12_For+ºas distribuidas - centros de massa e centroides_impress+úo

7/15/2019 12_For+ºas distribuidas - centros de massa e centroides_impress+úo

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ForForçças Distribuas Distribuí í dasdas ––Centros de Massa e CentrCentros de Massa e Centróóidesides

Disciplina Mecânica Geral 1Disciplina Mecânica Geral 1

ForForçças concentradas não existem no sentidoas concentradas não existem no sentidoexato. Cada forexato. Cada forçça externa mecanicamentea externa mecanicamenteaplicadaaplicada éé distribudistribuí í da sobre umada sobre uma áárea de contatorea de contato

mesmo que pequena.mesmo que pequena.

Caso a dimensão de contato for desprezCaso a dimensão de contato for desprezí í vel emvel emcomparacomparaçção com as demais dimensões, podeão com as demais dimensões, pode--sesesubstituir a forsubstituir a forçça distribua distribuí í da pela sua resultante.da pela sua resultante.

ForForçças Distribuas Distribuí í dasdas –– Centros de MassaCentros de Massae Centre Centróóidesides



Tipos de for Tipos de forçça distribua distribuí í da:da:a)a) DistribuiDistribuiçção linearão linear: For: Forçça por unidade dea por unidade de

comprimento (N/m);comprimento (N/m);b)b) DistribuiDistribuiçção ao longo de umaão ao longo de uma áárearea: For: Forçça pora por

unidade deunidade de áárea ou pressão (N/mrea ou pressão (N/m²² ou Pa);ou Pa);c)c) DistribuiDistribuiçção volumão voluméétricatrica: for: forçças de corpo (ex.as de corpo (ex.

forforçça gravitacional)a gravitacional)



PrincPrincí í pio dos momentospio dos momentos: o momento da for: o momento da forççaagravitacional resultante W em relagravitacional resultante W em relaçção a qualquerão a qualquereixoeixo éé igual a soma dos momentos , em relaigual a soma dos momentos , em relaçção aoão ao

mesmo eixo, das formesmo eixo, das forçças gravitacionaisas gravitacionais dWdW atuandoatuandoem todas asem todas aspartpartí í culas do corpo,culas do corpo,tratadas comotratadas comoelementoselementosinfinitesimais.infinitesimais.

∫= dW W



Coordenadas do centro de massaCoordenadas do centro de massa


∫=W

xdW x

∫=W

ydW y

∫=W

zdW z

∫=m

xdm x

∫=m

ydm y

∫=m

zdm z

∫=m

dmr

r

A densidadeA densidade rr de um corpo,de um corpo, éé sua massa porsua massa porunidade de volume.unidade de volume.

A massa de um elemento diferencial dVA massa de um elemento diferencial dV éé::

SeSe ρρ for constante por todo o corpo:for constante por todo o corpo:


dV dm ρ =

V

xdV

x ∫= V

ydV

y ∫= V

zdV

z ∫=



CENTRCENTRÓÓIDES DE LINHAS,IDES DE LINHAS, ÁÁREAS E VOLUMESREAS E VOLUMES

Quando o densidade de um corpoQuando o densidade de um corpo éé uniformeuniformepor todo o corpo, as expressões anteriorespor todo o corpo, as expressões anterioresdefinem uma propriedade puramentedefinem uma propriedade puramentegeomgeoméétrica do corpo.trica do corpo.

Se a densidade for uniforme em todo o corpo,Se a densidade for uniforme em todo o corpo,o centro de massa e o centro centro de massa e o centróóide coincidem.ide coincidem.

O cO cáálculo dos centrlculo dos centróóides caem em trêsides caem em três

categorias distintas:categorias distintas: linhas,linhas, ááreas oureas ou

volumes.volumes.



CENTRCENTRÓÓIDES DE LINHAS:IDES DE LINHAS:

Barra esbelta ou arameBarra esbelta ou arame Comprimento LComprimento L

ÁÁrea da serea da seçção transversal Aão transversal A

DensidadeDensidade ρρ

L

xdL x ∫=

L

ydL y ∫=

L

zdL z ∫=




CENTRCENTRÓÓIDES DEIDES DE ÁÁREAS:REAS:

Espessura pequena eEspessura pequena econstante (t)constante (t)

ÁÁrea de superf rea de superf í í cie Acie A


A

xdA

x

∫= A

ydA y

∫= A

zdA z

∫=

∫ xdA ∫ ydA ∫ zdA Momentos de primeira ordemou momento estático de área.


CENTRCENTRÓÓIDES DE VOLUME:IDES DE VOLUME:

Volume VVolume V


x

yx

y

z

z

dydx

V

xdV x

∫=

V

ydV y

∫=

V

zdV z

∫=




Escolha do elemento de integraEscolha do elemento de integraççãoão

Selecionar um elemento diferencial de primeiraSelecionar um elemento diferencial de primeiraordem (de preferência)ordem (de preferência)



Selecionar um elemento diferencial de primeiraSelecionar um elemento diferencial de primeiraordem (de preferência)ordem (de preferência)



Continuidade: elemento que pode serContinuidade: elemento que pode ser

integrado em operaintegrado em operaçção contão contí í nua.nua.

- não recomendado- recomendado




Exemplo 1:Exemplo 1: Localize o centrLocalize o centróóide de um arco circular,ide de um arco circular,como mostrado na figura.como mostrado na figura.


Exemplo 2:Exemplo 2: Determine a distância desde a base deDetermine a distância desde a base deum triângulo de alturaum triângulo de altura hh atatéé o centro centróóide de suaide de sua áárea.rea.

h



Exemplo 3:Exemplo 3: Determine o centrDetermine o centróóide daide da áárea sob area sob a

curvacurva x = k.yx = k.y33

desde x = 0 atdesde x = 0 atéé x = a.x = a.


Exemplo 3:Exemplo 3: Determine o centrDetermine o centróóide daide da áárea sob area sob acurvacurva x = k.yx = k.y33 desde x = 0 atdesde x = 0 atéé x = a.x = a.




Determine aDetermine a coordenadacoordenada y doy do centrcentróóideide dada áárearea

sombreadasombreada..


ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão


ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.65.6 -- Determine asDetermine as coordenadascoordenadas dodo centrcentróóideide dada áárearea





ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.135.13 -- Determine asDetermine as coordenadascoordenadas dodo centrcentróóideide dada áárearea



ExercExercí í cios de fixacios de fixaççãoão5.185.18 -- Determine aDetermine a coordenadacoordenada x dox do centrocentro dede massamassa

dada barrabarra dede aaççoo dede secsecççãoão varivariáávelvel ee comprimentocomprimento

L,L, sendosendo queque oo diâmetrodiâmetro dada extremidadeextremidade maismais largalargaéé duasduasvezesvezes oodiâmetrodiâmetrodada extreextre--midademidademenormenor..



5.35.3

5.45.4

5.55.5

5.75.7

5.95.9

5.115.11

5.165.16

ForForçças Distribuas Distribuí í dasdas –– Centros de Massa eCentros de Massa eCentrCentróóidesides

ExercExercí í cios Propostoscios Propostos

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