VB = L= 60 kN
M
MVAVB
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
- 60 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = 60 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
+
-
30 kNm
30 kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 30 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
13/42
1 - 13
ESERCIZIO n. 1-11
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
PP
L / 2 L / 2
L
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla traslazione verticale:
V + P P = 0 da cui: V = 0
- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit destra:
P L P2
M = 0 da cui: M =2
= 5 kNm
V = 0
P PM
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+ 10 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = 10 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
+ 5kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 5 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
14/42
1 - 14
ESERCIZIO n. 1-12
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, q = 20 kN/m.
A B
L
L / 2 L / 2
q
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A:
Q 34
L VB L = 0 da cui: VB =34
Q = 34
q2
= 38
q L = 7,5 kN
- Equilibrio alla traslazione verticale:
VA + VB P = 0 da cui: V = Q VB = Q 34
Q =4
=q8
= 2,5 kN
VA VBQ =qL
2
q
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
+
-
2,5
7,5
3
8L
x - TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 7,5 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
15/42
1 - 15
Per trovare il punto in cui il taglio si annulla, si pu scrivere lequazione che esprime
landamento del taglio partendo dallestremit destra della trave e utilizzando unascissa x
orientata verso sinistra (forze che seguono):
T = VB + q x = 8q L + q x
Il valore di x per cui questa espressione del taglio si annulla :
8
q L + qx = 0 da cui: x =8
L
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
3
8LL
2
M =q L
2
16 M =9
128q L
2
max
Il diagramma del momento flettente si compone di due tratti: un tratto lineare,dallestremit sinistra alla mezzeria, un tratto parabolico dalla mezzeria allestremit destra.
- Primo tratto:
Ragionando con le forze che precedono e considerando unascissa x crescente verso destra
e con lorigine nel punto A, lespressione del momento flettente :
M = VA x =q8
x (lineare)
In mezzeria, per x =2
, si ha:
ML2
=qL
8L2
=qL2
16= 1,25 kNm
- Secondo tratto:
Ragionando con le forze che seguono e considerando unascissa x crescente verso sinistra
e con lorigine nel punto B, lespressione del momento flettente :
M = VB x qxx2
= 38
qL x q x2
2(parabolico)
Nellestremit B, per x = 0, si ha:
M = 0
7/27/2019 PRIMI.pdf
16/42
1 - 16
In mezzeria, per x = L2
, si ha:
M = 38
qL L2
q L2
8= 3
16qL2 q L
2
8=
qL2
16
Non vi sono quindi discontinuit del momento flettente fra i due tratti.
Nel raccordo tra i due tratti NON VI E UNA CUSPIDE (cio la parabola tangente al tratto
rettilineo). Infatti una cuspide nel diagramma del momento flettente significa unadiscontinuit nella sua derivata. Poich la derivata del momento flettente il taglio, si ha una
cuspide nel diagramma del momento flettente solamente nei punti in cui vi una
discontinuit del taglio. In questo caso, in mezzeria, il diagramma del taglio non ha
discontinuit.
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO
Ricordando ancora che il momento flettente la derivata del taglio, il massimo delmomento flettente si avr nel punto in cui si annulla la sua derivata, cio il taglio. Si trovato
che il taglio si annulla in corrispondenza del punto di ascissa: x =8
L (partendo
dallestremit B). Introducendo questo valore di x nellespressione del momento flettente nelsecondo tratto, si ottiene:
Mmax =38
qL q
238
L2
= 964
qL2 9128
qL2 = 9128
qL2 = 1,406 kNm
Allo stesso risultato si poteva arrivare annullando la derivata dellespressione del momentoflettente.
ESERCIZIO n. 1-13
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, q = 20 kN/m.
L / 2 L / 2
L
q
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla traslazione verticale:
V = Q =q2
= 10 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
17/42
1 - 17
- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit sinistra:
Q 34
L M = 0 da cui: M = 34
QL = 34
q L2
2= 3
8q L2 = 7,5 kNm
Q =qL
2V
M
q
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
- 10 kN
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = 10 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
Il diagramma del momento flettente si compone di due tratti: un tratto parabolico,
dallestremit sinistra alla mezzeria, un tratto lineare dalla mezzeria allestremit destra.
