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1 - 1

1 - DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI VINCOLARI E DELLE AZIONI

INTERNE

ESERCIZIO n. 1-1

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traverappresentata in figura.

Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).

A B

10 kN

10 kN

500 1000 500

- REAZIONI VINCOLARI

Equilibrio alla rotazione intorno al punto A:

RB 2000 + 10 500 10 1500 = 0 da cui: RB =

2000= 5 kN

Equilibrio alla traslazione verticale:

Ipotizzando che il verso di RA sia quello indicato in figura, si ha:

RA 1 0 + 1 0 RB = 0 da cui: RA = RB = 5 kN

10 kN

10 kNR = 5 kN

R = 5 kNAB

- DIAGRAMMA DEL TAGLIO

+

-

+5

- 5

5

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2/42

1 - 2

Partendo da sinistra si ha un taglio positivo e pari a 5 kN che rimane costante finch non si

incontra il primo carico verticale di 10 kN con verso opposto. In questo punto si ha una

discontinuit del taglio pari al carico applicato e il taglio risultante, nella sezioneimmediatamente a destra, sar di - 5 kN e rimarr costante fino al punto in cui si incontra il

secondo carico verticale. Anche in questo punto si ha una discontinuit del taglio pari al

carico applicato e il taglio nella sezione immediatamente a destra varr + 5 kN fino

allestremit B della trave.

- TAGLIO MASSIMO:Tmax = 5 kN

- DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE

+

-

2,5 kNm

2,5 kNm

Partendo da sinistra il momento flettente prodotto dalla reazione RA aumenta linearmente

e mette in trazione le fibre inferiori. Quando si incontra il primo carico verticale, che produceun momento flettente di verso opposto a quello prodotto da RA, il diagramma subir un

cambiamento di direzione ma non una discontinuit (gradino) perch in quel punto non applicata una coppia esterna. Poich il carico applicato il doppio della reazione RA, la

pendenza del diagramma si invertir: (se ad esempio la forza applicata fosse uguale econtraria alla reazione RA il diagramma diventerebbe orizzontale). Il diagramma proseguir

rettilineo fino al punto in cui si incontra la seconda forza applicata e pertanto, per la simmetriadella trave, attraverser lasse dello zero in corrispondenza del punto di mezzo. Poich la

seconda forza d un momento flettente opposto a quello della prima forza, il diagramma

invertir ancora la propria pendenza e si andr ad annullare nellestremit B.

- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO

Il momento flettente massimo si ha nei due punti di applicazione dei carichi e vale:

Mmax = RA 500 = RB 500 = 5 500 = 2500 kNmm = 2,5 kNm

Nota:

Quando il diagramma del taglio ha una discontinuit, il valore massimo del taglio il pialto fra i due valori a destra e a sinistra della discontinuit e non il valore della discontinuit.

A rigore, nei punti in cui sono applicati i carichi, il taglio nullo perch il diagramma del

taglio attraversa lasse dello zero. A riprova di ci si osservi che in quei punti il momentoflettente massimo e pertanto la sua derivata, che il taglio, deve essere nullo. Tuttavia,

poich nelle sezioni immediatamente a destra e a sinistra il taglio ha un valore non-nullo, siconsidera per quella sezione il pi elevato dei due valori.

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1 - 3

ESERCIZIO n. 1-2



20 kN

10 kN 10 kN

100 100 100 100


Poich i carichi applicati hanno risultante nulla e momento risultante nullo, le reazioni

vincolari sono nulle.


+

-

10

10

- TAGLIO MASSIMOTmax = 10 kN

- MOMENTO FLETTENTE

+


Il momento flettente massimo in mezzeria e vale:

Mmax = 10 100 = 1000 kNmm = 1 kNm

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1 - 4

ESERCIZIO n. 1-3

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave

rappresentata in figura.


100 100

400

10 kN m 10 kN m


Poich i carichi applicati hanno risultante nulla e momento risultante nullo, le reazionivincolari sono nulle.


Non essendovi n carichi applicati n reazioni vincolari, il taglio nullo in tutta la trave.

