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3.-Derivadas Parciales
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1
DERIVADAS PARCIALES
Definición
Sea función y0 À E © ïïïïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñqqqqp0ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8
+ œ Ð+ ß + ß ÞÞÞÞÞß + Ñß + − E ß + − E" # 8`
Diremos que es derivable parcialmente en respecto a la variable 0 + B4
con ,.... donde 4 − Ö" 8× ß B œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8
ssi existe lim
B Ä+
0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ ÑB +
4 4
" # 4" 4 4"ß 8 " # 8
4 4
y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable0
en es , dondeB + Ð+Ñ4`0`B
4
`0`B B +B Ä+
0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ Ñ
4 4 44 4
" # 4" 4 4"ß 8 " # 8Ð+Ñ œ lim
Ejemplo
Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp$B C #C &BC ## $
Determine si existen : `0 `0`B `CÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
Solución
`0`B B"BÄ"
0ÐBß " Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim
œ œlim limBÄ" BÄ"
Ð)ÑB" B"
)$B #&B# $B &B# #
œ œ Ð $B ) Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"
ÐB"ÑÐ$B) ÑB"
luego : `0`B Ð"ß "Ñ œ ""
2
`0`C CÄ"
Ð"ß "Ñ œ lim 0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"ÑC "
œ œlim limCÄ" CÄ"
'C"
$C#C &C#Ð)ÑC"
#C )C$ $
œ œlim limCÄ" CÄ"
ÐC"ÑÐ#C #C' ÑC"
##
Ð #C #C ' Ñ œ #
luego : `0`C Ð"ß "Ñ œ #
Ejemplo
Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp$B C # #C & B " C B ## $ #¸ ¸ ¸ ¸Determine si existen : `0 `0 `0 `0
`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð "ß "Ñ ß Ð$ß "Ñ
Solución
`0`B B"BÄ"
0ÐBß # Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim
œ limBÄ"
"' Ð"&Ñ
B"
"! B" B #¸ ¸ #
œ œlimBÄ" B"
"! B" B "¸ ¸ #
por laterales ,se tiene que
lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"B" B" B"
"! B" B " "!ÐB"ÑB " B "!B""¸ ¸ # # #
œ œ
œ œ œ "#lim limBÄ" BÄ"
ÐB"
B"ÑÐB""Ñ ÐB ""Ñ
lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"B" B" B"
"! B" B " "!ÐB"ÑB " B "!B*¸ ¸ # # #
œ œ
œ œ œlim limBÄ" BÄ"
ÐB"
B"ÑÐB*Ñ ÐB *Ñ )
por lo tanto : `0`B Ð "ß #Ñ no existe
3
`0`C C# C#CÄ# CÄ#
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œ lim lim $ C# #C "¸ ¸ $
œ œlimCÄ#
'
C#
$ C# #C "¸ ¸ $
por laterales ,se tiene que
lim limCÄ# CÄ#
'
C# C# '
$ C# #C " $Ð C#Ñ#C "¸ ¸ $ $
œ
œ œlim lim
CÄ# CÄ#
C# C#
$Ð C#Ñ#ÐC )Ñ Ð C#ÑÐ$#C %C)Ñ$ #
œ œ #"limCÄ#
Ð $ #C %C )Ñ#
lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#
$ C# #C "'
C# C# C#$ÐC#Ñ#C "' $ÐC#Ñ#ÐC )Ñ
$ $ $¸ ¸œ œ
œ limCÄ#
ÐC#ÑÐ$#C %C)ÑC #
#
œ Ð$ #C %C )Ñ #(limCÄ#
#
œ
por lo tanto : `0`C Ð "ß #Ñ no existe
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
%Ð "ß "Ñ œ œ lim lim$B #& B" B # %B %& B"# # #¸ ¸ ¸ ¸
œ limBÄ"
%ÐB "Ñ ¸ ¸B"
B"
el cual por laterales ,se tiene que no existe
no existepor lo tanto : `0`B Ð "ß "Ñ
4
`0`C C" C"CÄ" CÄ"
0Ð$ß C Ñ0Ð$ß"Ñ Ð &'ÑÐ$ß "Ñ œ œ lim lim #( C# #C #!C*#¸ ¸ $
œ œlim limCÄ" CÄ"
%*C" C"
&#(Ð C#Ñ#C #!C #C (C$ $
œ œ Ð &Ñlim limCÄ" CÄ"
ÐC"ÑÐ &ÑC"#C #C #
#
#C #C
œ "
luego : `0`C Ð$ß "Ñ œ "
Ejemplo
Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
ÐBß CÑqqqqp#BC B C # à B Ÿ C
BC $C &B $ à B C
ÚÛÜ
Determine si existen : `0 `0 `0`B `C `BÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ à Ð"ß #Ñ
Solución
`0`B B"BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim
(por laterales)œ limBÄ"
0ÐBß"ÑB"
lim lim
BÄ" BÄ"
0ÐBß"ÑB" B"
œ œ "B"
lim limBÄ" BÄ"
0ÐBß"ÑB" B"
'
œ œ 'B '
por lo tanto : no existe `0`B Ð"ß "Ñ
5
(por laterales) `0`C C" B"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß"Ñ 0Ð"ßCÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim
lim lim
CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑC" C"
œ œ ##C#
lim limCÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑC" C"
œ œ $$C$
por lo tanto : no existe `0`C Ð"ß "Ñ
