m 15. 1953. r m
. manae
"- 1{ ~L, ~ '-) )
/ m (Iugujem nakon boravka njihovoj zemlji.
PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU
Prvo izdanje ove knjige, stampano prije 8 godina, vec dugo vremena
rasprodano. Povodom sve veceg interesa i za matematickom logikom
kako u matematici tako i u primjenama u drugim znanostima i u
tehnici, os i1 se za novim izdanjem knjige.
1{az1oga da ovo drugo izdanje izlazi nepromijenjeno (osim 8to
izostavljen rezime eng1eskom) vise. Od vi8e "tehnickih" moguCnost
njenog skorijcg iz1azenja manji tr08kovi izrade i niZa cijena,
dak1e veca pristupacnost krugu potencijalnih citalaca. Vrlo
briiljivom radu slagara koji su radi1i pr\'om izdanju valja
zahvaliti da u njemu praktiCki stam parskih pogresaka, 8to
omoguCilo da se drugo izdanje izvede fotokopiranjem sloga pr\'og
izdanja. Od vise "materija1nih" razloga Cinjenica da se odgo
\'ara;u~c du matematicke logike posljednjih godina nije bitnije
obogatilo, har u pogledu fundamentalnih rezultata koji treba da·
udu u jedan uvodni ud7.l,enik, nada1;e to. sto prema tekstu prvog
izdanja s uspjehom odrZano nekoliko poslijedip1omskih ko1egija,
takoder i opseian prikaz prvog izdanja knjigc u \·,.decem 1"II lrn/
Symbo/ic Logic, USA, Vol. 35 (1970), Nr 2, . 326-329 (referent
prof. 1. oh sa The Ohio State University, USA).
Zhog \' \'clike zauzetosti nizom drugih obaveza nije dosad naialost
hilo nlOp:u~c doHsiti rukopis i za drugi dio knjige, kako kao veca
cjelina bila z<l111i?iljcna .. \icdutim, citalac zainteresiran
za sirepodrucje matematicke logike l onog l'uh\'~l)g \'m knjigom,
moZe posegnuti za u meduvremenu liLiranim 1 djelom dr S. Pres;ca:
Elementi matematicke logike, Beograd 11)6X. (Matcmaticka
blhlioteka, s\'ezak 34.).
u Zgl, 6. VIII 1912. V. D.
PREDGOVOR
IstraZivanja iz podrucja osnova matematike posJjednjih su se
decenija . toJiko razgranala i produbiJa da potpuniji pregled
dobivenih rezultata zahti vise opseznih svezaka. Danas postoji
nekoliko Casopisa koji ciraju iskJjucivo radnje iz podrueja
matematicke logike i osnova matematike mnogi drugi ukJjucuju takve
radove. Jzlazi i nekoJiko serjja monografija osno m matematike. Na
svim svjetskim jezicima raspoloziva su djela karaktera udzbenika
matematicke logike. (narocito mnogo njemackom i engleskom jeziku).
Karakteristicno da u posljednjih desetak godina takvih djeJa
pubJicirano vise nego Ii u Citavom periodu 10ga . Mnoge katedre
odrzavaju koJegije i seminare iz raznihgrana matematicke logike i
srodnih obJasti. U USA, PoJjskoj, SSSR-u, Njemackoj, , Izraelu i
nekim drugim zemljama postoje razvijene skole kojih rad orijentiran
daljtl izgradnjll podrutja matematike. Nabrajanje pojedinih
matematicara-Jogicara, cak se ogranicili koji su daJi znacajne
priloge koji ostati trajna svojina ma1ematike, ispuniIo Jistu od
nekoliko stotina - takvu listu trebalo staJno i brzo
prosirivati.
Unutar ovog djela moguce , dakako, iznije1i samo l dio ovako goleme
materije.
, dio Matematicke Jogike klasicnu (dvovaJjanu) Jogiku sudova. :
Uvodna Glava 1 obraduje l probJematiku oko zasnivanja matematike sa
stajalista matematicara ( filozofsku probJematikLI oko to[!a t
nisam ulazio), u Glavi JI izlozena aJgebra sudova, u Glavi
detaJjnije razradeno kako se algebre sudova uklapaju u teoriju l
struktura, u GJavi - koja gJavni sadrfaj knjige - razvijena
klasicna logika sudova kao formaJizirana deduktivna {; konacno, u
GJavi V provedena su neka aksiomaticka ispitivanja u vezi s
nekontradiktornoscu, nezavisnoscu, potpunoscu i nekategoricl1oscu
sistema aksi logike sudova.
1 materijal i izlaganja u knjizi odabran tako da u jednu ruku dao
dovolj/lo znanje tom podrucju matematike citaocu se u zeJi uputiti,
u drugu ruku da pruii l1=1I0 predznanje CitaocLI koji nakon knjige
posegnuti za opsezl1ijom l specijaliziranijom lite- raturom.
.
Pored standardnog materijaJa djelo sadrzr pojedinosti koje SLl.
misJil11. : Definicija demonstracije i ded11kcije nesto
nlOdificirana Ll ; grupc aksioll1a negacije i kOl1stanata Jlcsto
se razlikuju od i /-
6 Predgovor
matranih; dio rezultata 8. poglavlja G1ave 11 - s1iCno vrijedi za
neke m pri10ge u Glavi ; k od razmatranja u glavi V takoder
djelomicno sadrze prosirenja prema standardnom izlaganju. Manjih
promjena u definici , teoremima i njihovim dokazima naei se na
mnogim mjestima (usp. npr. definiciju jednakosti funkcija algebre
sudova u Glavi 11).
Buduci da prvi sistematski prikaz logike sudova na hrvatsko
srpskom jeziku trebalo u njemu stvoriti i nasu terminologiju .z .
to pod rucje. Nastojao sam da - u skladu s internacionalnom -
odabetem tako, da mogla biti prihvacena kao jedinstvena
jugosJavenska terminologija. Praksa pokazati u kojoj mjeri ovdje
pred!ozeni izbor sretan.
Principijelno za razumijevanje teksta koji dolazi treba veceg mate
matickog predznanja. Medutim, mjestimicno . trebati izvje~na zlt u
mate matickom rasudivanju.
Numeracija definicija (D), teorema () i jednad!bi te~ Glavama,
korolara () i lema (L) poglavljima.
Ideja i sugestija za pisanje monografije potekla od profesora D. S.
Mitrinoviea; prije blizu 4 godine predlo!io da napisem ruko pis za
takvo djelo koje se 5tampalo edicija "atematicke Biblioteke". Tokom
citavog tog perioda narocito za vrijeme mojeg gotovo dvogodisnjeg
boravka Univerzitetima u Tokiju, prof. Mitrinovie stalno bodrio na
poslu pisanja tog rukopisa i sa svoje strane ucinio sve da se
knjiga sto prije i 5to l stampala. (asnye , iz tehnickih razloga u
vezi sa subvencioniranjem. odluceno da se rukopis stampa k
monografija medu edicijama Matematickog Instituta, umjesto k
edicija "Matematicke Biblioteke" 5to bila prvobitna zamisao.)
Na m mjestu volio bih se zahvaliti i svima koji su indirektno
pomogli u pisanju rukopisa za ovu knjigu. Zahtijevalo previ5e imena
da se zahvalim svima s kojima sam kod nas, u Variavj, Jeruza lemu
i Tokiju prilike· voditi razgovore koji su ili nae utjecali na
koncipiranje nekog poglavlja knjige.
Takoder. svaki autor nekog matematickog teksta treba da obavezan i
prima koji su svojim rukama izveli sve 5to treba uciniti da se
rukopis pretvorio u knjigu: tkogod ikada prilike vidjeti kako se
rada matematicki slog. znat ocijeniti koliko samo strucnog znanja
nego i ljubavi za svoj posao treba da tu ulo!e slagari.
Svakom citaocu bit cu obavezan na i sugestijama u vezi s tekstom
knjige; molim da se posalju moju adresu: Zagreb, Vinogradska
10.
u Zagrcbu, 19. ~ 1963. V. Devide
POPIS LERAURE
za dalji studij odru mtmtik logike obuhvaeenog u kiizi (djela 5U
poredana kronololki, prema posljednjem izdanju)
ILBERT D. - ACERMANN W. Grundziige der theoretischen Logik, li
1938.
ILERT D. - BERNAYS . Grund/agen der Malhe11llJtik 1, 11, erlin
1934/9.
MOSTOWSI .
. W. Les londements logiquu du math/maIiques, Paris 1950.
QNE W. . . Methotb 01 Logic, New York 1950.
QN W. . . M(lthe11llJli('al Logic, Cambridgj: 1951.
LEENE S. . lnlrorlction 10 Metamathe11llJlics, New York 1952.
RR . Lefons de logique algibrique, Paris 1952.
ROSSER . .. Logic lor Malhe11llJticians, New York 1953.
BOURAI N. hiorie des Ensebles, Livre 1. SI 1212, Paris 1954.
LORENZEN . EjnfiJrung die operalive Logik nd Malhe11llJtik, li
1955.
EYING .
HEYING .
CURC .
LUASIEWICZ 1. ment logiki malematyczney, Panst. Wyd. Naukowe,
Warszawa 1958.
8 Popis r
FRAENKEL . . - BAR-HILLEL . Foundations 01 Set ory. Amsterdam
1958.
. W. Foundotions 01 Mathemotkl. Amsterdam 1959.
NOVIKOV . S. Elementl matematileskol logikl. Moskva 1959.
ASSER .. Einftlhrung 111 dle matheatische Loglk I, Leipzig
1959.
SCMID . .
1 . Beweistheorle. erlio 1960.
. - ASENJAGER . GrudziJge der mathematischell Logik. erlio
1961.
SADR2.AJ Strana
GLAVA 1 - UVOD
:1. riza savremene motematike. Rigoroznost u matematici u raznim .
Ranije krize u matematici i danasnja kriza
................................ .. . . . . 17
:z. Antinomije ili paradoksi. Cantorova teorija skupova.
Antinomije. Intuicionisti. FOI
malisti. Russellov paradoks. Pitanje egzistencije skcpa
upotrebljenog u Russel low paradoksu. Pitanje definiranosti skupa
upotrebljenog u Russellovl.1 para doksu. Gentzenovo preciziranje
paradoksa. Nedostatnost klasicnog rasudivanja za zadovoljavajucu
eliminaciju paradoksa ... ~ .........•.........•... , .. . . . .
18
. Potencijo/na i aktualna beskonalnost. Odsutnost beskonanosti u
prirodi oko nas. VaZnost matematicke beskonanosti. PotencijaIna i
aktuaJna beskonaCnost. tematicka indukcija. Neka klasina i
intuicionistiCka rasudivanja u vezi s Fer- matovim problemom.
Bourbakijeva prognoza .••..................... . . . . . . 21
4. Intuicionizom. Logicisticka nj u matematici; Principia
Mathematica i aksiom reducibiliteta. Intuicionisticka koncepcija
matematici i logici. Nzivi "intuicionizam" i .. intuicionisticki".
Zahtjev konstniktibjJjlOsti: egzistencija matematickog objekta kao
moguCnost njegove konstrukcije. Kritika indirektnog dokaza
pozitivne tvrdje. Odbacivanje zakljucivanja principu tertium datur.
Principijelne i prakticke zamjerke intuicionizmu. Konsekvencije
konse- kventnog intuicionizma. Koi:lstruktivne teorije i teorije
konstruktibilnom ., 24
5. m/m. Formalna matematika i sadr&jna metainatematika.
Formalizacija de- dukcije unutar formalne teorije. GOdelovi
rezultati ........................ 26
. Zakljulak
••••....•.••..••.••••...•.•.••.•••.••••....•..•...•.••..•.•.••..•.
27
:1. Predmet algebre sudova. Uvod i program. Deskriptivna definicija
suda. Primjeri. Sud objekt algebre sudova. Operacije algebre
sudova: konjunkcija. disjunk . implikacija. ekvivalencija.
negacija. vrijednosti za operacije algebre sudova. Alternativne
oznake za operacije a1gebre sudova •. .... .. .... .. .. .. ..
31
2. Algebra sudova kao aJgebarska Slruktura.· Konstante. bl i
formule algebre sudova. Zagrade i konvencije jacini razdvajanja
operacija. Semanticka jed nakost (istovrijedn05t) formula algebre
sudova. Analiza toka vrijednosti isti nit05ti. rii. Idtiki
istinite i identicki neistinite formule. Primjeri: Pierceova
tautologija. [o/so quodlibet. um quolibet. apsurdnost kontra
dikcije. zakljucci contrario i n contrarium. Indirektna metoda
ispitivanja identicke istinitosti. Teoremi identicki istinitim i
parovima istovrijednih formula. Jntuitivna interpretacija. Neka
algebarska svojstva logike
sudova............................................................
