虚位移原理

2023年4月19日星期三理论力学CAI 分析力学基础

1

虚位移原理虚位移原理

• 前言前言

• 虚位移虚位移

• 虚位移原理及其应用虚位移原理及其应用

• 广义力质点系平衡条件广义力质点系平衡条件

分析动力学基础 /虚位移原理


2

前言

• 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理• 从力的功出发直接建立起系统处于平衡时

主动力间的关系– 矢量力学：主动力与约束力间的关系

• 虚位移原理与达朗贝尔原理一起构成了分析动力学的基础

分析动力学基础 /虚位移原理 /前言


3

虚位移

• 质点系运动学关系的描述

• 实位移与虚位移

• 独立（广义）坐标虚位移

分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移


4

质点系运动学关系的描述• 笛卡儿坐标


z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P

质点系 ),,,( 21 nPPP

质点 Pk 笛卡儿坐标

质点 Pk 的矢径 ),,2,1( nk

kr

rk k k kx y z T

q r r r 1 2T T T T

n

惯性基 eO

质点系笛卡儿坐标阵 13 nR

• 自由质点系

外力运动 q(t)动力学方程处理动力学问题一般方法


5


z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P


q r r r 1 2T T T T

n

质点系笛卡儿坐标阵

1 sR

• 非自由质点系

外力运动 q(t)

不独立

0),( tqΦ约束方程

1 2 s

T

动力学方程约束方程

处理动力学问题一般方法


6


z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P


q r r r 1 2T T T T

n


1 sR

• 非自由质点系的独立坐标

不独立

0),( tqΦ约束方程

1 2 s

T

自由度 sn 3 TTT wuq

1 sRu

1 Rw 独立坐标广义坐标非独立坐标

外力运动 w(t)

动力学方程

处理动力学问题独立坐标方法

约束方程运动 u(t)


7


z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P


q r r r 1 2T T T T

n


• 非自由质点系约束方程的另一形式

不独立

自由度 sn 3

t,wqq

1 Rw另外定义独立（广义）坐标

约束方程 13 nR

外力运动 w(t)

动力学方程

处理动力学问题独立坐标方法

约束方程运动 q(t)


8

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 例

[ 例 ]

EXIT

质量为 m ，摆长为 l 的单摆

试描述摆的运动

O

A


9

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解

[ 解 ]

EXIT

惯性基 e

O

O

A

x

y

方法 1 笛卡儿坐标

x y l2 2 2 0

Tyxq

约束方程

动力学方程

gm

TF

lxFFxm /sin TT lyFmgFmgym /cos TT

方法 2 自由度 1 另外定义独立（广义）坐标

约束方程 sinlx cosly

动力学方程 sin2 mglml 0),( tqΦ

t,wqq


10

实位移与虚位移• 真实运动


外力真实运动 q(t)动力学方程约束方程

实位移 TTT2

T1 dddd nrrrq

可能运动 q*(t)约束方程

可能位移 TT*T*2

T*1

* dddd nrrrq

• 可能运动

0),( tqΦ0 tt dd ΦqΦq

可能位移满足的方程

唯一性（初始条件）

无穷多可能


11

• 虚位移分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移

可能位移 TT*T*2

T*1

* dddd nrrrq

0),( tqΦ

0 tt dd *1 ΦqΦq

虚位移满足的方程

*1dq

0 tt dd *2 ΦqΦq

*2dq

*1

*2 dd qqq 虚位移

0qΦq δ

虚位移理解为约束方程的等时变分定常约束：虚位移即为可能位移，实位移为无数虚位移之一

非定常约束：虚位移一般不是可能位移

无穷多可能

tt ddd ΦqΦΦ q 微分


12

独立坐标虚位移• 描述 1


自由度 sn 3 TTT wuq 1 sRu1 Rw 独立（广义）坐标

wΦΦu δδ 1wu

0 tt dd ΦqΦq

1 sR0),( tqΦ约束方程

q r r r 1 2T T T T

n13 nR

非独立坐标

0qΦq δ 0

w

uΦΦ wu δ

δ

非独立坐标与独立坐标虚位移间关系

约束方程微分


13

• 描述 2


t,wqq

另外定义独立（广义）坐标

约束方程 13 nR

tt ddd qwqq w

wqq w δδ

1 Rw

snR 3wq

约束方程微分


14


[ 例 ]

