Onda Plana Uniforme
Unidade 2 – Onda Plana Uniforme Objetivos:
• Desenvolver a equação de onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell.• Diferenciar emissor e receptor de ondas eletromagnéticas.• Determinar a equação de onda plana nos diferentes meios de propagação.• Definir o vetor de Poynting. Relacioná-lo com transmissão de energia.• Definir Polarização da onda eletromagnética.
introduçãoPropagação de ondas no espaço LívrePropagação de Ondas em DielétricosVetor de Poynting e Considerações de PotênciaPropagação em Bons Condutores: Efeito PelicularPolarização de Ondas.
Onda Plana Uniforme
introduçãoInicialmente nesta unidade vamos partir das equações de Maxwell será definida a equação de onda e velocidade de propagação.Este processo será realizado de duas formas diferentes, sendo o segundo método utilizando a interpretação fasorial.Posteriormente serão demonstradas as soluções das equações de onda tanto no espaço livre como no dielétrico. A diferença entre as soluções é apenas a condição de contorno (cc). No meio dielétrico, isotrópico, a onda eletromagnética sofre uma atenuação que será descrito.Sabe-se que a onda transporta energia sem transporte de matéria. Neste ínterim será apresentado o teorema de Poyntig que define a energia de onda eletromagnética bem como a potência transportada. Finalizando, será definido e descrito o processo de polarização da onda eletromagnética.
Onda Plana Uniforme
Propagação de ondas no espaço Livre
Equações de Maxwell
0
B
D
t
BE
t
DJH
v
Lembrando
0
0
0
0
B
D
t
HE
t
EH
0
0
Constante de permissividade magnética
Constante de permissividade elétrica
ED
HB
0
0
Equações de Maxwell no vácuo
1
2
3
4
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Se E(t) em um ponto⇨H possui um rotacional em trono do ponto no espaço.Se E(t) ⇨ H(t) não necessariamente do mesmo modo.
Da mesma forma, a 2ª equação indica que E forma pequenos anéis fechados em torno das linhas de H.
Determinando as equações de onda.
Aplicando-se o rotacional na equação (2) temos.
t
HE
0
Et
EE
2
2
002)(
Observando-se a equação (1)
Ett
E
00
=0 devido à equação (3)
Et
E
2
2
002
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
01
2
2
22
t
F
vF
5
Se observarmos, a equação (5) é análoga a equação de onda
Corresponde à equação de onda de uma corda.
Portanto:
00
1
v Corresponde à velocidade da luz no vácuo.
00
1
c Exercício: Verificar esta afirmação.
02
2
002
t
EE
Onda Plana Uniforme
Desta forma temos as equações de onda para o vácuo:
Propagação de ondas no espaço Livre
601
2
2
22
t
E
vE
701
2
2
22
t
H
vH
Exercício: Partir das equações de Maxwell e chegar nesta equação.O cálculo da velocidade da luz foi obtida por
Maxwell em 1861. A 1ª experiência de produçãode ondas eletromagnéticas diferentes da luz foi em 1887 realizada por Heinrich Hertz com circuito RLC produzindo 108 Hz e l=1 m.
Interpretação fasorial.
Vamos tratar a solução como um caso especial senoidal com o tempo (efetuando a notação complexa e fasores.
Dado o campo vetorial
xxaEE ˆ
Sendo: )cos(),,( tzyxEEx 8
Função real no espaço
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Lembrando a identidade de Euler:
tjsente tj cos Onde j é 0 número imaginário: 1j
]),,(Re[]),,(Re[ )( jtjtjx eezyxEezyxEE
Re indica a parte real da função. Suprimindo a função dependente do tempo tje
Ex pode ser descrito como um fasor.
jxs ezyxEE ),,(
Identificador do fasor.
jxss eEE
Indica o domínio da frequência, indicado como uma função de frequência complexa.
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Exemplo1: Expresse a função como um V/m fasor.
