49
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Цель работы. Изучение частотных характеристик типовых динамических зве-
ньев и способов их построения.
Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознако-
миться с описанием лабораторной работы и получить вариант задания. До работы до-
пускаются студенты, заполнившие первые два столбца таблицы экспериментальных
данных 9.4 для всех типов заданных динамических звеньев. Лабораторная работа рас-
считана на 2 часа.
Теоретические сведения. Если на вход устойчивого линейного звена с переда-
точной функцией W s( ) подается гармонический сигнал g t g tm( ) sin , где — уг-
ловая частота, а gm — амплитуда, то на его выходе в установившемся режиме будет
гармонический сигнал y t y tm( ) sin( ) той же частоты , но, в общем случае, с
другой амплитудой ym и ненулевым фазовым сдвигом (см. рис.9.1, где / —
временной интервал, соответствующий фазовому сдвигу ).
Рис. 9.1.Реакция устойчивого линейного звена на гармонический сигнал
Для аналитического описания частотных свойств динамических звеньев исполь-
зуется частотная передаточная функция W j( ) , которая для фиксированной частоты
представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению ампли-
туды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала, а аргумент — сдвигу фаз меж-
ду входным и выходным сигналами. В более общей формулировке частотная переда-
точная функция определяется как отношение изображений Фурье выходного и входно-
го сигналов. Формальное правило получения аналитического выражения для частотной
передаточной функции по известной передаточной функции W s( ) состоит в подстанов-
ке s j , т.е. W j W s s j( ) ( ) , что соответствует переходу от изображения Лапласа
к изображению Фурье.
Частотная передаточная функция (ЧПФ) может быть представлена в виде:
W j A e j( ) ( ) ( )
или
50
W j U jV( ) ( ) ( ) ,
где U( ) — вещественная часть, V( ) — мнимая часть, A U V( ) ( ) ( ) 2 2 —
модуль, а
( )
( )
( ) arctg
V
U — аргумент (фаза) ЧПФ.
С помощью частотной передаточной функции могут быть легко построены сле-
дующие частотные характеристики.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость A( ) при изме-
нении частоты от 0 до (см. рис.9.2) .
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — зависимость ( ) при измене-
нии частоты от 0 до (см. рис.9.3).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — годограф, соответ-
ствующий частотной передаточной функции при изменении частоты от 0 до , по-
строенный на комплексной плоскости ( , )U V (см. рис.9.4). При этом за положительное
значение фазы понимается направление вращения от вещественной оси против часовой
стрелки.
Рис. 9.4. Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Рис. 9.5. Логарифмические ампли-
тудная и фазовая частотные харак-
теристики
Рис. 9.2. Амплитудно-частотная
характеристика
Рис. 9.3. Фазовая частотная
характеристика
51
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики (ЛАЧХ и
ЛФЧХ). При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики по
оси ординат откладывается величина L A( ) lg ( ) 20 , единицей измерения которой
является децибел (дБ). По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом
масштабе (см. рис. 9.5). Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном
месте. Поэтому ее проводят так, чтобы справа от нее отобразить интересующий диапа-
зон частот. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза с р . В
инженерных расчетах используют асимптотические ЛАХ, которые можно построить
практически без вычислительной работы. Подобные характеристики представляют
собой ломанную линию, состоящую из отрезков, расположенных к оси абсцисс под
углами, кратными 20 дБ/дек. Логарифмическая фазовая частотная характеристика
отличается от ФЧХ только тем, что ось абсцисс строится в логарифмическом масштабе.
В данной работе частотные характеристики элементарных динамических звень-
ев строятся по точкам на основании данных, полученных экспериментально. В экспе-
рименте исследуется реакция звена на синусоидальное входное воздействие (см.
рис.9.1). Схема моделирования в этом случае должна состоять из генератора синусои-
дального сигнала, исследуемого звена и устройств регистрации входного и выходного
сигналов. При заданном значении частоты и амплитуды входного сигнала для опреде-
ления точек частотной характеристики необходимо измерить значение амплитуды вы-
ходного сигнала и сдвиг фаз между входным и выходным сигналом в установившемся
режиме. После соответствующей обработки эти данные дадут одну точку на частотной
характеристике. Повторение таких измерений при различных значениях частоты вход-
ного сигнала даст массив точек по которым строятся частотные характеристики.
Порядок выполнения работы
1. Собрать схему моделирования в соответствии с кодом варианта задания (см.
табл.9.1). Первые три цифры кода обозначают тип исследуемых звеньев (см. табл.9.2), а
последняя цифра — номер сочетания параметров исследуемых звеньев (см. табл.9.3).
2. Установить амплитуду gm 1 и частоту 1 входного сигнала. Частота
1 должна быть меньше на одну декаду сопрягающей частоты 1/ T . В установившемся
режиме измерить значения амплитуды выходного сигнала и сдвиг фаз между входным
и выходным сигналами. Для определения значения фазы следует учитывать, что на по-
лученных графиках по оси абсцисс отложено время. Значение фазы выходного сигнала
в радианах можно рассчитать, используя формулу , где значение частоты
входного сигнала в радианах. Полученные данные занести в таблицу (см. табл.9.4).
3. Изменить значение частоты синусоидального воздействия и повторить изме-
рения по п.2. Для построения частотных характеристик необходимо снять не менее 10
точек с различными значениями частоты. Диапазон изменения частоты входного сиг-
нала — от -1 декады до +1 декады относительно сопрягающей частоты 1/ T .
Содержание отчета
1. Передаточные функции исследуемых звеньев.
2. Одна из полученных временных диаграмм со всеми построениями, иллю-
стрирующими способ получения экспериментальных данных.
3. Таблицы экспериментальных данных.
4. Экспериментальные АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и ЛАФЧХ исследуемых звеньев.
5. Асимптотические ЛАЧХ исследуемых звеньев, построенные графо-
аналитическим методом.
52
6. Выводы.
Вопросы к защите лабораторной работы.
1. Запишите аналитическое выражение для вещественной части ЧПФ апериоди-
ческого звена 1-го порядка.
