Prof. Oscar
Centro de Massa e Momento Linear
(Colises)
Capitulo 9
O centro de massa Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto
nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma nica partcula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de foras que ele.
O centro de massa
Uma bola arremessada para
cima segue uma trajetria
parablica, o centro de
massa de um taco de
beisebol lanado para cima
com um movimento de
rotao tambm mais os
outros pontos do taco
seguem trajetrias mais
complexas.
Sistema de partculas - Uma dimenso
Vamos definir inicialmente a posio xcm do centro de massa
para um sistema composto de duas partculas de massas m1 e m2 e
que ocupam as posies x1 e x2.
Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta,
podemos fazer uma extenso da definio anterior:
Sistema de partculas - Duas
dimenses
Para a definio do centro de massa de um sistema de N partculas
distribudas em um plano podemos, por analogia com as definies
anteriores, considerar que:
Exemplo 1.:
1. Quais so as coordenadas do centro de massa das trs partculas que
aparecem no desenho a seguir? A unidade das distncias o metro.
Momento Linear
O termo Quantidade de Movimento tem um significado
nico e preciso em fsica. A quantidade de Momento
Linear de uma partcula um vetor , definido como Q.
Q mv
Em muitos livros o momento linear representado pelo vetor P.
A taxa de variao com o tempo da quantidade de
movimento de uma partcula igual fora resultante
que atua sobre a partcula e possui a mesma direo e o
mesmo sentido dessa fora.
Momento Linear
res
dQF
dt
( )resdQ d dv
F mv m madt dt dt
A Quantidade de Movimento Linear de um
Sistema de Partculas
Considere agora um sistema de n partculas, cada uma com sua prpria massa,
velocidade e quantidade de movimento linear. As partculas podem interagir
uma com as outras, e foras externas tambm podem agir sobre elas. O sistema
como um todo possui uma quantidade de movimento linear Q, que definida
como a soma vetorial das quantidades de movimentos lineares das partculas
individuais. Assim,
1 2 3 ... nQ Q Q Q Q
....332211 nnvmvmvmvm
Conservao da Quantidade de Movimento
Linear
Suponha que a fora externa resultante que atua sobre um sistema
de partculas seja nula (que o sistema seja isolado) e que no haja
partculas saindo nem entrando no sistema (que o sistema seja
fechado).
0resF
0dQ
dt
Q = constante (sistema isolado, fechado).
Este resultado chamado de lei de conservao da
quantidade de movimento linear. Ela tambm pode ser
escrita como
Conservao da Quantidade de Movimento
Linear
i fQ Q(sistema isolado, fechado)
(quantidade de movimento linear total em algum instante inicial ti) =
(quantidade de movimento linear total em algum instante posterior tf ).
Exemplo 2:2. Um vago de 14.000kg se movimenta horizontalmente a 4m/s em
direo a um ptio de manobra. Ao passar por um silo de
alimentao, 2000kg de gro caem subitamente no interior do
vago. Quanto tempo ser gasto pelo vago para percorrer uma
distncia de 500m a partir do silo em direo ao ptio? Admita que
os gros caiam na direo vertical e que a leve desacelerao
devida ao atrito por rolamento ou a resistncia do ar sejadesprezvel.
Exemplo 3:
3. Uma urna de votao com massa m=6.0 kg desliza com
velocidade v=4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido
positivo de um eixo x. Repentinamente ela explode em dois
pedaos. Um pedao, de massa 4kg se desloca no sentido
positivo do eixo x com velocidade 2 m/s. Qual a velocidade do
segundo pedao, de massa 2kg?
COLISES
Uma coliso um eventosolado no qual dois ou maiscorpos (os corpos quecolidem) exercem uns sobreos outros forasrelativamente elevadas porum tempo relativamentecurto.
O que uma Coliso?
Devemos ser capazes de distinguir instantes que esto
antes, durante e depois de uma coliso.
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
d QF
dt
QF
t
( )dQ F t dt Q F t
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
( )f f
i i
Q t
Q tdQ F t dt Q F t
( )f
i
t
tI F t dt
Definio Impulso
medI F t
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
Exemplo 4:4. Com um golpe de carat, voc
pode quebrar um bloco de concreto.
Considere que sua mo possua uma
massa de 0,70kg e se mova a 5,0m/s
quando atinge o bloco, e pra a
6mm do ponto de contato. (a) Qual
o impulso que o bloco exerce
sobre a sua mo? (b) Qual o tempo
aproximado de coliso e a fora
mdia que o bloco exerce sobre sua
mo?
Exemplo 5:5. Um carro equipado com um boneco (80kg) instrumentado para
testes de impacto colide com uma parede rgida a 25m/s. estime a
fora que o cinto de segurana exerce sobre o boneco durante o
impacto. Admita que o carro e o boneco tenham se movimentado
1m aps a parte frontal ser completamente destruda.
Exemplo 6:
6. Uma bola de beisebol de 150 g, lanada com uma velocidade de
40 m/s rebatida para o arremessador na mesma direo em que
chegou com uma velocidade de 60m/s. Qual a intensidade da fora
mdia que o basto exerce sobre a bola se o basto estiver em
contato com a bola por 5,0 ms?
