Nermin Okicic-Matematicka Logika

UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Matematicka logika

- Predavanja 2007/2008 -

Tuzla, 2008

Sadržaj

1 Logika iskaza 11.1 Iskazi i iskazne formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Iskazna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Tautologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Osobine tautologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Testovi istinitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Hipoteze i posljedice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Logika predikata 352.1 Termi i formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Interpretacija i valuacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Valjane formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Glavni test za predikatske formule . . . . . . . . . . . 562.5 Zamjena promjenljive termom . . . . . . . . . . . . . . 60

3 O matematickim teorijama 643.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 Aksiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Teoreme i dokazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Izgradnja aksiomatske teorije . . . . . . . . . . . . . . 73

4 O formalnim teorijama 754.1 Definicija formalne teorije . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Iskazna logika kao formalna teorija . . . . . . . . . . . 784.3 Predikatska logika kao formalna teorija . . . . . . . . 824.4 Jedan primjer formalizovane teorije . . . . . . . . . . . 85

i

Poglavlje 1

Logika iskaza

1.1 Iskazi i iskazne formule

Iskaz je osnovni pojam u matematickoj logici koga bi mogli pokušatidefinisati kao smislenu recenicu koja ima osobinu da može bititacna ili netacna. Na primjer recenicom

"2 je djelilac svakog parnog broja"

dat je jedan iskaz. Medjutim, gornja definicija je neformalna i ne-dovoljno operativna, tj. za datu recenicu, pomocu ove definicije nijeuvijek lahko utvrditi da li jeste ili nije iskaz. Naime, recenica

"Ovo što upravo piše je laž"

u prvi mah izgleda da jeste iskaz (smislena je i mogli bi utvrdjivatinjenu istinitost) ali isto tako njenom analizom bi smo mogli recida se njome nešto tvrdi, a da to nije tacno. Zbog svega ovoga uiskaznoj logici se pojmom iskaza služimo kao osnovnim, tj. pojmomkoga ne definišemo.Pojedinacne iskaze u iskaznoj logici cemo oznacavati sa malim

pisanim slovima p,q,r,s,t,... i nazivamo ih iskazna slova ili iskaznevarijable. Od jednostavnih iskaza gradimo složenije iskaze koristecilogicke veznike, odnosno logicke operacije.Logicki veznici, u zavisnosti na koliko iskaza djeluju, dijelimo na

unarne, binarne, ternarne itd. Za nas su od interesa samo nekiunarni i binarni veznici i sada cemo ih definisati.Unarni veznik negacija iskaza p je iskaz "nije p", koga oznacava-

mo sa ¬p.

1

1.1. Iskazi i iskazne formule

Definicija 1.1.1. Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obrnuto,

negacija netacnog iskaza je tacan iskaz.

Konjukcija iskaza p i q je iskaz "p i q", u oznaci p ∧ q.

Definicija 1.1.2. Iskaz p ∧ q je tacan samo u slucaju da su istovre-

meno i p i q tacni iskazi.

Disjunkcija iskaza p i q je iskaz "p ili q", u oznaci p ∨ q.

Definicija 1.1.3. Iskaz p∨q je tacan iskaz ako je bar jedan od iskaza

p i q tacan, odnosno on je netacan ako su oba iskaza netacni.

Ovdje treba napomenuti da ovu disjunkciju treba razlikovati odveznika "ili" koji je u svakodnevnoj upotrebi u obicnom govoru.Naime, u obicnom govoru "ili" ima iskljuciv smisao, tj. kada izrekne-mo iskaz "p ili q", podrazumijevamo da je on tacan ako je tacaniskaz p ili iskaz q i to samo jedan od njih. Ovakvu vrstu disjunkcijeimamo takodje i u logici i ona se naziva ekskluzivna ili iskljuciva

disjunkcija, dok onu prvu nazivamo inkluzivna ili ukljuciva dis-junkcija.Iskljucna disjunkcija iskaza p i q je iskaz "ili p ili q" i oznacavamo jesa p ⊻ q.

Definicija 1.1.4. Iskaz p ⊻ q je tacan iskaz samo ako je tacno jedan

od iskaza p i q tacan.

Primjer 1.1. Neka su dati iskazi p i q sa:

p: "π je racionalan broj"

q: "π je broj veci od 1"

Iskaz ¬p zadat je sa "π nije racionalan broj" i on je tacan iskaz (jerje p netacan iskaz). Iskaz ¬q je dat sa "π nije broj veci od 1" i on jenetacan.Prema gornjim definicijama iskaz p ∧ q je netacan, a iskaz p ∨ q jetacan. ♦

Implikacija iskaza p i q je iskaz "ako p onda q", koga oznacavamosa p ⇒ q.

Definicija 1.1.5. Iskaz p ⇒ q je netacan samo ako je iskaz p tacan,

a iskaz q netacan.

2


Iskaz p u implikaciji p ⇒ q nazivamo premisa, pretpostavka ili an-

tecedent, a iskaz q nazivamo zakljucak ili konsekvent.Iskaz p ⇒ q citamo još kao: "iz p slijedi q", "p povlaci q", "p samo akoq", "q ako p", "p je dovoljan za q", "q je potreban za p" i sl.Prema definiciji implikacije, ako je iskaz p netacan, onda je iskaz

p ⇒ q tacan, bez obzira na tacnost iskaza q. Npr. neka je

p: "2 + 2 = 3"

q: "2 + 3 = 4"

Implikaciju p ⇒ q bi sada citali kao, "ako je 2+2 = 3 onda je 2+3 = 4"i ovako dobijen iskaz je prema definiciji implikacije tacan. Drugimrijecima, iz netacne pretpostavke može da slijedi bilo kakav iskaz,ali ovakvo shvatanje odudara od upotrebe konstrukcije "ako...onda..."iz svakodnevnog govora. Navedimo još, na neki nacin, "gori" prim-jer. Neka su dati iskazi

p: "Zima pocinje 21. juna"

q: "Ja sam položio Analizu II"

Sa matematicke tacke gledišta, p ⇒ q je tacan iskaz, ali isto takobi neko mogao reci da taj iskaz nema nikakvog smisla jer izmedjuiskaza p i q ne postoji nikakva ociglednija veza.

Primjer 1.2. Neka osoba svakog jutra kada se probudi izgovori recenicu:

"Ako je danas subota, onda je sutra petak."

Za koje dane u sedmici je iskaz ove osobe tacan?Ako doticna osoba ovu recenicu izgovori npr. u utorak, jasno jeda ima pravo, tj. "Ako je danas subota", što nije, "onda je sutrapetak", što takodje nije. Dakle, ako je danas "⊥", onda i sutra možebiti "⊥".Spomenuta osoba je u pravu za svaki dan osim u subotu jer ako jedanas subota, onda sutra mora biti nedjelja. ♦

Mi cemo se držati matematickog gledišta iz dva razloga. Prvo,nas u matematickoj logici ne interesuje šta su iskazi p i q vecsamo njihova istinitost, odnosno uslovi pod kojima istinitost iskazap povlaci istinitost iskaza q. Drugo, ovakvo gledište nalazi jakouporište u mnogim naukama u kojima se postavljaju neke hipoteze

3


koje je nemoguce eksperimentalno provjeriti ali bi se mogle prov-jeriti neke posljedice koje se dobijaju iz te hipoteze. Dakle, provjer-avamo posljedice bez obzira što ne znamo da li je hipoteza tacna iline. Ovo se naziva hipoteticki karakter naucnih teorija.U svakodnevnom govoru veznik "ako... onda..." upotrebljavamo danaznacimo da ne vjerujemo da pretpostavka može biti istinita. Npr.recenica "Ako položim Analizu pojest cu knjigu", izražava sumnjustudenta da ce položiti ispit, a ne implikaciju dva iskaza.Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz "p ako i samo ako q", u oznaci

p ⇔ q.

Definicija 1.1.6. Iskaz p ⇔ q je tacan ako su iskazi p i q iste istini-

tosti, tj. ako su oba tacni ili oba netacni.

Ekvivalenciju p ⇔ q formulišemo i kao "p ekvivalentno q" i po is-tinitosti odgovara recenici "ako p onda q i ako q onda p", tj.

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .

S obzirom na ovu uocenu vezu implikacije i ekvivalencije, iskazp ⇔ q citamo i "p je potreban i dovoljan uslov za q".

Primjer 1.3. Recenice

p: "Vektori ~a i ~b su ortogonalni"

q: "Skalarni produkt vektora ~a i ~b je 0"

su ekvivalentni iskazi i tu cinjenicu nalazimo kao jedan od važnihstavova vektorske algebre, iskazanu sa: Dva vektora su ortogo-nalna ako i samo ako je njihov skalarni produkt jednak 0. ♦

Ekvivalencijom se u matematici cesto definiše novi pojam, polazeciod vec poznatih pojmova."Prirodan broj razlicit od 1 je prost broj ako i samo ako je djeljivsamo sa samim sobom i sa jedinicom."Ovom recenicom je definisan pojam prostog broja, poznatim po-jmovima koji cine sadržaj drugog iskaza ekvivalencije. Iako ovarecenica ima formu iskaza, njome nije zadat iskaz nego defini-cija. Kada je jasno da je u pitanju definicija, u odgovarajucojrecenici se uobicajeno izostavlja dio "samo ako" mada podrazumi-jevamo da i taj dio važi. Cilj iskazne logike je da se upotrebommatematicke simbolike prevazidju problemi koji mogu da nastanu

4


zbog nemogucnosti da na zadovoljavajuci nacin definišemo pojamiskaza. Ovo opet znaci da složeni iskazi u kojima se javlja višejednostavnih iskaza i više logickih veznika, treba da se formirajupo strogo utvrdjenim pravilima. Takve složene iskaze pravimo po-mocu do sada uvedenih simbola: iskaznih slova (p, q, r, s, ...), op-eracijskih simbola (∧,∨,⇒,⇔ i ¬) i zagrada "(" i ")". Od svih izrazakoje možemo konstruisati od ovih simbola, za nas su od posebnoginteresa iskazne formule.

Definicija 1.1.7.

1. Iskazna slova su iskazne formule.

2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i

(A ∧ B) , (A ∨ B) , (A ⇒ B) , (A ⇔ B) , ¬A

iskazne formule.

3. Iskazne formule mogu se formirati jedino konacnim brojem pri-

mjena 1. i 2. ove definicije.

Primjer 1.4. Prema gornjoj definiciji izrazi

p , q , (p ∨ q) , ¬(p ∧ ¬q) , ¬¬r

jesu iskazne formule, dok izrazi

¬ ∧ p , )pq ⇒ , p ∧ ∧q

nisu iskazne formule.Prema definiciji izraz A ⇔ B nije formula jer nedostaju zagrade.

Upotrebom zagrada i pravila 2. omoguceno nam je pravljenje isloženijih formula kao npr.

(p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)) , (((p ∨ q) ∨ ¬p) ⇒ p)

♦

Definicija 1.1.8. Neka je A iskazna formula. Stepen formule A je

broj pojavljivanja operacijskih znakova u A.

Primjer 1.5. Stepen formule (p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p∧ q)∨ (p∧¬q)) jeste 7.Stepen formule (((p ∨ q) ∨ ¬p) ⇒ p) je 4. ♦

5


Primjetimo da u konstrukciji formula koristimo simbole zagradakoji su dio jezika koga koristimo u iskaznoj algebri. Uloga zagradaje da naglasimo redoslijed izvršavanja operacija. Od interesa je po-jednostavljivanje zapisa formula, a to znaci izmedju ostalog i izb-jegavanje pisanja zagrada kad god to nije neophodno. Tako spol-jašnje zagrade u formulama uvijek možemo izostaviti, npr. u for-muli ((¬p) ⇒ q) izostavljamo vanjske zagrade i bez nejasnoca uizvršavanju operacija, zapisujemo (¬p) ⇒ q. Medjutim, izostavimolii preostale zagrade, tj. ako imamo ¬p ⇒ q, nije jasno da li prvoprimjenjujemo negaciju ili implikaciju.Da izbjegnemo navedene nejasnoce dogovaramo se o prioritetu op-

eracija. Tako imamo da je najveceg prioriteta negacija, zatim su tokonjukcija i disjunkcija (istog prioriteta) i na kraju implikacija i ek-vivalencija (istog prioriteta). Ako se u formuli pojavljuju operacijskisimboli istog prioriteta, primjenjujemo pravilo izvršavanja operacijas lijeva na desno.

Definicija 1.1.9. Formulski niz je proizvoljan konacan niz iskaznih

formula A1, A2, ..., An takav da je svaka formula tog niza dobijena iz

nekih njoj prethodnih formula primjenom pravila iz Definicije 1.1.7.

Formulski niz za formulu A je formulski niz cija je posljednja for-

mula formula A. Pri tome svaku formulu formulskog niza nazivamo

potformulom formule A.

Primjer 1.6. Formulski niz za formulu

(((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s)

je niz:p, q, p ⇒ q, r, q ∨ r, (p ⇒ q) ∧ (q ∨ r), p ∨ r, ((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒(p ∨ r), s, q ∨ s, ¬(q ∨ s), (((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s). ♦

Razlaganje neke formule na njen formulski niz možemo prikazatiformulskim drvetom. Formulsko drvo je binarno drvo ciji su za-vršetci iskazna slova koja ucestvuju u datoj formuli, cvorovi supotformule formule, a korijen drveta je sama formula. Formulskodrvo za formulu (((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s) je prikazanona sljedecoj slici

6


p q

p ⇒ q

q r

q ∨ r p r

p ∨ r

q s

q ∨ s(p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)

(p ⇒ q) ∧ (q ∨ r) ⇒ (p ∨ r) ¬(q ∨ s)

(((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s)

Formulsko drvo možemo zapisati i bez ispisivanja potformula ucvorovima, ne umanjujuci jasnost zapisa.

p q

⇒

q r

∨ p r

∨

q s

∨∧

⇒ ¬

⇒

Primjetimo da u ovakvom zapisu formulskog drveta zagrade višenisu uopšte potrebne i to predstavlja takodje nacin brisanja zagradaiz formule, kao što je to i naš dogovor o prioritetu operacija.Navedimo još jedan nacin oslobadjanja od zagrada, poznat kao

Poljska notacija. Da bi objasnili ovu notaciju, prvo uvedimo dru-gaciju definiciju formule

1. Iskazno slovo je iskazna formula.

2. Ako je A iskazna formula, onda je i ¬A iskazna formula.

3. Ako su A i B iskazne formule i α neka binarna operacija, tadaje i αAB iskazna formula.

7


Sada imamo na primjer, formula (¬p) ⇒ q u poljskoj notaciji iz-gleda ⇒ ¬p q, ili formula ¬(p ⇒ q) je ¬ ⇒ p q. Formula iz Primjera1.6 u poljskoj notaciji je

⇒⇒ ∧ ⇒ p q ∨ q r ∨ p r¬ ∨ q s .

Iako je teška za citanje, poljska notacija ima velike prednosti jer jelinearna i ne upotrebljava zagrade.

Zadaci 1.1. :

1. Koje od navedenih recenica su iskazi:

(a) "Tri plus tri jednako je šest."

(b) "Tri plus dva jednako je sedam."

(c) "x plus dva jednako je sedam."

(d) "Mislim, dakle postojim."

(e) "Lažem, dakle postojim."

(f) "Dok ovo pišem ja lažem."

(g) "Da li je 2 manje od 5?"

2. Data je formula (p ∧ ¬q) ⇒ (¬(p ∨ q)).

(a) Osloboditi se zagrada u datoj formuli, koristeci pravilo oprioritetu operacija.

(b) Odrediti sve podformule date formule.

(c) Zapisati formulski niz date formule.

(d) Konstruisati formulsko drvo date formule.

(e) Zapisati datu formulu u poljskoj notaciji.

3. Isto kao u prethodnom zadatku odrediti za formulu

((A ∧ B) ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C)) .

4. Zapisati standardnim zapisom sljedece poljske notacije:

(a) ⇔ ∧∧ ⇒ pq ∨ pr ⇒ qr ⇒ ¬pq.

(b) ⇔ p ∧ p ∧ pq.

8

1.2. Iskazna algebra

¬⊤ ⊥⊥ ⊤

∧ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥

∨ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥

⇒ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤

⇔ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤

Slika 1.1: Logicke operacije

1.2 Iskazna algebra

Osnovno svojstvo bilo kog iskaza ili iskazne formule jeste da jetacan ili netacan. Da bi se pravila odredjivanja istinitosti preciznoformalizovala, uvodimo posebnu strukturu.Iskazna algebra je dvoelementni skup {⊤,⊥} (simbole citamo re-dom "te" i "ne te"), zajedno sa jednom unarnom operacijom ¬ i ce-tiri binarne operacije ∧ , ∨ , ⇒ i ⇔, koje su definisane slijedecimtablicama:

Navedene operacije oznacavamo isto kao i odgovarajuce logickeveznike jer su njima i motivisani. Medjutim, to ipak nisu isti poj-movi; znak ∧ u iskaznoj formuli p ∧ q je zamjena za veznik "i" dokznak ∧ u gornjoj tablici oznacava operaciju na skupu {⊤,⊥}.Dakle, iskazna algebra je uredjena šestorka

({⊤,⊥},¬,∧,∨,⇒,⇔) .

Napomenimo još jednom da iskazna formula može sadržavati samokonacno mnogo iskaznih slova. Ali broj iskaznih slova koji se po-javljuju u svim mogucim formulama ne može se ograniciti jer uvijekmožemo konstruisati novu formulu sa vecim brojem slova od un-aprijed zadatog broja slova. Za formiranje svih iskaznih formulaneophodno je imati prebrojivo mnogo iskaznih slova. Zbog togacemo se ovde dogovoriti da su sva iskazna slova data slijedecimnizom

p1, p2, p3, ..., pn, ...

Neka je sada A proizvoljna iskazna formula. Njena istinitost prijesvega zavisi od istinitosti iskaznih slova koja se u njoj javljaju. Zbogtoga odredjivanje istinitosne vrijednosti formule A pocinje dodijelji-vanjem nekih istinitosnih vrijednosti redom svim iskaznim slovimakoji se u njoj javljaju. Tako, ako su p1, p2, ..., pn iskazna slova kojase pojavljuju u formuli A i ako svakom slovu dodijelimo jednu odnjenih mogucih istinitosnih vrijednosti ⊤ ili ⊥, dobijamo jednu ure-djenu n-torku simbola ⊤ i ⊥. Npr.

9


• ako formula ima samo jedan iskaz, vrijednosti su ⊤ i ⊥

• ako formula sadrži dva iskaza, vrijednosti su (⊤,⊤), (⊤,⊥) ,(⊥,⊤) i (⊥,⊥).

• ako formula sadrži tri iskaza, vrijednosti su sljedece ured-jene trojke: (⊤,⊤,⊤), (⊤,⊤,⊥), (⊤,⊥,⊤), (⊥,⊤,⊤), (⊤,⊥,⊥),(⊥,⊤,⊥), (⊥,⊥,⊤) i (⊥,⊥,⊥).

U slucaju da formula sdrži n iskaznih slova, broj odgovarajucihrazlicitih n-torki je 2n.Oznacimo sa τ preslikavanje koje odredjuje istinitost nekog iskaz-

nog slova, tj.τ : {p1, p2, p3, ..., pn, ...} → {⊤,⊥} .

Pri tome je

τ (p) =

{

⊤ ; iskaz p je tacan⊥ ; iskaz p je netacan.

Vrijednost τ (pi) naziva se istinitosna vrijednost iskaznog slova pi,odnosno vrijednost τ (A) nazivamo istinitosna vrijednost formule A.Ovakvo preslikavanje nije ništa drugo do dodijeljivanje istinitosnevrijednosti svim iskaznim slovima, mada je, kada se ogranicimona jednu formulu, za nju bitna samo istinitosna vrijednost onihiskaznih slova koja ucestvuju u njoj.

Definicija 1.2.1. Dodijeljivanje istinitosnih vrijednosti iskaznim slo-

vima koja ucestvuju u formuli A nazivamo interpretacija formule A.

Vrijednost iskazne formule A definiše se induktivno (po složenostiformule), na sljedeci nacin:

1. Ako formula A jeste iskazno slovo p, tada je

τ (A)def= τ (p) .

2. Ako su a i b redom istinitosne vrijednosti formula A i B, ondasu

a ∧ b , a ∨ b , a ⇒ b , a ⇔ b , ¬a

redom istinitosne vrijednosti formula A ∧ B, A ∨ B, A ⇒ B,A ⇔ B i ¬A.

10


Ovo znaci sljedece:

τ (A ∧ B) = τ (A) ∧ τ (B) , τ (A ∨ B) = τ (A) ∨ τ (B) ,

τ (A ⇒ B) = τ (A) ⇒ τ (B),τ (A ⇔ B) = τ (A) ⇔ τ (B) , τ (¬A) = ¬τ (A) .