2. Запишите аналитическое выражение для аргумента ЧПФ изодрома.
3. Чему равно значение модуля ЧПФ на частоте среза?
4. Почему в выражении для L( ) присутствует множитель 20?
Таблица 9.1
Коды вариантов задания
№ вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
код 1671 2352 4573 1264 1455 3676 2457 1572 2363 1256 3561 2465
Таблица 9.2 Таблица 9.3
Тип звена Передаточная функция k T
1 Апериодическое 1-го поряд-
ка
k
Ts 1
1 5 0.1 0.1
2 Колебательное k
T s Ts2 2 2 1
2 2 0.5 0.15
3 Идеальное интегрирующее k
s
3 10 2 0.25
4 Интегрирующее с замедле-
нием
k
s Ts( )1
4 8 4 0.3
5 Изодромное k Ts
s
( )1
5 15 0.2 0.2
6 Дифференцирующее с за-
медлением
ks
Ts1
6 4 8 0.45
7 Консервативное k
T s1 2 2
7 3 5 0.4
Таблица 9.4
Таблица экспериментальных данных
lg A( ) L A( ) lg ( ) 20 ( )
1 lg1
31
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА
Цель работы. Изучить связь характера переходной характеристики, ди-
намических свойств системы с размещением на комплексной плоскости нулей и
полюсов.
Методические рекомендации. До начала работы студенты должны по-
лучить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты,
выполнившие требуемые расчеты и составившие схемы моделирования иссле-
дуемых систем. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.
Теоретические сведения. Рассмотрим динамическую систему, которая
описывается дифференциальным уравнением n-го порядка
y a y a y a y bgn
n
n( ) ( )
1
1
1 0 , (6.1)
где y - выходная переменная , g - входная переменная, a an0 1, , ,b - постоян-
ные параметры. Здесь y k( ) - k-ая производная функции y t( ) по времени t .
Корни si ( i n 12, , , ) характеристического полинома системы (полюса систе-
мы)
a s s a s a s an
n
n( )
1
1
1 0 , (6.2)
где s - комплексная переменная, определяют характер переходной функции
h t( ) системы с установившимся значением h t k b an ( ) / , а следовательно, и
такие динамические показатели, как время переходного процесса t и перере-
гулирование .
Используя понятие среднегеометрического корня
s s s ann n
1 2 0
характеристический полином (6.2) можно представить в виде
a s s s sn
n
n n n( )
1
1
1
1 , (6.3)
в котором коэффициенты 1 2 1, , , n определяются выражением
i
i
n i
a .
Среднегеометрический корень может служить мерой быстроты проте-
кания переходных процессов. Если в уравнении (6.3) увеличить , например, в
10 раз, то переходный процесс, оставаясь подобным самому себе, будет проте-
32
кать в 10 раз быстрее. В связи с этим можно рассматривать полином (6.3) при
1 как некоторый нормированный характеристический полином, которому
соответствует нормированная переходная функция h t* ( ) и нормированное время
переходного процесса t* . Если качество переходного процесса с точки зрения
перерегулирования является приемлемым, то требуемое время переходного
процесса t может быть обеспечено соответствующим выбором величины .
Для обеспечения требуемого значения перерегулирования необходимо
задаться определенным распределением корней характеристического полинома,
например, распределением Баттерворта или биномиальным распределением
Ньютона.
Распределением Баттерворта называется такое размещение на ком-
плексной плоскости 2n комплексных чисел si , при котором они располагаются
в вершинах правильного 2n-угольника (см. рис. 6.1). При этом все числа имеют
знакоопределенную вещественную часть (Re si 0 ) и равные модули si .
Значения таких комплексных чисел для заданного n однозначно определяется
значением и находятся из выражения
si =
ej
i
n2
2 1
2
, i n=1,2, ,2 ,
причём n чисел s sn1 , , имеют строго отрицательную вещественную часть, т.е.
лежат в левой полуплоскости.
R e
I m
R e
I m
n 1 n 2
Рис. 6.1. Распределение Баттерворта для различных значений порядка n
Полиномом Баттерворта называется алгебраический полином n-го по-
рядка a s , n корней которого совпадают с n комплексными числами, подчиня-
ющимися распределению Баттерворта и имеют отрицательную вещественную
часть. Полином определяется формулой
a s = s ej
i
n
i
n
2
2 1
2
1
= s s sn
n
n n n
1
1
1
1 , (6.4)
где i 0 , а его коэффициенты находятся по формуле: ai i
n i . Полиномы
1-6 -го порядка приведены в табл. 6.1.
33
При биномиальном распределении Ньютона n комплексных чисел si
принимаются равными и вещественными, т.е. si . Биномиальный полином
Ньютона n-го порядка задается в общем виде выражением
Таблица 6.1.
Полиномы Баттерворта для различного порядка системы n
n полином Баттерворта
1 s+
2 s s2 +1.414 + 2
3 s s s3 2+2 +2 + 2 3
4 s s s s4 3 2+2.613 +3.414 + 2.613 + 2 3 4
5 s s s s s5 4 3 2+3.236 +5.236 +5.236 +3.236 + 2 3 4 5
6 s s s s s s6 5 4 3 2+ 3.86 + 7.46 + 9.13 + 7.46 + 3.86 + 2 3 4 5 6
s s s s sn n
n
n n n
1
1
1
1 , (6.5)
где i -биномиальные коэффициенты. Полиномы 1-6-го порядков приведены в
табл. 6.2.
Таблица 6.2
Биномиальные полиномы для различного порядка системы n
n Биномиальный полином
1 s +
2 s s2 + 2 + 2
3 s s s3 2+3 +3 + 2 3
4 s s s s4 3 2+4 +6 +4 + 2 3 4
5 s s s s s5 4 3 2+5 +10 +10 +5 + 2 3 4 5
6 s s s s s s6 5 4 3 2+6 +15 +20 +15 +6 + 2 3 4 5 6
Переходные характеристики системы (6.1) порядка n 1 6, , с характе-
ристическим полиномом вида (6.4), построенные в нормированном виде ( 1,
b 1), приведены на рис. 6.2, а с характеристическим полиномом (6.5) на
рис.6.3. Динамические системы с рассмотренными характеристическими поли-
номами асимптотически устойчивы, что обусловлено выбором корней характе-
ристического полинома и обладают высокими динамическими показателями.