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß#Ñ0Ð"ß#ÑÐ"ß #Ñ œ œ œ $lim lim $B$
por lo tanto : `0
`B Ð"ß #Ñ œ $
Ejemplo
Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#
)ÐBß CÑqqqqp ÐB C " #C B $ #C &BC B #¸ ¸ # #
Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
Solución
`0`B B"BÄ"
0ÐBß # Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim
œ limBÄ" B"
ÐB" B B B Ð$Ñ) +1 6 10 ¸ ¸ #
œ limBÄ" B"
ÐB" B B "!B*) +1 ¸ ¸ #
œ limBÄ" B"
ÐB" B ÐB"ÑÐB *Ñ) +1 ¸ ¸ œ œlim
BÄ"¸ ¸ +B " ÐB *Ñ )
luego : `0`B Ð "ß #Ñ œ )
6
`0`C C#CÄ#
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#ÑÐ "ß #Ñ œ lim
œ limCÄ# C#
Ð C# #C% #C &C"#Ð$Ñ) ¸ ¸ #
œ limCÄ# C#
Ð C# #C% #C &C#)¸ ¸ #
œ limCÄ# C#
Ð C# #C% ÐC#ÑÐ#C"Ñ) ¸ ¸ œ œlim
CÄ#¸ ¸#C % Ð#C "Ñ $
luego : `0`C Ð "ß #Ñ œ $
`0`B B"BÄ"
0ÐBß" Ñ0Ð "ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim
œ limBÄ"
B B" &BB '
B"
¸ ¸ #
œ limBÄ"
B B" ÐB"ÑÐB'Ñ
B"
¸ ¸
œ Ð ÑlimBÄ"
B B"
B" B"ÐB"ÑÐB'Ѹ ¸
no existeœ Ð ÐB 'ÑÑlimBÄ"
B B"
B"
¸ ¸
luego : no existe `0`B Ð"ß "Ñ
`0`C C "CÄ"
0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim
œ limCÄ"
C #C# #C &C"#Ð'Ñ
C "
¸ ¸ #
œ limCÄ"
C C #C &C(
C"
2 1¸ ¸ #
œ limCÄ"
C C ÐC"ÑÐ#C(Ñ
C"
2 1 ¸ ¸
no existeœ Ð#C (ÑlimCÄ"
C C
C"
2 1 ¸ ¸
luego : no existe `0`C Ð"ß "Ñ
7
Observación
supongamos que : `0`B B+BÄ+
0ÐBß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
sea se tiene que c.p. cuando 2 œ B + 2 Ä ! B Ä + con lo cual : `0
`B 22Ä!
0Ð+2ß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
y se tiene que es posible con dicha notación , calcular
analogamente se tiene que : `0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
`0`C C ,CÄ,
0Ð+ß C Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
sea se tiene que c.p. cuando 5 œ C , 5 Ä ! C Ä + con lo cual : `0
`C 22Ä!
0Ð+ ß ,5 Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim
y se tiene que es posible con dicha notación , calcular
`0`C 22Ä!
0ÐB ß C5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
Ejemplo
0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##
Determinar : ; `0 `0`B `CÐBß CÑ ÐBß CÑ
Solución
`0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
œ lim2Ä!
#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ "Ð#B / %BCB "Ñ2
# ÐB2ÑC " # # BC " ## #
œ Ð Ñlim2Ä!
#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ Ð#B / %BCB Ñ2 !
!# ÐB2ÑC " # # BC " ## #
por L`H se tiene :
8
œ lim2Ä!
%ÐB 2Ñ/ #ÐB 2Ñ C / %C #ÐB 2ÑÐB2ÑC " # # ÐB2ÑC "# #
œ %B/ #B C / %C #BBC " # # BC "# #
con lo cual : `0`B
BC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / %C #B# #
analogamente :
`0`C 55Ä!
0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
œ lim5Ä!
#B / %BÐC5ÑB "Ð#B / %BCB "Ñ5
# BÐC5Ñ " # # BC " ## #
œ Ð Ñlim5Ä!
#B / %B5 #B / !5 !
# BÐC5Ñ " # BC "# #
por L`H se tiene : œ %B ÐC 5Ñ/ %B œ %B C/ %Blim
5Ä!
$ BÐC5Ñ " $ BC "# #
con lo cual : `0`C
$ BC "ÐBß CÑ œ %B C/ %B#
Observación
En el ejemplo anterior :
0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##
`0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ BC " # # BC "ÐBß CÑ œ œ %B/ #B C / %C #Blim # #
`0`C 55Ä!
0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑ $ BC "ÐBß CÑ œ œ %B C/ %B lim #
si en : `0`B 22Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
consideramos que : se tiene que 1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐB 2 Ñ œ 0ÐB 2 ß C Ñ con lo cual
9
` `0`B 2 22Ä! 2Ä!
0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ 1ÐB2 Ñ1ÐB ÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐBÑlim lim
y como considera a como una función que depende1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :B B `1 ÐBÑ œ %B/ #B C / %C #B œ ÐBß CÑBC " # # BC " `0
`B
# #
analogamente :
si en : `0`C 55Ä!
0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim
consideramos que : se tiene que 1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐC 2 Ñ œ 0ÐB ß C 5Ñ con lo cual ` `0
`C 5 55Ä! 5Ä!