Primjer 1.7. Data je iskazna formula p ∧ (q ⇒ ¬r).Iskazna slova koja se javljaju u datoj formuli su p, q i r. Ako imdodijelimo vrijednosti redom ⊤,⊥,⊤, dobijamo jednu interpretacijuformule i pri tome je

τ (p ∧ (q ⇒ ¬r)) = τ (p) ∧ (τ (q) ⇒ ¬τ (r))= ⊤ ∧ (⊥ ⇒ ¬⊤)= ⊤ ∧ (⊥ ⇒ ⊥)= ⊤ ∧⊤= ⊤ .

Dakle, u datoj interpretaciji ova formula je tacna. Za neke drugevrijednosti iskaznih slova p, q i r, odnosno u nekoj drugoj inter-pretaciji, na osnovu datih pravila treba ponovo odrediti vrijednostformule i ona naravno može biti ili tacna ili netacna. ♦

Da bi odredili vrijednost formule u svim interpretacijama, koris-timo se tzv. istinitosnim tablicama ili tablicama istinitosti. Kakosvakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola ⊤ i⊥ po iskaznim slovima formule, u tablicu treba unijeti sve te ras-porede. Za svaki raspored odredjujemo istinitosnu vrijednost pod-formula date formule i na kraju vrijednost same formule. Kao štosmo vec imali, ako iskaznih slova u formuli ima n, onda svih inter-pretacija ima 2n.Ako posmatramo formulu iz posljednjeg primjera, iskaznih slova

ima 3, pa je razlicitih interpretacija 23 = 8 i vrijednost formule usvakoj od tih interpretacija data je u tabeli

p q r ¬r q ⇒ ¬r p ∧ (q ⇒ ¬r)⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

11


Zadaci 1.2. :

1. Ispitati vrijednost formule p ∧ q ⇒ ¬q ⇒ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) uinterpretaciji τ (p) = ⊥ i τ (q) = ⊥.

2. Isptati vrijednost formule (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r) u interpretacijiτ (p) = ⊤, τ (q) = ⊥ i τ (r) = ⊤.

3. Formirati tablicu istinitosti za formule:

(a) ¬(p ∧ (¬p ∨ (p ∨ ¬p))),

(b) (p ∧ q) ∨ ¬q ⇔ (p ⇒ q),

(c) ((p ⇒ q) ⇒ r) ∧ ((p ⇒ r) ⇒ q).

4. Prevesti na jezik iskazne logike, a zatim formirati tablicu is-tinitosti za sljedeci niz recenica:Ahil je brži od kornjace ili je ona brža od Ahila. On je brži od

nje. Dakle, ona nije brža od njega. (Veznik "ili" koristiti jednomkao inkluzivnu, a drugi puta kao ekskluzivnu disjunkciju)

5. U nekom fiktivnom gradu žive tri vrste stanovnika: pošten-jacine (oni koji uvijek govore istinu), prevrtljivci (oni koji nekadlažu, a nekad govore istinu) i lažovi (oni koji uvijek lažu). Uslijedecim primjerima procjenite tacnost iskaza birajuci "DA","NE" ili "MOŽDA"!

(a) Susrecemo jednog stanovnika tog grada koji nam kaže:"Ja ne govorim istinu". Šta možemo zakljuciti iz ovogiskaza?

i. Govornik je poštenjacina.

ii. Govornik je prevrtljivac.

iii. Govornik je lažov.

(b) Susrecemo dvije osobe iz tog grada, osobu A i osobu B.Znamo da je jedan od njih poštenjacina ali ne znamo kojiod njih. Slušamo njihov razgovor:Osoba A: "Ni ja ni osoba B nismo prevrtljivci".Osoba B: "Tacno jedan od nas je prevrtljivac".Šta možemo zakljuciti iz ovog razgovora?

i. A je poštenjacina, a B je prevrtljivac.

12

1.3. Tautologije

ii. A je prevrtljivac, a B je poštenjacina.iii. A je lažov, a B je poštenjacina.iv. A je poštenjacina, a B je lažov.

(c) Susrecemo nova dva stanovnika, C i D, i slušamo njihovrazgovor:Osoba C: "Ja nisam prevrtljivac".Osoba D: "Tako je".Osoba C: "Ako ti nisi lažov, onda sam ja poštenjacina".Osoba D: "Tako je". Šta zakljucujemo iz ovog razgovora?

i. C je poštenjacina.ii. C je prevrtljivac.iii. C je lažov.iv. D je poštenjacina.v. D je prevrtljivac.vi. D je lažov.

1.3 Tautologije

Medju svim iskaznim formulama iskazne algebre, jedne imaju po-sebnu važnost.

Definicija 1.3.1. Formula F je tautologija ako u svakoj interpretaciji

ima vrijednost ⊤.

Drugacije receno, neka formula je tautologija ako za proizvoljnevrijednosti svojih iskaznih slova njena istinitosna vijednost je tacna.Kod ovakvih formula posljednja kolona u istinitosnoj tablici (kojaodgovara cijeloj formuli) sastoji se samo od simbola ⊤.Sljedeca jednostavna formula ¬(p ∧ ¬p) jeste tautologija jer kako

vidimo u tabeli

p ¬p p ∧ ¬p ¬(p ∧ ¬p)⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤

posljednja kolona se sastoji samo od simbola ⊤. Ova formulanaziva se Zakon neprotivrijecnosti i predstavlja poznato pravilo logi-ckog mišljenja koje primjenjujemo u klasicnoj (Aristotelovoj, dvo-valentnoj) logici. Medjutim, sve tautologije su manje više poznatilogicki zakoni, pa odatle i naš poseban interes za njih.

13

1.3. Tautologije

Definicija 1.3.2. Neka su A i B iskazne formule. Ako je formula A ⇒B tautologija onda je nazivamo tautološka implikacija i kažemo da

iskaz koji odgovara formuli A tautološki implicira iskaz dat formulom

B.

Definicija 1.3.3. Neka su A i B iskazne formule. Ako je formula

A ⇔ B tautologija, kažemo da je ona tautološka ekvivalencija, a za

iskaze koji odgovaraju formulama A i B kažemo da su tautološki

ekvivalentni.

Sada cemo dati spisak poznatijih tautologija sa njihovim imenima.

1. Zakon iskljucenja treceg-Tertium non datur

p ∨ ¬p .

Ovaj zakon je fundamentalan jer na njemu pociva klasicnalogika, tj. logika u kojoj su jedine moguce istinitosne vrijed-nosti tacno i netacno.

2. Zakon neprotivrjecnosti

¬(p ∧ ¬p) .

Tautološke implikacije

3. Zakon odvajanja-Modus ponendo ponens ili krace Modus po-

nens

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q .

Ovo je zakon na kome pociva osnovno pravilo deduktivnogzakljucivanja. Prepricano on tvrdi da ako važi p i ako iz p

slijedi q (p ⇒ q) onda zakljucujemo da važi i q, što je osnovniprincip deduktivnog zakljucivanja.

4. Modus tollendo tollens

¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p .

Ovim zakonom se temelji princip opovrgavanja. On u suš-tini ima slijedece znacenje: ako smo iz neke pretpostavke(ovdje p) zakljucili pogrešan zakljucak (ovdje q), onda nam jepretpostavka pogrešna. Ovaj metod je izuzetno primjenljiv uraznim empirijsko-deduktivnim naukama.

14

1.3. Tautologije

5. Modus tollendo ponens

¬p ∧ (p ∨ q) ⇒ q .

6. Zakon pojednostavljivanja

p ∧ q ⇒ p .

7. Zakon hipotetickog silogizma (tranzitivnost implikacije)

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) .

8. Zakon svodjenja na apsurd-Reductio ad absurdum

(p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬p .

Ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Naime,ako iz neke pretpostavke slijedi kontradiktornost (q ∧¬q) ondanije dobra pretpostavka, tj. važi suprotno od pretpostavke.

9. Istina iz proizvoljnog-Verum ex quolibet

p ⇒ (q ⇒ p) .

10. Iz lažnog proizvoljno

¬p ⇒ (p ⇒ q) .

Ovaj zakon pokazuje da ako bi neka teorija bila protivrijecna,tj. ako bi u njoj mogli naci kontradikciju, onda ona ne bibila besmislena samo zbog te cinjenice, nego i zbog toga što bisvako tvrdjenje u toj teoriji bilo teorema.

11. Pirsov zakon

((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p .

12. Zakon zakljucivanja iz suprotnog

(¬p ⇒ p) ⇒ p .

I ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Naime,ako pretpostavimo da neki iskaz ne važi i iz toga zakljucimoda on ipak mora da važi, onda iz svega toga zakljucujemo dataj iskaz mora biti tacan. U suštini on se svodi na Zakonsvodjenja na apsurd jer iskaz ¬p i ¬p ⇒ p zajedno daju kon-tradikciju.

15

1.3. Tautologije

Tautološke ekvivalencije

13. Zakon dvojne negacije

¬¬p ⇔ p

14. Zakon kontrapozicije

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) .

15. De Morganovi zakoni

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q .

16. Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjukciju

(p ⇒ q) ⇔ ¬p ∨ q ,

p ∨ q ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ q) ,

p ∧ q ⇔ ¬(p ⇒ ¬q) .

Prvi navedeni zakon koristimo za zamjenu implikacije negaci-jom i disjunkcijom, drugi koristimo za eliminaciju disjunkcijenjenom zamjenom pomocu implikacije i treci koristimo za za-mjenu konjukcije pomocu negacije i implikacije.

17. Zakon negacije implikacije

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q .

18. Zakon ekvivalencije

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .

19. Zakon unošenja i iznošenja

(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) .

20. Zakoni komutativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ q ⇔ q ∧ p ; p ∨ q ⇔ q ∨ p .

21. Zakon apsorpcije

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p ; p ∨ (p ∧ q) ⇔ p .

16

1.3. Tautologije

22. Zakon idempotentnosti

p ∧ p ⇔ p ; p ∨ p ⇔ p .

23. Zakoni asocijativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .

24. Zakoni distributivnosti

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ,

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) .

Koristimo li i simbole ⊤ i ⊥ bilo kao logicke konstante bilo kaozamjenu za iskaze p ∨ ¬p i p ∧ ¬p, tada su tautologije i formule

p ∧ ⊤ ⇔ p ; p ∨ ⊥ ⇔ p ; (p ⇒ ⊤) ⇔ ⊤ i sl.

Pored istinitosnih tablica kao nacina utvrdjivanja da li neka for-mula jeste ili nije tautologija, koristimo i neke direktnije nacine.Npr. ako treba ispitati da li neka formula oblika A ⇒ B jeste tau-tologija, pretpostavimo suprotno i pokušamo naci interpretacijuu kojoj bi bilo τ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥. Ako je ova kombinacijanemoguca, data formula jeste tautologija.

Primjer 1.8. Ispitati da li formula ¬p ⇒ (p ⇒ q) tautologija.Kako je formula oblika implikacije, pretpostavimo da nije tautologi-ja, tj. da postoji interpretacija u kojoj je ona netacna:

τ (¬p ⇒ (p ⇒ q)) = ⊥ .

Ovo ce se dogoditi ako je u datoj interpretaciji τ (¬p) = ⊤ i τ (p ⇒q) = ⊥.Ovo opet znaci da mora biti τ (p) = ⊥ (iz prve jednakosti), ali to ondanije u saglasnosti sa drugom jednakošcu jer bi ona u tom slucajumorala biti tacna.Dakle, pretpostavka o netacnosti formule u ovoj interpretaciji ot-pada, a zbog proizvoljnosti interpretacije zakljucujemo da je ondaformula tautologija. ♦

17

1.4. Osobine tautologija

Zadaci 1.3. :

1. Pokazati da Modus ponens i Modus tollens jesu tautologije.

2. U formuli ((A ∨ p) ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q), odrediti bar jednu formuluA, tako da data formula bude tautologija.

3. Formalizovati sljedece zapise, a onda ispitati da li su tau-tologije.

(a) Ado nije i uspješan student i skromna osoba. Ado daklenije uspješan student ili nije skromna osoba.

(b) Adi nije niti uspješan student niti skromna osoba. Dakle,Ado nije uspješan skroman student.

(c) Ako zapocne treci svjetski rat na Zemlji ce zavladati kata-strofa. Ako ne zapocne treci svjetski rat na Zemlji ce opetzavladati katastrofa. Dakle, na Zemlji ce se desiti katas-trofa.

(d) Bog je dobar i svemoguc. Ako je Bog dobar i svemoguc,onda zlo ne postoji. Zlo ipak postoji, dakle, Bog nije dobarili nije svemoguc.

(e) Ako Barselona ili Real pobjedjuju, onda i Arsenal i Man-cester gube utakmicu. Barselona pobjedjuje. Arsenaldakle gubi utakmicu.

4. Formalizujte sljedece argumente i ispitajte da li je odgovara-juca formula tautologija.Ako je Samir jednom pobjedio studenta u bilijaru, onda Samirnije student. Samir je jednom pobjedio studenta. Ako je pro-fesor Enes, onda Enes nije student. Profesor je Enes. AkoSamir nije student i Enes nije student, onda je Amra student.Ako je profesor Enes i Amra je student, onda je Samir asistent.Slijedi da je Samir asistent.

1.4 Osobine tautologija

Teorem 1.4.1. Ako su formule A i A ⇒ B tautologije, tada je i for-

mula B tautologija.

18

1.4. Osobine tautologija

Dokaz : Neka su A i A ⇒ B tautologije. Pretpostavimo da formulaB nije tautologija. Tada postoji interpretacija formule B takva daje τ (B) = ⊥. Zbog cinjenice da je A tautologija tada bi imali

τ (A ⇒ B) = τ (A) ⇒ τ (B)= ⊤ ⇒ ⊥= ⊥ ,

što bi opet znacilo da formula A ⇒ B nije tautologija, a to je usuprotnosti sa pretpostavkom.Dakle, formula B mora biti tautologija. ♣

Teorem 1.4.2. Neka je A tautologija u kojoj ucestvuju iskazna slova

p1, p2, ..., pn. Neka je B formula dobijena iz formule A zamjenom iska-

znih slova redom formulama A1, A2, ..., An. Tada je i B tautologija.

Dokaz : Neka je A tautologija. Za proizvoljnu interpretaciju for-mule A je tada τ (A) = ⊤.Neka su sada A1, A2, ..., An proizvoljne formule i neka je za svakoi ∈ {1, 2, ..., n} τ (Ai) = ai (ai ∈ {⊤,⊥}). Neka je formula B dobijenazamjenom iskaznih slova koja ucestvuju u formuli A, formulamaA1, A2, ..., An. Sada imamo

τ (B) = A(a1, a2, ..., an) = ⊤ ,

jer je A tautologija. Kako je izbor formula Ai (i ∈ {1, 2, ..., n}) proizvol-jan, zakljucujemo da je i B tautologija. ♣

Primjer 1.9. Vidjeli smo da je formula (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) tau-tologija (zakon kontrapozicije). Ako sada umjesto iskaznog slovap stavimo formulu A, a umjesto iskaznog slova q stavimo formulu¬B, dobijamo formulu

(A ⇒ ¬B) ⇔ (B ⇒ ¬A) ,

koja je prema gornjem tvrdjenju tautologija.Slicno, formulu

¬A ⇒ (A ⇒ (B ∧ ¬B))

smo dobili iz tautologije ¬p ⇒ (p ⇒ q), zamjenom iskaznih slova p iq redom formulama A i B ∧ ¬B. ♦

19

1.5. Testovi istinitosti

Teorem 1.4.2 je veoma važan bez obzira što na prvi pogled pred-stavlja jednostavno tvrdjenje. Naime, ovaj teorem nam govori daproizvoljna tautologija nosi u sebi zapis bezbroj tautologija, tj. svakatautologija predstavlja u stvari familiju tautologija po principu za-mjene iskaznih slova proizvoljnim formulama.Oznakom |= F , krace izražavamo cinjenicu da je formula F tau-

tologija.Dokazi narednih nekoliko tvrdjenja ostavljeni su citaocu za vježbu.

Teorem 1.4.3. Ako je |= A ⇔ B i |= A, onda je i |= B.

Teorem 1.4.4. |= A ∧ B ako i samo ako je istovremeno |= A i |= B.

Teorem 1.4.5.

1. |= A ⇔ A.

2. Ako je |= A ⇔ B i |= B ⇔ C onda je |= A ⇔ C.

Ovdje treba napomenuti da izrazi u kojima se pojavljuje znak |=nisu formule iskazne algebre ali smo uveli novi simbol sažetijegzapisa radi.

1.5 Testovi istinitosti

Od svih formula izdvojili smo po važnosti formule koje su tau-tologije. Medjutim i neke druge formule imaju svoju važnost ivrijednost. Jedne od tih su formule koje nazivamo kontradikcije

ili antitautologije, a koje su u svim interpretacijama netacne, npr.p ∧ ¬p.Za iskaznu formulu kažemo da je ispunjiva ako postoji interpretacijau kojoj je ona tacna. Npr. formula (p ∨ q) ⇒ q, je za vrijednostiτ (p) = ⊥, τ (q) = ⊤ tacna, dakle ispunjiva.Analogno, za formulu kažemo da je oboriva ako postoji interpretacijau kojoj je ona netacna. Ista gornja formula (p∨q) ⇒ q je za τ (p) = ⊤i τ (q) = ⊥ netacna, dakle oboriva.Pri tome vrijede sljedece veze.

Teorem 1.5.1. Formula A je kontradikcija ako i samo ako je formula

¬A tautologija.

Teorem 1.5.2. Formula A je ispunjiva ako i samo ako formula ¬A

nije tautologija.

20


Teorem 1.5.3. Formula A je oboriva ako i samo ako formula A nije

tautologija.

Gornjim teoremama nam je dat princip za ispitivanje da li je nekaformula ispunjiva, oboriva ili kontradikcija, tj. princip koji se svodiuvijek na ispitivanje da li je neka formula tautologija ili ne. Pritome se možemo koristiti nacinom koga smo upoznali ranije, istini-tosnim ili semantickim tablicama. Nedostatak tih tablica je u tomeda mi u njima ispitujemo istinitosnu vrijednost formule u svimmogucim interpretacijama. Pri tome, ako formula ima n iskaznihslova, tada istinitosna tablica ima 2n vrsta. Jasno je da je taj metodjako nepraktican vec za malo vece n-ove.Istinitosne tablice su jedna "brutalna" metoda ispitivanja neke for-

mule. Pored toga, iz istinitosne tablice se ne može lahko zakljucitizašto je neka formula ispunjiva, oboriva ili kontradikcija.Testovi koji ne ispituju istinitost formule za svaku interpretaciju,

vec se traži samo jedna za koju ce formula imati neku osobinu,nazivaju se ciljani testovi. Tako, ako želimo ispitati da li je nekaformula ispunjiva, tražimo interpretaciju u kojoj je formula tacna.Ako pak želimo ispitati da li neka formula A logicki slijedi iz for-mule B, dovoljno je tražiti interpetaciju tih formula u kojima ce bitiτ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥.Jedan od primjera ciljanog testa je tzv. glavni test (u literaturi se

naziva i glavno stablo ili semanticki tableux) kogacemo izožiti sada.Za zadatu formulu F , polazimo od pitanja da li postoji interpretacija

u kojoj je formula netacna. Dakle, ispitivanje pocinjemo sa redom:

F ⊥ .

Sada primjenom odredjenih pravila, s obzirom na trenutno "glavnu"logicku operaciju, razgradjujemo (granamo) datu formulu. Pravilakoja koristimo za grananje data su u Tabeli 1.1.

Zaokruživanjem konstante (npr. ⊤ ) naglašavamo zahtjev na datuformulu, a on se ostvaruje navodjenjem uslova ispod formule. Pritome npr. zapis

A ∨ B ⊥A ⊥B ⊥

citamo: A ∨ B ce biti ⊥ ako je i A ⊥ i B ⊥, a zapis

21


¬¬A ⊥A ⊤

¬A ⊤A ⊥

∧A ∧ B ⊥

A ⊥ B ⊥

A ∧ B ⊤A ⊤B ⊤

∨A ∨ B ⊥A ⊥B ⊥

A ∨ B ⊤

A ⊤ B ⊤

⇒A ⇒ B ⊥A ⊤B ⊥

A ⇒ B ⊤

A ⊥ B ⊤

⇔A ⇔ B ⊥

A ⊤ A ⊥B ⊥ B ⊤

A ⇔ B ⊤

A ⊤ A ⊥B ⊤ B ⊥

Tablica 1.1: Pravila grananja glavnog testa

22


A ⇒ B ⊤

A ⊥ B ⊤

citamo: A ⇒ B je ⊤ ako je A ⊥ ili B ⊤.Ukoliko se na nekoj grani pojave istovremeno zahtjevi i A ⊥ i

A ⊤, na kraj te grane stavljamo znak "#", naglašavajuci time da suuslovi na egzistenciju te interpretacije, kontradiktorni. Ako se svegrane završavaju sa znakom "#", zakljucujemo da interpretacijaza koju tražimo polazni zahtjev na formulu F ne postoji. Ako seneka grana ne završava simbolom "#", onda iz te grane ocitavamotraženu interpretaciju za koju je polazni istinitosni uslov zadovol-jen.

Ukoliko je polazni uslov F ⊥ , a sve grane se završavaju sa "#",zakljucujemo da je polazna formula tautologija. Ukoliko postojigrana koja nije kontradiktorna, onda je formula F oboriva. Ako seniti jedna grana ne završava sa "#", znaci da je formula F antitau-tologija.