- MOMENTO FLETTENTE

- 10 kNm

Partendo dallestremit sinistra, il momento flettente nullo (essendo nulla la reazionevincolare) fino al punto in cui applicata la prima coppia esterna. In questo punto si ha una

discontinuit (gradino) pari al valore della coppia applicata. Il diagramma rimane costante(non essendoci carichi applicati che possano farlo variare) fino al punto in cui applicata la

seconda coppia esterna. In questo punto il momento flettente subisce una discontinuit

(gradino) uguale e contraria alla precedente perch la coppia applicata uguale e contraria

alla precedente. Il diagramma resta poi nullo fino allestremit destra della trave.


In tutto il tratto compreso fra le due coppie il momento flettente vale:

Mmax = 10 kNm

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1 - 5

ESERCIZIO n. 1-4



500 500

5 kN m

10 kN

E conveniente, in casi come questo, utilizzare il METODO DELLA

SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, considerando separatamente i due carichi e

sommando punto per punto le rispettive azioni interne.

Il caso in esame equivale alla somma:

10 5

+ =


+ =

10

5 5 5 5

5

100


+ =

+

- --

5

5 510

- TAGLIO MASSIMO:

Tmax = - 10 kN

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6/42

1 - 6


+ =+

-

+ +

2,5 kNm

- 2,5 kNm

2,5 kNm 5 kNm

- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO:

In mezzeria, nella sezione immediatamente a destra, il momento flettente massimo e

vale:

Mmax = 2,5 + 2,5 = 5 kNm

ESERCIZIO n. 1-5


rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).

100

300

10 kN m


Non essendovi forze applicate alla trave, le reazioni vincolari orizzontale e verticale

nellunico vincolo devono essere nulle, per gli equilibri alle due traslazioni. Per lequilibrio

alla rotazione, vi sar un momento dincastro in B uguale e contrario alla coppia esterna

applicata.

10 kNm 10 kNm


Poich non vi sono n forze verticali applicate n reazioni vincolari verticali, il taglio nullo.


+10 kNm

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7/42

1 - 7

- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = 10 kNm

ESERCIZIO n. 1-6




500 1000 500

C = 10 kN m

2 kN A B


Equilibrio alla traslazione orizzontale:

NA 2 = 0 da cui: NA = 2 kN

Equilibrio alla rotazione intorno a B:

Ipotizzando che i versi di RA e di RB siano quelli indicati in figura, si ha:

C RA 1 = 0 da cui: RA = C = 10 kNm

Equilibrio alla traslazione verticale:

RB RA = 0 da cui: RB = 10 kN

I segni positivi di RA e di RB significano che i versi ipotizzati sono quelli esatti.

N = 2 kNA

R = 10 kN R = 10 kNAB

2 kN

10 kNm

- DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

Partendo dallestremit sinistra della trave, si ha una forza applicata, di compressione, che

rimane costante fino allappoggio situato nel punto A che reagisce con una forza Nuguale e

contraria. Dal punto A fino allestremit destra della trave lo sforzo normale nullo.

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8/42

1 - 8

- 2 kN


- 10 kN

- TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 10 kN

nel tratto compreso fra gli appoggi.


10 kNm +


nel tratto compreso fra lestremit sinistra e lappoggio A.

ESERCIZIO n. 1-7




500 500

10 kN5 kN m

Applicando, anche in questo caso, il metodo di sovrapposizione degli effetti, il casoassegnato la somma dei due casi semplici:

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9/42

1 - 9

B B

+5 kNm

10 kN


+ =

10 kNm

5 kNm 5 kNm10 kN

5 kNm10 kN


+ =-10 KN -10 KN

- TAGLIO MASSIMO: Tmax = -10 kN


++ =

5 kNm

5 kNm-

+


ESERCIZIO n. 1-8



Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.

Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

PA B

P

L / 4 L / 4 L / 4 L / 4

L

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10/42

1 - 10


- Equilibrio alla rotazione intorno ad A:

VB L PL4

P 34

L = 0 da cui: VB = P = 10 kN

- Equilibrio alla traslazione verticale:

VA + VB 2 P = 0 da cui: VA = P = 10 kN

PP

V = 10 kNA BV = 10 kN


+

-

10 kN

10 kN

- TAGLIO MASSIMO: Tmax = 10 kN

- MOMENTO FLETTENTE

+

2,5 kNm


Mmax = VA 4= 10

4= 2,5 kNm

ESERCIZIO n. 1-9


rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.

