ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -...

49

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ

ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

Цель работы. Изучение частотных характеристик типовых динамических зве-

ньев и способов их построения.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознако-

миться с описанием лабораторной работы и получить вариант задания. До работы до-

пускаются студенты, заполнившие первые два столбца таблицы экспериментальных

данных 9.4 для всех типов заданных динамических звеньев. Лабораторная работа рас-

считана на 2 часа.

Теоретические сведения. Если на вход устойчивого линейного звена с переда-

точной функцией W s( ) подается гармонический сигнал g t g tm( ) sin , где — уг-

ловая частота, а gm — амплитуда, то на его выходе в установившемся режиме будет

гармонический сигнал y t y tm( ) sin( ) той же частоты , но, в общем случае, с

другой амплитудой ym и ненулевым фазовым сдвигом (см. рис.9.1, где / —

временной интервал, соответствующий фазовому сдвигу ).

Рис. 9.1.Реакция устойчивого линейного звена на гармонический сигнал

Для аналитического описания частотных свойств динамических звеньев исполь-

зуется частотная передаточная функция W j( ) , которая для фиксированной частоты

представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению ампли-

туды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала, а аргумент — сдвигу фаз меж-

ду входным и выходным сигналами. В более общей формулировке частотная переда-

точная функция определяется как отношение изображений Фурье выходного и входно-

го сигналов. Формальное правило получения аналитического выражения для частотной

передаточной функции по известной передаточной функции W s( ) состоит в подстанов-

ке s j , т.е. W j W s s j( ) ( ) , что соответствует переходу от изображения Лапласа

к изображению Фурье.

Частотная передаточная функция (ЧПФ) может быть представлена в виде:

W j A e j( ) ( ) ( )

или

50

W j U jV( ) ( ) ( ) ,

где U( ) — вещественная часть, V( ) — мнимая часть, A U V( ) ( ) ( ) 2 2 —

модуль, а

( )

( )

( ) arctg

V

U — аргумент (фаза) ЧПФ.

С помощью частотной передаточной функции могут быть легко построены сле-

дующие частотные характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость A( ) при изме-

нении частоты от 0 до (см. рис.9.2) .

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — зависимость ( ) при измене-

нии частоты от 0 до (см. рис.9.3).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — годограф, соответ-

ствующий частотной передаточной функции при изменении частоты от 0 до , по-

строенный на комплексной плоскости ( , )U V (см. рис.9.4). При этом за положительное

значение фазы понимается направление вращения от вещественной оси против часовой

стрелки.

Рис. 9.4. Амплитудно-фазовая

частотная характеристика

Рис. 9.5. Логарифмические ампли-

тудная и фазовая частотные харак-

теристики

Рис. 9.2. Амплитудно-частотная

характеристика

Рис. 9.3. Фазовая частотная

характеристика

51

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики (ЛАЧХ и

ЛФЧХ). При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики по

оси ординат откладывается величина L A( ) lg ( ) 20 , единицей измерения которой

является децибел (дБ). По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом

масштабе (см. рис. 9.5). Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном

месте. Поэтому ее проводят так, чтобы справа от нее отобразить интересующий диапа-

зон частот. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза с р . В

инженерных расчетах используют асимптотические ЛАХ, которые можно построить

практически без вычислительной работы. Подобные характеристики представляют

собой ломанную линию, состоящую из отрезков, расположенных к оси абсцисс под

углами, кратными 20 дБ/дек. Логарифмическая фазовая частотная характеристика

отличается от ФЧХ только тем, что ось абсцисс строится в логарифмическом масштабе.

В данной работе частотные характеристики элементарных динамических звень-

ев строятся по точкам на основании данных, полученных экспериментально. В экспе-

рименте исследуется реакция звена на синусоидальное входное воздействие (см.

рис.9.1). Схема моделирования в этом случае должна состоять из генератора синусои-

дального сигнала, исследуемого звена и устройств регистрации входного и выходного

сигналов. При заданном значении частоты и амплитуды входного сигнала для опреде-

ления точек частотной характеристики необходимо измерить значение амплитуды вы-

ходного сигнала и сдвиг фаз между входным и выходным сигналом в установившемся

режиме. После соответствующей обработки эти данные дадут одну точку на частотной

характеристике. Повторение таких измерений при различных значениях частоты вход-

ного сигнала даст массив точек по которым строятся частотные характеристики.

Порядок выполнения работы

1. Собрать схему моделирования в соответствии с кодом варианта задания (см.

табл.9.1). Первые три цифры кода обозначают тип исследуемых звеньев (см. табл.9.2), а

последняя цифра — номер сочетания параметров исследуемых звеньев (см. табл.9.3).

2. Установить амплитуду gm 1 и частоту 1 входного сигнала. Частота

1 должна быть меньше на одну декаду сопрягающей частоты 1/ T . В установившемся

режиме измерить значения амплитуды выходного сигнала и сдвиг фаз между входным

и выходным сигналами. Для определения значения фазы следует учитывать, что на по-

лученных графиках по оси абсцисс отложено время. Значение фазы выходного сигнала

в радианах можно рассчитать, используя формулу , где значение частоты

входного сигнала в радианах. Полученные данные занести в таблицу (см. табл.9.4).

3. Изменить значение частоты синусоидального воздействия и повторить изме-

рения по п.2. Для построения частотных характеристик необходимо снять не менее 10

точек с различными значениями частоты. Диапазон изменения частоты входного сиг-

нала — от -1 декады до +1 декады относительно сопрягающей частоты 1/ T .

Содержание отчета

1. Передаточные функции исследуемых звеньев.

2. Одна из полученных временных диаграмм со всеми построениями, иллю-

стрирующими способ получения экспериментальных данных.

3. Таблицы экспериментальных данных.

4. Экспериментальные АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и ЛАФЧХ исследуемых звеньев.

5. Асимптотические ЛАЧХ исследуемых звеньев, построенные графо-

аналитическим методом.

52

6. Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы.

