2023年4月19日 星期三理论力学CAI 分析力学基础
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虚位移原理虚位移原理
• 前言前言
• 虚位移虚位移
• 虚位移原理及其应用 虚位移原理及其应用
• 广义力 质点系平衡条件 广义力 质点系平衡条件
分析动力学基础 /虚位移原理
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前言
• 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理• 从力的功出发直接建立起系统处于平衡时
主动力间的关系– 矢量力学:主动力与约束力间的关系
• 虚位移原理与达朗贝尔原理一起构成了分析动力学的基础
分析动力学基础 /虚位移原理 /前言
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虚位移
• 质点系运动学关系的描述
• 实位移与虚位移
• 独立(广义)坐标虚位移
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
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质点系运动学关系的描述• 笛卡儿坐标
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
质点系 ),,,( 21 nPPP
质点 Pk 笛卡儿坐标
质点 Pk 的矢径 ),,2,1( nk
kr
rk k k kx y z T
q r r r 1 2T T T T
n
惯性基 eO
质点系笛卡儿坐标阵 13 nR
• 自由质点系
外力 运动 q(t)动力学方程处理动力学问题一般方法
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分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
质点系 ),,,( 21 nPPP
q r r r 1 2T T T T
n
质点系笛卡儿坐标阵
1 sR
• 非自由质点系
外力 运动 q(t)
不独立
0),( tqΦ约束方程
1 2 s
T
动力学方程约束方程
处理动力学问题一般方法
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分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
质点系 ),,,( 21 nPPP
q r r r 1 2T T T T
n
质点系笛卡儿坐标阵
1 sR
• 非自由质点系的独立坐标
不独立
0),( tqΦ约束方程
1 2 s
T
自由度 sn 3 TTT wuq
1 sRu
1 Rw 独立坐标 广义坐标非独立坐标
外力 运动 w(t)
动力学方程
处理动力学问题独立坐标方法
约束方程 运动 u(t)
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分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
质点系 ),,,( 21 nPPP
q r r r 1 2T T T T
n
质点系笛卡儿坐标阵
• 非自由质点系约束方程的另一形式
不独立
自由度 sn 3
t,wqq
1 Rw另外定义独立(广义)坐标
约束方程 13 nR
外力 运动 w(t)
动力学方程
处理动力学问题独立坐标方法
约束方程 运动 q(t)
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 例
[ 例 ]
EXIT
质量为 m ,摆长为 l 的单摆
试描述摆的运动
O
A
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解
[ 解 ]
EXIT
惯性基 e
O
O
A
x
y
方法 1 笛卡儿坐标
x y l2 2 2 0
Tyxq
约束方程
动力学方程
gm
TF
lxFFxm /sin TT lyFmgFmgym /cos TT
方法 2 自由度 1 另外定义独立(广义)坐标
约束方程 sinlx cosly
动力学方程 sin2 mglml 0),( tqΦ
t,wqq
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实位移与虚位移• 真实运动
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
外力 真实运动 q(t)动力学方程约束方程
实位移 TTT2
T1 dddd nrrrq
可能运动 q*(t)约束方程
可能位移 TT*T*2
T*1
* dddd nrrrq
• 可能运动
0),( tqΦ0 tt dd ΦqΦq
可能位移满足的方程
唯一性(初始条件)
无穷多可能
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• 虚位移 分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
可能位移 TT*T*2
T*1
* dddd nrrrq
0),( tqΦ
0 tt dd *1 ΦqΦq
虚位移满足的方程
*1dq
0 tt dd *2 ΦqΦq
*2dq
*1
*2 dd qqq 虚位移
0qΦq δ
虚位移理解为约束方程的等时变分 定常约束:虚位移即为可能位移,实位移为无数虚位移之一
非定常约束:虚位移一般不是可能位移
无穷多可能
tt ddd ΦqΦΦ q 微分
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独立坐标虚位移• 描述 1
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
自由度 sn 3 TTT wuq 1 sRu1 Rw 独立(广义)坐标
wΦΦu δδ 1wu
0 tt dd ΦqΦq
1 sR0),( tqΦ约束方程
q r r r 1 2T T T T
n13 nR