Primjer 1.10. Pomocu glavnog testa ispitati da li je formula

F : ¬(p ∧ ¬q) ⇒ (¬p ∨ q) ,

tautologija.

F ⊥

¬(p ∧ ¬q) ⊤

¬p ∨ q ⊥

p ∧ ¬q ⊥

¬p ⊥

q ⊥

p ⊤

p ⊥ ¬q ⊥

# q ⊤#

23

1.6. Hipoteze i posljedice

Kako su sve grane kontradiktorne, formula F je tautologija. ♦

1.6 Hipoteze i posljedice

U osnovi vecine dokazivanja u bilo kojoj nauci je da se na osnovunekih pravila, a posebno logickih pravila, na osnovu poznatih tvrd-jenja (iskaza), koje nazivamo premise ili pretpostavke, izvode za-kljucci. U iskaznoj logici taj proces izvodjenja se precizno definiše.

Definicija 1.6.1. Neka su A1, A2, ..., An i B iskazne formule. Za for-

mulu B kažemo da je semanticka posljedica skupa formula A1, A2, ..., An

ukoliko važi, da kad god su u nekoj interpretaciji tacne svaka od for-

mula A1, A2, ..., An, onda je tacna i formula B.

Ovu cinjenicu cemo obilježavati sa

A1, A2, ..., An |= B ,

ili specijalno ako je B semanticka posljedica samo jedne formule A,to zapisujemo A |= B.U tom slucaju formule A1, A2, ..., An nazivamo hipotezama ili pret-

postavkama, tj. kažemo da je formula B semanticka posljedicaskupa hipoteza A1, A2, ..., An.Napomenimo ovdje da u izrazu "semanticka posljedica" treba is-

taci rijec "semanticka", jer pored ove vrste posljedica imamo i tzv."sintaksne posljedice". Kod semanticke posljedice je bit u tomeda kada se formula B izvodi kao posljedica skupa hipoteza, vodimoracuna o istinitosti svih formula tog skupa. Kod sintaksne posljedicenece nas zanimati istinitost hipoteza vec samo da li se prilikomizvodjenja koriste dozvoljena pravila izvodjenja.

Primjer 1.11. Posmatrajmo sljedece iskaze:p : f ∈ C[a, b].q : f ∈ C1(a, b).r : f(a) = f(b).s : Postoji c ∈ (a, b), takav da je f ′(c) = 0.Kad god su iskazi p, q i r tacni, tacan je i iskaz s, što na osnovu

gornje notacije zapisujemo sa

p, q, r |= s .

Upravo iskazana cinjenica je poznati Rolleov teorem iz diferenci-jalnog racuna funkcije realne varijable. ♦

24


Primjer 1.12. p ∨ q , p ⇒ r |= q ∨ r .Da je formula q ∨ r semanticka posljedica formula p ∨ q i p ⇒ r

vidimo iz slijedece tabele:

p q r p ∨ q p ⇒ r (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) q ∨ r

⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥

Kao što se vidi iz tablice, kada su formule p∨ q i p ⇒ r tacne, tacnaje i formula q ∨ r (zvjezdicom sa strane su naglašene vrste u kojimase to dogadja). ♦

Primjetimo da ce tacnost hipoteza biti zadovoljena ako su objeformule istovremeno tacne, odnosno ako je njihova konjukcija (p ∨q) ∧ (p ⇒ r) tacna. Dakle vrijedi:

p ∨ q , p ⇒ r |= q ∨ r

ako i samo ako vrijedi

(p ∨ q) ∧ p ⇒ r |= q ∨ r .

Ovu cinjenicu iskazujemo u obliku tvrdnje:

Teorem 1.6.1. A1, A2, ..., An |= B ako i samo ako A1∧A2∧ ...∧An |= B.

Dokaz : Tacnost svih formula A1, A2, ..., An u nekoj interpretaciji,ekvivalentna je tacnosti konjukcije tih formula A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An

u toj istoj interpretaciji (na osnovu definicije konjukcije). Sadana osnovu definicije semanticke posljedice, tacnost tvrdnje slijedineposredno. ♣

Teorem 1.6.2. A |= B ako i samo ako |= A ⇒ B.

Dokaz : Pretpostavimo da je B semanticka posljedica formule A.Posmatramo li proizvoljnu interpretaciju, ako je τ (A ⇒ B) = ⊥,to onda znaci da mora biti τ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥. Medjutim, ovo

25


nije moguce jer smo pretpostavili A |= B, tj. kad god je formula A

tacna takva je i formula B. Dakle, u proizvoljnoj interpretaciji moravrijediti τ (A ⇒ B) = ⊤, odnosno mora vrijediti |= A ⇒ B.Obratno, neka je |= A ⇒ B i neka je u nekoj interpretaciji τ (A) = ⊤.

Ukoliko bi u toj interpretaciji bilo τ (B) = ⊥, to bi bilo u suprotnostisa polaznom pretpostavkom. Dakle mora biti τ (B) = ⊤ (u istojinterpretaciji u kojoj je τ (A) = ⊤), pa dakle vrijedi A |= B. ♣

Opštija tvrdnja od tvrdnje izrecene u gornjoj teoremi data je sa

Teorem 1.6.3. Neka je n > 1. Tada je A1, A2, ..., An−1, An |= B ako i

samo ako A1, A2, ..., An−1 |= An ⇒ B.

Ovo tvrdjenje koristimo cesto u matematickim dokazivanjima. Naime,ako iz pretpostavki A1, A2, ..., An−1 izvodimo zakljucak koji je tipaimplikacije, An ⇒ B, mi tada cesto premisu An prikljucujemo nave-denim hipotezama, a onda iz pretpostavki A1, ..., An−1, An dokazu-jemo tvrdnju B.

Definicija 1.6.2. Za skup formula {A1, A2, ..., An} kažemo da je ne-

protivrijecan ako postoji interpretacija u kojoj je svaka od navedenih

formula tacna.

Za skup formula kažemo da je protivrijecan ili kontradiktoran ako

niti u jednoj interpretaciji sve formule tog skupa nisu istovremeno

tacne, tj. u svakoj interpretaciji bar jedna od formula nije tacna.

Teorem 1.6.4. Neka je formula B posljedica formula A1, A2, ..., An.

Ako je formula B kontradikcija onda su formule A1, A2, ..., An protivri-

jecne.

Dokaz : Neka je formula B kontradikcija i neka je A1, A2, ..., An |= B.Na osnovu Teoreme 1.6.1 je tada

A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An |= B ,

a onda je opet na osnovu Teorema 1.6.2

|= A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B .

Kako je u proizvoljnoj interpretaciji τ (B) = ⊥ (B je kontradikcija),da bi navedena implikacija bila tautologija mora konjukcija A1 ∧A2 ∧ ... ∧ An biti netacna u proizvoljnoj interpretaciji, a to znaci dabar jedna formula u datoj konjukciji mora biti netacna što premadefiniciji znaci da je skup formula {A1, ..., An} protivrijecan. ♣

26


Jasno je da u gornjem tvrdjenju vrijedi i obrat, tj. da iz protivri-jecnog skupa formula možemo izvesti bilo kakav zakljucak, pa ikontradikciju.

Teorem 1.6.5. Ako se neka kontradikcija može izvesti kao posljed-

ica iz formula A1, A2, ..., An i ¬B, onda je formula B posljedica formula

A1, A2, .., An.

Na ovoj tvrdnji se bazira poznati metod indirektnog dokazivanja.Dokaz gornje tvrdnje ostavljamo citaocu za vježbu.

Zadaci 1.4. :

1. Koristeci glavni test ispitati da li je formula

(p ⇒ (p ⇒ q)) ⇒ (p ⇒ q) ,

tautologija.


(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ∧ (¬p ∧ r) ,

dokaziva.


(p ⇒ q) ∧ (¬q ∨ r) ∧ ¬(¬p ∨ r) ,

oboriva.

4. Nakon vjencanja mladoženja rece mladoj:"Mila moja, dobrocemo se slagati ako s obzirom na ruckove ispuniš sljedeca triuslova:1. Ako na sto ne doneseš hljeb, moraš donijeti salatu.2. Ako doneseš hljeb i salatu, ne smiješ donijeti jogurt.3. Ako doneseš jogurt ili (ukljucno ili) ne doneseš hljeb, ondane smiješ donijeti salatu."

Da li ce ovaj brak potrajati? Ako hoce, kako ce to mlada ost-variti?

5. (a) Prevesti na jezik logike iskaza recenicu: "Volvo nije osigu-rano auto".

27

1.7. Normalne forme

(b) Ispitati istinitost implikacije ako je hipoteza "Volvo nijeosigurano auto", a posljedica "Ako je Volvo auto, onda onnije osiguran".

6. Prevesti na logiku iskaza: Brad Pit je Angelina Jolie jer svi vole

Brad Pita, a Brad voli jedino Angelinu.

Šta su hipoteze, a šta je posljedica u gornjoj tvrdnji.

7. Šta su hipoteze, a šta posljedice u iskazu: "Ko ne ljubi, nijeupoznao Boga, jer je Bog ljubav". (Prva Ivanova poslanica 4:8)

8. Šta su hipoteze, a šta posljedice u iskazu: "Neke sijamskemacke nisu macke jer su neki sisavci macke, a sve su si-jamske macke sisavci".

1.7 Normalne forme

Definicija 1.7.1. Za dvije formule A i B kažemo da su logicki ekvi-

valentne i pišemo A ≡ B ako je svaka od njih semanticka posljedica

druge.

A ≡ Bdef⇔ A |= B ∧ B |= A .

Primjedba 1.7.1. Nije teško vidjeti da su formule A i B logicki ekvi-valentne ako i samo ako je formula A ⇔ B tautologija, tj. vrijedi

A ≡ B ⇔ |= A ⇔ B .

Primjeri nekih korisnih logickih ekvivalencija su:

1. Komutativni zakoni

• A ∧ B ≡ B ∧ A

• A ∨ B ≡ B ∨ A

• A ⇔ B ≡ B ⇔ A

2. Asocijativni zakoni:

• A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C

28

1.7. Normalne forme

• A ⇔ (B ⇔ C) ≡ (A ⇔ B) ⇔ C

Primjetimo da asocijativnost ne vrijedi za implikaciju, tj.ne vrijedi A ⇒ (B ⇒ C) ≡ (A ⇒ B) ⇒ C.

3. Distributivni zakoni:

• A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

• A ⇒ (B ∧ C) ≡ (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C)

• (A ∨ B) ⇒ C ≡ (A ⇒ C) ∨ (B ⇒ C)

4. Zakoni negacije:

• ¬¬A ≡ A

• ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

• ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• ¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B

• ¬(A ⇔ B) ≡ (¬A) ⇔ B

• ¬(A ⇔ B) ≡ A ⇔ (¬B)

5. Zakoni implikacije:

• A ⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

• A ⇒ B ≡ (¬A) ∨ B

• A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A

• A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

• A ⇔ B ≡ ¬A ⇔ ¬B

U daljem što slijedi pokazat cemo da se svaka formula logikeiskaza može prevesti u njoj logicki ekvivalentnu formulu koja ceunaprijed biti zadata u jednu od dvije forme, konjuktivnu ili dis-junktivnu. Za razna proucavanja odredjene formule pokazuje sekorisnim imati njoj logicki ekvivalentnu formulu ali koja je jednos-tavnije forme od polazne.

Definicija 1.7.2. Neka su A1, A2, ..., An proizvoljne formule.

Formulu oblika A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An nazivamo konjukcija.

Formulu oblika A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ An nazivamo disjunkcija.

Konjukciju u kojoj ucestvuju iskazna slova ili njihove negacije nazi-

vamo elementarna konjukcija.

29

1.7. Normalne forme

Disjunkciju u kojoj ucestvuju iskazna slova ili njihove negacije nazi-

vamo elementarna disjunkcija.

Konjukciju elementarnih disjunkcija nazivamo konjuktivna normalna

forma.

Disjunkciju elementarnih konjukcija nazivamo disjunktivna normalna

forma.

Primjer 1.13. Primjeri konjukcija su formmule

(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ∨ r), (¬p ∨ p) ∧ (q ∨ ¬q) ,

a primjer elementarne konjukcije je

p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s .

♦

Primjer 1.14. Formula

(p1 ∧ ¬p2 ∧ p3) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ p4) ∨ (¬p3 ∧ p5 ∧ p6 ∧ ¬p7)

je disjunktivna normalna forma, a formula

(p1 ∨ ¬p2) ∧ (p1 ∨ p2 ∨ p3) ∧ (p2 ∨ ¬p4 ∨ p5)

je konjuktivna normalna forma. ♦

Postoje dva nacina pretvaranja proizvoljne formule u konjuktvnuili disjunktivnu normalnu formu.Prvi je korištenje poznatih logickih ekvivalencija. Npr. posmatra-

jmo formulu F : (p ⇒ q) ⇒ r. Sada primjenjujuci logicke ekvivalen-cije imamo

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ ¬(p ⇒ q) ∨ r (A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B)≡ ¬¬(p ∧ ¬q) ∨ r (A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B)≡ (p ∧ ¬q) ∨ r (¬¬A ≡ A)

i ovo je disjunktivna normalna forma formule F (sa strane navodimologicke ekvivalencije koje koristimo u svakom koraku prevodjenja).Drugi nacin je korištenjem istinitosnih tablica. Za istu formulu F ,

istinitosna tablica je data sa

30

1.7. Normalne forme

p q r p ⇒ q (p ⇒ q) ⇒ r

⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥

Svaki red gornje tablice se dobije za razlicitu interpretaciju. Uko-liko sada želimo napraviti disjunktivnu normalnu formu polazneformule, posmatrajmo redove u kojima je u posljednjoj koloni ⊤.To su 1, 3, 4, 5 i 7 red. Prvom redu odgovara interpretacija τ (p) =τ (q) = τ (r) = ⊤ i ona odredjuje elementarnu konjukciju (p ∧ q ∧ r).Trecem redu odgovara interpretacija τ (p) = ⊤, τ (q) = ⊥ i τ (r) = ⊤,a to odgovara elementarnoj konjukciji (p∧¬q ∧ r). Cetvrti red odgo-vara interpretaciji τ (p) = ⊥, τ (q) = ⊤ i τ (r) = ⊤, odnosno to odgo-vara elementarnoj konjukciji (¬p ∧ q ∧ r). Peti red daje konjukciju(p ∧ ¬q ∧ ¬r), a sedmi (¬p ∧ ¬q ∧ r).Dobijene elementarne konjukcije definišu disjunktivnu normalnuformu

(p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r)

i nije teško provjeriti da dobivena disjunktivna normalna forma jelogicki ekvivalentna polaznoj formuli F .Da bi objasnili postupak dobivanja disjunktivne normalne forme

iz istinitosne tablice, uocimo da smo u tablici tražili redove sa ⊤ uposljednjoj koloni, a zatim smo negirali iskazna slova koja su u tojinterpretaciji ⊥.Analogno, da smo tražili konjuktivnu normalnu formu polazne

formule, u tablici bi uocavali redove u kojima je u posljednjoj koloni⊥, a zatim bi smo negirali iskazna slova koja su u toj interpretaciji⊤. Za gornju formulu bi imali konjuktivnu normalnu formu,

(¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r) .

Iako to nije bilo jasno da li možemo uvijek napraviti konjuktivnu ilidisjunktivnu normalnu formu, sada cemo to izložiti kao tvrdjenje.

Teorem 1.7.1. Za svaku formulu logike iskaza postoji konjuktivna i

disjunktivna normalna forma.

31

1.7. Normalne forme

Dokaz : Ovdje cemo pokazati postojanje konjuktivne normalne forme.Dokaz za disjunktivnu normalnu formu je slican i ostavljen je ci-taocu za vježbu.Neka je data proizvoljna formula logike iskaza. Ako je ta formula

tautologija, u njenoj tablici istinitosti posljednja kolona se sastojisamo od znaka ⊤, te je npr. formula (p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬p) jedna kon-juktivna normalna forma formule A.Neka je formula A oboriva i neka u njoj ucestvuju iskazna slovap1, p2, ..., pn. Oznacmo sa I1, I2, .., Im one interpretacije u kojima jeτ (A) = τ (A(Ii)) = ⊥ (i ∈ {1, 2, ...,m}). Oznacimo sa pij (i ∈ {1, 2, ...,m},j ∈ {1, 2, ..., n}) formule definisane na sljedeci nacin:

pij =

{

¬pj ; τ (pj(Ii)) = ⊤pj ; τ (pj(Ii)) = ⊥

Primjetimo da je τ (pij(Ii)) = ⊥. Definišimo sada formulu F nasljedeci nacin:

(p11 ∨ p12 ∨ ... ∨ p1n) ∧ ... ∧ (pm1 ∨ pm2 ∨ ... ∨ pmn) ,

ili kraceF ≡ ∧m

i=1 ∨nj=1 pij .

Formula F je ocigledno konjuktivna normalna forma. Treba jošpokazati da vrijedi A ⇔ F .Posmatrajmo proizvoljnu interpretaciju u kojoj je τ (F ) = ⊥. Kakoje F konjukcija, onda postoji i ∈ {1, 2, ...,m} takav da je

τ (pi1 ∨ pi2 ∨ ... ∨ pin) = ⊥ .

Ovo opet znaci da je u posmatranoj interpretaciji τ (pij) = ⊥ zasve j ∈ {1, 2, ..., n}. Prema ranije recenom zakljucujemo da je udatoj interpretaciji τ (A) = ⊥, odnosno zakljucujemo da je formulaA ⇒ F tautologija. Na isti nacin se pokazuje da je i formula F ⇒ A

tautologija, što ukupno daje da vrijedi A ⇔ F . ♣

Iz dosad izloženog moglo se naslutiti da normalne forme nisujedinstvene. Šta više, za svaku formulu postoji beskonacno mnogokonjuktivnih i disjunktivnih normalnih formi. Da bi ipak imalinekakvu jedinstvenost uvedimo novi pojam.

Definicija 1.7.3. Neka je fomula F normalna forma u kojoj ucestvuju

iskazna slova p1, p2, ..., pn.

32

1.7. Normalne forme

Formulu nazivamo savršena konjuktivna normalna forma ako u

svakoj njenoj elementarnoj disjunkciji, svako iskazno slovo se po-

javljuje tacno jednom (sa ili bez negacije), cime su sve njene elemen-

tarne disjunkcije medjusobno logicki neekvivalentne.

Formulu nazivamo savršena disjunktivna normalna forma ako u

svakoj njenoj elementarnoj konjukciji, svako iskazno slovo nastupa

tacno jednom (sa ili bez negacije), te su sve elementarne konjukcije

medjusobno logicki neekvivalentne.

Primjer 1.15. Kao što smo vidjeli u pokazanom primjeru, za for-mulu (p ⇒ q) ⇒ r vrijedi

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ (p ∧ ¬q) ∨ r , (1.7.1)

a takode

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r) .

(1.7.2)Jasna je razlika izmedju ove dvije veze. One su obje disjunktivnenormalne forme iste formule, ali u (1.7.2) vidimo da se svako slovo(p, q i r) formule pojavljuje u svakoj elementarnoj konjukciji tacnojednom (sa ili bez negacije), što nije slucaj sa (1.7.1), a to znaci da jesa (1.7.2) data savršena disjunktivna normalna forma, a sa (1.7.1)"samo" disjunktivna normalna forma formule (p ⇒ q) ⇒ r. ♦

Sljedece tvrdjenje je prakticno posljedica dokaza Teoreme 1.7.1.

Teorem 1.7.2. Za svaku oborivu formulu logike iskaza postoji savr-

šena konjuktivna normalna forma. Za svaku ispunjivu formulu logike

iskaza postoji savršena disjunktivna normalna forma. Ove posto-

jece savršene forme su jedinstvene do na permutaciju iskazih slova

u elementarnim disjunkcijama, odnosno konjukcijama, te do na per-

mutaciju samih elementarnih konjukcija, odnosno disjunkcija.

Zadaci 1.5. :

1. Odrediti konjuktivnu i disjunktivnu normalnu formu formule

(¬p ∧ (q ∨ r)) ∨ (p ∧ ¬(p ⇒ r)) .

33

1.7. Normalne forme

2. Neka je formula A oblika disjunktivne normalne forme. Akoje A kontradikcija, dokazati da tada u svakoj njenoj elemen-tarnoj konjukciji postoji neko od njegovih iskaznih slova, za-jedno sa negacijom tog iskaznog slova.

3. Dokazati da niti za jednu tautologiju ne postoji savršena dis-junktivna normalna forma.

4. Dokazati da niti za jednu kontradikciju ne postoji savršenakonjuktivna normalna forma.

5. Neka je A formula u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, p2, ..., pn.Dokazati da je A tautologija ako i samo ako se svaka savršenakonjuktivna normalna forma formule A sastoji od 2n medju-sobno logicki neekvivalentnih disjunkcija.