0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑ 1ÐC5 Ñ1ÐCÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐCÑlim lim
y como considera a como una función que depende1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :C C `1 ÐCÑ œ œ %B C/ %B œ ÐBß CÑ$ BC " `0
`C
#
Ejemplo
Sea 0ÐBß Cß DÑ œ Ð#BC "Ñ D $ $ # #BC'D "#
Determinar : `0 `0 `0
`B `C `DÐ"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ
Solución
`0 #C `0`B D " `B
$ $ # #ÐBß Cß DÑ œ 'C Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ &#
`0 `0`C D " `C
# $ # # #BÐBß Cß DÑ œ ")BC Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ "*#
`0 `0`D ÐD "Ñ `D
$ $ #DÐ#BC'ÑÐBß Cß DÑ œ #Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ !# #
10
Ejemplo
Sea 2ÐBß CÑ œ $B #C ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"Ñ ÐC"Ñ
ÐB"Ñ ÐC"Ñ
#
# #
Determinar
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ Ð!ß "Ñ Ð!ß "Ñ, , ,
Solución `2
`B B"BÄ "
2ÐBß"Ñ2Ð"ß"ÑÐ "ß "Ñ œ lim
œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ " BÄ " BÄ "B" B"
$B#& $B$
por lo tanto : `2`BÐ "ß "Ñ œ $
`2`C C" C"CÄ" CÄ"
2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ Ð "ß "Ñ œ œlim lim $#C&
œ œ # œ #lim limCÄ" CÄ"
#C#C"
por lo tanto : `2`C Ð "ß "Ñ œ #
`2`B BBÄ!
2ÐBß"Ñ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ lim
œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!B B
$B## $B
por lo tanto : `2`BÐ!ß "Ñ œ $
`2`C C" C"CÄ" CÄ"
2Ð!ßCÑ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ œlim limC"
C #C# #C#
œ œlim limCÄ" CÄ"
#C 'C $C"ÐC"ÑCÐC#Ñ ÐC"ÑCÐC#Ñ
ÐC"ÑÐ#C %C"Ñ$ # #
œ œlimCÄ"
Ð#C %C"ÑCÐC#Ñ $
&#
por lo tanto : `2 &`C $Ð!ß "Ñ œ
11
Ejemplo
Sea 0ÐBß CÑ œ $CB #C B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
% ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"ÑÐC"Ñ
ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
# #
Determinar
`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ, , ,
Solución
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $B#B %#
œ œlim limBÄ" BÄ"
B B" B"
ÐB"ÑÐB#Ñ# $B#
œ ÐB #Ñ œ "limBÄ"
por lo tanto : `0`BÐ"ß "Ñ œ "
`0`C C" C"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C#C "%#
œ œ Ð#C &Ñ œ (lim limCÄ" CÄ"
ÐC"ÑÐ#C&ÑC"
por lo tanto : `0`C Ð"ß "Ñ œ (
`0`B B" B"BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim ÐB"ÑÐB #B $B##Ñ$ #
œ œ ##limBÄ"
B #B $B ##$ #
por lo tanto : `0`BÐ"ß "Ñ œ ##
`0`C C" C"CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C#C "%#
œ œlim limCÄ" CÄ"C" C"
#C $C" Ð#C"ÑÐC"Ñ#
por lo tanto : œ Ð#C "Ñ œ $ Ð"ß "Ñ œ $limCÄ"
`0`C
12
Ejemplo Sea 1ÐBß CÑ œ #B C #B CB B $C¸ ¸ #
Determinar
`1 `1 `1 `1 `1 `1`B `C `B `C `B `CÐ!ß !Ñ Ð!ß !Ñ ß Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß #Ñ Ð"ß #Ñ, , ,
Solución
`1`B B BBÄ! BÄ!
1ÐBß!Ñ1Ð!ß!Ñ #B #B B!Ð!ß !Ñ œ œlim lim ¸ ¸
œ œ # #B " œ "lim limBÄ! BÄ!
#B #B B
B
¸ ¸ ¸ ¸ por lo tanto : `1`BÐ!ß !Ñ œ "
`1 $C`C C CCÄ! CÄ!
1Ð!ßCÑ1Ð!ß !ÑÐ!ß !Ñ œ œ œ $lim lim
por lo tanto : `1`C Ð!ß !Ñ œ $
`1`B B" B"BÄ" BÄ"
1ÐBß"Ñ1Ð"ß"Ñ #B "#B B B$*Ð"ß "Ñ œ œlim lim ¸ ¸ #
œ œlim limBÄ" BÄ"
#BÐ"#BÑB B$*B" B"
&B B'# #
œ œ Ð&B 'Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"
ÐB"ÑÐ&B'ÑB"
por lo tanto : `1`BÐ"ß "Ñ œ ""
`1`C C" C"CÄ" CÄ"
1Ð"ßCÑ1Ð"ß "Ñ # C# C $CÐ"ß "Ñ œ œlim lim ¸ ¸ 1 9
œ œ œ ' œ 'lim lim limCÄ" CÄ" CÄ"
# ÐC#ÑC $CC" C"
'C' 1 9
por lo tanto : `1`C Ð"ß "Ñ œ '
13
`1`B B"BÄ"
1ÐBß#Ñ1Ð"ß#ÑÐ"ß #Ñ œ lim
œ limBÄ"
#B ##B #B B'Ð*Ñ
B"
¸ ¸ #
œ limBÄ"
%B B" #B B$
B"
¸ ¸ #
por laterales: lim lim
BÄ" BÄ"
%B B" #B B$
B" B"%BÐB" Ñ#B B$
# #¸ ¸ œ
œ œlim limBÄ" BÄ"
'B $B$B" B"
ÐB"ÑÐ'B$Ñ
#
œ Ð 'B $Ñ œ *limBÄ"
lim limBÄ" BÄ"
%B B" #B B$
B" B"%BÐB" Ñ#B B$
# #¸ ¸ œ
œ œlim limBÄ" BÄ"
#B &B$B" B"
ÐB"ÑÐ#B$Ñ
#
œ Ð#B $Ñ œ "limBÄ"
por lo tanto : no existe`1`BÐ"ß #Ñ
`1`C C# C#CÄ# CÄ#
1Ð"ßCÑ1Ð"ß#Ñ # C# C"$CÐ*ÑÐ"ß #Ñ œ œlim lim ¸ ¸
por laterales:
lim limCÄ# CÄ#
# C# C"$CÐ*Ñ
C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ
¸ ¸ œ
œ œ # œ #lim limCÄ# CÄ#
#C%C#
lim limCÄ# CÄ#
# C# C"$CÐ*Ñ
C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ
¸ ¸ œ
œ œ ' œ 'lim limCÄ# CÄ#
'C"#C#
por lo tanto : no existe`1`C Ð"ß #Ñ
14
Ejemplo Sea 0ÐBß CÑ œ #B -9=ÐBC #Ñ $C #C=/8ÐBC #Ñ "# # # %
Determinar
`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,
Solución
se tiene que : `0
`B# # # # % %œ %B-9=ÐBC #Ñ #B =/8ÐBC #ÑC #C-9=ÐBC #ÑC
`0`C# # % % $œ #B =/8ÐBC #Ñ#BC 'C #=/8ÐBC #Ñ #C-9=ÐBC #Ñ%BC
con lo cual:
`0`BÐ#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ '
`0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð# #Ñ% ' #=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ) œ "!