非独立坐标
0qΦq δ 0
w
uΦΦ wu δ
δ
非独立坐标与独立坐标虚位移间关系
约束方程微分
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• 描述 2
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移
t,wqq
另外定义独立(广义)坐标
约束方程 13 nR
tt ddd qwqq w
wqq w δδ
1 Rw
snR 3wq
约束方程微分
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 例
[ 例 ]
EXIT
质量为 m ,摆长为 l 的单摆
求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系
O
A
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解
[ 解 ]
EXIT
惯性基 e
O
O
y A
x
方法 1 笛卡儿坐标
x y l2 2 2 0
Tyxq
约束方程
方法 2 自由度 1 另外定义独立(广义)坐标
约束方程 sinlx cosly
Tδδδ yxq笛卡儿坐标虚位移
等时变分 0δ2δ2δ yyxx定义独立(广义)坐标 yw xu 非独立坐标
q
x
y
y xy
1
等时变分 δcosδ lx
δsin
cos
δ
δδ
l
l
y
xq
δsinδ ly
笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系
笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 例
[ 例 ]
r
曲柄滑块机构,曲柄长 r ,连杆长 l
该机构只有一个独立变量令曲柄的转角为广义坐标
l
求点 A 与 B 的虚位移与广义坐标虚位移的关系
A
B
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解
[ 解 ] 参考基:
Ox
y
e
O
方法 1 (坐标法)写出点 A 的坐标与广义坐标的关系 cosrxA sinryA
sinrxA
等时变分
cosryA
写出点 B 的坐标与广义坐标的关系 coscos lrxB 0By
δsinδsinδ lrxB
等时变分
0δ By
0sinsin lr附加几何关系
等时变分
δ)cos/cos(δ lr
δcos/)sin(δ rxB
A
B
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解参考基:
Ox
y
e
O
方法 2 (速度法)写出点 A 的速度与广义速度的关系
dsind rxA
dcosd ryA
方向设定
A
B
Av
rvA Av
sinAAxA vvx
sin rxA
cosAAyA vvy
cos ryA sinrxA
cosryA
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解参考基:
Ox
y
e
O
写出点 B 的速度与广义速度的关系
A
B
Av
Bv
cos)2
cos( BA vv
连杆的长度不可改变,点A 与点 B 的速度矢量在杆上的投影相等
cos)sin( BA vv
cos/)sin( AvBBxB vvx cos/)sin( rxB
yB 0
0d By
dcos/)sin(d rxB
0δ By
δcos/)sin(δ rxB
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虚位移原理与应用• 原理描述
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用
具有双面理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件为:系统内所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零,即
01
a
n
kkk rFW
元功W 称为虚功,故虚位移原理也称为虚功原理
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• 应用
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用
讨论质点系平衡
优点:直接给出了主动力之间的关系而无需顾及理想约束力
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 例
[ 例 ]
r
曲柄滑块机构。在图示位置,系统受到力偶、铅垂力与水平力,该机构处于平衡
l
求这些主动力 ( 偶 ) 之间的关系
A
B
AF
BF
M
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 解
[ 解 ] 参考基: e
O
以系统为对象
虚功原理
0δ By δcos/)sin(δ rxB
0δδδ BBAA xFyFM
r
l
A
B
AF
BF
M
Ox
y
sinrxA
cosryA
0δcos/)sin(cos rFrFM BA
独立坐标的变分 δ
0cos/)sin(cos rFrFM BA
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 例
[ 例 ]
图示机构是由 8 根连杆铰接成 3个相同的菱形。菱形的边长为 b,铰 O 固定,铰 A 、 B 与 C 限定在铅垂线上运动。不计各杆的重量
求机构在如图所示位置处于平衡时,力 FA 与 FC 的比
AF
BB
C
A
O
CF
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x
y
分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 解
[ 解 ]
AF
BB
C
A
O
CF
参考基: e
O一个自由度 定义角为广义坐标
虚功原理 F y F yA A C C 0
sin2byA cos2byA
0)cos6cos2( bFbF CA
1:3: CA FF