EXIT

质量为 m ，摆长为 l 的单摆

求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系

O

A


15


[ 解 ]

EXIT

惯性基 e

O

O

y A

x

方法 1 笛卡儿坐标

x y l2 2 2 0

Tyxq

约束方程

方法 2 自由度 1 另外定义独立（广义）坐标

约束方程 sinlx cosly

Tδδδ yxq笛卡儿坐标虚位移

等时变分 0δ2δ2δ yyxx定义独立（广义）坐标 yw xu 非独立坐标

q

x

y

y xy

1

等时变分 δcosδ lx

δsin

cos

δ

δδ

l

l

y

xq

δsinδ ly

笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系

笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系


16


[ 例 ]

r

曲柄滑块机构，曲柄长 r ，连杆长 l

该机构只有一个独立变量令曲柄的转角为广义坐标

l

求点 A 与 B 的虚位移与广义坐标虚位移的关系

A

B


17


[ 解 ] 参考基：

Ox

y

e

O

方法 1 （坐标法）写出点 A 的坐标与广义坐标的关系 cosrxA sinryA

sinrxA

等时变分

cosryA

写出点 B 的坐标与广义坐标的关系 coscos lrxB 0By

δsinδsinδ lrxB

等时变分

0δ By

0sinsin lr附加几何关系

等时变分

δ)cos/cos(δ lr

δcos/)sin(δ rxB

A

B


18

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解参考基：

Ox

y

e

O

方法 2 （速度法）写出点 A 的速度与广义速度的关系

dsind rxA

dcosd ryA

方向设定

A

B

Av

rvA Av

sinAAxA vvx

sin rxA

cosAAyA vvy

cos ryA sinrxA

cosryA


19

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移 / 解参考基：

Ox

y

e

O

写出点 B 的速度与广义速度的关系

A

B

Av

Bv

cos)2

cos( BA vv

连杆的长度不可改变，点A 与点 B 的速度矢量在杆上的投影相等

cos)sin( BA vv

cos/)sin( AvBBxB vvx cos/)sin( rxB

yB 0

0d By

dcos/)sin(d rxB

0δ By

δcos/)sin(δ rxB


20

虚位移原理与应用• 原理描述

分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用

具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为：系统内所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零，即

01

a

n

kkk rFW

元功W 称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理


21

• 应用


讨论质点系平衡

优点：直接给出了主动力之间的关系而无需顾及理想约束力


22

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 例

[ 例 ]

r

曲柄滑块机构。在图示位置，系统受到力偶、铅垂力与水平力，该机构处于平衡

l

求这些主动力 ( 偶 ) 之间的关系

A

B

AF

BF

M


23

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 解

[ 解 ] 参考基： e

O

以系统为对象

虚功原理

0δ By δcos/)sin(δ rxB

0δδδ BBAA xFyFM

r

l

A

B

AF

BF

M

Ox

y

sinrxA

cosryA

0δcos/)sin(cos rFrFM BA

独立坐标的变分 δ

0cos/)sin(cos rFrFM BA


24

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 例

[ 例 ]

图示机构是由 8 根连杆铰接成 3个相同的菱形。菱形的边长为 b，铰 O 固定，铰 A 、 B 与 C 限定在铅垂线上运动。不计各杆的重量

求机构在如图所示位置处于平衡时，力 FA 与 FC 的比

AF

BB

C

A

O

CF


25

x

y

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 虚位移原理与应用 / 解

[ 解 ]