34

Poglavlje 2

Logika predikata

Izražavati sve nam poznate stvari u nekoj teoriji, ili konkretno umatematici, ne možemo samo pomocu iskaznih formula, odnosnologike iskaza. Na primjer, jednostavna formula

x2 + y2 > 5 ,

nije iskaz, tj. nije iskazna formula u iskaznoj logici. Kao iskaz nemožemo iskazati ni prostu tvrdnju

"postoji element koji pripada i skupu X i skupu Y ."

Za zapisivanje takvih recenica ocito nisu dovoljni samo iskaznaslova i operacijski simboli iskazne logike.Iskazna logika se bavi recenicama kao cjelinama i ne zalazi u nji-

hovu unutrašnju strukturu, tj. ne razlikuje njihove pojedine ele-mente. Logicki zapisi kojima se preciznije mogu iskazivati raznamatematicka tvrdjenja, predmetom su daljeg izucavanja.

2.1 Termi i formule

Matematicke izraze i formule gradimo od raznoraznih elemenata.Zato najprije treba opisati osnovne elemente matematickih izrazai formula. Uobicajeno, medju osnovnim elementima su konstante,promjenljive i operacijski znaci.Konstante mogu biti neki konkretni simboli kao što su brojevi 0 ili

1 ili simboli ⊤ i ⊥ i sl.Promjenljive su zajednicko ime za objekte iste vrste. Oznacavamo

ih malim ili velikim slovima raznih alfabeta (x, y, z, ..., a, b, c, ..., p, q...

ili X,Y, ...., A,B, ...), a cesto i sa indeksima (p1, q2, Ai).

35

2.1. Termi i formule

Operacijske znake cesto nazivamo i funkcijski simboli. Jednos-tavnosti radi, operacije iste vrste na razlicitim skupovima oznaca-vat cemo istim funkcijskim simbolom, pri cemu vodimo racuna dase odredjenim funkcijskim znakom uvijek oznacavaju operacije istedužine (arnosti). Ovo znaci da svakom funkcijskom znaku unapri-jed zadajemo njegovu dužinu i zahtijevamo da se u daljem tim sim-bolom oznacavaju samo operacije te dužine. Na primjer, znak "+"se uobicajeno koristi za oznacavanje binarnih operacija (operacijadužine 2), tj. + koristimo kao binarni funkcijski znak.Koristeci konstante, promjenljive i operacijske znake i poštujuci

neka unaprijed zadata pravila, formiramo izraze koje nazivamotermi. Npr. izrazi

x2 + y2 − 5 ∗ x ∗ y ; a ∗ 1 + b ◦ c

su termi.Termi su formalni izrazi koji nemaju nikakvo konkretno znacenje

sve dok im ne damo neku konkretnu interpretaciju. Zadavanjekonkretne interpretacije cinimo tako što posmatramo neki konkre-tan skup A sa konkretnim operacijama na njemu. U gornjim prim-jerima možemo posmatrati skup cijelih brojeva i na njemu defin-isane operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Pri tome znakovekonstanti interpretiramo kao fiksne simbole skupa A ( u primjeru,5 i 1 su konstante koje interpretiramo kao brojeve 5 i 1). Prom-jenljive interpretiramo kao proizvoljne elemente skupa A (x, y, a, b

i c). Operacijske znake interpretiramo kao konkretne operacijedefinisane na A, tacno odredjene dužine. Tako bi "+" moglo bitisabiranje (binarna), "−" oduzimanje (binarna), "∗" množenje (bina-rna), �

2 kvadriranje (unarna) cijelih brijeva. Dakle, na ovaj nacinu termu x2 + y2 − 5 ∗ x ∗ y smo svakom elementu dali konkretnuinterpretaciju cime je tim termom ustvari definisana još jedna bi-narna operacija na skupu cijelih brojeva. Naime, ako promjenljivex i y uzmu konkretne vrijednosti, recimo 4 i 2, tada term dobijavrijednost 42 +22 − 5 ∗ 4 ∗ 2 odnosno −20 , tj. dobili smo neki elementskupa cijelih brojeva.Iz svega zakljucujemo da su termi takvi izrazi za koje nema smisla

govoriti da li su istiniti ili ne, kako god ih interpretirali. U svakojinterpretaciji oni mogu postati samo neki elementi posmatranogskupa (ovdje treba izuzeti specijalan slucaj ako je A = {⊤,⊥} i op-eracijske znake kao logicke operacije).Medjutim, postoje i takvi izrazi za koje u odredjenoj interpretaciji

možemo govoriti o njihovoj istinitosti. Na primjer, izraz x+y2−1 > 0

36


je takav da u svakoj interpretaciji možemo reci da li je istinit iline. Razlog za to je što on pored gore navedenih elemenata sadrži irelacijski znak ">", koji mu daje ovu osobinu.Postavlja se sada pitanje, a kako možemo graditi matematicke

izraze koji imaju osobinu da možemo govoriti o njihovoj istinitostiu konkretnim interpretacijama?Prvi nacin bi bio korištenjem relacijskih znakova, tj. znakova ko-jima uspostavljamo relacije razlicitih dužina. Kao i kod operaci-jskih znakova i ovde je bitno da se za svaki relacijski znak unapri-jed odredi njegova dužina (arnost), koju onda kao takvu koristimou svim interpretacijama. Dakle, kada terme obogatimo relacijskimznacima dobijemo složenije izraze, kao npr.

x2 + y2 > 4 ; 21|168 ; A ∩ B ⊆ C ; p ‖ q ; F ≡ G .

Dalje možemo koristiti logicke veznike. Izraze dobijene povezivan-jem terma relacijskim znacima dalje možemo povezivati logickimveznicima i time dobijati još složenije izraze.

(6|x) ⇔ (2|x ∧ 3|x) ; x ≥ 2 ⇒ x2 ≥ 4 ; A ⊆ B ⇒ Ac ⊇ Bc .

Drugi nacin bi bio koristeci kvantifikatore.Izraz x < 3, interpretiran kao formula koja se odnosi na prirodnebrojeve, ne može biti ni tacan ni netacan jer njegova tacnost ovisio tome koju vrijednost iz skupa N uzima promjenljiva x. Ali, akodatu formulu dopunimo prefiksom za svaki prirodan broj x ilipostoji prirodan broj x, tada vec ima smisla govoriti o tacnostitakve formule. Ove prefikse nazivamo kvantifikatori i obilježavamoih posebnim simbolima.Ako sa P (x) oznacimo recenicu koju citamo "x ima osobinu P ",

onda recenicu

Za svaki x, x ima osobinu P

zapisujemo simbolicki(∀x) P (x) .

Simbol "∀" citamo "za svaki" i naziva se univerzalni kvantifikator.Recenicu "postoji x tako da x ima osobinu P " zapisujemo sa

(∃x) P (x) .

Simbol "∃" citamo "postoji" i naziva se egzistencijalni kvantifikator.

37


Tako bi sada prethodno spomenuta formula izgledala

(∀x) x < 3 ; (∃x) x < 3 .

Kada želimo da istaknemo skup na koga se odnosi dati kvantifika-tor, što u gornjem primjeru nismo uradili, a što bi obicnim rijecimareceno bilo: "svi prirodni brojevi su manji od 3" i "postoji prirodanbroj manji od 3", to onda možemo uciniti na više nacina, kao npr.

(∀x ∈ N) x < 3 ; (∃x ∈ N) x < 3 ,

ili(∀x) (x ∈ N ⇒ x < 3) ; (∃x) (x ∈ N ⇒ x < 3) .

Da bi smo formalno i precizno definisali pojmove terma i formuleu logici predikata, najprije cemo precizno odrediti jezik, odnosnoskup simbola od kojih polazimo u izgradnji terma i formula.Za polazne simbole uzimamo:

• pomocni simboli: "(" , ")" i ","

• logicki veznici: ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔ ,

• kvantifikatori: ∀ i ∃ ,

• promjenljive: x1, x2, ..., xn, ... ,

• konstante: a1, a2, ... ,

• operacijski znaci: f 11 , f 1

2 , f 13 , ...., f 2

1 , ..., fji , ...

• relacijski znaci: R11, R

21, ..., R

12, ...R

ji , ....

U funkcijskim znakovima fji i relacijskim znakovima R

ji , gornji in-

deks oznacava dužinu (arnost, broj argumenata), a donji indekskoristimo da razlikujemo znakove iste dužine ako radimo sa višetakvih. Logicki simboli i promjenljive su uvijek isti, uz napomenuda promjenljive možemo pisati i bez indeksa (npr. x, y, p, q, ...) akomožemo koristiti dovoljno razlicitih simbola.

Primjer 2.1. U strogom zasnivanju skupa prirodnih brojeva sa op-eracijama sabiranja i množenja i uobicajenom relacijom poretka,imamoSimbol konstante je 1.Operacijski znaci su f 2

1 i f 22 i oznacavaju redom "+" (plus) i "·" (puta).

Relacijski znaci su R21 i R2

2 i oznacavaju redom "=" i "≤".

38


Ovde smo uzeli da je kostanta jedino 1, a ostale prirodne brojevedobijamo na sljedeci nacin:

2def= 1 + 1 , 3

def= 2 + 1 , 4

def= 3 + 1 , ...

U manje formalnom (ali cešcem) izlaganju, konstantom se smatrajusvi prirodni brojevi. ♦

Definicija 2.1.1. Term definišemo induktivno:

1. Promjenljive i znaci konstanti su termi.

2. Ako je fnm funkcijski znak, a t1, t2, ..., tn termi, onda je term i

izraz

fnm(t1, t2, ..., tn) .

3. Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu dobiti konacnim

brojem primjena pravila 1. i 2.

Dakle, terme gradimo samo od konstanti, promjenljivih i funkci-jskih znakova.

Primjer 2.2. Primjeri terma su:

f 1

1 (x) , f 3

1 (x, y, a1) , f 2

2 (x1, f2

1 (a, b)) .

Sada na primjer, na jeziku prirodnih brojeva term f 22 (x1, f

21 (a, b))

uobicajeno zapisujemo sa x1(a + b). ♦

Kao što smo to vec spomenuli, od terma se do recenica (formula)dolazi kada terme povežemo relacijskim simbolima i logickim sim-bolima. Gramaticki gledano, relacije igraju ulogu glagola koji urecenici odredjuju predikat, pa otuda odgovarajuce formule zovemopredikatske, a dio logike koji se takvim recenicama bavi nazivamopredikatska logika.Kada se termi povežu odgovarajucim relacijskim znakom dobijamo

najjednostavnije formule koje nazivamo atomarne formule. Naime,

Definicija 2.1.2. Neka je Rni n-arni relacijski znak i t1, t2, ..., tn termi.

Tada se izraz

Rni (t1, t2, ..., tn)

naziva atomarna formula.

39


Primjer 2.3. Atomarne formule su npr.

R3

1(f1

1 (x2), x1, f2

1 (x2, x3)) , R2

2(a1, f1

1 (x)) , R1

1(f3

1 (p, q, r)) .

U konkretnim teorijama, npr. u teoriji skupova, jedna atomarnaformula je X ⊆ Y ∪ Z, u strukturi relanih brojeva atomarna for-mula je x ≤ y + z.Prema dogovornom oznacavanju, obje ove formule imaju isti zapis,tj. R2

1(x1, f21 (x2, x3)), gdje u prvom slucaju relacijski znak R2

1 pred-stavlja inkluziju ⊆, a funkcijski znak f 2

1 predstavlja uniju ∪, doku drugom slucaju oni predstavljaju redom relaciju ≤ i operacijusabiranja +. ♦

U jeziku algebarskih struktura znak "=" je relacijski znak dužine2 i uobicajeno se interpretira kao jednakost. Atomarnu formulu

t1 = t2 ,

gdje su t1 i t2 termi, nazivamo identitet ili algebarski zakon.

Definicija 2.1.3. Predikatsku formulu definišemo induktivno:

1. Svaka atomarna formula je predikatska formula.

2. Ako su F i G predikatske formule i x promjenljiva, onda su i

sljedeci izrazi predikatske formule:

(¬F ) , (F ∧G) , (F ∨G) , (F ⇒ G) , (F ⇔ G) , ((∀x)F ) , ((∃x)F ) .

3. Predikatske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu dobiti

konacnim brojem primjena pravila 1. i 2.

Jednostavnosti radi, ubuduce cemo predikatske formule jednos-tavno nazivati formulama.

Primjer 2.4. Primjeri formula su:

((∃x1)(∀x2) R2

2(x1, x2)) , ((∀x) R2

1(x, f 2

2 (x, y)) ⇔ ¬(∃y) R2

2(f2

2 (x, y), y)) .

Prva navedena formula u jeziku strukture prirodnih brojeva se za-pisuje jednostavnije sa

(∃x)(∀y) x ≤ y .

♦

40


Definicija 2.1.4. Svaki podniz (podrijec) predikatske formule je i

sam predikatska formula i nazivamo ga podformula predikatske for-

mule.

Gornja definicija nam je neophodna da bi odgonetnuli veliku ne-jasnocu, a ta je, šta je oblast djelovanja nekog kvantifikatora?

Definicija 2.1.5. Oblast dejstva kvantifikatora ∀ odnosno ∃, koji se

pojavljuje u formuli, jeste sam kvantifikator zajedno sa najmanjom

podformulom koja neposredno slijedi uz njega.

Primjer 2.5. U formuli

(((∃x1)¬R2

1(x1, x2)) ⇒ R1

1(x2)) ,

oblast djelovanja kvantifikatora ∃ je podformula

((∃x1)¬R2

1(x1, x2)) .

U formuli(∃a)(a > 0 ∧ ¬(∀b) b ≤ a) ,

oblast djelovanja kvantifikatora ∀ jeste podformula

(∀b) b ≤ a ,

a oblast djelovanja kvantifikatora ∃ jeste cijela formula. ♦

U predikatskoj logici se držimo i dalje pravila izostavljanja zagradakoje smo uveli u iskaznoj logici. Tako cemo umjesto

(((∃x1)¬R2

1(x1, x2)) ⇒ R1

1(x2)) ,

pisati jednostavnije

(∃x1)¬R2

1(x1, x2) ⇒ R1

1(x2) .

Isto tako, u konkretnim matematickim teorijama funkcijske znakovekoristimo bez indeksa, npr f, g, h i sl., a relacijske znake obilježavamouobicajeno malim slovima grckog alfabeta. U formuli

¬(∀x)(∃y)(ρ(x, y) ⇒ ρ(f(x, y), f(y, x))) ,

ρ je relacijski znak, a f je funkcijski znak.U formuli

(∀x)(∀y)(x ≤ y ∧ y 6= x + 1) ,

"≤" je relacijski simbol, "+" je funkcijski simbol, a umjesto ¬(y = x+1) zapisano je takodje standardno y 6= x + 1. Ovo su sve uobicajeneoznake u strukturama brojeva.

41


Definicija 2.1.6. Pojavljivanje promjenljive x u nekoj formuli je vezano

ako se x javlja u oblasti djelovanja nekog kvantifikatora.

Promjenljiva x je slobodna u formuli ako nije vezana.


(∀x)f(x) ⇒ ((∃y)ρ(x, y) ∨ g(y)) ,

prva dva pojavljivanja promjenljive x su vezana, a trece je slobodno.Isto tako, prva dva pojavljivanja promjenljive y su vezana, a treceje slobodno.U formuli

(∀x)(f(x) ⇒ ((∃y)ρ(x, y) ∨ g(y))) ,

sva tri pojavljivanja promjenljive x su vezana, dok su prva dva po-javljivanja y-a vezana, a trece je slobodno.U formuli

(∀x)(f(x) ⇒ (∃y)(ρ(x, y) ∨ g(y))) ,

su sva pojavljivanja promjenljivih x i y vezana. ♦

Promjenljiva je slobodna ili vezana u formuli ako u njoj ima slo-bodno ili vezano pojavljivanje. Kao što se vidi iz gornjih primjera,promjenljiva može biti i slobodna i vezana isovremeno u jednoj for-muli.

Zadaci 2.1. :

1. Sljedece terme zapisati u formalnom zapisu sa funkcijskimsimbolima

(a) (x + y)(a + b), 2x + 3y − xy.

(b) ((Ac ∩ B) ∪ A \ B)c (Ac je komplement skupa).

(c) ~v · (~u × ~w)

2. Zapisati u formalnom zapisu sljedece formule

(a) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2, x2 + y2 ≥ 2xy.

(b) A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac.

(c) Za proizvoljne tacke A,B,C i X neke prave vrijedi: Akoje tacka A izmedu tacaka B i C i ako je tacka X izmedutacaka A i B, onda je i tacka X izmedu tacaka B i C.

42

2.2. Interpretacija i valuacija

3. U izrazu∀x ∃y x + y < 0 ∧ xy > 1 ,

postavljanjem zagrada napraviti

(a) da su prva dva pojavljivanja promjenljive x i prva dva po-javljivanja promjenljive y vezana, a njihova treca pojavlji-vanja slobodna.

(b) da su sva tri pojavljivanja x vezana, a prva dva pojavlji-vanja y vezana i trece pojavljivanje y slobodno.

(c) da su sva pojavljivanja promjenljivih vezana.

2.2 Interpretacija i valuacija

Termi i formule dobijaju konkretan smisao tek onda kada se pos-matraju u nekoj konkretnoj (npr. matematickoj) strukturi. Svakainterpretacija formule ili grupe formula vezuje se za neku operacijsko-relacijsku strukturu. Pod tim pojmom podrazumijevamo neki nepra-zan skup, oznacimo ga sa D, koga nazivamo domen interpretacije,zajedno sa nekim sistemom relacija i operacija (funkcija) raznihdužina, definisanih na njemu. Te relacije i operacije neophodne suza interpretaciju relacijskih i funkcijskih simbola koji se javljajuu tim formulama, dok konstante interpretiramo kao fiksirane ele-mente domena D. Promjenljive koje se pojavljuju u tim formulamatakodje uzimaju vrijednosti u skupu D.

Definicija 2.2.1. Interpretacija formule ili grupe formula je uredjeni

par D = (D,φ), gdje je D domen interpretacije, a φ je pridruživanje

izvršeno na slijedeci nacin:

Uocimo sve znakove konstanti, funkcijske i relacijske simbole koji

ucestvuju u izgradnji tih formula. Zatim

(a) svakom znaku konstante se pridruži neki fiksni element iz D

(interpretacija konstanti);

(b) svakom funkcijskom simbolu dužine n se pridruži neka n-arna

operacija na D, tj. funkcija iz Dn u D (interpretacija funkcijskih

simbola);

43


(c) svakom relacijskom simbolu dužine n se pridruži neka n-arna

relacija na D, tj. podskup od Dn (interpretacija relacijskih sim-

bola).

Kao što smo rekli, u datoj interpretaciji promjenljive oznacavajuproizvoljne elemente iz D, a logicki simboli i kvantifikatori imajusvoja uobicajena znacenja.Kada izvršimo interpretaciju neke formule, ona postaje recenica

kojom se nešto tvrdi o elementima domena interpretacije.

Primjer 2.7. Neka su date formule

(1) R2

1(f2

1 (x1, x2), a2),

(2) (∃x2)R22(f

21 (x1, x2), a2),

(3) (∀x1)(R21(x1, a1) ⇒ (∃x2)R

21(f

21 (x1, x2), a1)) ,

i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R.Konstantama a1 i a2 pridružimo redom brojeve 0 i 1, funkcijskom

simbolu f 21 dužine 2, pridružimo operaciju množenja, a relacijskim

simbolima R21 i R2

2 dužina 2, pridružimo redom relaciju "manje" (<),odnosno relaciju "jednako" (=).Interpretaciju gornjih formula cini dakle skup R i navedeno pridruži-vanje. Dakle D = (R, φ), gdje je φ dato sa

φ =

(

a1 a2 f 21 R2

1 R22

0 1 · < =

)

.

Na osnovu ovakve interpretacije, gornje formule postaju redomrecenice:(1) "Proizvod brojeva x1 i x2 je manji od 1", tj. x1 · x2 < 1.(2) "Postoji broj x2 takav da je x1 · x2 = 1".(3) "Za svaki broj x1, ako je on manji od 0, onda postoji broj x2,takav da je x1 · x2 < 0". ♦

Kako smo vec spomenuli, polazni simboli mogu i sami upucivatina interpretaciju. Tako se formule iz posljednjeg primjera obicnoformulišu redom na sljedeci nacin:

x · y < 1 ; (∃y) x · y = 1 ; (∀x)(x < 0 ⇒ (∃y) x · y < 0) .

Sve što je receno o interpretiranju vrijedi i za ovako zapisane for-mule, jedino što se ovdje naprimjer oznake polaznih simbola pok-lapaju sa oznakama matematickih objekata iz domena odnosnopridruživanja.

44


Formula u konkretnoj interpretaciji može biti tacna ili netacna.To zavisi od vrijednosti koje termi koji u njoj ucestvuju, dobiju utoj interpretaciji, a vrijednost terma, kao što smo vidjeli, je nekavrijednost iz domena interpretacije i dobija se kada varijable uzmukonkretne vrijednosti iz domena. U definicijama koje slijede pret-postavljamo da je D = (D,φ) interpretacija datog skupa predikatskihformula.

Definicija 2.2.2. Niz

v = (c1, c2, ..., cn, ...) ,

gdje su ci ∈ D (i ∈ N), nazivamo valuacija domena D.

