MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor ....
-
Upload
phungkhanh -
Category
Documents
-
view
265 -
download
5
Transcript of MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor ....
![Page 1: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIK FISIKA
DAFTAR ISI
BAB I : Eksponen ,logaritma danDeret
1.1 Bilangan berpangkat
1.2 Pengertian logaritma
1.3 Pengertian baris
1.4 Pengertian deret
1. 5 Persamaan dan Kesamaan
![Page 2: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/2.jpg)
BAB. II
-Bilangan dan pers Aljabar komplek
-Matrik definisi serta aljabar komplek
- Determinan, sistem persamaan linier
- Transformasi koordinat
-Analisa Vektor
- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral
- Fungsi vektor
![Page 3: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/3.jpg)
BAB III. Persamaan deferensial biasa
3.1 Definisi pers.deff biasa
3.2 Membuat persamaan diff
3.3 Pers deff biasa orde satu
3.4 Penerapan PDB orde satu dalam fisika
BAB IV. Vektor
4. 1 Pendahuluan
4.2 Aljabar Vektor
4.3 Garis dan bidang
![Page 4: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/4.jpg)
BAB.V. Matriks 5.1 Matrik 5.2 Aljabar matriks 5.3 Determinan 5.4 Persamaan linier 5.5 Matriks adjoin dan matrks invers 5.6 Rannk matriks 5.7. Transformasi linier 5.8 Matrik ortogonal 5.9 Nilai Eigen dan Vektor Eugen 5.10 Matriks digonal
TK1A
![Page 5: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/5.jpg)
I.1 Bilangan berpangkat
Sifat-sifatnya
a.
b.
c.
d.
e. dan
f. dan
g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0
h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0
rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :
mnnm aa )(
).....(... mmmm cbacba
mm
m
b
a
b
amn
aam n
mnm baaa ).( m
m
m
b
a
b
a)(
![Page 6: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/6.jpg)
Referensi.
1. Mery L Boas Mathematical Methods in the Physical, 3 and editor, Joen Weley & sons 2006
2. K>L Reley Mathematical Method for Physics and Engeneern,3and Combregge 2006.
3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.
![Page 7: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/7.jpg)
i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0
j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y
I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya
Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g
ialah bilangan x sehingga gˣ = a
1. ͫlog mˣ = x dan
2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c
3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b
4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =
5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s
(pembuktian)
ag ag log
m
ax
x
log
log
sm
s
d
ax
a
dx
m
a m loglog
log
log
log
log
log
log
log
![Page 8: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/8.jpg)
6.
7.
8.
9.
10.
baba gg loglog
yxgyx gg 1loglog
yxgyx gg 1loglog
yxgyx gg 10loglog
yxgyx gg 10loglog
![Page 9: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/9.jpg)
DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara
![Page 10: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/10.jpg)
tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b
U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b
jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.
Sisipan
Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.
![Page 11: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/11.jpg)
sehingga menjadi baris aritmatika :
m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n
kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b
maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan
Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’
Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:
1. 2. dn = n.St ; St =suku te
Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama
1'
k
bb
2
UnaSt
![Page 12: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/12.jpg)
Barisan dan Deret Geometri
Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka
U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap
a = suku pertama ; p = pembanding
a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn
![Page 13: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/13.jpg)
• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn
p = pembanding
dn=jml suku 1
Sisipan
Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :
a, …………………………,b, baris geometri semula
a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru
1
1
1
1
p
pa
p
padn
nn
![Page 14: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/14.jpg)
ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p
1. p’=pembanding baru
k= banyak bilangan yang
disisipikan antara tiap dua
suku berurutan.
2. n’ = n + (n – 1 ) k
Deret ukur tak hingga
1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen
1' k pp
![Page 15: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/15.jpg)
2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen
Jumlah deret geometri tak terhingga (d)
( [p] < 1 )
Baris dan Deret Ukur Hitung.
Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian
nlim
p
adn
1
![Page 16: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/16.jpg)
Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b
Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ
Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .
1}.)1({ napbnaUn
![Page 17: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/17.jpg)
PERSAMAAN DAN KESAMAAN
Persamaan
Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .
Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½
harga x tertentu yaitu = - ½
Macam-macam Persamaan
1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu
contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap
![Page 18: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/18.jpg)
2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0
3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :
Persamaan kuadrat :
b² - 4ac = D = diskriminan
1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂
2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂
3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner
0.....2
2
1
10 n
nnn axaxaxa
a
acbbx
2
42
2,1
![Page 19: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/19.jpg)
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a
Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)
1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.