- Primo tratto:
Ragionando con le forze che precedono e considerando unascissa x crescente verso destrae con lorigine nellestremit sinistra, lespressione del momento flettente :
M = qx x2 = q x2
2 (parabolico) (fibre tese superiori)
In mezzeria, per x =2
, si ha:
ML2
= qL2
8= 2,5 kNm
- Secondo tratto:
Ragionando ancora con le forze che precedono e considerando ancora unascissa x
crescente verso destra e con lorigine nellestremit sinistra, lespressione del momento
flettente :
M = q L2
x L4
=qL
2x
qL2
8(rettilineo)
In mezzeria, per x =2
, si ha:
ML2
=qL
2L2
qL2
8=
qL2
4
qL2
8=
qL2
8= 2,5 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
18/42
1 - 18
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Nellestremit destra, per x = L, si ha:
Mmax =qL
2L
qL2
8= qL2 1
2 1
8= 3
8qL2 = 7,5 kNm
M = q L2
8= 2,5 kNm
7,5 kNm
parabolico
rettilineo
Anche in questo caso, per gli stessi motivi illustrati nellesercizio precedente, NON VI E
NESSUNA CUSPIDE tra i due tratti del diagramma del momento flettente.
ESERCIZIO n. 1-14
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: a = 500 mm, b = 1.000 mm, M = 30 kN m.
b a
A B
M
- REAZIONI VINCOLARI
Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:
- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A:
M VB b = 0 da cui: VB = b= 30 kNm
- Equilibrio alla traslazione verticale:
VA = VB =Mb
= 30 kN
V MVA B
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
- 30 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
19/42
1 - 19
- TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 30 kN
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
- 30 kNm
- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = - 30 kNm
ESERCIZIO n. 1-15
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave a
mensola rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
P
L / 2 L / 2
L
45A B C
- SCOMPOSIZIONE DELLA FORZA P:
V = H =2
=2
= 7,071 kN
- REAZIONI VINCOLARI
VC = H C = 7,071 kN ; MC = V 2= 7,071
2= 3,535 kNm
- SFORZO NORMALE
A B C
+ 7,071 KN
PV
H
45HV
H
V
Mc
c
c
7/27/2019 PRIMI.pdf
20/42
1 - 20
- TAGLIO
-
A B C
7,071 KN
- MOMENTO FLETTENTE
-A B C
Mc = 3,535 KNM
ESERCIZIO n. 1-16
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave amensola rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.
Dati: L = 900 mm, P = 10 kN.
L / 3 L / 3
L
L / 3
2 PP P
A B C D
- REAZIONI VINCOLARI
2P P P
M D
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
2P P P + VD = 0 da cui: VD = 0
- Equilibrio alla rotazione intorno a D:
2 P L P3
L P3
MD = 0 da cui: MD = P L = 10 0,9 = 9 kNm
- TAGLIO
A B C
- 10 kN20 kN
TA = 20 kN ; TB = 20 kN ; TC = 10 kN ; TD = 0
- MOMENTO FLETTENTE
7/27/2019 PRIMI.pdf
21/42
1 - 21
A B C D
-6 9 9 kNm
MB = 2PL3
= 2 100,93
= 6 kNm
MC
= 2P L
3 P L
3= PL 4
3 1
3= PL = 10 0,9 = 9 kNm
ESERCIZIO n. 1-17
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D, E.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN, M = 5 kNm.
PA B
P
L / 4 L / 4 L / 4 L / 4
L
M
C D E
- REAZIONI VINCOLARI
A B
C D E
P M P
V VAB
- Equilibrio alla Rotazione intorno a B:
VA L + P 4L M P
4= 0 da cui: VA = L
2
=1
2
= 0
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
VB = VA = 0
- TAGLIO
+
A C D E B
10 kN
TC = TE = P = 10 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
22/42
1 - 22
- MOMENTO FLETTENTE
+
-
2,5 kN
2,5 kN
A C D E B
MC = P 4
= 104
= 2,5 kNm
ESERCIZIO n. 1-18
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.
Dati: L = 900 mm, M = 5 kNm.
M
L / 3 L / 3
L
L / 3
A
C D
B
M
- REAZIONI VINCOLARI
M M
V VA B
A
C D
B
- Equilibrio alla Rotazione intorno a B:
VA
L M M = 0 da cui: VA
=L
=
0,9= 11,11 kN
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
VB = VA = 11,11 kN
- TAGLIO
7/27/2019 PRIMI.pdf
23/42
1 - 23
+ 11,11 kN
- MOMENTO FLETTENTE
+
-+
-A C
D B
3,33 kNm
1,67 kNm
1,67 kNm
3,33 kNm
MC a sinistra = VAL3
= 11,110,93
= 3,33 kNm
MD a destra = VBL3
= 11,110,93
= 3,33 kNm
Nei punti C e D c un gradino nel momento flettente pari a M = 5 kNm.