.... .. 37
10 Sadrlaj
Slrana 3. Neke melode zakljuclvanja / sudova. us ponens. Lan~no
zakljucivanje.
Demonstratio , numnm. Deductio abJuram. Pravi1a kontrapozicije 43
4. Funkcije algebre sudova. Definicija funkcije algebre sudova.
Tablica toka vrijedno
sti istinitosti. Jednakost i identicka jednakost funkcija algebre
sudova. Teorem reprczcntaciji funkcije formulom sagradenom pomo~u
konjunkcija, disjun kcija i negacija. Kanonska disjunktivna
normalna forma. Kanonska konjun- ktivna normalna forma.
Leksikografski uredene kanon~ke normalne forme " 44
S. Trans!ormacija i supstitucija algebri slIdo\·a. Teorem
transformacije. Teorcm sup- stitucije. Simultana supstitucija
•.....••..••••...•• , . • • . . • . • •. . . . • . . . . . . . . .
. 49
6. Semalltic.ki (/lIalitet algebrl sudova. Dualna funkcija;
involutivnost dualiziranja i simetrija dualnosti. Autodualne
funkcijc. Funkcija dualna funkciji zadanoj formulom algcbre sudova
.........••......•.•.•...•...•...........•.....• SI
7. Relacija < /111'du fimkcijllllla algebre sll(/ol'a. Relacija
<: kao parcijalno uredenje skupa funkcija aJgcb~e sudova.
Primjeri. lntuitivna interpretacija ; •...•..• , . • S3
8. : algebre slIdm'a. Shefferova i I.ukasiewiczeva •. Sistem
izvodnica (ge nerirajuci sistem) algebre sudova. l sistem
izvodnica ( algebre sudova). Oznake unitarnih i nam operacija.
Hcrcditarna i neuniverzalna svojstva operacija algebre sudova.
Ternami produkt binarnih operacija. Trans poniranje binarnih
operacija; involutivnost transponiranja i simetrija trans
poniranosti. T-postupak za konstrukciju . D-postupak za
konstrukciju novih b01za. Enumeracija dvoelanih . Geometrijska
i!ustracija medusobne povcl<lnosti dvoclanih za. Troclane . Baze
uz alternativnu konvenciju sast<lvJjanju sloleni.h funkcija
.•....•..•.•.•.•.•...•...•••...• , •••.•.•• , • • S4
9. I'(/'('lI op('acija &, V, :::>, <=>, <;>, t,
~, -', .,. ,. nek;m bazama. Predoeenja uz Shefferovu i
Lukasiewiczevu bazu. Predocenja uz dvoclanc : (konjunkcija,
negacija). (disjunkcija, negacija), (implikacija, g), (implikacija,
univer zalna ncgacija), (implikacija, negacija implikacijc),
(implikacija, ekskluzivna disjunkcija). Predoeenja uz trocJane :
(univerzalna neg, konjunkcija, ekvivalencija). (disjunkcija.
ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija) .. .••••.•.•• 71
10. Simaktit'ka definil jedllukosti algebr; sll(/o\·a. poklapanju
ekstenziteta scm:lnlicke i sintakticke jednakosti. Efektivni izvod
sintaktickc jednakosti seman ticki jedll'J.kih formula.
N.:kontradiktornost, potpunost i nezavisnost sistema k~ii 2'.
sintakticku jednakost ... : •....•••.•.•.•.. " .•.. .•..••
.•.•••.•.• 7S
11. Alg('bra slIJova I eleklril'ki sklopovi s prekidacima. Serijski
i paralelni spoj. Inter pretacija operacija, formula i funkcija
algebre sudova elektri~kim sklopovima s kidim. Ilustracija
semanti~ke jednakosti sklopovima koji jednako rade 81
GLAVA - ALGEBRE SUDOVA BOOLEOVE STRUKTURE
. ( k(/o pareijalllo IIrl'dl!lIi skup. il uredeni skup. S-mrelasta
struktura i1i S-mrcza. Primjeri
".................................................. 89
2. .'I-1rl'1a kao algebarska strllktura. Operacije kep i kap.
A-mrelasta struktura ili A-mrcla. Primjeri
..........••.....•.•...•...•.. : ..•.•.•.•.•...•.•.•. ;....
90
3. E!.1·ivalefllntl.fl S-mreza i A-mrefa. Konstrukcija A-mrclc nad
S-mrelom i obrnuto. Pridrulene S-mrele i A-mrele. Mrele. Primjcri
...........•.•.....•...•...• 91
4. Nl'ka (/alja svoj.m·a operacija , V i rel(/cije < 11 m",.
Idempotcnlnost. asoci- j;ttivnost, komutalivnosl. monolonija
.....•...•.......•.....•..••••••.•.•.• 92
S. Distri!mlivne ",. Dcfinicija i svojstva distribulivnih mrela.
Primjeri ....•....• 94
6. Kompf<>/IIefl/irane """!". Dcfinicija i svojstva
komplcmcntiranih mrela. Primjeri . . . . 9S
7. B""le(J\'" ulgrhe. Boolcove algcbrc kao komplementirane
distributivne mrele. Teorcm () jedinosli komplcmentiranja u
Booleovoj algcbri. Involutivnost kompJcmen tiranja u l algcbri. De
Morganovc relacije. 1)u;llneoolcovc ·;llgebre. Izmfi;m dualnih l
algcbra. Primjeri. Reprezentacije l algcbra ...... ,." .... ,
........ , .... ,................................... 97
Sadrfaj 11
Strana 8. lll dllillitetll 11 Booleovim algebrama. DU<1li izrazi
u l illgebruma.
Involutivnost duuliziranja i simetrija dualnosti. semantickom
dualitetu u Boolcovim algebrama ., .. , , .. , ....... , , , , , ,
, . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9. Sillfakticki dllalitet 11 strukturatlla (S; , V, -,). Dualni
izrazi. Metateorem v sin- tktik dualitctu. ................ "
...... " , ........... " . . . . . . 101
10. (&, V, -,)-afgebra slIdova kao Boo/eol'a algebra.
Restringirana algebra sudova kao l algebra. Skup formula algebre
sudova kao l lgI. Skup funkeija algebre sudova kao l algebra.
Sintakticka jednakosl algebri sudo~'a i l algcbri ...... ,.oo ••••
,.: ••.••• ,................. .•••• 103
11. Booleovi prstelli S jedil/irom. Definieija Booleovog prslena s
jedinieom. i1i. Neka svojstva zbroja i produkta u l prstenu s
jedinieom. D11i l prsteni s jedinieom. Izomorfizam dulih l prstena
s jedi- ... , ................................ , ....
,................... ..... 105
12. Veza izmedu Booleovih prstena jedinicalt/ i Booteovih algebra.
l algebra konstruirana nad danim l prstenom s jedinicom i obrnuto.
Pridruzo:,ne l algebre i l prsteni s jedinieom. (; izomorfizma kod
peidrufenih 1 struktura. (;uvanje dualnosti kod pridrufenih
Booleovih struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 108
13. (~, v • .l..)- i (, &, t)-/ !Sudova kao / prsteni s
jedi1licom. Skup l algebre sudova kao l prsten s jedinieom. Skup
{unk algebre sudova kao l prsten s jedinicom.. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14. Booleove 3-strukture i (&,V. ~, ~)-/ s/ldova·. Definicija /
3-struk tuee. Pridrufenost l al.gebre i Booleovog pestena s
jedinicom u l 3-strukturi. Odeedenost Booleovog prstena s
jedinicom njgvm multi lk. OdreJenost l algebre jednom od . Algebre
sudova Booleove 3-strukture.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . • . . . . . . . . 112
GLAYA IY - LOGIKA SUDOYA
1. Logika slldova vers/I!S algebra sudova. Formalizaeija dedukeije
unutar [. Simboli kao objekli leoe
...................................................... 117
2. Simbo/i logike !S/ldova. Slova (konslanle i ), operatori i z;.
gnde " .. . . .. . . 118
. RijeCi logike sudova. Rijeci kao ·s1cgovi simbola. Oznake za ·.
Oznake za oznake itd: I!,d~ktivna definicija . Jukstapozicija u
notiranju . Duljina . m ...............................
,................................ 119
4. Formllle logike slIdova. Induktivna definicija ( [l. Induktivna
defini ranga formule. Egzistencija formula odeedene duljine.
Shematski prikaz fo formule. Rekonstrukcija fo fol. Uloga zagrnda u
fo miranju slofenih izraza. Regularna razdioba zagrada. Leme
regularnoj raz diobi. Odlucivo~t probIema da Ii dana [ormula i
jedinost rekonstruk-' formiranja dane formule. Jedinost ranga dane
formule. . - nente formule. Zamjena kcmponenala u formuli........ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
S. Neki alternativn; sistemi za simOO/e i izgradnjll i /orn/llla
logike s/ldova. Poljski sistem notacije. Tezina rijeci u poljskom
sistemu. Leme vezi duljine i tezine formula u poljskom sistcmu.
Prednosli i nedoslaci ovog sistema naSem. Odlueivost problema da li
dana rijee (6l i jedinost rekonstrukcije formule u poJjskom
sistemu. . Sistem notacije s vanjskim zagradama ............... ,
................ " .... . . .. ........ .. .... .. .... 132
6. Skraceno ll /ormula. pokratama kao oznakama za formule. Izo-
stavljanje ne-neophodnih zlgrada. Hijerarhija operalora.
Alternativne konveneije. 142
7. Aksiomi /ogike s/ldova. Sistem () aksicma za logiku sudnva.
Aksiomi implika- ~, ~~njunk~ije, .disj~nke!je~ ~l, ncgaeije i
konstanata. Sheme aksiomn IdVdul akslOml. m
.......................................... 145
12 Sadrfaj
Strana 8. m; logike sudova. SimboliJca notacije supstitucije u
formula. Induktivne
definicije teorema ! shema teorema logike sudova. Sheme formula
koje su teo remi k sheme teorema. Metamatemati~ki simbol 1-. t
kriterija odluke da Ii dana formula teorem. Pr!mjeri izvoda
teorema. Shematsko predo~vaje izvoda teorema
•.•.........•••..•.......••••••••• " " .•••.••...•••.• , •• ••
147
9. Neki valniji teoremi imp/ikacije .....................
:........................... 152 10. Demons/racije teorema.
Demonstracije (dokazi) teorema kaokona~i izo -
mula. Komentar demonstracije. Prijeri demonstracija ..
.................... 155 11. Dedukcije formula. Dedukcija formule
iz danog (kona~og) skupa formula k niz
formula. Komentar dedukcije. t egzistenciji dedukcije d formule iz
danog skupa formula. Supstitucija u dedukciji. Primjeri deduiccija
••••••••.• 158
12. Neka svojs/va dedkcije. Dedukcija (konacnog) sk1lpa formula iz.
danog (kona~og) skupa formula. Tranzitivnost deducibilnosti .,
..•....•...... " .•. , ••.•.... .• 162
13. Te~rem. de~kcije. Induktivni dokaz teorema dedukcije iz samih
sheli1a kma lmpllkaclJe uz d ponens .•...•.•.
;.................................... 163
14. Pravila dedukcije. Direktna i Cna pravila dedukcije. Pravila
introdukcije i pravila li. Introdukcija i eliminacija imlik,
konjunkcije, disjunk- , ekvivalencije. Slaba i k introduk:cija i
eliminacija g.. ..•••. .•.• 166
15. Neki vallliji (m ~ogike slldova. Lista teorema i dedukcija
logike sudova, klasificirana eksplicitnim operatorima
•.•••..•.••.•• " •.•• " " • • •• •• • . . • 170
16. m /rans[ormacije logike sudova. Induktivni dokaz teorema
transformacije i simuItane transformacije. Korolari teorema
transformacije ....•••.••...•..•. 177
17. Dualitet logici sudova. (:uvanje ekvivalencije
koddualiziranja.................. 178 18. Teoremi /ogike slldova i
identicki istinite [mul l sudova. Teoremi logike
sudova, interpretirani kao formulc algebre sudova, k identicki
istinitc formule. ldtiki istinite formule, interpretirane k formule
logike sudova, kao teoremi ..................
