5.5 行四边形 的判定( 2 )
判定一个四边形是平行四边形已学过哪些方法 ?
定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
定理 1 一组对边平行并且相等的四边形 是平行四边形。
定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
ABCD P2
P1
D
CB
A如图,在 中 P1,P2 是对角线 BD 的三等分点,求证:四边形AP1CP2 是平行四边形。
判定一个四边形是平行四边形,还有以下定理:
定理 3 :对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
你能证明吗 ?
上面的练习能用定理 3 证明吗 ?
如图,在 中 P1,P2 是对角线 BD 的三等分点,求证:四边形AP1CP2 是平行四边形。
P2
P1
D
CB
A
O
ABCD
例例 22 ::已知:如图,已知:如图, EE ,, FF 是 是 ABCDABCD 的对角的对角线线 BDBD 上的两点,且上的两点,且∠∠ BAE=BAE=∠∠DCFDCF求证:四边形求证:四边形 AECFAECF 是平行四边形。是平行四边形。
AA
BB CC
DD
EE FF
如图:在 ABCD 中, E,F 是对角线 AC 上的两个点; G,H 是对角线 B,D 上的两点 . 已知 AE=CF,DG=BH,求证:四边形 EHFG 是平行四边形 .
O
H
G F
E
D C
BA
证明: 在 ABCD中,
OA=OC,OB=OD∵AE=CF,DG=BH∴OE=OF,OG=OH∴四边形 EHFG是平行四边形
练习 2: 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O , E 、 F 分别是BO 、 OD 的中点,且四边形 AECF 是平行四边形,试判断四边形 ABCD 是不是平行四边形,并说明理由.
O FE
D
CB
A
探究活动探究活动 任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小,你发现了什么 ? 再画几个三角形试一试,你发现的规律仍然成立吗 ? 试证明你的发现。
发现:三角形一条边上的中线的 2 倍小于另两条边的和。
E
已知:如图, AD 是⊿ ABC 的中线,求证: 2AD<AB+AC
证明:如图,延长 AD 至 E, 使 ED=AD.连结 BE,EC.∵BD=CD,
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)。
∴AB=CE( 平行四边形的两组对边分别相等 ) 。∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即 2AD<AB+AC.
D CB
A见中线延长一倍
练习练习 33 ::如图,在如图,在△△ABCABC 中,中, AB=14AB=14 ,, BC=BC=1818 ,, BOBO 是是 ACAC 边上的中线,求边上的中线,求 BOBO 的取值范的取值范围。围。
OO
AA
BB CC
试一试:
A
B C
D
4 .已知:AB=CD,且∠DCA=∠BAC,四边形ABCD是平行四边形吗?你有几种判别方法?
判断一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 ? 说说看 ?
从边看 :
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从角看 : 两组对角分别相等
从对角线看 : 两组对角线互相平分
再见
作业:
1. 课后作业题
2. 作业本
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