1
ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ)ΤΑΞΗ: Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΩΣ - §2.6 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ΩΡΕΣΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ…………………………………………………………………………ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 27/12/2015ΣΧΟΛΙΑ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ΘΕΜΑ Α
Α1.α)Να διατυπώσετε τα θεωρήματα Rolle και Μέσης τιμής και να δώσετε τη γεωμετρικήερμηνεία τους.β)Για μια συνάρτηση f ισχύει f’(x)=f(x) για κάθε x∈R. Ποια μορφή έχει ο τύπος της f ;
Α2. Να ελέγξετε αν είναι Σωστή ή Λανθασμένη καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις,γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεών σας τη λέξη Σωστή ή Λανθασμένη δίπλα στοναριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:
1. Αν f '(x) g'(x) x τότε f(x) g(x) c , c2. Αν ισχύει : *f '(x) 0 x τότε f(x) c *x , c3. Αν ισχύει : f '(3x) g'(5x) x τότε f(3x) g(5x) c , c4. Αν
0x xlim f(x) 0
, τότε η f(x) 0 κοντά στο 0x .
5. Αν υπάρχει το όριο 0x x
lim f(x) g(x)
, τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν και τα όρια
0x xlim f(x)
και0x x
limg(x)
.
6. Αν0x x
lim f(x) 0
, τότε θα ισχύει ότι0x x
1lim ήf(x)
.
7. Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε υπάρχει ( , ) τέτοιο ώστε ( )f '( ) f( ) f( )
Μονάδες:( 12 +6)+7 = 25
ΘΕΜΑ Β
Έστω η συνάρτηση f :[ , ] η οποία είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και f '(x) 0 για κάθε x ( , )Να αποδείξετε ότι:
α. f( ) f( ) .
β. υπάρχει 0x ( , ) τέτοιο ώστε 0
f( ) 2f( )f(x )3
ΒΑΘΜΟΣ
2
γ. υπάρχουν 1 2, ( , )τέτοια ώστε
01
2 0
xf '( ) 2f '( ) x
δ. υπάρχουν 1 2 3, , ( , ) τέτοια ώστε 1 2 3
2 1 3f '( ) f '( ) f '( )
Μονάδες : 6 + 6 + 8 + 5 = 25
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f(0) 1 και: 2f(x) f(x)e 2xe 1 για κάθε x
α. Να βρείτε τον τύπο της f.
β. Να υπολογίσετε το όριοx
lim f(x) .
γ. Να αποδείξετε ότι 2
1f '(x)x 1
για κάθε x .
δ. Δίνεται η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g(0) 0 , g'(0) 2 και: 2(x 1)g''(x) xg'(x) x για κάθε x .
Ι) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
2h(x) x 1 (g'(x) 1) με x είναι σταθερή.
ΙΙ) Να βρείτε το πρόσημο της g'
Μονάδες: 5 + 5 + 5 +( 5 + 5) = 25
3
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) δυο φορές παραγωγίσιμη, για την όποια ισχύει:
2
2x 1
f(x) (x 1) 3lim2x 3x 2
και f ''(x)2f '(x) xf ''(x) ,x (0, )
x.
α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείοΑ( 1,f(1) ) .
β. Να βρείτε τον τύπο της f ’ .
Δ2. Για μία συνάρτηση f : (0, ) ισχύει 2f(x) 1 x f '(x) , για κάθε x 0 και
xlim f(x) 2 .
α. Αν 1xg(x) f(x)e , να αποδείξετε ότι
1xg(x) e c για κάποια σταθερά c .
β. να προσδιορίσετε τον τύπο της f .
γ. να βρείτε αν υπάρχει το όριοx 0
limf(x)
Μονάδες: (4+ 6) + (5 + 5+5) = 25
Top Related