1
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Ingeniería Mecánica
Tesis en opción al título de Ingeniero Mecánico
Título: Optimización de la resistencia a la fractura deengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico
usando el software MatLab.
Autor: Frank Plasencia Martínez.
Tutor: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez.
Santa Clara
Junio, 2013
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Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Ingeniería Mecánica
Tesis en opción al título de Ingeniero Mecánico
Título: Optimización de la resistencia a la fractura deengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico
usando el software MatLab.
Autor: Frank Plasencia Martínez.
Tutor: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez.
Santa Clara
Junio, 2013
1
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Ingeniería Mecánica
Tesis en opción al título de Ingeniero Mecánico
Título: Optimización de la resistencia a la fractura deengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico
usando el software MatLab.
Autor: Frank Plasencia Martínez.
Tutor: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez.
Santa Clara
Junio, 2013
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Resumen
Hoy en día ha ido creciendo cada vez más el uso de los materiales plásticos para
los engranajes. Los engranajes plásticos se han colocado como serias alternativas
a los engranajes tradicionales de metal en una gran variedad de usos. El uso de
los engranajes plásticos se ha expandido desde las aplicaciones de baja potencia
y transmisiones de movimiento de precisión hasta aplicaciones que cada vez
demandan más potencia. Los engranajes plásticos cuando son correctamente
diseñados ofrecen muchas ventajas comparados con los engranajes metálicos.
Tienen menos peso, una inercia más baja, y funcionan mucho más
silenciosamente que sus contrapartes metálicas. Los engranajes plásticos muchas
veces no requieren lubricación o a menudo la lubricación puede ser a través de
lubricantes internos dentro del propio material como es el caso del PTFE o la
silicona. Los engranajes plásticos tienen un menor costo que los metálicos y se
pueden diseñar con una geometría especial. Sin embargo hay poca información
disponible sobre el diseño de los engranajes plásticos. En el presente trabajo se
hace un análisis de los materiales, características, fallas principales, métodos de
cálculo, ejemplos de aplicación de los engranajes plásticos y la optimización de
estos.
3
Abstract
Today the use of plastic materials for gearing has been growing up. Plastic gears
have positioned themselves as serious alternatives to traditional metal gears in a
wide variety of applications. The use of plastic gears has expanded from low
power, precision motion transmission into more demanding power transmission
applications. When properly designed plastic gears offer many advantages
compared to metal gears. They have less weight, lower inertia, and run much
quieter than their metal counterparts. Plastic gears often require no lubrication or
can be compounded with internal lubricants such as PTFE or silicone. Plastic
gears have a lower cost than metal gears, and can be designed with a special
geometry. Nevertheless there is little information available about plastic gear
design. At this work is made an analysis of the materials, characteristics, main
failures, calculations methods, examples of application of plastic gears and their
optimization.
4
Índice generalIntroducción............................................................................................................. 1
Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos. ...................................... 12
1.1 Marco teórico ............................................................................................... 12
1.2 Materiales .................................................................................................... 13
1.2.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 13
1.2.2 Termo-estables...................................................................................... 13
1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-estables. ............... 15
1.3.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 16
1.3.2 Termo-estables...................................................................................... 18
1.4 Refuerzos para engranajes.......................................................................... 20
1.5 Fallas en los engranajes plásticos ............................................................... 23
1.6 Geometría.................................................................................................... 26
1.7 Lubricación .................................................................................................. 30
Conclusiones parciales del capítulo 1................................................................ 32
Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos. .......................... 33
2.1 Temperatura de trabajo ............................................................................... 33
2.2-Cálculo de la distancia entre centros ........................................................... 34
2.3 Resistencia superficial de los engranajes .................................................... 36
2.4 Métodos de cálculo ..................................................................................... 44
2.5 Posible utilización de engranajes plásticos. ................................................. 51
2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectos ........... 52
2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculo ............................................ 53
Conclusiones parciales del capítulo 2................................................................ 57
5
Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de los engranajescilíndricos de dientes rectos de material plástico. ................................................. 58
3.1 Algoritmos genéticos.................................................................................... 59
3.2 Algoritmos Genéticos propuestos para resolver problemas de optimizaciónmultiobjetivo son ................................................................................................ 62
3.3 Optimización de los engranajes cilíndricos .................................................. 64
3.4 Lenguaje utilizado en el editor de MatLab ................................................... 65
3.5 Análisis de resultados .................................................................................. 71
Conclusiones......................................................................................................... 72
Recomendaciones ................................................................................................ 74
Bibliografía ............................................................................................................ 75
Anexos .................................................................................................................. 78
6
IntroducciónPara los ingenieros mecánicos el uso de engranajes plásticos hoy en día es
insoslayable debido al bajo costo, el bajo peso, la reducción de ruido y otros
parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes.
Mientras existe mundialmente una gran experiencia en el diseño de engranajes
metálicos que data de cientos de años, los engranajes plásticos son tema de
estudio de los Ingenieros Mecánicos de hace solo unas pocas décadas. Producto
del desconocimiento cuando un engranaje plástico falla inmediatamente se tiende
a culpar a la pobre calidad de estos materiales siendo en realidad de los
proyectistas y constructores que realmente no dominan la teoría y práctica de los
engranajes plásticos. La primera intención de todo ingeniero es tratar de
reemplazar los materiales metálicos con materiales plásticos usando el mismo
diseño, pero lamentablemente esto no es posible, ya que existen enormes
diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y
cálculo de los engranajes plásticos y los engranajes metálicos. De hecho existe
una mayor libertad en cuanto a forma y modificaciones del diente en los
engranajes plásticos.
Este proyecto de diploma de Ingeniería Mecánica surge con el objetivo de lograr
un mayor conocimiento de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material
plástico. En este se pretende profundizar en los materiales más utilizados para su
fabricación, así como las diversas fallas que se pueden encontrar en ellos, la
metodología de cálculos y métodos de optimización de estos. A partir de esto se
plantea la siguiente idea:
Idea: Optimización de la resistencia a la fractura de engranajes cilíndricos de
material plástico de dientes rectos.
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Objeto de la Investigación: El Objeto de esta Investigación lo constituyen los
engranajes plásticos.
Problema Científico: El problema Científico que se aborda en este trabajo
consiste en que no existe en la literatura suficiente información para el diseño de
engranajes plásticos ni están recopilados los diferentes métodos de cálculo de los
mismos, así como métodos de optimización.
Con base en la revisión bibliográfica, el objeto de la misma y el problema científico
se plantea la siguiente hipótesis:Hipótesis:“Es posible agrupar en una metodología las diferentes expresiones de cálculo de
los engranajes plásticos que existen en la literatura para posteriormente
desarrollar una metodología automatizada de cálculo de estos engranajes que
facilite la optimización de ellos con el software necesario”.
Objetivo general: Desarrollar un método de optimización multiobjetivo a través de
algoritmos genéticos para el diseño de engranajes plásticos cilíndricos de dientes
rectos que recopile la información y los criterios dispersos que existen en la
literatura.
Objetivos específicos:
1. Hacer un análisis de las diferentes fallas de los engranajes cilíndricos de
dientes rectos de material plástico.
2. Recopilar la información disponible en la literatura sobre el cálculo de los
engranajes plásticos.
3. Incorporar el valor de la temperatura como criterio a tener en cuenta en el
diseño de los engranajes plásticos.
4. Establecer los pasos a seguir para el diseño de los engranajes plásticos
cilíndricos de dientes rectos.
5. Realizar un análisis de la optimización multiobjetivo aplicada a los
engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.
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Justificación de la investigación: Esta investigación es de suma importancia ya
que en la actualidad una de las principales metas es la obtención de productos
con los menores gastos posibles y en etapas de tiempo rápidas, por lo que al
tener un lenguaje de optimización se pueden llegar a respuestas óptimas en
cortas etapas de tiempo.
Viabilidad:
El presente trabajo se desarrolla en el laboratorio Triunfo de la Facultad de
Ingeniería Mecánica de la Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas,
y en la planta Centroplast de la INPUD de Villa Clara.
Se cuenta con la orientación de profesores y especialistas para desarrollar
la investigación.
Se dispone de la bibliografía necesaria para su desarrollo.
Tareas de Investigación:
Para alcanzar los objetivos anteriormente planeados, se acometieron lassiguientes tareas:
1. Realizar una descripción de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de
material plástico.
2. Recopilar y organizar el conocimiento teórico y práctico sobre el diseño y
fabricación de engranajes plásticos, mediante el análisis del mayor número
posible de normas, revistas y textos.
3. Analizar las particularidades de la geometría del diente de los engranajes
plásticos
4. Analizar las particularidades de los materiales plásticos, sus características
y propiedades mecánicas más importantes.
5. Analizar las diferentes fallas de los engranajes plásticos.
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6. Realizar un análisis de los diferentes métodos de cálculo existentes.
7. Elaborar una metodología de cálculo.
8. Analizar las particularidades de la optimización multiobjetivo a través de
algoritmos genéticos, para posteriormente aplicarla a los engranajes
cilíndricos de dientes rectos de material plástico.
Métodos de Investigación empleados:Entre los métodos científicos empleados en esta investigación se pueden señalar
los siguientes:
Métodos generales: Se utilizó el método hipotético – deductivo al elaborar la
hipótesis y proponer nuevas líneas de trabajo a partir de los resultados parciales
de la revisión bibliográfica. Se empleó además el método sistémico para enmarcar
el tema de investigación en uno más amplio del Diseño Mecánico para aplicar
métodos computacionales de optimización y análisis y posteriormente
descomponerlo en subsistemas que al unirlos brindan una solución al problema
planteado.
Métodos lógicos: El método científico fundamental empleado en este proyecto es
el analítico-sintético. Mediante el análisis se evaluaron las expresiones para el
diseño geométrico de los engranajes plásticos así como las diferentes normas y
métodos de cálculo. Ello permitió descubrir las diferencias con los engranajes
metálicos y conocer los aspectos aun no investigados dentro de la geometría, la
resistencia y la fabricación de engranajes plásticos. El análisis permite también
establecer las comparaciones entre el comportamiento de los materiales plásticos,
termoestables y termoplásticos, las formas de falla de estos engranajes y los
diferentes métodos de fabricación. La síntesis permite integrar las partes
analizadas, lo que da como principal resultado el desarrollo de nuevas
expresiones de cálculo geométrico y de resistencia de estos engranajes.
10
También se emplea el método inductivo-deductivo. Mediante el estudio de las
características funcionales de los engranajes metálicos, se pudo deducir
expresiones equivalentes para los engranajes plásticos.
Métodos empíricos: Se utilizó el método coloquial para la presentación y
discusión de los resultados en sesiones con el tutor y varios profesores del
departamento.
