Některá diskrétní a spojitá rozdělení náhodné veličiny.
Diskrétní rozdělení.
Binomické rozdělení.Četnost jevu v n pokusech, výskyt tohoto jevu s pravděpodobností p.
X () = k = 0, 1, 2, …, n
knk ppk
nkp
)1()( , = np, 2 = npq, kde q = 1-p
Příklad.
Pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko je červivé je p = 0.2. NakresletePravděpodobnostní a distribuční funkci pro n = 100 jablek.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
F
Jevy „právě k pokusů z n je úspěšných, k = 0, 1, …, n se navzájem vylučují, jedenz nich však vždy nastane.Proto součet pravděpodobností těchto jevů je pravděpodobnost jevu jistého, neboli 1.
Předpokládáme-li n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí úspěchem s pravděpodobností p a neúspěchem s pravděpodobností 1 – p = q, pak
1
1...
2101221
nnnnn pn
nqp
n
nqp
npq
nq
n
Poissonovo rozdělení.Četnost jevu v mnoha pokusech, výskyt tohoto jevu s malou pravděpodobností p.
X () = k = 0, 1, 2, …
ek
kpk
!)( , = , 2 =
Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí
ústředna právě 1 hovor“, k = 0, 1, …, 60.
= = 15,
Příklad.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 10 20 30 40 50 60
x
p
40
!
40)( e
kkp
k
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 10 20 30 40 50 60
x
F
Negativně binomické rozdělení.Četnost k neúspěšných pokusů, než docílíme m-tého úspěšného, jestliže jsou pokusy na sobě nezávislé a pravděpodobnost úspěchu v každém z nich je p.
km pp
k
mkkp )1(
1)(
Je-li m = 1, rozdělení se nazývá geometrické.
Příklad.
Nakreslete rozdělení pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu “počet hodů kostkou,Než poprvé padne 6“.
m = 1, počet hodů k, p = 1/6, kppkp )1()(
, = m(1-p)/p, 2 = m(1-p)/p2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x
F
Hypergeometrické rozdělení.V souboru N výrobků je A zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme n výrobků. Náhodná veličina “ve výběru je právě a zmetků“ má hypergeometrickéRozdělení. (n < N, a < A, A < N).
n
N
an
AN
a
A
ap )( , = nA/N,
)1
11(
)(2
2
N
n
N
ANnA
Příklad.V souboru 100 výrobků je 10 zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme 20 výrobků. Nakreslete rozdělení pravděpodobností náhodná veličiny “ve výběru je právě a zmetků“
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 2 4 6 8 10
x
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10
x
F
Spojitá rozdělení.
Rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b).
f ( x ) = 1/(b-a), x(a, b), f ( x ) = 0 jinak, = (a + b)/2, 2 = (b – a)2/12, a < b.
Rovnoměrné rozdělení a = 0 se používá např. při modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky b (čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který je nezávislý na minulém ani budoucím výskytu události).
Normální rozdělení se střední hodnotou a variancí 2, N(, ).
22 2/)(
2
1)(
xexf
3. centrální moment (šikmost) = 0, 4. centrální moment (špičatost) = 3.
Pokud = 0, a 2 = 1, mluvíme o normovaném normálním rozdělení N (0,1).
2 rozdělení o n stupních volnosti.
Gama funkce:
0
1)( dxexa xa, a > 0.
2/1
2
2
)2
(2
1)( x
nn exn
xfn
, x > 0, , = n, 2 = 2n
Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti.
Nnn
x
nn
n
xfn
n
,)1(
)2
(
)2
1(
)( 2
12
, = 0, 2 = n/(n – 2)
Studentovo t rozdělení a 2 rozdělení se používají ve statistice. Normální rozdělení hraje v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice Důležitou roli – viz další přednášky.
Cvičení.
Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí ústředna alespoň 2 hovory“, k = 0, 1, …, 60.
K lékaři přijde za týden průměrně 28 pacientů. Jaká je pravděpodobnost, že příští den přijdou tři?Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že pravděpodobnost toho, že žárovka při přepnutí vypínače praskne, je 0.05; jaká je pravděpodobnost toho, že když během roku rozsvítíme a zhasneme jednou každý den, prasknou tři žárovky?
Každá dodávka výrobků má 100 kusů. Při přejímce výrobků se z každé dodávky náhodně bez vracení vybere 15 výrobků. Dodávka bude přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky bude nejvýše 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že dodávka bude přijata, jestliže obsahuje 20 zmetků ?
Top Related