Kao i u logici iskaza, svrha valuacije jeste da pridruži konkretnevrijednosti varijablama koje se pojavljuju u posmatranim formu-lama. Pri tome se varijabli xi pridružuje vrijednost ci, gdje je i ∈ N.Prema tome, valuacija je zapravo preslikavanje svih mogucih prom-jenljivih u domen interpretacije, naime

v : {x1, x2, ..., xn, ...} → D

i pri tome jev(xi) = ci ∈ D , i ∈ N .

Kako u konacnom skupu formula ucestvuje konacno mnogo prom-jenljivih, npr. x1, x2, ..., xn, to valuacija može biti i konacan niz iliuredjena n-torka elemenata iz D, v = (c1, c2, ..., cn). Ali, pokazujese jednostavnijim valuaciju posmatrati uvijek kao beskonacan niz,buduci da nakon nekog konacnog elementa u tom nizu, ostali el-ementi ne uticu na vrijednost terma jer varijable koje odgovarajutim vrijednostima ne ucestvuju u formulama. Napomenimo još ito da ako za varijable koristimo slova npr. x, y, z, ... onda njihov re-doslijed posmatramo leksikografski (po redoslijedu u odgovarajucojabecedi) i tim redom im pridružujemo vrijednosti valuacije.Vrijednost terma t u valuaciji v oznacavat cemo sa tv, a samu vri-

jednost definišemo induktivno prema složenosti terma.

Definicija 2.2.3. Neka je t term i neka je data valuacija v = (c1, c2, ..., cn, ...).

1. Ako je term t promjenljiva xi, onda je tv = ci.

2. Ako je term t simbol konstante ai, tada je tv element koji u datoj

interpretaciji odgovara konstanti ai.

45


3. Ako je t = f(t1, t2, ..., tn), gdje je f operacijski znak dužne n, a

t1, t2, ..., tn su termi, onda je

tv = fD((t1)v, (t2)v, ..., (tn)v) ,

gdje je fD operacija na skupu D kojom je interpretiran fukcijski

znak f .

Primjer 2.8. Posmatrajmo term f(a, g(x, y)) i neka je D = (R, φ), pricemu je

φ =

(

a f g

10 + ·

)

.

U datoj interpretaciji term poprima oblik 10 + x · y, ali kao što prim-jecujemo on za sada nema nikakvu konkretnu vrijednost.Neka je sada zadata valuacija v = (3, 2). Vrijednost gornjeg termaza ovu valuaciju iznosi 10 + 2 · 3, odnosno to je vrijednost 16. ♦

Definišimo sada šta precizno znaci da je neka predikatska formulatacna u nekoj valuaciji v, na domenu interpretacije. Kao što cemovidjeti i ovaj pojam se definiše induktivno po složenosti formule i tona sljedeci nacin.

Definicija 2.2.4. Neka su F i G predikatske formule.

1. Neka je F = R(t1, t2, ..., tn) atomarna formula i neka je ρ n-arna

relacija koja u datoj interpretaciji odgovara relacijskom simbolu

R. Tada je formula F tacna u valuaciji v ako su vrijednosti

terma t1, t2, ..., tn tim redom, u relaciji ρ, tj. ako važi

ρ((t1)v, (t2)v, ..., (tn)v) ili ((t1)v, (t2)v, ..., (tn)v) ∈ ρ .

2. Formula ¬F je tacna u valuaciji v ako formula F nije tacna u

valuaciji v.

3. Formula F ∧ G je tacna u valuaciji v ako su i F i G tacne u

valuaciji v.

4. Formula F ∨G je tacna u valuaciji v ako je formula F ili formula

G tacna u valuaciji v.

5. Formula F ⇒ G je tacna u valuaciji v ako vrijedi: ako je formula

F tacna u valuaciji v tada je i formula G tacna u valuaciji v.

46


6. Formula F ⇔ G je tacna u valuaciji v ako rijedi: formula F je

tacna u valuaciji v ako i samo ako je formula G tacna u valuaciji

v.

7. Formula (∀ xi)F je tacna u valuaciji v ako je formula F tacna u

svakoj valuaciji v′ koja se od valuacije v razlikuje najviše u i-toj

komponenti.

8. Formula (∃ xi)F je tacna u valuaciji v ako je formula F tacna u

bar jednoj valuaciji v′ koja se od valuacije v razlikuje najviše u

i-toj komponenti.

Za formulu u 7. podrazumijevamo da je F tacna u svakoj val-uaciji v′ koja se dobije iz valuacije v zamjenom i-te komponente ci

proizvoljnim elementom domena interpretacije D. Drugim rijecima,formula F mora biti tacna za bilo koje dodijeljivanje vrijednostipromjenljivoj xi iz domena D, dok druge promjenljive dobijaju vri-jednosti odredjene valuacijom v.

Primjer 2.9. Neka je npr. D = [0, 1] i posmatrajmo formulu (∀y)x+y ≥0. Neka je v = (0.3, 0.1) jedna valuacija. Data formula je tacna uvaluaciji v jer zamjenom vrijednosti 0.1 ∈ [0, 1] bilo kojom drugomvrijednošcu b ∈ [0, 1] tvrdnja 0.3 + b ≥ 0 je tacna. ♦

Za formulu u 8. podrazumijevamo da je formula F tacna u jednojvaluaciji koja se iz valuacije v dobije zamjenom i-te komponenteci nekim elementom iz domena interpretacije D. Ovo znaci, for-mula F mora biti tacna bar za jedno dodjeljivanje vrijednosti prom-jenljivoj xi iz domena D, dok ostale promjenljive uzimaju vrijednostiodredene valuacijom v.

Primjer 2.10. Neka je D = [0, 1] i neka je data formula

(∃x) x − y ≥ 0 .

Neka je v = (0.3, 0.6) jedna valuacija. Kako ocigledno zamjenomprve komponente u valuaciji v vrijednošcu 0.7 ∈ [0, 1] data formula0.7 − 0.6 ≥ 0 postaje tacna, to je i polazna formula tacna. ♦

Da je formula F tacna u valuaciji v i pri interpretaciji D, zapisu-jemo sa

D ⊢v F ,

i kažemo da valuacija v zadovoljava formulu F u interpretaciji D.

47


Primjer 2.11. Date su formule R(y, f(x, a)) i (∃y)R(x, y). Neka je in-terpretacija D = (N, φ), gdje je

φ =

(

a f R

1 + >

)

.

Valuacija v = (1, 3) zadovoljava prvu formulu jer se ona svodi naiskaz "3 je vece od 1 + 1". Medjutim druga formula nije tacna uvaluaciji v jer ocigledno da nije tacan iskaz "postoji prirodan brojkoji je manji od 1".Ako bi smo posmatrali valuaciju v = (2, 3), sada prva formula ne bibila tacna ali druga bi bila tacna. ♦

Primjer 2.12. Posmatrajmo formulu (∀x) x · y = y u interpretacijisa domenom Z, a operacijske i relacijske znake interpretiramo kaouobicajene operacije i relacije na skupu cijelih brojeva. U ovoj in-terpretaciji data formula je tacna u svakoj valuaciji oblika (a, 0) gdjeje a proizvoljan cijeli broj ali nije tacna niti u jednoj valuaciji oblika(a, b) gdje je b ∈ Z \ {0}. ♦

Primjer 2.13. Formula (∀x)(x 6= 0 ⇒ (∃y)x · y = 1) na domenu R isa uobicajenim interpretiranjem funkcijskih i relacijskih znakova,tacna je u svakoj valuaciji. ♦

Primjecujemo i kroz ove primjere ali i kroz definisanje pojmova davaluirajuci neku formulu ona postaje iskaz, tj. recenica koja je ilitacna ili netacna. Dakle, ako je data formula F i ako sve njeneslobodne promjenljive zamjenimo njihovom vrijednošcu u datoj in-terpetaciji, formula postaje iskaz koga cemo oznacavati sa Fv.

Primjedba 2.2.1. Ocigledno je da vrijedi: Formula F je tacna u val-uaciji v ako i samo ako je τ (Fv) = ⊤.

Definicija 2.2.5. Za formulu F kažemo da je tacna u interpretaciji

D ako je ona tacna u svakoj valuaciji na D, tj.

(za svaku valuaciju v) τ (Fv) = ⊤ .

Ako je F tacna u interpretaciji D, kažemo da je D model formule F i

to zapisujemo sa

D ⊢ F .

48


Gornju definiciju smo mogli iskazati i za neki skup formula S, tj.ako je svaka formula iz S tacna u interpretaciji D tada kažemo daje D model skupa S i pišemo

D ⊢ S .

Primjer 2.14. Formula (∃x) x < y, sa uobicajenim tumacenjem sim-bola je na domenu Z tacan iskaz. Dakle, struktura (Z, <) je modelove formule.Struktura (N, <) je takodje jedna interpretacija ove formule ali

u toj interpretaciji formula nije tacna pa dakle ta struktura nijemodel ove formule. ♦

Ispitivanjem istinitosti formula u gornjem primjeru, koristili smose cinjenicom da formule (∃x) x < y i (∀y)(∃x) x < y imaju istoznacenje. Razlika u ovim formulama je što u prvoj od njih prom-jenljiva y je slobodna (nije vezana niti jednim kvantifikatorom), au drugoj obje promjenljive su vezane. Ovo možemo iskazati i kaogeneralno pravilo.

Teorem 2.2.1. Interpretacija D je model formule F ako i samo ako

je D model formule (∀xi) F .

Dokaz : Neka je D ⊢ F . To imamo ako i samo ako je za svakuvaluaciju v iz D, D ⊢v F , ukljucujuci i svaku valuaciju koja se od v

razlikuje najviše u i-toj komponenti, a ovo opet važi ako i samo akoje D ⊢ (∀xi) F . ♣

Definicija 2.2.6. Za formulu kažemo da je zatvorena ako u njoj

nema slobodnih promjenljivih.

Zatvorene formule su u svakoj interpretaciji iskazi, tj. one su ilitacne ili netacne recenice bez obzira na valuaciju.

Primjer 2.15. Formula

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x′, x′′)(|x′ − x′′| < δ ⇒ |f(x′) − f(x′′)| < ε) ,

primjer je zatvorene formule (uniformna neprekidnost), a formula

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

je primjer formule koja nije zatvorena jer promjenljiva x0 nije vezananiti jednim kvantifikatorom (neprekidnost u tacki). ♦

49


Definicija 2.2.7. Pod zatvorenjem formule F podrazumijevamo zatvorenu

formulu

(∀xik)(∀xik−1)...(∀xi1) F ,

gdje su xi1 , ..., xik redom sve slobodne promjenljive koje se pojavljuju

u formuli F .

Primjer 2.16. Ako formulu iz gornjeg primjera

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

"nadopunimo" na sljedeci nacin

(∀x0)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε) ,

napravili smo zatvorenje formule jer smo jedinu slobodnu prom-jenljivu x0 vezali kvantifikatorom (∀x0) (i tako dobijemo pojam neprekid-nosti funkcije na skupu). ♦

Uzastopnom primjenom Teoreme 2.2.1, imamo sljedece tvrdjenje,

Posljedica 2.2.2. Formula je tacna u nekoj interpretaciji ako i samo

ako je njeno zatvorenje tacno u toj interpretaciji.

Zadaci 2.2. :

1. Neka je domen interpretacije neka skupina ljudi i neka jerelacijski simbol R2 interpretiran sa "poštovati" (R2(a, b), osobaa poštuje osobu b).

(a) Iskazati sljedece recenice formalnim zapisom logike predikata

i. Profesor poštuje studenta.

ii. Profesor poštuje studente.

iii. Postoji student koji poštuje svoje kolege.

iv. Ne postoji profesor koji ne poštuje neke studente.

v. Ako postoji profesor koji poštuje sve studente, ondasvi studenti poštuju tog profesora.

(b) Sljedece formalne zapise prevesti u obican govor:

i. (∀x) R2(x, y).

ii. (∃x)(∃y) (R2(x, y) ∧ R2(y, x)).

50

2.3. Valjane formule

iii. (∃x)(∃y) (x 6= y ∧ R2(x, y) ∧ R2(y, x)).

iv. ((∀x)(∀y) (x 6= ∧R2(x, y)) ∧ (∀x)(∀y) (x 6= ∧R2(x, y))) ⇒(∀x) R2(x, x).

2. (a) Zapisati simbolicki definiciju neprekidnosti funkcije f :R → R, u tacki x0.

(b) Zapisati simbolicki definiciju neprekidnosti funkcije f :R → R na skupu D.

(c) Sa C[a, b] oznacavamo skup neprekidnih funkcija na seg-mentu [a, b]. Koristeci simbolicki zapis iskazati teorem:Svaka neprekidna funkcija na [a, b] je ogranicena na [a, b].

(d) Koristeci simbolicki zapis iskazati teorem: Svaka neprekidnafunkcija na [a, b] dostiže svoju najvecu i najmanju vrijed-nost na [a, b].

3. Neka je domen interpretacije skup E ciji su elementi realninizovi (α = (αi)i∈N). Neka je ρ ⊆ E × R, definisana sa

ρ(α, x)def⇔ αn → x , n → ∞ ,

i θ ⊆ R × R, znak jednakosti. Interpretirati sljedece zapise iprocitati ih.

(a) (∀α ∈ E) ρ(α, 0).

(b) (∀α ∈ E)(∃x ∈ R) ρ(α, x).

(c) (∃x0 ∈ R)(∀α ∈ E) ρ(α, x0).

(d) (∀α ∈ E) ((ρ(α, x′) ∧ ρ(α, x′′)) ⇒ θ(x′, x′′)).

2.3 Valjane formule

Ako je predikatska formula F tacna u interpretaciji D, tj. ako jeD model formule F , onda ta formula govori o nekim osobinamastrukture D. Tako na primjer, formula u Primjeru 2.14 nam govorida u skupu Z, od svakog unaprijed zadatog broja, postoji manjibroj, drugacije receno, ne postoji najmanji cijeli broj. Ovo naravnonije bio slucaj u strukturi N, koja kao što smo vidjeli i nije bilamodel date formule.

51


Ova formula dakle nije opšte pravilo ili pravilo zakljucivanja, veckonkretno svojstvo modela.Kao što cemo vidjeti u daljem, postoje formule koje odražavaju

opšta pravila, a ne samo osobine nekih modela.

Definicija 2.3.1. Za formulu kažemo da je zadovoljiva ako postoji

interpretacija i valuacija u njoj u kojoj je ta formula tacna.

Definicija 2.3.2. Za formulu koja je tacna u proizvoljnoj interpretaciji

kažemo da je opšte važeca ili da je valjana formula.

Ako je F valjana formula to zapisujemo sa

⊢ F .

Teorem 2.3.1. Formula F je valjana ako i samo ako formula ¬F nije

zadovoljiva.

Formula F je zadovoljiva ako i samo ako formula ¬F nije valjana.

Dokaz gornje cinjenice ostavljen je citaocu za vježbu.Kao i tautologije, valjane formule opisuju pravila logickog zakljuci-

vanja. Za razliku od formula koje su tacne samo u nekim inter-pretacijama, valjane formule nam ne govore ništa o pojedinim os-obinama modela.Postavlja se pitanje da li i koliko ima valjanih formula? Kao štocemo to upravo vidjeti, nema ih manje od tautologija.

Definicija 2.3.3. Izvod iskazne formule je predikatska formula do-

bijena iz date formule zamjenom svih iskaznih slova predikatskim

formulama, pri cemu isto slovo zamjenjujmo istom formulom.

Primjer 2.17. Iskazna formula p ⇒ (q ⇒ p) je tautologija. Ako udatoj formuli iskazno slovo p zamjenimo predikatskom formulom(∀x)F , a slovo q sa formulom (∃x)F , dobijamo jednu izvodnu for-mulu polazne tautologije.

(∀x)F ⇒ ((∃x)F ⇒ (∀x)F ) .

Izvodna formula formule (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) je npr.

((∀x)F ⇒ (∃x)F ) ⇔ (¬(∃x)F ⇒ ¬(∀x)F ) .

♦

Teorem 2.3.2. Izvod tautologije je valjana formula.

52


Dokaz : Neka je A(p1, p2, ..., pn) tautologija i neka su F1, F2, ...Fn proiz-voljne predikatske formule. Neka je F formula dobijena iz formuleA zamjenom njenih iskaznih slova datim predikatskim formulama.Neka je D proizvoljna interpretacija formule F i neka je v jedna(proizvoljna) valuacija. U toj valuaciji svaka od formula F1, F2, ..., Fn

postaje iskaz i to redom (F1)v, (F2)v, ..., (Fn)v. Istinitosna vrijednostovih iskaza obrazuje n-torku simbola ⊤,⊥. Ako tu n-torku pridruži-mo iskaznim slovima p1, p2, ..., pn, to ce pretstavljati jednu inter-pretaciju iskazne formule A, a kako je ova tautologija, ona ce i u tojinterpretaciji biti tacna. Na osnovu definicije tacnosti predikatskeformule zakljucujemo da valuacija v zadovoljava formulu F . Kakoje valuacija bila proizvoljna, D je model formule F , a kako je i in-terpretacija bila proizvoljna, formula F je valjana. ♣

Jasno je iz gornjeg tvrdjenja da pomocu svake tautologije sadamožemo formirati familiju valjanih formula, što opet znaci da val-janih formula nema manje nego što je tautologija. Sada cemo datineke valjane formule koje nisu izvodi tautologija, a to ce zbaciti davaljanih formula ima više nego tautologija.

Teorem 2.3.3. Neka je F proizvoljna predikatska formula. Formula

(∀xi)F ⇒ (∃xi)F

je valjana.

Dokaz : Zaista, ako neka valuacija v u proizvoljnoj interpretacijizadovoljava formulu (∀xi)F , to onda znaci da je formula F tacna iu svakoj valuaciji koja se od v razlikuje najveše na i-tom mjestu.Ovo opet znaci da postoji element koga kada stavimo na i-to mjestovaluacije v zadovoljava formulu F , što opet znaci da je u valuaciji v

tacna formula (∃xi)F .Sada na osnovu Definicije 2.2.4 5. zakljucujemo da je formula

(∀xi)F ⇒ (∃xi)F valjana. ♣

Teorem 2.3.4. Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljedece

formule su valjane:

1. (∀x)(∀y)F ⇔ (∀y)(∀x)F .

2. (∃x)(∃y)F ⇔ (∃y)(∃x)F .

3. (∃x)(∀y)F ⇒ (∀y)(∃x)F .

53


4. ¬(∀x)F ⇔ (∃x)¬F .

5. ¬(∃x)F ⇔ (∀x)¬F .

Dokaz : U dokazu gornjih tvrdjenja krecemo od proizvoljne inter-pretacije D i proizvoljne valuacije v u njoj. Dokazujemo da je cijelaformula tacna za tu valuaciju, a kako su valuacija i interpretacijaproizvoljne, zakljucujemo da je formula valjana.Dokažimo na primjer valjanost formule 3.

Jednostavnosti radi, pretpostavimo da je formula F dvomjesni predi-kat (da u F ucestvuju samo dvije promjenljive x i y, tj. imamoF (x, y) ). Formula (∃x)(∀y) F je tacna u valuaciji v ako i samo akou domenu postoji a takav da je formula (∀y) F tacna za valuaciju v′

dobijenu iz valuacije v zamjenom prve komponente sa a. Medjutim,formula (∀y) F je tacna za v′ ako je formula F tacna za svaku val-uaciju koja se od v′ razlikuje najviše na drugom mjestu. Elementa figuriše na prvom mjestu svake od tih valuacija, pa je formula(∃x) F tacna za svaku valuaciju koja se od v razlikuje na drugommjestu. Ovo opet znaci da je formula (∀y)(∃x) F tacna u valuaciji v,a na osnovu gore recenog formula 3. je valjana.Dokažimo još valjanost formule 5. Pretpostavimo, ne umanjujuci

opštost, da je F predikat u kome se promjenljiva x javlja na i-tommjestu.Formula (∀x) ¬F je tacna za valuaciju v ako i samo ako je formula¬F tacna za sve valuacije koje se od v razlikuju na najviše i-tommjestu, što je ekvivalentno sa tim da formula F nije tacna ni zajednu od tih valuacija. Posljednje receno važi ako i samo ako nepostoji element koji bi mogao stajati na i-tom mjestu valuacije v

tako da formula F bude tacna, odnosno ako i samo ako je formula¬(∃x) F tacna u valuaciji v.Dokazi ostalih tvrdnji ostavljeni su citaocu za vježbu. ♣

Primjer 2.18. U svim tvrdnjama gornje teoreme vrijede ekvivalen-cije, osim u 3. Da u 3. ne vrijedi obratna implikacija, vidimo izsljedeceg primjera. Ako posmatramo skup R sa uobicajenim op-eracijskim i funkcijskim simbolima, imali bi

(∀x)(∃y)x ≤ y ⇒ (∃y)(∀x)x ≤ y .

Lijevu stranu imlikacije tumacimo na sljedeci nacin: za svaki re-alan broj, postoji realan broj koji je veci od njega, tj. od svakogrealnog broja postoji veci broj i ova tvrdnja je naravno tacna.