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1 - 11

Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

PP

L / 2 L / 2

L


Ipotizzando che i versi delle reazioni vincolari siano quelli indicati nella figura, si ha:


P + P V = 0 da cui: V = 2 P = 20 kN

- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit destra:

P L + P2

M = 0 da cui: M =2

P L = 15 kNm

P P

V = 2P

M


-10 kN20 kN



-5

15 kNm


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12/42

1 - 12

ESERCIZIO n. 1-10



Dati: L = 1.000 mm, M = 30 kN m.

A BL

M

M



- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A:

M + M VB

L = 0 da cui: VB

=L

= 60 kN


VA VB = 0 da cui: VA = VB = L= 60 kN

M

MVAVB


- 60 kN



+

-

30 kNm

30 kNm


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13/42

1 - 13

ESERCIZIO n. 1-11



Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

PP

L / 2 L / 2

L




V + P P = 0 da cui: V = 0

- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit destra:

P L P2

M = 0 da cui: M =2

= 5 kNm

V = 0

P PM


+ 10 kN



+ 5kNm


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14/42

1 - 14

ESERCIZIO n. 1-12



Dati: L = 1.000 mm, q = 20 kN/m.

A B

L

L / 2 L / 2

q




Q 34

L VB L = 0 da cui: VB =34

Q = 34

q2

= 38

q L = 7,5 kN


VA + VB P = 0 da cui: V = Q VB = Q 34

Q =4

=q8

= 2,5 kN

VA VBQ =qL

2

q


+

-

2,5

7,5

3

8L

x - TAGLIO MASSIMO: Tmax = - 7,5 kN

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15/42

1 - 15

Per trovare il punto in cui il taglio si annulla, si pu scrivere lequazione che esprime

landamento del taglio partendo dallestremit destra della trave e utilizzando unascissa x

orientata verso sinistra (forze che seguono):

T = VB + q x = 8q L + q x

Il valore di x per cui questa espressione del taglio si annulla :

8

q L + qx = 0 da cui: x =8

L


3

8LL

2

M =q L

2

16 M =9

128q L

2

max

Il diagramma del momento flettente si compone di due tratti: un tratto lineare,dallestremit sinistra alla mezzeria, un tratto parabolico dalla mezzeria allestremit destra.

- Primo tratto:

Ragionando con le forze che precedono e considerando unascissa x crescente verso destra

e con lorigine nel punto A, lespressione del momento flettente :

M = VA x =q8

x (lineare)

In mezzeria, per x =2

, si ha:

ML2

=qL

8L2

=qL2

16= 1,25 kNm

- Secondo tratto:

Ragionando con le forze che seguono e considerando unascissa x crescente verso sinistra

e con lorigine nel punto B, lespressione del momento flettente :

M = VB x qxx2

= 38

qL x q x2

2(parabolico)

Nellestremit B, per x = 0, si ha:

M = 0

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16/42

1 - 16

In mezzeria, per x = L2

, si ha:

M = 38

qL L2

q L2

8= 3

16qL2 q L

2

8=

qL2

16

Non vi sono quindi discontinuit del momento flettente fra i due tratti.

Nel raccordo tra i due tratti NON VI E UNA CUSPIDE (cio la parabola tangente al tratto

rettilineo). Infatti una cuspide nel diagramma del momento flettente significa unadiscontinuit nella sua derivata. Poich la derivata del momento flettente il taglio, si ha una

cuspide nel diagramma del momento flettente solamente nei punti in cui vi una

discontinuit del taglio. In questo caso, in mezzeria, il diagramma del taglio non ha

discontinuit.


Ricordando ancora che il momento flettente la derivata del taglio, il massimo delmomento flettente si avr nel punto in cui si annulla la sua derivata, cio il taglio. Si trovato

che il taglio si annulla in corrispondenza del punto di ascissa: x =8

L (partendo

dallestremit B). Introducendo questo valore di x nellespressione del momento flettente nelsecondo tratto, si ottiene:

Mmax =38

qL q

238

L2

= 964

qL2 9128

qL2 = 9128

qL2 = 1,406 kNm

Allo stesso risultato si poteva arrivare annullando la derivata dellespressione del momentoflettente.

ESERCIZIO n. 1-13




Dati: L = 1.000 mm, q = 20 kN/m.

