Pierdaniele Giaretta
Linguaggio della logica
predicativa
Nozioni fondamentali
Per lo studio delle inferenze sillogistiche e, soprattutto, di altre inferenze ancora più complesse, quali ad es.:
Qualcuno è amato da tutti Tutti amano qualcuno
sono utili alcune
NOZIONI E DISTINZIONI LOGICO-PREDICATIVE
che qui vengono presentate in modo intuitivo, facendo riferimento al linguaggio naturale integrato mediante l’aggiunta di variabili per oggetti.
(Gli oggetti possono avere natura molto diversa e, in particolare, non sono necessariamente entità concrete inanimate. Possono essere anche esseri viventi o entità astratte.)
Termine singolare: espressione che designa un oggetto specifico.
Esempi:
“Maria”, “Giorgio”, “0” (nomi propri)
“2+2”, “(0x5)+1” (termini funzionali, cioè costruiti mediante simboli di operazioni o funzioni)
“Il presidente della repubblica italiana”, “Il più piccolo numero naturale” (descrizioni definite)
funzione enunciativa (o proposizionale): espressione che siottiene da un enunciato sostituendo termini singolari con variabili.
Esempi:
x è rosso
x ama Maria
x ama y
Osservazioni:
• E’ naturale inserire una stessa variabile per ogni occorrenza dello stesso termine e variabili diverse per termini diversi, ma ciò non è strettamente necessario al fine di ottenere una funzione enunciativa.
• Una funzione enunciativa diventa valutabile come vera o falsa non appena siano fissati i valori delle variabili in essa occorrenti.
Avvertenza: la seguente nozione è introdotta per ragioni di completezza, ma di essa e delle nozioni ad essa connessenon parlerà in seguito
Funzione designatoria: espressione che si ottiene da un termine funzionale o da una descrizione definita sostituendo nomi propri con variabili.
Esempi:
x2 + y
il preside di x
Osservazione:
• E’ naturale inserire una stessa variabile per ogni occorrenza dello stesso nome e variabili diverse per nomi diversi, ma ciò non è strettamente necessario al fine di ottenere una funzione designatoria.
Assunzione:
• Ogni funzione designatoria designa un oggetto specifico
non appena siano fissati i valori delle variabili in essa occorrenti.
Esempi di: funzioni enunciative (fe), funzioni designatorie (fd), enunciati (e), termini funzionali (tf), descrizioni definite (dd) e altro (a):
x è multiplo di 3 __fe__
x+2 __fd__
il preside di Facoltà __dd__
(x + 3) = y __fe__
il padre di x __fd__
x è il preside di Facoltà __fe__
per ogni x, y<x __fe__
il padre dello studente che ho incontrato __dd__
x x __fe__
se x è il padre di x, x x __fe__
il centro di x __fd__
per ogni x __a__
qualche preside di Facoltà __a__
x2 __fd__
2 y __fe__
2 2 e 22 __a__
per ogni x esiste un y tale x y __e__
c’è un preside di Facoltà __e__
2 = y __fe__
2 + 2 __tf__
esiste un y tale che per ogni x x y __e__
2 + 2 = 4 __e__
almeno un gatto __a__
non piove __e__
x non è biondo __fe__
QUANTIFICATORI
In logica le espressioni “per ogni” ed “esiste almeno un” (o “c’è almeno un”), chiamate rispettivamente “quantificatore universale” e “quantificatore esistenziale”, vengono applicate a variabili occorrenti in funzioni enunciative. Alcuni esempi del loro uso sono già stati dati. Altri esempi sono i seguenti:
per ogni x, x studia
per ogni x, x studia x lavora
esiste almeno un x tale che y ama x
per ogni y esiste almeno un x tale che y ama x
x è un uomo & esiste almeno un y tale che x è a destra di y
Un linguaggio che contenga i connettivi vero-funzionali e i quantificatori è dotato di grande capacità espressiva, poiché in esso è possibile parafrasare anche enunciati costruiti con espressioni quali, ad es., “tutti gli avvocati”, “qualche gatto”, “nessuna penna”, come mostrano le seguenti traduzioni:
ogni sigaretta è nociva
per ogni x, x è una sigaretta x è nociva
nessuna sigaretta è nociva
per ogni x, x è una sigaretta (x è nociva)
qualche sigaretta è nociva
c’è almeno un x tale che x è una sigaretta & x è nociva
qualche sigaretta non è nociva
c’è almeno un x tale che x è una sigaretta & (x è nociva)
non ogni sigaretta è nociva (per ogni x, x è una sigaretta x è nociva)
tutti gli avvocati sono furbi
per ogni x, x è un avvocato x è furbo
nessuno ama Giorgio
per ogni x, (x ama Giorgio)
non tutti amano Giorgio per ogni x, x ama Giorgio
c’è uno che è più bravo di tutti
c’è un x tale che per ogni y x è più bravo di y
non tutte le auto inquinano
(per ogni x, x è un’auto x inquina)
qualche auto non inquina
c’è almeno un x tale che x è un’auto & (x inquina)
chi ha un cane ha un amico
per ogni x, ((esiste un y tale che y è un cane & x ha y) (esiste un y tale y è un amico & x ha y))
Maria non ha alcuna auto (c’è almeno un x tale che x è un’auto & Maria ha x)
qualcuno è amato da tutti
c’è almeno un x tale che per ogni y x è amato da y
tutti amano qualcuno
per ogni y c’è almeno un x tale che y ama x
qualche cane è simpatico a tutti
c’è almeno un x tale che (x è un cane & per ogni y x è simpatico a y)
ogni vino è bianco o rosso
per ogni x (x è un vino (x è bianco x è rosso))
I quantificatori sono espressioni mediante le quali a partire da funzioni enunciative si possono ottenere enunciati o altre funzioni enunciative.