Aportes esperados de la investigación: Se recopilan expresiones existentes
para el diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de materiales
plásticos. Se tienen en cuenta en estas expresiones aspectos tan importantes
como las diferentes normas de cálculo para transmisiones por engranajes
plásticos. Entre otras la investigación reportará las siguientes ventajas:
Ahorro de materiales y posible sustitución de engranajes metálicos por
engranajes plásticos.
Mayor rapidez en la elaboración de los diseños.
Mayor durabilidad de los engranajes plásticos diseñados por la metodología
elaborada.
Superior calidad técnica de las soluciones, dada por la realización de cálculos y
comprobaciones que en la práctica no se realizan o cuando se realizan se hacen
sin el uso de técnicas precisas.
Aplicación de programas informáticos para la obtención de soluciones óptimas.
Novedad científica del trabajo.
El autor defiende como novedades científicas de la investigación las siguientes:
Un método de cálculo de resistencia al contacto para engranajes cilíndricos de
dientes rectos de material plástico. La influencia de la temperatura en el diseño de
los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos.
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Un método de optimización multiobjetivo utilizando algoritmos genéticos.
El valor práctico del trabajo se deriva de la automatización del diseño y la
optimización de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.
12
Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos.
1.1 Marco teóricoMundialmente los engranajes más utilizados y de los que existe una vasta
experiencia son los metálicos, pero en los últimos años ha existido una
proliferación de los engranajes plásticos y esto viene dado esencialmente a su
bajo costo y a las mejoras de las propiedades mecánicas que con el decursar de
los años de estudio se han logrado. En la actualidad no existe una base sólida
sobre los engranajes plásticos, por lo cual es tema de estudio para los ingenieros
de hoy en día, pero sin duda alguna estos presentan una serie de beneficios
sobre los metálicos que no se deben dejar pasar como son el bajo peso e inercia
de estos, la reducción de ruidos, la no necesidad de lubricación y otros
parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes, sin embargo
poseen desventajas entre las que se pueden destacar la ineficiencia a elevadas
temperaturas y la intolerancia a agentes químicos en el ambiente.
En la literatura que se puede encontrar sobre este tema existen algunas lagunas
en cuanto a las fallas de estos engranajes, los métodos de cálculo a resistencia y
sobre los posibles materiales con sus propiedades mecánicas que se pueden
utilizar en su elaboración. Debido a esto en la actualidad cuando un engranaje
plástico tiende a fallar siempre se culpa a la baja calidad de los materiales y nunca
se tiene en cuenta a los proyectistas y constructores de estos que realmente no
dominan la teoría y práctica de los engranajes plásticos.
Un error que cometen los ingenieros a la hora de la elaboración de estos tipos de
engranajes es que tratan de remplazar los metálicos con materiales plásticos
utilizando el mismo diseño, lo cual no es posible debido a que existen diversas
diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y
cálculo de los engranajes plásticos y los metálicos.
13
Estos engranajes son usados fundamentalmente en mecanismos de precisión
donde se transmite una baja potencia, sin embrago ya hoy en día se ha podido
llegar a potencias de alrededor de 50 Kw.
Para su elaboración existen dos métodos fundamentales que son a través de
inyección de plástico y a través del procesos de maquinado. Los obtenidos a partir
del primer proceso poseen la ventaja que pueden ser reforzados con fibra de
vidrio(esta posee varias características que aumentan la resistencia de estos
engranajes como son su resistencia a altas temperaturas, resistencia mecánica
[con una resistencia específica(tracción/densidad) superior a la del acero] y que
permanece inerte ante los ácidos además del bajo costo de sus materias primas),
y agregarles algunos adhesivos anti-fricción, aparte de poseer superficies más
duras y más lisas, la única diferencia es que a partir del procesos de maquinado
se pueden obtener mayores dimensiones.
1.2 MaterialesActualmente podemos encontrar una diversidad de materiales para el diseño de
engranajes plásticos, sin embargo los podemos agrupar solamente en dos grupos
que son los: termo-plásticos y los termo-estables [1].
1.2.1 Termo-plásticosEs un plástico que, a temperatura ambiente, es plástico o deformable, se convierte
en un líquido cuando se calienta y se endurece en un estado vítreo cuando se
enfría lo suficiente. La mayoría de los termoplásticos son polímeros de alto peso
molecular, los que poseen cadenas asociadas por medio de débiles fuerzas Van
der Waals (polietileno); fuertes interacciones dipolo-dipolo y un enlace de
hidrógeno, o incluso anillos aromáticos apilados (poliestireno).
1.2.2 Termo-establesLos plásticos termoestables son materiales que una vez que han sufrido el
proceso de calentamiento-fusión y formación-solidificación, se convierten en
14
materiales rígidos que no vuelven a fundirse. Generalmente para su obtención se
parte de un aldehído.
Esta clasificación depende esencialmente de las cadenas de polímeros, si la
cadena permanece lineal y separada después del moldeo estamos en presencia
de un termo-plástico, y si la cadena se convierte en una cadena tridimensional
reticulada estamos en presencia de un termo-estable. Además los polímeros
termoplásticos difieren de los polímeros termoestables en que después de
calentarse y moldearse éstos pueden recalentarse y formar otros objetos, ya que
en el caso de los termoestables o termo-duros, su forma después de enfriarse no
cambia y este prefiere incendiarse. La siguiente tabla (tabla 1) presenta los
materiales, tanto termo-plásticos como termo-estables más comúnmente usados.
15
Tabla 1. Materiales termo-plásticos y termo-estables más utilizados en los
engranajes plásticos
1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-establesPara la ingeniería a es de vital importancia conocer las propiedades de los
materiales que se van a utilizar en el diseño de engranajes, ya que a partir de
estas propiedades se puede saber en que aplicaciones se van a utilizar, a
MATERIALES
TERMO-PLÁSTICOS TERMO-ESTABLES
ABS(Acrylonitrile-butadiene-styrene) Alquídicos
Acetal Alilos
Acrílico Amino (urea y melamina)
Celulósicos Resinas epóxicas
Fluoroplásticos Resinas fenólicas
Nylon Poliéster
Poliamidas Poliuretano
Policarbonato --
Poliéster --
Poliestireno --
Poliuretano --
Cloruro de polivinilo (PVC) --
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continuación se muestran las propiedades de los materiales más usados en el
diseño de engranajes plásticos:
1.3.1 Termo-plásticosABS: este material es muy tenaz, pero es duro y rígido; en cuanto a su
resistencia química esta es aceptable; posee baja absorción de agua por lo tanto
buena estabilidad dimensional; alta resistencia a la abrasión y puede ser
recubierto con una capa metálica con facilidad.
Acetal: es un plástico rígido usado en ingeniería con estabilidad dimensional
excepcional, posee poca absorción de agua, además de ser resistente
químicamente, tiene como desventaja su baja resistencia al impacto.
Acrílico: se compone de un polímero, es un termo-plástico brillante y resistente
de 10 a 20 veces más que el vidrio y con la mitad del peso en relación a este.
Posee una excelente resistencia a la intemperie en exteriores, su resistencia
química es aceptable y tiene una alta claridad óptica.
Celulósicos: familia de materiales tenaces y duros, los márgenes de las
propiedades son amplios debido a las composiciones; disponible con diversos
grados de resistencia a la intemperie, humedad y productos químicos; la
estabilidad dimensional es de aceptable a mala; posee colores brillantes.
Fluoroplásticos: compuestos por una gran familia dentro de los que podemos
mencionar a PTFE, FEP. PFA, CTFE, ECTFE, ETFE y PVDF. Estos son
caracterizados por una buena resistencia eléctrica y química y estabilidad
sobresaliente a altas temperaturas.
Nylon: es un polímero sintético que pertenece al grupo de las poliamidas. Poseen
buena resistencia a la tracción además de un bajo coeficiente de fricción, su
resistencia química es buena. Al nylon se le puede agregar fibra de vidrio para
17
aumentar su rigidez, en la tabla 3 se muestra un ejemplo con un 25% de fibra de
vidrio de como varían las propiedades de este.
Poliamidas: se caracterizan por su óptima propiedad mecánica, resistencia al
desgaste, bajo coeficiente de fricción, puntos de fusión elevada, buena resistencia
al impacto y alta resistencia a la fatiga, además tienen gran resistencia al calor
(500ºF continuos, 900ºF intermitente) y al envejecimiento por el calor.
Policarbonato: tiene la más alta resistencia al impacto de los materiales
transparentes rígidos; estabilidad en exteriores y resistencia a la deformación
plástica bajo carga excelentes; su resistencia a los productos químicos es
aceptable, su resistencia a la compresión es superior a los 80 Mpa.
Poliéster: buena estabilidad dimensional, no es adecuado para uso en exteriores
o en instalaciones para agua caliente. Para darle mayor resistencia mecánica
suelen ir reforzados con cortante, también llamado endurecedor o catalizador.
Poliestireno: tiene relativamente poca resistencia a la temperatura, ya que
reblandece entre 85 y 105 °C (el valor exacto depende del contenido en aceite
mineral), tiene muy baja conductividad eléctrica (típicamente de 10-16 S m-1). Las
ventajas fundamentales son su facilidad de uso y su costo relativamente bajo.
Poliuretano: es un material tenaz, de extrema resistencia a la abrasión, al
impacto, al desgaste y a las bajas temperaturas. Además tiene alta resistencia a
grasas, aceites, oxígeno y ozono.
Cloruro de polivinilo (PVC): en la industria existen dos tipos, los rígidos y los
flexibles. Tiene una elevada resistencia a la abrasión, junto con una baja densidad
(1,4 g/cm3), buena resistencia mecánica y al impacto.
18
1.3.2 Termo-estables
Alquídicos: propiedades eléctricas y resistencia al calor excelentes; más fáciles y
rápidos de moldear que la mayoría de los termoestables; no son productos
volátiles.
Alilos: estabilidad dimensional y propiedades eléctricas sobresalientes; fáciles de
moldear, excelente resistencia a la humedad y a los productos químicos a
temperaturas altas.
Amino (urea y melamina): posee buena resistencia a la abrasión y a los
disolventes; en el caso de la urea se moldea con mayor rapidez y cuesta menos
que la melamina; la melamina tiene una superficie más dura y una alta resistencia
al calor y a los productos químicos.
Resinas epóxicas: una de las principales ventajas es que dependiendo del peso
molecular pueden tener muchas aplicaciones. Sus principales propiedades son su
buen aislamiento eléctrico, buena resistencia mecánica, a la humedad y además
de resistir temperaturas elevadas tienen poca contracción al ser curadas lo que
las hace superiores en propiedades a los demás materiales.