Перерегулирование для системы (6.1) с полиномом Баттерворта ограничено:
15% ,
34
а с биномиальным распределением обеспечивается получение монотонного пе-
реходного процесса ( 0 ).
Метод стандартных переходных функций используется для определения
коэффициентов системы (6.1) по заданным показателям , ,t k . При этом тре-
бование монотонности переходного процесса однозначно определяет выбор в
качестве характеристического полинома биномиального полинома (6.5), а до-
Рис 6.2 Нормированные переходные характеристики системы с
характеристическим полиномом Баттерворта
Рис 6.3 Нормированные переходные характеристики системы с
биноминальным характеристическим полиномом
пущение перерегулирования не большего 15% - выбор полинома Баттерворта
(6.4). Кроме того, при распределении корней характеристического полинома по
Баттерворту, в сравнении с биномиальным распределением, требуемое время
переходного процесса можно обеспечить при меньших по абсолютной величине
значениях коэффициентов характеристического полинома.
35
Коэффициенты системы ai ( i n 12, , , ) находятся по заданному значе-
нию времени переходного процесса t следующим образом:
a) по нормированным переходным функциям (рис.6.2, 6.3) определяется значе-
ние t* ;
b) среднегеометрический корень определяется по значениям t и t* , для
чего используется формула t t
* / ;
c) коэффициенты ai искомого полинома определяются выражением
ai i
n i , где значения i находятся по таблице 6.1 или 6.2, в зависимости
от выбранного типа распределения корней характеристического уравнения.
Коэффициент b определяется по заданной величине статического коэф-
фициента k выражением b ka 0 .
В некоторых случаях, возникает задача оценки быстродействия системы
без построения ее переходной характеристики. Для этого может использоваться
понятие степени устойчивости. Под степенью устойчивости понимается
абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня.
Предполагая, что переходный процесс можно считать закончившимся тогда,
когда затухнет составляющая, определяемая ближайшим к мнимой оси корнем,
получим приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем
переходного процесса
t 1 1
005ln.
(6.6)
Формула (6.6) имеет приемлемую точность, когда абсолютное значение веще-
ственной части ближайшего к мнимой оси корня не менее чем на порядок
меньше абсолютных значений вещественных частей остальных корней.
В отличии от рассмотренной выше системы вида (6.1) характер переход-
ного процесса в системе вида
y a y a y a y b g b gn
n
n
m
m( ) ( ) ( )
1
1
1 0 0 (6.7)
определяется не только корнями характеристического полинома, т.е. полюсами
системы, но и корнями полинома
b s b s b s bm
m
m
m( )
1
1
0 ,
которые называются нулями системы. При заданном полиноме a s( ) выбором
коэффициентов полинома b s( ) можно, к примеру, уменьшить время переходно-
го процесса, или обеспечить инвариантность системы к некоторым типам вход-
ных сигналов.
Порядок выполнения работы
1. По заданным в табл. 6.3 значениям постоянных n t k, , определите
параметры системы (6.1) с характеристическим полиномом Баттерворта и би-
номиальным полиномом. Для каждого случая рассчитайте корни характеристи-
ческого полинома (6.2) и оцените время переходного процесса по формуле (6.6).
36
Составьте схему моделирования системы и постройте переходные характери-
стики, соответствующие двум типам распределения корней характеристическо-
го уравнения.
2. Для каждого набора параметров b bm0 , , , приведенных в табл. 6.4 и
6.5, постройте переходные характеристики системы (6.7) с коэффициентами
a an0 1, , и коэффициентом b, рассчитанными в п.1 для биномиального рас-
пределения корней характеристического уравнения.
3. Для набора параметров b bm0 , , и внешнего воздействия g t( ) , приве-
денных в табл. 6.6, постройте реакцию системы (6.7) с нулевыми начальными
условиями и коэффициентами a an0 1, , рассчитанными в п.1 для биномиаль-
ного распределения корней характеристического уравнения. На экран монитора
выводить графики y t g t( ), ( ) .
Содержание отчета
1. Математическая модель динамических систем (6.1), (6.7) и соответ-
ствующие им схемы моделирования.
2. Коэффициенты и корни характеристического уравнения системы, рас-
считанные по заданным показателям для двух типов распределения корней.
Оценка времени переходного процесса.
3. Результаты вычислительных экспериментов (графики пяти переход-
ных функций и график реакции системы на заданное входное воздействие).
4. Выводы.
Вопросы к защите лабораторной работы
1. Определите установившиеся значение переходной функции системы,
описанной дифференциальным уравнением
y y y g g 2 4 3 .
2. У системы 3-го порядка характеристический полином совпадает с по-
линомом Баттерворта при единичном радиусе распределения. Укажите на ком-
плексной плоскости корни характеристического уравнения системы.
3. Используя нормированные переходные характеристики, укажите вре-
мя переходного процесса в системе (6.1) с характеристическим биномиальным
полином при n 4 и 0 5 .
4. Определите время переходного процесса в системе
.y y y g 4 4 15 .
5. Определите время переходного процесса в системе . . y y y g g 11 01
6. Определите установившуюся реакцию системы y y y g g 2
на внешнее воздействие g t 2sin( ) .