·...••••••.•.••................••.•..••••.• 180
19. Neke altemativne aksioma/izacije /iJgike sudova.
Aksiomatizacije u~ modus ponens ili uz modus ponens i supstituciju
k pravi1a izvo<1enja. Hilbert-emaysov si stem za :::> &
V <~ .-logiku sudova bez konstanata. Ekvivalcntnost ! si stema
s nasim. Asserov sistem. za :::> & v.:::> .-logiku sudova
bez konstanata. Novikovljev sistem za :::. & V .-logiku sudova
bez konstanata. v si stem za =:- & V .-Iogiku sudova bez
konstanata. Rosserov sistem za :::. & .-10- giku sudova bez
konstanata. Frege-Lukasiewiczev sistem za :::> .-Iogiku sudova
bcz konstanata. Whitehead-Russellov sistem za -'.-logiku sudova bez
konsta nata. Waysbergov sistem za :::.-logiku sudova s konstantom
..L. Nicodov sistem za t -logiku sudova bez konstanata.... .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 181
GLAVA V - NEA ISPITIVANJA ASIOI LOGIE SUDOVA
1. Neka svojstva sistema aksioa l sudova uz mods ponens kao pravilo
izvo denja. lzvcdivost iz danog skupa ma. Svojstva izvedivosti:
atomamost, por~st, monotonij<l. Rcducibilnost izvedivosti
izvedivost iz konacnog skupa <lkSlOma
........................•••.•..•..••.•...........••••......•...•
191
2. Nekontradiktornost sistema aksioma logike sudova.
Nekontradiktomost (konsistentnost) u smislu cgzistcncijc modela;
u,_ klasiCnom smislu; 'u scmanti~om smislU; u sintuktickom smislu.
Uvjctovanost scmantifke kOlUistcncije klasi~om, sintak tikm i
konsistencijom u smislu modela. Uvjetovanost k1asifne konsistencije
sintaktickom; obrnuto uz shcmu aksioma :::> (. :::>
).................... 192
3. PlIfpllnost sistema uksionla l sudova. Potpunost u smislu
deduktivne karakteri Z<lcijc modcla; u klasifnom smislu; u
scmanti~kom smislU; u sintaktifkom smi- slu. U,jcto\'anost
scmanti~ke potpunosti klasienom i sintaktitom potpuno§Cu 194
4. Nc'kategoric'lIost s;.rtema aksioma /ogike slldova. Neizomorfni
modeli sistema ma logikc sudovu.. . . . . • . . . . . . • . . • . •
. • • . . . • • . . . . . • . • • • • • . • • . . . • • . . . . • .
• . . . • . • 19S
Sadrfaj
5. Nezavisnost medu !ormulama /ogike sudova. Nezavisnost
individuaJne fo.rmule od sistema aksioma smislu modela; u klasiCnom
smislu; u sintaktickom smislu. Nezavisnost shema forl. Nezavisnost
sistema aksioma danog shm k bez eksplicitnih varijabIa.
Uvjetovanost k1asicne neLavisnosti i zavis-
13
Straoa
sti u smislu modela sintaktickom...... .......... .......... ..
......• . .... .. 197 . Neke nezavisnosti l; sut!ova. Nezavisnost
odredenih shema formu1a od nekjh
podskupova sistema shema aksioma logike sudova .. . . . . . . . . .
. . . . . . . • . . . . . . . 198 7. Sintakl;cka nezavisnost
Hi/berl-Bernaysova sistema aksioma logike sudova. Nezavisnost
pojedinih aksioma od preostalih. Neizvedivost Pierceove tautologije
iz Hilbert-Bernaysova sistema aksioma iz kojeg uklonjena shema ...,
-, => . 200
8. Pseudomode/;. lstaknutost [l u strukturama cJ1l-"{, N; &, V,
=>, ~, ...,}. Pseudomodeli. Nezavisnost u smislu pseudomodela.
Uvjetovanost nezavisnosti u smislu pseudomodela sintaktickom
........................................ 205
9. Sinlaklicka nezavisnosl Asserova siSlema aksioma logike
sudova.... . . . . . . . . • . . . . . . . 206 10. Nadomjeslavanje
nekih shema aksioma shemama demonstracije. Zamjenjivost
aksioma"
disjunkcije ( => ) => « => ) ::;. ( V => ) pravilom
demonstracije "Ako su => , => teoremi, onda V => teorem".
Nczamjenjivost aksioma konjunkcije ( => ) => « => )
:::> ( :::> & ) pravilom demonstracije ,,Ako su :::> ,
:::> teoremi, onda :::> & teorem" i zamjenjivost istog
aksioma pravilom demonstracije ,,Ako su :::> ( => ), => (
=> ) teoremi, onda => ( :::> & ) teorem" u sistemu
odredenom Hilbert-Bernaysovim shemama aksioma implikacije. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 208
REGISTAR SIMBOLA
........................................................ 214
REGISTAR DEFINICIJA, TEOREMA, KOROLARA 1 LEMA............ ........
215 AECEDNI REGISTAR .......... ..................................
217
GLAVA]
UVOD
1. KRIZA SAVREMENE ATEMAIKE
Kroz historiju matematike mogu se pratiti vece rigoroznosti.
Formule za povrsinu cetverokuta starih Egipcana bile su samo
pribliil1e; nekom dokazu ili· izvodu takve formule dakako l
govora.
U doba starih Grka matematika - se prvi put - postala egzaktna
deduktivna nauka u smislu kako to danas shvacamo. Jedan od najvecih
spomenika toga vremena, Euklidovi Elementi, bili su kroz dva
tisucljeca uzor savrsenstva matematicke sinteze. .
U novovjeke takozvane vise matematike mnogo toga 8to priznala
strogim izvodom. Eulerovo tretiranje mnogih problema
infinitezimalnog racuna strogosti daleko od Arhimedove metode
ekshaustije, suptilnosti metode Eudoksova teorija daleko nad
visuje mnoga ostvarenja novog vijeka.
Kasnije radovima , Weierstrassa i drugih teorija realnih jeva i
matematicka analiza u glavnim konturama dobila oblik za koji se
tada uglavnom mislilo da definitivno zadovoljavajuCi i bilo malo ,
koji su sa Kroneckerom tome izraZavali sumnje.
U stoljecu u kojem zivimo dozivljavamo dosad daleko najozbiljnijll,
dublju, najtezu ali najvelicanstveniju krizu matematike. Zeljeli
bismo, da iz matematika "uskrsne" pomladena, kao 8to se to de8avalo
i kriza: Sjetimo se samo da otkrice nesumjerljiv di dovelo do
Eudoksove teorije omjera i da kritika i analiza Euklidova aksioma
paralelama dovela do neeuklidskih geometrija!
No prizati da sadanja kriza karakteru bitno razliCita od ranijih.
(Doduse, i svaka karakteru bitno razlicita od pret hodnih!) s~
postavljalo pitanje matematicke istine .kao takve niti bilo skepse
osnovnim logickim koji se primjenjuju u matematici, vec bl u
iznalazenju putova i metoda koji nas dovesti do te istine. Danas
medutim - i to iz jakih razloga - postoji jedinstvenost u l stavu
biti matematicke egzistencije i matematicke istine niti lgitisti
sredstava kojima se moze traziti.
Kad nakon mnogih kritika, pojava antinomija diskusija oko
matcmaticke beskonacnosti postalo 06to da se neke fundamentalne
koncepcije klasicne matematike revidirati, razvilo se 8 struja koje
su tu ziju pokusale provesti m razliCitim sredstvima.
2 Mat.rnati~ka logika
2. ANINOIJE ILI PARADOSI
2.1. Paradoksi i1i antinomije koje su se u matematici javi1e
prelazu iz devetnaestog u dvadeseto stoljece bile su - iako ne
jedini - svakako jedan od glavnih razloga, da se matematika i
matematicko misljenje u cjelini pod- vrgne kritici i reviziji.
.
Tek sto Cantorova teorija skupova l pobjedonosno rusiti bari jere
nezainteresiranosti i cak nepovjerenja prema novoj nauci, javili su
se rezultati, koji su stavili u pitanje nju samu preko nje i
dotadasnji nacin ttikg rasudivanja uopce. naravno nije l za
posljedicu neki defetizam matematicara. Doduse, mnogi su nacelno
priznavali dubinu i ostrinu krize. li od njih ipak za
"vlastitepotrebe" i dalje radila ,,1)0 starom". l cinjenica da svi
ti paradoksi nisu direktno zahvacali ncko od klasicnih razradenih
podrucja matematike veC samo izvjesne "peri Jerne"' ogranke
teorije skupova, ipak, ostao stalni signal da nesto nije u redu s
klasicnom materoatikom.
Razna duboko razlicita shvacanja 'Osnova i biti matematike dovela
su do razvoja velikih teorija, koje su, pored ostalog, l i zadatak
da likvi diraju antinomije.
Tako zvanim "intuicionistima" ( kojima uskoro govoriti nesto
opsirnije) doduse antinomije klasicne matematike ne cine briga, jer
njihovom shvacanju ionako neleg.itimna, unutar okvira matematike
koja intuicionistickim shvacanjima legitimna, uvjerenju
intuicionista neke antinomije se principij~lno ne mogu javiti. No
sigurnost oni su platili skupom cijenom odricanja citavih podrucja.
matemat~ke i znatnim kompli ciranjem preostalih.
Tako zvani "formalisti" ( kojima takoder uskoro govoriti opsir
nije) pak dosad nisu uspjeli da garantiraju ods\ltnost antinomija u
svojim teorijama, sVemu se cini, da tako nesto unutar njihova
sistema. princi l nije moguce - bar ne u onom smislu kako se to
htjelo postici i vjeroval0 da se postiCi.
U drugu ruku, matematicara i danas uvjerea da se uz potre ban
oprez antinomije u matemat;ckoj praksi mogu izbjeci.
2.2. Osvrnut c~o se nesto poblize jednu od najpoznatijih
antinomija: ,'Zusse/lov paradoks. Rasudivanja , razumije se, biti
nivou tzv. "klasicne" ili "naivne" teorije skupova.
Za svaki skup S mozemo postaviti alternativu: i1i S element od ,S',
l S llije element od S. Skupove prvt" vrste, dakle one koji sadrie
same __ kao element, zvat e-skupovima, one druge vrste, koji n
sadrze same sebe kao element, zvat . n-skupovima.
Npr. skup svih prirodnih brojeva 06to n-skup, jer se 6tav taj skup
poklapa ni sa. kojim posebnim prirodnim brojem, dakle ni sa kojim
svojim elementom. Prazni skup takoder n-skup. jer ne sadrzi nijedan
element, dakle ni samog sebe kao element (svaki skup, koji kao svoj
element - n kao svoj pod~kup! - sadrzi prazni skup, sadrzi time bar
jedan element, nije prazan).
2. Antinomije iIi paradoksi 19
U drugu ruku, dozvoIimo ] egzistenciju .,skupa svih skupova", (.
skupa koji kao elemente sadrzi sve skupove, bit tim lmtim i sam - i
skup - to e-skup.
Medutim, ako i ulazimo u pitanje egzistencije "skupa svih skupova",
dovoljno da dopustimo da za l koji dani skup S uvijek vrijedi jedna
i samo jedna od mogucnosti da to l e-skup, l n-skup (sto dakako
samo sebi !; iskljucuje mogucnost da . e-skupova ).
Defiriirajmo sada - ovo .kljucna tacka Russellove antinomije - skup
kao , koji kao elemente sadrzi sve n-skupove, dakle sve n skupove
S, koji n sadrze same sebe kao element. (Zbog navedenih n-skupova -
kojih egzistencija l u pitanju - skup sigurnd prazan, sto medutim
bitno za razmatranja koje slijede.)
Postavlja se pitanje, da l e-skup l n-skup? Ako e-skup, dakle
sadrzavao samog sebe kao element,
- definiciji od - jedan od n-skupova, tj. sadrzavao samog sebe kao
element. - Dovle !; niceg paradoksalnog, ovo mogli shvatili
indirektnim dokazom da u stvari n-skup.
Medutim sada dolazi poteskoca: Ako n-skup, tj. sadrzavao sebe samog
kao element,
- definiciji od - jedan od elemenata od , tj. sadrzavao sebe kao
element i tome e-skup.
Jzlazi dakle, da sadrzi sam sebe kao element onda i samo onda, ako
sadrzi sal11 sebe kao element! U ovome i jest paradoks RusseIJove
anti .
(Do na\ledene antinomije dosao engleski filozof i matematicar
Bertrand Russell 1902. iste godine pisao tome njemackom
matematicaru G. Fregeu, koji dovrsio svoje veliko djelo
Grundgesetze del' AI'itlJmetik, begrifjsschrijilicll a').~t"eitet -
Osnovi aritmetike. izvedeni simbolickim pismom - , l. I 93. \'01. ]
]903. U dodatku tome djeJu Frege priznaje da Russellovim
rezllllatOll', uzdrman jedan od temelja njegova djeJa. U poku saju
da ukloni teskol·C'. }-'rege uspio. 1903. RusseJJ svoj rezultat i .
U isto \' ova antinomija i u Gttigu; su raspravljali . Zermelo i
njegovi , ; nisu .)
