KALKULUS DIFERENSIALWeek 10 & 11
Prepared by Rofi & Anna | www.slideshare.net/natriumz | [email protected]
TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA
JAKARTA
Km 0
Km 140
BANDUNG
2 jam
www.slideshare.net/natriumz2
Kecepatan rata-rata = 70Km/jam=2jam
140Km=
∆t
∆s
TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA
Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi sebagai
fungsi dari waktu (t) berikut :
s = f(t) = 8t2 + 8t
Kecepatan (tingkat perubahan jarak) rata-rata selama dua jam pertama adalah :
jamKmff
t
s/24
2
048
02
)0()2(=
−=
−
−=
∆
∆
www.slideshare.net/natriumz3
KONSEP DIFERENSIASI
Bentuk ∆y/∆x disebut difference quotient yang mencerminkan tingkat perubahanrata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.
xfxxfy −∆+∆ )()(
Apabila dalam pembagian tersebut perubahan variabel bebas x sangat kecil ataumendekati nol maka pembagian tersebut dinamakan turunan atau derivatif
(derivative)
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+=
∆
∆ )()(
')()(
0
lim
0
limy
dx
dy
x
xfxxf
xx
y
x=≡
∆
−∆+
→∆=
∆
∆
→∆
www.slideshare.net/natriumz4
Kalkulus diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsisehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yangbersangkutan.
'00
ydxxxxx
=≡∆→∆
=∆→∆
MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI
Turunan dari y = f(x) = x2 adalah :
xfxxfy −∆+=
∆ )()(
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+=
∆
∆ )()(
x
xxxxx
x
xxx
∆
−∆+∆+=
∆
−∆+=
222222)(
( )x
xxx
x
xxx
∆
∆∆+=
∆
∆+∆=
222
xx ∆+= 2
www.slideshare.net/natriumz5
xx ∆∆
xxxdx
dyy
x2)2(
lim'
0=∆+==
→∆
KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI
ATURAN 1 : FUNGSI KONSTANTA
Jika f(x) = k, di mana k adalah sembarang konstanta
f’(x) = 0
ATURAN 2 : FUNGSI PANGKAT
Jika f(x) = xn, di mana n adalah bilangan real,
f’(x) = nxn-1
ATURAN 3 : PERKALIAN KONSTANTA DENGAN FUNGSI
www.slideshare.net/natriumz
ATURAN 3 : PERKALIAN KONSTANTA DENGAN FUNGSI
Jika f(x) = c · g(x), di mana c adalah konstanta dan g(x) adalah fungsi yang dapat
diturunkan
f’(x) = c · g’(x)
6
ATURAN 4 : PENJUMLAHAN/PENGURANGAN FUNGSI
Jika f(x) = u(x) ± v(x), di mana u dan v dapat diturunkan
f’(x) = u’(x) ± v’(x)
ATURAN 5 : PERKALIAN FUNGSI
Jika f(x) = u(x) · v(x), di mana u dan v dapat diturunkan
f’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x)
ATURAN 6 : PEMBAGIAN FUNGSI
www.slideshare.net/natriumz7
ATURAN 6 : PEMBAGIAN FUNGSI
Jika f(x) = u(x)/v(x), di mana u dan v dapat diturunkan dan v(x) ≠ 0
f’(x) = [ ]2
)(
)()(')()('
xv
xuxvuvxu •−•
ATURAN 7 : PANGKAT DARI SUATU FUNGSI
Jika f(x) = [u(x)]n, di mana u dapat diturunkan dan n adalah bilangan real
f’(x) = n · [u(x)]n-1· u’(x)
ATURAN 8 : FUNGSI EKSPONENSIAL
Jika f(x) = eu(x), di mana u dapat diturunkan
f’(x) = u’(x)eu(x)
ATURAN 9 : FUNGSI LOG NATURAL
www.slideshare.net/natriumz8
ATURAN 9 : FUNGSI LOG NATURAL
Jika f(x) = ln u(x), di mana u dapat diturunkan
f’(x) = )(
)('
xu
xu
LATIHAN
Tentukan dari fungsi-fungsi di bawah ini
1. y = f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 5
dx
dy
1. y = f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 5
2. y = f(x) = (x2 – 4)(2x – 6)
3. y = f(x) =
4. y = f(x) = (5x + 12 – 2x-1)3
5. y = f(x) = (x2 - 2)(2x - 4)3
62
42
−
−
x
x
422 −x
www.slideshare.net/natriumz9
6. y = f(x) =5
422 −x
DERIVATIF ORDE KE DUA ATAU LEBIH
Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan pertama fungsi
tersebut. Turunan kedua dari suatu fungsi dengan variabel bebas x dapat dituliskan
sebagai :sebagai :
Turunan ke-n dari suatu fungsi dinotasikan dengan f(n), dapat dihitung dengan
mendiferensiasikan fungsi tersebut sebanyak n kali.