`0`BÐ#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ "!
`0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð!Ñ% ' #=/8Ð!Ñ #-9=Ð!ÑÐ )Ñ œ ##
Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ B / #C #C/ BC# BC # # BC ## %
Determinar
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,
Solución
Se tiene que : `2`BBC # # # BC # & BC #œ #B/ B C / #C / C
# # %
`2`C$ BC # BC # % BC #œ #B C/ %C #/ )BC / B
# % %
con lo cual:
`2 `2 `2 `2`B `B `C `CÐ#ß "Ñ œ ( à Ð#ß "Ñ œ * à Ð#ß "Ñ œ % Ð#ß "Ñ œ %à
15
Ejemplo
Sea 2ÐBß CÑ œ C 68ÐBC "Ñ #B #BC68ÐBC "Ñ "$ # # %
`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð"ß !Ñ Ð"ß !Ñ, ,
Solución Se tiene que:
`2`B BC "
C ÐC Ñ % #BCBC "
œ %B #C68ÐBC "Ñ $ #
#
&
%
`2`C BC "# # %#BC )B C
BC "œ $C 68ÐBC "Ñ #B68ÐBC "Ñ % # %
# %
con lo cual . ; `2 " % `2
`B $ $ `BÐ#ß "Ñ œ ) #68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ %
; `2 % $# `2`C $ $ `CÐ#ß "Ñ œ $68Ð$Ñ %68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ !
Notaciones
Otras notaciones para las derivadas parciales usadas en diferentes textos son las siguientes : `0
`B B " BÐ+Ñ œ 0 Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ
16
Interpretación Geométrica de la derivada parcial de una función en dos variables
Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que existe y `0`B Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
como graficamente se tiene : `0`B B+BÄ+
0ÐBß,Ñ0Ð+ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ ßlim
Si W œ ÖÐBß ,ß DÑ − ÎD œ 0ÐBß ,Ñ× œ W ,
$‘ 1Cœ,
donde 1Cœ, œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎC œ ,ב$
17
luego, como la pendiente de la recta `D`B `B
`0Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß ,Ñ œ
tangente a la curva en , donde X W X © ©, , ,1 1 1Cœ, Cœ, , Cœ,y W
con lo cual ya queX À œ œ,B+ D-" !
C,
Ð+ß,Ñ `D`B
X À D - œ Ð+ß ,ÑÐB +Ñ • C œ ,,`D`B
es decir es la recta que pasa por el punto y cuyo vectorX Ð+ß ,ß -Ñ,
director es el vector Ð"ß !ß Ð+ß ,ÑÑ `D`B
es decir es la pendiente de la recta `0`B , Cœ,Ð+ß ,Ñ X © 1
tangente a en el punto W Ð+ß ,ß -Ñ,
Analogamente, se tendra que , si existe, es la pendiente de `0`C Ð+ß ,Ñ
la recta tangente a en el punto X © W Ð+ß ,ß -Ñ+ Bœ+ +1 por lo tanto
X À D - œ Ð+ß ,ÑÐC +Ñ • B œ +,`D`C
À œ œB+ D-! "
C,
Ð+ß,Ñ `D`C
18
Ejemplo
Sea y 0ÐBß CÑ œ $B C #C B $B &BC ") T œ Ð "ß "ß ""Ñ# $
1.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva À
en el punto 1Cœ" K<+0Ð0Ñ T
2.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva À
en el punto 1Bœ" K<+0Ð0Ñ T
Solución
1.- Se tiene que luego `0 `0`B `B
$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %
con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐB "Ñ • C œ "1 `D`B
À D "" œ %ÐB "Ñ • C œ " es decir X À œ œ œ1
B" D""" ! %
C" -
# ÐBß CÑ œ $B 'C B &B Ð "ß "Ñ œ ).- Se tiene que luego `0 `0`C `C
# #
con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐC "Ñ • B œ "`D`C1
À D "" œ )ÐC "Ñ • B œ " es decir X À œ œ œ
B" D""! " )
C"1 -
19
Ejemplo
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie por el plano siW C œ " ß
W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $BC/ &C $B )ב$ BC# #
en el punto T œ Ð #ß "ß "$Ñ
Solución
luego `D `D`B `B
BC# # BC#ÐBß CÑ œ $C/ $BC / $ Ð #ß "Ñ œ '
con lo cual X À œ œ œB# D"$" ! '
C"1 -
Observación
Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
se tendra que , el plano tangente a en W T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado por À
: 1
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ âB + C , D -
" ! Ð+ß ,Ñ
! " Ð+ß ,Ñ
œ !