AF

BB

C

A

O

CF

参考基： e

O一个自由度定义角为广义坐标

虚功原理 F y F yA A C C 0

sin2byA cos2byA

0)cos6cos2( bFbF CA

1:3: CA FF

点 A 与 C 的坐标与广义坐标虚位移的关系

sin6byC cos6byC

独立坐标的变分 δ0cos6cos2 bFbF CA


26

• 应用：平衡态理想约束力的计算分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用

将待求约束力相关的约束解除，把该约束力作为主动力处理，从而可得到它与主动力的关系

O

O

O每次解除一个自由度


27

[ 例 ]分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /例

图示一三孔拱桥，不计桥自重，桥上有两集中载荷

B

K

A C

E

D

IG J

GF

KF

b

b2b2b

b

b

求支座 C 的理想约束力


28

[ 解 ]分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解

BA C D

GF

CyF

x

y

E

解除约束 C，加上约束反力FCy

系统有一个自由度

广义坐标

F y F y F xCy C G G K K 0虚功原理

参考基： e

E

KF

G

K


29

分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解

BA C D

GF

KF

O

CyF

Gv

Jv

Iv

Bv

Cv

x

y

E

F y F y F xCy C G G K K 0参考基： e

E

点 G 、 K 与 C 的坐标与广义坐标虚位移的关系（速度法）

IG J1B

瞬心 O1B

Iv方向

Bv

Gv

2B 3B

3B Jv方向

2B瞬时平动

Cv方向

Kv

bxv kK 2bvvv JIC

2bvv IG bvy CC )4/cos(

bvy GG )4/cos(


30

分析动力学基础 /虚位移原理 /虚位移原理与应用 /解

BA CBv

D

Iv

Gv

Jv

GF

KF

O

CyF

Cv

x

y

E

F y F y F xCy C G G K K 0参考基： e

E

IG J1B2B 3B Kv

bxv kK bvy CC )4/cos(

bvy GG )4/cos(

bxK

byC

byG

0)( KGCy FFF 0 KGCy FFF

)( KGCy FFF


31

小结• 写出主动力的虚功的表达式

• 通过运动学的关系作等时变分，得到各点的虚位移与独立坐标变分的关系式– 坐标法– 速度法

• 代入虚功的表达式，得到只含独立坐标变分的等式

• 得到了主动力的关系



32

广义力质点系平衡条件

• 广义力

• 质点系平衡条件

• 计算广义力的方法

• 势力场中质点系平衡条件与稳定性

分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件


33

广义力分析动力学基础 /虚位移原理 /广义力质点系平衡条件


q r r r 1 2T T T T

n


不独立

自由度 sn 3

t,wqq

1 Rw定义独立（广义）坐标

约束方程

z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P

r r wk k t ( , )

T21 www w

nk ,,1


34


q r r r 1 2T T T T

n

广义坐标

约束方程

z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P

r r wk k t ( , )

1

δδj

jj

kk w

w

rr

n

kkk

n

kkk rFW

1

aT

1

a rF

T21 www w

n

k j

kkj w

Q1

aT

r

F

W Q wjj

j1

,,1j

nk ,,1

n

k jj

j

kk w

w1 1

aT

r

F

jj

n

k j

kk w

w

1 1

aT rF

笛卡儿坐标阵

等时变分

akF

主动力的虚功

令


35


q r r r 1 2T T T T

n

广义坐标

约束方程

z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P

r r wk k t ( , )

T21 www w

n

k j

kkj w

Q1

aT

r

F

W Q wjj

j1

,,1j

nk ,,1

笛卡儿坐标阵

akF

主动力的虚功

作用于系统所有主动力关于广义坐标 wj 的广义力

广义力的量纲取决于广义坐标的量纲当 wj 为长度时， Qj 为力量纲当 wj 为角度时， Qj 为力偶量纲


36

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 例

[ 例 ]

x

y

AF

BB

C

A

O

CF

)cos6cos2(δ bFbFW CA

Q

r

l

A

B

AF

BF

M

Ox

y

δcos/)sin(cosδ rFrFMW BA

Q


37

质点系平衡条件


虚位移原理

W Q wjj

j 1

0

0jQ ,,1j

具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为所有关于广义坐标的广义力均为零


38


[ 例 ]

x

y

AF

BB

C

A

O

CF

)cos6cos2(δ bFbFW CA

0Q

r

l

A

B

AF

BF

M

Ox

y

δcos/)sin(cosδ rFrFMW BA

0Q


39

计算广义力的方法• 方法 1

– 列出所有主动力的虚功– 根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关系– 进行广义坐标虚位移的同类项合并，即得到关于各广