2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama
3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya
![Page 20: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/20.jpg)
Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu
variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.
(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻
+….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻
+….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻
+…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut
nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru
![Page 21: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/21.jpg)
2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.
3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.
Dalil Sisa
Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻
+….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁).
Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap
2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier
3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat
![Page 22: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/22.jpg)
Fungsi kuadrat.
Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0
Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²
Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0
Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1
Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y
-“- - “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x
Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x
x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y
Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)
![Page 23: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/23.jpg)
Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.
a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam
interval itu f’(x) naik.
b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam
interval itu f’(x) turun
Syarat Maks dan Mim
a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum
b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum
c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )
![Page 24: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/24.jpg)
Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung
fungsi dan bentuk2 turunan.
Deferensil dapat dikelompokkan :
1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)
2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)
Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g
2. Pers.Laplac:
ditulis dalam bentuk
pers. diffusi
02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
02u
tuu /./1 22
![Page 25: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/25.jpg)
Istilah dalam pers.deff.
1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat
dalam persamaan deferensial.
2.Degree :pangkat dari orde persamaan
diferensial.
Contoh : persamaan ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat
PDB ini berorde 2
dan degree 2
2
32
2
1dx
dy
dx
yd
322
2
2
1dx
dy
dx
yd
![Page 26: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/26.jpg)
Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :
PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x).
dan
Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier
kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²
Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)
)(.... 12
2
21
1
10 xRyadx
dya
dx
yda
dx
yda
dx
yda nnn
n
n
n
n
n
43
3
dxdy
dx
yd y xyy 2)'(
![Page 27: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/27.jpg)
R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien tetap. Contoh :
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan koefisien tetap ; contoh :
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien variable , contoh :
R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible
042
2
dx
d y
5432
2
ydx
dy
dx
yd
02
2
dx
dy
dx
ydx
![Page 28: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/28.jpg)
contoh :
Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.
Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx
integrasi pers. di atas
22 222
2
xyxxdx
dy
dx
yd
cxxdxy 22/1
![Page 29: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/29.jpg)
Membuat Persamaan Diferensial.
Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan
contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma
F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu.
Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma
dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0
PDB orde satu
M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)
kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)
dxdyxf
xf
yg
yg
ygxf
ygxf
dx
dy
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
2
1
1
2
22
11
![Page 30: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/30.jpg)
penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral .
PDB linier
Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau
dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=
maka dgn A =e
.
Jadi penyelesaiannya PDB : (*)
cdxxP )(dxxPcdxxP
Aeey)()(
dxxPdxxPdxxP
cedxxQeey)()()(
)(
![Page 31: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/31.jpg)
Persamaan Bernoulli.
Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ.
PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ
Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :
(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →
dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)
![Page 32: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/32.jpg)
T Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.
Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah
dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)
Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)
maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ ,
zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀
maka : ½ N₀ = N₀ → =1/2→-λt=ln 1-ln2
t = (ln 2)/ λ → waktu paruh
- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff
L di/dt + Ri = V ; aliran panas (h.90)
t
tete
dx
dTkAQ
![Page 33: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/33.jpg)
, PDB orde Dua dalam bentuk Khusus.
Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1)
Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0
Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :
1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)
Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :
y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh
f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde
satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.
2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi
f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy .
Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0
maka f(p dp/dx, p, y) = 0. Jadi pers. Ini merupakan PDB orde satu dan
dapat diselesaikan
![Page 34: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/34.jpg)
PDB Euler-Cauchy.
Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan
koefisien variabel :
a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)
Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy
Misalkan x = e
→ dx/dz = e
= x . Cari y’ = dy/dx
dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz
Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz
=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)
x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.
)1)....((21
2
0 2
2
xRyaxaxadx
dy
dx
yd
![Page 35: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/35.jpg)
Sisipkan y”,y’ ke pers.
a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)
a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)
Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna -kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).