`0`B`0`C
20
Ejemplo
Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie
W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $B C #C B $B &BC ")ב$ # $
en el punto T œ Ð "ß "ß ""Ñ
Solución
como ; `0 `0`B `B
$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %
`0 `0`C `C
# #ÐBß CÑ œ $B 'C B &B à Ð "ß "Ñ œ )
se tendra que
: 1
â ââ ââ ââ ââ ââ âB " C " D """ ! %! " )
œ ! Í %B )C D œ #$
Observación
Sea función y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#
ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ
tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -
Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑב$
se tendra que , la recta normal o perpendicular a en W T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado por À
R œ œ œ : B+ D-
Ð+ß,Ñ Ð+ß,Ñ
C," `0 `0
`B `C
-
Ejemplo
En el problema anterior, se tendra que
R œ œ œ : B+ D-% ) "
C, -
: B+ D-% ) "
C,œ œ œ -
21
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Supongamos que es la función producción respecto a lasD œ 0ÐBß CÑ cantidades de insumos ( .Bß CÑ
Se tiene que :
1. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`B 0 B
2. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`C 0 C
Donde , determinan la rapidez de cambio de la producción en `D `D`B `C
relación a e respectivamenteB C
Es decir , si en un cierto instante las cantidades de insumos son entonces se tiene que :ÐBß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ T ß! !
, determinan la productividad marginal respecto a e `D `D`B `CÐT Ñ ÐT Ñ B C
en el instante , es decir :T
a) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B
partir de dejando fijo en la productividad estima unB œ B C C! !
aumento aproximado de unidades `D`B ÐT Ñ
b) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B
partir de dejando fijo en la productividad estima unaB œ B C C! !
disminución aproximada de unidades ÐT Ñ `D`B
Lo anterior es análogo para funciones de Costo, Ingreso,Utilidad ,...
Observación
Es claro que la interpretación más importante de la derivada parcial es la de rapidéz de cambio, manifestada en el punto anterior para el caso particular de la interpretación económica
22
Ejemplos
1. Sea la función producción para las cantidades eD œ &BC #B $C B C# #
de insumos. Determinar en el punto T œ Ð"!!ß *!Ñ
a) La productividad marginal respecto a B Solución con lo cual ( `D `D
`B `Bœ &C %B T Ñ œ &!
es decir À
"Þ B "Si se incrementa en ,la producción aumentara aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ"!"ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!
2. Si se disminuye en ,la producción disminuyeB " aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ**ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!
b) La productividad marginal respecto a C Solución con lo cual ( `D `D
`C `Bœ &B 'C T Ñ œ %!
es decir À
"Þ B "Si se incrementa en , la producción disminuye aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß *"Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!
2. Si se disminuye en , la producción aumentaB " aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß )*Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!
23
Ejemplo Si se sabe que los costos de fabricación de una caja de lados rectangulares es por de : la base US$ 3, la tapa US$ 2 y los laterales es de US$ 1.-7#
Determine . 1.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión de la altura de la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. , altura 9 cm. 2.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión del lado menor de la base de la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. , altura 9 cm.
Solución
G œ $BC #BC $BD #CD œ &BC #BD #CD
1.- `G `G`D `Dœ #B #C à Ð"!ß 'ß *Ñ œ $#
luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ 32 Es decir , si la altura se aumenta en y los otros lados se mantienen" -7Þß
constantes ,el costo aumenta en US$ 32 y si la altura se disminuye en "-7Þß
y los otros lados se mantienen constantes , el costo disminuye en US$ 32
2.- `G `G`C `Dœ &B #D à Ð"!ß 'ß *Ñ œ ')
luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ ') Es decir , si el lado menor de la base se aumenta en y los otros lados" -7Þß
se mantienen constantes ,el costo aumenta en US$ 68 y si el lado menor de la base se disminuye en y los otros lados se mantienen constantes , el"-7Þß
costo disminuye en US$ ')
24
Ejemplo
Una Compañia usa dos tipos de plasticos para producir juguetes.ß El costo de la producción al usar toneladas del plastico uno, toneladas B C del plastico dos esta dado por :
GÐBß C Ñ œ 'B %C Þ )!!!BC
Determine : i. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico uno , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico dos ii. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico dos , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico dosSolución
i.- luego `G )!!! `G )!!! "%`B B C `B && %ÐBß C Ñ œ ' Ð#&ß % Ñ œ ' œ# %
por lo tanto la rapidez de cambio es de : "%& es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ
se tendra que el costo aumentara aproximadamente en "%&
es decir : GÐ#'ß %Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%'`G "%`B &
ii.- luego `G )!!! `G`C BC `CÐBß C Ñ œ % Ð#&ß % Ñ œ "'#
por lo tanto la rapidez de cambio es de : "'
es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ
se tendra que el costo disminuira aproximadamente en "' es decir : GÐ#&ß &Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' "'`G
`C
25
Ejemplo Encuentre la función que determina el costo de todas las cajas cuyo volumen sea de respecto a las dimensiones de la base:"'! Ò-7 Ó Bß Cß3
si se sabe que : el costo de la base y la tapa es de $ 90 el ,Ò-7 Ó#
el costo de dos caras paralelas es de $ el y el)! Ò-7 Ó#
costo de las otras dos caras paralelas es de $ el y'! Ò-7 Ó#
Determine :
i. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Blas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó
ii. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Clas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó
Solución
Se tiene que : GÐBß Cß DÑ œ ")!BC "'!BD "#!CD
y como : se tiene que es decir Z œ "'! BCD œ "'! D œ "'!BC
por lo tanto GÐBß CÑ œ ")!BC "'!B "#!C"'! "'!BC BC
œ ")!BC "'!†"'! "'!†"#!C B
œ ")!BC #&'!! "*#!!C B
i.- `G `G`B `BÐBß C Ñ œ Ð)ß % Ñ œ ")!C à ")! † % œ %#!"*#!! "*#!!