点 A 与 C 的坐标与广义坐标虚位移的关系
sin6byC cos6byC
独立坐标的变分 δ0cos6cos2 bFbF CA
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• 应用:平衡态理想约束力的计算 分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用
将待求约束力相关的约束解除,把该约束力作为主动力处理,从而可得到它与主动力的关系
O
O
O每次解除一个自由度
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[ 例 ]分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /例
图示一三孔拱桥,不计桥自重,桥上有两集中载荷
B
K
A C
E
D
IG J
GF
KF
b
b2b2b
b
b
求支座 C 的理想约束力
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[ 解 ]分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解
BA C D
GF
CyF
x
y
E
解除约束 C,加上约束反力FCy
系统有一个自由度
广义坐标
F y F y F xCy C G G K K 0虚功原理
参考基: e
E
KF
G
K
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分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解
BA C D
GF
KF
O
CyF
Gv
Jv
Iv
Bv
Cv
x
y
E
F y F y F xCy C G G K K 0参考基: e
E
点 G 、 K 与 C 的坐标与广义坐标 虚位移的关系(速度法)
IG J1B
瞬心 O1B
Iv方向
Bv
Gv
2B 3B
3B Jv方向
2B瞬时平动
Cv方向
Kv
bxv kK 2bvvv JIC
2bvv IG bvy CC )4/cos(
bvy GG )4/cos(
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分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解
BA CBv
D
Iv
Gv
Jv
GF
KF
O
CyF
Cv
x
y
E
F y F y F xCy C G G K K 0参考基: e
E
IG J1B2B 3B Kv
bxv kK bvy CC )4/cos(
bvy GG )4/cos(
bxK
byC
byG
0)( KGCy FFF 0 KGCy FFF
)( KGCy FFF
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小结• 写出主动力的虚功的表达式
• 通过运动学的关系作等时变分,得到各点的虚位移与独立坐标变分的关系式– 坐标法– 速度法
• 代入虚功的表达式,得到只含独立坐标变分的等式
• 得到了主动力的关系
分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用
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广义力 质点系平衡条件
• 广义力
• 质点系平衡条件
• 计算广义力的方法
• 势力场中质点系平衡条件与稳定性
分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
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广义力分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
质点系 ),,,( 21 nPPP
q r r r 1 2T T T T
n
质点系笛卡儿坐标阵
不独立
自由度 sn 3
t,wqq
1 Rw定义独立(广义)坐标
约束方程
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
r r wk k t ( , )
T21 www w
nk ,,1
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分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
q r r r 1 2T T T T
n
广义坐标
约束方程
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
r r wk k t ( , )
1
δδj
jj
kk w
w
rr
n
kkk
n
kkk rFW
1
aT
1
a rF
T21 www w
n
k j
kkj w
Q1
aT
r
F
W Q wjj
j1
,,1j
nk ,,1
n
k jj
j
kk w
w1 1
aT
r
F
jj
n
k j
kk w
w
1 1
aT rF
笛卡儿坐标阵
等时变分
akF
主动力的虚功
令
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分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
q r r r 1 2T T T T
n
广义坐标
约束方程
z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
r r wk k t ( , )
T21 www w
n
k j
kkj w
Q1
aT
r
F
W Q wjj
j1
,,1j
nk ,,1
笛卡儿坐标阵
akF
主动力的虚功
作用于系统所有主动力关于广义坐标 wj 的广义力
广义力的量纲取决于广义坐标的量纲当 wj 为长度时, Qj 为力量纲当 wj 为角度时, Qj 为力偶量纲
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 例
