8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 1/10
Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13
Aula 13 – Polıgonos regulares
Objetivos
• Determinar a area de polıgonos regulares.
Introducao
Um polıgono e chamado equil´ atero se todos os seus lados sao congruen-
tes. E chamado equiˆ angulo se todos os seus angulos internos sao congruentes.
Um polıgono que e ao mesmo tempo equilatero e equiangulo e chamado re-
gular . Veja na figura 253 alguns exemplos de polıgonos regulares.
Fig. 253: Polıgonos regulares.
Voce pode estar se perguntando se as duas definicoes nao significam a
mesma coisa. Na verdade, se estivermos falando de triangulos, as duas pro-
priedades sao equivalentes. Isso acontece por causa da propriedade que tem
os triangulos de o maior angulo se opor ao maior lado, e vice-versa. Assim, se
um triangulo e equilatero, entao, como consequencia, todos os seus angulos
sao iguais e ele e equiangulo. Da mesma forma, se um triangulo tem todos os
angulos congruentes, prova-se que seus lados tambem sao congruentes. Por-
tanto, para mostrar que um dado triangulo e regular, basta mostrar que ele
e equilatero ou que ele e equiangulo, nao sendo necessario verificar as duas
coisas.
No caso de polıgonos com mais de tres lados isso nao e verdade, nem
mesmo para quadrilateros. Um retangulo com base e altura nao congruentes
e equiangulo, pois todos os seus angulos sao retos, mas nao e equilatero. Um
losango que nao seja quadrado e equilatero, mas nao e equiangulo (figura
254).
(a)
(b)
Fig. 254: (a)Equiangulo mas nao equilatero. (b) Equilatero mas nao equiangulo.163
C E D E R J
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 2/10
Polıgonos regulares
Quando acontece de existir um cırculo contendo todos os vertices de
um polıgono, dizemos que esse polıgono esta inscrito em tal cırculo, ou que
ele e inscritıvel . Quando ocorre de existir um cırculo que e tangente a todos
os lados de um polıgono, dizemos que esse polıgono esta circunscrito a tal
cırculo, ou que ele e circunscritıvel . Veja a figura 255.
(a) (b) (c)
Fig. 255: a) Polıgono inscrito (o polıgono nao e regular)). b) Polıgono circunscrito (o polıgono nao e
regular). c) Polıgono regular inscrito.
Vamos provar que todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel.
Para isso considere um polıgono regular P = A1A2 . . . An qualquer. Tracemos
as mediatrizes dos lados A1A2 e A2A3, as quais encontram-se num ponto O.
A figura 256 mostra um caso particular em que P e um pentagono.
o
A1
A2
A3
A4
A5
Fig. 256: Pentagono regular A1A2A3A4A5.
Como O esta na mediatriz do lado A1A2, entao a distancia de O aos
vertices A1 e A2 e a mesma, que chamaremos r. Pelo mesmo motivo, a
distancia de O a A3 e a mesma distancia r de O a A2. Os triangulos OA1A2
e OA2A3 sao, assim, isosceles. Alem disso, OA1A2 ≡ OA2A3, por L.L.L.. Se-
gue que os angulos O A1A2, O A2A1, O A2A3 e O A3A2 sao todos congruentes.
C E D E R J 164
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 3/10
Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13
Como A1 A2A3 ≡ A2
A3A4 (pois o polıgono e equiangulo), conclui-se que
O A3A4 ≡ O A3A2. Por L.A.L., os triangulos OA3A4 e OA3A2 sao congruen-
tes, donde se conclui que OA4 ≡ OA2. Assim, tem-se que a distancia entre
O e A4 e tambem r. Da mesma forma se prova que a distancia do ponto O
aos outros vertices do polıgono P e tambem r. Consequentemente, o cırculo
de centro O e raio r passa por todos os vertices do polıgono P .Alem disso, os triangulos OA1A2, OA2A3, . . ., OAnA1 sao todos con-
gruentes. Segue que os segmentos unindo o ponto O aos pontos medios
de cada lado sao todos congruentes. Chamemos de a a medida desses seg-
mentos. Como esses segmentos sao perpendiculares aos lados do polıgono
P , concluımos que o cırculo de centro O e raio a e tangente a todos os
lados de P .