54


Desnu stranu bi u tom slucaju interpretirali: postoji realan brojkoji je veci od svih realnih brojeva, što opet nije tacno.Dakle, kompletna formula nije tacna, tj. nije valjana. ♦

Teorem 2.3.5. Neka su F i G proizvoljne predikatske formule. Sljedece

formule su valjane:

1. (∀x)(F ∧ G) ⇔ (∀x) F ∧ (∀x) G

2. (∃x)(F ∧ G) ⇒ (∃x) F ∧ (∃x) G

3. (∀x) F ∨ (∀x) G ⇒ (∀x)(F ∨ G)

4. (∃x) (F ∨ G) ⇔ (∃x) F ∨ (∃x) G

5. (∀x) (F ⇒ G) ⇒ ((∀x) F ⇒ (∀x) G)

6. (∃x) (F ⇒ G) ⇔ ((∃x) F ⇒ (∃x) G)

7. (∀x) (F ⇔ G) ⇒ ((∀x) F ⇔ (∀x) G)

Dokaz : Dokažimo npr. valjanost formule 2. Formule F i G nekasu n-mjesni predikati na cijem se i-tom mjestu pojavljuje varijablax.Ako je formula (∃x)(F ∧ G) tacna za valuaciju v, onda postoji ele-ment a u domenu interpretacije takav da je formula F ∧ G tacnaza valuaciju v′ dobijenu iz v zamjenom i-te komponente sa a. Kon-jukcija je tacna ako su oba iskaza tacna, pa su dakle formule F

i G tacne u valuaciji v′, a to znaci da su tacne i formule (∃x) F i(∃x) G ali u valuaciji v, odnosno za tu valuaciju tacna je i njihovakonjukcija.Ostali dokazi ostavljeni su za vježbu. ♣

Za svaku formulu u prethodnim dvjema teoremama gdje ne važeekvivalencije vec samo implikacije, treba naci kontra-primjer daobrat ne važi.Kao što se pokazuje, pod odredjenim dodatnim pretpostavkama,

sve implikacije u gornjim teoremama možemo prevesti u ekvivalen-cije.

Teorem 2.3.6. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli G, onda

su sljedece formule valjane:

1. (∃x)(F ∧ G) ⇔ (∃x) F ∧ G

55

2.4. Glavni test za predikatske formule

2. (∀x) F ∨ G ⇔ (∀x)(F ∨ G)

3. (∀x)(F ⇒ G) ⇔ ((∃x) F ⇒ G)

4. (∃x) (F ⇒ G) ⇔ ((∀x) F ⇒ G)

5. (∀x) (G ⇒ F ) ⇔ (G ⇒ (∀x) F )

6. (∃x) (G ⇒ F ) ⇔ (G ⇒ (∃x) F ).

Cinjenica da neka promjenljiva nije slobodna u nekoj formuli ek-vivalentna je cinjenici da se ta promjenljiva ne javlja u toj formuli.Zaista, ako se neka promjenljiva javlja kao vezana u formuli, ondaumjesto nje možemo staviti simbol neke druge promjenljive i takodobiti istu formulu (logicki ekvivalentnu). Npr. u formuli

(∀x)(∃y) x + y = 1 ,

zamjenom slova nekim drugim imamo

(∀a)(∃b) a + b = 1 ,

što je ekvivalentna formula.

2.4 Glavni test za predikatske formule

Kao što smo vidjeli, ispitivati valjanost predikatskih formula nije nimalo jednostavan zadatak metodom koju smo koristili u prethodnojsekciji. Zato je od interesa imati i neke druge metode, a jedna odnjih je glavni test.Neka je F proizvoljna predikatska formula. Kao i kod glavnog testa

za iskazne formule, i ovdje test pocinjemo sa redom

F ⊥ .

U grananju glavnog testa koristimo Tabelu 1.1, ali su nam za predikatskeformule potrebna i grananja iz formula koje imaju vezane varijable.Prije nego što navedemo ta pravila, napravimo sljedeci dogovor:Neka je data formula A u kojoj se pojavljuje iskazno slovo x.Sa A[x → a] oznacavamo formulu A u kojoj je svako pojavljivanjepromjenljive x zamjenjeno sa a, gdje je a proizvoljna vrijednost izdomena interpretacije formule.Sa A[x → a∗] oznacavamo formulu A u kojoj je svako pojavljivanje

56


promjenljive x zamjenjeno sa a∗, gdje je a∗ neka konkretna vrijed-nost iz domena interpretacije formule.Pri tome uvodimo sljedeca pravila za ovako definisanu formulu.

1. (¬A)[x → α] = ¬A[x → α].

2. (A ∧ B)[x → α] = A[x → α] ∧ B[x → α].

3. (A ∨ B)[x → α] = A[x → α] ∨ B[x → α].

4. (A ⇒ B)[x → α] = A[x → α] ⇒ B[x → α].

5. (A ⇔ B)[x → α] = A[x → α] ⇔ B[x → α].

6. ((∀x) A)[x → α] = (∀x) A.

7. ((∃x) A)[x → α] = (∃x) A.

8. Ako je y neka druga varijabla, tada((∀y) A)[x → α] = (∀y) A[x → α] .

9. Ako je y neka druga varijabla, tada((∃y) A)[x → α] = (∃y) A[x → α] .

U svim gornjim izrazima znak "=" oznacava zamjenu formule nalijevoj strani formulom na desnoj strani. Pri tome smo sa α oznaciliili proizvoljnu vrijednost iz domena (a) ili konkretnu vrijednost izdomena (a∗).Sada cemo dati dodatna pravila glavnog testa predikatskih for-

mula.

∀ (∀x) A ⊤

A[x → a] ⊤

(∀x) A ⊥

A[x → a∗] ⊥

∃ (∃x) A ⊤

A[x → a∗] ⊤

(∃x) A ⊥

A[x → a] ⊥

Tablica 2.1: Dodatna pravila grananja glavnog testa

57


Napomena 2.4.1. Ako x mijenjamo konkretnim a∗, što smo oznacili

sa [x → a∗], podrazumijeva da u toj grani u daljem grananju, taj a∗

nema nova pojavljivanja. Ovo znaci da ako dodemo u novu situaciju

da x mijenjamo sa konkretnom vrijednošcu, onda to mora biti neka

nova vrijednost, npr. a∗∗.

Primjer 2.19. Ispitati istinitost predikatske formule

(∃x)(∀y)F (x, y) ⇒ (∀y)(∃x)F (x, y) .

(∃x)(∀y)F (x, y) ⇒ (∀y)(∃x)F (x, y) ⊥

(∃x)(∀y)F (x, y) ⊤

(∀y)(∃x)F (x, y) ⊥

(∀y)F (x, y)[x → a∗] ⊤

(∃x)F (x, y)[y → b∗] ⊥

F (x, y)[x → a∗][y → b∗] ⊤

F (x, y)[x → a∗][y → b∗] ⊥#

Posljednja dva reda gornjeg glavnog testa bi trebala biti

F (x, y)[x → a∗][y → b] ⊤

iF (x, y)[x → a][y → b∗] ⊥ .

Medjutim, kako su a i b proizvoljne vrijednosti, možemo onda uzetibaš a∗ i b∗.Dobijena kontradikcija u jedinoj grani glavnog testa znaci da je

polazna formula valjana. ♦

Primjer 2.20. Pokazati da je predikatska formula

(∃x)(P ∨ Q) ⇔ (∃x) P ∨ (∃x) Q ,

valjana. Formule P i Q su predikatske formule u kojima je pojavlji-vanje varijable x slobodno, ali to ne isticemo kao u prethodnom za-datku, želeci da sugerišemo da ti predikati mogu imati proizvoljno(konacno) mnogo promjenljivih.

58


(∃x)(P ∨ Q)⇔(∃x) P ∨ (∃x) Q ⊥

(∃x)(P ∨ Q) ⊤ (∃x)(P ∨ Q) ⊥

(∃x) P ∨ (∃x) Q ⊥ (∃x) P∨(∃x) Q ⊤

(∃x) P ⊥ .

(∃x) Q ⊥ (∃x) P ⊤ (∃x) Q ⊤

(P ∨ Q)[x → a∗] ⊤ P [x → b∗] ⊤ Q[x → c∗] ⊤

. (P ∨ Q)[x → a] ⊥ (P ∨ Q)[x → a] ⊥

P [x → a∗] ⊤ Q[x → a∗] ⊤ P [x → a] ⊥ P [x → a] ⊥

P [x → a] ⊥ Q[x → a] ⊥ Q[x → a] ⊥ Q[x → a] ⊥

# # # #

Kontradikcije smo istakli zelenom bojom. Pri tome, njihovu kon-

tradiktornost objašnjavamo na sljedeci nacin: Formula P [x → a] ⊥

je kontradiktorna formuli P [x → a∗] ⊤ jer izraz P [x → a] ⊥ znacida je formula P netacna kad x zamjenimo proizvoljnom vrijednošcua, a to znaci da ce ona biti netacna i ako x zamjenimo sa a∗.Kako se svaka grana završava kontradikcijom (#), polazna formulaje valjana. ♦

Primjer 2.21. Ispitati valjanost formule

(∃x) F ⇔ ¬(∀x)¬F .

(∃x) F ⇔ ¬(∀x) ¬F ⊥

(∃x) F ⊤ (∃x) F ⊥

¬(∀x)¬F ⊥ ¬(∀x)¬F ⊤

F [x → a∗] ⊤ F [x → a] ⊥

(∀x)¬F ⊤ (∀x)¬F ⊥

(¬F )[x → a] ⊤ (¬F )[x → a∗] ⊥

F [x → a] ⊥ F [x → a∗] ⊤

# #

♦

59

2.5. Zamjena promjenljive termom

2.5 Zamjena promjenljive termom

Zamjenimo sva slobodna pojavljivanja promjenljive x u formuli F (x)termom t. Dobijenu formulu oznacimo sa F (t). Oznakom F (x)samo isticemo slobodno pojavljivanje promjenljive x u formuli F itakvo pojavljivanje uopšte ne mora ni da postoji. Pored toga for-mula može imati i druge promjenljive.Postavlja se pitanje da li je ovakvo zamjenjivanje promjenljive ter-mom ispravno, odnosno da li je formula

(∀x) F (x) ⇒ F (t)

valjana?Kao što to pokazuje sljedeci primjer, bez dodatnih pretpostavki ovo

nije tacno.

Primjer 2.22. Neka je formula F formula (∃y)ρ(x, y) i neka je termt = f(y). U formuli (∀x) F izvršimo zamjenu promjenljive x termomt,

(∀x)(∃y) ρ(x, y) ⇒ (∃y) ρ(f(y), y) .

Interpretiramo li ovu formulu u skupu N gdje je ρ relacija <, af(y) = 2y, gornja formula postaje

(∀x)(∃y)x < y ⇒ (∃y)2y < y ,

i ona ocigledno nije tacna.U ovom primjeru zamjena x sa f(y) dovodi do toga da novo pojavlji-

vanje promjenljive y u formuli F (t) bude vezano, i kao što vidimo tase zamjena pokazuje neispravnom. ♦

Imajuci u vidu gornji primjer i uslove koje smo imali u njemu, sadacemo definisati uslov pod kojim možemo izvršiti navedenu zamjenupromjenljive termom. U tom cilju definišimo prvo sljedece:

Definicija 2.5.1. Term t je neovisan od promjenljive x u formuli F ,

ako niti jedno slobodno pojavljivanje promjenljive x u F nije pod de-

jstvom kvantifikatora (∀xi) ili (∃xi), gdje je xi neka promjenljiva u

termu t.

Kažemo i da je term t slobodan za promjenljivu x u F (x).

Primjer 2.23. Promjenljiva x je kao term nezavisna od y u formuliρ(x, y), ali nije nezavisna od y u formuli ¬(∀x)ρ(x, y). ♦

60


Primjer 2.24. Term f(x, y) nezavisan je od y u formuli (∃x)ρ(x, y) ⇒φ(y), gdje su ρ i φ relacijski znaci dužina redom 2 i 1.Isti taj term nije nezavisan od y u formuli (∀x)(φ(x) ∨ ρ(x, y)). ♦

Neka su x1, x2, ..., xn promjenljive terma t koji je neovisan od x

u formuli F (x). Ako se t uvrsti umjesto x u F (x), onda su svapojavljivanja promjenljivih x1, x2, ..., xn u F (t), kojih nema u F (x),slobodna (zaista, ta pojavljivanja su posljedica zamjene termom t

promjenljive x, a t je nezavisan od x). To znaci da nijedno novo po-javljivanje bilo koje od ovih promjenljivih nije u oblasti djelovanjakvantifikatora koji se na tu promjenljivu odnosi. Koristeci ovo raz-matranje, lahko se dokazuje

Lema 2.5.1. Neka je term t neovisan od x u formuli F (x). Neka je

data interpretacija i jedna proizvoljna valuacija. Ako se vrijednost

terma t poklapa sa vrijednošcu promjenljive x, onda je formula F (x)tacna ako i samo ako je tacna formula F (t).

Dokaz : Od ranije znamo, istinitosna vrijednost formule za datuvaluaciju zavisi samo od vrijednosti koje se pridružuju slobodnimpromjenljivima te formule. S obzirom na to, sve promjenljive termat imaju slobodno pojavljivanje u F (t) pa je vrijednost koju term t

ima u valuaciji v, tv. Kako je po pretpostavci tv = xv, slijedi da v

zadovoljava formulu F (x) ako i samo ako zadovoljava formulu F (t),a to je i trebalo dokazati. ♣

Teorem 2.5.2. Ako je term t nezavisan od promjenljive x u formuli

F (x), onda je formula

(∀x) F (x) ⇒ F (t) , (2.5.1)

valjana.

Dokaz : Ako formula (2.5.1) nije valjana, to znaci da postoji inter-pretacija i valuacija v u njoj, koja zadovoljava formulu (∀x) F (x),a ne zadovoljava formulu F (t). Tada svaka valuacija koja se odv razlikuje najviše na mjestu promjenljive x, zadovoljava formuluF (x). To se odnosi i na valuaciju koja na mjestu promjenljive x imavrijednost terma t u valuaciji v (tj. tv). Prema Lemi 2.5.1 to ondaznaci da je i formula F (t) tacna za valuaciju v, što je u suprotnostisa polaznom pretpostavkom.Dakle, formula (2.5.1) je valjana. ♣

61


Buduci da je svaki simbol konstante nezavisan od bilo koje prom-jenljive u bilo kojoj formuli, kao posljedicu gornje teoreme imamoda je i sljedeca formula valjana,

(∀x) F (x) ⇒ F (c) , c = konstanta .

Neka je term t neovisan od promjenljive x u formuli F (x), tadaje on neovisan od x i u formuli ¬F (x). Tada je i sljedeca formulavaljana,

(∀x) ¬F (x) ⇒ ¬F (t) .

Na osnovu zakona kontrapozicije i valjanih formula 4. i 5. Teorema2.3.4, zakljucujemo da su i formule

F (t) ⇒ (∃x) F (x) i F (c) ⇒ (∃x) F (x) , c = const ,

valjane.

Primjer 2.25. Neka je formula F (x) data sa

(∃y)(α(x, y) ∧ α(z, y)) ,

i neka je term t = f(x, z) (α je relacijski, a f operacijski simbol).Term t je neovisan od promjenljive z, pa je na osnovu Teoreme 2.5.2formula

(∀x)(∃y)(α(x, y) ∨ α(z, y)) ⇒ (∃y)(α(x, y) ∨ α(f(x, z), y))

valjana. ♦

Ako gornju formulu interpretiramo u jeziku brojeva, zamjenjujuciα bilo kojom binarnom relacijom (=, <,≤, >,≥ i sl.), a f bilo kojombinarnom operacijom (+, · i sl.) ona je tacan iskaz. Istu istinitostona ce imati i ako je interpretiramo u teoriji skupova ili bilo kojojdrugoj teoriji


f(c) = d ⇒ (∃x) f(x) = d ,

c i d su konstante, a f je unarni operacijski simbol.Ako se binarni relacijski simbol = interpretira kao jednakost, ondaova formula, za koju je lahko vidjeti da je valjana, iskazuje opštepravilo koje glasi: ako postoji broj koji zadovoljava datu jednakost,onda je data jednacina rješiva. ♦

62


Zadaci 2.3. :

1. Glavnim testom dokazati valjanost formula u Teoremi 2.3.4,Teoremi 2.3.5 i Teoremi 2.3.6.

2. Neka su na sljedeci nacin definisani predikati:B(x) : osoba x je brico.T (x) : osoba x je gradanin Tuzle.S(x, y) : osoba x brije osobu y.

Sljedeci tekst prevesti u formalni zapis, a zatim ispitati istini-tost datog teksta.U Tuzli postoji brico koji brije sve one tuzlake koji ne brijusami sebe. Tada onda u Tuzli postoji brico koji nije gradaninTuzle.

3. Ispitati valjanost formule

(∃x)(P (x) ⇔ (∀y) P (y)) .

4. Ispitati valjanost formule

(∀x)(∃y)(α(x, y) ∨ α(z, y)) ⇒ (∃y)(α(x, y) ∨ α(f(x, z), y)) .

5. Dokazati: Formula F je valjana ako i samo ako formula ¬F

nije zadovoljiva.

63

Poglavlje 3

O matematickim teorijama

Izgradnja matematickih disciplina zasniva se na nekim zajednickimpolaznim principima. Ti principi vode porijeklo još iz doba Eukli-dovih Elemenata, napisanim oko 300 godine prije nove ere. Još u tovrijeme geometrija kao disciplina je bila izložena kao aksiomatskateorija.Prilikom izgradnje neke aksiomatske teorije najprije radimo sljedece:

• Jedan broj pojmova (termina) teorije proglašavamo za osnovnepojmove ili primitivne pojmove - pojmove koji se ne definišu.

• Jedan broj tvrdjenja teorije proglašavamo za aksiome - tvrd-jenja koja se ne dokazuju.

• Navodimo pravila logickog zakljucivanja - pravila koja smijemokoristiti pri dokazivanju tvrdjenja u toj teoriji.

Zašto u aksiomatskoj teoriji postoje pojmovi koji se ne definišu itvrdjenja koja se ne dokazuju?Definicija nekog pojma znaci objašnjenje njegovog znacenja korišc-

enjem nekih drugih pojmova. Medjutim, i znacenje tih drugih po-jmova se odredjuje definicijama u kojima se pojavljuju neki novipojmovi, ovi se opet definišu preko novih pojmova itd. Pri tome nesmijemo doci u situaciju da je, neposredno ili posredno, u defini-ciju bilo kog od tih pojmova ukljucen i sam pojam koga definišemo.Drugacije receno, mora se izbjeci kružno kretanje u definiciji (circu-

lus viciosus). Ako želimo da izbjegnemo circulus viciosus, dolazimodo takozvanog beskonacnog regresa - beskonacne hijerarhije svenovih i novih pojmova. Npr. : Skup je kolekcija elemenata, kolek-cija je familija elemenata, familija je sveukupnost elemenata, itd.

64

Ovaj beskonacni regres se može izbjeci samo ako se dogovorimoda neke od pojmova u datoj teoriji ne definišemo, tj. proglašavamoih za osnovne ili primitivne pojmove.Slicnu situaciju imamo i kod dokaza. Tvrdjenja dokazujemo po-

lazeci od nekih drugih tvrdjenja, pa se "vrcenje u krug" i beskon-acni regres u dokazima mogu izbjeci samo tako što neka tvrdjenjadate teorije necemo dokazivati - proglašavamo ih za aksiome, tvrd-jenja koja se ne dokazuju.O znacenju polaznih pojmova obicno postoji jasna intuitivna pred-

stava. Mogli bi reci i da se osnovni pojmovi ne definišu eksplicitno,ali su implicitno definisani sistemom aksioma.Što se tice aksioma, cesto se može sresti mišljenje da su aksiome

ocigledne istine, što je poprilicno netacno. Na primjer, jedna odaksioma Euklidove geometrije je i takozvani Peti postulat koji glasi:Ako su dati prava i tacka van te prave, onda postoji tacno jedna

prava koja prolazi kroz tu tacku i paralelna je datoj pravoj (nema

zajednickih tacaka sa tom pravom).Ova aksioma je sve do 19. vijeka smatrana za ociglednu istinu, za

zakon koji važi u realnom svijetu. Medjutim, u prvoj polovini 19.vijeka pojavile su se geometrije u kojima je Peti postulat zamijenjendrugacijim aksiomama.Geometrija Lobacevskog mijenja Peti postulat sa:Ako su data prava i tacka van te prave, onda postoje najmanje dvije

prave koje prolaze kroz tu tacku i paralelne su datoj pravoj.

Naknadno se pokazuje da takvih pravih ima beskonacno mnogo.Riemmanova sferna geometrija uvodi aksiom

Ako su dati prava i tacka ven nje, onda ne postoji niti jedna prava

koja prolazi kroz tu tacku i paralelna je sa datom pravom.