2.3. Razmotrimo sada neke od putova kojima se - bez uspjeha -
pokusalo u klasii'nim okvirima rastumaCiti Russellov
paradoks.
Da bismo l razumjeli prvi od , opisimo nai7gled srodni "paradoks
".
U nekom selu , koji " sve n ( .flI/ olle) stano vnike sela, koji
se nisu li sami. Da 11 sebe?
Ako bi se , jedL.1 "d stanovnika .. C'jl koji se sami, se smio
brijati. Ako St: pak ., jedan od stanovnika sela koji se sami, se m
brijati.
U prvi se da - u . logickoj strukturi opisane siluacije - ovdje
pred soh(lm ()kalnj)~ti l sr(}dll'~ ~ tI Rt!s<;~! l
paradoksu.
20 Uvod
Medutim "paradoks" brijaca lako zadovoljavajuci likvidirati: treba
samo uoCiti, da iz zakljucivanja oko njega izlazi, da moglo posto
jati selo, u kojem brijac djelovao opisani . Radi se dakle tome,
korektna formulacija problema l ta, da se pita da li mogl0
stojati seIo s brija~em koji radi navedeni - rjesenje , da nije
moglo postojati. Na taj naCin "paradoks" brijaca neocekivaniji niti
cudniji . moze postojati selo, u kojem brijac koji l nikad radi
koji l kojiput radi.
Ako analognu argumentaciju primijenimo' Russellov paradoks, dobit
da iz njega jedino proiz)-azi da n egzi.ftira (tamo definirani)
skup svih skupova S, koji sa.dr!e same sebe kao, element. smo
doduse uklonili apsurdni zakljucak da sadrzi sebe kao element samo
onda ako n sadrzi sebe kao element - li smo umjesto toga d'oSIi u
situaciju da moramo negirati egzistenciju' skupa , koji , klasicno
rasudujuci, razumno definiran. onda mnogo apsurd od ranijeg i
razja snjava antinomiju zadovolja.vajuci , ( cemu jos biti govora
kasnije).
2.4. Jedan drugi put za' pokusaj bijega pred paradoksom \': ! se
prigovoriti. dp. se u Russellovu paradoksu govori skupovima u
presiro kom i nedovoljno odredenom smislu, tako da inacenje tog u
do voljnoj mjeri matematicki precizirano.
Sto . znaci .,skup svih n-skupova"? Kakvi sve skupovi dolaze u
obzir? Da l samo kojima su elementi malemalicki objekti iIi takoder
, kojima su elementi ziva , iIi kakvi god apstraktni itd?
Medutim. ubrzo se uvida da prigovor vodi izlazu iz sokaka. Naime.
ako (neprazne) skupove ograniCimo , takve koji sadrze samo ..
dopusiive" elemente, pri cemu definiramo da su .. dopustivi"
elementi l
1 pri rodni ,
l 20 skupovi s dopustivim elementima
(. Gentzen 1936.), onda gornji prigovor nedefiniranosti od skupova
s kojima radirno otpada. No l ranijeg rasudivanja uz ovdje dana
ogranicenja "skupa" lako se vidi da sam paradoks ostaje
snazi.
D". podrucje skupova, koje dopu5tamo. moguce jos v.ise ograni citi
time, da se kao dopustivi l! pod 1 samoprazan skup (uz 2' kao
ranije).
Analizirajmo nesto detaljnije 5to susada legitimni skupovi -
pitanje, koje i samo sehi od interesa.
skup. 10 skup {}. tj. skup kojem prazni skup jedin elcmcnt. Dalje
odatle uz 2" {{}}. uz 1" i 20 {, {}} skup. Odatle su dalje. opct uz
I~ i 2", skupovi takoder i {{{}}}; {{. {}}}; {. {{}}}; {, {, {}}};
{{}. {{}}}; {{}. {, {}}}; {{{}}. {, {}}}; {. {0}. {{}}}; {. {}. {,
{}}}; {, {{}}, {. {}}}; {{}. {{}}, {, {}}}; {, {}. {{}}, {, {}}};
itd. Nadaljc. kako su nallin npr. {}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, ...•
{{{ '" {} ... }}} .... !ikupovi,. { · 2~ postoji i beskonacni skup
koji sve Hpravo naznaccne ,sadrzi kao elcmente, itd. itd.
3. Potencijalna i aktualna beskJnacnost 21
(Spomenimo, potpunosti radi, i : Smatramo l, da prazni skup "auto
matski" zadovoljava uvjet, da sadrzi samo dopustive elemente - jer
sigurno sadrzi l1ijedan nedopuslivi - mozemo danoj definiciji
podrucja legi- timnih skupova izostaviti 10.) ,
Iz zapocete konstrukcije legitimnih skupova izm zakljuciti : U
jednu ruku dobiveno podrucje skupova znatno uze 'Od podrucja
"kakvih g'Od" skupova, cak i od podrucja ranije definiranih
"tmtikih" skupova (gdje su pod 1 d'OPustivi elementi l prirodni
br'Ojevi). Npr. {]} sada skup (iako, dakako. raspqlazem'O cak sa
beskonacno mnog'O skupo;va k'Oji sadrze tacno element, npr. {0},
0}}, {{{}}}, {{{{}}}} , ... ). Ipak, lako pr'Ovjeriti i za ovako
ogranicen'O podrucje skuP'Ova Russell'Ov parad'Oks tvrdoglav'O
ostaje snazi.
2.5. Vratim'O se prigovor analogan ranijem, da i za ovako
'Ograniceno P'Odrucje skllpova jedn'Ostavn'O n egzistira "skup svih
n-skU'Ov".
Zast'O P'Ost'Oji takav skup? Ak'O mu negiram'O egzistenciju samo
zal0 i nakon toga, 5t'O pretpostavka vodi d'Ok'Ontradikcije, kakav
imati kriterij za egzistenciju matematickih 'Objekata? Nikada
znati, l definicija nek'Og takv'Og 'Objekta tko zna gdje i kada
dovesti pr'Otivrjecja.
Likvidacija R.usselIova parad'Oksa negiranjem egzistencije skupa
svih n-skupova dakle 'reZalivna mjera, k'Ojom, zatvarajuci jedna
vrata antin'Omi , ' nism'O sigurni, ' ' neka druga.
Sve u-svemu, se· da danas ''' razloga smatrati se RusseIlov i drugi
paradoksi u okvirima klasicne logike i matematike mogu
zadovoljavajuCi protumaCiti i time kao antinomije ukloniti.
. POTENCIJALNA 1 AKTUALNA BESKONACNOST
.I. Nakon pokusa sa iivom postalo jasno priroda dodU5e "horr'Or "
(strah pred prazninom) l ' osta1o uvjerenje da "h'Orror infiniti"
(strah pred beskonaCn'05cu).
Zaista, prema danasnjem nasem znanju nigdje prirodi nailazimo neku
fakti(~ku, oSlvarenu, akfualnu skst. Ako . gov'Orimo "sk'm"
molekula, at'Oma, elektrona - l kojih drugih l cestica k'Ojim su
nas zasuli moderni. fizicari - postupam'O sli kao pripad· ii jednog
l, koji se, ako zeJe izraziti neki 6 od 6 .. 11vataju za kosu
nastojeCi time pokazati kako u pitanju iziv velik.
Cak i kozmickim razmjerima tesko pihvatiti ideju beskonacnom (
smislu beskonac'no velikom) svemiru i zasad se prirodnijom
petpostavka doduse bez granico. l konac'an -- kao 510 10 ... l
kuglina 'vsi za neka dv'Odimenzi'Onalna ss za i ki kacijLI s
preostalim tr'Odimenzionalnim prostorom izvan i utlt te vSi.
.2. Matemalicaru naprotiv skst "kruh svgdi". . Weylu matematika i
jest nauko beskonm'nol1l.
Historijski bilo pocetak matematike. kad sm'O se odlucili prelaz od
11 11 + 1, 5to nas u tom poccsu zausla viti? Ako u citav'Oj
prirodi, u Citavom svemiru, N "ltih cestica"
22 Uvod·
koje se· " mogu dalje dijeliti", zar to razlog da N + 1 vise bude
"prirodan" prirodni '1
Naro~ito intuicionisti inzistiraju to:ne, da se matem~tika sastoji
od misaonih konstrukcija - , ii se, nemogu:e propisati da se
zaustaviti kod nekog odredenog .
Ipak, l dobro uociti, da ovakva beskonaenost kakva se javlja kod
neograni:ene kO!lstrukcije sve veeih i pl'irodnih bitn) drugaeijeg
karaktera od , koju mislimo, kad gv"i') skupu svih ·i.dih ,
smatraju~i gotov;, svrsenim, {a~(o \·': pred \·aza .. t:·tim tttm.
U :- slucaju radi se p:Jtencijallloj, u d ·ug)m uktua!lIoj
beskonaenosti.
U p:>tencijalnu beskonaenost, u ~ navedenom smislu, mozda
posumnjati sam') vrlo radikala'1 .. ultraintuicionistieki"
matematiear. Sto se tiee aktualne sk:>sti stvari stoje
drugacije.
Nemaju svi matematical'i jednake poglede to, u kojoj se , s kakvim
opravdanj:m i da Ii se s aktualnom beskona;nosti moze i smije
postupati sluzeei se klasicnom· logikom i matematikom. Ari ..
totelova logika , . Wu intuicionisti, nastala ~pstrakcijom od
rasudivanja kOlla(~ni skupovima, i opravdanja da scnjena pravi\a
lIpot:'cb jav:lju izvt~:1. toga podru;ja.
3.3. Jednostavan da si uoCimo razliku izmedu potencijalne i
aktualne beskonacnosti.
Uzmimo da smo neko svojstvo S prirodnih dokazali tzv, mateutifke
i"dukcije, t;. da smo dokazali da 1 j 1 svojstvo S i 2- da, ako
svajstvo S, i iduei + 1 t ... koder . svojstvo S.
Gledajuci prirodne kao potenc(jalllo sk skup, mozemo odatlc
direktno zakljuciti da bilo koji otlah/'u"i k svojstvo S, do toga -
l fakticki, l u principu -' dolazimo ponavljanjem k-l pUla
zakljucka 20. Drugim jj~cja, kako postupno kOAstruiramo prirodne ,
tako - paralelno - zak:jucujemo, da sl'aki tako dostignuti brt'j
!>vojstvo S.
priznati i intuicionisti, ukoliko su, dakako, tvrdnje 1 i 20 doka
zane za prihvatljiv i.
Medutim, Ilije ;,rto ako kafemo da iz dokazanog izlazi da sti;
prirodni ( samo bilo koji {l; pirodni ) svojstvo S i ako pod ti ..
svi" zclimo azumjcti sama sil10nim za .. bilo koji", pomocu .. svi"
zlil za svc prirodnc "odjcdl1om" izrcci da imaju svojstvo S. Direk-
1110 dakako tv .... dnju 11 mozemo dokazati, ..: z fckliv
p/'m:j('/'it; za .' prirodnc l\'l' zakljucka 2', Uz klasicllO
l'a5U l1 Zll1 tvrdl1)U sada opravdati samo illl!ireklll;m dokazom,
i1\.: ovako:
Uzmimo da "! tako da svi p~il'odni iu svojstvo S, Tada rSl ncki
odrcdCl1i idi k koji svoj'itvo S, (Nijc bit\10 da pO~lOjao. i
/iajm!l/lji takav . l, treba m ll(Jl>m l/I'('ll('/~i(' skupa
pllI(\dnih'brojcva!) No lklu;iV:Lll~ kao anjj~ "izlazi da k
svojslVO S. O()."Y~110 6tiv hll prctp:>slavku da lI tako svi
pl'irodlli
3. Potencijalna i aktualna sk.st 23
svojstvo S, to trebalo dokazati. - Ovdje smo, dakako, rasudi vali
klasi('no~ za intuicioniste aktualno beskonacni skup idih
matematicki objekt koji se smije primjenjivati zakljucke poput
ovdje ucinjenog: m, ako n tako da svi prirodni mu svojstvo S, to
jos n znaCi da mozemo efektivno naCi neki1:>roj koji to svojstvo
i stoga intuicionisticki jos opravdano tvrdifi da tada takav
postoji (usp. 4.).
.4. Promotrimo jos jedan . Uzmimo da' razmatrarno bl postoji l neki
prirodni ro nekog danog svojstva - . postoji prirodni sa svojstvom
da od 2 i da postoje prirodni , , = takvi da n + = Zn. "
Ako - za njega zadovoljavajuCi - efektivno odreden k sa svojstvom ,
i kJasicni maternatiear i intuicionist priznat problem rijesenirn i
dokazanirn stavak, da postoji prirodni broj· sa svojst,vorn .
pretpostavka da postoji prirodni sa svojstvom - za njega
legitirnnim putern - vodi do protivrjecja, i kJasicni i
intuicionisticki rnatema l priznat bl rijesenim i dokazanirn
stavak da n postoji prirodni svojstvorn . (Jedino za uItritlciist
Grissovih shvacanja ovakav ~lcaj dolazi u obzir.)