Provamos, assim, que:
Todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel
O ponto O considerado na demonstracao anterior e chamado centro do
polıgono regular , e o numero a e chamado ap´ otema . Tambem chamaremos
de apotema a todo segmento ligando O ao ponto medio de um dos lados.
Veja na figura 257 um hexagono regular e os cırculos em que esta ins-
crito e circunscrito.
Fig. 257: Cırculos inscrito e circunscrito a um hexagono regular.
Um polıgono, contudo, pode ser inscritıvel ou circunscritıvel sem ser
regular, como mostra a figura 255. Por outro lado, existem polıgonos que
nao sao inscritıveis, ou circunscritıveis. Veja a figura 258.
(a) (b)
Fig. 258: a) Polıgono nao inscritıvel. b) Polıgono nao circunscritıvel.
165C E D E R J
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 4/10
Polıgonos regulares
Veremos a seguir um criterio que permite decidir se um quadrilatero
qualquer e inscritıvel ou nao. Primeiro consideremos um quadrilatero ABCD
inscrito no cırculo Γ, como na figura 259.
A
B
C
D
Fig. 259: AQuadrilatero inscrito.
Os angulos ˆBAD e ˆBC D sao angulos inscritos em Γ, e os arcos de-
terminados por esses angulos compoem o cırculo completo, intersectando-se
apenas nos extremos. Daı, conclui-se que 2 ˆBAD + 2 ˆBC D = 360o, ou seja,ˆBAD + ˆBC D = 180o e esses angulos sao suplementares. Do mesmo modo,
sao suplementares os angulos ˆADC e ˆABC .
Reciprocamente, suponhamos que ABCD seja um quadrilatero tal que
os angulos opostos sao suplementares. Tracemos o cırculo Γ que contem os
pontos A, B e C . Vamos mostrar que o ponto D tambem esta em Γ.
Suponhamos que o ponto D nao esteja no cırculo Γ. Nesse caso, ha
duas possibilidades: D esta no interior de Γ ou D esta no exterior de Γ (vejaas duas possibilidades na figura 260).
A
B
C
D
(a) (b)
A
B
C
ΓΓ
D
Fig. 260: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.
Em qualquer das possibilidades, seja E o ponto em que a semi-reta−−→BD
intersecta Γ, como na figura 261.
C E D E R J 166
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 5/10
Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13
A
B
C
DE
(a)
A
B
C
D
E
(b)
Fig. 261: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.
Se D esta no interior de Γ, temos ˆADB > ˆAEB e ˆCD B > ˆCE B,
donde se conclui que ˆADC > ˆAEC . Mas ˆADC e ˆABC sao suplementares,
por hipotese, e ˆAEC e ˆABC sao suplementares porque ABCE esta inscrito
em Γ. Logo ˆADC ≡
ˆAEC . Mas ja tınhamos concluıdo que ˆADC > ˆAEC .
Essa contradicao mostra que D nao pode estar no interior de Γ. Deixamos
como exercıcio a prova de que D nao pode estar no exterior de Γ.
Com isso mostramos a seguinte proposicao:
Proposicao 31
Um quadrilatero e inscritıvel num cırculo se e somente se seus angulos inter-
nos opostos sao suplementares.
Veja na proposicao seguinte como fica a area de um polıgono regular.
Proposicao 32A area de um polıgono regular e a metade do produto do perımetro pelo
apotema.
Prova:
Se A1A2 . . . An e um polıgono regular de n lados, ligando cada um
de seus vertices ao centro O do polıgono, ficam determinados n triangulos
isosceles congruentes de base igual a m(A1A2) e altura igual ao apotema do
polıgono, que denotaremos por a. A area de cada um desses triangulos em(A1A2)a
2
. Pelas propriedades de area, concluımos que
AA1A2...An = n
m(A1A2)a
2
=
nm(A1A2)a
2
Como nm(A1A2) e justamente o perımetro do polıgono, ja que seus n
lados sao todos congruentes a A1A2, fica demonstrada a proposicao.