B )# #
es decir el costo aumenta con una rapidez de $ 420
ii.- `G `G`C `CÐBß C Ñ œ ÐBß C Ñ œ œ ")!B à ")! † ) "'!#&'!! #&'!!
C %# #
es decir el costo disminuye con una rapidez de $ 420
26
Teorema Sean función y 0 ß 1 À K © ïïïïïïïî + − K‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
tal que ; existen y sea constante `0 `1`B `B3 3
Ð+Ñ Ð+Ñ −- ‘
se cumple que
1.- `Ð01Ñ`B `B `B
`0 `1
3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ
2.- `Ð 0Ñ`B `B
`0-
3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ-
3.- `Ð0†1Ñ`B `B `B
`0 `1
3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ † 1Ð+Ñ 0Ð+Ñ † Ð+Ñ
4.- , si `Ð Ñ
`B Ð1Ð+ÑÑ
Ð+ц1Ð+Ñ0Ð+ц Ð+Ñ01
3
`0 `1`B `B3 3
#Ð+Ñ œ 1Ð+Ñ Á !
Definición Sea función 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
Llamaremos función derivada parcial de respecto a la variable0
a la función que denotaremos por B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×ß3`0`B
3
donde : existe función `0
`B `B`0ÐBÑ
3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘
B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3
Ejemplo Determinar si `0 `0
`B `C C "B / #B" , 0ÐBß CÑ œ $BC/# C "#
#
Solución `0
`B C "#B/ #B" #B"ÐBß CÑ œ $C/ 'BC/
C "#
#
`0`C ÐC "Ñ#B C/ ÐC "Ñ#B C/ #B"ÐBß CÑ œ $B/
# C " # # C "# #
# #
œ $B/#B C /ÐC "Ñ
#B"# $ C "#
# #
El dominio de ellas es : ‘#
27
Ejemplo
Dada la función definida en : ‘# 1ÐBß CÑ œ CB #B %C $BC C "¸ ¸Determinar la funcion : `1`C
Solución Si consideramos que
1ÐBß CÑ œ CBÐ#B %CÑ $BC C " à B Ÿ #C
CBÐ#B %CÑ $BC C " à B � #C
ÚÛÜ
œ #B C %BC $BC C " à B Ÿ #C
#CB %BC $BC C " à B � #C
ÚÛÜ
# #
# #
casoI si B Á #C
`1`C
#
#
œ #B )BC $B " à B Ÿ #C
# B )BC $B " à B � #C
ÚÛÜ
casoII si B œ #C
por lateral`1`C C+CÄ+
1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑÐ#+ß +Ñ œ lim
limCÄ+
1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑC+
# #Ð#+ß+Ñ
œ Ð# B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸
limCÄ+
1ÐB ßCÑ1ÐBß#ÑC#
# #Ð#+ß+Ñ
œ Ð #B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸
luego ,se debe cumplir que : es decir : )+ '+ " œ )+ '+ " + œ !# #
luego con lo cual :`1`C Ð!ß !Ñ œ "
`1`C
#
#
œ
#B )BC $B " à B #C
" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
# B )BC $B " à B #C
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
28
Ejemplo Determinar ,dada
2ÐBß CÑ œ #BC $B % ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
" ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"Ñ ÐC"Ñ
ÐB"Ñ ÐC"Ñ
#
# #
.- i , ii.- `2 `2`B `C
Solución
i.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
`2`B ÐBß CÑ œ
# ÐB"ÑÐC"ÑÒ ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# # #
# # # #C $
œ #ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$
# # # #C $
caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
`2`B Ð "ß "Ñ œ &œ œ œlim lim lim
BÄ" BÄ" BÄ"
2ÐBß"Ñ2Ð"ß"Ñ &ÐB"ÑB" B" B"
&B%"
por lo tanto :
`2`B ÐBß CÑ œ
#C $ ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜ# ÐB"ÑÐC"Ñ
ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$
# # #
ii.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
`2`C ÐBß CÑ œ
ÐB"Ñ ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# # # #
# # # #B
œ ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
% # #
# # # #B
caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
`2`C Ð "ß "Ñ œ #œ œ œlim lim lim
CÄ" CÄ" CÄ"
2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ #ÐC"ÑC" C" C"
#C""
por lo tanto :
`2`C ÐBß CÑ œ
#B ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ
# ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ
ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
% # #
# # #
29
Ejemplo Determinar, dada
0ÐBß CÑ œ CB C $B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
" ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"ÑÐC"Ñ
ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
# #
.- i , ii.- `0 `0`B `C
Solución
i.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
`0`B ÐBß CÑ œ
ÐC"Ñ Ò ÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó ÐB"ÑÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# #
# # # C 'B
œ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # # C 'B
caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
`0`B Ð"ß "Ñ œ œlim lim
BÄ" BÄ"
0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑB" B"
B"$B "#
œ œlim limBÄ" BÄ"
$B B#B" B"
ÐB"ÑÐ$B#Ñ#
œ &
por lo tanto :
`0`B ÐBß CÑ œ
C 'B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
& ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # #
ii.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
`0`C ÐBß CÑ œ
ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"ÑÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
# #
# # # B #C
œ ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # # B #C
caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
`0`C Ð"ß "Ñ œ œlim lim
CÄ" CÄ"
0Ð"ßCÑ0Ð"ß"ÑC" C"
CC $"#
œ œlim limCÄ" CÄ"
C C#C" C"
ÐC"ÑÐC#Ñ#
œ $
por lo tanto :
`0`C ÐBß CÑ œ
B #C ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ
$ ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ
ÚÝÛÝÜÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"Ñ
ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó
$ #
# # #
30
Ejemplo Determinar dada 0ÐBß CÑ œ B C # #BC BC $¸ ¸ #
i) , ii) `0 `0`B `C
Solución
i) `0`B
#ÐBß CÑ œ C # #C C¸ ¸ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
0ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ #BC BC $ à C Ÿ #
BÐC #Ñ #BC BC $ à C � #
ÚÛÜ
#
#
en donde :œ #B #BC $ à C Ÿ #
#BC #BC #B $ à C � #
ÚÛÜ
#
#
caso I si C Á #
`0`C ÐBß CÑ œ
%BC à C #
#B %BC à C #
ÚÛÜ
caso II si C œ #
por laterales`0`C 22Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#ÑÐBß #Ñ œ lim
lim2Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ
œ Ð %BCÑ œ )B¸ lim
2Ä!
