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CÁLCULO 3Derivadas parciales. El plano tangente.
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Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.
DERIVADAS PARCIALES
NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo
PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto
RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
LA GRADIENTE
PROPIEDADES DE LA GRADIENTE
Ejemplo
Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el puntoSoluciónHaciendo: 1),,( 222 yxzzyxFtenemos que:
6
2
1
2
42
22
zz
yy
xx
zF
yF
xF
Por tanto, la ecuación del plano tangente es: 162 zyx
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
626
42
21
tz
ty
tx
Ejemplo
Ejemplo
Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano tangente es paralelo al planoSolución
Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : y el plano
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
Ejemplo
¿En qué punto de la superficie ?
Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a ;con lo cual, si :
entonces :
Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :
Obtenemos el siguiente sistema:
Y así, el punto buscado es:
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# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/M 2002
STEWART, JAMES
Cálculo Multivariable
Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson
3 515 HOFF/C 2006
HOFFMANN, LAURENCE D.
Cálculo Aplicado Para Administración,
Economía Y Ciencias Sociales
Octava edición, México
2007,.Mcgrawhill
BIBLIOGRAFÍA
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