Sada doJazimo do zilivig slucaja.
" ·Ako pretpostavka da n : prirodni svojstvorn - za njega dopusten
- vodi do protivrjecja, klasicni rnaternaticar bez d:lljnjega
zakljllciti da tada postoji sa svojstvorn . Intuicionist rnedutim,
ako pretpostavke da postoji prirodni sa svojstvom l takvog
karaktera, da jos - niti u - n omogucuje nala=enje sa svojstvom ,
odatIe zakljuCio da sa svojstvorn postoji, za njega "postojati"
znaCi isl0 510 i "biti kOfi!>truiran".
Kad prirodnih l samo konacno mnogo, rnoglo se kusati
verificiranjern konstatirati 1 svojstvo , l ga 2, 3 itd. Takvu
konstrukciju priznao i intuicionist, ukoliko , dakako. za pojedini
broj provedeno priznaje.
No za aktuaJno be~Konacnj . .s) prirodnih mozemo kU5anjem
provjeriti l rnedu trazen!" . potencijalno beskonacan SkllP rnozemo
prirodne ispitivati sadrzavanje trazenog svojstva. l l odgovor
postojanju trazenog cak i u" klasicnom' blnislu l] definitivan
jedino ako ga naderno; ako ga , to putem nikad saznati.
Tako dugo dok rasudujemo samo potel1cijalnoj beskonacnosti l1 se da
opa-;nosti da dosli do antinomija kojima l goyora: uvijek )( ukluvl
ktulr beskonacnost.
U drugu ruku, uprilvo " ll beskonacnosti i rim "iljU klasicnog
matematickog zakljucivanja doveli do Ilajbogatiji)) matematickih
teorija, narocito otkako izgradena teorija skupova. HiJbertovim
nitkD treba da nas protil'":J 7 raja kojeg stvorio 1110.
Aktualllll
24 'Uvod
beskonacno!\t bitno upotrebljavaju m.noge na i najelegantnijih
rnate rnatickih rnetoda. Zermelov akf>iom izbora samo je9an
primjer.
Aktualna beskonaenost bila za rnaternatiku plOO "drveta spoznaje".
Okusivsi od njega, postala "bolanskom" naukom, ali zato protjerana
iz "raja" u kojem nije bilo sumnji.
Smije 1i se u rnateniatici zadrZati aktualna beskonaenost7 Irna li
uopce' neko znacenje7 Mozemo li ocekivati da baratajuci s takvim
barutom n~ce uvijek dolaziti do eksplozija novih paradoksa?
vrijednost' teorerna dobivenih upotrebom aktualne
beskonaenosti7
Na ova pitanja maternaticari razlicitih shvacanja nece dati iste
odgovore. Drugacije odgovoriti klasicni maternatiear, drugacije
logicist, drugacije formalist i drugacije intuicionist. Poneki od
priznat da i drugi imaju "u izvjesnom srnislu"donekle pravo i
poku~at njihove postupke "reinterpre tirati" vlastitom jeziku.
svaki ostati vise ili manje uvjeren da u krajnjoj liniji taj koji
imao pravo.
No cinjenica da su ispitivanja svih tih smjerova osnovama materna
tike izvanredno obogatila nauku. Stvorene su nove teorije, nove
metode, nove grane matematike. Dobiven niz izvanredno dubokih
rezultata od trajne vrijednosti.
Uvod u Bourbakijevo 'djelo osnovama matematike i teoriji skupova
zavrSava rijeeima:
" ... vjerujemo da rnatematici odredetro da prezivi i da nikad ne
dozivjeti da se ~ dijelovi ove veHeanstvene zgrade sr zbog neke
kontradikcije koja , se najednom javila; ali tvrdimo da misljenje
necem drugom do li iskus~vu. l0, reCi neki. eto, dvadesetipet
stoljeca matematicari imaju da ispravljaju svoje pogrjeske i nalaze
time svoju nauku obogacenom ne osiromasenom; ovo im daje pravo da u
buducnost gledaju s vedrinom."
4. INTUICIONIZA
4.1. Prema takozvanim logicistickim shvaeanjima matematika se
osniva logici; sa tog stajalista gledano matematika , u krajnjoj
liniji, grana logike. Ovu koncepciju zastupao narocito Frege i
zatim Russell. Monumen talno djel0 "Principia Mathernatica"
Russella i Whiteheada imalo za zadatak da toj osnovi konsolidira
"napuklu" zgradu matematike. Medutim, jedna od kljucnih tacaka ove
teorije, tzv. aksiom reducibiliteta, nije s uspjehom izdrzao
kt"itike. (U ovoj knjizi logicizmu necemo govoriti
detaljnije.)
4.2. Nasuprot logicistima, intuicionistima nije matematika grana
logike, - obrnuto - za njih logika grana. matematike, nikako n njen
osnov. Za intuicioniste su osnovne, primarne, matematicke
konstrukcije, , logicke zakonitosti su sekundarne, one su izvedene
apstrakcije odnosa koje nailazirno u matematici. Naprimjer,kad m6
"k povlaei , povlaCi , onda povlaCi " onda to - intuicionisticki -
treba interpre tirati ovako: "Ako posjedujem metodu kojom osnovu
konstrukcije od mogu, sagraditi konstrukciju od , i metodukojom
osnovu konstrukcije
4. Intuicionizam 25
mogu sagraditi konstrukciju od , onda time posjedujem i metodu
kojom osnovu konstrukcije mogu sagraditi konstrukciju . ". Radi se
dakle izreci matematickog karaktera, iako velike opCenitosti. dakle
konstatacija nekim okolnostima koje vladaju koo matematickog
izvodenja neki primarni i apsolutni logicki princip koji "opCenito
vrijedi" se stoga moze primjenjivati i kod matematickog
izvodenja.
4.3. Sami z "intuicionizam" i "intuicionisticki" prouzroeili su
mnoge nesporazume. istorijski su potekli OOatle, 5tO su neki
intuicionisti inzistirali nekoj . "praintuiciji" prirodnog broja.
Ovo se kad5to - narocito medu nematematicarima - tumacilo tako da
se intuicionizam smatrao neke vrste "matematickom metafizikom".
Medutim, u stvari tome moze biti govora. Uz precizniju formulaciju
lz postavki i koncepcija intuicionizrna (to m:u nesretno ime, se,
ostati) lako se mofemo osvjedociti da sadrfi niceg 5tO opravdavalo
da ga se klasificira kao metafiziku.
za intuicionist~ egziste'ncija nekog matematickog objekta
ekvivalentna s zvm metode kojom se taj objekt moze konstruirati.
Matematicko rasudivanje sastoji se u misaonim konstrukcijama, tj. u
kstruiru matema tickih objekata u nasem duhu, u mislima. Medutirn,
n tvrdi se da neki primarni objekti nad kojima se te konstrukcije
vrse l preegzistirati u 5 dhu prije svakog opafanja i m5l.
Naprotiv, mogu i rezultat apstrakcije nad rezultatima opazanja
objekata 'vanjskog, materljalnog svijeta oko nas. Pri percepciji
nekog objekta stvaramo m OOredene jedinke proce som apstrahiranja
sekundarnih, tn karakteristika tog konkretnog objekta. U tome 5tO
prihvacamo mogucnost neogranicenog ponavljanja ovog dogadaja lefi -
intuicionisticki - izvor prirodnog broja. Dalje ispitivanje pri
rodnih brojeva onda posve odredeno, tj. svOOi se izvodenje
posljedica iz nekog u izvjesnoj mjeri proizvoljnog sistema aksioma
(npr. ) se sastoji u ispitivanju prirodnih brojeva, onakvih kakvi
su dani gornjom deskripcijom.
Jnzistiranje konstruktibilnosti u matematickim rasudivanjima m za
posljedicu da '!ntuicionisti priznaju legitimnim neke postupke
uobicajene u klasicnoj matematici. od idirktg dokaza ostaje
sacuvano da se mogu obarati pretpostavke time da se iz same
pretpostavke (intuicionisticki prihvatljivo) izvede neki apsurd
(npr. jednakost 0=1). Medutim, indirektni dokaz u m slucaju n moze
garantirati. valjanost neke pretpostavke OOatle 5tO suprotna
pretpostavka (makar i intuicionisticki prihvatljivo) vodi do
apsurda. Ovakva okolnost jedino pokazuje da "apsurdnost od
apsurdna" (tj. vodi kontradikciju), l to jos intuicionisticki
opravdava tvrdnju da sama pretpostavk:l stoji. Iz istih razloga u m
slucaju lgiti zakljucivanje principu (1'lm datur (treceg ); tj.
principu koji izraiava tvrdnju da svaka tvrdnja / stoji iIi stoji (
neke daljnje trece mogucnosti).
Opeenito uzev5i, matcmaticara intuiciol1isticke koncepcijc su
oporc; svakako, rcblivno l broj koji ih prihvac:lju i l i u "sva
kodnevnom" matematickom radu. Jpak sve konccpcije trcba definitivno
i kategoricki odbaciti samo zato sto nisu u skJadu s uobicajenim.
tdiil i dominantllim shvacanjima. Sjetimo se sal110 kakva bila
situacija kad
26 od
su stvarane neeukJidske geometrije! Sain Gauss se ustru~vao da tome
objavljuje rezultate, se "vike Beoeana".
se da glavna· tefina argumenata protiv intuicionizma u ~ pijelnim
zamjerkama, nego'u rezultatinv do kojih konsekventni intuicionizam
vodi. Citava podrucja matematike intuicionisti moraju odbaciti kao
bezsadr zajna ih posve iznova izgradivati s rezultatom koji cesto
l naJikuje 5to trebalo rekonstruirati. Neki fundamentalni teoremi
analize yj~e vrijede. { l u osnovi. se razlikuje od klasicne.
Od printipije/nih te5koca pridolazi da sami intuicionisti medusobno
nisu uvijek potpuno saglasni u pogledu 5to u matema tici legitimno
5to .
Medutim, innogi rezultati intuicionistitke matematike sami su PQ
sebi od intcresa i trajne vrijednosti. Pored toga intuicionisticka
kritib bila sigurno jedan od odlucujucih motiva koji su doveli do
izgradnje nekih velikih novih matematickih {, koje dodu5e same nisu
konstruktivne teorije, su (klasicnc) teorije konstruktibl/nom (.
rekurzivne nk).
( li izmedu konstruktivnih teorija i teorija konstruktibilnom
citirajmo . Heytinga:
,.U nekoj { konstruktibilnom definira se odredena klasa matema
tickih objekata kao klasa konstruktibi1nih objekata. Ovdje bitno
troje: 1 pretpostavlja se jedna matematicka teorija u kojoj se
klasa konstruktibilnih objekata moze definirati; 20
konstruktibiliteta dii PQjam, ; 30 postoji izvjesna sloboda u
izboru definicije konstruk tibilnog. uz jedinu pretpostavku da u
dovoJjnoj odgovara na5 intui tivnom pojmu matematicke konstrukcije
...
. . . Pod konstruktivriom { razumijevam tcoriju u kojoj smatramo
dil I1cki objckt postoji jedino nakon toga 5to kons1ruiran. Drugim
, u jcdnoj konslruktivnoj teoriji mogu se spominjati drugi objekti
osim konstruktibilnih ...
. . . Iz da se samo za konstruktibilne objekte smatra da postoje.
izlazi da 011; neku podklasu klase svih matematickih objekata. U
konstruktivnoj teoriji moze biti referencije neki matematicki
sistem koji prcthodio; , svojoj prirodi, biti samostalna.")
5. FORMALIZAM
David Hilbcrt i njegovi sljedbenici formaIistitkog smjera pristaju
da zbog ;Jltuicionisticke kritike zrtvuju bogatu bastinu klasicne
matematike.
Odreci matcmaticaru mogucnost iskljucenog (! Hilbertu ;5tO. kuo
'zabraniti boksacu da se sluzi pesnicama.
osigurali rezultate klasic:!ne matem~tike. form:tlisti su·
odijelili /nlllll mulcmaliku koju ispituju i izgraduju od
soclr;:(ljne .. mctamatcm:\tikc" /lIl(:U koje sc ta ispilivanja i
izgradnja prvc vrSi. Konsekvcntno (. ova konccpcija vodi do 10ga
da se samo ohjekti formull1c tcorijc i rclacijc mcdu vec i sama
dedukc(ia unutar / ( principu) Ii!ivu s:ldrzaja. · manipulacija sa
znakovima }'nstajc nekc vrstc .. igra" s tacno
6. Zakljuc 27
propisanim , poput npr. Saha. (Dakako, 1 nisu odabrana proizvoljno,
s tendencijom da formalna teorija "obuhvati" neku klasicnu).
zada~ak metamatematike da ! nekon/radiktornost fol teorije, tj. da
nas uvjeri da se unutar formalizirane teorije mogu deduk.cije dvaju
teorema i ---, (koji , sadrzajno interpretirani, izrazavali
suprotne tvrdnje).