L / 2 L / 2

L

q




V = Q =q2

= 10 kN

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17/42

1 - 17

- Equilibrio alla rotazione rispetto allestremit sinistra:

Q 34

L M = 0 da cui: M = 34

QL = 34

q L2

2= 3

8q L2 = 7,5 kNm

Q =qL

2V

M

q


- 10 kN



Il diagramma del momento flettente si compone di due tratti: un tratto parabolico,

dallestremit sinistra alla mezzeria, un tratto lineare dalla mezzeria allestremit destra.

- Primo tratto:

Ragionando con le forze che precedono e considerando unascissa x crescente verso destrae con lorigine nellestremit sinistra, lespressione del momento flettente :

M = qx x2 = q x2

2 (parabolico) (fibre tese superiori)


, si ha:

ML2

= qL2

8= 2,5 kNm

- Secondo tratto:

Ragionando ancora con le forze che precedono e considerando ancora unascissa x

crescente verso destra e con lorigine nellestremit sinistra, lespressione del momento

flettente :

M = q L2

x L4

=qL

2x

qL2

8(rettilineo)


, si ha:

ML2

=qL

2L2

qL2

8=

qL2

4

qL2

8=

qL2

8= 2,5 kNm

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18/42

1 - 18

- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Nellestremit destra, per x = L, si ha:

Mmax =qL

2L

qL2

8= qL2 1

2 1

8= 3

8qL2 = 7,5 kNm

M = q L2

8= 2,5 kNm

7,5 kNm

parabolico

rettilineo

Anche in questo caso, per gli stessi motivi illustrati nellesercizio precedente, NON VI E

NESSUNA CUSPIDE tra i due tratti del diagramma del momento flettente.

ESERCIZIO n. 1-14



Dati: a = 500 mm, b = 1.000 mm, M = 30 kN m.

b a

A B

M




M VB b = 0 da cui: VB = b= 30 kNm


VA = VB =Mb

= 30 kN

V MVA B


- 30 kN

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19/42

1 - 19



- 30 kNm

- MOMENTO FLETTENTE MASSIMO: Mmax = - 30 kNm

ESERCIZIO n. 1-15

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave a

mensola rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.

Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

P

L / 2 L / 2

L

45A B C

- SCOMPOSIZIONE DELLA FORZA P:

V = H =2

=2

= 7,071 kN


VC = H C = 7,071 kN ; MC = V 2= 7,071

2= 3,535 kNm

- SFORZO NORMALE

A B C

+ 7,071 KN

PV

H

45HV

H

V

Mc

c

c

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20/42

1 - 20

- TAGLIO

-

A B C

7,071 KN

- MOMENTO FLETTENTE

-A B C

Mc = 3,535 KNM

ESERCIZIO n. 1-16

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della trave amensola rappresentata in figura.

Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.

Dati: L = 900 mm, P = 10 kN.

L / 3 L / 3

L

L / 3

2 PP P

A B C D


2P P P

M D

- Equilibrio alla Traslazione Verticale:

2P P P + VD = 0 da cui: VD = 0

- Equilibrio alla rotazione intorno a D:

2 P L P3

L P3

MD = 0 da cui: MD = P L = 10 0,9 = 9 kNm

- TAGLIO

A B C

- 10 kN20 kN

TA = 20 kN ; TB = 20 kN ; TC = 10 kN ; TD = 0

- MOMENTO FLETTENTE

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21/42

1 - 21

A B C D

-6 9 9 kNm

MB = 2PL3

= 2 100,93

= 6 kNm

MC

= 2P L

3 P L

3= PL 4

3 1

3= PL = 10 0,9 = 9 kNm

ESERCIZIO n. 1-17


appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D, E.

Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN, M = 5 kNm.

PA B

P

L / 4 L / 4 L / 4 L / 4

L

M

C D E


A B

C D E

P M P

V VAB

- Equilibrio alla Rotazione intorno a B:

VA L + P 4L M P

4= 0 da cui: VA = L

2

=1

2

= 0


VB = VA = 0

- TAGLIO

+

A C D E B

10 kN

TC = TE = P = 10 kN

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22/42

1 - 22

- MOMENTO FLETTENTE

+

-

2,5 kN

2,5 kN

A C D E B

MC = P 4

= 104

= 2,5 kNm

ESERCIZIO n. 1-18


appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.

Dati: L = 900 mm, M = 5 kNm.