C.Q.D.
167C E D E R J
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 6/10
Polıgonos regulares
Sejam Γ e Γ cırculos com o mesmo centro O (dizemos nesse caso que
sao concentricos ) e seja P = A1A2 . . . An um polıgono regular inscrito em Γ.
Definamos um polıgono P inscrito em Γ da seguinte forma: B1 =−−→OA1 ∩Γ,
B2 =−−→OA2 ∩ Γ etc. O polıgono assim definido e chamado projec˜ ao radial de
P sobre Γ. Veja na figura 262 o caso particular em que P e um hexagono.
Nota: na figura 262, Γ e o
cırculo externo e Γ e o
cırculo interno.
Os apotemas a e a sao,
respectivamente, a distancia
do centro O ate os lados dos
polıgonos P e P .
B1 B
2
B6
B3
B5
B4
A1
A2
A6
A3
A4
A5
O
Fig. 262: Projecao radial do hexagono.
Deixaremos como exercıcio a prova de que P tambem e regular. De-
terminaremos agora a relacao entre as areas de P e P . Para isso, chamemos
de r e r os raios de Γ e Γ, a e a os apotemas, A e A as areas e p e
p os perımetros de P e P , respectivamente. Ja sabemos que A = 12
ap e
A = 1
2a p. Considere os triangulos A1OA2 e B1OB2. Como ambos sao
isosceles e tem o angulo central ˆA1OA2 em comum, podemos concluir que
sao semelhantes. Como consequencia dessa semelhanca, decorre que
r
r =
m(A1A2)
m(B1B2) =
a
a (6)
onde a ultima igualdade vem do fato de a e a serem as alturas de A1OA2
e B1OB2 com respeito as bases A1A2 e B1B2. Como P e P sao regulares,
temos p = nm(A1A2), e p = nm(B1B2), o que nos da
p
p =
m(A1A2)
m(B1B2).
Substituindo na equacao (6), obtemos
r
r =
p
p =
a
a.
C E D E R J 168
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 7/10
Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13
Daı concluımos que
A
A =
ap
a p =
r
r
2
.
Um raciocınio analogo pode ser feito para os polıgonos circunscritos. A
formula acima sera muito util na proxima aula, quando faremos o calculo da
area do cırculo.
Resumo
Nesta aula voce aprendeu...
• O que sao polıgonos regulares.
• Que todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel.
• Que um polıgono pode ser inscritıvel ou circunscritıvel sem ser regular.
• Que existem polıgonos que nao sao inscritıveis ou circunscritıveis.
• Um criterio para verificar se um quadrilatero e inscritıvel ou nao.
• A formula para calcular a area de um polıgono regular.
Exercıcios
1. Prove que todo triangulo equiangulo e tambem equilatero.
2. Prove que um polıgono regular circunscrito a um cırculo tangencia o
mesmo no ponto medio de cada lado.
3. Prove que a soma dos angulos externos de um polıgono convexo e 360o.
4. Na figura 263, ABP e um triangulo equilatero e ABCDE e um pentagono
regular.
A B
C
D
E
P
Fig. 263: Exercıcio 4.
Determine D AP e BP C . 169C E D E R J
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 8/10
Polıgonos regulares
5. Determine os polıgonos regulares para os quais os angulos internos e
externos sao iguais.
6. Determine o numero de lados de um polıgono regular, sabendo que seus
angulos internos medem 144o.
7. Determine os raios dos cırculos inscrito e circunscrito em um hexagonoregular de 6 cm de lado.
8. Determine a medida do lado e o apotema de um hexagono regular
inscrito em um cırculo de raio 2√
3 cm.
9. Prove que a area de um triangulo e dada pelo produto do semi-perımetro
pelo raio da circunferencia inscrita.
10. Prove que a soma das distancias de um ponto interno de um triangulo
equilatero aos lados nao depende do ponto interno considerado.