esiste almeno un x tale che x è italiano
esiste almeno un x tale che x è italiano
esiste almeno un x tale che x ama y
esiste almeno un x tale che x ama y
Un quantificatore si applica ad una variabile di una funzione enunciativa e il valore di verità della sua applicazione dipende da quali sono i valori di verità della funzione enunciativa per tutti i possibili valori della variabile.
Il valore di verità di
esiste almeno un x tale che x è italiano
dipende da quali sono i valori di x. Se tra di essi ce n’è almeno uno che soddisfa - detto intuitivamente: rende vera - la funzioneenunciativa “x è italiano”, allora il valore di verità è V, altrimenti è F. Analogamente, il valore di verità di
per ogni x, x è italiano
dipende da quali sono i valori di x. Se tutti soddisfano - detto intuitivamente: rendono vera - la funzione “x è italiano”, allora il valore di verità è V, altrimenti è F. Analogamente nei casi di
esiste almeno un x tale che x ama y
per ogni x, x ama y
ma bisogna notare che in questi casi il valore di verità dipende dai
valori di verità della funzione enunciativa per tutti i possibili valori
della variabile di x solo relativamente a un dato valore di y. In altre
parole tali funzioni sono valutabili come vere o false solo dopo
che è stato fissato il valore di y.
I valori delle variabili alle quali sono applicati i quantificatori
“per ogni” e “esiste almeno un” costituiscono il cosiddetto
dominio di quantificazione. Affinché sia determinato il valore
di verità degli enunciati e delle funzioni enunciative nelle quali
occorrono quantificatori è necessario che un tale dominio sia
fissato. In logica si assume che il dominio di tutti i quantificatori
occorrenti in un enunciato o in una funzione enunciativa sia
unico, che ad esso appartengano anche i valori delle variabili
libere e, infine, che rispetto ad esso siano totalmente definite le
funzioni enunciative di base (proprietà e relazioni), nel senso
che esse risultino vere o false per ogni determinazione dei loro
argomenti all’interno del dominio.
FORMALIZZAZIONE
Per i quantificatori si usano i seguenti simboli:
per ogni
esiste almeno un
Se si rappresentano le funzioni enunciative di base (proprietà e
relazioni) mediante lettere predicative, dette per brevità
“predicati”, e precisamente predicati unari (a un posto di
argomento) per proprietà [P, Q, ...], predicati binari (a due posti
di argomento) per relazioni binarie [R, S,..], predicati n-ari (a n
posti di argomento) per relazioni n-arie, e si adotta la
convenzione di anteporre i predicati ai loro argomenti, si possono
costruire forme enunciative, o formule, quali, ad es.:
P(a) a è P
P(x) x è P
x P(x) ogni x è P
R(a, y) a sta nella relazione R con y
y R(a, y) a sta nella relazione R con qualche y
R(x, y) x sta nella relazione R con y
x y R(x, y) ogni x sta nella relazione R con qualche y
x (P(x) Q(x)) ogni P è Q
x (P(x) Q(x)) nessun P è Q
x (P(x) Q(x)) qualche P è Q
x (P(x) Q(x)) qualche P non è Q
La lettera a che è stata usata in alcuni degli esempi precedenti,
non è una variabile ma una costante, precisamente una
costante individuale. Le costanti individuali rappresentano
oggetti specifici; in quanto tali, sono assimilabili ai nomi propri e
non possono essere quantificate. Come costanti individuali si
possono usare le prime lettere dell’alfabeto: a, b, c, …
Formule quali P(x) e R(x, y) rappresentano funzioni enunciative
(proprietà e relazioni) e non funzioni designatorie, sono cioè
espressioni di funzioni che hanno valori di verità (V o F) come
valori e non espressioni di funzioni che hanno oggetti come
valori (assumendo che i valori di verità non siano oggetti). Per
ragioni di semplicità omettiamo di parlare dei termini funzionali
che sono i termini costruiti mediante le espressioni di funzioni.