M

L / 3 L / 3

L

L / 3

A

C D

B

M


M M

V VA B

A

C D

B

- Equilibrio alla Rotazione intorno a B:

VA

L M M = 0 da cui: VA

=L

=

0,9= 11,11 kN


VB = VA = 11,11 kN

- TAGLIO

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23/42

1 - 23

+ 11,11 kN

- MOMENTO FLETTENTE

+

-+

-A C

D B

3,33 kNm

1,67 kNm

1,67 kNm

3,33 kNm

MC a sinistra = VAL3

= 11,110,93

= 3,33 kNm

MD a destra = VBL3

= 11,110,93

= 3,33 kNm

Nei punti C e D c un gradino nel momento flettente pari a M = 5 kNm.

ESERCIZIO n. 1-19


mensola rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti B, C, D.

Dati: L = 900 mm, q = 10 kN/m.

L / 3 L / 3

L

L / 3

A B C D

q

- RISULTANTE DEL CARICO DISTRIBUITO:

Q = q L3

= 10 0,3 = 3 kN


Q

VD

MD

L/2 L/6

A C


VD = Q = 3 kN

- Equilibrio alla Rotazione intorno a D:

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24/42

1 - 24

Q L2

MD = 0 da cui: MD =Q L2

=3 0,9

2= 1,35 kNm

- TAGLIO

-

A B C D

3 kN

- MOMENTO FLETTENTE

A B C D

Parabola

Retta

- 1,35 kNm

0,45 kNm

Nessuna Cuspide

MC = QL6

= 30,96

= 0,45 kNm

MD = QL2

= 30,92

= 1,35 kNm

Nel punto C non vi nessuna cuspide perch non c un gradino nel diagramma del Taglio.

ESERCIZIO n. 1-20


mensola rappresentata in figura.


Dati: L = 900 mm, qo = 10 kN/m.

L / 3 L / 3

L

L / 3

A B C D

qo

- RISULTANTE DEL CARICO:

Q = 12

qoL3

=qo

6=

10 0,96

= 1,5 kN

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25/42

1 - 25

Q

A B C D

2/3 LL/9

L9

+ 23

L = 79

L

- REAZIONI VINCOLARI:

Q

VD

MD


VD = Q = 1,5 kN


MD = Q79

L = 1,5 79

0,9 = 1,05 kNm

- TAGLIO

-

A B D

1,5 kNParabola

- MOMENTO FLETTENTE

0,150,6

1,05 kNm

A B C D

3 Grado

Nessuna Cuspide

MB = QL9

1,50,99

= 0,15 kNm

MC = QL9

+ L3

= 49

QL = 49

1,5 0,9 = 0,6 kNm

ESERCIZIO n. 1-21

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della traveappoggiata rappresentata in figura.

Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti C, D.

Dati: L = 1.000 mm, a = 500 mm, P = 5 kN.

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26/42

1 - 26

L

AC D

B

a a

P P


P P

VDVC


P a + L VC L + P a = 0 da cui: VC =P a + L +a

L=

5 1 +2 0,5

1= 10 kN


VD = VC = 10 kN

- TAGLIO

5

5

+

-

+ 5 kN

A BC D

- MOMENTO FLETTENTE

A BC

D2,52,5

+

-

MC = P a = 5 0,5 = 2,5 kNm

MD = P a = 5 0,5 = 2,5 kNm

ESERCIZIO n. 1-22


appoggiata rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne.

Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

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27/42

1 - 27

A B

C

P

45

L/2 L/2

- SCOMPOSIZIONE DELLA FORZA P:

V = H =2

=2

= 7,071 kN


PV

H

45HV

H

VA

BVA

- Equilibrio alla Traslazione Orizzontale:

HA = H = 7,071 kN

- Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):

VA = VB =V2

=7,071

2= 3,535 kN

- SFORZO NORMALE

- 7,071 kN

A C B

- TAGLIO

-

3,535 kN +

3,535 kNA

BC

- MOMENTO FLETTENTE

1,767 kNm

A C B

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28/42

1 - 28

MC =V2

L2

= V L4

=7,071 1

4= 1,767 kNm

ESERCIZIO n. 1-23



Dati: L = 900 mm, p = 10 kN/m.