ESERCIZIO n. 1-19
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave a
mensola rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.
Dati: L = 900 mm, q = 10 kN/m.
L / 3 L / 3
L
L / 3
A B C D
q
- RISULTANTE DEL CARICO DISTRIBUITO:
Q = q L3
= 10 0,3 = 3 kN
- REAZIONI VINCOLARI
Q
VD
MD
L/2 L/6
A C
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
VD = Q = 3 kN
- Equilibrio alla Rotazione intorno a D:
7/27/2019 PRIMI.pdf
24/42
1 - 24
Q L2
MD = 0 da cui: MD =Q L2
=3 0,9
2= 1,35 kNm
- TAGLIO
-
A B C D
3 kN
- MOMENTO FLETTENTE
A B C D
Parabola
Retta
- 1,35 kNm
0,45 kNm
Nessuna Cuspide
MC = QL6
= 30,96
= 0,45 kNm
MD = QL2
= 30,92
= 1,35 kNm
Nel punto C non vi nessuna cuspide perch non c un gradino nel diagramma del Taglio.
ESERCIZIO n. 1-20
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave a
mensola rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.
Dati: L = 900 mm, qo = 10 kN/m.
L / 3 L / 3
L
L / 3
A B C D
qo
- RISULTANTE DEL CARICO:
Q = 12
qoL3
=qo
6=
10 0,96
= 1,5 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
25/42
1 - 25
Q
A B C D
2/3 LL/9
L9
+ 23
L = 79
L
- REAZIONI VINCOLARI:
Q
VD
MD
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
VD = Q = 1,5 kN
- Equilibrio alla Rotazione intorno a D:
MD = Q79
L = 1,5 79
0,9 = 1,05 kNm
- TAGLIO
-
A B D
1,5 kNParabola
- MOMENTO FLETTENTE
0,150,6
1,05 kNm
A B C D
3 Grado
Nessuna Cuspide
MB = QL9
1,50,99
= 0,15 kNm
MC = QL9
+ L3
= 49
QL = 49
1,5 0,9 = 0,6 kNm
ESERCIZIO n. 1-21
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traveappoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.
Dati: L = 1.000 mm, a = 500 mm, P = 5 kN.
7/27/2019 PRIMI.pdf
26/42
1 - 26
L
AC D
B
a a
P P
- REAZIONI VINCOLARI:
P P
VDVC
- Equilibrio alla Rotazione intorno a D:
P a + L VC L + P a = 0 da cui: VC =P a + L +a
L=
5 1 +2 0,5
1= 10 kN
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:
VD = VC = 10 kN
- TAGLIO
5
5
+
-
+ 5 kN
A BC D
- MOMENTO FLETTENTE
A BC
D2,52,5
+
-
MC = P a = 5 0,5 = 2,5 kNm
MD = P a = 5 0,5 = 2,5 kNm
ESERCIZIO n. 1-22
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
7/27/2019 PRIMI.pdf
27/42
1 - 27
A B
C
P
45
L/2 L/2
- SCOMPOSIZIONE DELLA FORZA P:
V = H =2
=2
= 7,071 kN
- REAZIONI VINCOLARI:
PV
H
45HV
H
VA
BVA
- Equilibrio alla Traslazione Orizzontale:
HA = H = 7,071 kN
- Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):
VA = VB =V2
=7,071
2= 3,535 kN
- SFORZO NORMALE
- 7,071 kN
A C B
- TAGLIO
-
3,535 kN +
3,535 kNA
BC
- MOMENTO FLETTENTE
1,767 kNm
A C B
7/27/2019 PRIMI.pdf
28/42
1 - 28
MC =V2
L2
= V L4
=7,071 1
4= 1,767 kNm
ESERCIZIO n. 1-23
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traveappoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 900 mm, p = 10 kN/m.
A B
L/3 L/3L/3
p
C D
- RISULTANTE DEL CARICO:
P = p L3
= 10,3
= 3 kN
- REAZIONI VINCOLARI:
P
VA VBL/2
- Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):
VA = VB =P2
=p6
=10 0,9
6= 1,5 kN
- TAGLIO
+
-
1,5 kN
1,5 kNA C
D B
- MOMENTO FLETTENTE
A C D BE
0,45 0,450,5625 kNm Parabola
7/27/2019 PRIMI.pdf
29/42
1 - 29
MC = VAL3
= 1,50,93
= 0,45 kNm
MD = VBL3
= 1,50,93
= 0,45 kNm
Nei punti C e D non vi sono cuspidi.