)(21
2
0 2
2
xRyaxaxadx
dy
dx
yd
![Page 36: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/36.jpg)
VEKTOR
Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai
besaran, juga mempunyai arah
Vektor ditulis dengan huruf kapital ( ) →
Panjang panah menyatakan besar vektor arah panah menunjukan arah vektor . Besaran vektor adalah A atau .Vektor satuan searah dengan vektor dengan tanda
A A
A
A
A A
A a
A
A
A
Aa
![Page 37: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/37.jpg)
Komponen vektor dalam sistem koordinat Kartesis (xyz) adalah terletak pada sumbu x, y, dan z. Vektor satuan yang searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor
dan besar A = adalah
,begitu juga koord kartesis xy
Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke sebuah titik ditulis . Jika titik terdapat dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka vektor : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)
Yaitu dan
A
zyx danAAA ,
kdanji ,,
A
kAjAiAA zyxA
222
zyx AAAA
Rataur
r
kzkyixr 222 zyxrr
![Page 38: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/38.jpg)
Jika vektor berimpit atau sejajar arah yang sama , maka vektor dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka keduanya disebut vektor yang berlawanan arah. Dua vektor dikatakan sama jika
dan arahnya sama. Jika arah berlawanan dengan , tetapi , maka kita katakan . Sebuah vektor
(k= sekalar) menunjukan bahwa searah dgn
dan .
BdanA
BdanA
BdanA
BA B
A BA
BA AkB
B A
AkB
![Page 39: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/39.jpg)
Vektor nol : vektor yang besarnya (harga mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah
Aljabar Vektor Penjumlahan vektor Dua vektor dan dapat dijumlahkan dengan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap)
ke titik ujung (terminal) →
A
B
A
ABA
AkB
A B
B A BA
![Page 40: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/40.jpg)
B Titik tangkapnya terminal dan berimpit
Dari penjumlahan vektor
( komutatif )
(asosiatif ) Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang Kita dapat melakukan pengurangan Perkalian vektor. a. Perkalian titi(dot). perkalian titik didef. Sebagai :
α =sudut antara dan
A B
A
B
BA ABBA
CBACBA )()(
)( BABA
cos. BABA
A B
![Page 41: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/41.jpg)
b. Perkalian silang (cross)
Perkalian silang def.
Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil
adalah sebuah vektor yang mempunyai besar
= dan searah dengan vektor satuan
Vektor tegak lurus terhadap bidang tempat
dan terletak.Menentukan arah vektor
gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah
Ternyata dan mempunyai besaran
skekar yang sama tetapi berlawanan arah.
sinBABxA
BxA
C
sinBA
C A
B C
C
BxA AXB
![Page 42: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/42.jpg)
atau :
Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh :
;
dan
Garis dan Bidang.
1. Persamaan garis
Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik
sejajar dengan sebuah vektor .Buat garis l melalui ke // vektor
diperoleh atau
AxBBxA
00sin 0iiixi 0kxkjxjixi
090sinjiixi
),,( 000 zyxP
A
),,( 000 zyxP ),,( zyxQ A
0rrPQ kzzjyyixxPQ )()()( 000
![Page 43: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/43.jpg)
Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena
karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka persamaan menjadi persamaan ini : pers.garis simetri
z
l
y
x
c
zz
b
yy
a
xx 000
),,( 00 zyxP o),,( zyxQ
0r r
A
![Page 44: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/44.jpg)
Persamaan Bidang.
persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah vektor . Misalkan = tegak lurus pada bidang α, diperoleh
Kerena terletak pada bidang α maka ∟
maka perkalian titik sama dengan nol
α
N N kcjbia
0rrPQ
kzzjyyixxPQ )()()( 000),,( zyxQ
PQ N PQ
0.PQN
N rr
r
),,( 000 zyxP
S
![Page 45: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/45.jpg)
Matrik dan Determinan Matrik Sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom : matrik.Objek matrik dapat berupa bilangan real,bil komplek (fungsi) Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal kolom m =jml baris I = 1,2,3……m n = jml kolom I = 1,2,3,…..n
mn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
434241
2232221
1131211
....
![Page 46: MATEMATIK FISIKA - · PDF file- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral - Fungsi vektor . ... 4.3 Garis dan bidang . BAB.V ... (pembuktian) g g log a a m a x x log log s m s d a](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082213/5a777ebd7f8b9a0d558df6f8/html5/thumbnails/46.jpg)
Matrik A dengan elemen ,mempunyai baris m dan kolom n dengan orde (mxn).
Matrik bujur sangkar dimana m=n yang terdiri
1. matrik nol
2. matrik satuan
Matrik lain :
1. Matriks transpos
2. Matrik vektor atau matrik vektor kolom
ija
00
00
10
01
fc
e
d
b
a
Afed
cbaA T
T
n
n
rrr
r
r
r
r ..
21
2
1