2
2
)(''dx
ydxf =
www.slideshare.net/natriumz10
mendiferensiasikan fungsi tersebut sebanyak n kali.
INTERPRETASI DERIVATIF
Seseorang mengendarai mobil dengan jarak tempuh (s) yang dapat diestimasi
sebagai fungsi dari waktu (t) berikut :
s = f(t) = 8t2 + 8ts = f(t) = 8t2 + 8t
Kecepatan (tingkat perubahan) sesaat pada jam kedua adalah :
= f’(2) = 16t + 8 = 16(2) + 8 = 40 km/jam
2=xdt
ds
www.slideshare.net/natriumz11
www.slideshare.net/natriumz12
Download : www.slideshare.net/natriumz
INTERPRETASI DERVATIF
f(x)
f’(x) = 0B
f”(x) < 0 f”(x) > 0
f’(x) < 0
f’(x) > 0
f’(x) = 0
f’(x) < 0f’(x) > 0
A
B
C E
www.slideshare.net/natriumz13
x
f’(x) < 0
f’(x) = 0
D
PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF
TEST DERIVATIF I
1. Tentukan semua titik kritis x* , syarat f’(x*) = 01. Tentukan semua titik kritis x* , syarat f’(x*) = 0
2. Untuk setiap nilai x*, tentukan nilai f’(x) di sebelah kiri (xl) dan kanan (xr) dari x*
a. Jika f’(xl) > 0 dan f’(xr) < 0 maka titik [(x*, f(x*)] adalah titik maksimum relatif
b. Jika f’(xl) < 0 dan f’(xr) > 0 maka titik [x*, f(x*)] adalah titik minimum relatif
c. Jika f’(xl) dan f’(xr) bertanda sama maka titik [(x*, f(x*)] adalah titik belok
Contoh :1006)(
23
+−−= xxx
xf
www.slideshare.net/natriumz
Contoh :
14
100623
)( +−−= xxx
xf
PENENTUAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM RELATIF
TEST DERIVATIF II
1. Tentukan semua titik kritis x*, syarat f’(x*) = 01. Tentukan semua titik kritis x*, syarat f’(x*) = 0
2. Untuk setiap nilai x*, tentukan nilai f”(x*)
a. Jika f”(x*) > 0 fungsi menghadap ke atas dan titik [(x*, f(x*)] adalah titik
minimum relatif
b. Jika f”(x*) < 0 fungsi menghadap ke bawah dan titik [(x*, f(x*)] adalah titik
maksimum relatif
c. Jika f”(x*) = 0 tidak dapat ditarik kesimpulan fungsi menghadap ke mana,
untuk itu diperlukan test derivatif I untuk menguji sifat titik tersebut
www.slideshare.net/natriumz
Contoh :
15
100623
)(23
+−−= xxx
xf
LATIHAN
Carilah titik-titik kritis dan sifatnya dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = -3x2 + 6x -201. f(x) = -3x + 6x -20
2. f(x) = -x5
www.slideshare.net/natriumz16
SKETSA KURVA SUATU FUNGSI
FAKTOR-FAKTOR PENTING
1. Titik-titik maksimum dan minimum relatif
Syarat, f ’(x) = 0
2. Titik belok
Syarat f ”(x) = 0
3. Titik potong y dan x (optional)
Dengan memisalkan x atau y adalah nol
4. Arah akhir
Dengan menganalogikan pada fungsi linier atau fungsi kuadrat
www.slideshare.net/natriumz
Contoh :
17
100623
)(23
+−−= xxx
xf
LATIHAN
Sketsalah fungsi berikut :
2
3
++−=x
51243
)(2
3
++−= xxx
xf
www.slideshare.net/natriumz18
TITIK MAKSIMUM/MINIMUM ABSOLUT
PROSEDUR PENENTUAN TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM ABSOLUT PADA INTERVAL
a ≤ x ≤ b
1. Tentukan semua titik kritis [xi,f(xi)]yang berada dalam interval a ≤ x ≤ b
2. Hitung nilai f(x) pada kedua ujung interval [f(a) dan f(b)]
3. Bandingkan semua nilai f(x) yang diperoleh dari langkah I dan II, nilai terbesar
merupakan nilai maksimum absolut sedangkan nilai terkecil merupakan nilai
minimum absolut
Contoh :x
xxxf 30
2
7
3)(
23
−−=
www.slideshare.net/natriumz
Tentukan titik maksimum & minimum absolut untuk interval
-6 ≤ x ≤ 17
19
23
REVENUE
Jumlah permintaan terhadap produk suatu perusahaan bergantung pada harga yang
ditawarkan. Suatu perusahaan memperkirakan pendapatan total / total revenue (dalam
$1.000) sebagai fungsi dari harga (dalam dollar).$1.000) sebagai fungsi dari harga (dalam dollar).