Resinas fenólicas: poseen un buen equilibrio entre sus propiedades. Su
resistencia a la tracción está dada entre 2.5 y 8.4 Kg/mm2 . Pueden resistir
temperaturas desde 116 ° C hasta 175 ° C y generalmente son de color oscuro.
Poliéster: es muy resistente a la humedad, a los productos químicos y a las
fuerzas mecánicas. No libera volátiles durante el curado, pero la contracción en el
moldeo es alta, puede ser además de poliéster termo-estable poliéster termo-
plástico.
Poliuretano: posee un coeficiente de transmisión de calor muy bajo, tienen una
alta resistencia a la absorción de agua y adecuado para piezas grandes hechas
19
de espuma, ya sea en tipos rígidos o flexibles, al igual que el poliéster puede ser
termo-plástico o termo-estable.
En la siguiente tabla (tabla 2) se muestran las propiedades físicas de varios
plásticos utilizados en la elaboración de engranajes de este tipo.
Tabla 2. Propiedades físicas de materiales plásticos usados en la confección
de engranajes [5]
Material Fuerza detensión
(psix103)
Fuerza deflexión
(psix103)
Módulo decompresión
(psix103)
Absorciónde agua (%en 24 hrs)
DurezaRockwell
Acetal 8.8-1.0 13-14 410 0.25 M94
R120
ABS 4.5-8.5 5-13.5 120-200 0.2-0.5 R80-120
Nylon 6/6 11.2-13.1 14.6 400 1.3 R118-123
Nylon 6/10 7 – 8.5 10.5 400 0.4 R111M70
Policarbonato 8 – 9.5 11 – 13 350 0.15 R112
Poliestireno
de alto
impacto
1.9 – 4 5.5 – 12.5 300 – 500 0.05 – 0.10 M25 – 69M29
Poliuretano 4.5 – 8 7.1 85 0.60 – 0.80 R90
Polivinilo
Cloruro 6 – 9 8 – 15 300 – 400 0.07 – 0.40 R100 –120M69
Polysulfone 10.2 15.4 370 0.22 R120
MoS2- relleno
con Nylon
10.2 10 350 0.4 D785
20
En la actualidad también tiene una gran aplicación las resinas Alphatic polyketone
(PK), este polímero ofrece un balance único de cualidades mecánicas,
tribológicas-químicas y de moldeabilidad. Algo que podemos destacar es que los
materiales termoestables pueden ser utilizados a mayores temperaturas de
operación, pero sin embargo los termoplásticos tienen un mejor comportamiento a
la fatiga. Actualmente se está utilizando la inclusión de fibra de vidrio para
aumentar la dureza de estos engranajes ya que esta posee una resistencia
mecánica, con una resistencia específica (tracción/densidad) superior a la del
acero, además de su bajo coeficiente de dilatación y su bajo costo en el mercado.
Tabla 3. Propiedades del Nylon con un 25% de fibra de vidrio [2]
Temperatura de uso 40 a 170 °C
Tensión de rotura 100 a 160 Mpa
Elongación 3 a 4%
Resistencia a la flexión 130 a 230 Mpa
Dureza Brinell 112 a 122
Coeficiente de expansión térmica 3,5x10-5 °C
Resistencia al impacto 170 J/m
Absorción de agua en aire húmedo 2,2 a 2,7%
1.4 Refuerzos para engranajesEn la actualidad a la hora de confeccionar un engranaje se utilizan diversas fibras
para aumentar sus propiedades, estas fibras son conocidas como refuerzos que
aumentan en cierto grado las propiedades mecánicas a las cuales son sometidos
los engranajes. Entre los refuerzos más populares en la actualidad encontramos
los refuerzos a base de fibras de vidrio, las fibras de carbono y el aramid. Ellas
21
también constituyen formas para atenuar las fallas que estos engranajes
presentan.
Los refuerzos de fibra de vidrio y de carbono le proporcionan a los engranajes una
gran resistencia a las fuerzas y tensiones mecánicas, reduciendo
considerablemente el factor de carga. En el caso de la fibra de vidrio esta posee
características especiales, que la sitúan en una de las más utilizadas debido a su
bajo costo y a que poseen buenas propiedades mecánicas, además de soportar
elevadas temperaturas lo cual es muy importante en el diseño de los engranajes
de este tipo. Con solo la inclusión de fibras disminuye considerablemente el factor
de desgaste de la mayoría de los sistemas a base de resinas, y con la
combinación de PTFE y estos refuerzos de fibra se produce una reducción
extensa de este factor. Por situar un ejemplo podemos decir que para el Nylon 6/6
lubricado con un 15% PTFE y reforzado con fibras típicas (30% de fibra de vidrio
y carbono, y 10% para el aramid) los factores de desgaste se reducen a menos
de 20. Cabe destacar que estas fibras también en ocasiones poseen desventajas
dejándose ver que las de vidrio y carbono inducen una contracción anisotrópica en
el molde, lo que en ocasiones puede provocar que los engranajes producidos no
tengan buena precisión [4]. La siguiente tabla (tabla 4) muestra una comparación
de las propiedades para el Nylon 6/6 utilizando diferentes fibras de refuerzos.
22
Tabla 4. Comparación de las propiedades del Nylon 6/6 reforzado con
diferentes fibras [4]
Unidades Sinreforzamient
o
10%vidrio
10%carbono
10%aramid
Reducción % flujo 1.5/1.8 0.6/1.1 0.6/1.1 0.8/1.1
Tensión decontacto
psi 12500 14000 20000 13500
Fuerza deflexión
psi 410000 650000 1000000 520000
Coeficiente de
fricción
Estático/dinámico
0.22/0.28 0.21/0.2
8
0.18/0.2
4
0.23/0.25
Factor dedesgaste
Pulg5-min/pie-lb-hr
200 80 65 30
En la actualidad se viene trabajando en el empleo de fibras largas para lograr una
sustitución de los engranajes de metal, para tener una idea, una comparación de
las propiedades del uso de las fibras de vidrio largas y cortas para el Nylon 6/6
con un 40% de fibras de vidrio y 10% de PTFE revela mejoras significativas en
los esfuerzos de flexión e impacto para el refuerzo de fibra larga. En este caso el
régimen de desgaste no aumenta drásticamente ya que el número de extremos de
fibra se reduce.
En la siguiente tabla (tabla 5) se muestran las propiedades mecánicas de algunos
plásticos utilizados en ingeniería comparados con algunos metales.
23
Tabla 5. Propiedades mecánicas de algunos materiales usados en ingeniería.
Propiedades Unidades Material
Nylon Torlon Bronce Acero AluminioDensidad g/cm3 1.15 1,41 8,8 7,84 2,7
Resistencia ala Tracción
MPa 83 124 152 248 207
Módulo deelasticidad
MPa 2,75*103 4,13*103
1,1*105 2*105 2,9*104
Resistenciarelativa al
peso
Acero=1 2,27 2,78 0,54 1 2,41
Coeficientede expansióntérmica lineal
mm/mm/ºK 100*10-6 28*10-6 20*10-6 12*10-6 24*10-6
1.5 Fallas en los engranajes plásticosLos engranajes plásticos también están expuestos a las fallas, entre las
principales fallas que pueden ocurrir en un engranaje de este tipo podemos
encontrar [2, 4]:
Desgaste adhesivo: ocurre producto de las soldaduras intermitentes de
pequeñas áreas de un diente en el otro diente conjugado, si ocurre a un nivel
microscópico el resultado es un desgaste pequeño y uniforme. En estos
engranajes tanto como en los metálicos si los materiales de los engranajes son
diferentes existe un mejor comportamiento al desgaste, en ocasiones es
conveniente poner a engranar una rueda metálica con una plástica. Además en el
caso particular que las dos ruedas sean plásticas es aconsejable que al menos
una de ellas contenga Politetrafluoroetileno (PTFE), lo cual ayuda a disminuir el
desgaste.
Desgaste abrasivo: tiene lugar cuando partículas de un engranaje o suciedades
entran dentro de las superficies de contacto, también puede ocurrir si uno de los
engranajes (el metálico, en caso de usarse) tiene una superficie más rugosa que
el otro, lo que ocurre es que las partículas de la superficie más dura penetran en
24
la superficie más blanda arrancando pedazos de material de la superficie, cuando
son diseñados no se debe trabajar para este tipo de desgaste sino buscar una
forma de evitarlo. En la figura 1 se muestra un desgaste en una rueda dentada
plástica.
Figura 1. Aguzamiento del diente debido al alto desgaste [4]
Picadura: esta es una falla superficial que ocurre cuando se excede el límite de
endurancia del material. Si las cargas son lo suficientemente altas y los ciclos de
tensiones se repiten frecuentemente se fatigan porciones de la superficie que
posteriormente se desprenden. La zona del polo recibe la mayor tensión y es la
más propensa a la picadura.
Flujo plástico: este se produce debido a las altas tensiones de contacto y la
acción de la rodadura y deslizamiento que se produce durante el engranamiento.
De hecho es una deformación de la superficie debido a la fluencia del material en
la superficie y sub-superficie. El flujo plástico inicial es en la dirección radial y
puede no ser destructivo ya que el mismo puede atenuarse, en casos más
severos el flujo será en la dirección axial.
Fractura: esta es la falla que más se puede encontrar en los engranajes plásticos
y es producto de las sobrecargas debido a los ciclos de tensiones aplicadas al
diente, los cuales sobrepasan los límites de endurancia del material. Ocurre
24
la superficie más blanda arrancando pedazos de material de la superficie, cuando
son diseñados no se debe trabajar para este tipo de desgaste sino buscar una
forma de evitarlo. En la figura 1 se muestra un desgaste en una rueda dentada
plástica.
Figura 1. Aguzamiento del diente debido al alto desgaste [4]
Picadura: esta es una falla superficial que ocurre cuando se excede el límite de
endurancia del material. Si las cargas son lo suficientemente altas y los ciclos de
tensiones se repiten frecuentemente se fatigan porciones de la superficie que
posteriormente se desprenden. La zona del polo recibe la mayor tensión y es la
más propensa a la picadura.
Flujo plástico: este se produce debido a las altas tensiones de contacto y la
acción de la rodadura y deslizamiento que se produce durante el engranamiento.
De hecho es una deformación de la superficie debido a la fluencia del material en
la superficie y sub-superficie. El flujo plástico inicial es en la dirección radial y
puede no ser destructivo ya que el mismo puede atenuarse, en casos más
severos el flujo será en la dirección axial.
Fractura: esta es la falla que más se puede encontrar en los engranajes plásticos
y es producto de las sobrecargas debido a los ciclos de tensiones aplicadas al
diente, los cuales sobrepasan los límites de endurancia del material. Ocurre
24
la superficie más blanda arrancando pedazos de material de la superficie, cuando
son diseñados no se debe trabajar para este tipo de desgaste sino buscar una
forma de evitarlo. En la figura 1 se muestra un desgaste en una rueda dentada
plástica.