1. Запишите аналитическое выражение для вещественной части ЧПФ апериоди-

ческого звена 1-го порядка.

2. Запишите аналитическое выражение для аргумента ЧПФ изодрома.

3. Чему равно значение модуля ЧПФ на частоте среза?

4. Почему в выражении для L( ) присутствует множитель 20?

Таблица 9.1

Коды вариантов задания

№ вар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

код 1671 2352 4573 1264 1455 3676 2457 1572 2363 1256 3561 2465

Таблица 9.2 Таблица 9.3

Тип звена Передаточная функция k T

1 Апериодическое 1-го поряд-

ка

k

Ts 1

1 5 0.1 0.1

2 Колебательное k

T s Ts2 2 2 1

2 2 0.5 0.15

3 Идеальное интегрирующее k

s

3 10 2 0.25

4 Интегрирующее с замедле-

нием

k

s Ts( )1

4 8 4 0.3

5 Изодромное k Ts

s

( )1

5 15 0.2 0.2

6 Дифференцирующее с за-

медлением

ks

Ts1

6 4 8 0.45

7 Консервативное k

T s1 2 2

7 3 5 0.4

Таблица 9.4

Таблица экспериментальных данных

lg A( ) L A( ) lg ( ) 20 ( )

1 lg1

31


АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ

ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ

СВОЙСТВА

Цель работы. Изучить связь характера переходной характеристики, ди-

намических свойств системы с размещением на комплексной плоскости нулей и

полюсов.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны по-

лучить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты,

выполнившие требуемые расчеты и составившие схемы моделирования иссле-

дуемых систем. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Рассмотрим динамическую систему, которая

описывается дифференциальным уравнением n-го порядка

y a y a y a y bgn

n

n( ) ( )

1

1

1 0 , (6.1)

где y - выходная переменная , g - входная переменная, a an0 1, , ,b - постоян-

ные параметры. Здесь y k( ) - k-ая производная функции y t( ) по времени t .

Корни si ( i n 12, , , ) характеристического полинома системы (полюса систе-

мы)

a s s a s a s an

n

n( )

1

1

1 0 , (6.2)

где s - комплексная переменная, определяют характер переходной функции

h t( ) системы с установившимся значением h t k b an ( ) / , а следовательно, и

такие динамические показатели, как время переходного процесса t и перере-

гулирование .

Используя понятие среднегеометрического корня

s s s ann n

1 2 0

характеристический полином (6.2) можно представить в виде

a s s s sn

n

n n n( )

1

1

1

1 , (6.3)

в котором коэффициенты 1 2 1, , , n определяются выражением

i

i

n i

a .

Среднегеометрический корень может служить мерой быстроты проте-

кания переходных процессов. Если в уравнении (6.3) увеличить , например, в

10 раз, то переходный процесс, оставаясь подобным самому себе, будет проте-

32

кать в 10 раз быстрее. В связи с этим можно рассматривать полином (6.3) при

1 как некоторый нормированный характеристический полином, которому

соответствует нормированная переходная функция h t* ( ) и нормированное время

переходного процесса t* . Если качество переходного процесса с точки зрения

перерегулирования является приемлемым, то требуемое время переходного

процесса t может быть обеспечено соответствующим выбором величины .

Для обеспечения требуемого значения перерегулирования необходимо

задаться определенным распределением корней характеристического полинома,

например, распределением Баттерворта или биномиальным распределением

Ньютона.

Распределением Баттерворта называется такое размещение на ком-

плексной плоскости 2n комплексных чисел si , при котором они располагаются

в вершинах правильного 2n-угольника (см. рис. 6.1). При этом все числа имеют

знакоопределенную вещественную часть (Re si 0 ) и равные модули si .

Значения таких комплексных чисел для заданного n однозначно определяется

значением и находятся из выражения

si =

ej

i

n2

2 1

2

, i n=1,2, ,2 ,

причём n чисел s sn1 , , имеют строго отрицательную вещественную часть, т.е.

лежат в левой полуплоскости.

R e

I m

R e

I m

n 1 n 2

Рис. 6.1. Распределение Баттерворта для различных значений порядка n

Полиномом Баттерворта называется алгебраический полином n-го по-

рядка a s , n корней которого совпадают с n комплексными числами, подчиня-

ющимися распределению Баттерворта и имеют отрицательную вещественную

часть. Полином определяется формулой

a s = s ej

i

n

i

n

2

2 1

2

1

= s s sn

n

n n n

1

1

1

1 , (6.4)

где i 0 , а его коэффициенты находятся по формуле: ai i

n i . Полиномы

1-6 -го порядка приведены в табл. 6.1.

33

При биномиальном распределении Ньютона n комплексных чисел si

принимаются равными и вещественными, т.е. si . Биномиальный полином

Ньютона n-го порядка задается в общем виде выражением

Таблица 6.1.

Полиномы Баттерворта для различного порядка системы n

n полином Баттерворта

1 s+

2 s s2 +1.414 + 2

3 s s s3 2+2 +2 + 2 3

4 s s s s4 3 2+2.613 +3.414 + 2.613 + 2 3 4

5 s s s s s5 4 3 2+3.236 +5.236 +5.236 +3.236 + 2 3 4 5

6 s s s s s s6 5 4 3 2+ 3.86 + 7.46 + 9.13 + 7.46 + 3.86 + 2 3 4 5 6

s s s s sn n

n

n n n

1

1

1

1 , (6.5)

где i -биномиальные коэффициенты. Полиномы 1-6-го порядков приведены в

табл. 6.2.

Таблица 6.2

Биномиальные полиномы для различного порядка системы n

n Биномиальный полином

1 s +

2 s s2 + 2 + 2

3 s s s3 2+3 +3 + 2 3

4 s s s s4 3 2+4 +6 +4 + 2 3 4

5 s s s s s5 4 3 2+5 +10 +10 +5 + 2 3 4 5

6 s s s s s s6 5 4 3 2+6 +15 +20 +15 +6 + 2 3 4 5 6

Переходные характеристики системы (6.1) порядка n 1 6, , с характе-

ристическим полиномом вида (6.4), построенные в нормированном виде ( 1,

b 1), приведены на рис. 6.2, а с характеристическим полиномом (6.5) на

рис.6.3. Динамические системы с рассмотренными характеристическими поли-

номами асимптотически устойчивы, что обусловлено выбором корней характе-

ристического полинома и обладают высокими динамическими показателями.