Exemplo 7:
7. Uma bola de 1,2 kg cai na vertical sobre um piso, acertando-o
com uma velocidade de 25m/s. Ela ressalta com uma velocidade
inicial de 10m/s. (a) Que impulso atua sobre a bola durante o
contato? (b) Se a bola estiver em contato com o piso por 0,020 s,
qual a intensidade da fora mdia que a bola exerce sobre o piso.
Exemplo 8:
8. bem sabido que balas e outros
objetos disparados no Super-Homem
simplesmente voltam ao bater no seu
peito (Fig.). Suponha que um gngster
d uma rajada no peito do Super-
Homem com balas de 3 g a uma taxa de
100 balas/mim e que a velocidade de
cada bala seja de 500 m/s. Suponha
tambm que as balas voltem na mesma
direo sem mudar de velocidade. Qual
a intensidade da fora media que o fluxo
de balas exerce sobre o peito do Super-
Homem?
Quantidade de Movimento e Energia Cintica
em Colises
Coliso Elstica
Coliso Inelstica
Quantidade de movimento Linear
Em um sistema isolado e fechado, contendo uma coliso, a
quantidade de movimento linear de cada corpo que colide
pode variar, mas a quantidade de movimento linear total Q
do sistema no pode variar, seja a coliso elstica ou
inelstica.
Colises Inelsticas em Uma Dimenso
Coliso Unidimensional
1 2 1 2i i f fQ Q Q Q (conservao da quantidade de movimento linear).
ffii vmvmvmvm 22112211
Coliso Completamente Inelstica
1 1 20i f fQ Q Q
Vmmvm i )( 2111
VmVmvm i 2111
.1
21
1iv
mm
mV
Juntos aps
a coliso
9. Um projtil de 10g de massa atinge um pndulo balstico de 2kg de massa.
O centro de massa do pndulo eleva-se de uma altura de 12cm.
Considerando-se que o projtil permanea embutido no pndulo, calcule
a velocidade inicial do projtil.
Exemplo 9:
10. Voc repete a proeza do exemplo anterior, mas agora com uma caixa
vazia como alvo. O projtil atinge a caixa e a atravessa completamente.
Um sensor a laser indica que o projtil emergiu com metade de sua
velocidade inicial. Sabendo disso, voc corretamente revela at que altura
o alvo oscilou. Que altura essa?
Exemplo 10:
Exemplo 11:11. Um carro de 2000kg, movendo-se a 25m/s, colide com outro
carro de 1500kg inicialmente em repouso. Se a coliso perfeitamente
inelstica, determine (a) a velocidade de cada um dos carros aps a
coliso e (b) a razo entre a energia cintica final do sistema e sua
energia cintica inicial.
Colises Elsticas em Uma Dimenso
(Alvo em Repouso) (energia cintica total antes da coliso) = (energia cintica total depois da
coliso)
Em uma coliso elstica, a energia cintica de cada corpo que colide pode
variar, mas a energia cintica total do sistema no pode variar.
(quantidade de movimento linear)
Colises Elsticas em Uma Dimenso
(Alvo em Repouso)
ffi vmvmvm 221111
2
22
2
11
2
112
1
2
1
2
1ffi vmvmvm (energia cintica)
reescrevemos
ffi vmvvm 22111 )(
.))(( 22211111 ffifi vmvvvvm
Aps dividirmos uma equao pela outra e um pouco de
lgebra obtemos:
Colises Elsticas em Uma Dimenso
(Alvo em Repouso)
if vmm
mmv 1
21
211
.1
21
12
2if v
mm
mv
Coliso elstica em duas dimenses Vamos considerar uma partcula de massa m1 e velocidade v1 se
deslocando em direo de uma outra partcula de massa m2que se encontra em repouso.
Exemplo 12:12. Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito.
a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 1,6kg aps a coliso?
b) A coliso elstica?
13. Uma bola de ao de 0,5kg de massa presa a uma corda, de
70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e liberada quando a
corda est na posio horizontal. No ponto mais baixo de sua
trajetria, a bola atinge um bloco de ao de 2,5kg inicialmente em
repouso sobre uma superfcie sem atrito. A coliso elstica. a)
Encontre a velocidade da bola imediatamente aps a coliso.
Exemplo 13:
b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente aps a coliso.
14. Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma
ngulo = 300 e, ento, ricocheteia com mesmo ngulo e velocidade demesmo mdulo. Ela fica em contato com a parede por 10ms .
a) Qual foi o impulso sobre a bola?
b) Qual a fora mdia exercida pela
bola sobre a parede?
Exemplo 14:
Exemplo 15: Voc est dirigindo um carro de 1200kg, viajando para o leste em um
cruzamento quando um outro veculo de 3000kg, viajando para o norte,
atravessa o cruzamento e bate em seu carro(veja figura). Seu carro e outro
permanecem grudados aps a coliso. Verifique se seu carro estava acima da
velocidade permitida que 80km/h, sabendo que no houve marcas de freada,
e o caminho ficou com o velocmetro preso na indicao de 50km/h, e que os
dois deslizam a 590 ao norte do leste ?
Um corpo de massa m1, com rapidez inicial de 20m/s, sofre uma coliso no
frontal com um segundo corpo, de massa m2. O segundo corpo est
inicialmente em repouso. Depois da coliso, o primeiro corpo est se movendo
a 15m/s, a um ngulo de 250 com a orientao de sua velocidade inicial. Qual
o ngulo de afastamento do segundo corpo?
Exemplo 16:
Top Related