Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ

8/18/2019 Geometria Plana II - Aula13 - CEDERJ

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Polıgonos regulares M ´ ODULO 1 - AULA 13

Aula 13 – Polıgonos regulares

Objetivos

• Determinar a area de polıgonos regulares.

Introducao

Um polıgono e chamado equil´ atero se todos os seus lados sao congruen-

tes. E chamado equiˆ angulo se todos os seus angulos internos sao congruentes.

Um polıgono que e ao mesmo tempo equilatero e equiangulo e chamado re-

gular . Veja na figura 253 alguns exemplos de polıgonos regulares.

Fig. 253: Polıgonos regulares.

Voce pode estar se perguntando se as duas definicoes nao significam a

mesma coisa. Na verdade, se estivermos falando de triangulos, as duas pro-

priedades sao equivalentes. Isso acontece por causa da propriedade que tem

os triangulos de o maior angulo se opor ao maior lado, e vice-versa. Assim, se

um triangulo e equilatero, entao, como consequencia, todos os seus angulos

sao iguais e ele e equiangulo. Da mesma forma, se um triangulo tem todos os

angulos congruentes, prova-se que seus lados tambem sao congruentes. Por-

tanto, para mostrar que um dado triangulo e regular, basta mostrar que ele

e equilatero ou que ele e equiangulo, nao sendo necessario verificar as duas

coisas.

No caso de polıgonos com mais de tres lados isso nao e verdade, nem

mesmo para quadrilateros. Um retangulo com base e altura nao congruentes

e equiangulo, pois todos os seus angulos sao retos, mas nao e equilatero. Um

losango que nao seja quadrado e equilatero, mas nao e equiangulo (figura

254).

(a)

(b)

Fig. 254: (a)Equiangulo mas nao equilatero. (b) Equilatero mas nao equiangulo.163

C E D E R J



Polıgonos regulares

Quando acontece de existir um cırculo contendo todos os vertices de

um polıgono, dizemos que esse polıgono esta inscrito em tal cırculo, ou que

ele e inscritıvel . Quando ocorre de existir um cırculo que e tangente a todos

os lados de um polıgono, dizemos que esse polıgono esta circunscrito a tal

cırculo, ou que ele e circunscritıvel . Veja a figura 255.

(a) (b) (c)

Fig. 255: a) Polıgono inscrito (o polıgono nao e regular)). b) Polıgono circunscrito (o polıgono nao e

regular). c) Polıgono regular inscrito.

Vamos provar que todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel.

Para isso considere um polıgono regular P = A1A2 . . . An qualquer. Tracemos

as mediatrizes dos lados A1A2 e A2A3, as quais encontram-se num ponto O.

A figura 256 mostra um caso particular em que P e um pentagono.

o

A1

A2

A3

A4

A5

Fig. 256: Pentagono regular A1A2A3A4A5.

Como O esta na mediatriz do lado A1A2, entao a distancia de O aos

vertices A1 e A2 e a mesma, que chamaremos r. Pelo mesmo motivo, a

distancia de O a A3 e a mesma distancia r de O a A2. Os triangulos OA1A2

e OA2A3 sao, assim, isosceles. Alem disso, OA1A2 ≡ OA2A3, por L.L.L.. Se-

gue que os angulos O A1A2, O A2A1, O A2A3 e O A3A2 sao todos congruentes.

C E D E R J 164




Como A1 A2A3 ≡ A2

A3A4 (pois o polıgono e equiangulo), conclui-se que

O A3A4 ≡ O A3A2. Por L.A.L., os triangulos OA3A4 e OA3A2 sao congruen-

tes, donde se conclui que OA4 ≡ OA2. Assim, tem-se que a distancia entre

O e A4 e tambem r. Da mesma forma se prova que a distancia do ponto O

aos outros vertices do polıgono P e tambem r. Consequentemente, o cırculo

de centro O e raio r passa por todos os vertices do polıgono P .Alem disso, os triangulos OA1A2, OA2A3, . . ., OAnA1 sao todos con-

gruentes. Segue que os segmentos unindo o ponto O aos pontos medios

de cada lado sao todos congruentes. Chamemos de a a medida desses seg-

mentos. Como esses segmentos sao perpendiculares aos lados do polıgono

P , concluımos que o cırculo de centro O e raio a e tangente a todos os

lados de P .