)30510cos(100 8 oy ztE
]Re[100 )30510( 8 oztjy eE ]Re[100 )305( ozj
ys eE
Exemplo2: Dado o vetor de intensidade do como, Es=100<300ax+20<-500ay+40<2100az V/m identificado como um fasor por seu subscrito s, desejamos o vetor como uma função real do tempo.
Solução: considerando a frequencia de1 MHz.
zj
yj
xj
s aeaeaeE ˆ40ˆ20ˆ100 2105030
Inserindo a dependência temporal:tje
tjz
jy
jx
js eaeaeaetE
6000 1022105030 )ˆ40ˆ20ˆ100()(
ztj
ytj
xtj aeaeae ˆ40ˆ20ˆ100( )210102()50102()30102( 060606
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
mVat
atattE
z
yx
/)ˆ)210102cos(40
ˆ)50102cos(20ˆ)30102cos(100()(06
0606
Apesar das amplitudes não estarem sendo expressas em função das coordenadas, é possível que isto ocorra.
A partir de (8), aplicando-se a equação (1).
Tomando apenas a parte real, obtendo o vetor real.
Lembrando a identidade de Euler:
tsentjje
tjsentetj
tj
cos
cos
xsx
tjxs
x
Ejt
E
eEjt
E
]Re[
)(),,(
tsenzyxEt
Ex
É o fasor da derivada temporal.
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Substituindo os resultados nas equações de Maxweel (1) a (4) temos:
0
0
0
0
s
s
ss
ss
H
E
HjE
EjH
9
10
11
12
São as equações de Maxwell na forma fasorial para o espaço lívre.
Nota-se que (11) e (12) não são mais independentes e podem ser obtidas tomando-se a divergência de (9) e (10). (Isto pode ser comprovado como exercício desenvolvido pelo aluno). Outro exercícios é aplicar a derivada temporal da equação (2) e obter a equação (10).
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Determinando novamente a equação de onda.
Aplicando-se o rotacional em (10).
)()( 02
ssss HjEEE
0 – equação (11)
equação (9)
ss
ss
EE
EjjE
0022
002
Fazendo-se:
000 k 13
Número de onda do espaço livre.
Onda Plana Uniforme
Equação Vetorial de Helmholtz
Desta forma, a equação de onda:
Propagação de ondas no espaço Livre
ss EkE
220 14
Considerando que Exs constante em x e y temos:
xsxs EkE
220
xsxs EkEzyx
2
2
2
2
2
2
2
0
15
Usando apenas a componente x de (14):
xsxs EkEz
2
2
2
0
16
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
A solução da equação (16) pode ser:
zjkxxs eEE 00
Reinserindo o fator temporal e tomando-se a parte real temos:
tje
)cos(),( 00 zktEtzE xx
Pode ser medido na prática.
Valor de Ex(0,0).
Medido em radianos onde: [w]=rad/s; [k0]=rad/m sendo k0 definido como: frequência espacial, número de ondas do espaço livre. É uma constante de fase de uma onda plana uniforme no espaço livr.
17
c
100 Onde c é a velocidade da luz. Portanto . A equação
(17) pode ser escrita como: ck
0
)(cos),( 0 c
ztEtzE xx 18
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
)cos(coscos)0,( 0000 zkEc
zE
c
zEzE xxxx
Para t=0.
Sabendo-se que a função de onda se repete a cada comprimento de onda l, portanto: 20 k
ff
c
f
cck
8
0
10.3
2
222
(espaço livre)
Considerando a crista (um ponto). A próxima ocorrência do ponto dever ser após uma volta: 2p. Para m-ésima crista da onda temos.
mzk 20
mcztzkt 2)/(0 A crista da onda move-se na direção positiva de z.