Перерегулирование для системы (6.1) с полиномом Баттерворта ограничено:

15% ,

34

а с биномиальным распределением обеспечивается получение монотонного пе-

реходного процесса ( 0 ).

Метод стандартных переходных функций используется для определения

коэффициентов системы (6.1) по заданным показателям , ,t k . При этом тре-

бование монотонности переходного процесса однозначно определяет выбор в

качестве характеристического полинома биномиального полинома (6.5), а до-

Рис 6.2 Нормированные переходные характеристики системы с

характеристическим полиномом Баттерворта

Рис 6.3 Нормированные переходные характеристики системы с

биноминальным характеристическим полиномом

пущение перерегулирования не большего 15% - выбор полинома Баттерворта

(6.4). Кроме того, при распределении корней характеристического полинома по

Баттерворту, в сравнении с биномиальным распределением, требуемое время

переходного процесса можно обеспечить при меньших по абсолютной величине

значениях коэффициентов характеристического полинома.

35

Коэффициенты системы ai ( i n 12, , , ) находятся по заданному значе-

нию времени переходного процесса t следующим образом:

a) по нормированным переходным функциям (рис.6.2, 6.3) определяется значе-

ние t* ;

b) среднегеометрический корень определяется по значениям t и t* , для

чего используется формула t t

* / ;

c) коэффициенты ai искомого полинома определяются выражением

ai i

n i , где значения i находятся по таблице 6.1 или 6.2, в зависимости

от выбранного типа распределения корней характеристического уравнения.

Коэффициент b определяется по заданной величине статического коэф-

фициента k выражением b ka 0 .

В некоторых случаях, возникает задача оценки быстродействия системы

без построения ее переходной характеристики. Для этого может использоваться

понятие степени устойчивости. Под степенью устойчивости понимается

абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня.

Предполагая, что переходный процесс можно считать закончившимся тогда,

когда затухнет составляющая, определяемая ближайшим к мнимой оси корнем,

получим приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем

переходного процесса

t 1 1

005ln.

(6.6)

Формула (6.6) имеет приемлемую точность, когда абсолютное значение веще-

ственной части ближайшего к мнимой оси корня не менее чем на порядок

меньше абсолютных значений вещественных частей остальных корней.

В отличии от рассмотренной выше системы вида (6.1) характер переход-

ного процесса в системе вида

y a y a y a y b g b gn

n

n

m

m( ) ( ) ( )

1

1

1 0 0 (6.7)

определяется не только корнями характеристического полинома, т.е. полюсами

системы, но и корнями полинома

b s b s b s bm

m

m

m( )

1

1

0 ,

которые называются нулями системы. При заданном полиноме a s( ) выбором

коэффициентов полинома b s( ) можно, к примеру, уменьшить время переходно-

го процесса, или обеспечить инвариантность системы к некоторым типам вход-

ных сигналов.


1. По заданным в табл. 6.3 значениям постоянных n t k, , определите

параметры системы (6.1) с характеристическим полиномом Баттерворта и би-

номиальным полиномом. Для каждого случая рассчитайте корни характеристи-

ческого полинома (6.2) и оцените время переходного процесса по формуле (6.6).

36

Составьте схему моделирования системы и постройте переходные характери-

стики, соответствующие двум типам распределения корней характеристическо-

го уравнения.

2. Для каждого набора параметров b bm0 , , , приведенных в табл. 6.4 и

6.5, постройте переходные характеристики системы (6.7) с коэффициентами

a an0 1, , и коэффициентом b, рассчитанными в п.1 для биномиального рас-

пределения корней характеристического уравнения.

3. Для набора параметров b bm0 , , и внешнего воздействия g t( ) , приве-

денных в табл. 6.6, постройте реакцию системы (6.7) с нулевыми начальными

условиями и коэффициентами a an0 1, , рассчитанными в п.1 для биномиаль-

ного распределения корней характеристического уравнения. На экран монитора

выводить графики y t g t( ), ( ) .


1. Математическая модель динамических систем (6.1), (6.7) и соответ-

ствующие им схемы моделирования.

2. Коэффициенты и корни характеристического уравнения системы, рас-

считанные по заданным показателям для двух типов распределения корней.

Оценка времени переходного процесса.

3. Результаты вычислительных экспериментов (графики пяти переход-

ных функций и график реакции системы на заданное входное воздействие).

4. Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы

1. Определите установившиеся значение переходной функции системы,

описанной дифференциальным уравнением

y y y g g 2 4 3 .

2. У системы 3-го порядка характеристический полином совпадает с по-

линомом Баттерворта при единичном радиусе распределения. Укажите на ком-

плексной плоскости корни характеристического уравнения системы.

3. Используя нормированные переходные характеристики, укажите вре-

мя переходного процесса в системе (6.1) с характеристическим биномиальным

полином при n 4 и 0 5 .

4. Определите время переходного процесса в системе

.y y y g 4 4 15 .

5. Определите время переходного процесса в системе . . y y y g g 11 01

6. Определите установившуюся реакцию системы y y y g g 2

на внешнее воздействие g t 2sin( ) .