Provamos, assim, que:

Todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel

O ponto O considerado na demonstracao anterior e chamado centro do

polıgono regular , e o numero a e chamado ap´ otema . Tambem chamaremos

de apotema a todo segmento ligando O ao ponto medio de um dos lados.

Veja na figura 257 um hexagono regular e os cırculos em que esta ins-

crito e circunscrito.

Fig. 257: Cırculos inscrito e circunscrito a um hexagono regular.

Um polıgono, contudo, pode ser inscritıvel ou circunscritıvel sem ser

regular, como mostra a figura 255. Por outro lado, existem polıgonos que

nao sao inscritıveis, ou circunscritıveis. Veja a figura 258.

(a) (b)

Fig. 258: a) Polıgono nao inscritıvel. b) Polıgono nao circunscritıvel.

165C E D E R J




Veremos a seguir um criterio que permite decidir se um quadrilatero

qualquer e inscritıvel ou nao. Primeiro consideremos um quadrilatero ABCD

inscrito no cırculo Γ, como na figura 259.

A

B

C

D

Fig. 259: AQuadrilatero inscrito.

Os angulos ˆBAD e ˆBC D sao angulos inscritos em Γ, e os arcos de-

terminados por esses angulos compoem o cırculo completo, intersectando-se

apenas nos extremos. Daı, conclui-se que 2 ˆBAD + 2 ˆBC D = 360o, ou seja,ˆBAD + ˆBC D = 180o e esses angulos sao suplementares. Do mesmo modo,

sao suplementares os angulos ˆADC e ˆABC .

Reciprocamente, suponhamos que ABCD seja um quadrilatero tal que

os angulos opostos sao suplementares. Tracemos o cırculo Γ que contem os

pontos A, B e C . Vamos mostrar que o ponto D tambem esta em Γ.

Suponhamos que o ponto D nao esteja no cırculo Γ. Nesse caso, ha

duas possibilidades: D esta no interior de Γ ou D esta no exterior de Γ (vejaas duas possibilidades na figura 260).

A

B

C

D

(a) (b)

A

B

C

ΓΓ

D

Fig. 260: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.

Em qualquer das possibilidades, seja E o ponto em que a semi-reta−−→BD

intersecta Γ, como na figura 261.

C E D E R J 166




A

B

C

DE

(a)

A

B

C

D

E

(b)

Fig. 261: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.

Se D esta no interior de Γ, temos ÂDB > ÂEB e ˆCD B > ˆCE B,

donde se conclui que ÂDC > ÂEC . Mas ÂDC e ÂBC sao suplementares,

por hipotese, e ÂEC e ÂBC sao suplementares porque ABCE esta inscrito

em Γ. Logo ÂDC ≡

ÂEC . Mas ja tınhamos concluıdo que ÂDC > ÂEC .

Essa contradicao mostra que D nao pode estar no interior de Γ. Deixamos

como exercıcio a prova de que D nao pode estar no exterior de Γ.

Com isso mostramos a seguinte proposicao:

Proposicao 31

Um quadrilatero e inscritıvel num cırculo se e somente se seus angulos inter-

nos opostos sao suplementares.

Veja na proposicao seguinte como fica a area de um polıgono regular.

Proposicao 32A area de um polıgono regular e a metade do produto do perımetro pelo

apotema.