0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ
œ Ð#B %BCÑ œ 'B¸por lo tanto : existe ssi es decir : `0
`C ÐBß #Ñ )B œ 'B B œ !
con lo cual :
`0`C ÐBß CÑ œ
%BC à C #! à ÐBß CÑ œ Ð!ß #Ñ
#B %BC à C #
ÚÛÜ
31
Ejemplo
Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C
Solución
En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐC BÑ C B C à C Ÿ B
ÐB CÑÐC BÑ C B C à C � B
ÚÛÜ
#
#
œB C C B C à C Ÿ B
B C C B C à C � B
ÚÛÜ
# # #
# # #
en donde :
caso I si C Á B
`1`B
#
#
ÐBß CÑ œ#B C à C B
#B C à C B
ÚÛÜ
`1`C ÐBß CÑ œ
#C #BC " à C B
#C #BC " à C B
ÚÛÜ
caso II si C œ B
por laterales`1`B 22Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2
# #ÐBßBÑ
œ Ð #B C Ñ œ #B B¸ lim
2Ä!
1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2
# #ÐBßBÑ
œ Ð #B C Ñ œ #B B¸por lo tanto : existe ssi `1
`B# #ÐBß BÑ #B B œ #B B
ssi es decir : #B œ #B B œ !
32
con lo cual :
`1`B
#
#
ÐBß CÑ œ#B C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#B C à C B
ÚÛÜ
caso III si C œ B
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #C #BC "Ѹ œ #B # B "#
lim2Ä!
1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
#
œ Ð#C #BC "Ñ œ #B # B "¸por lo tanto : existe`1
`C ÐBß BÑ
ssi #B # B " œ #B # B "# #
ssi es decir : #B œ #B B œ !
con lo cual :
`1`C ÐBß CÑ œ
#C #BC " à C B" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#C #BC " à C B
ÚÛÜ
33
Ejemplo
Determinar, dada 2ÐBß CÑ œ à#C $BC " à B C Á !
BC C #B " à B C œ !
ÚÛÜ
#
i) , ii) `2 `2`B `C
Solución
i.- caso I si B C Á !
`2`BÐBß CÑ œ $C
caso II si B C œ !
`2`B ÐBß BÑ œ lim
5Ä!
2ÐB5ßBÑ2ÐBßBÑ5
œ lim5Ä! 5
#B $ÐB5ÑB"ÐB B#B"Ñ# #
œ œlim5Ä!
$B5$B5 ! B œ !ssi
por lo tanto :
`2`B ÐBß CÑ œ
àÚÛÜ
$C B C Á !
! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
ii.- caso I si B C Á !
`2`C ÐBß CÑ œ %C $B
caso II si B C œ !
`2`C ÐBß BÑ œ lim
5Ä!
2ÐB ßB5Ñ2ÐBßBÑ5
œ lim5Ä! 5
Ð#ÐB5Ñ $BÐB5Ñ"ÑÐB $B"Ñ# #
œ œ ==3 B $B œ !lim5Ä! 5
'B (B5#5 $B ## # (B '
==3 B œ ! ” B œ "#
por lo tanto :
`2`C ÐBß CÑ œ
%C à! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ
ÚÛÜ
$B B C Á !
( " "# # #
34
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ 68 ÐB C "Ñ =/8ÐC BÑ C$ # # #
, `0 `0`B `C
Solución `0
`B B C "'BC 68 ÐB C "Ñ # #œ C -9=ÐC BÑ
# # # #
# #
`0`C B C "
'CB 68 ÐB C "Ñ #œ #BC-9=ÐC BÑ "# # # #
# #
Ejemplo
Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ CE<->1Ð#B $CÑ >1ÐBC Ñ#
, `1 `1`B `C
Solución
`1 #C`B "Ð#B$CÑ
# # #œ C =/- ÐBC Ñ#
`1 $C`C "Ð#B$CÑ
# #œ E<->1Ð#B $CÑ #BC=/- ÐBC Ñ#
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ C † B C " $B C# #% #È% , `1 `1
`B `C
Solución
`0 C B`B ÐB C "Ñ
œ 'B# $
% % # $È `0 C
`C% #
# ÐB C "Ñœ #C † B C " "È% $
% % # $È
35
Ejemplo
Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ B † C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C
Solución
En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ BÐC BÑ C BC à C Ÿ B
BÐC BÑ C BC à C � B
ÚÛÜ
#
#
œB C à C Ÿ B
B C #B C à C � B
ÚÛÜ
# #
# #
en donde :
caso I si C Á B
`1`B ÐBß CÑ œ
#B à C B
#B #C à C B
ÚÛÜ
`1`C ÐBß CÑ œ
#C à C B
#C #B à C B
ÚÛÜ
caso II si C œ B
por laterales`1`B 22Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #B #CÑ œ !¸ lim
2Ä!