37

Таблица 6.3

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6

t 3 1 2.5 1.5 4 2 5 4 6 7 8 6

k 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 2.5 5 3.5

Таблица 6.4

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b0 b

b1 0.5 1.25 1.5 2.5 1.75 2 2.25 3 2 2.5 2.75 1.5

Таблица 6.5

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b0 b b b b b b b b b b b b

b1 2 2 0.5 0.5 1 0.25 0.1 0.2 0.1 0.2 0.3 0.1

b2 0.5 1.5 1 0.25 1.25 0.5 0.2 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2

b3 0.25 1 1 1.25 0.25 0.75 0.5 0.2 0.2 0.2 0.3 0.4

b4 - - - 2 2.5 3 0.3 0.5 0.25 0.3 0.2 0.5

b5 - - - - - - 3.5 4 0.25 0.5 0.3 0.2

b6 - - - - - - - - - 2 2.5 3

Таблица 6.6

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b0 1 1 0.25 2.25 8 4.5 1 1 0.25 2.25 8 4.5

b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b2 0.25 1 1 2 0.5 0.5 0.25 1 1 2 0.5 0.5

g t( ) sin( )2t 2sin( )t sin( . )05t sin( . )15t 3 4sin( )t 2 3sin( )t cos( )2t 3cos( )t cos( . )05t cos( . )15t 4 4cos( )t cos( )3t

46


ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ

УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

ДВУХ ПАРАМЕТРОВ

Цель работы. Ознакомление с экспериментальными методами построения об-

ластей устойчивости линейных динамических систем и изучение влияния на устойчи-

вость системы ее параметров.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознако-

миться с описанием лабораторной работы и получить вариант задания. Лабораторная

работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Под областью устойчивости в пространстве пара-

метров понимается множество значений параметров, при которых система является

асимптотически устойчивой. Под областью неустойчивости, соответственно, понима-

ется множество значений параметров, при которых система является неустойчивой.

Области устойчивости и неустойчивости отделены друг от друга так называемыми гра-

ницами устойчивости, т.е. множествами значений параметров, при которых система

является устойчивой по Ляпунову.

Экспериментальное построение областей устойчивости и неустойчивости осу-

ществляется в соответствии со следующей методикой. Фиксируются значения всех па-

раметров системы кроме одного. Изменяя этот параметр, определяют такое его значе-

ние, при котором система находится на границе устойчивости. При этом определение

типа устойчивости системы может осуществляться, например, по виду кривой пере-

ходного процесса (для аналитического определения типа устойчивости могут исполь-

Рис.8.1 Пример границы устойчивости на плоскости двух параметров 1 и 2

47

зоваться корневые, алгебраические или частотные критерии). Полученная таким обра-

зом совокупность параметров системы задает одну точку границы устойчивости в про-

странстве параметров. Затем выбирают новую комбинацию фиксированных парамет-

ров, и процедура повторяется. В результате определяется совокупность точек границы

устойчивости. Пример графического представления границы устойчивости на плоско-

сти двух параметров 1 и 2 приведен на рис.8.1.

В лабораторной работе исследуется линейная система третьего порядка, струк-

турная схема которой представлена на рис.8.2. Подобная структурная схема является

типичной для широкого класса электромеханических объектов управления. Система

имеет три параметра — постоянные времени T1 , T2 и коэффициент передачи K . Для

простоты, при исследовании системы постоянную времени T1 будем считать фиксиро-

ванной, а область устойчивости будем определять на плоскости двух параметров K и

T2 .


1. Собрать схему моделирования, установив значение постоянной времени T1

согласно заданному варианту (см. табл. 8.1). Установить значение постоянной време-

ниT2 , равное 0,1 с.

2. Изменяя коэффициент передачи K , подобрать такое его значение, при кото-

ром система находится на границе устойчивости. Тип устойчивости системы опреде-

лить по виду переходного процесса при нулевом входном воздействии g t( ) 0 и нену-

левом начальном значении выходной переменной y( )0 1 . Полученные таким образом

значения K и T2 дадут одну точку границы устойчивости.

3. Изменить значение постоянной времени T2 и повторить пункт 2 задания,

найдя, таким образом, следующую точку границы устойчивости. Количество точек, не-

обходимое для построения границы устойчивости, должно быть не менее 10. Диапазон

изменения постоянной времени T2 — от 0,1 с до 5 с.


1. Схема моделирования.

2. Графики переходных процессов и значения корней характеристического

уравнения для трех сочетаний параметров K и T2 , соответствующих устойчивой си-

стеме, неустойчивой системе и системе, находящейся на границе устойчивости.

3. Таблица данных, необходимая для построения экспериментальной границы

устойчивости на плоскости двух параметров K , T2 . Графическое изображение границы

устойчивости, найденной экспериментально.

Рис.8.2. Структурная схема линейной системы третьего порядка

48

4. Теоретический расчет границы устойчивости с использованием критерия

Гурвица.

5. Таблица данных, необходимая для построения теоретической границы устой-

чивости на плоскости двух параметров K , T2 . Графическое изображение теоретиче-

ской границы устойчивости.

6. Выводы.


1. Дайте определение устойчивости систем автоматического управления.

2. Как определить свойства устойчивости линейной стационарной системы по

корням ее характеристического уравнения?

3. Определите свойства устойчивости линейной стационарной системы с харак-

теристическим полиномом D s s a s a s a( ) 3

2

2

1 0 , если все коэффициенты полинома

положительны и, дополнительно, a a a1 2 0 .

4. Определите аналитически границу устойчивости в пространстве параметров

T1 и T2 для системы, изображенной на рис.8.2.

Таблица 8.1

Варианты задания

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T1 ,с 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0 0.25

38


АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Цель работы. Исследование точностных свойств систем управления.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от

преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, получившие анали-

тическое выражение для установившейся ошибки из п.4.3 (см. порядок выполнения ра-

боты). Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Точность работы любой системы управления наибо-

лее полно характеризуется мгновенным значением ошибки слежения, равной разности

между требуемым и действительным значениями регулируемой переменной

e t g t y t( ) ( ) ( ) . Однако в большинстве задач управления реальными объектами зада-

ющие и возмущающие воздействия заранее точно неизвестны и, следовательно, опре-

делить заранее величину e t( ) для всех моментов времени не представляется возмож-

ным. Поэтому точностные свойства системы, как правило, оцениваются при типовых

входных воздействиях — постоянном, линейно или квадратично нарастающем. Для ха-

рактеристики точностных свойств системы управления используется понятие устано-

вившейся ошибки слежения, а также предельного значения установившейся ошибки

слежения. Установившаяся ошибка e ty ( ) представляет собой функцию времени, удо-

влетворяющую условию

lim( ( ) ( ))t

ye t e t

0 (7.1)

для любых начальных условий e( )0 и заданного входного воздействия g t( ) . Другими

словами, она характеризует ошибку слежения, установившуюся после завершения пе-

реходного процесса. Предельное значение установившейся ошибки определяется

выражением

lim ( )te t (7.2)

(при условии, что предел (7.2) существует).