A B

L/3 L/3L/3

p

C D


P = p L3

= 10,3

= 3 kN


P

VA VBL/2


VA = VB =P2

=p6

=10 0,9

6= 1,5 kN

- TAGLIO

+

-

1,5 kN

1,5 kNA C

D B

- MOMENTO FLETTENTE

A C D BE

0,45 0,450,5625 kNm Parabola

7/27/2019 PRIMI.pdf

29/42

1 - 29

MC = VAL3

= 1,50,93

= 0,45 kNm

MD = VBL3

= 1,50,93

= 0,45 kNm

Nei punti C e D non vi sono cuspidi.

VA

p

p L

6

L/6

L/2

L/12

A E

ME = VAL2

pL6

L12

=pL6

L2

pL6

L12

=pL

2

12

pL2

72=

= 572

pL2

= 572

10 0,92

= 0,5625 kNm

ESERCIZIO n. 1-24


mensola rappresentata in figura.


Dati: L = 900 mm, qo = 10 kN/m.

L / 3 L / 3

L

L / 3

A B C D

qo


Q = 12

qoL3

=qo

6=

10 0,96

= 1,5 kN

M D

VD

QL/9 L/3

49

L

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30/42

1 - 30


- Equilibrio alla Traslazione Verticale:VD Q = 0 da cui: VD = Q = 1,5 kN


MD = Q49

L =qo

649

L = 454

qo L2 = 4

5410 0,92 = 0,6 kNm

- TAGLIO

A B C D

-Parabola

1,5 kN

TB = 0, TC = TD = 1,5 kN

- MOMENTO FLETTENTE

A B C D

3 grado

retta

0,15

0,6 kNm

MB = 0

MC = QL9

=qo L

6L9

=qo L

2

54=

10 0,92

54= 0,15 kNm

ESERCIZIO n. 1-25


appoggiata rappresentata in figura.


Dati: L = 900 mm, P = 10 kN.

L / 3 L / 3

L

L / 3

AC D

B

P

4545P

- SCOMPOSIZIONE DELLE FORZE P:

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31/42

1 - 31

V = H = P

2= 10

2= 7,071 kN


PV

H

45

H

V

VBVA

V

H

P45

H

V


VA = VB = V =P

2= 7,071 kN

- Equilibrio alla Traslazione Orizzontale:HA = HB = 0

- SFORZO NORMALE

- 7,071 kN

A C D

- TAGLIO

-

+

A C

D B7,071 kN

7,071 kN

TA = TC = 7,071 kN, TD = TB = 7,071 kN

- MOMENTO FLETTENTE

+

A C D B

2,121 kNm

MC = MD = VAL3

= P

2

L3

= 10

2

,3

= 2,121 kNm

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32/42

1 - 32

ESERCIZIO n. 1-26


Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti A, B, C.

Dati: L = 1.000 mm, M = 5 kNm.

A B

CL/2 L/2

MM

2M

- REAZIONI VINCOLARI:VA = VB = 0

- TAGLIO: NULLO ovunque.

- MOMENTO FLETTENTE

5 kNm

5 kNm

-

+

MA = MC a sinistra = 5 kNm

MB = MC a destra = 5 kNm

ESERCIZIO n. 1-27


Calcolare inoltre i valori delle azioni interne nei punti A, B, C.

Dati: L = 1.000 mm, qo = 10 kN/m.

A B

CL/2 L/2

qo


Q = 2 12

qoL2

=qo

2= 10 1

2= 5 kN


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33/42

1 - 33

Q

VA VB - Equilibrio alla Traslazione Verticale (e Simmetria):

VA = VB =Q2

=qo

4= 10 1

4= 2,5 kN

- TAGLIO

- Equazione del Taglio nel tratto AC:

VA

Q

qqo

z

L/2

q = qozL2

= 2 qozL

; Q = 12

q z = qoz2

L

T(z) = VA Q = qoL4

qoz2

L= qo

L4

z2

L(Parabola)

Il Taglio T(z) si annulla per:L4

zL

= 0 da cui: z = L2

+

-

2,5 kN

2,5 kN

- MOMENTO FLETTENTEA C B

M = 0,833 kNmC3 grado

Il Momento Flettente massimo nel punto C dove il Taglio nullo:

MC = VAL2

Q* L6

= qoL4

L2

qoL4

L6

= qo L18

124

=qo L

2

12

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34/42

1 - 34

VA qo

L/2

Q* L/6 Q* =1

2qo

L

2

AC

- Equazione del Momento Flettente nel tratto AC:

VA

Q

qqo

z

L/2

z/3

Q = qz

L

2

o

q = 2 qoz

L

M(z) = VA z Qz3 = qo

L4 z qo

z

Lz3 = qo

L4 z qo

z

3 L (Curva di 3 grado)

Per z = L2

si ha:

MC = qoL4

L2

qo

3 LL3

8= qo

L2

8 qo

L2

24= qo L

2 18

124

=qo L

2

12

ESERCIZIO n. 1-28

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della struttura

rappresentata in figura.Calcolare inoltre i valori massimi delle azioni interne. (Quote in mm).

P

90L L

A B

C

Quando si studia una struttura composta da pi aste fondamentale ricordare che

CIASCUNA ASTA DEVE ESSERE IN EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE E ALLA

ROTAZIONE PER EFFETTO DEI CARICHI ESTERNI E DELLE REAZIONI VINCOLARIAD ESSA APPLICATI.

Nota:

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35/42

1 - 35

Le aste di questa struttura terminano con cerniere che non sono in grado di trasmettere

momenti flettenti. Pertanto, se non vi sono n forze n coppie esterne applicate in punti

intermedi, il momento flettente rimane nullo lungo tutte le aste.Le cerniere di queste aste sarebbero in grado di trasmettere sforzi di taglio (perpendicolari

a ciascuna asta). Se tuttavia si considera che tali sforzi di taglio non possono avere verso

concorde (nel qual caso lasta non sarebbe in equilibrio alla traslazione nella direzione

perpendicolare allasse) e neppure verso discorde (nel qual caso lasta non sarebbe in

equilibrio alla rotazione) si conclude che non vi sono neppure sforzi di taglio.

Pertanto LE ASTE DI UNA STRUTTURA CARICATA SOLAMENTE NEI NODI

LAVORANO UNICAMENTE A SFORZO NORMALE.Gli sforzi normali che agiscono sulle due aste possono essere calcolati considerando

lequilibrio del nodo C.

P

P/2 P/2

P/2P/2


P/2

P/2

P

90

B

C

AP/2

P/2

VA = VB = HA = HB = 2

- DIAGRAMMA DELLO SFORZO NORMALE

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1 - 36

P/2P/2

- -

ESERCIZIO n. 1-29

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne della

struttura rappresentata in figura.


Dati: L = 1.000 mm, P = 5 kN.

P

A

C

B

L45

La struttura labile ma in equilibrio.Lasta AC SCARICA. Infatti, essendo AC unasta caricata solamente nei nodi, essa pulavorare solamente a sforzo normale. Poich nel punto A vi un carrello che non pu dare

reazioni orizzontali, anche nel punto C dellasta AC non possono esserci carichi orizzontali.

A

C C

B

P

VB

- REAZIONI VINCOLARI:VB = P = 5 kN

- SFORZO NORMALE

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37/42

1 - 37

.

-

5kN

ESERCIZIO n. 1-30




Dati: L = 1.000 mm, P = 10 kN.

A BC D

L

L / 2 L / 2

L/8

P

L/4 L/4

La struttura composta di due elementi. La prima operazione da compiere la separazione

dei due elementi.

A C B

C

D

P VC

VC


La parte sinistra della struttura labile e per tenerla in equilibrio necessaria una forza

verticale VC che pu essere calcolata con la condizione di:

- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto A del primo tratto AC:

P8

VC 4= 0 da cui: VC = 2

= 5 kN

- Equilibrio alla traslazione verticale del primo tratto AC:

P VC VA = 0 da cui: VA = P VC = P 2=

2

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38/42

1 - 38

La parte destra della struttura caricata, nel punto C, da una forza V C uguale e contraria

alla precedente.

- Equilibrio alla rotazione rispetto al punto B del secondo tratto CB:

2 4+

2 VD 2

= 0 da cui: VD = 4P = 7,5 k

C

BC

D

P V

VC

C

VA VD

VB=

P

2

- Equilibrio alla traslazione verticale del secondo tratto CB:

2

4P + VB = 0 da cui: VB = 4

= 2,5 kN


B

C D+

-

+5 kN

5 kN

2,5 kN

Non vi nessuna discontinuit del taglio in corrispondenza del punto C perch in quel

punto non ci sono n carichi esterni applicati n vincoli esterni. La forza verticale di taglio VC

che le due parti della struttura si scambiano in corrispondenza del punto C la stessa per

entrambe ed sempre negativa.


