MATEMÁTICA
MÓDULO 9 FÓRMULAS DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, ARCO DOBRO, TRIPLO, METADE E PROSTAFÉRESE
Professor Renato Madeira
1. FÓRMULAS DE ARCO SOMA E DIFERENÇA
sen sen cos sen cos
sen sen cos sen cos
cos cos cos sen sen
cos cos cos sen sen
tg tg
tg1 tg tg
tg tgtg
1 tg tg
Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 15°.
sen15 sen 45 30 sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2 6 2
2 2 2 2 4
cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sen30 sen45
2 3 1 2 6 2
2 2 2 2 4
2
tg45 tg30 1 3 3tg15 tg 45 30
1 tg45 tg30 1 1 3 3
3 3 3 3 12 6 32 3
9 3 63 3
OBSERVAÇÃO: A expressão y = asenx + bcosx, onde a2 + b2 ≠ 0, tem valor mínimo
e valor máximo . 2 2a b 2 2a b
2 2
2 2 2 2
a by asenx bcosx a b senx cosx
a b a b
2 2
acos
a b
2 2
bsen
a b
2 2
2 2
y asenx bcosx a b cos senx sen cosx
a b sen x
2. FÓRMULAS DE ARCO DOBRO E TRIPLO
sen2 2sen cos 2 2
2
2
cos2 cos sen
2cos 1
1 2sen
2
2tgtg2
1 tg
3sen3 3sen 4sen
3cos3 4cos 3cos
3
2
3tg tgtg3
1 3tg
3. FÓRMULAS DE ARCO METADE
1 cossen
2 2
1 coscos
2 2
1 costg
2 1 cos
Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de /8.
4 1 cos 4 1 2 2 2 2sen sen
8 2 2 2 2
4 1 cos 4 1 2 2 2 2cos cos
8 2 2 2 2
4 1 cos 4 1 2 2tg tg
8 2 1 cos 4 1 2 2
2 2 2 2 2 22 1
4 22 2 2 2
4. FÓRMULAS DE DUPLICAÇÃO USANDO TANGENTE
Exemplo: Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se senx = 3cosx, então calcule sen(2x).
2 2
2tgx 2 3 3senx 3cosx tgx 3 sen2x
51 tg x 1 3
2
x2tg
2senxx
1 tg2
2
2
x1 tg
2cosxx
1 tg2
x senxtg
2 1 cosx
5. FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE OU DE WERNER:
p q p qsenp senq 2sen cos
2 2
p q p qsenp senq 2sen cos
2 2
p q p qcosp cosq 2cos cos
2 2
p q p qcosp cosq 2sen sen
2 2
sen p qtgp tgq
cosp cosq
sen p qtgp tgq
cosp cosq
1
senp senq cos p q cos p q2
1
cosp cosq cos p q cos p q2
1
senp cosq sen p q sen p q2
5. FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE OU DE WERNER (CONT):
Exemplo: Encontre o valor de y sen70 cos50 sen260 cos280 .
y sen70 cos50 sen260 cos280
1 2 sen 70 50 sen 70 50
1 2 sen 260 280 sen 260 280
1 1sen120 sen20 sen540 sen 20
2 2
1 1sen60 sen20 sen 3 180 sen20
2 2
1 3 3sen20 0 sen20
2 2 4
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