Величина предельного значения установившейся ошибки при типовом задаю-

щем воздействии может быть достаточно просто рассчитана по передаточной функции

системы. Пусть образы Лапласа ошибки слежения E s( )=L e(t) и сигнала задания

G s( )= L g(t) связаны соотношением

E s s G se( ) ( ) ( ) , (7.3)

где e s( ) — известная передаточная функция замкнутой системы по ошибке слеже-

ния (относительно задающего воздействия). Например, для систем с единичной отрица-

тельной обратной связью (см. рис.7.1) имеем

e s W s( )

( )

1

1,

где W s( ) — передаточная функция разомкнутой системы, включающая в себя пере-

39

даточные функции регулятора и объекта управления. Тогда, в соответствии с теоремой

о предельном переходе во временной области (см. [3]), имеем

lim ( ) ( )s o s s G s .

Образы Лапласа типовых задающих воздействий приведены в таблице 7.1.

Для приближенной оценки установившейся ошибки слежения e ty ( ) при произ-

вольном (но достаточно гладком) входном воздействии g t( ) можно воспользоваться

следующей методикой. Разложим e s( ) в ряд Тейлора в окрестности точки s 0

e s c c scs

cs( )

! ! 0 1

2 2 3 3

2 3 , (7.4)

где cd

dssi

i

i e

s

( )0

, i 01 2, , ,. Тогда, подставляя (7.4) в (7.3) и переходя во времен-

ную область, получаем выражение установившейся ошибки при произвольном входном

воздействии

e t c g t cd

dtg t

c d

dtg t

c d

dtg ty ( ) ( ) ( )

!( )

!( ) 0 1

2

2

2

3

3

32 3 , (7.5)

где постоянные ci носят название коэффициентов ошибок. Если g t( ) изменяется дос-

Таблица 7.1

Образы Лапласа типовых задающих воздействий

Типовое

воздействие

Постоянное g t A( )

Линейно

возрастающее g t Vt( )

Квадратично

возрастающее

g tat

( )

2

2

Образ Лапласа G s( )

A

s

V

s2

a

s3

Рис 7.1. Система с единичной от-

рицательной обратной связью

Рис. 7.2. Возмущённая система управления

( f1— возмущение по управлению, f

2—

ошибка измерительного устройства).

40

таточно медленно, то для приближенной оценки e ty ( ) можно использовать конечное

число членов ряда (7.5).

Замечание. Так как e s( ) является дробно-рациональной функцией, то коэффи-

циенты ошибок можно получить делением числителя e s( ) на знаменатель и сравне-

нием получающегося ряда с выражением (7.4).

В качестве универсальной характеристики точностных свойств систем управле-

ния используется понятие порядка астатизма (по отношению к входному воздей-

ствию). Система называется статической (или — с нулевым порядком астатизма), ес-

ли в выражении (7.5) c0 0 . Говорят, что система имеет k-й порядок астатизма, если

в выражении (7.5) ci 0 для всех 0 i k и ck 0 .

Для систем с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 7.1) порядок

астатизма может быть достаточно просто определен на основе анализа структурных

свойств системы. Так, система на рис.7.1 является статической (т.е. с нулевым поряд-

ком астатизма), если

lim ( )s W s k 0 ,

где k — общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Для статической систе-

мы при постоянном входном воздействии g t A( ) имеем

lim

( )s sW s

A

s

A

k0

1

1 1.

Последнее выражение означает, что постоянное входное воздействие отрабатывается с

ненулевой установившейся ошибкой (с так называемой, статической ошибкой). При

линейно нарастающем входном воздействии g t Vt( ) имеем

lim( )

lims ssW s

V

s k

V

s0 2 0

1

1

1

1,

откуда следует, что линейно возрастающее задающее воздействие отрабатывается ста-

тической системой с неограниченно растущей ошибкой.

Система на рис.7.1 является астатической, если

lim ( )s W s 0

и передаточная функция разомкнутой системы W s( ) может быть представлена в виде

W ssW sr( ) ( ) 1

,

где W s — передаточная функция статической системы (т.е. lim ( )s W s k

0 ).

При этом число r соответствует порядку астатизма.

Для системы с первым порядком астатизма при постоянном входном воздей-

ствии g t A( ) имеем

41

Таблица 7.2

Соответствие порядка астатизма предельному значению

установившейся ошибки слежения

Порядок

астатизма

Постоянное g t A( )

Линейно

возрастающее g t Vt( )

Квадратично

возрастающее

g tat

( )

2

2

0 A

k1

1

0 V

k

2

0

0 a

k

lim( )

lim( )

lims s ssW s

A

s W s

s

As

s kA0 0 0

1

1

1

1

0 ,

а при линейно нарастающем воздействии g t Vt( )

lim( )

lims ssW s

V

s

s

s k

V

s

V

k0 2 0

1

1.

Таблица 7.2 демонстрирует соответствие между порядком астатизма и предель-

ным значением установившейся ошибки слежения.

Аналогичным образом может быть введено понятие порядка астатизма по воз-

мущающему воздействию. Особо отметим, что порядок астатизма по задающему воз-

действию, в общем случае, не соответствует порядку астатизма по возмущению. В ка-

честве примера рассмотрим задачу стабилизации ( g t( ) 0) системы, представленной

на рис.7.2, где H s s( ) / 1 — передаточная функция регулятора, W s( ) — передаточная

функция объекта управления ( lim ( )s W s k 0 ), f t1( ) — возмущение по управлению,

f t2 ( ) — ошибка измерительного устройства, рассматриваемая в качестве возмущения

по выходу. Очевидно, что замкнутая система по задающему воздействию обладает по-

рядком астатизма, равным единице.