U takvom svom programu fomzm ! da nije definitivno'uspio, nego cak
- do . neke - definitivno osuden da n m; uspjeti. Pokazalo se, da
uz odredeno preciziranje metamatematickih postupaka (specijalno uz
inzistiranje striktnoj finitnosti, tj. izbjegavanju nefinitnih
postupaka l koje vrste: egzistencijalnih, ne-konstruktivnih i
indirektnih dokaza, aktualne ;kti, tran:;finitne indukcije i tome
slicnog) unutar odredene l siroke kla'\e f..>rmalnih teorija (.
svake sa svojstvom da se u moze izgraditi elementarna aritm-::tika)
nm dokazati nekontradiktornost. Nadalje, u takvim teorijama -
ukoliko nek6n tradiktorne - uvijek postoje formalizirane tvrdnje
koje su neodluCive. tj. izrazi koji su dopusteni formirani u
teoriji takvi, da sigurno n izraz n izraz -, n moze biti deduciran
unutar teorije.
rezultati . GOdela nesumnjivo su vrlo duboki i dalekosezni. U neku
ruku su "negativni" u smislu da dolaze do izrazaja izvjesne ln<:
poteskoce i ograde koje su vezane uz v formalisticke koncepcije.
(Spomenimo ipak da uz odredeno oslabljenje zahtjeva finitnosti
metamatematike moze doci do okolnosti; G. Gentzen npr. dokazao
nekontradiktornost elementarne teorije upotrebom transfinitne
indukcije do odredenog " tako velikog" beskonacnog ordinalnog
broja. Ii to odstupanje od striktnog Hilbertova programa.)
Bez obzira sve , zahvaljujuci radovima ilberta i drugih forma
lista razvio se niz. metoda i skupljeno l vanredno interesantnih,
daleko~eznih i rezultata koji sigurno takoder o<;tati ( svojina
matem'1tike (medu njima npr. spomenuti GOdelovi rezultati).
1 ovdje treba spomenuti da su i nazivi "formalizam" i
"formalisticki" odabrani dosta nesretno. Njima prvenstveno treba
"zahvaliti" da dosta matematicara jos vise filozofa odbacilo
diskusiju njihovim kon smatrajuCi ih fotmalistickim u tivm smislu,
kao da forma li5ti matematici inzistiranjem m zele nadomjestiti
sadrzaj. 5igurno nije tacno; treba samo uociti da su formalisti l
ti koji su trazili skrupuloznu finitnost sadriajnoj metamatematici;
skrupuloznu k jos mjeri nego l intuicionisti traie za svoju
matematiku ..
6. ZALJUCAK
Uz formalisticke koncepcije prakticki citava kla5icna mate matika
- dfiitiv sigurn05ti od kontradikcija !; m. Za intuicioniste
sloboda od kontradikcije njihove matematike vidt, 05talo sacuvano
relativno l klasicne matematike.
Postoji niz daljnjih vise iJi 5rodnih i od radikalno razlicitih ki
matematikt:, matematicke egzistencije i matematicke
28 Uvod
istine. Vjerojatno oS l0 preuranjeno svima njima dati knt sud sve
su one - ~eb u veCoj, neka u manjoj mjeri - obogatile
matematiku.
Na jednom predavanju Hi1bert rekao: "Wir miissen wissen. Wir werden
wissen." (rm znati. Znat .) uvjerenje .znaeenju matematike i
entuzijasticko pouzdanje u njenu nije nigdje bilo izreeeno tako
snaZno u ove dvije krajnje sdete reeenice. S druge strane duboka
vjera u sigurnost matematickih metoda ali i ogromne teskoCe koje
nailazimo u pokusajima njihova definitivnog fundiranja tesko da su
igdje izrafene duho vitije nego 1i u izreci . Wei1a: "God exists
since mathematics is consistent, and the devi1 ~ since we cannot
prove it." (g postoji matematika neprotivrjeen.a, davo postoji jer
to ne mofemo dokazati.)
Potencijalnu "detronizaciju" matematike sa pijedestala nepogrjeSive
kraljice nauka n treba primiti degradacij njene vrijednosti. Ako
smo uvidjeli da n djelo bogo'Va nego djelo Iji, ti sada samo oS
viSe prava da se n ponosimo, vise dumosti i .poticaja da dalje
izgradujemo i vise mogucnosti da se radujemo i ivm u njenoj
ljepoti.
GLAVAII
1. PREDMET ALGERE SUDOVA
1.1. Uvod ; program. izgradnje algebre sudova bit kon strukcija
jedne matematicke teorije koja treba da obuhvati izvjestan (l0
elementaran) dio ]ogike.
teorija, kao ~to vidjeti, !! biti u potpunosti formalizirana
deduktivna teorija, u forma1izirati samo objekte { i relacije medu
·li i samu deduktiv1lu strukturu {:
Naime, kada budemo uveIi za "racunanje" s algebarskim sim-· koji
reprezentiratj sudove vise biti potrebno ( dopusteno) da se
pozivamo intendirani smisao, samo svojstva koja smo an eksplicitno
iIi implicitno karakterjzirali aksiomima - slicno kao 8tO 'su npr.
u Hilbertovim Osnovama geometrije tacka i pravac samo !! elementi
nekih "sistema objekata" koji se podvr gavaju odredenim
zahtjeviina, Euklidovo " 8tO dijelova" odnosno ."duzina bez sirine"
koja " sve tacke podjednako Iezi". AIi zakljuCivanje i rasudivanje
u vezi s izvodenjem daljnjih l medu objektima teorjjc iz ishodnih
ovdje jos biti striktno eksplicitno fo malizirano, se vrsiti u
okvirima uobicajenog "klasicnog" logickog izvodenja, onako kao 8tO
se od u velikoj matematickih teorija.
Formalizirana Jogicka dedukcija bit uvedena u l knjige. Tek tamo
citalac kojem knjiga prvi susret s metodama matematicke logike l
osjetiti i ocijeniti fundamentaJnu i duboku razliku medu
koricepcijama osnovu kojih su izgradene 11 ' l . Ovdje dane treba
dakJe shvatiti kao samo privremenu, grubu i nepotpunu dikaciju
neceg 8tO prirodi stvari moze biti do kraja jasno odredcno tek kad
se ocituje u provedbi konkretnom materijalu.
U izgradnji algebre sudova dakle za tim da stvorimo neku
matematicku teoriju odredenog od na8eg misljenja. Kod toga se
sukobiii s jednim koji se uvijek onda kad zeIimo preciznim
matematickim definicijama obuhvatiti i tacno razgraniCiti koji u "
govoru" samo nejasne konturc kojima pridjeljujemo izvjesni smisao
koji daleko od toga da neposredno dopustao rigoroznu matematicku
obradu. Razumije se da takav pothvat \1
stanovitom smislu nikad apsoJutno i idcalno ostvariv, upravo timc
510 za neprecizni supstituiramo jedan drugi prccizni, vrsimo
odredcl1i zahvat. odredenu izmjenu okoll1osti, i treba da nas
zacudi ako dovcdc posljedica koje se kojiput u 1 paradoksaJnim
\lkoliko J1csvi-
32 Algebra sudova
jesno interpretiramo tako da ih "naivno" imputiramo ishodnim
intuitivnim ( = atematicki jo~ nepreciziranim, nego shva.eenim u
smislu "obicnog govora") objektia. Sjetimo se npr. Weierstrassove
krivulje koja u svakoj taCki neprekinuta nigdje div:iu:
egzistenciji takvog objekta ne treba se previSe' cuditi ako samo
umu da neprekinutosti onako 5to ga precizno uvodimo u osnovama vise
analize nije "ono isto" 8to bismo kao mateaticki ne~kolovani ljudi
mogli razumijevati takvim nazivom.
se dakle sprijateljiti s time da "sud" u algebri sudova neee biti
"ono i5to" 5to i u obicnom govoru. doduse neizbjefno izgu biti
neke aspekte dijela "realnosti" kojem ! izgraditi matematicku
tcoriju, za naknadu dobiti u ruke materijal koji dopu~tati egzaktnu
atematicku obradu. Cini se da ovanv postupak neizbje!an ne samo u
matematici nego i u prirodnim naukaa, u najmanju ruku ako "naukom"
shvatimo ono 5to se pod tim imenom razvijalo pocevsi od stare
Grcke. Ovdje ne bilo mjestu ulaziti u problematiku oko toga li 8
nacelno prihva tjti koncepcije nekom bitno drugacijem prildenju
pitanju spoznavanja prjrode oko nas.
1.2. Deskr;ptivna, ;nluitivna definicija suda. Pod 8 u d m
razumijevamo suvislu deklaratjvnu izreku, koja se podvrgava
principima 1° i8kljueenog treeeg i 20 kontradjkcjje:
1 Svaki sud jedno od 8vojstava istinitosti iIi nei8tinitosti (tj.
ncma suda koji ne nili istinit nili nei5tinit) i .
20 Svakj 5ud najvise jedno 5vojstava i8tinit08ti ili nei8tinito5ti
(tj. suda koji i i5tinit i neistinit).
Sto 5 istinito:;ti tice dakle 5vaki 5ud jednu· i samo jednu v r i ~
d 5 t i s t i i t s t : bilo i 5 t i i t, bilo i 5 t i i t ili 1 f
n.
5to i5taknuto u samom naslovu ovog paragrafa, ovo shvatiti samo kao
opisnu definiciju suda niposto definiciju u matematiCkom smislu te
. Njome na5tojimo - koliko jeto - opisati i razgra njciti objekte
nascg 51 kojia f~limo izgraditi mateaticku teoriju.
Ako sud istinit, pi~at = (!>imbol citaj "te"), ako neistjnit
pisat· =.L (simbol ..L citaj "ne - te"). (Znak treba da potsjeti
pocctno !>Iovo engleske true=i5tinit.)
m.
1.2.1. ..21- 2 = 4" i5tinit ,,2 + 2 = 1" nei5tinit 5ud; dakako uz
uobicajenu interpretaciju znakova 2, 4, 1, +, =. (Ako npr. + inter
pretirali kao zbrajanje modulo 3, bila izren .. 2 + 2 = 1"
i5tinita.)
1.2.2. "Svaki ist05tranicni trokut istokraean" i5tinit, "P05toji
ravni pravokutni trokut koji istostrani~" neistinit sud.
1.2.3. " bez ostatka djeljiv sa 3" nije sud, dok nista pobIizc
reeeno , za tu izreku jednoznacno odredeno da li ist1nita ili
.
1.2.4. ., sada ldem" sud. , pretpostavimo li da ta izreka istinita
onda sam za;sta lagao sto sam rekao neistina. Obrnuto,
1. predmet 1 sudova , 33
pretpostavimo li da izreka neistinita onda n Jagao ono §to sam
rekao istma. Uz uobicajeni nacin zakljucivanja dobiJi bi dakle da
ta izreka nije niti istinita niti neistinita. SliCno vrijedi . za
izreku "Ova izreka neistinita" .
1.2.5. "Svaki kvadrat pravokutnik" sud, ko/iko smo ranije defini
raH da li kvadrat smatrati pravokutnikom .
1.2.6. Izreka "Alg.;:)ca interesantnija grana matematike negoli
analiza" mog1a se eventualno smatrati sudom samo onda, ukoJiko se
raspravJja u krugu ljudi koji tome imaju svi jednako (l0 takvo, l0
suprotno) uvjerenje.
1.2.7. Izreka "Dodi ovamo" sud jer dek1arativna.
1.2.8. Izreka "Utorak u smjelom bubregu cita obrijanu uzbrdicu" sud
jer . suvis1a (osim, mozda, u apstraktnoj poeziji).
1.2.9. Na nekom srednjevjekovnom sudenju optzenom reeeno: "Mora§
dati jednu suvislu iZjavu. Ako bude istinita ( samo onda) bit § 8,
ako bude neistinita ( samo onda) odrubit ti glavu:'
Moze li se optu.zeni spasiti? oZ, (ako porota i drzi ) ako npr. :
"Odrubit cete
glavu." Tada ga i smiju objesiti jer takav postupak predviden .samo
za istin;tu izjavu, 8to "odrubit cete mi glavu" u tom slucaju l. No
smiju mu odrublti glavu, se ovo predvida samo za laz, "odrubit cete
mi glavu" onda istina. (Druga izjava koja spasi1a optuzenog l
"necete objesiti".)