37
Таблица 6.3
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
n 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6
t 3 1 2.5 1.5 4 2 5 4 6 7 8 6
k 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 2.5 5 3.5
Таблица 6.4
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b0 b
b1 0.5 1.25 1.5 2.5 1.75 2 2.25 3 2 2.5 2.75 1.5
Таблица 6.5
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b0 b b b b b b b b b b b b
b1 2 2 0.5 0.5 1 0.25 0.1 0.2 0.1 0.2 0.3 0.1
b2 0.5 1.5 1 0.25 1.25 0.5 0.2 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2
b3 0.25 1 1 1.25 0.25 0.75 0.5 0.2 0.2 0.2 0.3 0.4
b4 - - - 2 2.5 3 0.3 0.5 0.25 0.3 0.2 0.5
b5 - - - - - - 3.5 4 0.25 0.5 0.3 0.2
b6 - - - - - - - - - 2 2.5 3
Таблица 6.6
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b0 1 1 0.25 2.25 8 4.5 1 1 0.25 2.25 8 4.5
b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b2 0.25 1 1 2 0.5 0.5 0.25 1 1 2 0.5 0.5
g t( ) sin( )2t 2sin( )t sin( . )05t sin( . )15t 3 4sin( )t 2 3sin( )t cos( )2t 3cos( )t cos( . )05t cos( . )15t 4 4cos( )t cos( )3t
46
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
ДВУХ ПАРАМЕТРОВ
Цель работы. Ознакомление с экспериментальными методами построения об-
ластей устойчивости линейных динамических систем и изучение влияния на устойчи-
вость системы ее параметров.
Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознако-
миться с описанием лабораторной работы и получить вариант задания. Лабораторная
работа рассчитана на 2 часа.
Теоретические сведения. Под областью устойчивости в пространстве пара-
метров понимается множество значений параметров, при которых система является
асимптотически устойчивой. Под областью неустойчивости, соответственно, понима-
ется множество значений параметров, при которых система является неустойчивой.
Области устойчивости и неустойчивости отделены друг от друга так называемыми гра-
ницами устойчивости, т.е. множествами значений параметров, при которых система
является устойчивой по Ляпунову.
Экспериментальное построение областей устойчивости и неустойчивости осу-
ществляется в соответствии со следующей методикой. Фиксируются значения всех па-
раметров системы кроме одного. Изменяя этот параметр, определяют такое его значе-
ние, при котором система находится на границе устойчивости. При этом определение
типа устойчивости системы может осуществляться, например, по виду кривой пере-
ходного процесса (для аналитического определения типа устойчивости могут исполь-
Рис.8.1 Пример границы устойчивости на плоскости двух параметров 1 и 2
47
зоваться корневые, алгебраические или частотные критерии). Полученная таким обра-
зом совокупность параметров системы задает одну точку границы устойчивости в про-
странстве параметров. Затем выбирают новую комбинацию фиксированных парамет-
ров, и процедура повторяется. В результате определяется совокупность точек границы
устойчивости. Пример графического представления границы устойчивости на плоско-
сти двух параметров 1 и 2 приведен на рис.8.1.
В лабораторной работе исследуется линейная система третьего порядка, струк-
турная схема которой представлена на рис.8.2. Подобная структурная схема является
типичной для широкого класса электромеханических объектов управления. Система
имеет три параметра — постоянные времени T1 , T2 и коэффициент передачи K . Для
простоты, при исследовании системы постоянную времени T1 будем считать фиксиро-
ванной, а область устойчивости будем определять на плоскости двух параметров K и
T2 .
Порядок выполнения работы
1. Собрать схему моделирования, установив значение постоянной времени T1
согласно заданному варианту (см. табл. 8.1). Установить значение постоянной време-
ниT2 , равное 0,1 с.
2. Изменяя коэффициент передачи K , подобрать такое его значение, при кото-
ром система находится на границе устойчивости. Тип устойчивости системы опреде-
лить по виду переходного процесса при нулевом входном воздействии g t( ) 0 и нену-
левом начальном значении выходной переменной y( )0 1 . Полученные таким образом
значения K и T2 дадут одну точку границы устойчивости.
3. Изменить значение постоянной времени T2 и повторить пункт 2 задания,
найдя, таким образом, следующую точку границы устойчивости. Количество точек, не-
обходимое для построения границы устойчивости, должно быть не менее 10. Диапазон
изменения постоянной времени T2 — от 0,1 с до 5 с.
Содержание отчета
1. Схема моделирования.
2. Графики переходных процессов и значения корней характеристического
уравнения для трех сочетаний параметров K и T2 , соответствующих устойчивой си-
стеме, неустойчивой системе и системе, находящейся на границе устойчивости.
3. Таблица данных, необходимая для построения экспериментальной границы
устойчивости на плоскости двух параметров K , T2 . Графическое изображение границы
устойчивости, найденной экспериментально.
Рис.8.2. Структурная схема линейной системы третьего порядка
48
4. Теоретический расчет границы устойчивости с использованием критерия
Гурвица.
5. Таблица данных, необходимая для построения теоретической границы устой-
чивости на плоскости двух параметров K , T2 . Графическое изображение теоретиче-
ской границы устойчивости.
6. Выводы.
Вопросы к защите лабораторной работы
1. Дайте определение устойчивости систем автоматического управления.
2. Как определить свойства устойчивости линейной стационарной системы по
корням ее характеристического уравнения?
3. Определите свойства устойчивости линейной стационарной системы с харак-
теристическим полиномом D s s a s a s a( ) 3
2
2
1 0 , если все коэффициенты полинома
положительны и, дополнительно, a a a1 2 0 .
4. Определите аналитически границу устойчивости в пространстве параметров
T1 и T2 для системы, изображенной на рис.8.2.
Таблица 8.1
Варианты задания
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T1 ,с 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0 0.25
38
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы. Исследование точностных свойств систем управления.
Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от
преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, получившие анали-
тическое выражение для установившейся ошибки из п.4.3 (см. порядок выполнения ра-
боты). Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.
Теоретические сведения. Точность работы любой системы управления наибо-
лее полно характеризуется мгновенным значением ошибки слежения, равной разности
между требуемым и действительным значениями регулируемой переменной
e t g t y t( ) ( ) ( ) . Однако в большинстве задач управления реальными объектами зада-
ющие и возмущающие воздействия заранее точно неизвестны и, следовательно, опре-
делить заранее величину e t( ) для всех моментов времени не представляется возмож-
ным. Поэтому точностные свойства системы, как правило, оцениваются при типовых
входных воздействиях — постоянном, линейно или квадратично нарастающем. Для ха-
рактеристики точностных свойств системы управления используется понятие устано-
вившейся ошибки слежения, а также предельного значения установившейся ошибки
слежения. Установившаяся ошибка e ty ( ) представляет собой функцию времени, удо-
влетворяющую условию
lim( ( ) ( ))t
ye t e t
0 (7.1)
для любых начальных условий e( )0 и заданного входного воздействия g t( ) . Другими
словами, она характеризует ошибку слежения, установившуюся после завершения пе-
реходного процесса. Предельное значение установившейся ошибки определяется
выражением
lim ( )te t (7.2)
(при условии, что предел (7.2) существует).