На основе анализа структурной схемы системы можно записать

e g y y W s fsf y W s f

sf e

1 2 1 2

1 1

или

( ( )) ( ) ( )11 1

1 2 sW s e W s f

sW s f .

Предельное значение установившейся ошибки

при различных видах задающего воздействия

42

После элементарных преобразований окончательно получаем

eW s

sW s

fsW s

sW s

fsW s

s W sf

W s

s W sf

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )11

1

111 2 1 2 .

Пусть возмущения f t F1 1( ) и f t F2 2( ) являются постоянными. Тогда

lim

( )

( )

( )

( )s ssW s

s W s

F

ssW s

s W s

F

sF0

1 2

2 .

Таким образом, возмущение f 2 дает статическую ошибку (величина которой не

зависит от параметров системы управления), а влияние возмущения f1 полностью ком-

пенсировано. В общем случае, факт наличия или отсутствия установившейся ошибки

должен быть определен для каждого действующего на систему возмущения на основе

анализа соответствующих передаточных функций от возмущения к ошибке, вне зави-

симости от порядка астатизма системы по задающему воздействию.

Порядок выполнения работы.

1. Исследование системы с астатизмом нулевого порядка. Структура системы

представлена на рис.7.3, где H s k( ) . Варианты передаточной функции объекта

управления W s( ) , а также характеристики задающего воздействия g t( ) приведены в

табл.7.3.

1.1. Исследование стационарного режима работы: g t A( ) . Получить переход-

ные процессы для трех различных значений коэффициента k и определить предельное

значение установившейся ошибки .

Значения коэффициента k (здесь и во

всех последующих пунктах): 1, 5, 10.

1.2. Исследование режима дви-

жения с постоянной скоростью:

g t Vt( ) . Получить переходные про-

цессы для различных значений коэф-

фициента k . Интервал наблюдения —

30 секунд.

2. Исследование системы с

астатизмом первого порядка. Структура системы представлена на рис.7.3, где

H s k s( ) / . Варианты передаточной функции объекта управления W s( ) , а также ха-

рактеристики квадратично нарастающего задающего воздействия g t at( ) / 2 2 приве-

дены в табл.7.4. Характеристики постоянного и линейно нарастающего задающих воз-

действий взять из табл.7.3.

2.1. Исследование стационарного режима работы: g t A( ) . Получить переход-

ные процессы для различных значений коэффициента k и определить предельное зна-

чение установившейся ошибки .

2.2. Исследование режима движения с постоянной скоростью: g t Vt( ) . Полу-

чить переходные процессы для различных значений коэффициента k и определить

предельное значение установившейся ошибки . Интервал наблюдения — 30 секунд.

Рис. 7.3. Структурная схема моделируемой

системы

43

2.3. Исследование режима движения с постоянным ускорением: g t at( ) / 2 2 .

Получить переходные процессы для различных значений коэффициента k . Интервал

наблюдения — 30 секунд.

3. Исследование влияния внешних возмущений.

3.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.7.5 и рис.7.4) собрать схему

моделирования возмущенной системы. При этом вид передаточной функции W s( )

взять из табл.7.3.

3.2. Полагая f t2 0( ) и g t t( ) ( ) 1 , получить переходной процесс и определить

предельное значение установившейся ошибки .

3.3. Полагая f t1 0( ) и g t t( ) ( ) 1 , получить переходной процесс и определить

предельное значение установившейся ошибки .

4. Исследование установившейся ошибки при произвольном входном воздей-

ствии. Структура системы представлена на рис.7.3, где H s( ) 1. Варианты передаточ-

ной функции W s( ) взять из табл.7.3, а вид задающего воздействия g t( ) из табл. 7.6.

4.1. Получить переходной процесс в замкнутой системе и определить (по графи-

ку) установившуюся ошибку слежения e ty ( ) .

4.2. Получить приближенное аналитическое выражение для e ty ( ) , сохранив в

ряде Тейлора (7.5) три первых члена. Построить график e ty ( ) в соответствии с полу-

ченным аналитическим выражением (использовать для этого блок нелинейных функ-

ций Fnc).

Содержание отчета.

1. Структурные схемы моделируемых систем и графики переходных процессов.

2. Графики экспериментально полученных зависимостей предельных значений

установившейся ошибки от коэффициента k (пункты 1.1, 2.1 и 2.2 порядка выполне-

ния работы). Аналитическое подтверждение полученных результатов.

3. Аналитический расчет установившихся ошибок в возмущенной системе.

4. Аналитический расчет и графики расчетной и экспериментально определен-

ной установившейся ошибки слежения при произвольном входном воздействии (см.

пункт 4.3 порядка выполнения работы).

5. Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы.

1. Можно ли использовать конечное число членов ряда (7.5) для приближенной

оценки установившейся ошибки слежения за задающим воздействием вида g t t( ) sin ? 3 3

2. Пусть k — общий коэффициент усиления разомкнутой системы с нулевым

порядком астатизма. Чему равен коэффициент c0 в формуле (7.5)?

3. Можно ли компенсировать ошибку измерительного устройства f 2 (см.

рис.7.2), повысив порядок астатизма системы по задающему воздействию?

4. Определить предельное значение установившейся ошибки в системе, пред-

ставленной на рис.7.2, если g t t( ) ( ) 1 , f t t1 2( ) а f t2 0( ) .