Prova:

Se A1A2 . . . An e um polıgono regular de n lados, ligando cada um

de seus vertices ao centro O do polıgono, ficam determinados n triangulos

isosceles congruentes de base igual a m(A1A2) e altura igual ao apotema do

polıgono, que denotaremos por a. A area de cada um desses triangulos em(A1A2)a

2

. Pelas propriedades de area, concluımos que

AA1A2...An = n

m(A1A2)a

2

=

nm(A1A2)a

2

Como nm(A1A2) e justamente o perımetro do polıgono, ja que seus n

lados sao todos congruentes a A1A2, fica demonstrada a proposicao.

C.Q.D.

167C E D E R J




Sejam Γ e Γ cırculos com o mesmo centro O (dizemos nesse caso que

sao concentricos ) e seja P = A1A2 . . . An um polıgono regular inscrito em Γ.

Definamos um polıgono P inscrito em Γ da seguinte forma: B1 =−−→OA1 ∩Γ,

B2 =−−→OA2 ∩ Γ etc. O polıgono assim definido e chamado projec˜ ao radial de

P sobre Γ. Veja na figura 262 o caso particular em que P e um hexagono.

Nota: na figura 262, Γ e o

cırculo externo e Γ e o

cırculo interno.

Os apotemas a e a sao,

respectivamente, a distancia

do centro O ate os lados dos

polıgonos P e P .

B1 B

2

B6

B3

B5

B4

A1

A2

A6

A3

A4

A5

O

Fig. 262: Projecao radial do hexagono.

Deixaremos como exercıcio a prova de que P tambem e regular. De-

terminaremos agora a relacao entre as areas de P e P . Para isso, chamemos

de r e r os raios de Γ e Γ, a e a os apotemas, A e A as areas e p e

p os perımetros de P e P , respectivamente. Ja sabemos que A = 12

ap e

A = 1

2a p. Considere os triangulos A1OA2 e B1OB2. Como ambos sao

isosceles e tem o angulo central ˆA1OA2 em comum, podemos concluir que

sao semelhantes. Como consequencia dessa semelhanca, decorre que

r

r =

m(A1A2)

m(B1B2) =

a

a (6)

onde a ultima igualdade vem do fato de a e a serem as alturas de A1OA2

e B1OB2 com respeito as bases A1A2 e B1B2. Como P e P sao regulares,

temos p = nm(A1A2), e p = nm(B1B2), o que nos da

p

p =

m(A1A2)

m(B1B2).

Substituindo na equacao (6), obtemos

r

r =

p

p =

a

a.

C E D E R J 168




Daı concluımos que

A

A =

ap

a p =

r

r

2

.

Um raciocınio analogo pode ser feito para os polıgonos circunscritos. A

formula acima sera muito util na proxima aula, quando faremos o calculo da

area do cırculo.

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O que sao polıgonos regulares.

• Que todo polıgono regular e inscritıvel e circunscritıvel.

• Que um polıgono pode ser inscritıvel ou circunscritıvel sem ser regular.

• Que existem polıgonos que nao sao inscritıveis ou circunscritıveis.

• Um criterio para verificar se um quadrilatero e inscritıvel ou nao.

• A formula para calcular a area de um polıgono regular.

Exercıcios

1. Prove que todo triangulo equiangulo e tambem equilatero.

2. Prove que um polıgono regular circunscrito a um cırculo tangencia o

mesmo no ponto medio de cada lado.

3. Prove que a soma dos angulos externos de um polıgono convexo e 360o.

4. Na figura 263, ABP e um triangulo equilatero e ABCDE e um pentagono

regular.

A B

C

D

E

P

Fig. 263: Exercıcio 4.

Determine D AP e BP C . 169C E D E R J




5. Determine os polıgonos regulares para os quais os angulos internos e

externos sao iguais.

6. Determine o numero de lados de um polıgono regular, sabendo que seus

angulos internos medem 144o.

7. Determine os raios dos cırculos inscrito e circunscrito em um hexagonoregular de 6 cm de lado.

8. Determine a medida do lado e o apotema de um hexagono regular

inscrito em um cırculo de raio 2√

3 cm.

9. Prove que a area de um triangulo e dada pelo produto do semi-perımetro

pelo raio da circunferencia inscrita.