R = f(p) = -50p2 + 500p
a) Tentukanlah harga produk yang harus diberlakukan agar diperoleh pendapatan total
maksimum
b) Berapakah pendapatan total maksimum yang dapat diperoleh?
www.slideshare.net/natriumz20
COST
Besarnya total biaya untuk memproduksi barang sejumlah q digambarkan melalui fungsi :
C = 100.000 + 1.500q + 0.2q2
Jika C adalah total biaya dalam dollar, tentukanlah jumlah barang yang harus diproduksi
agar biaya rata-rata per unit minimum.
www.slideshare.net/natriumz21
PROFIT
Suatu perusahaan meluncurkan produk Lemari Pendingin baru. Melalui riset pemasaran
yang sudah dilakukan diketahui bahwa jumlah permintaan terhadap produk baru tersebut
dipengaruhi oleh harga jual yang ditetapkan sesuai fungsi:dipengaruhi oleh harga jual yang ditetapkan sesuai fungsi:
q = 100.000 – 200p
Dengan q adalah jumlah permintaan per tahun dan p adalah harga jual produk dalam
dollar. Dari penelitian teknis diperkirakan biaya total untuk memproduksi produk tersebut
adalah:
C = 150.000 + 100q + 0.003q2
www.slideshare.net/natriumz
Tentukanlah jumlah barang yang harus diproduksi agar diperoleh profit maksimum,
berapa harga jual yang harus dikenakan dan berapa besarnya profit maksimum yang
dapat dicapai.
22
ELASTISITAS TITIK
Elastisitas permintaan = persentase perubahan jumlah permintaan
persentase perubahan harga
∆q
= =
Elastisitas titik Kategori elastisitas
Elastis
p∆pq
∆q
∆p∆q
•qp
1>η
www.slideshare.net/natriumz
Elastis
Inelastis
Elastis uniter
23
(p)f'•q
p=η
1>η
1<η
1=η
ELASTISITAS TITIK
Tentukan elastisitas titik fungsi permintaan q = f(p) = 500 – 25p
pada harga $15, $10 dan $5
Untuk $15
Untuk $10
3=)25(125
15=η
1=)25(250
10=η
www.slideshare.net/natriumz
Untuk $5
24
3/1=)25(375
5=η
BILL COLLECTION
Sebuah bank memperkirakan prosentase pinjaman nasabah yang dapat ditagih
merupakan fungsi dari waktu, t dalam bulan sesuai fungsi :
Jika pada suatu waktu total jumlah pinjaman yang diberikan adalah $100 juta dan Bank
tersebut memperkirakan bahwa untuk setiap $100 juta pinjaman yang diberikan
diperlukan biaya $1 juta per bulan untuk menagihnya.
Tentukan berapa lama sebaiknya waktu penagihan pinjaman dihitung semenjak pinjaman
tersebut diberikan agar tagihan bersih (pinjaman tertagih – biaya penagihan) maksimum.
)1(95.07.0 t
eP−−=
www.slideshare.net/natriumz
tersebut diberikan agar tagihan bersih (pinjaman tertagih – biaya penagihan) maksimum.
25
COMPENSATION PLANNING
Suatu perusahaan transportasi hasil laut membuat struktur upah untuk setiap satu kali
pemindahan barang bagi para sopir angkutannya dengan ketentuan sebagai berikut :
1) Sopir dibayar $10 per jam hingga maksimum 20 jam1) Sopir dibayar $10 per jam hingga maksimum 20 jam
2) Jika waktu pemindahan barang lebih dari 20 jam, sopir hanya dibayar untuk 20 jam
saja
3) Jika waktu pemindahan barang kurang dari 20 jam, setiap jam lebih cepat dari 20
jam, upah perjam akan dinaikkan $1
Pertanyaan
a. Tentukan fungsi upah per jam dengan waktu pemindahan barang sebagai variabel bebasnya
b. Berapa lama sebaiknya waktu pengantaran barang jika diinginkan upah total maksimum?
www.slideshare.net/natriumz
b. Berapa lama sebaiknya waktu pengantaran barang jika diinginkan upah total maksimum?
c. Berapa upah per jam pada kondisi tersebut?
d. Berapa upah total maksimum yang dapat diperoleh sopir untuk setiap kali mengantarkan barang?
26
www.slideshare.net/natriumz
Download : www.slideshare.net/natriumz
27
Top Related