义坐标的广义力

• 方法 2

– 取某广义坐标的变分 wj ，令其他广义坐标的变分为零

– 计算由于该变分引起的各主动力所作的元虚功Wj


j

jj w

WQ


40


[ 例 ]

EXIT

图示一双摆，摆长分别为 l1 与 l2 ，质量分别为 m1 与 m2

在摆端 B 上受到一水平力

求系统平衡时，双摆的位形

O

A

B

F


41

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 广义力质点系平衡条件 / 解

[ 解 ]

EXIT

质心 C1 坐标

主动力的虚功

O

A

B

F

x

y

1

2

gm

2

gm

1

2C

1C

W m g y m g y F xB1 2

参考基： e

O

T11 yxr 1r

Br

2r T22 yxr

TBBΒ yxr

系统有两个自由度

取广义坐标1 2

质心 C2 坐标点 B 坐标


42


EXIT

求广义力 O

A

B

x

y

1

22C

1C

参考基： e

O令

1Q

0δ 1 0δ 2

1δ r

2δ r

Brδ

Arδ

AB rrrδδδ 2

主动力的虚功

1δ

111112111 cossinsin

21

Flglm

glmW

11112111 cossinsin

21 Flglm

glmQ

11

1 2

lr

112 lrrr AB

111

1 sin2

l

y

111 cos lxB

1112 sin ly



43


EXIT

求广义力 O

A

B

x

y

1

22C

1C

参考基： e

O令

2Q

0δ 1 0δ 2

1δ r

2δ r

Brδ

Arδ

主动力的虚功2δ

222222 cossin

22

Fl

glmW

22222 cossin

22 Fl

glmQ

01 r 22 lrB22

2 2

lr

01 y

222 cos lxB

221

2 sin2

l

y



44


EXIT

平衡条件

22222 cossin

22 Fl

glmQ

O

A

B

F

x

y

1

2

gm

2

gm

1

2C

1C1r

Br

2r

11112111 cossinsin

21 Flglm

glmQ

01Q 0

2Q

0cossinsin2 111121

11 Flglmglm

0cossin2 222

22 Flglm

gmgm

F

211 2

2arctan

gm

F

22

2arctan

平衡位形


45

势力场中质点系平衡条件与稳定性

• 势力场质点系平衡条件

• 平衡稳定性

分析动力学基础 /虚位移原理 /势力场质点系平衡条件与稳定性


46

势力场质点系平衡条件• 广义力


TT

Ta )(

k

k

k

k

k

k

k

kkk z

U

y

U

x

UUU

k

rF r

n

k j

k

k

kj w

UQ

1

r

r

)( kkk UU r

z

y

x

O

kr

kPnP

iP

1P

akF


有势力

势函数

akF

主动力

n

k j

kkj w

Q1

aT

r

F

nk ,,1

,,1j

n

k j

k

w

U

1


47


n

k j

kj w

UQ

1

U Ukk

n

( ) ( )q q1

jj w

UQ

)(qkk UU )( kkk UU r z

y

xO

kr

kPnP

iP

1P

akF

质点系 ),,,( 21 nPPP 势函数

n

kk

j

Uw 1

jj w

VQ

或

q r r r 1 2T T T T

n

)()( qq VU

,,1j

广义力


48

• 平衡条件


0jw

V

在势力场中，质点系在平衡位形处的势能取极值

0jw

U

0jQ ,,1j

,,1j或


49

平衡稳定性• 定义


当质点系在某平衡位形处受到微小扰动时，其位形只在平衡位置附近运动而不产生明显的偏离，则称为该平衡位形是稳定的，否则称为不稳定

在实际问题中只有稳定的平衡位形才可能存在

稳定不稳定


50

• 拉格朗日 - 狄利克雷 (P. G. L. Dirichlet) 定理


若质点系在平衡位形上的势能具有极小值，则该平衡位形是稳定的