Izreku "odrubit cete glavu" dakle u smislu definicije bi smjeJi
smatrati sudom jer istinitost odnosno neistinitost samom izrekom
odredena vec ovisi buducim dogadajima.
1.2.10. ako stoji stvar s izrekom: .. Postoje prirodni brojevi , ,
Z, ( > 2) tako da " + " = z""? Ako m klasicno stajaliSte, iIi
istinita i/i neistinita in da do danas znamo .koja od tih
alternativa vrijedi n spreava nas da smatramo sudom. No s
intuicionistickog stajali8ta nedopu§teno ovako govoriti vrijednosti
istinitosti neke tvrdnje prije nego li poznajemo konkretnu metodu
kojom se (bar u principu) mogl0 konsta tirati koja alternativa
nastupa.
1.3. Sud kao objekt algebre sudova. od primjera navedenih u proslom
paragrafu pokazuju da sud 8to smo ga tamo definirali ne8to 8to bi
neposredno dopu~talo striktno matematitko tretiranje u smislu
uobiea u matematici. U algebri sudova apstrahirat stoga od toga
8to sud "jest" brinut se samo tome koja svojstva edu, tj. koje el
zadovoljava. No razumijc se da kod toga imati za da postavljamo
samo takve relacije koje bi 8to vi8e intuitivnih sudova stvarno
zadovoljavalo i koje bi i za posljedice l opet samo takve relacije
- u drugu ruku nastojat da takvih. rclacija dob.ijemo 110 vi/e.
.dakle kvm matematitki obuhvatiti sudove .. 8to l" u smislu da nj
izrecemo samo konstatacije koje zaista stoje, li da 8tovi8e ovakvih
stvarno i navedemo.
3 Malematitka losika
34 Algebra sudova
Ovakav program izgradnje a1gebre sudova precizirat dalje (i 08tro
ga suziti) 'time 8to se vi8e uopce neeemo brinuti sadrzaju
pojedinog suda, vec samo njegovoj' vrijednosti ,istinitosti. Unutar
algebre sudova bit nam dak1e npr. slvi " =1= 1" i "svak/l. zatvof~
Jordanova kriv'ulja dijeli ravninu dva dije1a" potpuno
istovrijedni. Drugim' rijeeima, klasu "svih" sudova podijelit u
dvije podk1ase, klasu istinitih i k1asu neistinitih ~sudova. l
mente prve k1ase reprezentirat opet simbol , elemente oruge simbol
1-. Uz potreban oprez ne dovesti do konfuzije ako i m eletn!!.nte..
, _L takoder budemo zvali sudovima, jer ih npr. naprosto
mofem.o--ivatiti zn nekih odabranih reprezentanata k1ase istinitih
i k1ase neistinitih, sudova. Skup S objekata algebarske strukture
koju zvati algebrom' sudova sadrfavat dak1e samo 2 elementa, i 1-:
S = {, 1-}.
1.4. Operacije algebre sv. Preostaje 08 da odaberemo operacije koje
treba da su def,.nirane medu elementima . 1-. Ovo se ! provesti na
natina, tokom ~itave ove G1ave razmatrat nekoliko tih moguCnosti. U
prvim poglavljia koja slijede uvest osnovne operacije &,V,
::;>, <=> i -, kao izvedenu i kasnije ::>.
1.4.1. Operacija & bit nrn (definirana S), zvat konjunkcija.
Sam znak ,,&" ~itat "et" ( latinskom zn~ "i''). Intendirani
smisao ove operacije bit zna~nje veznika "i". Odatle jasno kako
pojedinim kombinacijama vrijednosti istinitosti komponenata
konjunk (tj. parovima vrijednosti' varijabla sudova , nad S) treba
da odgova r aju vrijednosti istinitosti ~itave konjunkcije:
Konjunkcija & sudova , bit : istinita (= ) onda i samo onda,
ako su suda , istinita. Dakle
& = , ina.Ce & 1- = 1- & = 1- & 1- = 1-.
Neka npr. sud ,,2 + 3 = 5" sud ,,2 + 3 = 4". ( i ) tada sud ,,2 + 3
= 5 i 2 + 3 = 4". Sud istinit sud neistinit. Sud ( i ) - cjelina -
neistinit.
Napomene. 1 Vrijednost istinitosti konjunkcije intuitivnih sudova
ovisi samo vri
jednostima istinitosti njenih komponenata, 8to i omogucuje da se
& na ptirodni na~n uvede operacija u skupu S={T, 1-}.Naime, ako
~=-r1 i -r B=-r 1 bit i -r ( i B)=-r (1 i . ,
Na jeziku apstraktne a1gebre mogli bismo reei da preslikavanje
skupa objekata strukture .71= {klasa intuitivnih sudova; } skup
objekata struk- ' ture 3 s={S; &} koje sudu pridru!uje ili 1-
vec prema tome da 1i -r = iIi -r = 1- homom~rfizam od'.[/J 3' •.
(Ukoliko , dopustili da .[/1 uopCe zovemo strukturom.)
Analogna nana vrijedi i za sve osta1e operacije koje uvodimo.
20 Intuitivntl z~nje veznika "" ! takoder "prevesti" u {S; &}
sa &. k naime analiziramo 8to zn npr. ,,2 < 5 i - 2 > -
5" s jedne strane te ,,2 < 5. -.2 > - 5~' s druge uo(Sit da
sadrfajno , bitne razUke jer slo!t-na suda tvrde konjunkciju sudova
,,2 < 5", ,,-2 >-5".
1. Predmet algebre sudova 35
Ipak,ti't,obicnom govoru k, postoji ans razlike izmedu zn<:! ""
i "". Npr. cesto radije 'reci' ,,-3 < 3> " nego Ii ,,-3 <
i 3> " upotrebom "" ujedno neki isticemo da u prvu kompo nentu
tog slozenog suda ulazi dio ,,< " dok u drugu ulazi dio ,,> "
"suprotnog" znaeenja.
U jezicima razlicite rijeci za 8 "" i "", i u se ta distinkcija u
izraiavanju gubi - kao 8tO se gubi i u algebri sudova koju
izgradujemo ako zeIimo da se i "" u nju prevodi sa &.
Slicno bi i "", "dok", "medutirn" i neke druge rije<:!i mogIi
prevesti u {S; &} sa & - ako prihvatimo ili izobli(!enja
njihovog intu itivnog zna<:!enja koja tirne nastaju.
1.4.2. Operacija V bit takoder binarna zvat d i sj u k i . Sam znak
"V" citat "vel" ( latinskom zn ""). Intendirani srnisao bit
znacenje veznika "ili" u njegovom slabijem, inkluzivnom smislu. Ako
su i sudovi, razumijevat pod sudom ( ) tvrdnju da vrijedi bil sud ,
bilo sud uz mogucnost da vrijede i istodobno. ( razliku od toga, ,
eksklzivnom smislu od "" - 'koje odgovara latinskom "aut" -
razumijevala se pod sudom ( ili ) tvrdnja da vrijedi jedan i samo
jedan sudova , .) Disjunkcija dakIe istinita onda i sarno onda ako
jedna komponenata istinita. vrijednosti istinitosti varija~la
sudova , disjunkcije V odgova prerna torne vrijednosti istinitosti
citave disjunkcije:
V = V ..i = ..i V = , dok ... V ..i = ..i.
U govoru "" kadSto m zn<:! inkluzivne (vel) kadsto ekskluzivne
disjunkcije (aut). U re<:!enici "Od sluzenja vojnog roka
oslobodene su osobe koje su strani drzavljani ili boluju neke teze
bolesti" rijee "" rna ocito inkluzivni, slabi smisao, se sebi
razurnije da biti oslobodeni sluZenja vojnog roka i strani
drzavljani koji boluju od neke teze bolesti. Naprotiv, u <:! "
se pridrzavati sao bracajnih propisa ili platiti kaznu" rijec ""
oeito ekskluzivni, jaki smisao, se sarno sebi razurnije da se od
onoga koji se pridrzava saobracajnih propisa traiiti da plati kaznu
(te vrste). Jasno dakle da bi prevodenje i jake disjunkcije u
algebru sudova sa V dovelo do grubih gresaka intendiranorn srnislu
logi<:!nih . (ako se jaka di~junkcija moze izraziti "I)U drugih
operacija koje uvodimo vidjet ~eo kasnije u 1.4.6.)
1.4.3. => bit zvat i li k i . Sarn znak ,,=> , !
"povla<:!i". Intendirani srnisao od ( => ) bit : "Ako , onda
", "Iz proiziIazi ", " dovoljan uvjet za ", ,. nu uvjet za ". Treba
istaei da ovdje "povlaci" i analogni izrazi nisu rnisljeni u
"kauzalnom" srnislu sarno tvrde da u slucaju istinitosti od i sud
istinit. Prema torne bit => neistinito onda i ako istinito
neistinito, tj.
=>..i =..i => = ..i => = ..i =>.1. = .
U irnpIikaciji => zvat t d t k s k v t m implikacije.
36 Alaebra sudova
u govoru "ako ... onda" nije uvijek tako m. naloj definiciji sudovi
"Ako 2 + 2 = 5 onda vrijedi Pitagorin pou~k" i "k 2 + 2 = 5 onda
ne. vrijedi Pitagorin poucak" su istiniti, naprosto zato, 5to n
istina da 2 + 2 = 5. ne-matemati~ri se kolebali da li da ih
prihvatimo istinite. No za matemati~ra § interpretacija implikacije
uobi~jena. Npr.- sud "k postoji najveCi primbroj , takav da i -2
primbroj, onda ima samo konaeno mnogo primbrojeva-ian!w" smatramo
istinitim bez obzira to da 1i postoji najveei primbroj ; takav da i
-2 primbroj ili ne. Formulu (Ixl > 1) -=> (r>l) smatramo
istinitom za svaki realni , i za za koji '' < 1 jer u potonjem
slueaju ni ne tvrdi da '> 1.
Dakako da i u obicnom govoru "ako ... onda" imati ovakvo zna
cenje. Npr. ako ! "agarac , ako ti u ovome uspije§" (Ito, usput
reeeno, prema na definiciji sud buduci da unaprijed znam da li ta
tvrdnja istinita jer se mo!da ipak ! dogoditi da uspije da nisam
magarac) !elim time Ito lutke pretpostavljam da sam rekao istinu
istaci da vjerujem da kome to govorim mogao uspjeti jer smatram
eviden1nim da nisam magarac. Natpis "lade!i ispod 16 godina pristup
zabranjen" zn "Ako osoba I 16 godina, onda nije doz l da ude". No
ta zabrana nije prekr!iena, tj. ostaje istinitom, ulaze osobe od 16
godina i starije (dapace, redovno se upravo i !c1i pri mamiti Ito
vise ovakve "zrelije" publike).
1.4.4. <=> bit. , zvat k v i v 1 i . Sam znak ,,<=>"
citat "ekvivalentno". Intendirani smisao od ( <=> ) bit : "
onda i samo onda ako " , Ito isto, " nu!dan· i do voljan uvjet za
". ( <=> ) tvrdi dakle isto 5to i slo!eni sud ( :::> )
& (:::>). tom~ <=> bit istinito onda i samo onda ako
su vrijednosti istini tosti od , inedusobno ednak tj.
T<=>T=..L<=>..L=T,
T<=>..L=..L<=>T=..L.
razlici prema govoru moglo se reCi. slicno kao kod impli kacije.
Npr. na50j definiciji izreka ,,2 >4 onda i samo onda ako postoji
najveei primbroj" istinita, jer n postoji najveei primbroj 2 nije
veCe od 4.
1.4.5. Operacija bit unitarna (definirana $), zvat g i . Sam znak
"" citat "" ( latinskom znaei "ne"). Intendirani smisao bit "Nije
". Prema tome bit iS1inito ako neistinito i obrnuto, tj.
=..L, 0..L = .
1.4.6. Sada smo u mogucnosti da i ekskluzivni "" prevedemo u l
gebru sudova. Naime ( ili ekskluzivno .) tvrdi isto 510 i [ & (
)] v . [ & ( )]. Dakle, 8tO se tice vrijednosti istinitosti,
bit ekskluzivna disjun kcija izmedux , u algebri sudova dana sa [
& ( ») v [ & ( )].
Takoder bismo, 5to se tice vrijednosti istini10sti, ekskluzivnu
disjunkciju izmedu i lgli izraziti. ~a ( <=> ). Zbog ovog
posljednjeg upotrebit kadsto za ekskluzivnu disjunkciju i poseban
znak (citaj: " ekvi valentno sa").
