1

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ)ΤΑΞΗ: Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΩΣ - §2.6 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ΩΡΕΣΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ…………………………………………………………………………ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 27/12/2015ΣΧΟΛΙΑ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ΘΕΜΑ Α

Α1.α)Να διατυπώσετε τα θεωρήματα Rolle και Μέσης τιμής και να δώσετε τη γεωμετρικήερμηνεία τους.β)Για μια συνάρτηση f ισχύει f’(x)=f(x) για κάθε x∈R. Ποια μορφή έχει ο τύπος της f ;

Α2. Να ελέγξετε αν είναι Σωστή ή Λανθασμένη καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις,γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεών σας τη λέξη Σωστή ή Λανθασμένη δίπλα στοναριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

1. Αν f '(x) g'(x) x τότε f(x) g(x) c , c2. Αν ισχύει : *f '(x) 0 x τότε f(x) c *x , c3. Αν ισχύει : f '(3x) g'(5x) x τότε f(3x) g(5x) c , c4. Αν

0x xlim f(x) 0

, τότε η f(x) 0 κοντά στο 0x .

5. Αν υπάρχει το όριο 0x x

lim f(x) g(x)

, τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν και τα όρια

0x xlim f(x)

και0x x

limg(x)

.

6. Αν0x x

lim f(x) 0

, τότε θα ισχύει ότι0x x

1lim ήf(x)

.

7. Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε υπάρχει ( , ) τέτοιο ώστε ( )f '( ) f( ) f( )

Μονάδες:( 12 +6)+7 = 25

ΘΕΜΑ Β

Έστω η συνάρτηση f :[ , ] η οποία είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και f '(x) 0 για κάθε x ( , )Να αποδείξετε ότι:

α. f( ) f( ) .

β. υπάρχει 0x ( , ) τέτοιο ώστε 0

f( ) 2f( )f(x )3

ΒΑΘΜΟΣ

2

γ. υπάρχουν 1 2, ( , )τέτοια ώστε

01

2 0

xf '( ) 2f '( ) x

δ. υπάρχουν 1 2 3, , ( , ) τέτοια ώστε 1 2 3

2 1 3f '( ) f '( ) f '( )

Μονάδες : 6 + 6 + 8 + 5 = 25

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f(0) 1 και: 2f(x) f(x)e 2xe 1 για κάθε x

α. Να βρείτε τον τύπο της f.

β. Να υπολογίσετε το όριοx

lim f(x) .

γ. Να αποδείξετε ότι 2

1f '(x)x 1

για κάθε x .

δ. Δίνεται η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g(0) 0 , g'(0) 2 και: 2(x 1)g''(x) xg'(x) x για κάθε x .

Ι) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

2h(x) x 1 (g'(x) 1) με x είναι σταθερή.

ΙΙ) Να βρείτε το πρόσημο της g'

Μονάδες: 5 + 5 + 5 +( 5 + 5) = 25

3

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) δυο φορές παραγωγίσιμη, για την όποια ισχύει:

2

2x 1

f(x) (x 1) 3lim2x 3x 2

και f ''(x)2f '(x) xf ''(x) ,x (0, )

x.

α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείοΑ( 1,f(1) ) .

β. Να βρείτε τον τύπο της f ’ .

Δ2. Για μία συνάρτηση f : (0, ) ισχύει 2f(x) 1 x f '(x) , για κάθε x 0 και

xlim f(x) 2 .

α. Αν 1xg(x) f(x)e , να αποδείξετε ότι

1xg(x) e c για κάποια σταθερά c .

β. να προσδιορίσετε τον τύπο της f .

γ. να βρείτε αν υπάρχει το όριοx 0

limf(x)

Μονάδες: (4+ 6) + (5 + 5+5) = 25