Таблица 7.3

Варианты параметров систем с нулевым порядком астатизма

44

Вариант W s( ) g A

g Vt

Вариант W s( ) g A

g Vt

1

2

3 1s

1

0,5t

7

1

2 3 12s s

1

1,5t

2

3

2 5 1, s

2

2t

8

2

0 5 2 12, s s

1

2t

3

15

0 5 1

,

, s

2

4t

9

2

0 5 22, s s

2

2t

4

15

2 12

,

s s

1

t

10

8

0 5 2 82, s s

2

t

5

1

22s s

2

2t

11

1

0 5 1 12, s s

2

2t

6

5

5 62s s

1

t

12

1

01 0 7 12, ,s s

4

2t

Таблица 7.4

Варианты параметров систем с первым порядком астатизма

Вариант

W s( )

g at 2 2/

Вариант

W s( )

g at 2 2/

1

2

3 1s

0 25 2, t

7

s

s s

1

2 3 12

0 25 2, t

2

3

2 5 1, s

0 5 2, t

8

s

s s

2

0 5 2 12,

0 2 2, t

3

15

0 5 1

,

, s

0 2 2, t

9

s

s s

2

0 5 22,

0 5 2, t

4

s

s s

15

2 12

,

0 4 2, t

10

15 8

0 5 2 82

,

,

s

s s

0 3 2, t

5

s

s s

1

22

0 3 2, t

11

s

s s

1

0 5 1 12,

0 45 2, t

6

s

s s

5

5 62

0 45 2, t

12

s

s s

1

0 1 0 7 12, ,

0 4 2, t

Таблица 7.5

Варианты возмущенных систем

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Параметры

сигнала задания

Параметры

сигнала задания

45

Структура

системы

(см. рис.7.4)

а)

а)

а)

б)

б)

б)

в)

в)

в)

г)

г)

г)

f1 1 0,5 -0,5 2 -0,5 -1 -0,25 -0,5 2 1,5 -0,5 0,5

f2

-0,5 0,5 1 1 0,25 0,5 1 -0,5 0,5 -0,5 0,25 -0,4

Таблица 7.6

Варианты сигнала задания

Вариант Сигнал задания Вариант Сигнал задания Вариант Сигнал задания

1 2 3 0 5 sin , t 5 t t 0 5 0 5, cos , 9 2 01 2 , t

2 0 2 0 52, sin ,t t 6 0 6 0 2 2, ,t t 10 5 t

3 0 5 2 01, cos ,t t 7 3 0 6 0 4 , sin , t 11 0 3 2 0 8, sin ,t t

4 0 4 0 2 2, ,t t 8 2 0 5 , t 12 2 0 5 cos , t

Рис. 7.4.Структурные схемы возмущённых систем.

а) б)

в) г)

53


ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Цель работы. Изучение математических моделей и исследование характеристик

электромеханического объекта управления, построенного на основе электродвигателя

постоянного тока независимого возбуждения.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от

преподавателя вариант задания. К выполнению работы допускаются студенты, рассчи-

тавшие параметры математических моделей ЭМО (см. п.1 порядка выполнения рабо-

ты). Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Функциональная схема типичного электромеханиче-

ского объекта (ЭМО) представлена на рис.10.1. Она включает усилительно-

преобразовательное устройство (УПУ), электродвигатель (ЭД), редуктор (Р) и исполни-

тельный механизм (ИМ). Усилительно-преобразовательное устройство служит для

формирования напряжения, подаваемого на двигатель в соответствии с управляющим

сигналом. Электродвигатель осуществляет преобразование электрической энергии в

механическую. Редуктор снижает скорость вращения и повышает момент двигателя на

валу ИМ. В качестве исполнительного механизма могут выступать механизмы станков,

роботов, поточных линий, рулевые устройства летательных аппаратов, подвижные эле-

менты автоматического оборудования и приборов. Для получения информации о состо-

янии объекта, используемой в устройстве управления, ЭМО может снабжаться различ-

ными измерительными устройствами: углового или линейного перемещения (измери-

тели перемещения — ИП), угловой или линейной скорости (измерители скорости —

ИС), измерителями тока якоря и напряжения усилителя мощности.

Рис.10.1 Функциональная схема ЭМО

54

В работе рассматривается электромеханический объект управления, выходным

сигналом которого является угловое перемещение ИМ, а управляющим сигналом —

входное напряжение УПУ. Измерение угловой скорости осуществляется на валу двига-

теля. Момент сопротивления MCM , приложенный к валу ИМ, выступает в качестве

возмущающего воздействия.

Модель ЭМО. В соответствии с законом Ома, для электрической цепи двигателя

получаем следующее уравнение

U E IR LdI

dtУ , (10.1)

где U y — напряжение, подаваемое на двигатель, E kE — противо-ЭДС, I — ток,

якоря, R и L— сопротивление и индуктивность цепи якоря, kE — коэффициент ЭДС

(первая конструктивная постоянная), — угловая скорость ротора. Обозначив

T LRЯ , K RД 1 , уравнение (10.1) можно записать в виде

TdI

dtI K U kЯ Д У E . (10.2)

Уравнение вращения якоря электродвигателя имеет вид

M M Jd

dtД C

, (10.3)

где M k IД М — вращающий момент двигателя, kM — коэффициент момента (вторая

конструктивная постоянная), J — момент инерции, приведенный к валу двигателя,

MC — момент сопротивления, приведенный к валу двигателя. Скорость вращения и

угол поворота ротора связаны соотношением

d

dt

. (10.4)

Редуктор обеспечивает усиление момента двигателя и соответствующее сниже-

ние скорости вращения нагрузки

M i МM Д р ,

M i

р

,

M i

р

, (10.5)

где iР — передаточное отношение редуктора, MM — вращающий момент на выходном

валу редуктора (т.е. момент, приложенный к исполнительному механизму), M — уг-

ловая скорость вращения выходного вала редуктора, M — угол поворота исполни-

тельного механизма (нагрузки) При этом справедливо и обратное преобразование от

выходного вала к входному M M iC CM P / . При наличии редуктора момент инерции,

приведенный к валу двигателя, определяется по формуле

J J JJ

iД P

M

P

2 , (10.6)

55

где J Д — момент инерции двигателя, J P — приведенный момент инерции редуктора,

JM — момент инерции исполнительного механизма (нагрузки).