Величина предельного значения установившейся ошибки при типовом задаю-
щем воздействии может быть достаточно просто рассчитана по передаточной функции
системы. Пусть образы Лапласа ошибки слежения E s( )=L e(t) и сигнала задания
G s( )= L g(t) связаны соотношением
E s s G se( ) ( ) ( ) , (7.3)
где e s( ) — известная передаточная функция замкнутой системы по ошибке слеже-
ния (относительно задающего воздействия). Например, для систем с единичной отрица-
тельной обратной связью (см. рис.7.1) имеем
e s W s( )
( )
1
1,
где W s( ) — передаточная функция разомкнутой системы, включающая в себя пере-
39
даточные функции регулятора и объекта управления. Тогда, в соответствии с теоремой
о предельном переходе во временной области (см. [3]), имеем
lim ( ) ( )s o s s G s .
Образы Лапласа типовых задающих воздействий приведены в таблице 7.1.
Для приближенной оценки установившейся ошибки слежения e ty ( ) при произ-
вольном (но достаточно гладком) входном воздействии g t( ) можно воспользоваться
следующей методикой. Разложим e s( ) в ряд Тейлора в окрестности точки s 0
e s c c scs
cs( )
! ! 0 1
2 2 3 3
2 3 , (7.4)
где cd
dssi
i
i e
s
( )0
, i 01 2, , ,. Тогда, подставляя (7.4) в (7.3) и переходя во времен-
ную область, получаем выражение установившейся ошибки при произвольном входном
воздействии
e t c g t cd
dtg t
c d
dtg t
c d
dtg ty ( ) ( ) ( )
!( )
!( ) 0 1
2
2
2
3
3
32 3 , (7.5)
где постоянные ci носят название коэффициентов ошибок. Если g t( ) изменяется дос-
Таблица 7.1
Образы Лапласа типовых задающих воздействий
Типовое
воздействие
Постоянное g t A( )
Линейно
возрастающее g t Vt( )
Квадратично
возрастающее
g tat
( )
2
2
Образ Лапласа G s( )
A
s
V
s2
a
s3
Рис 7.1. Система с единичной от-
рицательной обратной связью
Рис. 7.2. Возмущённая система управления
( f1— возмущение по управлению, f
2—
ошибка измерительного устройства).
40
таточно медленно, то для приближенной оценки e ty ( ) можно использовать конечное
число членов ряда (7.5).
Замечание. Так как e s( ) является дробно-рациональной функцией, то коэффи-
циенты ошибок можно получить делением числителя e s( ) на знаменатель и сравне-
нием получающегося ряда с выражением (7.4).
В качестве универсальной характеристики точностных свойств систем управле-
ния используется понятие порядка астатизма (по отношению к входному воздей-
ствию). Система называется статической (или — с нулевым порядком астатизма), ес-
ли в выражении (7.5) c0 0 . Говорят, что система имеет k-й порядок астатизма, если
в выражении (7.5) ci 0 для всех 0 i k и ck 0 .
Для систем с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 7.1) порядок
астатизма может быть достаточно просто определен на основе анализа структурных
свойств системы. Так, система на рис.7.1 является статической (т.е. с нулевым поряд-
ком астатизма), если
lim ( )s W s k 0 ,
где k — общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Для статической систе-
мы при постоянном входном воздействии g t A( ) имеем
lim
( )s sW s
A
s
A
k0
1
1 1.
Последнее выражение означает, что постоянное входное воздействие отрабатывается с
ненулевой установившейся ошибкой (с так называемой, статической ошибкой). При
линейно нарастающем входном воздействии g t Vt( ) имеем
lim( )
lims ssW s
V
s k
V
s0 2 0
1
1
1
1,
откуда следует, что линейно возрастающее задающее воздействие отрабатывается ста-
тической системой с неограниченно растущей ошибкой.
Система на рис.7.1 является астатической, если
lim ( )s W s 0
и передаточная функция разомкнутой системы W s( ) может быть представлена в виде
W ssW sr( ) ( ) 1
,
где W s — передаточная функция статической системы (т.е. lim ( )s W s k
0 ).
При этом число r соответствует порядку астатизма.
Для системы с первым порядком астатизма при постоянном входном воздей-
ствии g t A( ) имеем
41
Таблица 7.2
Соответствие порядка астатизма предельному значению
установившейся ошибки слежения
Порядок
астатизма
Постоянное g t A( )
Линейно
возрастающее g t Vt( )
Квадратично
возрастающее
g tat
( )
2
2
0 A
k1
1
0 V
k
2
0
0 a
k
lim( )
lim( )
lims s ssW s
A
s W s
s
As
s kA0 0 0
1
1
1
1
0 ,
а при линейно нарастающем воздействии g t Vt( )
lim( )
lims ssW s
V
s
s
s k
V
s
V
k0 2 0
1
1.
Таблица 7.2 демонстрирует соответствие между порядком астатизма и предель-
ным значением установившейся ошибки слежения.
Аналогичным образом может быть введено понятие порядка астатизма по воз-
мущающему воздействию. Особо отметим, что порядок астатизма по задающему воз-
действию, в общем случае, не соответствует порядку астатизма по возмущению. В ка-
честве примера рассмотрим задачу стабилизации ( g t( ) 0) системы, представленной
на рис.7.2, где H s s( ) / 1 — передаточная функция регулятора, W s( ) — передаточная
функция объекта управления ( lim ( )s W s k 0 ), f t1( ) — возмущение по управлению,
f t2 ( ) — ошибка измерительного устройства, рассматриваемая в качестве возмущения
по выходу. Очевидно, что замкнутая система по задающему воздействию обладает по-
рядком астатизма, равным единице.