10. Prove que a soma das distancias de um ponto interno de um triangulo

equilatero aos lados nao depende do ponto interno considerado.

11. Determine a maior area que um triangulo pode ter se ele esta inscrito

em um cırculo de raio R.

12. Na figura 264, ABCDEF e um hexagono regular. Sobre seus lados

foram construıdos quadrados.

A B

D

C

E

F

G H

I

J

K

L

MN

O

P

Q

R

Fig. 264: Exercıcio 12.

Prove que o polıgono GHIJKLMNOPQR e um dodecagono regular.

13. (EPUSP-1966) As bases de um trapezio isosceles circunscrito a um

cırculo medem 9 cm e 6 cm. Cada um dos outros dois lados do trapezio

mede:

(a) 4,5 cm (b) 6 cm (c) 7,5 cm (d) 8 cm (e) N.R.A.

C E D E R J 170




14. (FUVEST-1989) Os pontos A, B e C sao vertices consecutivos de um

hexagono regular de area igual a 6. Qual a area do triangulo ABC ?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d)√

2 (e)√

3

15. (COVEST-1991) Se todos os lados de um heptagono regular forem

aumentados em 50%, em quanto aumenta a sua area ?

(a) 50% (b) 75% (c) 100% (d) 125% (e) 150%

16. (U.C. SALVADOR-1991) Na figura 265, ABCD e um losango e A e o

centro do cırculo de raio 4 cm.

A

B

C

D

Fig. 265: Exercıcio 16

A area desse losango, em centımetros quadrados, e:

(a) 4√

3 (b) 8 (c) 12 (d) 8√

3 (e) 12√

3

17. (FESP-1991) Um triangulo equilatero ABC esta inscrito em um cırculo.O triangulo e interceptado por um diametro do cırculo, formando um

trapezio, conforme a figura 266.

A

B C

M N

O

P Q

Fig. 266: Exercıcio

A razao entre a area do triangulo ABC e a do trapezio e igual a:

a) 5

4 (b)

9

5 (c)

9

8 (d)

9

4 (e)

8

5

171C E D E R J




18. Prove que o polıgono P da fıgura 262 e regular.

19. Seja Q = A1A2 . . . An um polıgono regular circunscrito a um cırculo Γ

e sejam T 1, T 2, . . . , T n os pontos em que A1A2, A2A3, . . . , AnA1 tangen-

ciam Γ. Considere um cırculo Γ concentrico a Γ e sejam T 1 =←−−OT 1∩Γ,

etc. Por T 1, T 2, . . . , T n

trace tangentes a Γ, obtendo um polıgono

Q = B1B2 . . . Bn (veja figura 267).

A

B

A

B

A

B

1

1 2

2

3nn

AB

O

1T '

2T

2T

'

1T

3

nT

nT '

Fig. 267: Exercıcio

Prove que Q e tambem regular. Se r e r sao os raios de Γ e Γ,

respectivamente, prove que a razao entre a area A de Q e a area de Q

e dada por A

A= r

r

2

.

Sugestao: Prove que OT 1A2

≡ OT 2A2 e OT 1B2

≡ OT 2B2 e conclua

que O, A2, e B2 sao colineares. Da mesma forma sao colineares os

termos O, A3, B3, . . . , O , A1, B1. Use o exercıcio 1 desta aula e a seme-

lhanca entre os triangulos OA1A2 e OB1B2, . . . , O AnA1 e OBnB1 para

provar que OT 1B2 ≡ OT 1B1, OT 2B3 ≡ OT 2B2, . . . , O T n

B1 ≡ OT n

Bn.

Lembrando que ja sabemos que OT n

B1 ≡ OT 1B1, OT 2B2 ≡ OT 1B2,

etc, prove que Q e regular. Para provar que A

A= r

r

2

, observe que

OA1A2 e semelhante a OB1B2, OA2A3 e semelhante a OB2B3, etc, com

razao de semelhanca igual a r

r.

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