VA
p
p L
6
L/6
L/2
L/12
A E
ME = VAL2
pL6
L12
=pL6
L2
pL6
L12
=pL
2
12
pL2
72=
= 572
pL2
= 572
10 0,92
= 0,5625 kNm
ESERCIZIO n. 1-24
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave a
mensola rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.
Dati: L = 900 mm, qo = 10 kN/m.
L / 3 L / 3
L
L / 3
A B C D
qo
- RISULTANTE DEL CARICO:
Q = 12
qoL3
=qo
6=
10 0,96
= 1,5 kN
M D
VD
QL/9 L/3
49
L
7/27/2019 PRIMI.pdf
30/42
1 - 30
- REAZIONI VINCOLARI:
- Equilibrio alla Traslazione Verticale:VD Q = 0 da cui: VD = Q = 1,5 kN
- Equilibrio alla Rotazione intorno a D:
MD = Q49
L =qo
649
L = 454
qo L2 = 4
5410 0,92 = 0,6 kNm
- TAGLIO
A B C D
-Parabola
1,5 kN
TB = 0, TC = TD = 1,5 kN
- MOMENTO FLETTENTE
A B C D
3 grado
retta
0,15
0,6 kNm
MB = 0
MC = QL9
=qo L
6L9
=qo L
2
54=
10 0,92
54= 0,15 kNm
ESERCIZIO n. 1-25
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
appoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.
Dati: L = 900 mm, P = 10 kN.
L / 3 L / 3
L
L / 3
AC D
B
P
4545P
- SCOMPOSIZIONE DELLE FORZE P:
7/27/2019 PRIMI.pdf
31/42
1 - 31
V = H = P
2= 10
2= 7,071 kN
- REAZIONI VINCOLARI:
PV
H
45
H
V
VBVA
V
H
P45
H
V
- Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):
VA = VB = V =P
2= 7,071 kN
- Equilibrio alla Traslazione Orizzontale:HA = HB = 0
- SFORZO NORMALE
- 7,071 kN
A C D
- TAGLIO
-
+
A C
D B7,071 kN
7,071 kN
TA = TC = 7,071 kN, TD = TB = 7,071 kN
- MOMENTO FLETTENTE
+
A C D B
2,121 kNm
MC = MD = VAL3
= P
2
L3
= 10
2
,3
= 2,121 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
32/42
1 - 32
ESERCIZIO n. 1-26
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traveappoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti A, B, C.
Dati: L = 1.000 mm, M = 5 kNm.
A B
CL/2 L/2
MM
2M
- REAZIONI VINCOLARI:VA = VB = 0
- TAGLIO: NULLO ovunque.
- MOMENTO FLETTENTE
5 kNm
5 kNm
-
+
MA = MC a sinistra = 5 kNm
MB = MC a destra = 5 kNm
ESERCIZIO n. 1-27
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traveappoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti A, B, C.
Dati: L = 1.000 mm, qo = 10 kN/m.
A B
CL/2 L/2
qo
- RISULTANTE DEL CARICO:
Q = 2 12
qoL2
=qo
2= 10 1
2= 5 kN
- REAZIONI VINCOLARI:
7/27/2019 PRIMI.pdf
33/42
1 - 33
Q
VA VB - Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):
VA = VB =Q2
=qo
4= 10 1
4= 2,5 kN
- TAGLIO
- Equazione del Taglio nel tratto AC:
VA
Q
qqo
z
L/2
q = qozL2
= 2 qozL
; Q = 12
q z = qoz2
L
T(z) = VA Q = qoL4
qoz2
L= qo
L4
z2
L(Parabola)
Il Taglio T(z) si annulla per:L4
zL
= 0 da cui: z = L2
+
-
2,5 kN
2,5 kN
- MOMENTO FLETTENTEA C B
M = 0,833 kNmC3 grado
Il Momento Flettente massimo nel punto C dove il Taglio nullo:
MC = VAL2
Q* L6
= qoL4
L2
qoL4
L6
= qo L18
124
=qo L
2
12
7/27/2019 PRIMI.pdf
34/42
1 - 34
VA qo
L/2
Q* L/6 Q* =1
2qo
L
2
AC
- Equazione del Momento Flettente nel tratto AC:
VA
Q
qqo
z
L/2
z/3
Q = qz
L
2
o
q = 2 qoz
L
M(z) = VA z Qz3 = qo
L4 z qo
z
Lz3 = qo
L4 z qo
z
3 L (Curva di 3 grado)
Per z = L2
si ha:
MC = qoL4
L2
qo
3 LL3
8= qo
L2
8 qo
L2
24= qo L
2 18
124
=qo L
2
12
ESERCIZIO n. 1-28
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della struttura
rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).