На основе анализа структурной схемы системы можно записать
e g y y W s fsf y W s f
sf e
1 2 1 2
1 1
или
( ( )) ( ) ( )11 1
1 2 sW s e W s f
sW s f .
Предельное значение установившейся ошибки
при различных видах задающего воздействия
42
После элементарных преобразований окончательно получаем
eW s
sW s
fsW s
sW s
fsW s
s W sf
W s
s W sf
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )11
1
111 2 1 2 .
Пусть возмущения f t F1 1( ) и f t F2 2( ) являются постоянными. Тогда
lim
( )
( )
( )
( )s ssW s
s W s
F
ssW s
s W s
F
sF0
1 2
2 .
Таким образом, возмущение f 2 дает статическую ошибку (величина которой не
зависит от параметров системы управления), а влияние возмущения f1 полностью ком-
пенсировано. В общем случае, факт наличия или отсутствия установившейся ошибки
должен быть определен для каждого действующего на систему возмущения на основе
анализа соответствующих передаточных функций от возмущения к ошибке, вне зави-
симости от порядка астатизма системы по задающему воздействию.
Порядок выполнения работы.
1. Исследование системы с астатизмом нулевого порядка. Структура системы
представлена на рис.7.3, где H s k( ) . Варианты передаточной функции объекта
управления W s( ) , а также характеристики задающего воздействия g t( ) приведены в
табл.7.3.
1.1. Исследование стационарного режима работы: g t A( ) . Получить переход-
ные процессы для трех различных значений коэффициента k и определить предельное
значение установившейся ошибки .
Значения коэффициента k (здесь и во
всех последующих пунктах): 1, 5, 10.
1.2. Исследование режима дви-
жения с постоянной скоростью:
g t Vt( ) . Получить переходные про-
цессы для различных значений коэф-
фициента k . Интервал наблюдения —
30 секунд.
2. Исследование системы с
астатизмом первого порядка. Структура системы представлена на рис.7.3, где
H s k s( ) / . Варианты передаточной функции объекта управления W s( ) , а также ха-
рактеристики квадратично нарастающего задающего воздействия g t at( ) / 2 2 приве-
дены в табл.7.4. Характеристики постоянного и линейно нарастающего задающих воз-
действий взять из табл.7.3.
2.1. Исследование стационарного режима работы: g t A( ) . Получить переход-
ные процессы для различных значений коэффициента k и определить предельное зна-
чение установившейся ошибки .
2.2. Исследование режима движения с постоянной скоростью: g t Vt( ) . Полу-
чить переходные процессы для различных значений коэффициента k и определить
предельное значение установившейся ошибки . Интервал наблюдения — 30 секунд.
Рис. 7.3. Структурная схема моделируемой
системы
43
2.3. Исследование режима движения с постоянным ускорением: g t at( ) / 2 2 .
Получить переходные процессы для различных значений коэффициента k . Интервал
наблюдения — 30 секунд.
3. Исследование влияния внешних возмущений.
3.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.7.5 и рис.7.4) собрать схему
моделирования возмущенной системы. При этом вид передаточной функции W s( )
взять из табл.7.3.
3.2. Полагая f t2 0( ) и g t t( ) ( ) 1 , получить переходной процесс и определить
предельное значение установившейся ошибки .
3.3. Полагая f t1 0( ) и g t t( ) ( ) 1 , получить переходной процесс и определить
предельное значение установившейся ошибки .
4. Исследование установившейся ошибки при произвольном входном воздей-
ствии. Структура системы представлена на рис.7.3, где H s( ) 1. Варианты передаточ-
ной функции W s( ) взять из табл.7.3, а вид задающего воздействия g t( ) из табл. 7.6.
4.1. Получить переходной процесс в замкнутой системе и определить (по графи-
ку) установившуюся ошибку слежения e ty ( ) .
4.2. Получить приближенное аналитическое выражение для e ty ( ) , сохранив в
ряде Тейлора (7.5) три первых члена. Построить график e ty ( ) в соответствии с полу-
ченным аналитическим выражением (использовать для этого блок нелинейных функ-
ций Fnc).
Содержание отчета.
1. Структурные схемы моделируемых систем и графики переходных процессов.
2. Графики экспериментально полученных зависимостей предельных значений
установившейся ошибки от коэффициента k (пункты 1.1, 2.1 и 2.2 порядка выполне-
ния работы). Аналитическое подтверждение полученных результатов.
3. Аналитический расчет установившихся ошибок в возмущенной системе.
4. Аналитический расчет и графики расчетной и экспериментально определен-
ной установившейся ошибки слежения при произвольном входном воздействии (см.
пункт 4.3 порядка выполнения работы).
5. Выводы.
Вопросы к защите лабораторной работы.
1. Можно ли использовать конечное число членов ряда (7.5) для приближенной
оценки установившейся ошибки слежения за задающим воздействием вида g t t( ) sin ? 3 3
2. Пусть k — общий коэффициент усиления разомкнутой системы с нулевым
порядком астатизма. Чему равен коэффициент c0 в формуле (7.5)?
3. Можно ли компенсировать ошибку измерительного устройства f 2 (см.
рис.7.2), повысив порядок астатизма системы по задающему воздействию?
4. Определить предельное значение установившейся ошибки в системе, пред-
ставленной на рис.7.2, если g t t( ) ( ) 1 , f t t1 2( ) а f t2 0( ) .