Figura 1. Aguzamiento del diente debido al alto desgaste [4]
Picadura: esta es una falla superficial que ocurre cuando se excede el límite de
endurancia del material. Si las cargas son lo suficientemente altas y los ciclos de
tensiones se repiten frecuentemente se fatigan porciones de la superficie que
posteriormente se desprenden. La zona del polo recibe la mayor tensión y es la
más propensa a la picadura.
Flujo plástico: este se produce debido a las altas tensiones de contacto y la
acción de la rodadura y deslizamiento que se produce durante el engranamiento.
De hecho es una deformación de la superficie debido a la fluencia del material en
la superficie y sub-superficie. El flujo plástico inicial es en la dirección radial y
puede no ser destructivo ya que el mismo puede atenuarse, en casos más
severos el flujo será en la dirección axial.
Fractura: esta es la falla que más se puede encontrar en los engranajes plásticos
y es producto de las sobrecargas debido a los ciclos de tensiones aplicadas al
diente, los cuales sobrepasan los límites de endurancia del material. Ocurre
25
generalmente en el radio de redondeo de la raíz del diente y se propaga alrededor
de la base del mismo (figura 2).
Figura 2. Fractura del diente debido a la sobrecarga [4]
Fatiga por ciclo térmico o ablandamiento parcial o global del diente: ocurre
cuando se eleva considerablemente la temperatura y por tanto disminuye la
resistencia del material. Esta se produce como la deformación del diente en la
zona polar, perdiéndose el paso y en ocasiones doblando el diente. Este tipo de
falla ocurre debido a que las tensiones sobre el diente siempre resultan en una
especie de histéresis de calentamiento que incrementa considerablemente la
temperatura del material, ya que los plásticos son buenos aislantes (figura 3).
Figura 3. Deformación del diente debido al excesivo calor [4]
25
generalmente en el radio de redondeo de la raíz del diente y se propaga alrededor
de la base del mismo (figura 2).
Figura 2. Fractura del diente debido a la sobrecarga [4]
Fatiga por ciclo térmico o ablandamiento parcial o global del diente: ocurre
cuando se eleva considerablemente la temperatura y por tanto disminuye la
resistencia del material. Esta se produce como la deformación del diente en la
zona polar, perdiéndose el paso y en ocasiones doblando el diente. Este tipo de
falla ocurre debido a que las tensiones sobre el diente siempre resultan en una
especie de histéresis de calentamiento que incrementa considerablemente la
temperatura del material, ya que los plásticos son buenos aislantes (figura 3).
Figura 3. Deformación del diente debido al excesivo calor [4]
25
generalmente en el radio de redondeo de la raíz del diente y se propaga alrededor
de la base del mismo (figura 2).
Figura 2. Fractura del diente debido a la sobrecarga [4]
Fatiga por ciclo térmico o ablandamiento parcial o global del diente: ocurre
cuando se eleva considerablemente la temperatura y por tanto disminuye la
resistencia del material. Esta se produce como la deformación del diente en la
zona polar, perdiéndose el paso y en ocasiones doblando el diente. Este tipo de
falla ocurre debido a que las tensiones sobre el diente siempre resultan en una
especie de histéresis de calentamiento que incrementa considerablemente la
temperatura del material, ya que los plásticos son buenos aislantes (figura 3).
Figura 3. Deformación del diente debido al excesivo calor [4]
26
Los diferentes tipos de fallas pueden ser atenuadas mediante modificaciones
geométricas del diente, mayor precisión en los métodos de cálculo y un
mejoramiento en las propiedades del material, además de la utilización de
refuerzos como la fibra de vidrio o las de carbón, aunque existen firmas como la
Intech que plantean la importancia del diseño de engranajes plásticos con un
núcleo metálico, lo que trae como ventajas una mayor disipación de calor y una
sujeción del engranaje más segura al árbol ( figura 4).
Figura 4. Engranajes plásticos con núcleo de metal
1.6 GeometríaOtro aspecto a tener en cuenta a la hora de diseñar engranajes plásticos es su
geometría, ya que existen diversos tipos de geometría entre las que podemos
mencionar cilíndricos de dientes rectos exteriores, cilíndricos de dientes rectos
interiores, cónicos y tornillos sin fin. Estos engranajes poseen diversas
particularidades respecto a los metálicos, pero tradicionalmente el perfil del diente
utilizado es el evolvente con un ángulo de presión de 20 0, aunque podemos
señalar que la Plastic Gearing Technology, Inc. de Manchester [3, 4] ha
modificado los patrones de involuta en cuatro formas, entre las que podemos
27
encontrar la PGT 1 (figura 5) que es la que produce los dientes con la forma más
fuerte y se usa en aplicaciones donde se necesita una mayor potencia, y la PGT 4
que es el otro extremo, es decir la herramienta que se utiliza para accionamientos
de mecánica de precisión. En cuanto a la PGT 1 la ISO ha realizado una
modificación llamándola ISO R53 Modificada (figura 6), en esta se usa diferente
nomenclatura, la ISO usa el sistema métrico del módulo (m), mientras que en la
PGT 1 se utiliza el diametral Pitch (Pd).
Figura 5. PGT 1 [4]
28
Figura 6. ISO R53 Modificada [4]
También podemos encontrar la norma AGMA que por su parte establece además
de la tradicional AGMA PT, las cremalleras adicionales XPT-2, XPT-3 y XPT-4
siendo el uso de estas opcionales pues las mismas son experimentales. A
continuación se muestran los datos correspondientes a las diferentes cremalleras
tradicionales usadas por la norma AGMA e ISO para módulo unitario (tabla 6).
29
Tabla 6. Valores de los diferentes parámetros de las cremalleras AGMA e ISO
[2]
Parámetro AGMA PT ANSI/AGMA1003-G93 Paso
fino
ISO 53 (1974)Paso grueso
Ángulo del perfil 20 0 20 0 20 0
Paso circular 3.1416 3.1416 3.1416
Espesor deldiente
1.57080 1.57080 1.57080
Addendum 1.00000 1.00000 1.00000
Profundidad total 2.33000 2.20000 2.25000
Radio deredondeo
0.43032 .0.00000 0.30000
Deddendum 1.33000 1.20000 1.25000
Profundidad detrabajo
2.00000 2.00000 2.00000
Clarencia 0.33000 0.20000 0.25000
Form dedundum 1.04686 1.2 1.05261
Espacio entredientes
1.57080 1.57080 1.57080
En la geometría de los engranajes plásticos hay que tener en cuenta dos aspectos
esenciales que son el alivio de la punta (Tip relief) y el aumento del radio de
30
redondeo del pie del diente. El primero consiste en el afilamiento o estrechamiento
de la cabeza del diente y el segundo se debe a que los engranajes plásticos son
muy sensibles a las entallas y con un alto radio de redondeo se elimina el
socavado (figura 6).
Figura 7. Cremallera para producir alivio en la cabeza del diente, donde, Rac
es el radio de redondeo y ARac es la altura a la que se comienza a redondear
la cabeza de la cremallera [2]
1.7 Lubricación [2, 4, 5]Está demostrado que los engranajes trabajan mucho mejor lubricados que sin
lubricación. En el caso de los plásticos esta puede ser reducida y en ocasiones
eliminada, muchas veces la lubricación solo se tiene en cuenta dependiendo del
tipo de aplicación, pero siempre es recomendable que al menos en el montaje
este presente, muchos autores recomiendan una lubricación periódica de estos ya
que se puede mejorar la vida de ellos, además los engranajes plásticos son
inertes a los lubricantes comunes por lo cual trabajan sin dificultad en este medio.
31
De acuerdo a L.D. Martin [6]:
1. Todos los engranajes lubricados pueden tener una mayor efectividad y
un mayor servicio de vida útil.
2. Usualmente son recomendados los aceites de ligera viscosidad (SAE
10), los cuales incorporan aceites de silicona e hidrocarbono y en
algunos casos es aceptada el agua fría.
3. Bajo ciertas condiciones, los lubricantes secos, tales como el disulfuro
de molibdeno, se puede utilizar para reducir la fricción del diente.
Para los engranajes reforzados con fibra de vidrio u otro material es recomendable
usar baños de aceite como lubricación y para las aplicaciones donde no está
permitida el uso de grasas o lubricantes muchas veces se utilizan engranajes
auto- lubricados (aquí se le adiciona PTFE (politetrafluoroetileno), silicón o grafito).
En el caso del PTFE cuando el 20% de este es PES (politersulfone) el coeficiente
de fricción dinámica se reduce desde 0.37 hasta 0.11, y el factor de desgaste
disminuye desde 1500 hasta 32. Para tener una idea, un engranaje elaborado con
un material con un factor de desgaste por encima de 200 indica que posee una
relación de desgaste alta e inaceptable, lo que revela que este material es
inadecuado para la mayoría de las aplicaciones donde son usados los engranajes
de material plástico, por el contrario si el factor de desgaste es inferior a 200 el
material a utilizar es potencialmente viable para la confección de engranajes.
Es recomendable que una pareja de engranajes plásticos al menos uno contenga
PTFE, ya que así se previene la formación de la capa de arrastre o traslado, ya
que el PTFE actúa en los termoplásticos formando una película delgada de
lubricante entre los engranajes, lo que arroja como resultado una baja fricción
entre ellos, además de un bajo desgaste.
A la hora de diseñar un engranaje el diseñador es el que decide la presencia de
la lubricación o no, y el tipo de lubricante a utilizar. Por lo general los engranajes
plásticos no lubricados fallan debido al desgaste o al ablandamiento producto del
32
sobrecalentamiento del flanco del diente, pero a la hora de elegir el lubricante que
se va a utilizar en caso de que exista la lubricación se debe tener mucho cuidado
ya que este puede producir grandes cambios en las propiedades y dimensiones
del engranaje.
Conclusiones parciales del capítulo 1 La selección adecuada del material para el diseño de un engranaje plástico
es de suma importancia ya que de esta selección va a depender en gran
medida la resistencia de dicho engranaje.
Las fallas de los engranajes plásticos poseen un carácter similar a los de
los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos se debe tener
en cuenta la elevación de la temperatura, el ablandamiento, deformación
del material y la fractura del diente que es una de las fallas esenciales de
los engranajes plásticos.
La geometría de estos engranajes juega un papel determinante, ya que a
través de esta se pueden hacer diversas modificaciones que no siempre se
pueden realizar en los engranajes metálicos.
En cuanto a la lubricación la presencia de ella va a ser en dependencia del
diseñador pero es recomendable su utilización para un mayor servicio de
vida útil.
