Controle de Sistemas Mecnicos
Projeto bsico de controladoresProjeto bsico de controladores
Definio das margens Diagramas de Bode Diagramas de Nyquist Exemplos de projetos
Controle de Sistemas Mecnicos
Margem de ganhoMargem de ganho
Conhecido o mximo ganho (Km) queassegure a estabilidade para o controleproporcional de uma dada planta de fasemnima (zeros no semi-plano esquerdo)e realimentao unitria negativa, amargem de ganho definida como:
1020log mMG K=
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio 19.1:Exerccio 19.1: Margem de ganho Margem de ganho
Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de ganho:
( ) 1( ) ( 5)( 8)
Y sU s s s s
=
+ +
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo: Margem de ganhoSoluo: Margem de ganho
( ) 1( ) ( 5)( 8)
Y sU s s s s
=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);rlocus(np,dp)km=519mg=20*log10(km)
1020log mMG K=
MG = 54.3 dB
Controle de Sistemas Mecnicos
Teste em Teste em SimulinkSimulink: Margem de ganho: Margem de ganho
k=522
K=519muito prximoda estabilidade
marginal
Tempo muitolongo paravisualizar a
instabilidade
Controle de Sistemas Mecnicos
Margem de faseMargem de fase
Mnimo atraso de fase que pode seradicionado por um controlador a umsistema de malha aberta estvel demodo a desestabilizar o sistema de
malha fechada.
Controle de Sistemas Mecnicos
Margens de ganho e fase na FT senoidalMargens de ganho e fase na FT senoidal
Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica:
FT de malha fechada fica:
Fazendo pode-se obter as frequnciasque instabilizam o sistema malha fechadafazendo
)()( sPKesG asT=
s j=
( )( )1 ( )
a
a
sT
sT
Ke P sFTmf sKe P s
=
+
1 ( ) 0aj TKe P j + =
Controle de Sistemas Mecnicos
Margens de ganho e fase na FT senoidalMargens de ganho e fase na FT senoidal
Duas condies para satisfazer a equao
A FT malha aberta pode ser escrita na forma
1 ( ) 0aj TKe P j + =
( ) 1KP j =
( ) 180aj Te P j =
( )( ) ( ) aj T j jG j KP j e e =
Controle de Sistemas Mecnicos
Margens de Margens de fasefase na FT senoidal na FT senoidal
Quando a primeira satisfeita
Pode-se observar o quo distante a faseesta de satisfazer a segunda
Na frequncia
( ) 1KP j =
( ) 180aj Te P j =
( ) 180j =
cgPode-se definir Frequncia de
cruzamento deganho
cg
180 ( )j = +Margem de fase
em graus
Controle de Sistemas Mecnicos
Margens de ganho Margens de ganho nana FT senoidal FT senoidal
Quando a segunda satisfeita
Pode-se observar o quo distante o ganhoesta de satisfazer a primeira
Na frequncia
( ) 180aj Te P j = cf
Pode-se definir Frequncia decruzamento de
fase
cgMargem de
ganho em dBs( )0 20log10 ( )KP j
( )KP j( ) 1KP j =
Controle de Sistemas Mecnicos
Exerccio 19.2:Exerccio 19.2: Margem de Margem de fasefase
Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de fase:
( ) 1( ) ( 5)( 8)
Y sU s s s s
=
+ +
Controle de Sistemas Mecnicos
Soluo: Margem de Soluo: Margem de fasefase
( ) 1( ) ( 5)( 8)
Y sU s s s s
=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);w=logspace(-3,2)bode(np,dp,w)wcg=0.025180 ( 90.5)MF = +
89.5MF =
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Teste em Teste em SimulinkSimulink: Margem de fase: Margem de fase
Ta= 65s
( ) ( )aj TG s e P s= aT =
89.5* /180 62.50.025a
piT
= =
Controle de Sistemas Mecnicos
VizualizaoVizualizao das margens das margens
As margens podem ser visualizadasdiretamente nos diagramas de Bode,Nyquist e Nichols.
Primeiramente faz-se necessrio definiralgumas freqncias para visualizaodas margens
Controle de Sistemas Mecnicos
Definio dos pontos de cruzamentosDefinio dos pontos de cruzamentos
Freqncia de cruzamento de ganho: corresponde ao ponto em que o ganho cruza a
linha de zero decibis no diagrama do mdulo
Controle de Sistemas Mecnicos
Definio dos pontos de cruzamentosDefinio dos pontos de cruzamentos
Freqncia de cruzamento de fase: corresponde ao ponto em que a fase cruza a
linha de -180 graus no diagrama de fase
Controle de Sistemas Mecnicos
Como calcular as margensComo calcular as margens
Na freqncia de cruzamento de ganhodefine-se a margem de fase como o nguloque falta para completar 180 graus.
MF
Controle de Sistemas Mecnicos
Como calcular as margensComo calcular as margens
Na freqncia de cruzamento de fase define-se a margem de ganho como a diferena emdecibis para atingir zero dB.