Таблица 7.3
Варианты параметров систем с нулевым порядком астатизма
44
Вариант W s( ) g A
g Vt
Вариант W s( ) g A
g Vt
1
2
3 1s
1
0,5t
7
1
2 3 12s s
1
1,5t
2
3
2 5 1, s
2
2t
8
2
0 5 2 12, s s
1
2t
3
15
0 5 1
,
, s
2
4t
9
2
0 5 22, s s
2
2t
4
15
2 12
,
s s
1
t
10
8
0 5 2 82, s s
2
t
5
1
22s s
2
2t
11
1
0 5 1 12, s s
2
2t
6
5
5 62s s
1
t
12
1
01 0 7 12, ,s s
4
2t
Таблица 7.4
Варианты параметров систем с первым порядком астатизма
Вариант
W s( )
g at 2 2/
Вариант
W s( )
g at 2 2/
1
2
3 1s
0 25 2, t
7
s
s s
1
2 3 12
0 25 2, t
2
3
2 5 1, s
0 5 2, t
8
s
s s
2
0 5 2 12,
0 2 2, t
3
15
0 5 1
,
, s
0 2 2, t
9
s
s s
2
0 5 22,
0 5 2, t
4
s
s s
15
2 12
,
0 4 2, t
10
15 8
0 5 2 82
,
,
s
s s
0 3 2, t
5
s
s s
1
22
0 3 2, t
11
s
s s
1
0 5 1 12,
0 45 2, t
6
s
s s
5
5 62
0 45 2, t
12
s
s s
1
0 1 0 7 12, ,
0 4 2, t
Таблица 7.5
Варианты возмущенных систем
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Параметры
сигнала задания
Параметры
сигнала задания
45
Структура
системы
(см. рис.7.4)
а)
а)
а)
б)
б)
б)
в)
в)
в)
г)
г)
г)
f1 1 0,5 -0,5 2 -0,5 -1 -0,25 -0,5 2 1,5 -0,5 0,5
f2
-0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 1 -0,5 0,5 -0,5 0,25 -0,4
Таблица 7.6
Варианты сигнала задания
Вариант Сигнал задания Вариант Сигнал задания Вариант Сигнал задания
1 2 3 0 5 sin , t 5 t t 0 5 0 5, cos , 9 2 01 2 , t
2 0 2 0 52, sin ,t t 6 0 6 0 2 2, ,t t 10 5 t
3 0 5 2 01, cos ,t t 7 3 0 6 0 4 , sin , t 11 0 3 2 0 8, sin ,t t
4 0 4 0 2 2, ,t t 8 2 0 5 , t 12 2 0 5 cos , t
Рис. 7.4.Структурные схемы возмущённых систем.
а) б)
в) г)
53
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы. Изучение математических моделей и исследование характеристик
электромеханического объекта управления, построенного на основе электродвигателя
постоянного тока независимого возбуждения.
Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от
преподавателя вариант задания. К выполнению работы допускаются студенты, рассчи-
тавшие параметры математических моделей ЭМО (см. п.1 порядка выполнения рабо-
ты). Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.
Теоретические сведения. Функциональная схема типичного электромеханиче-
ского объекта (ЭМО) представлена на рис.10.1. Она включает усилительно-
преобразовательное устройство (УПУ), электродвигатель (ЭД), редуктор (Р) и исполни-
тельный механизм (ИМ). Усилительно-преобразовательное устройство служит для
формирования напряжения, подаваемого на двигатель в соответствии с управляющим
сигналом. Электродвигатель осуществляет преобразование электрической энергии в
механическую. Редуктор снижает скорость вращения и повышает момент двигателя на
валу ИМ. В качестве исполнительного механизма могут выступать механизмы станков,
роботов, поточных линий, рулевые устройства летательных аппаратов, подвижные эле-
менты автоматического оборудования и приборов. Для получения информации о состо-
янии объекта, используемой в устройстве управления, ЭМО может снабжаться различ-
ными измерительными устройствами: углового или линейного перемещения (измери-
тели перемещения — ИП), угловой или линейной скорости (измерители скорости —
ИС), измерителями тока якоря и напряжения усилителя мощности.
Рис.10.1 Функциональная схема ЭМО
54
В работе рассматривается электромеханический объект управления, выходным
сигналом которого является угловое перемещение ИМ, а управляющим сигналом —
входное напряжение УПУ. Измерение угловой скорости осуществляется на валу двига-
теля. Момент сопротивления MCM , приложенный к валу ИМ, выступает в качестве
возмущающего воздействия.
Модель ЭМО. В соответствии с законом Ома, для электрической цепи двигателя
получаем следующее уравнение
U E IR LdI
dtУ , (10.1)
где U y — напряжение, подаваемое на двигатель, E kE — противо-ЭДС, I — ток,
якоря, R и L— сопротивление и индуктивность цепи якоря, kE — коэффициент ЭДС
(первая конструктивная постоянная), — угловая скорость ротора. Обозначив
T LRЯ , K RД 1 , уравнение (10.1) можно записать в виде
TdI
dtI K U kЯ Д У E . (10.2)
Уравнение вращения якоря электродвигателя имеет вид
M M Jd
dtД C
, (10.3)
где M k IД М — вращающий момент двигателя, kM — коэффициент момента (вторая
конструктивная постоянная), J — момент инерции, приведенный к валу двигателя,
MC — момент сопротивления, приведенный к валу двигателя. Скорость вращения и
угол поворота ротора связаны соотношением
d
dt
. (10.4)
Редуктор обеспечивает усиление момента двигателя и соответствующее сниже-
ние скорости вращения нагрузки
M i МM Д р ,
M i
р
,
M i
р
, (10.5)
где iР — передаточное отношение редуктора, MM — вращающий момент на выходном
валу редуктора (т.е. момент, приложенный к исполнительному механизму), M — уг-
ловая скорость вращения выходного вала редуктора, M — угол поворота исполни-
тельного механизма (нагрузки) При этом справедливо и обратное преобразование от
выходного вала к входному M M iC CM P / . При наличии редуктора момент инерции,
приведенный к валу двигателя, определяется по формуле
J J JJ
iД P
M
P
2 , (10.6)
55
где J Д — момент инерции двигателя, J P — приведенный момент инерции редуктора,
JM — момент инерции исполнительного механизма (нагрузки).
Усилительно-преобразовательное устройство с высокой степенью точности мо-
жет быть представлено апериодическим звеном
TdU
dtU k Uу
y
y y , (10.7)
где U — входное напряжение УПУ, Ty и k y — постоянная времени и коэффициент
усиления УПУ, соответственно. Требуемый коэффициент усиления k y определяется
как отношение номинального напряжения двигателя UH к максимальному напряжению
Um на входе усилительно-преобразовательного устройства kUUy
H
m , (обычно
U Вm 10 ).