1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #B Ñ œ #B¸por lo tanto : existe ssi es decir : `1
`B ÐBß BÑ ! œ #B B œ !
36
con lo cual :
`1`B ÐBß CÑ œ
#B à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#B #C à C B
ÚÛÜ
caso III si C œ B
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #CÑ œ #B¸ lim
2Ä!
1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ
œ Ð #C #BÑ œ !¸por lo tanto : existe ssi es decir : `1
`C ÐBß BÑ #B œ ! B œ !
con lo cual :
`1`C ÐBß CÑ œ
#C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
#C #B à C B
ÚÛÜ
Ejemplo Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C C BC¸ ¸ # `1 `1
`B `C
Solución
i) `1`BÐBß CÑ œ C C¸ ¸
ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:
1ÐBß CÑ œ ÐB CÑC C BC à C Ÿ !
ÐB CÑC C BC à C � !
ÚÛÜ
#
#
œ#C à C Ÿ !
#BC à C � !
ÚÛÜ
#
37
en donde :
caso I si C Á !
`1`C ÐBß CÑ œ
%C à C !
#B à C !
ÚÛÜ
caso II si C œ !
por laterales`1`C 22Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!ÑÐBß !Ñ œ lim
lim2Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ
œ Ð%CÑ œ !¸ lim
2Ä!
1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ
œ Ð#B Ñ œ #B¸por lo tanto : existe ssi es decir : `1
`C ÐBß !Ñ ! œ #B B œ !
con lo cual :
`0`C ÐBß CÑ œ
%C à C !! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ#B à C !
ÚÛÜ
38
Definición Sea función 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8
ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ
sea : existe `0`B `B
`0ÐBÑ
3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘
B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3
la función derivada parcial de respecto a la variable con 0 B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×3
diremos que es derivable parcialmente respecto a la variable `0`B3
con en B ß 4 − Ö"ß ÞÞß 8× + œ Ð+ ß + ß ÞÞÞ+ Ñ4 " # 8
ssi existe limB Ä+
Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ Ð+Ñ
B +4 4
" # 4" 4 4"ß 8
4 4
`0 `0`B `B3 3
y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable `0`B3
en es , dondeB + Ð+Ñ œ Ð+Ñ4`
`B `B `B` 0 ( )
`0`B3
4 4 3
#
` 0`B `B
#
4 3
`0 `0`B `B3 3Ð+Ñ œ lim
B Ä+
Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ Ð+Ñ
B +4 4
" # 4" 4 4"ß 8
4 4
Observación
1.- si 3 œ 4 Ð+Ñ œ Ð+Ñ ` 0 ` 0`B `B `B
# #
3 3#3
2.- si es llamada derivada parcial mixta de segundo 3 Á 4 Ð+Ñ ` 0`B `B
#
4 3
orden respecto a las variables en B ßB +3 4
3.- no necesariamente ` 0 ` 0`B `B `B `B
# #
4 3 3 4Ð+Ñ œ Ð+Ñ
39
Ejemplo Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %
B "# ##
#
Determinar : .- " Ð"ß #Ñ` 0
`C`B
#
2.- La ecuaciòn del plano tangente a la superficie D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ
3.- La ecuaciòn de la recta normal a la superficie D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ
Solución 1.- `0 `0
`B ÐB "Ñ `BC ÐB "Ñ#BÐBC %Ñ #
œ "!BC $C à Ð"ß #Ñ œ "!# # #
# #
` 0 ` 0`C`B ÐB "Ñ `C`B
#CÐB "Ñ%B C# ## #
# #œ "!B 'C à Ð"ß #Ñ œ #
2.- : 1 D # œ "!ÐB "Ñ #ÐC #Ñ
3.- R À œ œ œB" D#"! # "
C# -
Ejemplo
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $BC C $# BC " $#
, `0 `0 ` 0`B `C `B`CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ
#
Solución
`0 `0`B `B
BC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / $C à Ð"ß "Ñ œ *# #
`0 `0`C `C
$ BC " #ÐBß CÑ œ %B C/ $B $C à Ð"ß "Ñ œ %#
` 0`B`C `B
`Ð Ñ # BC " % # BC "#`0`C # #
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ "#B C/ )B C / $
` 0`B`C
#
Ð"ß "Ñ œ (
Ejemplo
40
Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $C/# C" B#
, `0 `0 ` 0`B `C `C`BÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ
#
Solución
`0 `0`B `B
C" B#ÐBß CÑ œ %B/ $C/ à Ð#ß "Ñ œ &
`0 `0`C `C
# C" B#ÐBß CÑ œ #B / $/ à Ð#ß "Ñ œ &
` 0 ` 0`C`B `C `C`B
`Ð Ñ C" B## #`0`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ %B/ $/ à Ð#ß "Ñ œ &
Ejemplo
Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ $BC#BC%B C# #
, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ
#
#
Solución
`1 #CB #C %B`B ÐB C Ñ ÐB C Ñ
#CÐB C ÑÐ#BC%Ñ#BÐBß CÑ œ $C œ $C# #
# # # # # #
# $
`1`C ÐB C Ñ#B ÐB C ÑÐ#BC%Ñ#CÐBß CÑ œ $B
# #
# # #
` 1`B `B
`Ð Ñ#
#
`1`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
œ Ð%CB %ÑÐB C Ñ Ð#CB #C %BÑ#ÐB C Ñ#BÐB C Ñ
# # # # $ # #
# # %
œ Ð%CB %ÑÐB C ÑÐ#CB #C %BÑ%BÐB C Ñ
# # # $
# # $
con lo cual
, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ œ # Ð "ß "Ñ œ & ß Ð "ß "Ñ œ #
#
#