MG
Controle de Sistemas Mecnicos
Usando os diagramas de BodeUsando os diagramas de BodeAs margens podem ser vistas no diagrama de Bode
(comando margin)
( ) 1( ) ( 5)( 8)
Y sU s s s s
=
+ +
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);margin(np,dp)
Para a planta:
MF
MG
Controle de Sistemas Mecnicos
No diagrama de No diagrama de NyquistNyquist
zero raio unitrio180 cruzamento com o eixo real negativoo
Db
Considerandoo ponto onde
Controle de Sistemas Mecnicos
Margens no diagrama de Margens no diagrama de NyquistNyquist
Real Axis
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
Nyquis t Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
MF
1/MG
As margenspodem serencontradasno crculode raiounitrio e noponto decruzamentodo eixo realnegativo.
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Margens finitas menoresMargens finitas menores
A aproximaodos cruzamentosdo ponto (-1,0)gera margensmenores tantopara o ganhocomo para a fase
Controle de Sistemas Mecnicos
Usando o diagrama de Usando o diagrama de NicholsNichols
As margens so visualizadas em um nico grfico
MF
MG
np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);nichols(np,dp)
Controle de Sistemas MecnicosFrequency (rad/s ec)
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
;
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
Gm=33.625 dB (at 2.8284 rad/s ec), P m=84.647 deg. (at 0.1247 rad/s ec)
10-1 100 101-250
-200
-150
-100
Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Margens finitas Margens finitas
Para a planta (comando margin): Y sU s s s s
( )( ) ( )( )= + +
12 4
MG
MF
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Grfico do lugar das razes Grfico do lugar das razes
Usando o comando rlocus: Y sU s s s s
( )( ) ( )( )= + +
12 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
I
m
a
g
A
x
i
s
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist
Para a planta: Y sU s s s s
( )( ) ( )( )= + +
12 4
% raio unitrio teta=linspace(0,2*pi,100); re=cos(teta); im=sin(teta); plot(re,im,'k') axis equal, hold on
np=1; dp=poly([-4 -2 0]); sys=tf(np,dp); [r i]=nyquist(sys); r1(1,:)=r(1,1,:); i1(1,:)=i(1,1,:); plot(r1,i1,'b'), grid zoom
-0.02 0 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.1:19.1: Diagrama de Diagrama de NicholsNichols
Para a planta: Y sU s s s s
( )( ) ( )( )= + +
12 4
Open-Loop P has e (deg)
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
i
n
(
d
B
)
Nichols Charts
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100
-200
-150
-100
-50
0
50
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Margem de ganho infinita Margem de ganho infinita
Para a planta: Y sU s s s
( )( ) ( )( )= + +
162 4
Frequency (rad/s ec)
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
;
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
Bode Diagrams
-40
-20
0
Gm = Inf, P m=93.268 deg. (at 2.6623 rad/s ec)
100 101
-150
-100
-50
0
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Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Lugar das razes Lugar das razes
Para a planta: Y sU s s s
( )( ) ( )( )= + +
162 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
I
m
a
g
A
x
i
s
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist
Para a planta:
Y sU s s s
( )( ) ( )( )= + +
162 4
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.2:19.2: Diagrama de Diagrama de NicholsNichols
Para a planta: Y sU s s s
( )( ) ( )( )= + +
162 4
Open-Loop P has e (deg)
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
i
n
(
d
B
)
Nichols Charts
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Sempre estvel Sempre estvel
Para a planta: )4)(2(8
)()(
++=
sssUsY
Frequency (rad/s ec)
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
;
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0Gm = Inf, P m=180 deg. (at 0 rad/s ec)
100 101
-150
-100
-50
0
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Lugar das razes Lugar das razes
Para a planta: )4)(2(8
)()(
++=
sssUsY
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
I
m
a
g
A
x
i
s
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist
Para a planta:
Y sU s s s
( )( ) ( )( )= + +
82 4
Controle de Sistemas Mecnicos
Exemplo Exemplo 19.3:19.3: Diagrama de Diagrama de NicholsNichols
Para a planta: )4)(2(8
)()(
++=
sssUsY
Open-Loop P has e (deg)
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
i
n
(
d
B
)
Nichols Charts
-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
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Margem de Reduo de ganhoMargem de Reduo de ganho
Quando o sistema instvel em malhaaberta (plos da FT de malha aberta noSPD), a margem de reduo de ganho definida como o menor ganho (Kr) queassegure a estabilidade do sistema emmalha fechada:
( )rKMRG 10log20=
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Margem de Reduo de ganhoMargem de Reduo de ganho
Observar as margens juntamente com olugar das razes da malha aberta
np=...;dp=...;figure(1)margin(np,dp)figure(2)rlocus(np,dp)
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Exemplo Exemplo 19.4:19.4: Margem de reduo de ganho Margem de reduo de ganho
Para a planta cuja FT
calcule a margem de ganho e margem de fase ejustifique o resultado
2
33 6 4( )
1s sG s
s
+ +=
+
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SoluoSoluo::nps=[3 6 4];dps=[1 0 0 1];figure(1)margin(nps,dps)figure(2)rlocus(nps,dps)
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SoluoSoluo::
km=0.371mg=20*log10(km);
mg= -8.6125
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