33
Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos.A la hora de realizar el cálculo de cualquier tipo de engranaje se debe tener en
cuenta primeramente la naturaleza del mismo, es decir, el mecanismo del
engranaje. Cada diente del engranaje es una viga en voladizo soportada en un
extremo; el contacto producido entre los dientes al entrar en movimiento el
engranaje intenta doblar la viga y trasquilarla del volumen del material. Por tanto
un material para engranajes necesita tener alta resistencia a la flexión y rigidez. La
parte más importante de un engranaje son los dientes ya que estos son los que
facilitan el movimiento o potencia según requiera la aplicación, sin estos el
engranaje simplemente sería una rueda con poca funcionalidad. Por ello a la hora
del cálculo de los engranajes hay que prestar vital atención a la carga que estos
dientes pueden soportar, porque de aquí depende en gran medida la vida útil que
estos van a poseer.
Para el cálculo de los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos exteriores
existen diferentes métodos de cálculo los cuales son empleados para lograr
determinar ciertos requisitos en cuanto a potencia y velocidad. Entre estos
métodos podemos mencionar a Dvorak, Kelley, Faires y Moya, ellos nos
permiten evaluar la resistencia de estos engranajes y así lograr un mejor
funcionamiento de ellos. Ahora antes de seleccionar el método de cálculo a
emplear cabe destacar algunos aspectos que son necesarios en el diseño de los
engranajes plásticos entre los que podemos mencionar:
2.1 Temperatura de trabajoUno de los principales aspectos que hay que tener en cuenta y que es de suma
importancia es la determinación de la temperatura, ya que un incremento no
deseado de esta puede llevar a una falla del engranaje por flujo plástico o de
fatiga por ciclo térmico. Según estudios realizados en la escuela Politécnica de
Montreal [3] es posible predecir la máxima temperatura superficial de dos dientes
plásticos engranados por la expresión que se presenta a continuación:
34
accc
t TmVFCT 3210max ***
Dónde:
Tmax- temperatura máxima de la superficie en 0C.
Co, C1, C2 y C3 – coeficientes de regresión según tabla 7.
Ft- fuerza tangencial por unidad de longitud en N/mm.
V- velocidad lineal en el polo en m/s.
m- módulo en mm.
Ta- temperatura ambiente.
Tabla 7. Coeficientes de regression [4]
Material Co C1 C2 C3
Nylon 6-6 0.2354 0.755 0.42 0.502
Acetal 5.556x10-2 1.08 0.354 0.225
UHMWPE 1.985x10-4 1.76 0.831 0.687
2.2-Cálculo de la distancia entre centrosEn cuanto a la geometría un parámetro que hay que prever es el incremento de la
distancia entre centros para el buen funcionamiento de los engranajes debido a la
dilatación térmica. Esta distancia entre centros se puede determinar mediante la
expresión [2, 4]:
∆ = +2 + ( − 70) ∝ ∗ +∝ ∗+ −∝ + ∗ + ∗ ∗+ − + +2Dónde:
35
∆aw – Incremento requerido en la distancia entre centros en mm.
Tct – Tolerancia combinada total máxima del engranaje en mm (La
tolerancia total combinada es la suma de las tolerancias de los índices
comunes de precisión (precisión cinemática, suavidad de trabajo y contacto
entre los dientes)).
aw – Distancia entre centros sin tener en cuenta la temperatura en mm.
T – temperatura de operación en 0C.
α – Coeficiente de expansión térmica lineal en mm/mm 0C.
Z – Número de dientes.
M – Expansión debida a la absorción de humedad (tabla 8) en mm/mm.
RTI – Error de circularidad indicada en los cojinetes.
Tabla 8. Expansión debida a la absorción de humedad de determinadosmateriales [4]
Material M (mm/mm)
Acetal 0.0005
Nylon 6/6 0.0025
Nylon 6/6 + 30% de fibra de vidrio 0.0015
Policarbonato 0.0005
Si el material con el que se está trabajando no se encuentra en la tabla 8,
entonces se emplea el valor del policarbonato para materiales de baja humedad y
el valor del nylon 6/6 para materiales que absorben el agua.
36
2.3 Resistencia superficial de los engranajesLa resistencia superficial de los engranajes cilíndricos de dietes rectos de material
plástico se puede determinar mediante las derivadas de la ecuación de Hertz
aplicadas a este caso en particular, para ello utilizaremos diferentes expresiones
para lograr una comparación de resultados a través de ellas.
La primera ecuación a analizar es utilizada para el análisis por el método de
elementos finitos (MEF), esta parte de la teoría de Hertz, dicha expresión está
dada por [7]:
∗∗ ∗ ∗Dónde:
F –Fuerza de contacto en kgf.
Er –Módulo de reducción.
b –Ancho de la rueda en mm.
Rr –Radio de reducción en mm.
El módulo de reducción (Er) es determinado por la expresión:=Dónde:
µg/p –Coeficiente de Poisson (tabla 10).
Eg/p –Módulo de Young (tabla 9).
37
El radio de reducción (Rr) es determinado por la expresión:
= 11 + 1Dónde:
Rg/p – Radio de curvatura en el flanco del diente.
Tabla 9. Módulos de Young para materiales plásticos [7, 8]
Material Módulo de Young (GPa)
Stanyl GF30 10
Stanyl UF 23°C 3
Stanyl UF 140°C 0.7
ABS 1.7
Nylon 1.4-2.75
Acrílico 6
Polietileno 0.8
Poliestireno 5
PVC rígido 2.4-2.75
38
La segunda ecuación a analizar es derivada de la ecuación de Hertz sobre la
teoría de la fuerza de contacto entre dos cilindros, modificada para la corona [4]:
= ∗ ∗ 11 − + 1 − ∗ 1∅ ∗ ∅2 ∗ + 1Dónde:
SH – Superficie de contacto.
Wt – Potencia transmitida en Hp.
Dp – Diámetro Pitch para el piñón.
f – Ancho del diente en pulg.
µ - Coeficiente de Poisson para materiales plásticos (tabla 10).
E – Módulo de elasticidad en MPa.
Ø – Ángulo de presión.
m – Relación de transmisión (Zc/Zp).
Z – Numero de dientes.
39
Tabla 10. Coeficientes de Poisson para materiales termoplásticos sin
reforzamiento [5]
Polímero µ
ABS 0.33
Acetal 0.35
Nylon 6/6 0.39
Acrílico 0.33
PPO modificado 0.38
Policarbonato 0.36
Poliestireno 0.33
PVC 0.38
TFE (Tetrafluorethylene) 0.46
FEP (Fluorinated
Ethylene Propylene)
0.48
Stanyl GF30 0.4
Stanyl UF 23°C 0.4
Stanyl UF 140°C 0.45
40
Para la tensión superficial entre los dientes de contacto también se puede
emplear la siguiente expresión (esta expresión es utilizada para el Duracon M90)
[5]:
= ∗ ( + 1)∗ ∗ ∗ 1.41 + 1 ∗ (2 ) ≤ [ ]Dónde:
F – Fuerza tangencial en kgf.
b – Ancho del diente en mm.
d1 – Diámetro de paso del piñón en mm.
u – Relación de transmisión (Z2/Z1).
E – Módulo de elasticidad del material en kgf/mm2 (figura 8).
α – Ángulo de presión en grados.
σH – Tensión admisible del material en kgf/mm2.
La fuerza tangencial para esta ecuación puede ser obtenida a partir de la fórmula
de Lewis:
bbymF ***
Dónde:
m – Módulo en mm.
y – Factor de forma según anexo 1.
b – Ancho del diente en mm.
b -- Tensión permisible en kgf/mm2.
41
Figura 8. Módulos de elasticidad [5]
La tensión permisible para la fuerza tangencial se puede obtener mediante la
expresión:
S
MLTvbb C
kkkk/
Dónde:
/b -- Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm2
(figura 9).
KV – Factor de velocidad (figura 10).
KT – Factor de temperatura (figura 11).
KL – Factor de lubricación (tabla 11).
KM – Factor del material (tabla 12).
42
CS – Factor de servicio (tabla 13).
Figura 9. Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm2 [5]
Figura 10. Factor de velocidad [5]
43
Figura 11. Factor de temperatura [5]
Tabla 11. Factor de lubricación [5]
Lubricación KL
Lubricación inicial con grasa 1
Lubricación continua con aceite 1.5 - 3.0
Tabla 12. Factor del material [5]
Combinación del material KM
Duracon vs. metal 1
Duracon vs. duracon 0.75
44
Tabla 13. Factor de servicio [4]
Tipo de carga 8-10 h/día 24 h/día 0.5 h/día 3 h/día
Constante 1 1.25 0.80 0.50
Choques ligeros 1.25 1.50 1 0.80
Choques medios 1.50 1.75 1.25 1
Choques fuertes 1.75 2 1.50 1.25
2.4 Métodos de cálculo
Método de DvorakEste método presenta una ecuación que no es más que una modificación de la
ecuación de Lewis, lo que incorpora la velocidad en la circunferencia de paso y el
factor de servicio [2, 3].
ss SFYVWPCV
S
655
Dónde:
S- Tensión actuante en la base del diente en lb/pulg2.
V- Velocidad del polo en pie/min.
W- Potencia en Kw.
P- Diámetro Pitch (tabla 14).
Cs- Factor de servicio (tabla 13).
F- Ancho del diente en pulgadas.
Y- Factor de forma o de Lewis (tabla 15).
45
[Ss]- tensión admisible en lb/pulg2 (tabla 16).
Tabla 14. Diámetro Pitch y módulos normalizados
Módulos y diametral Pitch normalizados
Módulo
(mm
)
Serie
preferente
1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5
6 8 10 12 16 20 25 32
Seriepoco
habitual
1.125 1.375 1.75 2.25 2.75 3.5 4.5 5.5
7 9 11 14 18 22 28 36
Diám
etro
Pitch
Serie
preferente
20 16 12 10 8 6 5 4
3 2.5 2 1.5 1.25 1 0.75 0.5
Seriepoco
habitual
18 14 11 9 7 5.5 4.5 3.5
2.75 2.5 1.75 0.875 0.625 __ __ __
En el caso con que no se cuente con la tabla 15 para hallar el diámetro Pitch (el
cual es igual al número de dientes por pulgadas en el diámetro primitivo) se
puede emplear la expresión que expresa la relación entre el diámetro Pitch y el
módulo [1]:
= 25.4
46
Dónde:
m – Módulo en mm.
Pt – Diámetro Pitch.
Tabla 15. Factor de forma [2]
Número de dientes Dientes de involuta
de 20°
Dientes de involuta de
20° cortos.