Drugim rijecima, u ovoj geometriji se svake dvije prave sijeku.Pokazalo se da su ove geometrije logicki jednako ispravne kao i Eu-

klidova, a kasnije su pronadjene i važne primjene ovih geometrijau drugim naukama.Nove pojmove uvodimo definicijama, polazeci od osnovnih poj-

mova i vec definisanih pojmova. Teoriju razvijamo tvrdjenjima,odnosno teoremama, koja se na osnovu pravila zakljucivanja dokazujuiz aksioma i iz vec dokazanih teorema. U dokazivanju se ne koristeiskustva niti ubjedjenja, ma koje vrste, vec iskljucivo logicka prav-ila. To znaci da je navedeni metod razvijanja teorije deduktivan:novi pojmovi i tvrdjenja izvode se, dedukuju, iz vec usvojenih, ana osnovu logickih zakona. Uvodjenje i upotreba navedenih po-jmova i postupaka u matematici proucavaju se u okviru matem-

65

3.1. Definicije

aticke logike. Tome su posvecena prethodna izlaganja, a sada cemodati pojašnjenja pojedinih pojmova, kao i primjere.

3.1 Definicije

Nove pojmove, kako smo vec spomenuli, uvodimo pomocu recenicakoje nazivamo definicije. Definicijom se dakle uvodi jedan novi ter-min (simbol) koji je doveden u vezu sa vec uvedenim ili polaznouzetim simbolima. Definicija se sastoji iz dva dijela: termin kojidefinišemo naziva se definiendum, a dio kojim se on definiše nazi-vamo definiens.

Primjer 3.1. Posmatrajmo slijedece definicije:

• Romb je paralelogram sa jednakim stranicama.

• Dvije prave su mimoilazne ako ne pripadaju istoj ravni.

• Paran broj je cijeli broj koji je djeljiv sa 2.

U prvoj definiciji definiendum je "romb", a definiens je "paralel-ogram" sa jednakim stranicama; u drugoj definiciji definiendumje "mimoilazne prave", a definiens "prave koje ne pripadaju istojravni". ♦

Kada pravimo definiciju, pri izboru novog simbola (novog imena)imamo veliku slobodu; naime novo ime može biti ma koji pojamprethodno neupotrijebljen. Na primjer:

Broj n je lijep ako je n2 djeljiv sa 5.Broj n je dobar ako je n2 djeljiv sa 5.

U ovim definicijama izmedju definiensa i definienda stoji "ako" um-jesto "ako i samo ako". Ovo se opravdava samo stilskim razlozima,medjutim treba istaci da je jedino pravilna upotreba izraza "ako isamo ako".Ispravna definicija je otklonjiva i nekreativna. Prvo svojstvo znaci

da umjesto svake recenice (formule) u kojoj se javlja novi pojam,može da se formuliše druga recenica istog smisla, u kojoj se taj po-jam ne javlja. Nekreativnost znaci da ispravna definicija ne omogucavadokaz tvrdjenja koje se bez nje ne bi moglo dokazati. Definicije kojesu otklonjive i nekreativne nazivamo korektnima, u suprotnom one

66

3.2. Aksiome

su nekorektne. Primjer nekorektne definicije bi mogao biti:U skupu cijelih brojeva definišemo operaciju "∗" na slijedeci nacin:

n ∗ m = x ako i samo ako x > 10 .

Naravno da je ovo nekorektno jer 2 ∗ 3 = 11 i 2 ∗ 3 = 12 bi dovelo dotoga da je 11=12.Cest oblik definicija je logicka ekvivalencija, tj. recenica oblika

A ako i samo ako B ili kao formula Adef⇐⇒ B.

Ovdje su recenice A i B formule koje redom sadrže definiendum idefiniens.Nove pojmove uvodimo i putem jednakosti, koristeci posebne oz-

nake:

pdef= q ili, sa istim znacenjem p := q.

Ovde su p i q izrazi koji redom sadrže definiendum i definiens.Smisao ovakvih recenica je: "p je zamjena za q".

Primjer 3.2. Primjeri definicija prema gornjim oznakama mogu biti:

• p dijeli q ako i samo ako postoji r ∈ N, takav da je pr = q.

• p|qdef⇐⇒ (∃r ∈ N) pr = q.

• a = max Adef⇐⇒ a ∈ A ∧ (∀x ∈ A) x ≤ a.

•

(

n

k

)

def=

n!

k!(n − k)!.

• n ∈ N0, n!def=

{

1 · 2 · · · · · n ; n ∈ N

1 ; n = 0

♦

3.2 Aksiome

U formiranju neke teorije, nakon što se daju osnovni, primitivni po-jmovi, navode se osnovne tvrdnje o datim primitivnim pojmovima,koje smatramo istinitim. U matematici i logici, to su nacela za

67

3.2. Aksiome

koja se, bez dokazivanja, smatra da su istinita. Te tvrdnje koje nedokazujemo nazivamo aksiomama.Po Aristotelu, nauka mora biti okarakterisana ne samo istinitošcu

recenica koje je cine, nego i njihovom uredjenošcu. Euklid u svo-jim "Elementima" aksiomatizira Geometriju, gdje pod "opštim nace-lima" navodi 23 definicije, 5 postulata i 5 "opštih ideja". Npr. "opštaideja" je

Cjelina je veca od svakog svog dijela.

Spinoza1 u svom djelu "Ethica more geometrico demonstrata", zadajegrandiozni filozofski sistem u aksiomatskom obliku. Jedna od ak-sioma jeste

Sve što jest, jest u sebi ili u drugome.

Aksiomatski nacin razmišljanja proteže se i izvan filozofije. U amer-ickoj Deklaraciji nezavisnosti (1776) tvrdnja o ljudskim pravima seshvaca kao aksiom (obratimo pažnju na rijec "self-evident").We hold these truths to be self-evident, that all man are created

equal, that they are endowed by their Creator with certain unalien-

able Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of

Heppiness.

Aksiomi moraju zadovoljavati sljedeca tri principa:

• Konzistentnost. Ovo znaci da se iz zadatog sistema aksiomane smije moci dokazati neka tvrdnja i njena negacija istovre-meno.Ne postoji recenica P , takva da je dokazivo P i da je dokazivo¬P .

• Potpunost. Svako tvrdjenje ili njegova negacija (što je opettvrdjenje), se može dokazati u datom sistemu aksioma.Za svaku recenicu P vrijedi, ili je dokazivo P ili je dokazivo¬P .

• Nezavisnost. Niti jedan od aksioma se nemože dobiti iz ostalihaksioma navedenog sistema.Niti jedan aksiom se nemože dokazati polazeci od skupa ak-sioma iz koga je on uklonjen.

Tradicionalno se aksiomi shvacaju kao istine jasne same po sebi(samo-evidentne istine). U novije vrijeme taj kncept samo-evidentnosti

1Benedikt de Spinoza (1632-1677), holandski filozof

68

3.3. Teoreme i dokazi

je napušten, a razlozi za to leže u racionalistickoj pristrasnostitakvog pojma i cinjenici da on ukljucuje nepouzdana psihološkaobilježja.

3.3 Teoreme i dokazi

Kada izaberemo polazne stavove - aksiome neke matematicke teorije,onda se iz njih izvode nova tvrdenja. U terminološkom smislu,teorema, tvrdenje i stav imaju isto znacenje, dok je lema (lemma)pomocno tvrdenje tehnickog karaktera. Tvrdenje koje neposrednoslijedi iz nekog drugog tvrdenja, formuliše se kao posljedica ili ko-

rolar.Izvodenje (dedukcija) novog tvrdenja je njegov dokaz i u smislu

tog izvodenja, tvrdenje slijedi iz aksioma. U izvodenju se mogukoristiti i vec dokazana tvrdenja, ali je njih, zajedno sa aksiomama,u jednom dokazu uvijek samo konacno mnogo.Zakljucivanje se zasniva na zakonima logickog mišljenja i raznim

logickim i matematickim pravilima izvodenja. Formalizovani oblicitih formi zakljucivanja jesu tautologije i valjane formule.Navedimo sada neke nacine dokazivanja.

I Svodjenje na apsurd (reductio ad absurdum) ili indirektan dokaz

Odgovarajuca tautologija obicno se prevodi u ekvivalentnu for-mulu

((A ∧ B) ⇒ C) ⇒ (A ⇒ ¬B) ,

u kojoj je C neka kontradikcija tj. iskaz cija je istinitost uvijeknetacna. Ovaj metod ilustrujemo dokazom poznatog tvrdenja.Primjer:Ne postoji racionalan broj ciji je kvadrat broj 2.

Dokaz : Polazimo od recenica

A :p

qje razlomak , B :

(

p

q

)2

= 2.

Bez gubitka opštosti možemo pretpostaviti da se ovaj razlo-mak ne može skratiti. Pretpostavljamo dakle da je tacan iskaz

C’ : cijeli brojevi p i q (q 6= 0) su uzajamno prosti.

69


Iz gornjih formula izvodimop2

q2= 2, odnosno p2 = 2q2. Za-

kljucujemo da je broj p2 djeljiv sa 2, a to onda znaci da jei broj p djeljiv sa 2. Zato imamo p = 2k (k ∈ N). Odatle jeonda (2k)2 = 2q2, tj. 4k2 = 2q2 ili što je isto q2 = 2k2, pa kao imalo prije zakljucujemo da je broj q djeljiv sa 2. Dobili smozakljucak:

C” : cijeli brojevi p i q su parni.

Tako smo iz formule A∧B izveli kontradikciju C ′∧C ′′, oznacimoje sa C.

Na osnovu navedenog zakona zakljucujemo da važi formula¬B, tj. tacna je formula:A ⇒ ¬B: ako je p

qrazlomak, onda je njegov kvadrat razlicit od

2. Navedeno tvrdenje je dakle tacno. ♣

II Zakon kontrapozicije

Tautologija(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

omogucuje da se imlikacija A ⇒ B zamjeni logicki ekviva-lentnom formulom ¬B ⇒ ¬A, koja može biti pogodnija zaupotrebu.Naprimjer, funkcija je injektivna ako zadovoljava uslov da su

slike razlicitih originala razlicite, tj.

x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) .

Na osnovu kontrapozicije ovaj uslov se cesto koristi u ekviva-lentnom obliku

f(x) = f(y) ⇒ x = y .

Dakle, ako je neko tvrdjenje iskazano u obliku iz A slijedi B,dokaz je na osnovu kontrapozicije ispravan ako se pokaže daiz ¬B slijedi ¬A.

Ilustrujmo gornje jednim primjerom iz teorije brojeva.Primjer:Ako je zbir a+b negativan ili nula, onda je bar jedan od tih

brojeva negativan ili nula.

Tvrdenje je u obliku implikacije ciji je konsekvent disjunkcija,pa je prema zakonu kontrapozicije i De Morganovim zakonima

70


ekvivalentno sa sljedecim tvrdenjem:Ako su a i b pozitivni brojevi, onda je i njihov zbir pozitivan broj.

Ovaj iskaz je onda poznato svojstvo cijelih brojeva i lahko sedokazuje.

III Dokaz tvrdenja može imati strukturu

iz A1 slijedi A2, iz A2 slijedi A3, ... , iz An−1 slijedi An .

Ovo simbolicki možemo oznaciti sa

A1 → A2 → · · · → An .

Radi se o kracem nacinu da se zapiše tranzitivnost implikacije,koja predstavlja tautologiju

((A1 ⇒ A2) ∧ (A2 ⇒ A3) ∧ · · · ∧ (An−1 ⇒ An)) ⇒ (A1 ⇒ An) .

Da bi se naglasilo kako je rijec o kracem zapisu tekstualnerecenice, a ne o iskaznoj formuli, implikacija je oznacena sa"→".

Na primjer, niz implikacija

(2|x ∧ 5|x) → (x = 2m ∧ x = 5n)→ (5x = 10m ∧ 4x = 20n)→ (x = 10(m − 2n))→ 10|x ,

na osnovu posljednje tautologije, predstavlja dokaz tvrdjenja:Ako je cijeli broj djeljiv sa 2 i 5, djeljiv je i sa 10.

IV Ima teorema gdje dokazujemo ekvivalentnost iskaza A1, A2, ..., An,tj. tacnost formula Ai ⇔ Aj, za sve (razlicite) i i j. Ove ekviva-lencije dokazuju se nizom

A1 → A2 → · · · → An → A1 .

Postupak se zasniva na vec spomenutoj tranzitivnosti imp-likacije, kao i na tautologiji

(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ⇔ (A ⇔ B) .

Navedimo jednostavan primjer.Primjer:Ako je n prirodan broj, onda su sljedeca tvrdjenja ekvivalentna:

71


(i) n je djeljiv sa 30;

(ii) n je djeljiv sa 6 i sa 5;

(iii) zbir cifara broja n djeljiv je sa 3 i cifra jedinica mu je 0.

Za vježbu ostavljamo dokaz ovog tvrdenja u sljedecem nizu:

(i) → (ii) → (iii) → (i) ,

pri cemu se u svakoj od implikacija može koristiti zakon kon-trapozicije.

V Izvodjenje ili dokaz mogu imati strukturu produžene ekviva-lencije:

A1 ako i samo ako A2 ako i samo ako ... ako i samo ako An,

gdje se u stvari pokazuje tacnost ekvivalencije A1 ⇔ An. Is-pravnost postupka slijedi iz cinjenice da je gore samo kracezapisano tvrdjenje

(A1 ⇔ A2) ∧ (A2 ⇔ A3) ∧ · · · ∧ (An−1 ⇔ An) ,

na osnovu zakona asocijativnosti za konjukciju. Na ovo sesada uzastopno primjenjuje tranzitivnost ekvivalencije, tj. tau-tologija

((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇔ (A ⇔ C) ,

te se dobija gornji niz.Primjer:Kada rješavamo neku linearnu jednacinu nad poljem realnihbrojeva, npr.

3x + 2

6= 2x ,

radi se na opisani nacin, jer se jednacina (formula) zamjen-juje ekvivalentnom jednacinom, sve do one u kojoj se rješenjeneposredno nalazi:

3x+2

6= 2x ako i samo ako 3x + 2 = 12x

ako i samo ako 2 = 9xako i samo ako x = 9

2,

pa je rješenje jednacine x = 9

2.

Umjesto teksta "ako i samo ako" koristi se i skracenica akko,ili simbol ekvivalencije "↔".

72

3.4. Izgradnja aksiomatske teorije

U narednom primjeru demonstrirat cemo upotrebu valjanih for-mula u izvodjenju. Dokažimo tvrdnju:

Ne postoji najveci prirodan broj.

Ovaj stav možemo zapisati sljedecom formulom:

¬(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y ≤ x .

Kako je formula¬(∃x)(∀y)F ⇔ (∀x)(∃y)¬F

valjana, to je gornje tvrdjenje ekvivalentno sa formulom

(∀x ∈ N)(∃y ∈ N) y > x .

Ovo je tacno, jer traženi broj zaista postoji i to je za n ∈ N njegovsljedbenik n′ = n + 1.

3.4 Izgradnja aksiomatske teorije

Iako pocinje od aksioma, aksiomatskoj teoriji u matematici obicnoprethode neke druge discipline koje ova koristi. Tu svakako spadamatematicka logika, prije svega zakoni logickog zakljucivanja. Akose teorija izlaže neformalno (a vecinom je tako u udžbenicima),onda se ti zakoni podrazumijevaju. Što se više koristi jezik for-mula, to se dosljednije primjenjuju iskazna i predikatska logika.Svim matematickim disciplinama prethodi i teorija skupova, uklju-

cujuci obicno i relacije i funkcije. Za teoriju grupa, na primjer,toliko je dovoljno. Za neke druge discipline to je drugacije, ge-ometrija koristi aritmetiku, aksiomatska izgradnja teorije realnihbrojeva zasniva se na algebarskim strukturama i slicno.Aksiomatska teorija izgradjuje se tako da bude neprotivurijecna

(saglasna). To znaci da se u njoj ne mogu dokazati tvrdjenje P injegova negacija ¬P istovremeno.Ista aksiomatska teorija može biti predstavljena razlicitim skupovima

aksioma. Tako se Aksiom potpunosti u aksiomatizaciji realnih bro-jeva može zamjeniti Dedekindovim i Arhimedovim aksiomom.Skup aksioma je nezavisan ako se niti jedan od njih ne možedokazati pomocu preostalih.Napomenimo još da se aksiomatske teorije mogu izgradjivati i uz

dosljednu primjenu formalne logike, bez oslanjanja na smisao poj-mova, dakle strogo sintaksicki. To su takozvane formalne teorije, okojima cemo govoriti u narednom dijelu.

73

3.4. Izgradnja aksiomatske teorije

Navedimo sada jedan primjer kako se izgradjivala jedna aksioma-tizacija, aksiomatizacija teorije skupova.U svojim prvim istraživanjima teorije skupova, njen tvorac Cantor,

nije se eksplicitno pozivao na neke aksiome o skupovima. Medju-tim, analizom njegovih dokaza može se zakljuciti da se skoro sveteoreme koje je on dobio mogu izvesti iz sljedecih aksioma:

(a) Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente.

(b) Za unaprijed zadato svojstvo postoji skup ciji su elementi bašoni koji imaju to svojstvo (Aksiom apstrakcije).

(c) Za svaki neprazan skup, postoji bar jedna funkcija ciji su orig-inali neprazni podskupovi tog skupa, a slike se elementi orig-inala (Aksiom izbora).

Aksiom apstrakcije je prvi formulisao G. Frege (1893), da bi B.Russell 1901. godine iz te aksiome izveo kontradikciju kojom jepokazano da je ta teorija protivurijecna. On je definisao svojstvoskupa svih onih skupova koji nisu sami sebi elementi. Posto-janje takvog skupa dovodi do protivurjecnosti, te je dati aksiombio "pogrešan".Poslije su otkriveni još neki paradoksi (Burali-Forti u teoriji or-

dinalnih brojeva, Cantor u teoriji kardinalnih brojeva). Iako sumatematicari bili složni po pitanju neophodnosti izmjena u samimosnovama matematike, po pitanju nacina tih izmjena došlo je dodubokih razmimoilaženja. Tako su formalisti zagovarali strogu ak-siomatsku bazu iz koje ce slijediti svi rezultati Cantorove teorije, aonemogucuju paradokse, što je dovelo do komplikovanja i složenostimnogih rezultata. Nasuprot njima, intuicionisti postavljaju dru-gacije osnove kojima se takodje izbjegavaju paradoksi ali se zatodovode u pitanje citave grane klasicne matematike. Pored ovihrazvijaju se i druge aksiomatske teorije, ali se ni za jednu od njihne zna da li je neprotivurjecna.

74

Poglavlje 4

O formalnim teorijama

Kao što smo rekli u dijelu o matematickim teorijama, matematickediscipline se mogu posmatrati i potpuno formalno, tj. sintaksicki.U takvom pristupu smisao pojmova i istinitost tvrdjenja nemaju di-rektan uticaj na razvoj same teorije. Umjesto toga, daju se preciznapravila za formiranje izraza i formula, kao i precizna pravila dokazi-

vanja. Jedino o cemu vodimo racuna je da li se ta pravila dosljednopoštuju. Dokaz teoreme u ovom pristupu je konacan niz formulakoje se izvode po unaprijed definisanim pravilima.Da bi neku matematicku disciplinu (npr. teorija brojeva, teorija

grupa, Euklidska geometrija i sl.) izgradili kao formalnu teoriju,neophodno je da istim formalizmom budu izgradjene i teorije kojejoj prethode. Kako smo vidjeli ranije, to moraju biti u svakomslucaju iskazna i predikatska logika, a u vecini slucajeva i teorijaskupova. U tom smislu razvijeni su iskazni racun i predikatski

racun kao formalne teorije sa sopstvenim aksiomama i pravilimaizvodjenja. Ostale matematicke discipline se izgradjuju kao for-malne teorije unutar predikatskog racuna, uz dodatak novih ak-sioma.U izlaganju formalnih teorija postoji jasna razlika izmedju meta-

jezika, kojim se govori o teoriji, i objekt-jezika, koji predstavljajezik formula same teorije. Formalnu teoriju uobicajeno izgradu-jemo tako da bar intuitivno ona odgovara nekoj matematickoj dis-ciplini. Za tu matematicku disciplinu onda kažemo da je glavna

interpretacija izgradivane formalne teorije.

75

4.1. Definicija formalne teorije

4.1 Definicija formalne teorije

Formalna teorija T se definiše kao uredjena cetvorka

T = (X,F,A, P ) ,

gdje je

• X prebrojiv skup, koga nazivamo skup polaznih simbola ilialfabet teorije T.

• F podskup skupa svih rijeci nad alfabetom X, koga nazivamoskup formula teorije T.

• A podskup skupa formula F, koga nazivamo skup aksioma

teorije T.

• P konacan skup relacija (razlicitih dužina) na skupu formula,koga nazivamo skup pravila izvodjenja teorije T.

Neka je f ∈ P neko pravilo izvodjenja, tj. relacija na F dužine n ineka su F1, F2, ..., Fn−1, F formule iz F. Ako je

(F1, F2, ..., Fn−1, F ) ∈ f ,

tada kažemo da je formula F direktna posljedica formula F1, F2, ..., Fn−1,po pravilu izvodjenja f i to zapisujemo

f :F1, F2, ..., Fn−1

F.