B

C

D+

-

PL16

= 0,625 kNm

PL8

= 1,25 kNm

- Tratto AC:

E come una trave appoggiata alle due estremit e caricata da una forza in mezzeria; ilmomento flettente si annulla negli appoggi A e C. Il momento flettente massimo in questo

tratto si ha in mezzeria e vale:

Mmax AC = VAL8

= P2

L8

= PL16

= 0,625 kNm

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39/42

1 - 39

- Tratto CB:

E come una trave su due appoggi col tratto CD a sbalzo e caricata nel punto C da una

forza verticale P2

diretta verso il basso. Nel punto C il momento flettente nullo e il

diagramma ha la stessa pendenza che aveva nel primo tratto. Infatti lespressione del

momento flettente in entrambi i tratti, partendo dal punto C e spostandosi rispettivamenteverso sinistra (tratto AC) e verso destra (tratto CD) sempre la stessa:

M = VC x = 2x

Il momento flettente massimo in questo tratto si ha nel punto D e vale:

Mmax CD = VC 4=

2 4=

8= 1,25 kNm

ESERCIZIO n. 1-31

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne dellastruttura appoggiata rappresentata in figura.


Dati: L = 1.000 mm, P = 5 kN.

P

A

C

B

45

LL D

L/2

L/2


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40/42

1 - 40

P

VBVC

VC

HB

HC

VA

HA

HC

TRATTO CB:H C = H B

V C = V B =P

2

TRATTO AC:H A = H C

VA = VC =P2

VCL

2= H C

L

2da cui: VC = H C

Segue:

HA = HB = HC = VA = VB = VC = 2= 2,5 kN

- SFORZO NORMALE NEL TRATTO AC:

VA

HA

N

VC

HC

N

A

C

-

A

C

3,535 kN

Componendo le forze VA e HA, e le forze VB e HB, si ha uno Sforzo Normale N pari a:

N = VA2 + VB2 = 2 P

2

4 = P2 = 52 = 3,535 kN di Compressione

- SFORZO NORMALE NEL TRATTO CB:

-

C B

2,5 kN

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41/42

1 - 41

- TAGLIO NEL TRATTO CB:

+

-

2,5 kN

2,5 kNC

D B

- MOMENTO FLETTENTE NEL TRATTO CB:

C D B

M = 1,25 kNmD

MD = VCL2

= P2

L2

= P L4

= 5 14

= 1,25 kNm

ESERCIZIO n. 1-32

Calcolare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle azioni interne dellastruttura rappresentata in figura.


Dati: a = 1.000 mm, b = 500 mm, c = 800 mm, P = 5 kN.

P

a b

c

AC

D B

Il punto D descrive un arco di circonferenza di raggio b e centro C; per piccoli spostamenti

tale arco pu essere assimilato ad una traslazione orizzontale. Pertanto lasta DB soggetta

unicamente ad uno sforzo di trazione orizzontale.

- REAZIONI VINCOLARI:B

P

A

D

D

C

VC

HC

HDH

DH

B

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42/42

- Equilibrio Verticale del Tratto ACD:VC = P = 5 kN

- Equilibrio Orizzontale del Tratto ACD:HC = HD

- Equilibrio alla Rotazione intorno al punto C del Tratto ACD:

P a = HD b da cui: HD = Pab

= 5 10,5

= 10 kN

- Equilibrio Orizzontale del Tratto DB:HB = HD = 10 kN

Pertanto anche:HC = HD = 10 kN

-SFORZO NORMALE NEL TRATTO DB:

+

D B

10 kN

- TAGLIO NEL TRATTO ACD:

-

+

5 kN

10 kN

AC

D

-MOMENTO FLETTENTE NEL TRATTO ACD:

A CC

D

--

5 kNm

5 kNm

Nel punto C non vi discontinuit del Momento Flettente, perch non vi sono momenti

esterni applicati in quel punto, e pu essere calcolato nei due modi seguenti:

- Tratto AC: MC = P a = 5 1 = 5 kNm

- Tratto CD:MC = HD b = P

ab

b = P a = 5 1 = 5 kNm

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