12 0,245 0,311
14 0,276 0,339
16 0,295 0,361
18 0,308 0,377
20 0,320 0,393
22 0,330 0,405
26 0,346 0,424
30 0,358 0,437
34 0,371 0,446
38 0,383 0,456
43 0,396 0,462
50 0,408 0,474
47
Tabla 16. Valores de las tensiones admisibles para engranajes plásticos a
700F en lb/pulg2 [2]
Plástico NormalReforzado con fibra de
vidrio
ABS 3000 6000
Acetato 5000 7000
Nylon 6000 12000
Policarbonato 6000 9000
Poliéster 3500 8000
Poliuretano 2500 -
Método de KelleyEste método emplea para el cálculo de las tensiones la ecuación de Lewis en su
variante original [2].
fYFP
Dónde:
- Tensión actuante en el pie del diente en lb/pulg2.
[ ]- Tensión admisible del material en lb/pulg2.
f- Ancho del diente en pulgadas.
P – Diámetro Pitch (tabla 14).
48
F- Fuerza tangencial transmitida en libras.
o2
2*2000dMFt
o2
22 9550
nNM
Y- Factor de forma del diente (tabla 15).
Método de FairesEn este método se realizan diferentes cálculos, donde primeramente se calcula la
carga dinámica (Fd) [2].
VFVF t
d 82,020028,3200
Dónde:
Fd- Carga dinámica en Kg.
V- Velocidad del polo del engranaje en m/min.
Ft- Fuerza tangencial actuante sobre el diente en Kg.
Posteriormente esta carga dinámica se iguala a la carga actuante según la
ecuación de Lewis, Fd=Fs.
10SbYmFs
Dónde:
S- Esfuerzo de cálculo en Kg/cm2, que depende del módulo, del material
y del número de ciclos.
49
b- Ancho de la rueda en cm.
m- Módulo en mm.
Y- Factor de forma (anexo 2), en dependencia de donde se quiera
aplicar la carga, asumiendo un valor para el módulo se puede despejar
el ancho de cara necesario para transmitir la potencia dada. Luego se
iguala Fd=Fw.
gpW KQbDF ***
pg
g
DDD
Q
*2
Dónde:
Dg- Diámetro primitivo de la rueda en cm.
Dp- Diámetro primitivo de piñón en cm.
b-Ancho de los dientes en cm.
Kg- Factor del material que se determina por la siguiente ecuación.
gpg EE
sensK 1*14,1
*2
Dónde:
s- Tensión admisible a contacto en Kg/cm2.
- Ángulo de presión.
50
Ep, Eg- módulo de elasticidad del piñón y la rueda respectivamente.
De los anchos obtenidos por la ecuación de Lewis y por la ecuación de desgaste
se toma el mayor.
Método de MoyaSegún Moya la resistencia de una pareja de engranajes plásticos está dada por
[2]:
mbYnFCs
Dónde:
- Tensión actuante en el pie del diente en MPa.
[ ]- Tensión admisible del material en MPa (tabla 17).
F- Fuerza tangencial aplicada sobre el diente en Newton.
Cs- Factor de servicio (tabla 13).
Y- Factor de forma (tabla 15).
m- Módulo en mm.
b- Ancho del diente en mm.
n- Factor de seguridad (se debe tomar entre 1 y 1.7 según la experiencia
del autor, los valores mayores se toman para aplicaciones de mayor
potencia y temperatura).
51
Tabla 17. Valores de la tensión admisible [2]
Material NormalReforzado con fibra de
vidrio
ABS 27,7 55,4
Acetato 45,5 64
Nylon 63,7 127,4
Policarbonato 63,7 82
Poliéster 32 73
Poliuretano 23 -
2.5 Posible utilización de engranajes plásticosA la hora de diseñar engranajes plásticos también se debe tener en cuenta la
posible utilización de estos, ya que en ocasiones no pueden ser utilizados, para
ello contamos con la siguiente expresión:= ( ∗ ∗ ) + (115 ∗ ∗ )Dónde:
D- diámetro del engranaje en pulg.
F- ancho del diente en pulg.
n- velocidad de la rueda en rpm.
H- potencia transmitida en HP.
Z- número de dientes.
Ahora si X es:
- 1 o mayor - Se recomienda el uso de plásticos, específicamente de la firma
Nylamid.
- 0,722 a 1 - El engranaje plástico funciona adecuadamente
52
- 0,445 a 0,721 - El engranaje tiene pocas propiedades para funcionar
adecuadamente.
- Menos de 0,445 - No debe usarse el plástico para reemplazar el metal.
2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectosPara considerar una metodología de cálculo de engranajes plásticos se deben
concebir unas serie de pasos para su diseño óptimo, a continuación se proponen
estos pasos para su diseño.
1. Determinar la potencia requerida a transmitir y la velocidad de giro del
piñón.
2. Especificar el número de dientes y calcular el diámetro de paso del piñón
con el módulo seleccionado.
3. Determinar los valores del ancho del diente, ángulo de presión del
engranaje, relación de transmisión y diámetro del engranaje.
4. Buscar el material que se va a emplear en el diseño de los engranajes y
determinar todas las propiedades de este.
5. Comprobar si se pueden utilizar engranajes plásticos en la transmisión
deseada.
6. Determinar la temperatura de trabajo del mismo para comprobar si el
material seleccionado cumple con los requisitos para las condiciones
trabajo y determinar la distancia entre centros requerida.
7. Calcular la resistencia superficial de los engranajes (en este trabajo de
diploma se proponen tres formulaciones para así lograr una comparación
de resultados).
8. Calcular la resistencia a la fractura de los engranajes (se proponen cuatro
formulaciones con el objetivo de realizar una comparación de resultados).
53
9. Si no llega a un diseño óptimo se repiten nuevamente los pasos anteriores,
variando las especificaciones del engranaje a diseñar hasta lograr el
diseño requerido.
2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculoCon la intención de realizar una comparación de resultados a través de las
expresiones anteriores se procedió a efectuar un ejemplo de cálculo, para ello se
seleccionó como material a utilizar el Nylon 6/6 y los siguientes datos hipotéticos:
W=5kw C0=0.2354 C1=0.755
C2=0.42 C3=0.502 m=4mm
Ta=250C Ø=200 Δaw=250mm
Zp=25 Zc=100 n=1500rpm
D=3.94pulg b=20mm Ft=1500N
u=4 µ=0.39 Dp=6
Y=0.342 Y=0.34 (para Faires) V=990.71pie/min
Cs=1(carga constante, trabaja 8-10 h/día) Er=0.58 Rr=44.1mm
Cálculo del diámetro de paso= ∗ = 4 ∗ 25 = 100= ∗ = 4 ∗ 100 = 400Comprobación de la posible utilización de los engranajes plásticos= ( ∗ ∗ ) + (115 ∗ ∗ )= (3.94 ∗ 0.78 ∗ 1500) + (115 ∗ 8.04 ∗ 25)
54
X=27724.8>1 Se recomienda el uso de engranajes plásticos.
Cálculo de la temperatura de trabajo
accc
t TmVFCT 3210max ***
= 0.2354 ∗ (75) . ∗ (5.03) . ∗ (4) . + 25Tmax=490C
Cálculo de la resistencia superficial
En este caso solo se emplearon dos de las expresiones mencionadasanteriormente. La primera expresión empleada fue:
∗∗ ∗ ∗. ∗ .∗ ∗ ∗ . . .
Segunda expresión empleada:
= ∗ ( + 1)∗ ∗ ∗ 1.41 + 1 ∗ (2 ) ≤ [ ]= 152.9 ∗ (4 + 1)20 ∗ 100 ∗ 4 ∗ 1.4120.3 + 120.3 ∗ (2 ∗ 20) = 1.49 = 14.6
Cálculo de tensiones
Según Dvorak
ss SFYVWPCVS
655
55
= 55 ∗ (6 + 990.71) ∗ 5 ∗ 6 ∗ 10.78 ∗ 0.342 ∗ 990.71 = 6222.79 = 42.9Según Kelley
Solo tiene en cuenta la geometría en forma y dimensiones del diente y la carga a
la cual está sometido.
fYFP
= 337.21 ∗ 60.78 ∗ 0.342 = 7584.5704 = 52.2Según Faires
Primeramente se calcula la carga dinámica (Fd).
VFVF t
d 82,020028,3200
= (200 + 3.28 ∗ 301.9) ∗ 152.9200 + 0.82 ∗ 301.9 = 406.62La carga dinámica (Fd) se iguala a la carga actuante (Fs), para obtener mediante
despeje el valor del esfuerzo de cálculo (S).
= ∗ ∗ ∗10= 10 ∗∗ ∗
56
= 10 ∗ 406.6210 ∗ 0.34 ∗ 4 = 298.9 = 29.31Según Moya
mbYnFCs
= 1 ∗ 1500 ∗ 14 ∗ 20 ∗ 0.342 = 54.8A continuación se muestra una tabla (tabla 18) con los valores obtenidos para
cada método empleado.
Tabla 18. Resultados obtenidos en cada expresión
Resultados de los cálculos de resistencia superficial
Primera expresión Segunda expresión
Resultado en
Mpa
1.76 14.6
Resultados de los cálculos de tensión
Método de
Dvorak
Método de
Kelley
Método de
Faires
Método de
Moya
Resultado en
Mpa
42.9 52.2 29.31 54.8
Después de observar los resultados obtenidos por los diferentes métodos de
cálculo, especialmente los de tensiones a flexión los cuales no tienen en cuenta
los mismos parámetros podemos decir que el método de Kelley y el método de
Moya son los que nos arrojan una solución con un menor porciento de diferencia,
57
en este caso estos métodos tienen en cuenta la geometría como uno de sus
parámetros fundamentales. Cuando analizamos los resultados de las expresiones
para el cálculo de resistencia superficial se puede apreciar que existe una gran
diferencia, esto viene condicionado ya que en la primera expresión se puede
realizar el cálculo para todo tipo de material plástico no siendo así en la segunda
expresión la cual es desarrollada para el Duracon M90.
Conclusiones parciales del capítulo 2 Para el cálculo de engranajes plásticos existen diversos métodos para
determinar las dimensiones de este en función de la solicitación de la
potencia los cuales arrojan soluciones diferentes.
En la literatura que se encuentra actualmente sobre este tema existen
varios métodos para el cálculo de engranajes plásticos, sin embargo todos
estos métodos están basados en la ecuación original de Lewis para el
cálculo a flexión.
58
Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de losengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.La optimización es una rama de las matemáticas aplicadas que consiste en la
recolección de principios y métodos usados para solucionar problemas
cuantitativos de muchas disciplinas como física, biología, ingeniería y economía
para obtener la mejor o una buena solución. Los métodos de optimización se
pueden clasificar en tres tipos: los métodos analíticos (uso del cálculo diferencial,
este es insuficiente para problemas no lineales), los métodos numéricos (se
emplean los algoritmos) y otros métodos como es el caso de los métodos gráficos,
métodos experimentales y estudio de casos.