[ 例 ]
x
y
AF
BB
C
A
O
CF
)cos6cos2(δ bFbFW CA
Q
r
l
A
B
AF
BF
M
Ox
y
δcos/)sin(cosδ rFrFMW BA
Q
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质点系平衡条件
分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
虚位移原理
W Q wjj
j 1
0
0jQ ,,1j
具有双面理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件为所有关于广义坐标的广义力均为零
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 例
[ 例 ]
x
y
AF
BB
C
A
O
CF
)cos6cos2(δ bFbFW CA
0Q
r
l
A
B
AF
BF
M
Ox
y
δcos/)sin(cosδ rFrFMW BA
0Q
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计算广义力的方法• 方法 1
– 列出所有主动力的虚功– 根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关系– 进行广义坐标虚位移的同类项合并,即得到关于各广
义坐标的广义力
• 方法 2
– 取某广义坐标的变分 wj ,令其他广义坐标的变分为零
– 计算由于该变分引起的各主动力所作的元虚功Wj
分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件
j
jj w
WQ
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 例
[ 例 ]
EXIT
图示一双摆,摆长分别为 l1 与 l2 ,质量分别为 m1 与 m2
在摆端 B 上受到一水平力
求系统平衡时,双摆的位形
O
A
B
F
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 解
[ 解 ]
EXIT
质心 C1 坐标
主动力的虚功
O
A
B
F
x
y
1
2
gm
2
gm
1
2C
1C
W m g y m g y F xB1 2
参考基: e
O
T11 yxr 1r
Br
2r T22 yxr
TBBΒ yxr
系统有两个自由度
取广义坐标1 2
质心 C2 坐标点 B 坐标
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 解
EXIT
求广义力 O
A
B
x
y
1
22C
1C
参考基: e
O令
1Q
0δ 1 0δ 2
1δ r
2δ r
Brδ
Arδ
AB rrrδδδ 2
主动力的虚功
1δ
111112111 cossinsin
21
Flglm
glmW
11112111 cossinsin
21 Flglm
glmQ
11
1 2
lr
112 lrrr AB
111
1 sin2
l
y
111 cos lxB
1112 sin ly
W m g y m g y F xB1 2
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 解
EXIT
求广义力 O
A
B
x
y
1
22C
1C
参考基: e
O令
2Q
0δ 1 0δ 2
1δ r
2δ r
Brδ
Arδ
主动力的虚功2δ
222222 cossin
22
Fl
glmW
22222 cossin
22 Fl
glmQ
01 r 22 lrB22
2 2
lr
01 y
222 cos lxB
221
2 sin2
l
y
W m g y m g y F xB1 2
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 解
EXIT
平衡条件
22222 cossin
22 Fl
glmQ
O
A
B
F
x
y
1
2
gm
2
gm
1
2C
1C1r
Br
2r
11112111 cossinsin
21 Flglm
glmQ
01Q 0
2Q
0cossinsin2 111121
11 Flglmglm
0cossin2 222
22 Flglm
gmgm
F
211 2
2arctan
gm
F
22
2arctan
平衡位形
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势力场中质点系平衡条件与稳定性
• 势力场质点系平衡条件
• 平衡稳定性
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
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势力场质点系平衡条件• 广义力
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
TT
Ta )(
k
k
k
k
k
k
k
kkk z
U
y
U
x
UUU
k
rF r
n
k j
k
k
kj w
UQ
1
r
r
)( kkk UU r
z
y
x
O
kr
kPnP
iP
1P
akF
质点系 ),,,( 21 nPPP
有势力
势函数
akF
主动力
n
k j
kkj w
Q1
aT
r
F
nk ,,1
,,1j
n
k j
k
w
U
1
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分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
n
k j
kj w
UQ
1
U Ukk
n
( ) ( )q q1
jj w
UQ
)(qkk UU )( kkk UU r z
y
xO
kr
kPnP
iP
1P
akF
质点系 ),,,( 21 nPPP 势函数
n
kk
j
Uw 1
jj w
VQ
或
q r r r 1 2T T T T
n
)()( qq VU
,,1j
广义力
