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5.6 指數成長與衰減
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5.6 指數成長與衰減
學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。
P.5-38 第五章 指數與對數函數
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指數成長與衰減
本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量,即在任一時間 t 的變化率正比於當時的物質數量。譬如,放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示,如以下的方程式。
P.5-38 第五章 指數與對數函數
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指數成長與衰減
P.5-38 第五章 指數與對數函數
在上式中 k 為常數,而 y 為 t 的函數,下面即為此方程式的解。
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指數成長與衰減(證明)
P.5-38 第五章 指數與對數函數
因為 y 的變化量與 y 成正比,所以
顯然 y = Cekt 為方程式的解,因為對 y 微分可得 dy/dt = kCekt ,再代入方程式也得
dyky
dt
( )kt ktdykCe k Ce ky
dt
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學習提示
在模型 y = Cekt 中, C 稱為起始值,因為當 t = 0 時, y = Cek(0) = C(1) = C 。
P.5-38 第五章 指數與對數函數
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應用
放射性物質的衰減是以半衰期 (half-life) 來測量,即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列
鈾 (238 U) 4,470,000,000 年鈽 (239 Pu) 24,100 年碳 (14 C) 5,715 年鐳 (226 Ra) 1,599 年鑀 (254 Es) 276 天鍩 (257 No) 25 秒
P.5-39 第五章 指數與對數函數
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範例 1 放射性物質衰減的模型
某樣本中有 1 公克的鐳,試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克?
P.5-39 第五章 指數與對數函數
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範例 1 放射性物質衰減的模型 (解)
令 y 表示在樣本中的鐳物質 ( 公克 ) 。因為衰減率正比於 y ,所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y = Cekt,其中 t 為時間 ( 年 ) 。已知當 t = 0 時 y = 1 ,代入模型可得1 = Cek(0) 以 1 代入 y , 0 代入 t
因此 C = 1 。因為鐳的半衰期為 1599 年,所以當 t = 1599 時 y = 1/2 ,再代入模型即可解得 k 。
P.5-39 第五章 指數與對數函數
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範例 1 放射性物質衰減的模型 (解)
所以 k ≈ - 0.0004335 ,故指數衰減模型為 y = e - 0.0004335t。
若要求 1000 年後的鐳殘留量,將 t = 1000 代入模型,經計算可得
y = e - 0.0004335(1000) ≈ 0.648 公克即, 1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳,此模型的圖形如圖 5.18 所示。
P.5-39 第五章 指數與對數函數
( )
1
2
1 1
1 15
15
99
99 2
2 1/ 2
ln 1599
ln
1
599
1599
kt
k
y e
e
k
k
y t
指數衰減模型
以 代入 , 代入
等號兩邊取自然對數
等號兩邊同除以
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範例 1 放射性物質衰減的模型 (解)
P.5-39 圖 5.18 第五章 指數與對數函數
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檢查站 1
以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。
P.5-39 第五章 指數與對數函數
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應用
請注意,不必像範例 1 使用近似的 k 值,直接在模型中代入 k 的正確值可得
這個公式清楚地顯示「半衰期」:當 t = 1599 , y 值為 1/2 ,當 t = 2(1599) , y 值為 ,以此類推。
P.5-39 第五章 指數與對數函數
( /1599)( /1599)
ln[(1/2) ] 1
2
tt
y e
1
4
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應用
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 2 數量成長的模型
研究指出,果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100 隻,四天後有 300 隻果蠅,則 5 天後有幾隻果蠅?