Al usar la palabra optimización en MatLab nos referimos al proceso de búsqueda
del mínimo o máximo de una función, denominada comúnmente función objetivo
(también conocida como función de error). En la mayoría de las funciones de
optimización de MatLab, se requiere la definición de una función (.m) que compute
la función objetivo a optimizar. Es decir, la función objetivo realiza una serie de
cálculos, que el usuario define y devuelve como parámetro de salida un escalar
que será el valor que se pretende minimizar o maximizar. Por ende el objetivo
fundamental en todos los métodos de optimización en esencia es obtener, con el
menor número posible de evaluaciones de la función objetivo, una representación
adecuada de la misma que permita determinar la ubicación del punto óptimo [9].
Existen diferentes problemas de optimización, los cuales se pueden dividir en dos
grandes grupos de acuerdo al número de objetivos que se tratan de resolver: los
problemas de optimización simple y los problemas de optimización multiobjetivo.
La diferencia más grande que se podría encontrar entre los anteriores es que los
de optimización simple buscan obtener el mejor diseño o decisión, el cual es
regularmente un máximo o mínimo global, según sea el caso de maximizar o
minimizar. En cambio en la optimización multiobjetivo puede no existir una
solución que sea la mejor con respecto a todos los objetivos. Existe un conjunto
de soluciones que son las mejores del resto cuando todos los objetivos son
59
considerados, pero no tan buenas a otras soluciones al tomar en cuenta uno o
más objetivos [10]. Para analizar los problemas de optimización multiobjetivo ante
todo debe tenerse en cuenta el concepto de óptimo de Pareto [11, 12] el cual fue
formulado por Wilfredo Pareto en el siglo XIX y da inicio al origen de las
investigaciones en la materia de optimización multiobjetivo, este está definido por:
Esto quiere decir que la optimalidad de Pareto está definida como un conjunto
donde cada elemento es una solución al problema para la que ninguna otra
solución puede ser mejor dentro del problema, es decir que una solución P1 es un
óptimo de Pareto cuando no existe otra solución P2 tal que mejore en un objetivo
sin empeorar al menos uno de los otros.
En la mayoría de los problemas de optimización existen ciertas restricciones las
cuales pueden aparecer como consecuencias de las características del ambiente
de la investigación, estas se deben satisfacer con el fin de establecer soluciones
válidas. Todas las restricciones describen dependencias entre las variables de
decisión y las constantes (o parámetros), involucrados en el problema.
En el caso de este trabajo de diploma se implementará el uso de la optimización
multiobjetivo mediante algoritmos genéticos.
3.1 Algoritmos genéticos
Los algoritmos genéticos (AG) o programación evolutiva como también se le
conoce se pueden definir como técnicas de búsquedas basadas en la teoría de la
evolución de las especies de Charles Darwin. Estos se basan en los mecanismos
de selección natural que utiliza la naturaleza de acuerdo a los cuales los
individuos más aptos de una población son los que sobreviven, al adaptarse más
fácilmente a los cambios que se producen en su entorno, por lo cual un algoritmo
genético consiste en una función matemática o una rutina de software que toma
como entradas a los ejemplares y retorna como salidas cuáles de ellos deben
60
generar descendencia para la nueva generación. Estos fueron establecidos y
desarrollados por John Henry Holland [13] en la década del 1960 bajo el nombre
de “planes reproductivos” pero no fue hasta después del 1975 tras la publicación
de su libro titulado “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (en español:
“Adaptación en Sistemas Naturales y Artificiales”) [14] que se le llamó algoritmos
genéticos, su popularidad viene dada por ser un método robusto y bien probado
dentro de los sistemas naturales. Estos por su parte aunque no garanticen
encontrar la solución óptima, si encuentran soluciones con un alto grado de
acierto. Principalmente están basados en implementar e integrar dos ideas
fundamentales:
Las representaciones simples como strings binarios de las soluciones del
problema.
La realización de transformaciones simples para modificar y mejorar estas
representaciones.
Las ventajas de su uso para resolver problemas de optimización multiobjetivo es
que estos trabajan de antemano con las poblaciones, lo que facilita la generación
del conjunto de soluciones de Pareto, ya que tratan de encontrar tantos elementos
del conjunto de Pareto como le sea posible. La siguiente figura (figura 12) muestra
la estructura básica de un algoritmo genético [15].
61
Figura 12. Diagrama de flujo de la estructura base de un algoritmo genético
Los algoritmos genéticos poseen mecanismos de trabajo los cuales parten de una
población determinada de cromosomas generados aleatoriamente los cuales
generan a una nueva población empleando un mecanismo de selección natural
junto con los operadores genéticos de cruzamiento, mutación e inversión. En el
caso de la selección se escogen los cromosomas con posibilidades de
reproducirse y por ende los cromosomas más aptos producirán un mayor número
de descendientes que los menos aptos. En el cruzamiento lo que ocurre es que se
intercambian parte de dos cromosomas tratando de reproducir la recombinación
biológica entre dos organismos monocromosómicos.
62
En el caso de la mutación se cambian aleatoriamente los valores de alelo de
algunas ubicaciones en el cromosoma y la inversión es un ejemplo de un operador
de reordenamiento en el que se invierte el orden de todos los genes
comprendidos entre dos puntos seleccionados al azar [16].
Como todo método que se emplea los algoritmos genéticos poseen ciertas
ventajas y desventajas para su implementación, a continuación se reseña
brevemente algunas de las ventajas y desventajas que estos poseen:
Para su trabajo no se necesita conocimiento previo de la función a
optimizar.
Operan de manera simultánea con varias soluciones y no de manera
secuencial.
Estos en vez de usar operadores determinísticos, trabajan con operadores
probabilísticos.
Pueden tardar mucho en converger, o no converger en absoluto
dependiendo de los parámetros que se utilicen.
Pueden converger prematuramente debido a una serie de problemas de
diversa índole.
3.2 Algoritmos Genéticos propuestos para resolver problemas deoptimización multiobjetivo son [17]:
- AG de primera generación:
VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm) propuesto por Schaffer [18] a
mediados de los años 80. Es un algoritmo a priori que divide la población
de un AG en tantas subpoblaciones como objetivos existan, este no permite
obtener la frontera de Pareto.
MOGA (Multi Objective Genetic Algorithm), desarrollado por Fonseca y
Fleming [19] en 1993. El manejo de las restricciones que propone, tiene
serias limitaciones.
NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm), propuesto por Srinivas y
Deb en 1994 [20]. Se basa en la idea original de Goldberg sobre el uso de
63
niveles de dominación. Se diferencia básicamente de un AG simple en el
índice de bondad elegido.
NPGA (Niched-Pareto Genetic Algorithm), este método fue propuesto por
Horn y Nafpliotis en 1993 [21], en donde el cambio principal en un AG
simple se realiza en la etapa de selección.
- AG de segunda generación:
NSGA-II (Nondominated Sorting Genetic Algorithm-II), propuesto en el
año 2000 por Kalyanmoy Deb, A. Pratap, S. Agarwal y T. Meyarivan
[22]. Este es una versión mejorada de su antecesor en la primera
generación (NSGA), acá se mejoran fundamentalmente tres aspectos
que son: el proceso de ordenamiento de las soluciones no-dominadas,
la adición de elitismo y finalmente no requiere del parámetro σshare para
incrementar la variedad en la población.
SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm), presentado por Zitzler y
Thiele en 1999 [23], fue concebido como un medio de integración de los
demás algoritmos evolutivos para optimización multiobjetivo existentes
en aquel entonces. Usa un archivo que contiene las soluciones no-
dominadas encontradas previamente.
SPEA-2, dado a conocer por Zitzler, Laumanns y Thiele en el año 2001
[24], incorpora tres diferencias a su antecesor (SPEA). Incorpora una
estrategia de bondad de grano-fino, empleo de una técnica de
estimación del vecino más cercano que guía la búsqueda de una
manera más efectiva y presenta un método de truncamiento de las
soluciones que están en los extremos del archivo externo o población.
PAES (Pareto Archived Evolution Strategy), este método fue presentado
por Knowles y Corne en el año 2000 [25]. Consiste en una estrategia de
evolución (1+1) (esto es, un solo padre genera un solo hijo), en
combinación con un archivo histórico que almacena algunas de las
soluciones no-dominadas encontradas previamente.
64
MRCD y MRCD min-max (Genetic Algorithm for multiobjective Robust
Control Design) [26], son algoritmos que usan de forma directa los
conceptos de optimización de Pareto para hallar su frente y los óptimos
asociados, además son algoritmos a posteriori ya que tratan de obtener
el conjunto completo de dichos óptimos, dejando para una segunda fase
la elección de uno de ellos.
3.3 Optimización de los engranajes cilíndricos
En este trabajo de diploma se estudia la optimización de engranajes cilíndricos de
dientes rectos de material plástico utilizando el programa MatLab, esta se realiza
a partir de la aplicación del método de optimización multicriterial (siendo uno de
los métodos más utilizados en la actualidad) aplicando algoritmos genéticos. Para
ello se tomaron seis funciones objetivos:
La expresión para determinar las tensiones en el pie del diente debido a la
flexión (en este caso se utilizaron tres expresiones).
La expresión para determinar las tensiones de contacto (en este caso se
utilizaron dos expresiones).
La expresión para determinar la temperatura de trabajo del diente.
A la hora de lograr un valor óptimo de la resistencia del diente es necesario
entonces encontrar valores de los parámetros geométricos que minimicen
simultáneamente estas funciones. Para ello se tomaron como variables
independientes el ángulo del perfil del diente, el módulo del diente, el ancho del
diente y el número de dientes del piñón. Para estas variables independientes se
tomaron las siguientes fronteras:
- Ángulo del perfil del diente: entre 150 y 200.
- Módulo del diente: entre 3 y 5.
- Ancho del diente: entre 10 y 20.
- Número de dientes del piñón: entre 17 y 20.
65
Los procedimientos de cálculo para realizar la optimización multiobjetivo mediante
algoritmos genéticos fueron realizados en el programa MatLab, el cual cuenta con
un Toolbox de optimización que contiene el método de los algoritmos genéticos
junto con una diversidad de funciones de fácil implementación y que llevan a cabo
las diferentes acciones del algoritmo genético. En el Toolbox de el MatLab
contamos con la herramienta de optimización (optimtool) la cual es un GUI
(Grafics Unit Interface) que sirve para seleccionar la solución especificando las
opciones de optimización.