Za konacan niz formula F1, F2, ..., Fk kažemo da je izvodjenje, de-

dukcija ili dokaz u teoriji T, ako za svaku od tih formula Fi važi:

* Fi je aksiom teorije T ili

* Fi se dobija od nekih prethodnih formula u tom nizu premanekom od pravila izvodjenja u teoriji T.

Formula F je teorem teorije T, ako postoje formule F1, F2, ..., Fk ∈ F

takve da je (F1, F2, ..., Fk, F ) izvodjenje u teoriji T. Ovo izvodjenjetada nazivamo dokaz teorema F . Da je neka formula F teorem,kratko cemo oznacavati sa ⊢ F . Ukoliko je potrebno naglasiti da jeF teorem u teoriji T, tada pišemo ⊢T F .Neka je H skup nekih formula teorije T. Formula F teorije T je sin-

taksicka posljedica formula iz H, ako postoji niz formula F1, F2, ..., Fn

takav da za svaku formulu Fi tog niza važi:

76

4.1. Definicija formalne teorije

* Fi je aksiom, ili

* Fi je formula skupa H, ili

* Fi je direktna posljedica nekih prethodnih formula tog nizadobijena iz nekog pravila izvodjenja

Formule skupa H nazivamo hipoteze, a niz F1, F2, ..., Fn, F nazivamoizvodjenje formule F iz hipoteza skupa H.Da je formula F posljedica skupa hipoteza H oznacavamo sa

H ⊢ F .

Ukoliko je skup H konacan, tj. H = {F1, F2, ..., Fn}, onda pišemo

F1, F2, ..., Fn ⊢ F .

Specijalno vrijedi, ako je skup hipoteza prazan skup tada:

∅ ⊢ F ako i samo ako je F teorem ,

što je lahko pokazati. U tom slucaju oznaku praznog skupa hipotezaizostavljamo i pišemo jednostavno ⊢ F .Za formalnu teoriju T kažemo da je odluciva ako postoji efektivan

postupak (algoritam) kojim se može provjeriti da li je neka formulaF teorem date teorije, tj. da li za taj teorem postoji dokaz.

Primjer 4.1. Definišimo formalnu teoriju na sljedeci nacin:Alfabet teorije je skup X = {0, 1}.Skup formula teorije je skup F, svih rijeci nad alfabetom X, tj. for-mula je bilo koji konacan niz nula i jedinica u bilo kom rasporedu.Aksiome teorije su: A = {0, 1}, tj. aksiome su formule 0 i 1.Pravila izvodjenja u teoriji su:

f1 :F1

F10f2 :

F0

F01,

gdje je F proizvoljna formula, a F0, F1, F01, F10 itd. su formuledobijene od formule F dopisivanjem sa desne strane rjeci 0, 1, 01,10 itd.Teorema u ovoj teoriji je, na primjer, formula 010. Zaista, odgo-

varajuci dokaz bi bio niz formula F1 ≡ 0, F2 ≡ 01, F3 ≡ 010. F1 jeaksiom. F2 dobijamo iz F1 primjenom relacije f2, a F3 dobijamo izF2 primjenom relacije f1.Nije teško primjetiti da u ovoj formalnoj teoriji važi sljedece:

77

4.2. Iskazna logika kao formalna teorija

Teorem: Rijec nad alfabetom X je teorem definisane teorije ako i

samo ako se u njoj simboli 0 i 1 javljaju naizmjenicno.

Gornji teorem nam daje efektivan nacin za provjeru da li je nekaformula teorem date teorije ili to nije, pa prema ranije recenomdatu teoriju smatramo odlucivom. Primjetimo takodje da iskazaniteorem nije teorem u formalnoj teoriji T (u objekt teoriji), nego jeto teorem u nekoj drugoj neformalnoj teoriji, koju nazivamo meta-

teorija teorije T. ♦

4.2 Iskazna logika kao formalna teorija

Iskazna i predikatska logika su u osnovi svake matematicke teorije,ma kako se ona formalno izlagala. Tako, da bi smo neku oblastizložili kao formalnu teoriju, neophodno je prije toga na isti nacinizgraditi i ove oblasti logike. Sada cemo izložiti iskaznu logiku kaoformalnu teoriju. Tu cemo formalnu teoriju oznacavati sa L i zvatije iskazni racun. Osnovno i najbitnije svojstvo ove teorije jeste danjene teoreme odgovaraju tautologijama i obratno da je svaka tau-tologija teorem date teorije.Jezik teorije L (alfabet i skup formula) smo vec ranije spominjali

kada smo izucavali iskaznu algebru. Ovdje cemo taj jezik neznatnomodifikovati.

Definicija 4.2.1.-Alfabet teorije L sastavljen je od iskaznih slova p, q, r, ... odnosno

p1, p2, ..., iskaznih veznika =⇒ i ¬ i zagrada ( i ).

-Formule teorije L definišemo induktivno:

(1) iskazna slova su iskazne formule,

(2) Ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i

¬A i A =⇒ B ,

(3) iskazne formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu dobiti

konacnim brojem primjena pod (1) i (2).

-Aksiome teorije L su

A1: A =⇒ (B =⇒ A)

A2: (A =⇒ (B =⇒ C)) =⇒ ((A =⇒ B) =⇒ (A =⇒ C))

78


A3: (¬A =⇒ ¬B) =⇒ (B =⇒ A)

gdje su A,B i C proizvoljne iskazne formule.

-Jedino pravilo izvodjenja je Modus Ponens:

MP :A,A =⇒ B

B.

Možemo primjetiti da sve formule teorije L jesu iskazne formulekako smo ih definisali u prvom odjeljku (iskazna algebra). Strogogledajuci, obrat ne važi jer logicki veznici ∧, ∨ i ⇐⇒ nisu u os-novnom jeziku teorije L, ali to cemo nadoknaditi definisanjem tihveznika:

A ∧ B je zamjena za ¬(A =⇒ ¬B)

A ∨ B je zamjena za ¬A =⇒ B ,

A ⇐⇒ B je zamjena za (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) .

Ocigledno je sada da formule teorije L u potpunosti odgovarajuiskaznim formulama, kako su one uvedene u iskaznoj logici. Utom smislu prihvatamo i sva pravila o brisanju zagrada.Buduci da su aksiome formulisane pomocu proizvoljnih iskaznih

formula, svaka od uvedenih aksioma predstavlja beskonacno mnogoaksioma. To su u stvari zapisi grupa aksioma istog oblika, pa ihzbog toga nazivamo šema aksioma.Tvrdenja koja slijede i njihovi dokazi pripadaju meta-jeziku, i treba

ih razlikovati od teorema i dokaza samog racuna L.

Lema 4.2.1. Za svaku formulu A iskaznog racuna L vrijedi

⊢ A =⇒ A .

Dokaz : Navodimo jedno izvodjenje formule A =⇒ A:

1. (A =⇒ ((A =⇒ A) =⇒ A)) =⇒ ((A =⇒ (A =⇒ A)) =⇒ (A =⇒ A)); aksiom A2, gdje su A,B i C redom A, A ⇒ A i A

2. A =⇒ ((A =⇒ A) =⇒ A) ; aksiom A1 gdje je B formula A =⇒ A

3. (A =⇒ (A =⇒ A)) =⇒ (A =⇒ A) ; iz 1. i 2. koristeci MP

4. A =⇒ (A =⇒ A) ; aksiom A1 gdje je B formula A

5. A =⇒ A ; iz 3. i 4. prema MP.

79


Ovo izvodjenje je dokaz u toriji L posljednje formule u nizu, pa jelema dokazana. ♣

Naredno tvrdjenje je poznato kao teorem dedukcije za iskazni racun.

Teorem 4.2.2. Neka je H skup formula i neka su A i B formule.

Tada važi:

H ∪ {A} ⊢ B ako i samo ako H ⊢ A =⇒ B .

Dokaz : Pretpostavimo da važi H,A ⊢ B. Tada postoji izvodjenjeB1, B2, ..., Bn formule B, oznacene sa Bn, iz hipoteza skupa H ∪ {A}.Indukcijom po n dokažimo da važi H ⊢ A =⇒ Bn.Za n = 1, B1 može biti (1) formula iz H, (2) aksiom ili (3) formulaA. S obzirom da je B1 =⇒ (A =⇒ B1) aksiom (A1), u prva dvaslucaja je po pravilu MP ispunjeno H ⊢ A =⇒ B1. U trecem slucajuprimjenjujemo prethodnu lemmu, po kojoj je A =⇒ A teorem, pavaži H ⊢ A =⇒ A, odnosno H ⊢ A =⇒ B1.Neka sada važi H ⊢ A =⇒ Bk za sve k < n. Bn može biti (1) formula

iz H, (2) aksiom, (3) formula A ili (4) formula koja po pravilu MPslijedi iz formula Bi, Bj, za neke i, j < n, gdje je Bj formula Bi =⇒ Bn.U prva tri slucaja dokaz je isti kao u slucaju n = 1.U slucaju (4), prema induktivnoj hipotezi važi

H ⊢ A =⇒ Bi i H ⊢ A =⇒ (Bi =⇒ Bn) .

Aksiom A2 za formule A,Bi, Bn glasi

(A =⇒ (Bi =⇒ Bn)) =⇒ ((A =⇒ Bi) =⇒ (A =⇒ Bn)) ,

pa je po pravilu MP

H ⊢ (A =⇒ Bi) =⇒ (A =⇒ Bn) .

Ponovnom primjenom pravila MP dobijamo H ⊢ A =⇒ Bn.Obratno, neka je ispunjeno H ⊢ A =⇒ B. Tada postoji izvodjenje

B1, B2, ..., Bn formule A =⇒ B, oznacene sa Bn, iz hipoteza skupa H.Tada je niz B1, B2, ..., Bn, A,B izvodjenje formule B iz hipoteza skupaH ∪ {A}, pa po MP važi H,A ⊢ B. ♣

Sada možemo dokazati tvrdnju

Teorem 4.2.3. Svaka teorema iskaznog racuna je tautologija.

80


Dokaz : Neposredno se dokazuje (tablicom istintosti) da je svaki odtri data aksioma teorije L, tautologija, što je ostavljeno za vježbu.Ako su formule A i A =⇒ B tautologije, onda je prema tvrdnjiτ (A) = ⊤ i τ (A =⇒ B) = ⊤ i τ (B) = ⊤, tj i B je tautologija. Kako jeMP jedini definisani postupak u teoriji L, zakljucujemo da su sveteoreme tautologije. ♣

Za dokaz obratnog tvrdenja Teoreme 4.2.3, potrebna nam je sljedecalema u kojoj se povezuje semanticki pristup (intrpretacija formule)i sintaksicki pristup (izvodjenje iz hipoteza). Podsjetimo se da je in-terpretacija iskazne formule A, funkcija koja svakom njenom slovup pridružuje vrijednost τ (p), element skupa {⊤,⊥}. Vrijednost for-mule za datu interpretaciju smo oznacavali sa τ (A).

Lema 4.2.4. Neka je A iskazna formula i p1, p2, ..., pk iskazna slova

koja se javljaju u njoj. Za datu interpretaciju te formule neka je

p′idef=

{

pi , τ (pi) = ⊤¬pi , τ (pi) = ⊥

A′ def=

{

A , τ (A) = ⊤¬A , τ (A) = ⊥

Tada važi: p′1, p′

2, ..., p′

k ⊢ A′.

Lemmu ostavljamo bez dokaza, a pomocu nje sada možemo dokazati

Teorem 4.2.5. Ako je formula A tautologija, ona je teorema teorije

L.

Dokaz : Neka je A tautologija i neka su p1, p2, ..., pn njena iskaznaslova. U svakoj interpretaciji, istinitosna vrijednost formule A je ⊤(jer je tautologija), pa je zbog toga A′ = A i na osnovu Lemme 2 važip′1, p

′

2, ..., p′

n ⊢ A.Ako je u posmatranoj interpretaciji τ (pn) = ⊤, onda je p′1, p

′

2, ..., p′

n−1, pn ⊢A, a za τ (pn) = ⊥ je p′1, p

′

2, ..., p′

n−1,¬pn ⊢ A. Na osnovu teorema de-dukcije za iskazni racun onda imamo

p′1, p′

2, ..., p′

n−1 ⊢ pn =⇒ A i p′1, p′

2, ..., p′

n−1 ⊢ ¬pn =⇒ A .

Kako je jasno da iz ((p =⇒ q) ∧ (¬p =⇒ q) =⇒ q, to onda u gornjemmožemo izostaviti pn, tj. važi:

p′1, p′

2, ..., p′

n−1 ⊢ A .

81

4.3. Predikatska logika kao formalna teorija

Analognom diskusijom po vrijednosti slova pn−1 dobili bi

p′1, p′

2, ..., p′

n−2 ⊢ A .

Jasno je da nakon konacno mnogo koraka bi došli do ∅ ⊢ A tj. ⊢ A,odnosno da je A teorem teorije L. ♣

Teorem 4.2.3 i Teorem 4.2.5 možemo sada iskazati u konjugovanojformi:

Teorem 4.2.6. Iskazna formula A je teorem teorije L ako i samo ako

je A tautologija, tj.

⊢ A ⇐⇒|= A .

Neprotivurjecnost aksiomatske teorije smo definisali kao nemogu-cnost postojanja formule A u datoj teoriji, tako da su A i ¬A teo-reme te teorije. Sada imamo

Teorem 4.2.7. Iskazni racun L je neprotivurjecna teorija.

Dokaz : Ako bi neka formula A i njena negacija ¬A bile teoremeteorije L, onda bi na osnovu Teoreme 4.2.6 i A i ¬A bile tautologije.Prema zakonu neprotivurjecnosti iskazne logike to je nemoguce, paje teorija L neprotivurjecna. ♣

Kako je za svaku iskaznu formulu moguce utvrditi da li jeste ilinije tautologija (na primjer tablicom istinitosti), a samim tim i da lijeste ili nije teorem, ispunjeno je jos jedno važno svojstvo teorije L,a to je

Teorem 4.2.8. Iskazni racun L je odluciva teorija.

4.3 Predikatska logika kao formalna teorija

Da bi se pojedine oblasti matematike zasnovale strogo aksiomatski,nije dovoljno formalizovati samo iskaznu logiku, nego se to morauciniti i sa logikom predikatskog racuna. Tako dolazimo do for-malne teorije koju nazivamo predikatski ili kvantifikatorski racun,u oznaci P. U okviru ove teorije, druge grane matematike razvi-jamo uvodjenjem dodatnih aksioma i nazivaju se specijalni kvan-

tifikatorski racuni. Takvi su na primjer, teorija skupova, formalnaaritmetika, teorija grupa (kao formalna teorija) i sl.Definicija predikatskog racuna:

82


Definicija 4.3.1. Alfabet teorije P cine isti polazni simboli kojim se

definišu predikatske formule (predikatski racun), osim što se koriste

samo dva logicka veznika ¬ i =⇒, kao i kvantifikator ∀. Može se

dati i formalna induktivna definicija takvih formula, kao što smo

to ucinili u iskaznom racunu, ali bez veznika ∧, ∨ i ⇐⇒ kao i bez

kvantifikatora ∃. Veznike ∧, ∨ i ⇐⇒ možemo uvesti na isti nacin kao

u iskaznom racunu, dok kvantifikator ∃ uvodimo sa

(∃x) je zamjena za ¬(∀x)¬ .

Na taj nacin je svaka formula teorije P jedna predikatska formula i

obrnuto.

Aksiome teorije P su:

A1: A =⇒ (B =⇒ A)

A2: (A =⇒ (B =⇒ C)) =⇒ ((A =⇒ B) =⇒ (A =⇒ C))

A3: (¬A =⇒ ¬B) =⇒ (B =⇒ A)

A4: (∀x)(A =⇒ B(x)) =⇒ (A =⇒ (∀x)B(x)), pod uslovom da x nije

slobodna promjenjljiva u formuli A.

A5: (∀x)A(x) =⇒ A(t), ako je term t nezavisan od varijable x u for-

muli A(x)

(Primjetimo da su prve tri aksiome iste i u teoriji L)

Pravila izvodjenja su:

Modus Ponens (MP):A,A =⇒ B

B

i

Generalizacija (GEN):A

(∀x)A,

tj. iz A se izvodi (∀x)A.

Sve navedene aksiome su valjane formule. Time je definisanateorija P.U iskaznom racunu L dokazan je teorem dedukcije. Ova formal-

izacija deduktivne metode zakljucivanja proširuje se i na kvan-tifikatorski racun. Sada cemo dati jednu verziju teorema dedukcijeza predikatski racun. Ponovimo, u svakoj formalnoj teoriji izvod-jenje iz hipoteza je konacan niz formula, takav da je svaki clan togniza ili aksiom, ili hipoteza ili direktna posljedica nekih prethodnonavedenih formula toga niza po nekom od pravila izvodjenja.

83


Teorem 4.3.1. Neka je H skup predikatskih formula i neka su A i

B formule. Tada važi: H ∪{A} ⊢ B (pri cemu se u izvodjenju general-

izacija ne vrši promjenjljivom slobodnom u formuli A) ako i samo ako

H ⊢ A =⇒ B.

Dokaz : Neka je ispunjeno H,A ⊢ B i neka je B1, B2, ...Bn izvodjenjeformule B iz navedenih hipoteza, u kome se ne vrši generalizacijapromjenjljivom slobodnom u A; pri tome je Bn formula B. Tvrdnjucemo dokazati indukcijom po n.Za n = 1, dokaz je formalno isti kao odgovarajuci dokaz stava de-dukcije u teoriji L.Pretpostavimo da je ispunjeno H ⊢ A =⇒ Bk za sve k < n. Tada Bn

može biti: (1) formula iz H, (2) aksiom, (3) formula A, (4) formulakoja slijedi po pravilu MP iz formula Bj i Bk za neke j i k < n, gdjeje Bk formula Bj =⇒ Bn, ili (5) dobijena iz Bi (i < n) generalizacijom.Slucajevi (1)-(4) se formalno ponavljaju kao u dokazu Tvrdjenja 1. U slucaju (5), prema induktivnoj pretpostavci važi H ⊢ A =⇒ Bi,pa po pravilu GEN slijedi H ⊢ (∀x)(A =⇒ Bi), gdje x nije slobodnapromjenjljiva u formuli A.Postoji dakle izvodjenje za formulu (∀x)(A =⇒ Bi) iz hipoteza skupaH. Produžimo to izvodjenje formulama

(∀x)(A =⇒ Bi) =⇒ (A =⇒ (∀x)Bi) i A =⇒ (∀x)Bi .

Prva od gornjih formula je aksiom A4, jer x nije slobodna u A, adruga je dobijena iz (∀x)(A =⇒ Bi) i prve po pravilu MP.Dakle dobijeno je izvodjenje formule A =⇒ (∀x)Bi) iz hipoteza skupa

H, pa je ovaj smjer dokazan.Obrat se dokazuje analogno odgovarajucem dijelu teorema deduk-

cije za iskazni racun. ♣

U iskaznom racunu smo vidjeli da važi ekvivalentnost sintaksickogi semantickog pristupa izvodjenju. Odgovarajuci Teorem potpunosti

vrijedi i u predikatskom racunu:

Teorem 4.3.2. Formula predikatskog racuna je teorema ako i samo

ako je valjana.

Napomenimo da je i predikatski racun (teorija P) kao i iskazniracun (teorija L) neprotivurjecan, što nam obezbjedjuje Teorem4.3.2.

84

4.4. Jedan primjer formalizovane teorije

4.4 Jedan primjer formalizovane teorije

Na kraju, kao primjer formalizovane matematicke discipline, naved-imo aksiome teorije grupa.To je specijalni kvantifikatorski racun koji ima jednu konstantu, uoznaci e, jedan funkcijski znak, binarni, u oznaci · i jedan binarnirelacijski znak, u oznaci = .Aksiome A1-A5 predikatskog racuna P su logicke aksiome ove for-malne teorije. Pored njih imamo i specijalne aksiome. Prve cetiri odnjih su svojstva relacije = :

R: (∀x)(x = x)

S: (∀x)(∀y)(x = y =⇒ y = x)

T: (∀x)(∀y)(∀z)(x = y ∧ y = z =⇒ x = z)

Z: (∀x)(∀y)(∀z)(y = z =⇒ (x · y = x · z ∧ y · x = z · x)).

Preostale tri aksiome su karakteristika baš teorije grupa:

G1: (∀x)(∀y)(∀z)(x · (y · z) = (x · y) · z)

G2: (∀x)(e · x = x)

G3: (∀x)(∃y)(y · x = e).

Pravila izvodjenja ove teorije su Modus Ponens i Generalizacija.

85

Bibliografija

[1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State Uni-versity, 2005.

[2] S. Bilaniuk: A Problem Course in Mathematical Logic, TrentUniversity, Peterborough Ontario, Canada.

[3] B. Žarnic: Simbolicka logika prirucnik.

[4] Z. Šilic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[5] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveucilište u Zagrebu, Za-greb 2006.

[6] Dj. Kurepa : Teorija skupova, Školska knjiga, Zagreb, 1951

86

Nermin Okicic-Matematicka Logika

Documents

Transcript of Nermin Okicic-Matematicka Logika