Измерительные устройства будем считать безынерционными. На выходе изме-
рительных устройств формируются измеренные значения напряжения U y , тока I ,
скорости и угла поворота M
U K Uy U y , I K II , K , M MK . (10.8)
Коэффициенты передачи измерительных устройств KU , KI , K и K должны обеспе-
чить соответствие максимального значения измеряемого сигнала уровню 10 В на выхо-
де измерительного устройства.
Таким образом, математическая модель ЭМО полностью описывается уравне-
ниями (10.1)-(10.8). Структурная схема ЭМО приведена на рис.10.2.
Упрощенная модель ЭМО. Часто электрические постоянные времени усилителя
Ty и ЭД TЯ значительно меньше, чем механическая постоянная времени TM . В этом
случае для упрощения математической модели пренебрегают малыми постоянными
времени, заменяя апериодические звенья первого порядка с передаточными функциями
Рис.5.2 Структурная схема ЭМО
56
W sK
T s
Д
Я
1 1( )
и W s
K
T s
y
y
2 1( )
пропорциональными звеньями с коэффициентами пе-
редачи KД и Ky , соответственно. Таким образом, упрощенная модель ЭМО имеет вид,
приведенный на рис.5.3, где KK
k i
y
E P
, KR
k k if
M E P
2 , TRJ
k kM
M E
.
Порядок выполнения работы.
1. Изучить математические модели ЭМО (полную и упрощенную) и для задан-
ного варианта (см. табл.10.1) рассчитать их параметры. При расчете параметров приве-
денный момент инерции редуктора считать J JP Д 02. . Коэффициент kE рассчитыва-
ется исходя из формулы скорости вращения холостого хода OH
E
Uk (обратите
внимание, что в табл.10.1 частота вращения холостого хода nO измеряется в "оборотах
в минуту").
2. Составить схему моделирования полной модели ЭМО и получить графики
переходных процессов для U y , I , , M при MCM 0 Нм и U В 5 . Время модели-
рования должно быть выбрано таким, чтобы обеспечить наилучшее представление пе-
реходного процесса.
3. Исследовать влияние момента сопротивления MCM на вид переходных про-
цессов. Для этого получить графики переходных процессов по U y , I , и M при
различных значениях момента сопротивления MCM . Диапазон изменения MCM : от 0
Нм до величины, равной i MP H . По временным диаграммам определить время пере-
ходного процесса tП и установившиеся значения скорости y и тока I y .
4. Исследовать влияние момента инерции нагрузки JM на вид переходных про-
цессов. Определить время переходного процесса tП и установившиеся значения y и
I y . Диапазон изменения момента инерции: 50 00 от заданного значения.
5. Исследовать влияние передаточного отношения редуктора iP на вид переход-
ных процессов (при изменении iP учесть, что будет меняться и приведенный момент
инерции, см. формулу (10.6)). Исследования проводить при величине момента сопро-
тивления MCM , равного половине максимального значения (см. п.3), рассчитанного для
заданного значения iP , и при MCM 0 . Диапазон изменения передаточного отноше-
ния: 75 00 от заданного значения.
Рис. 5.3 Структурная схема упрощенной модели ЭМО.
57
6. Получить графики переходных процессов при меньших значениях постоян-
ных времени: Ty ,TЯ —уменьшить на порядок.
7. Собрать схему моделирования приближенной модели ЭМО и получить гра-
фики переходных процессов для измеренных значений M , M при MCM 0 . Проана-
лизировать погрешности, вызванные упрощением модели, для чего результаты иссле-
дования сопоставить с данными, полученными в п.2. и в п.6.
Содержание отчета
1. Расчет параметров математической модели двигателя.
2. Схемы моделирования.
3. Графики переходных процессов по U y , I , , M и данные, полученные по
этим графикам.
4. Вывод математических моделей вход-состояние-выход для полной и упро-
щенной схем моделирования ЭМО.
5. Выводы.
Вопросы к защите лабораторной работы
1. Какое назначение имеет усилительно-преобразовательное устройство?
2. Какой передаточной функцией описывается редуктор?
3. Рассчитать момент сопротивления на валу двигателя (см. рис.10.1), если из-
вестны масса подвешенного груза и диаметр барабана ИМ.
4. Какая размерность коэффициентов передачи K и K f упрощенной модели
двигателя?
5. Какие параметры математической модели ЭМО влияют на время переходного
процесса?
6. На основе структурной схемы (рис.10.2) получите методом структурных пре-
образований передаточную функцию ЭМО от U к M (от MC к M ).
7. В каком случае возможно использование упрощенной математической модели
ЭМО?
Таблица 10.1
Варианты задания.
№ вар. U H
В
n0
об/мин
IH
A
MH
Нм
R Ом
TЯ
мс
J Д
кг м2
Tу
мс
iP JM
кг м2
1 27 600 1,4 0,6 6,6 6 1,5.10
-3 4 15 0,05
2 48 1000 12 5,5 0,75 5 1,6.10
-3 6 16 2,75
3 36 4000 6,5 0,57 0,85 3 2,2.10
-4 6 40 0,15
4 27 970 3,76 1 1,5 6 0,001 8 16 0,84
5 120 6000 21 4 0,53 8 1,9.10
-3 8 40 5,75
6 27 2500 0,92 0,12 16,6 7 7.10
-5 4 50 0,01
7 52 1240 18 7,21 0,3 10 0,004 10 20 2,48
8 110 2400 11,5 5 0,95 7 2.10
-3 8 20 3,7
9 27 2440 0,38 0,04 32 6 5,5.10
-6 3 40 0,03
10 65 2000 14,7 4,6 0,65 10 3,4.10
-3 8 20 2,25
11 27 1975 1,23 0,16 4,2 5 7.10
-5 8 25 0,15
12 27 646 10 4 0,72 2 0,003 10 10 1,6
Top Related