3.4 Lenguaje utilizado en el editor de MatLabfunction [S]= tesisfrank (x)
%Variables:
F=1500;%Fuerza tangencial aplicada sobre el diente en Newton
Cs=1;%Factor de servicio
n1=1500;%rpm
m=x (1);%Módulo en mm
b=x (2);%Ancho del diente en mm
z1=x (3);%Número de dientes del piñón
Y=0.342;%Factor de Lewis
ta=30;%Temperatura ambiente
n=1.5;%Factor de seguridad
u=3;%Relación de transmisión
E1=200;%Módulo de elasticidad del material del piñón
E2=200;%Módulo de elasticidad del material de la corona
alfa=x (4);%20*pi/180;%Ángulo de engrane
Wt=5;%Potencia transmitida
Dp=6;%Diametral Pitch
kp=1.7;%Coeficiente de Poisson para materiales plásticos
V=301.7;%Velocidad del polo
%Cálculos previos antes de Optimizar
66
disp('El valor del diámetro de paso del piñón es:')
d1=m*z1; %Diámetro de paso del piñón
disp (d1)
%Velocidad en el polo
disp('El valor de la velocidad en el polo es:')
v= ((pi*n1/30)* d1/2)/1000;
disp (v)
%Fórmula para determinar la tensión de contacto para el Duracron M90
disp('El valor de la tensión de contacto es:')
S (1) = ((F/10)*((u+1))/(x(2)*d1*u))^0.5 *(1.4/((1/E1+1/E2)*sin(2*alfa*pi/180)))^0.5;
disp (S (1))
%Sadm=127.4; %Tensión admisible del material en Mpa
%Fórmula para calcular la temperatura de trabajo
disp(' El valor de la temperatura de trabajo es')
S (2)= 0.2354 *(F/b)^0.755 * v ^0.42 *m^0.502 +ta;
disp (S(2))
%Fórmula para calcular la tensión de contacto derivada de la expresión de
%Hertz sobre la teoría de la fuerza entre dos cilindros en contacto,
%modificada para la corona
disp('Resistencia superficial:')
S(3)=((Wt/(x(2)*Dp))*(1/(pi*(1-kp^2)/E1+(1-
kp^2)/E2))*(1/((cos(x(4))*sin(x(4)))/2)*(u/(u+1))))^0.5;
disp ( S(3) )
%Empleando el método de Dvorak
disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Dvorak) es:')
S(4)=(55*(6+V)*Wt*Dp*Cs)/(x(2)*Y*V);
disp(S(4))
%Empleando el método de Kelley
disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Kelley) es:')
S(5)=(F*Dp)/(x(2)*Y);
67
disp(S(5))
%Empleando el método de Moya
disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Moya) es:')
S (6)=(F*Cs*n)/(x(1)*x(2)*b*Y);
disp (S (6))
end
Luego de tener este lenguaje se procedió a especificar las opciones en MatLab,
en cuanto a los requerimientos del algoritmo genético, para posteriormente
realizar las simulaciones para obtener los resultados. Para este problema de
optimización se fijó una población tipo de doble vector, una función de selección
de torneo y la función de cruzamiento fue dispersa. La siguiente tabla (tabla 19)
muestra los resultados obtenidos durante la simulación para las cuatro variables
independientes de la función de ajuste y la figura 13 muestra el frente de Pareto.
68
Tabla 19. Conjunto de soluciones óptimas de la optimización de la
resistencia de un engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico
en función de la variación del módulo, el número de dientes, el ancho deldiente y el ángulo de engrane.
Módulo en mm Ancho del diente enmm
Número dedientes
Ángulo deengrane
4.711051204 19.99999943 19.7705614 19.636116684.711051204 19.99999943 19.7705614 19.634878823.000240818 19.98132248 17.07890082 16.387261224.223723945 19.99937115 18.98021516 18.849555923.538214875 19.8751276 19.84506964 19.575721443.017424151 19.53605731 18.23908923 16.551438943.307742619 19.99774896 17.08801385 17.632979473.010295516 19.62660491 17.71654516 16.531481213.240484815 19.96818061 17.37452445 16.520326524.318605312 19.97986827 18.99719359 18.849555924.233612647 19.9984591 18.9642911 18.849555924.79510595 19.99876598 19.83905623 18.9592856
3.170202114 19.98549771 17.89801967 17.041777953.384646637 19.99869637 18.71499487 17.852398434.999970652 19.99910745 19.99812932 19.99146073.113230707 19.79720139 17.249177 17.865206423.03237751 19.4318767 17.47656463 16.96542883
3.000641148 19.86539482 17.10313701 16.421931514.055552525 19.85455897 19.090512 17.82720444.999960789 19.99932656 19.99812932 19.99299644.230559882 19.98374615 18.9894925 18.8554153
69
Figura 13. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de un
engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico.
Al ver el frente de Pareto podemos apreciar que solo este muestra dos objetivos
en vez de los cuatro propuestos, por lo que se realizaron dos simulaciones más,
cada uno solamente con dos variables independientes para así poder apreciar la
solución del frente de Pareto específicamente para estas variables. En la figura 14
se tomaron como variables independientes el módulo y el ancho del diente, aquí
se le asignó al número de dientes del piñón un valor de 17 dientes y al ángulo de
engrane un valor de 200. En la figura 15 se tomaron como variables
independientes el numero de dientes del piñón y el ángulo de engrane, aquí se le
asignó al módulo un valor de 4 mm y al ancho del diente un valor de 20 mm.
70
Figura 14. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de un
engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico en función de lavariación del módulo y el ancho del diente.
71
Figura 15. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de unengranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico en función de la
variación del número de dientes, y el ángulo de engrane.
3.5 Análisis de resultadosDespués de realizar las simulaciones correspondientes pudimos arribar a que el
algoritmo genético utilizado fue de éxito, ya que con los valores obtenidos durante
el proceso se pudieron apreciar los puntos óptimos para las variables
independientes seleccionadas, lo que facilita un diseño duradero de este tipo de
engranajes. Al apreciar el frente de Pareto se pudo ver que la curva de este es
semejante a la teórica que el presenta arrojando soluciones cercanas a la
realidad. Se pudo ver que los puntos óptimos no se concentraron solo en una
parte de la gráfica, lo que indica que se cumple el principio de óptimo de Pareto,
de que para que un individuo mejore tiene que empeorar otro.
72
Conclusiones
Después de haber llegado al final de este trabajo de diploma podemos llegar a las
conclusiones de que en los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material
plástico:
La selección adecuada del material para el diseño de un engranaje plástico
es de suma importancia ya que de esta selección va a depender en gran
medida la resistencia de dicho engranaje.
Las fallas de los engranajes plásticos poseen un carácter similar a los de
los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos se debe tener
en cuenta la elevación de la temperatura, el ablandamiento, deformación
del material y la fractura del diente que es una de las fallas esenciales de
los engranajes de este tipo.
La geometría de estos engranajes juega un papel determinante, ya que a
través de esta se pueden hacer diversas modificaciones que no siempre se
pueden realizar en los engranajes metálicos.
En cuanto a la lubricación la presencia de ella va a ser en dependencia del
diseñador pero es recomendable su utilización para un mayor servicio de
vida útil.
Para el cálculo de engranajes plásticos existen diversos métodos para
determinar las dimensiones de este en función de la solicitación de la
potencia los cuales arrojan soluciones diferentes.
En la literatura que se encuentra actualmente sobre este tema existen
varios métodos para el cálculo de engranajes plásticos, sin embargo todos
estos métodos están basados en la ecuación original de Lewis para el
cálculo a flexión.
73
La optimización multiobjetivo por algoritmos genéticos es una técnica eficaz
para la resolución de este tipo de problemas ya que arroja los valores
óptimos dentro de una población determinada, por ser un método robusto,
eficiente y eficaz.
En cuanto a las variables independientes que se optimizaron las respuestas
óptimas estuvieron para el caso del módulo entre 3 y 4 milímetros, para el
ancho del diente el valor predominante fue de 19 milímetros, el número de
dientes osciló entre 17 y 19 dientes y en el caso del ángulo de engrane los
valores óptimos variaron entre 16 y 19 grados.
Podemos decir que la optimización multiobjetivo por algoritmos genéticos
es una técnica que no sustituye a las técnicas tradicionales sino que
mediante la optimización viene a complementar las técnicas tradicionales.
74
Recomendaciones Continuar el desarrollo de este trabajo de diploma debido a su importancia
dentro del diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material
plástico.
Realizar la optimización no solo de los engranajes que presentan este tipo
de geometría sino llevarla a otros tipos de geometría para así lograr mejor
calidad en los diseños.
A la hora de implementar la optimización a través de algoritmos genéticos
variar los requerimientos del algoritmo genético.
75
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cálculo de engranajes plásticos. Marzo 2003.
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10.Guadalupe Villarreal Marroquín, María. Modelación y optimización aplicada
a la simulación de procesos y sistemas de manufactura. Tesis doctoral.
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Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Valladolid, España,
2000.
78
Anexos
Anexo 1. Factor de forma para la fuerza tangencial [5]
Número de dientesFactor de forma
14.50 Dientes estándar 200 Dientes cortos 200
12 0.355 0.415 0.496
14 0.399 0.468 0.540
16 0.430 0.503 0.578
18 0.458 0.522 0.603
20 0.480 0.544 0.628
22 0.496 0.559 0.648
24 0.509 0.572 0.664
26 0.522 0.588 0.678
28 0.535 0.597 0.688
30 0.540 0.606 0.698
34 0.553 0.628 0.714
38 0.565 0.651 0.729
40 0.569 0.657 0.733
50 0.588 0.694 0.757
60 0.604 0.713 0.774
75 0.613 0.735 0.792
100 0.622 0.757 0.808
79
150 0.635 0.779 0.830
300 0.650 0.801 0.855
Cremallera 0.660 0.823 0.881
Anexo 2. Factor de Lewis para el método de Faires [2]
Número de dientes Carga en la punta Carga en el centro
Ángulo 14.5 20
10 0.176 0.201
11 0.192 0.226
12 0.21 0.245
13 0.223 0.264
14 0.236 0.276
15 0.245 0.289
16 0.255 0.295
17 0.264 0.302
18 0.27 0.308
19 0.277 0.314
20 0.283 0.32
21 0.289 0.326
22 0.292 0.33
23 0.296 0.333
24 0.302 0.337
25 0.305 0.34
26 0.308 0.344
27 0.311 0.348
28 0.314 0.352
29 0.316 0.355
80
30 0.318 0.358
32 0.322 0.364
33 0.324 0.367
35 0.327 0.373
37 0.33 0.38
39 0.335 0.386
40 0.336 0.389
45 0.34 0.399
50 0.346 0.408
55 0.352 0.415
60 0.355 0.421
65 0.358 0.425
70 0.36 0.429
75 0.361 0.433
80 0.363 0.436
90 0.366 0.442
100 0.368 0.446
150 0.375 0.458
200 0.378 0.463
300 0.382 0.471
Cremallera 0.39 0.484
81
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