Některá diskrétní a spojitá rozdělení náhodné veličiny.

Diskrétní rozdělení.

Binomické rozdělení.Četnost jevu v n pokusech, výskyt tohoto jevu s pravděpodobností p.

X () = k = 0, 1, 2, …, n

knk ppk

nkp

)1()( , = np, 2 = npq, kde q = 1-p

Příklad.

Pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko je červivé je p = 0.2. NakresletePravděpodobnostní a distribuční funkci pro n = 100 jablek.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

F

Jevy „právě k pokusů z n je úspěšných, k = 0, 1, …, n se navzájem vylučují, jedenz nich však vždy nastane.Proto součet pravděpodobností těchto jevů je pravděpodobnost jevu jistého, neboli 1.

Předpokládáme-li n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí úspěchem s pravděpodobností p a neúspěchem s pravděpodobností 1 – p = q, pak

1

1...

2101221

nnnnn pn

nqp

n

nqp

npq

nq

n

Poissonovo rozdělení.Četnost jevu v mnoha pokusech, výskyt tohoto jevu s malou pravděpodobností p.

X () = k = 0, 1, 2, …

ek

kpk

!)( , = , 2 =

Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí

ústředna právě 1 hovor“, k = 0, 1, …, 60.

= = 15,

Příklad.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 10 20 30 40 50 60

x

p

40

!

40)( e

kkp

k

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60

x

F

Negativně binomické rozdělení.Četnost k neúspěšných pokusů, než docílíme m-tého úspěšného, jestliže jsou pokusy na sobě nezávislé a pravděpodobnost úspěchu v každém z nich je p.

km pp

k

mkkp )1(

1)(

Je-li m = 1, rozdělení se nazývá geometrické.

Příklad.

Nakreslete rozdělení pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu “počet hodů kostkou,Než poprvé padne 6“.

m = 1, počet hodů k, p = 1/6, kppkp )1()(

, = m(1-p)/p, 2 = m(1-p)/p2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

F

Hypergeometrické rozdělení.V souboru N výrobků je A zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme n výrobků. Náhodná veličina “ve výběru je právě a zmetků“ má hypergeometrickéRozdělení. (n < N, a < A, A < N).

n

N

an

AN

a

A

ap )( , = nA/N,

)1

11(

)(2

2

N

n

N

ANnA

Příklad.V souboru 100 výrobků je 10 zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme 20 výrobků. Nakreslete rozdělení pravděpodobností náhodná veličiny “ve výběru je právě a zmetků“

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 2 4 6 8 10

x

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

x

F

Spojitá rozdělení.

Rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b).

f ( x ) = 1/(b-a), x(a, b), f ( x ) = 0 jinak, = (a + b)/2, 2 = (b – a)2/12, a < b.

Rovnoměrné rozdělení a = 0 se používá např. při modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky b (čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který je nezávislý na minulém ani budoucím výskytu události).

Normální rozdělení se střední hodnotou a variancí 2, N(, ).

22 2/)(

2

1)(

xexf

3. centrální moment (šikmost) = 0, 4. centrální moment (špičatost) = 3.

Pokud = 0, a 2 = 1, mluvíme o normovaném normálním rozdělení N (0,1).

2 rozdělení o n stupních volnosti.

Gama funkce:

0

1)( dxexa xa, a > 0.

2/1

2

2

)2

(2

1)( x

nn exn

xfn

, x > 0, , = n, 2 = 2n

Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti.

Nnn

x

nn

n

xfn

n

,)1(

)2

(

)2

1(

)( 2

12

, = 0, 2 = n/(n – 2)

Studentovo t rozdělení a 2 rozdělení se používají ve statistice. Normální rozdělení hraje v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice Důležitou roli – viz další přednášky.

Cvičení.

Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí ústředna alespoň 2 hovory“, k = 0, 1, …, 60.

K lékaři přijde za týden průměrně 28 pacientů. Jaká je pravděpodobnost, že příští den přijdou tři?Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že pravděpodobnost toho, že žárovka při přepnutí vypínače praskne, je 0.05; jaká je pravděpodobnost toho, že když během roku rozsvítíme a zhasneme jednou každý den, prasknou tři žárovky?

Každá dodávka výrobků má 100 kusů. Při přejímce výrobků se z každé dodávky náhodně bez vracení vybere 15 výrobků. Dodávka bude přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky bude nejvýše 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že dodávka bude přijata, jestliže obsahuje 20 zmetků ?