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ForForçças Distribuas Distribuí í dasdas ––Centros de Massa e CentrCentros de Massa e Centróóidesides
Disciplina Mecânica Geral 1Disciplina Mecânica Geral 1
ForForçças concentradas não existem no sentidoas concentradas não existem no sentidoexato. Cada forexato. Cada forçça externa mecanicamentea externa mecanicamenteaplicadaaplicada éé distribudistribuí í da sobre umada sobre uma áárea de contatorea de contato
mesmo que pequena.mesmo que pequena.
Caso a dimensão de contato for desprezCaso a dimensão de contato for desprezí í vel emvel emcomparacomparaçção com as demais dimensões, podeão com as demais dimensões, pode--sesesubstituir a forsubstituir a forçça distribua distribuí í da pela sua resultante.da pela sua resultante.
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Tipos de for Tipos de forçça distribua distribuí í da:da:a)a) DistribuiDistribuiçção linearão linear: For: Forçça por unidade dea por unidade de
comprimento (N/m);comprimento (N/m);b)b) DistribuiDistribuiçção ao longo de umaão ao longo de uma áárearea: For: Forçça pora por
unidade deunidade de áárea ou pressão (N/mrea ou pressão (N/m²² ou Pa);ou Pa);c)c) DistribuiDistribuiçção volumão voluméétricatrica: for: forçças de corpo (ex.as de corpo (ex.
forforçça gravitacional)a gravitacional)
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PrincPrincí í pio dos momentospio dos momentos: o momento da for: o momento da forççaagravitacional resultante W em relagravitacional resultante W em relaçção a qualquerão a qualquereixoeixo éé igual a soma dos momentos , em relaigual a soma dos momentos , em relaçção aoão ao
mesmo eixo, das formesmo eixo, das forçças gravitacionaisas gravitacionais dWdW atuandoatuandoem todas asem todas aspartpartí í culas do corpo,culas do corpo,tratadas comotratadas comoelementoselementosinfinitesimais.infinitesimais.
∫= dW W
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Coordenadas do centro de massaCoordenadas do centro de massa
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∫=W
xdW x
∫=W
ydW y
∫=W
zdW z
∫=m
xdm x
∫=m
ydm y
∫=m
zdm z
∫=m
dmr
r
A densidadeA densidade rr de um corpo,de um corpo, éé sua massa porsua massa porunidade de volume.unidade de volume.
A massa de um elemento diferencial dVA massa de um elemento diferencial dV éé::
SeSe ρρ for constante por todo o corpo:for constante por todo o corpo:
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dV dm ρ =
V
xdV
x ∫= V
ydV
y ∫= V
zdV
z ∫=
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CENTRCENTRÓÓIDES DE LINHAS,IDES DE LINHAS, ÁÁREAS E VOLUMESREAS E VOLUMES
Quando o densidade de um corpoQuando o densidade de um corpo éé uniformeuniformepor todo o corpo, as expressões anteriorespor todo o corpo, as expressões anterioresdefinem uma propriedade puramentedefinem uma propriedade puramentegeomgeoméétrica do corpo.trica do corpo.
Se a densidade for uniforme em todo o corpo,Se a densidade for uniforme em todo o corpo,o centro de massa e o centro centro de massa e o centróóide coincidem.ide coincidem.
O cO cáálculo dos centrlculo dos centróóides caem em trêsides caem em três
categorias distintas:categorias distintas: linhas,linhas, ááreas oureas ou
volumes.volumes.
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CENTRCENTRÓÓIDES DE LINHAS:IDES DE LINHAS:
Barra esbelta ou arameBarra esbelta ou arame Comprimento LComprimento L
ÁÁrea da serea da seçção transversal Aão transversal A
DensidadeDensidade ρρ
L
xdL x ∫=
L
ydL y ∫=
L
zdL z ∫=
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CENTRCENTRÓÓIDES DEIDES DE ÁÁREAS:REAS:
Espessura pequena eEspessura pequena econstante (t)constante (t)
ÁÁrea de superf rea de superf í í cie Acie A
DensidadeDensidade ρρ
A
xdA
x
∫= A
ydA y
∫= A
zdA z
∫=
∫ xdA ∫ ydA ∫ zdA Momentos de primeira ordemou momento estático de área.
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CENTRCENTRÓÓIDES DE VOLUME:IDES DE VOLUME:
Volume VVolume V
DensidadeDensidade ρρ
x
yx
y
z
z
dydx
V
xdV x
∫=
V
ydV y
∫=
V
zdV z
∫=
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Escolha do elemento de integraEscolha do elemento de integraççãoão
Selecionar um elemento diferencial de primeiraSelecionar um elemento diferencial de primeiraordem (de preferência)ordem (de preferência)
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Escolha do elemento de integraEscolha do elemento de integraççãoão
Selecionar um elemento diferencial de primeiraSelecionar um elemento diferencial de primeiraordem (de preferência)ordem (de preferência)
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Escolha do elemento de integraEscolha do elemento de integraççãoão
Continuidade: elemento que pode serContinuidade: elemento que pode ser
integrado em operaintegrado em operaçção contão contí í nua.nua.
- não recomendado- recomendado
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Exemplo 1:Exemplo 1: Localize o centrLocalize o centróóide de um arco circular,ide de um arco circular,como mostrado na figura.como mostrado na figura.
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Exemplo 2:Exemplo 2: Determine a distância desde a base deDetermine a distância desde a base deum triângulo de alturaum triângulo de altura hh atatéé o centro centróóide de suaide de sua áárea.rea.
h
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Exemplo 3:Exemplo 3: Determine o centrDetermine o centróóide daide da áárea sob area sob a
curvacurva x = k.yx = k.y33
desde x = 0 atdesde x = 0 atéé x = a.x = a.
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Exemplo 3:Exemplo 3: Determine o centrDetermine o centróóide daide da áárea sob area sob acurvacurva x = k.yx = k.y33 desde x = 0 atdesde x = 0 atéé x = a.x = a.
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Determine aDetermine a coordenadacoordenada y doy do centrcentróóideide dada áárearea
sombreadasombreada..
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ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão
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ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.65.6 -- Determine asDetermine as coordenadascoordenadas dodo centrcentróóideide dada áárearea
sombreadasombreada..
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ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.135.13 -- Determine asDetermine as coordenadascoordenadas dodo centrcentróóideide dada áárearea
sombreadasombreada..
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ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.185.18 -- Determine aDetermine a coordenadacoordenada x dox do centrocentro dede massamassa
dada barrabarra dede aaççoo dede secsecççãoão varivariáávelvel ee comprimentocomprimento
L,L, sendosendo queque oo diâmetrodiâmetro dada extremidadeextremidade maismais largalargaéé duasduasvezesvezes oodiâmetrodiâmetrodada extreextre--midademidademenormenor..
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5.35.3
5.45.4
5.55.5
5.75.7
5.95.9
5.115.11
5.165.16
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ExercExercí í cios Propostoscios Propostos