P
90L L
A B
C
Quando si studia una struttura composta da pi aste fondamentale ricordare che
CIASCUNA ASTA DEVE ESSERE IN EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE E ALLA
ROTAZIONE PER EFFETTO DEI CARICHI ESTERNI E DELLE REAZIONI VINCOLARIAD ESSA APPLICATI.
Nota:
7/27/2019 PRIMI.pdf
35/42
1 - 35
Le aste di questa struttura terminano con cerniere che non sono in grado di trasmettere
momenti flettenti. Pertanto, se non vi sono n forze n coppie esterne applicate in punti
intermedi, il momento flettente rimane nullo lungo tutte le aste.Le cerniere di queste aste sarebbero in grado di trasmettere sforzi di taglio (perpendicolari
a ciascuna asta). Se tuttavia si considera che tali sforzi di taglio non possono avere verso
concorde (nel qual caso lasta non sarebbe in equilibrio alla traslazione nella direzione
perpendicolare allasse) e neppure verso discorde (nel qual caso lasta non sarebbe in
equilibrio alla rotazione) si conclude che non vi sono neppure sforzi di taglio.
Pertanto LE ASTE DI UNA STRUTTURA CARICATA SOLAMENTE NEI NODI
LAVORANO UNICAMENTE A SFORZO NORMALE.Gli sforzi normali che agiscono sulle due aste possono essere calcolati considerando
lequilibrio del nodo C.
P
P/2 P/2
P/2P/2
- REAZIONI VINCOLARI
P/2
P/2
P
90
B
C
AP/2
P/2
VA = VB = HA = HB = 2
- DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE
7/27/2019 PRIMI.pdf
36/42
1 - 36
P/2P/2
- -
ESERCIZIO n. 1-29
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della
struttura rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 5 kN.
P
A
C
B
L45
La struttura labile ma in equilibrio.Lasta AC SCARICA. Infatti, essendo AC unasta caricata solamente nei nodi, essa pulavorare solamente a sforzo normale. Poich nel punto A vi un carrello che non pu dare
reazioni orizzontali, anche nel punto C dellasta AC non possono esserci carichi orizzontali.
A
C C
B
P
VB
- REAZIONI VINCOLARI:VB = P = 5 kN
- SFORZO NORMALE
7/27/2019 PRIMI.pdf
37/42
1 - 37
.
-
5kN
ESERCIZIO n. 1-30
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave
rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.
A BC D
L
L / 2 L / 2
L/8
P
L/4 L/4
La struttura composta di due elementi. La prima operazione da compiere la separazione
dei due elementi.
A C B
C
D
P VC
VC
- REAZIONI VINCOLARI
La parte sinistra della struttura labile e per tenerla in equilibrio necessaria una forza
verticale VC che pu essere calcolata con la condizione di:
- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A del primo tratto AC:
P8
VC 4= 0 da cui: VC = 2
= 5 kN
- Equilibrio alla traslazione verticale del primo tratto AC:
P VC VA = 0 da cui: VA = P VC = P 2=
2
7/27/2019 PRIMI.pdf
38/42
1 - 38
La parte destra della struttura caricata, nel punto C, da una forza V C uguale e contraria
alla precedente.
- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto B del secondo tratto CB:
2 4+
2 VD 2
= 0 da cui: VD = 4P = 7,5 k
C
BC
D
P V
VC
C
VA VD
VB=
P
2
- Equilibrio alla traslazione verticale del secondo tratto CB:
2
4P + VB = 0 da cui: VB = 4
= 2,5 kN
- DIAGRAMMA DEL TAGLIO
B
C D+
-
+5 kN
5 kN
2,5 kN
Non vi nessuna discontinuit del taglio in corrispondenza del punto C perch in quel
punto non ci sono n carichi esterni applicati n vincoli esterni. La forza verticale di taglio VC
che le due parti della struttura si scambiano in corrispondenza del punto C la stessa per
entrambe ed sempre negativa.
- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
B
C
D+
-
PL16
= 0,625 kNm
PL8
= 1,25 kNm
- Tratto AC:
E come una trave appoggiata alle due estremit e caricata da una forza in mezzeria; ilmomento flettente si annulla negli appoggi A e C. Il momento flettente massimo in questo
tratto si ha in mezzeria e vale:
Mmax AC = VAL8
= P2
L8
= PL16
= 0,625 kNm
7/27/2019 PRIMI.pdf
39/42
1 - 39
- Tratto CB:
E come una trave su due appoggi col tratto CD a sbalzo e caricata nel punto C da una
forza verticale P2
diretta verso il basso. Nel punto C il momento flettente nullo e il
diagramma ha la stessa pendenza che aveva nel primo tratto. Infatti lespressione del
momento flettente in entrambi i tratti, partendo dal punto C e spostandosi rispettivamenteverso sinistra (tratto AC) e verso destra (tratto CD) sempre la stessa:
M = VC x = 2x
Il momento flettente massimo in questo tratto si ha nel punto D e vale:
Mmax CD = VC 4=
2 4=
8= 1,25 kNm
ESERCIZIO n. 1-31
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne dellastruttura appoggiata rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.
Dati: L = 1.000 mm, P = 5 kN.
P
A
C
B
45
LL D
L/2
L/2
- REAZIONI VINCOLARI:
7/27/2019 PRIMI.pdf
40/42
1 - 40
P
VBVC
VC
HB
HC
VA
HA
HC
TRATTO CB:H C = H B
V C = V B =P
2
TRATTO AC:H A = H C
VA = VC =P2
VCL
2= H C
L
2da cui: VC = H C
Segue:
HA = HB = HC = VA = VB = VC = 2= 2,5 kN
- SFORZO NORMALE NEL TRATTO AC:
VA
HA
N
VC
HC
N
A
C
-
A
C
3,535 kN
Componendo le forze VA e HA, e le forze VB e HB, si ha uno Sforzo Normale N pari a:
N = VA2 + VB2 = 2 P
2
4 = P2 = 52 = 3,535 kN di Compressione
- SFORZO NORMALE NEL TRATTO CB:
-
C B
2,5 kN
7/27/2019 PRIMI.pdf
41/42
1 - 41
- TAGLIO NEL TRATTO CB:
+
-
2,5 kN
2,5 kNC
D B
- MOMENTO FLETTENTE NEL TRATTO CB:
C D B
M = 1,25 kNmD
MD = VCL2
= P2
L2
= P L4
= 5 14
= 1,25 kNm
ESERCIZIO n. 1-32
Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne dellastruttura rappresentata in figura.
Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.
Dati: a = 1.000 mm, b = 500 mm, c = 800 mm, P = 5 kN.
P
a b
c
AC
D B
Il punto D descrive un arco di circonferenza di raggio b e centro C; per piccoli spostamenti
tale arco pu essere assimilato ad una traslazione orizzontale. Pertanto lasta DB soggetta
unicamente ad uno sforzo di trazione orizzontale.
- REAZIONI VINCOLARI:B
P
A
D
D
C
VC
HC
HDH
DH
B
7/27/2019 PRIMI.pdf
42/42
- Equilibrio Verticale del Tratto ACD:VC = P = 5 kN
- Equilibrio Orizzontale del Tratto ACD:HC = HD
- Equilibrio alla Rotazione intorno al punto C del Tratto ACD:
P a = HD b da cui: HD = Pab
= 5 10,5
= 10 kN
- Equilibrio Orizzontale del Tratto DB:HB = HD = 10 kN
Pertanto anche:HC = HD = 10 kN
-SFORZO NORMALE NEL TRATTO DB:
+
D B
10 kN
- TAGLIO NEL TRATTO ACD:
-
+
5 kN
10 kN
AC
D
-MOMENTO FLETTENTE NEL TRATTO ACD:
A CC
D
--
5 kNm
5 kNm
Nel punto C non vi discontinuit del Momento Flettente, perch non vi sono momenti
esterni applicati in quel punto, e pu essere calcolato nei due modi seguenti:
- Tratto AC: MC = P a = 5 1 = 5 kNm
- Tratto CD:MC = HD b = P
ab
b = P a = 5 1 = 5 kNm
Top Related