MATEMÁTICA

MÓDULO 9 FÓRMULAS DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, ARCO DOBRO, TRIPLO, METADE E PROSTAFÉRESE

Professor Renato Madeira

1. FÓRMULAS DE ARCO SOMA E DIFERENÇA

sen sen cos sen cos

sen sen cos sen cos

cos cos cos sen sen

cos cos cos sen sen

tg tg

tg1 tg tg

tg tgtg

1 tg tg

Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 15°.

sen15 sen 45 30 sen45 cos30 sen30 cos45

2 3 1 2 6 2

2 2 2 2 4

cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sen30 sen45

2 3 1 2 6 2

2 2 2 2 4

2

tg45 tg30 1 3 3tg15 tg 45 30

1 tg45 tg30 1 1 3 3

3 3 3 3 12 6 32 3

9 3 63 3

OBSERVAÇÃO: A expressão y = asenx + bcosx, onde a2 + b2 ≠ 0, tem valor mínimo

e valor máximo . 2 2a b 2 2a b

2 2

2 2 2 2

a by asenx bcosx a b senx cosx

a b a b

2 2

acos

a b

2 2

bsen

a b

2 2

2 2

y asenx bcosx a b cos senx sen cosx

a b sen x

2. FÓRMULAS DE ARCO DOBRO E TRIPLO

sen2 2sen cos 2 2

2

2

cos2 cos sen

2cos 1

1 2sen

2

2tgtg2

1 tg

3sen3 3sen 4sen

3cos3 4cos 3cos

3

2

3tg tgtg3

1 3tg

3. FÓRMULAS DE ARCO METADE

1 cossen

2 2

1 coscos

2 2

1 costg

2 1 cos

Exemplo: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de /8.

4 1 cos 4 1 2 2 2 2sen sen

8 2 2 2 2

4 1 cos 4 1 2 2 2 2cos cos

8 2 2 2 2

4 1 cos 4 1 2 2tg tg

8 2 1 cos 4 1 2 2

2 2 2 2 2 22 1

4 22 2 2 2

4. FÓRMULAS DE DUPLICAÇÃO USANDO TANGENTE

Exemplo: Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se senx = 3cosx, então calcule sen(2x).

2 2

2tgx 2 3 3senx 3cosx tgx 3 sen2x

51 tg x 1 3

2

x2tg

2senxx

1 tg2

2

2

x1 tg

2cosxx

1 tg2

x senxtg

2 1 cosx

5. FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE OU DE WERNER:

p q p qsenp senq 2sen cos

2 2

p q p qsenp senq 2sen cos

2 2

p q p qcosp cosq 2cos cos

2 2

p q p qcosp cosq 2sen sen

2 2

sen p qtgp tgq

cosp cosq

sen p qtgp tgq

cosp cosq

1

senp senq cos p q cos p q2

1

cosp cosq cos p q cos p q2

1

senp cosq sen p q sen p q2

5. FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE OU DE WERNER (CONT):

Exemplo: Encontre o valor de y sen70 cos50 sen260 cos280 .

y sen70 cos50 sen260 cos280

1 2 sen 70 50 sen 70 50

1 2 sen 260 280 sen 260 280

1 1sen120 sen20 sen540 sen 20

2 2

1 1sen60 sen20 sen 3 180 sen20

2 2

1 3 3sen20 0 sen20

2 2 4