Lineære funktioner

AM/ Maj 2006

Prøv selv at svare på spørgsmålene, fylde hullerne ud og tegne ind, før du klikker frem til svaret.

Hvad ved I? – og hvad vidste I alligevel?

Hvad er en lineær funktion?

En lineær funktion er en funktion, der har en graf, som er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem.

Hvordan ser forskriften for en lineær funktion ud?

En lineær funktion har forskriften

y = ax + b el. f(x) = ax + b

Bevis

Tilvækster

er det græske bogstav "Delta", der svarer til vort D og benyttes til angivelse af tilvækster

+x

+f

x x1 x2

y1 y2f(x)

x: = x2 x1 f: = y2 y1

x

f(x)

x1 x2

y1

y2

x

f

Grafisk betydning af a

Hvad angiver tallet a?

Hældningskoefficienten a er forholdet mellem y-tilvækst y og

Hvordan kan man indse, at ?

Tag to tilfældige x-værdier x1 og x2.

Dvs. a er tilvæksten i y = f(x), når x-værdien vokser med 1.

1 & a xy

a

x2 = x1 + x

Indsæt x1 og x2 i forskriften y = ax + b

y1 = f(x1) = og ax1 + b

y2 = f(x2) =ax2 + b =

a(x1 + x) + b =

ax1 + a x + b Bestem f = y

y = y2 – y1 = a x xf

xy

a

x-tilvækst x xf

xy

a

Eller se her

Grafisk betydning af b

Hvad angiver tallet b?

b er værdien i 0 ”Startværdien” dvs. b = f(0)

Hvordan kan man indse, at b = f(0)?

Indsæt x = 0 i f(x) = ax + b

f(0) = a0 + b

f(0) =

b

Hvilken viden giver det om linien, at b = f(0)?

Linien går gennem punktet (0,b)

– dvs. at b kan aflæses som 2.koordinaten til liniens skæringspunkt i et sædvanligt koordinatsystem

Tegning af grafen for en lineær funktion

1 2 3 4-1-2-3

-2

1

2

3

4

x

f(x)y = f(x) = -2x + 3

b = 3 dvs. punktet ligger på linien(0,3)

a = -2 , dvs. at man fra punktet (0,3) går

1 th og a = -2 op, dvs. 2 ned

Der har man så et andet punkt på linien, som så kan tegnes.

Kontrol: fx f(2) = -2·2 + 2 = -2

P(2,-2) ligger på linien

P

Bestemmelse af forskrift v/aflæsn.

1 2 3 4-1-2-3-2

1

2

3

4

x

f(x)

0

0

-1

b = 1

a: 1 th og a op

f(0) =

a

1

eller

6 th og

6

6a op6a

dvs. at a = ½

Forskriften er altså

f(x) = ½x + 1

Kontrol:

f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3

f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3

3

Bestemmelse af forskrift v/beregn.

+xx1 x2

+f

y1 y2

+ ?

0

+ a?

b

Kontrol på det punkt, der ikke har været brugt til beregning af b

f(2) =

ud fra to pkt. (x1,y1) og (x2,y2)

4

2 -2

+2

3 5

+ 2

0

+a2

b

xf

xy

a

og

b = y2 + a∙? = y2 - a∙x2

Eksempel:f er en lineær funktion med f(2) = 3 og f(-2) = 5Punkterne på linien er altså (2,3) og (-2,5)

a = 21

42

og b = 5 + 2∙a = 5 + 2∙(-½) = 4

Forskriften er altså f(x) = -½x + 4

-½∙2 + 4 = -1 + 4 = 3