11. Determine a maior area que um triangulo pode ter se ele esta inscrito
em um cırculo de raio R.
12. Na figura 264, ABCDEF e um hexagono regular. Sobre seus lados
foram construıdos quadrados.
A B
D
C
E
F
G H
I
J
K
L
MN
O
P
Q
R
Fig. 264: Exercıcio 12.
Prove que o polıgono GHIJKLMNOPQR e um dodecagono regular.
13. (EPUSP-1966) As bases de um trapezio isosceles circunscrito a um
cırculo medem 9 cm e 6 cm. Cada um dos outros dois lados do trapezio
mede:
(a) 4,5 cm (b) 6 cm (c) 7,5 cm (d) 8 cm (e) N.R.A.
C E D E R J 170
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 9/10
Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13
14. (FUVEST-1989) Os pontos A, B e C sao vertices consecutivos de um
hexagono regular de area igual a 6. Qual a area do triangulo ABC ?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d)√
2 (e)√
3
15. (COVEST-1991) Se todos os lados de um heptagono regular forem
aumentados em 50%, em quanto aumenta a sua area ?
(a) 50% (b) 75% (c) 100% (d) 125% (e) 150%
16. (U.C. SALVADOR-1991) Na figura 265, ABCD e um losango e A e o
centro do cırculo de raio 4 cm.
A
B
C
D
Fig. 265: Exercıcio 16
A area desse losango, em centımetros quadrados, e:
(a) 4√
3 (b) 8 (c) 12 (d) 8√
3 (e) 12√
3
17. (FESP-1991) Um triangulo equilatero ABC esta inscrito em um cırculo.O triangulo e interceptado por um diametro do cırculo, formando um
trapezio, conforme a figura 266.
A
B C
M N
O
P Q
Fig. 266: Exercıcio
A razao entre a area do triangulo ABC e a do trapezio e igual a:
a) 5
4 (b)
9
5 (c)
9
8 (d)
9
4 (e)
8
5
171C E D E R J
8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ
http://slidepdf.com/reader/full/geometria-plana-ii-aula13-cederj 10/10
Polıgonos regulares
18. Prove que o polıgono P da fıgura 262 e regular.
19. Seja Q = A1A2 . . . An um polıgono regular circunscrito a um cırculo Γ
e sejam T 1, T 2, . . . , T n os pontos em que A1A2, A2A3, . . . , AnA1 tangen-
ciam Γ. Considere um cırculo Γ concentrico a Γ e sejam T 1 =←−−OT 1∩Γ,
etc. Por T 1, T 2, . . . , T n
trace tangentes a Γ, obtendo um polıgono
Q = B1B2 . . . Bn (veja figura 267).
A
B
A
B
A
B
1
1 2
2
3nn
AB
O
1T '
2T
2T
'
1T
3
nT
nT '
Fig. 267: Exercıcio
Prove que Q e tambem regular. Se r e r sao os raios de Γ e Γ,
respectivamente, prove que a razao entre a area A de Q e a area de Q
e dada por A
A= r
r
2
.
Sugestao: Prove que OT 1A2
≡ OT 2A2 e OT 1B2
≡ OT 2B2 e conclua
que O, A2, e B2 sao colineares. Da mesma forma sao colineares os
termos O, A3, B3, . . . , O , A1, B1. Use o exercıcio 1 desta aula e a seme-
lhanca entre os triangulos OA1A2 e OB1B2, . . . , O AnA1 e OBnB1 para
provar que OT 1B2 ≡ OT 1B1, OT 2B3 ≡ OT 2B2, . . . , O T n
B1 ≡ OT n
Bn.
Lembrando que ja sabemos que OT n
B1 ≡ OT 1B1, OT 2B2 ≡ OT 1B2,
etc, prove que Q e regular. Para provar que A
A= r
r
2
, observe que
OA1A2 e semelhante a OB1B2, OA2A3 e semelhante a OB2B3, etc, com
razao de semelhanca igual a r
r.
C E D E R J 172