RIFORMULAZIONE E GENERALIZZAZIONE di
NOZIONI LOGICO-SEMANTICHE
Relativamente ad un linguaggio basato su un alfabeto di predicati, costanti individuali, variabili individuali e quantificatoriil valore di verità di un enunciato dipende da
1) qual è il dominio entro il quale si assume che prendano valore le variabili quantificate (o vincolate);
2) quale proprietà o relazione, definita rispetto a tale dominio, si assume sia rappresentata da ciascun predicato.
3) quale oggetto del dominio si assume sia il referente di una costante individuale.
La specificazione di 2) e 3) viene chiamata “interpretazione”. Usando le nozioni di dominio e interpretazione si possono definire nozioni più generali di quelle già definite di tautologia,
conseguenza logica e equivalenza logica. Per semplicità tali definizioni sono date per formule chiuse, cioè per formule che non contengono variabili libere.
Definizione
La formula chiusa X è (logicamente) valida se e solo se è vera in ogni dominio per ogni interpretazione.
Sono logicamente valide le formule che hanno la forma di tautologie come le seguenti:
y R(a, y) y R(a, y)
x P(x) x P(x)
(x P(x) & y R(a, y)) x P(x)
Lo sono anche formule come queste, che non hanno la forma di tautologie:
x (P(x) P(x))
xy R(x, y)y R(a, y)
x P(x) x P(x)
Definizione
La formula chiusa X è conseguenza logica delle formule chiuse Y1, …,Yn (o segue logicamente da Y1, …,Yn, per brevità Y1, …, Yn I= X) se e solo se in ogni dominio ogni interpretazione che rende vere Y1, …, Yn rende vera anche X.
[Equivalentemente: …se e solo se non ci sono alcun dominio ed alcuna interpretazione tali che Y1, …, Yn risultino vere e X falsa]
Esempi:
x P(x) I=P(a)
x P(x) I= x P(x)
P(a) I= xP(x)x (P(x) Q(x)), x P(x)I= x Q(x)
Teorema
La formula chiusa X è conseguenza logica delle formule chiuse Y1, …, Yn (o segue logicamente da Y1, …, Yn, per brevità
Y1, …, Yn I= X) se e solo se la formula (Y1 & … & Yn ) X
è logicamente valida.
Ne segue che sono logicamente valide:
x P(x) P(a) x P(x) x P(x)
P(a) xP(x)x (P(x) Q(x)) & x P(x)) x Q(x)
Ci sono REGOLE D’INFERENZA che riguardano specificamentei quantificatori. Regole semplici, che risultano intuitivamente evidenti, sono le seguenti:
Eliminazione del quantificatore universale
x P(x)
P(a)
Introduzione del quantificatore esistenziale
P(a)
xP(x)
Regole formalmente e concettualmente più complesse sono quelle che permettono di dedurre una quantificazione universalee di dedurre da una quantificazione esistenziale. Accenniamo solo che la regola per la deduzione di una quantificazione universale formalizza l’idea che si può generalizzare a tutti se si è ragionato su un individuo qualsiasi del dominio, mentre la regola per la deduzione da una quantificazione esistenziale
sfrutta l’idea che si può idealmente “scegliere” un individuo che soddisfa la condizione di cui si afferma l’esistenza di individui che la soddisfano e poi limitarsi a dedurre solo qualcosa che non dipenda da caratteristiche che distinguono gli individui che soddisfano tale condizione.
Per tali regole d’inferenza la definizione di validità rimane formalmente la stessa già introdotta per il ragionamento logico-enunciativo, ma ora va ripetuta facendo riferimento alla più generale nozione di conseguenza logica che è stata definita usando le nozioni di dominio e di interpretazione.
Definizione
Una regola d’inferenza è logicamente valida (o logicamente corretta ) se e solo se la conclusione X è conseguenza logica delle premesse Y1, …, Yn..
La validità di una regola si dimostra in modo analogo a quanto suggerito per il ragionamento logico-enunciativo, cioèfacendo vedere che se in un dominio qualunque, per una qualunque interpretazione, le premesse risultano vere, allora, nello stesso dominio e per la stessa interpretazione, anchela conclusione è vera, oppure, in modo equivalente, facendo vedere che non esistono un domino e una interpretazione tali da rendere vere tutte le premesse e falsa la conclusione.
Ovviamente la non-validità si dimostra facendo vedere che esistono un domino e una interpretazione tali da rendere vere tutte le premesse e falsa la conclusione.
Ad esempio non è corretta la seguente regola:
xP(x)
P(a)
E’ facile specificare un dominio e una interpretazione di “P” e “a” rispetto al dominio specificato tali che x P(x) risulti
vera e P(a) falsa.
Vale anche per il ragionamento deduttivo con i quantificatoril’osservazione già fatta che nell’attività deduttiva si fanno spesso passi inferenziali complessi che non sono descrivibili come applicazioni di nessuna delle regole d’inferenza introdotte nei manuali di logica. Per valutare la correttezza logica di tali passi si devono individuare le forme delle premesse e della conclusione e verificare se la forma della conclusione segue logicamente dalle forme delle premesse. Naturalmente la nozione di conseguenza logica alla quale si deve fare riferimento è quella più generale.
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