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
Retomando às equações de Maxwell (9) a (12) determinaremos H. Dado Es, Hs é obtido de (10)
ss HjE
0 Deforma simplificada zjkxxs eEE 00
z
Ea
y
Ea
Ezyx
aaa
E xsy
xsz
xs
zyx
s
ˆˆ
00
ˆˆˆ
0 pois Exs varia apenas na direção z.
ysxs Hjz
E0
zjk
xxs eEjkz
E0
00
zjkx
zjkxys
zjkxys
zjkxys
eEeEH
eEk
HeEjkHj
00
00
00
00
0
00
00
0000
Onda Plana Uniforme
zjkxys eEH 00
0
0
Propagação de ondas no espaço Livre
Colocando a dependência temporal
)cos(),( 000
0 zktEtzH xy
19
Real
0
0
),(
),(
tzH
tzE
y
xque é constante.
Comparando-se as equações (17) e (19) observa-se que E oscila em x e H em y com a razão de intensidades dada pela relação:
)cos(),( 000
0 zktEtzH xy
)cos(),( 00 zktEtzE xx
20
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
)cos(),( 000
0 zktEtzH xy
)cos(),( 00 zktEtzE xx
Usando a linguagem de teoria de circuitos, pode-se dizer que Ex e Hy estão em fase, sendo que a relação refere-se tanto ao espaço quanto ao tempo.
Onda Plana UniformePropagação de ondas no espaço Livre
De acordo com as equações (17) e (19) apresentadas abaixo, observa-se que os máximos de Ex e Hy ocorrem quando w(t-z/c) for múltiplo inteiro de 2p rad.
Impedância intrínseca [h] = ohms = W
Para o espaço livre: 1203770
00
Neste caso a onda é chamada de onda plana uniforme.
A energia flui na direção positiva de z.
E e H são perpendiculares à direção de propagação.
Dúvidas???? Exercícios.
Onda Plana Uniforme
Propagação de Ondas em DielétricosVamos estudar a propagação da onda eletromagnética no meio dielético considerando-o:
Isotrópico e homogênio;Permissividade e;Permeabilidade m.
ss EkE
22
Partindo da equação de Helmholtz:
21
O número de onda pode se formalizado:
RRkk 0 22
Para Exs temos:
xsxs Ekz
E
22
2
23
Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos
Neste caso k pode ser complexo e portanto pode ser escrito da forma:
jjk 24
Consequentemente a solução da equação de onda pode ser:zjz
xjkz
xxs eeEeEE 00 25
Inserindo a parte temporal ejwt e multiplicando à (25) temos:
tjzjzxxs eeeEE 0
)cos(),( 0 zteEtzE zxx 26
É a equação da onda plana uniforme que se propaga na direção z com fase constante b.
Analisando a.>0: diminui a amplitude com o aumento de z com fator e-az . É um
coeficiente de atejnuação<0: Amplificador Laser. É coeficiente de ganho
Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos
[a]=nepers/metro=Np/m -Dado em homenagem a John Napier (Matemático Escocês que que propôs o uso do logarítmo)
Examinando a unidade de a.
Se = 0,01 a Np/m a amplitude da onda em z=50m.
607,05.00
50.01,0
ee
eVezes o valor inicial em z=0
Propagando-se à uma distância 1/a na direção +z a ampitude é reduzida num fator e-1 ou 0,368.
O campo elétrico da onda, alterado no meio material, é descrito por uma constante de permissividade complexa.
''' j 27 É originado por dois mecanismos que resultam na perda da onda:
Oscilações iônicasRelaxamento do dipolo – Estudar o Apêndice D do Hayt Mecanismo adicional: Condução de elétrons livres ou lacunas
Onda Plana UniformePropagação de Ondas em Dielétricos
Com relação ao campo magnético.As perdas podem ocorrer e serem modeladas pela permeabilidade complexa.
''' Exemplos: materiais ferromagnéticos ou ferrites.
A resposta magnética é muito fraca quando comparada à resposta do dielétrico, na maioria dos materiais de interesse de propagação de onda.Portanto nesses materiais m=m0.Desta forma serão discutidos os mecanismos descritos através da permissividade complexa.Substituindo (27) em (22)
)'
''1(')'''(
jjk 28
k
k
0''
0''
é real
é complexo – ocorrem perdas quantificadas por a.
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