• 李亚普诺夫 (A. M. Lyapunov) 定理若质点系在平衡位形上的势能取极大，则平衡位置不稳定

稳定不稳定


51

• 多元函数极值判断的一些结论


单自由度系统

0*

www

V

)(wVV *ww平衡位形

若势能 V(w) 的不等于零的最低阶导数是偶数阶

平衡位位形 w=w* 为稳定V(w*) 取极小在 w=w* 为正

在 w=w* 为负 V(w*) 取极大

平衡位位形 w=w* 为不稳定


52


两自由度系统

0*1

ww

w

V

)( 21 wwVV ，

T*2

*1

* wwww平衡位形

平衡位位形 w=w* 为稳定

V(w*) 取极小

如果

0*2

ww

w

V

0*

21

2

ww

w

V

0*

22

2

ww

w

V

0*21

2

22

2

21

2

wwww

V

w

V

w

V


53

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 例

[ 例 ]

EXIT

一质量为 m 的小球 A套在一半径为 r的圆环上，圆环平面在铅垂平面内。小球可在环上滑动，不计摩擦小球通过一线弹簧与环上的 B 相连。弹簧刚度为 k ( 令 kr > mg) ，原长为 l0

求小球的平衡位置，且讨论其稳定性

A

B


54

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 解

[ 解 ]

EXIT

0cossin)(4d

d

bmgkrr

V

20

2 )cos2(2

1cos2 lrkmgrV

求平衡位置

0sin

参考基： e

O 一个自由度

两个势力场重力场线弹性力场2

2

1ksV mgzV

系统势能

bcos

b1 01

10 b b12 cos b13 cos )(20

mgkr

klb

01

平衡位置 x

y

A

B

2 3

1


55


EXIT

稳定性讨论

b1

01

0cossin)(4d

d

bmgkrr

V

22

2

cos21cos)(4d

d bmgkrr

V

1)(4d

d

0

2

2

bmgkrrV

10 b

1b

平衡位置

00

0

)0(V 极小稳定0

2

2

d

d

V

b1极大不稳定

10 b

不定

2cos4cos)(4d

d4

4

bmgkrrV

04)(4d

d

0

4

4

bmgkrrV

)0(V

极小稳定

0 mgkr


56


EXIT

稳定性讨论

0cossin)(4d

d

bmgkrr

V

22

2

cos21cos)(4d

d bmgkrr

V

22

2

1)(4d

d

3,2

bmgkrrV

10 b

10 b平衡位置

0

)( 3,2V 极小

稳定

2 3 b3,2cos A

B

2 3

1

3,2

0 mgkr


57


EXITb1

01

A

B

2

10 b

3

110 b

1

平衡位置不稳定

稳定3,2

)(20

mgkr

klb

0 mgkr

mglrk 22 0

1b mglrk 22 0

01 平衡位置稳定

小结


58

分析动力学基础 / 虚位移原理 / 势力场质点系平衡条件与稳定性 / 例

[ 例 ]

EXIT

一质量为 m 长为 l 的均质杆 AB ，其一端 A靠在铅垂的光滑墙上，一端 B 用长为 l1(l1>l) 的软绳 BC拉住

O

A

B求平衡位置，且讨论其稳定性


59


[ 解 ]

EXIT

参考基： e

O 一个自由度 O

A

Bgmx

y

Ax

广义坐标

以点 O 为零势面，杆 AB 的势能Ax

)cos2

( lxmgV A

A

A

lx

xll

2cos

2221

)3(4

221

AA x

llx

mg

0)3(4d

d2

221

AA x

llmg

x

V求平衡位置

3/221

* llxx AA 平衡位置

**

3

221

2

2

2d

d

AAAA xxAxxA x

llmg

x

V

稳定性分析

x xA A *势能函数取极大平衡位置不稳定

ll 1

0

虚位移原理

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