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 2 數量成長的模型 (解)
令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t = 2 時, y = 100 和當 t = 4 時, y = 300 ,代入模型 y = Cekt 得
100 = Ce2k 和 300 = Ce4k
若要解 k ,先解出第一方程式中的 C ,再代入第二方程式。
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 2 數量成長的模型 (解)
P.5-40 第五章 指數與對數函數
4
42
2
2
300
100 300
300
ln 3 2
1ln 3
100 /
10
2
0
k
kk
k
k
Ce
ee
e C
k
e
k
k
第二方程式
以 代入
等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數
解
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範例 2 數量成長的模型 (解)
因為 ,可得 C ≈100/e2(0.5493) ≈ 33 。即指數成長模型為
y = 33e0.5493t
如圖 5.19 所示。所以, 5 天後果蠅的數量有y = 33e0.5493(5) ≈ 514 隻
P.5-40 第五章 指數與對數函數
1
2ln 3 0.5493k
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範例 2 數量成長的模型 (解)
P.5-40 圖 5.19 第五章 指數與對數函數
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範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。
P.5-40 第五章 指數與對數函數
代數技巧代數技巧
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檢查站 2
如果果蠅數量兩天後有 100 隻,四天後有 400隻,求其指數成長模型。
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 3 複利的模型
在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢,若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍,試問其年利率為何?
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 3 複利的模型 (解)
以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型
A = Pert 指數成長模型其中 P 為原始存款值, r 為年利率 ( 以小數表示 ) 且 t 為時間 ( 年 ) 。已知 t = 6 時, A = 2P ,如圖 5.20 所示,即可解得 r。
P.5-40 第五章 指數與對數函數
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範例 3 複利的模型 (解)
P.5-40 圖 5.20 第五章 指數與對數函數
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範例 3 複利的模型 (解)
所以,年利率為
或者大約 11.55% 。P.5-41 第五章 指數與對數函數
( )
6
1
6
6
2
ln 2 6
ln 2
2 2
6
6
rt
r
t
P P A
A Pe
e
tPe
r
P
r
指數成長模型
以 代入 , 代入
等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數
等號兩邊同除以
1
6ln 2
0.1155
r
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檢查站 3
已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍,求年利率。
P.5-51 第五章 指數與對數函數
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應用
本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型,此模型其實可以任意數為底數。換言之,模型
y = Cabt
也可以是指數成長模型 ( 因為該模型可寫成 y = Ce(ln a) bt) 。在某些實際生活的例子,不以 e 為底數反而較方便。
P.5-41 第五章 指數與對數函數
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應用
譬如在範例 1 中,因為鐳的半衰期是 1599 年,所以指數衰減模型可寫成
根據此模型,樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下
也吻合範例 1 的結果。
/15991
2
t
y
P.5-41 第五章 指數與對數函數
1000/15991
0.6482
y
公克
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學習提示
是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為 ?注意:當 t = 1599
時, y 值為 1/2 ,當 t = 3198 時, y 值為 1/4 ,以此類推。
P.5-41 第五章 指數與對數函數
/15991
2
ty
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範例 4 銷售量模型化
在停止全國性電視廣告後的四個月,某製造商發現 MP3 的銷售量從 100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化,再過四個月後的銷售量為何?
P.5-41 第五章 指數與對數函數
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範例 4 銷售量模型化 (解)
令 y 為 MP3 的銷售量, t 為時間 ( 月 ) ,並考慮指數衰減模型
y = Cekt 指數衰減模型從已知條件可知當 t = 0 時, y = 100,000,即 100,000 = Ce0
P.5-41 第五章 指數與對數函數
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範例 4 銷售量模型化 (解)
所以 C = 100,000 。若要解 k ,則須利用當 t = 4 時, y = 80,000 的條件,所以
P.5-41 第五章 指數與對數函數
(4)
100,000
100,000
0.8
ln 0.8 4
1 ln 0.8
800,000 800,
000 4
100,000
4 4
kt
k
y e
e
e
k
y
k
t
指數衰減模型
以 代入 , 代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數
等號
兩邊同除以
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範例 4 銷售量模型化 (解)
則 ,所以此模型為
y = 100,000e - 0.0558t
再過四個月 (t = 8) ,銷售量將衰減為y = 100,000e - 0.0558(8)
64,000 台 MP3
如圖 5.21 所示。
P.5-41 第五章 指數與對數函數
1
4ln 0.8 0.0558k
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範例 4 銷售量模型化 (解)
P.5-41 圖 5.21 第五章 指數與對數函數
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檢查站 4
根據範例 4 的模型,請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台?
P.5-42
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