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• 平衡条件
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
0jw
V
在势力场中,质点系在平衡位形处的势能取极值
0jw
U
0jQ ,,1j
,,1j或
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平衡稳定性• 定义
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
当质点系在某平衡位形处受到微小扰动时,其位形只在平衡位置附近运动而不产生明显的偏离,则称为该平衡位形是稳定的,否则称为不稳定
在实际问题中只有稳定的平衡位形才可能存在
稳定不稳定
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• 拉格朗日 - 狄利克雷 (P. G. L. Dirichlet) 定理
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
若质点系在平衡位形上的势能具有极小值,则该平衡位形是稳定的
• 李亚普诺夫 (A. M. Lyapunov) 定理若质点系在平衡位形上的势能取极大,则平衡位置不稳定
稳定不稳定
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• 多元函数极值判断的一些结论
分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
单自由度系统
0*
www
V
)(wVV *ww平衡位形
若势能 V(w) 的不等于零的最低阶导数是偶数阶
平衡位位形 w=w* 为稳定V(w*) 取极小在 w=w* 为正
在 w=w* 为负 V(w*) 取极大
平衡位位形 w=w* 为不稳定
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分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性
两自由度系统
0*1
ww
w
V
)( 21 wwVV ,
T*2
*1
* wwww平衡位形
平衡位位形 w=w* 为稳定
V(w*) 取极小
如果
0*2
ww
w
V
0*
21
2
ww
w
V
0*
22
2
ww
w
V
0*21
2
22
2
21
2
wwww
V
w
V
w
V
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 例
[ 例 ]
EXIT
一质量为 m 的小球 A套在一半径为 r的圆环上,圆环平面在铅垂平面内。小球可在环上滑动,不计摩擦小球通过一线弹簧与环上的 B 相连。弹簧刚度为 k ( 令 kr > mg) ,原长为 l0
求小球的平衡位置,且讨论其稳定性
A
B
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解
[ 解 ]
EXIT
0cossin)(4d
d
bmgkrr
V
20
2 )cos2(2
1cos2 lrkmgrV
求平衡位置
0sin
参考基: e
O 一个自由度
两个势力场 重力场 线弹性力场2
2
1ksV mgzV
系统势能
bcos
b1 01
10 b b12 cos b13 cos )(20
mgkr
klb
01
平衡位置 x
y
A
B
2 3
1
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解
EXIT
稳定性讨论
b1
01
0cossin)(4d
d
bmgkrr
V
22
2
cos21cos)(4d
d bmgkrr
V
1)(4d
d
0
2
2
bmgkrrV
10 b
1b
平衡位置
00
0
)0(V 极小 稳定0
2
2
d
d
V
b1极大 不稳定
10 b
不定
2cos4cos)(4d
d4
4
bmgkrrV
04)(4d
d
0
4
4
bmgkrrV
)0(V
极小 稳定
0 mgkr
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解
EXIT
稳定性讨论
0cossin)(4d
d
bmgkrr
V
22
2
cos21cos)(4d
d bmgkrr
V
22
2
1)(4d
d
3,2
bmgkrrV
10 b
10 b平衡位置
0
)( 3,2V 极小
稳定
2 3 b3,2cos A
B
2 3
1
3,2
0 mgkr
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解
EXITb1
01
A
B
2
10 b
3
110 b
1
平衡位置 不稳定
稳定3,2
)(20
mgkr
klb
0 mgkr
mglrk 22 0
1b mglrk 22 0
01 平衡位置 稳定
小结
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 例
[ 例 ]
EXIT
一质量为 m 长为 l 的均质杆 AB ,其一端 A靠在铅垂的光滑墙上,一端 B 用长为 l1(l1>l) 的软绳 BC拉住
O
A
B求平衡位置,且讨论其稳定性
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分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解
[ 解 ]
EXIT
参考基: e
O 一个自由度 O
A
Bgmx
y
Ax
广义坐标
以点 O 为零势面,杆 AB 的势能Ax
)cos2
( lxmgV A
A
A
lx
xll
2cos
2221
)3(4
221
AA x
llx
mg
0)3(4d
d2
221
AA x
llmg
x
V求平衡位置
3/221
* llxx AA 平衡位置
**
3
221
2
2
2d
d
AAAA xxAxxA x
llmg
x
V
稳定性分析
x xA A *势能函数取极大 平衡位置不稳定
ll 1
0
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