2. Algebra sIova algebanka struktura 37
1.4.7. Tok vrijednosti istinitosti uvedenih logickih operacija mo!
pregledno predociti tabIicama vrijednosti ist.initosti:
:& :xvy :<::>
-,
I
!I 1. 1
1.4.8. Uvedene operacije dakako nisu koje se mogle uvesti (usp.
8.3.). Cesto se algebra sudova izgraduje s brojem operacija, npr.
samo sa &, V, -,. Kasnije detaljnije ispitati kako se din
"funk.cije" algebre sudova mogu izraziti nekih odredenih ishodnih
operacija (4.3.1, 4.3.2, 9.).
1.4.9. Za operacije &, V, ~, :>, -, U literaturi postoje i
druge, alter- vn oznake, npr.
Umjesto & neki pisu , neki " neki nista, neki . Umjesto V +,
neki U. Umjesto ~ neki ::>, -., neki r+.
Umjesto :> neki pisu =, neki +-+, neki "", neki Umjesto -, -
(potez gore), neki,..,. 1.5. ad smo li elemente S i medu
imajuci stalno intendirani smisao (tj. realnosti, naseg. misljenja
zakonitosti nastojimo opisati matematickom teorijom koju
izgradujemo) "zaboravit" intendirani smisao i izgradivati teoriju
dalje deduktivno, pozivajuci se sudove u intuitivnom smislu
intuitivno znacenje 1.ogiCkih operacija koje smo . No dakako se
razmatrajuci tako izgradeni teorije "sjetiti'-' inten diranog
smisla sudova i samo da bismo provjerili da Ii su rezul tati koje
s~o d~bili u apstraktnoj teoriji u skladu s okolnostima za koje
smatramo da vrijede u konkretnoj, :,realnosti". jedini in koji
stoji raspo laganju da provjeravamo dopustivost, prikladnost i
vrijednost teorije.
2. ALGERA SUDOV ALGEBARSKA STRUKTURA
Sada smo u mogucnosti da 1 g r u s u d v koju izgradivati uvedemo
kao aJgebarsku matematicku strukturu.
2.1. n 1. Algebra sudova struktura {{, ..}; &, V, ~, :>, -1}
gdje su &, V, ~, :>, -, dejinirane m 1.4.7.
za izgradnju simbola, formula i jednakost'i algebre sudova·
postavljamo definicije:
38 AIgebra sudova
Defintcija 2. s t 11 t algebre sudova u elementi S, '. i 1... V r
bl algebre sudova u znakovi (slova) , , z, '" (zamiSljamo tak)'ih "
raspolaganju potencijalno prebrojivo beskonacno mnogo).
Definicija 3. F r 1 algebre sudova u (konacni) izrazi koji
izgl'aauju iz konstanata i varijabla u &, V, =>, <=>,
--, uz trebu zagrada ( dopusteni nn, tj. tako &, V, =>,
<=> djeluju kao nm - kao unitarna ).
Formule algebre sudova oznacavat redovno velikim latinskim' slo
vima: , , , '"
Npr. , , x=>iT, --'( =>), [xV(--')]=> , <=> su
formule algebre sudova.
zagrada u foli. ! cesto smanjiti ako prihvatimo neku konvenciju
razdvajanja operacija 7 . tako da ova padajuci niz u poretku
<=>, =>, V, &, --'.
Najjace dakle razdvaja <=>, zatim => itd. najslabije --'.
Prema tome . <-> & z isto sto i <=> ( & z),
=> V z & isto sto i => [ V (z & )]. Medutim, zbog
lakseg uvijek izostavljati maksimalno moguCi zagrada.
2.2. Definicija 4. (De[inicija semanticke jednakosti) Dvije formule
, algebresudovazvatcemo istovrijednim ili semantifki jednakim ako .
za . mogu(e zamjene varijabla sudova iz , konstantama iz {, 1..}
korespondelltne \'rijednosti istinitosti i un jednake. Ako su i
istovrijedne j"ormule ' = .
( razliku od toga znacit == da su formule , identifki gra ll, tj.
da - osim gore navedenim konvencijama ne-neophodnih zagrada - rcdom
sadrze iste odgovarajuce znakove. Npr. == , V (--, z)== '--' ' =,
& ( & z) == & ( & z). Simbol == trebat cesto kod
dcfiniranja znacenjaJneke oznake za formulu.)
Relacija istovrijednosti ( smislu apstraktne algebre) relacija
ekvivalen u skupu !' svih formula logike sudova. Naime, na 10
refleksivna, 20 ~imetricna i 3" trarizitivna, tj: 1° =, 20 ako =
onda =, 30 ako ·, i onda = .
Za ref1eksivnost i simtst ,ovo neposredno ocito iz same defin
i~tovrijedno~ti. Preostajc da \provjerimo tranzitivnost. Neka su
dakle , , takve formulc da . = i = . Neka r skup varijabla koje
ulaze u , ~ skup varijabIa koje ulaze u i skup varija~la koje ulaze
u . Raz motrimo hilo koju danu kombinaciju vrijednosti istinitosti
varijabla iz u i prosirlmo proizvoljni naCin varijable iz r U!::J..
U . Uz tu !n kombinaciju, restri1l1~irallu [' u!::J.. odnosno !::..
U bit vrijednost isti nito~t.i -; jcdnaka vrijednosti istinitosti
't' od ova opet jednaka
"vrijcdnosti i~tinitosti ';" od . tomeza prvotno danu kombinaciju
vrijcdJ10sti istinitosti varijabIa o~ u vrijedi i 't' ,= 't'
.
(Ova stanovita .. tehnicka" komplikacija u dokazu tranzitivnosti
relacije istovrijcdnosti medu formulama algebre sudova moze se
izbjeci ako se D 4 . . modificira tako da se usporeduju vrijednosti
istinitosti od i za sve moguce kombinacije vrijednosti istinitosti
prebrojivo beskonacnog niza svih varijabIa
2. Algebra sudova aliebarska struktura 39
sudova ( ne konacnog niza onih koje ulaze u OOr jednu od fonnula ,
5to prihvaceno u D 4.). Tada nai i tranzitivnost istovrijednosti
postaje neposredno oCita posljedica definicije istovrijednosti. No
ovako modificirana definicija neke druge nedostatke: Prvo, njoj i
prihvatiti egzi stenciju aktualno beskonacnog niza varijabia (5to
uz D 4. nije potrebno); drugo, trebalo pokazati da ispitivanje da
Ii su dvije dane formule , modificiranoj defjniciji istovrjjedne
iJi ne uvijek moguce provesti u konacno mnogo ·koraka (dok ~e ovo
uz :Q 4. trivijalno) - 8tO bez daljnjega moguce i cak lako ipak,
.·rigorozno provedeno, zahtijeva izvjestan prostor ( ve~i od g 8tO·
smo ga gore trebali za dokaz tranzitivnosti DJ.). Ipak, tesR:o se
nloze zanijekati, da modificirana definicija, klasicnom shvacanju,
bila elegantnija od D 4.)
Prema tome relacija semanticke jednakosti vr~i particiju od :t u
dis- junktne podskupov.e m4usn istovrijednih formula. . I
Primjeri.
2~2.1. A-,(V ) i ==(,) & ('.) su istovrijedne formule. Da bismo
to uvidjeli provedimo ovu li z u t k v r i d s t i i s t i i t s
:
1234 S 6 7
1 11 v 1· ( v ) 11 · 1 • 1(. ) & (. )
.L .L .L .L . .L 1. .L ..
.L .L .L ..
.L .L .L I -
. Analiza provedena ovako: Parovi elemenata u prva dva stupca
sadrze sve moguce kombinacije pridruZenja elemenata iz S = { ,..l}
varijabJama i koje ulaze u , . . i 4. stupac sl za postupno
iznaJaZenje odgovarajuce vrijednosti istinitosti od , stupci S. do
7. za izal odgovarajuCe vrijednosti istinitpsti od . Vidimo da se
4. i 7. stupac poklapaju & pokazali da = .
2.2.2. Ispitajmo da li su fol == => => z), == =:> (
::::> z) istovrijedne.
AnaJiza toka vrijednosti istinitosti daje
11 x=>z 1 < => ( => z) '.'
.L .. .. .. ..
.L
.L .L .L
..
.L .L .L
.L .L
.L .L .L I
40 Algebra sudova
= jer se S. i 7. stupac poklapaju. 1.1.3. Ispitajmo da 1i su
formule &(=>), istovrijedne. Ana1iza toka vrijednosti
istinitosti daje .
I 1 1 I:> 11 &(:> 1)1 1
.L .L .L .L .L .L
.L .L .L .L
Buduci da se 4. i S. stupac razlikuju (u treeem retku ~etvrtog
stupca ..L. u trecem retku petog ) i nisu istovrijedne
formule.
1.1.4. Vjezba. Ispitaj ana1izom 1· vrijednosti istinitosti da li su
isto vrijedni ovi parovi formula: 10 ( <=> ) <=> z, EI
· ~ ( ~ z); 20 = ( =>) =>, => (=>); 30 Aax~y,
B;;;;;,[(x&-;)V(,&)].
1.3. Dejinicija S. (Semantifka definicija identifke istinitostiJ
Formu/a algebre sud(Jva i d t f k s t i i t ako za sve m zamjene
sudova ;z konstanlama iz {T,.l..} korespodenlna vrijednost islini
tosli od jednaka .
Identicki istinite formule logike sudova zovu se i t u t 1 g i
logike sudova.
Npr. V -; (terl;um non dalur = treeeg) identi~ki istinita formula
5to vidimo iz
11. 1 xv·
: 11 ~ 1 ~ Definicija Sa. Formu/a algebre sudova i d I i f k i 11 i
s I i i I
(1 z , ako za sve moguce zamjene sudova ;z konslantama· iz { , ..}
vrijednost islinilosti jednaka .1..
Npr. formala & -, identicki neistinita, 110 vidimo iz
QCito. formula identicki istinita onda i samo onda ako formula -,
identii:ki neistinita i obrnuto.
m.
1.3.1. Formula == ( => ) => {[( => ) => z] => (
=> z)} identicki istinita 5to se vidi iz njene analize toka
vrijednosti istinitosti
11
I
2. Algebra sudova algebarska struktura 41
I 1 z 11 x~y 1 (X~Y)~ZI X~Z 1 [(x~y)~z]~(x~z) 1
I I 1. 1. 1.
1. 1.
1. 1. 1. 1. 1.
1.
1. 1. 1.
1. 1. -
1. 1. 1. 1.
2.3.2. Formula . (~~ (. ~ » identi~ki neistinita prema
1
11 -'' 1. -, ~I~(-'~)1
1. 1. 1. 1. 1.
I 1. 1. 1. 1. 1. 1.
2.3.3. Formula (x~ ) "(y~x) nije niti indeti~ki istinita niti
identicki la!na, jer u njenoj anali toka vrijednosti
istinitosti
1 11 x~y I y~x 1 (x~y)&(y~x)
I
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
u posljednjem stupcu do1azi i znak i znak 1...
2.3.4. Vjeibe. da su identi~ki istinite ove formule: 1 « ~ ) ~ x)~x
(Pierce-ova tautologija); 20 x~(,x~Y) (exfalso quodlibet=iz
neisprav nog proizvoljno); 30 ~ ( ~ ) (verum quo/ibet = istinito
iz makar cega); 40 • (" • ) . (apsurdnost kontradikcije); so (. ~.
) => (zakljucak contrario =;= iz suprotnog); 60 ( ~ • ) ~ •
(zakIjuM n contrarium = suprotno).
2.3.5. Napomena. Identi~ka istinitost odnosno neistinitost dane
formule o~e se u pojedinim konkretnim slu~jevima lakSe i provjeriti
na dru gaciji nacin, bez ispisivanja ~itave analize toka
vrijednosti istinitosti. Npr.:
42 Algebra sudova
Da formula iz 2.3.1. id~oticki istinita ! krace uvidjeti ovako: Ako
uopce postojaJa kombloacija vrijedoo!.ti iS1initosti varijabla
8udova od za koju poprima vrijedoost istioit08ti 1-, ooda bi za nju
koosekventa od (izraz u viticastoj zagradi u ~.3.1.) poprimala:
vrijedoost istinitosti 1-, antecedeota => vrijednost istioitos1i
. No tada i koosekveota koosekvente tj. => z poprimila
vrijedoost istioi105ti 1- - dakle = , z = .1... - ante cedenta
konsekveote tj. izraz ( => ) => z vrijedoost istioit05ti -
dakle zbog = , z = 1- l0 = 1-. No ovo se protivi raoijem zahtjevu
da :;.)' poprima vrijedo05t istinitosti . Trdeoe kombinacije dakle
inde1icki ist