Усилительно-преобразовательное устройство с высокой степенью точности мо-

жет быть представлено апериодическим звеном

TdU

dtU k Uу

y

y y , (10.7)

где U — входное напряжение УПУ, Ty и k y — постоянная времени и коэффициент

усиления УПУ, соответственно. Требуемый коэффициент усиления k y определяется

как отношение номинального напряжения двигателя UH к максимальному напряжению

Um на входе усилительно-преобразовательного устройства kUUy

H

m , (обычно

U Вm 10 ).

Измерительные устройства будем считать безынерционными. На выходе изме-

рительных устройств формируются измеренные значения напряжения U y , тока I ,

скорости и угла поворота M

U K Uy U y , I K II , K , M MK . (10.8)

Коэффициенты передачи измерительных устройств KU , KI , K и K должны обеспе-

чить соответствие максимального значения измеряемого сигнала уровню 10 В на выхо-

де измерительного устройства.

Таким образом, математическая модель ЭМО полностью описывается уравне-

ниями (10.1)-(10.8). Структурная схема ЭМО приведена на рис.10.2.

Упрощенная модель ЭМО. Часто электрические постоянные времени усилителя

Ty и ЭД TЯ значительно меньше, чем механическая постоянная времени TM . В этом

случае для упрощения математической модели пренебрегают малыми постоянными

времени, заменяя апериодические звенья первого порядка с передаточными функциями

Рис.5.2 Структурная схема ЭМО

56

W sK

T s

Д

Я

1 1( )

и W s

K

T s

y

y

2 1( )

пропорциональными звеньями с коэффициентами пе-

редачи KД и Ky , соответственно. Таким образом, упрощенная модель ЭМО имеет вид,

приведенный на рис.5.3, где KK

k i

y

E P

, KR

k k if

M E P

2 , TRJ

k kM

M E

.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить математические модели ЭМО (полную и упрощенную) и для задан-

ного варианта (см. табл.10.1) рассчитать их параметры. При расчете параметров приве-

денный момент инерции редуктора считать J JP Д 02. . Коэффициент kE рассчитыва-

ется исходя из формулы скорости вращения холостого хода OH

E

Uk (обратите

внимание, что в табл.10.1 частота вращения холостого хода nO измеряется в "оборотах

в минуту").

2. Составить схему моделирования полной модели ЭМО и получить графики

переходных процессов для U y , I , , M при MCM 0 Нм и U В 5 . Время модели-

рования должно быть выбрано таким, чтобы обеспечить наилучшее представление пе-

реходного процесса.

3. Исследовать влияние момента сопротивления MCM на вид переходных про-

цессов. Для этого получить графики переходных процессов по U y , I , и M при

различных значениях момента сопротивления MCM . Диапазон изменения MCM : от 0

Нм до величины, равной i MP H . По временным диаграммам определить время пере-

ходного процесса tП и установившиеся значения скорости y и тока I y .

4. Исследовать влияние момента инерции нагрузки JM на вид переходных про-

цессов. Определить время переходного процесса tП и установившиеся значения y и

I y . Диапазон изменения момента инерции: 50 00 от заданного значения.

5. Исследовать влияние передаточного отношения редуктора iP на вид переход-

ных процессов (при изменении iP учесть, что будет меняться и приведенный момент

инерции, см. формулу (10.6)). Исследования проводить при величине момента сопро-

тивления MCM , равного половине максимального значения (см. п.3), рассчитанного для

заданного значения iP , и при MCM 0 . Диапазон изменения передаточного отноше-

ния: 75 00 от заданного значения.

Рис. 5.3 Структурная схема упрощенной модели ЭМО.

57

6. Получить графики переходных процессов при меньших значениях постоян-

ных времени: Ty ,TЯ —уменьшить на порядок.

7. Собрать схему моделирования приближенной модели ЭМО и получить гра-

фики переходных процессов для измеренных значений M , M при MCM 0 . Проана-

лизировать погрешности, вызванные упрощением модели, для чего результаты иссле-

дования сопоставить с данными, полученными в п.2. и в п.6.


1. Расчет параметров математической модели двигателя.

2. Схемы моделирования.

3. Графики переходных процессов по U y , I , , M и данные, полученные по

этим графикам.

4. Вывод математических моделей вход-состояние-выход для полной и упро-

щенной схем моделирования ЭМО.

5. Выводы.


1. Какое назначение имеет усилительно-преобразовательное устройство?

2. Какой передаточной функцией описывается редуктор?

3. Рассчитать момент сопротивления на валу двигателя (см. рис.10.1), если из-

вестны масса подвешенного груза и диаметр барабана ИМ.

4. Какая размерность коэффициентов передачи K и K f упрощенной модели

двигателя?

5. Какие параметры математической модели ЭМО влияют на время переходного

процесса?

6. На основе структурной схемы (рис.10.2) получите методом структурных пре-

образований передаточную функцию ЭМО от U к M (от MC к M ).

7. В каком случае возможно использование упрощенной математической модели

ЭМО?

Таблица 10.1

Варианты задания.

№ вар. U H

В

n0

об/мин

IH

A

MH

Нм

R Ом

TЯ

мс

J Д

кг м2

Tу

мс

iP JM

кг м2

1 27 600 1,4 0,6 6,6 6 1,5.10

-3 4 15 0,05

2 48 1000 12 5,5 0,75 5 1,6.10

-3 6 16 2,75

3 36 4000 6,5 0,57 0,85 3 2,2.10

-4 6 40 0,15

4 27 970 3,76 1 1,5 6 0,001 8 16 0,84

5 120 6000 21 4 0,53 8 1,9.10

-3 8 40 5,75

6 27 2500 0,92 0,12 16,6 7 7.10

-5 4 50 0,01

7 52 1240 18 7,21 0,3 10 0,004 10 20 2,48

8 110 2400 11,5 5 0,95 7 2.10

-3 8 20 3,7

9 27 2440 0,38 0,04 32 6 5,5.10

-6 3 40 0,03

10 65 2000 14,7 4,6 0,65 10 3,4.10

-3 8 20 2,25

11 27 1975 1,23 0,16 4,2 5 7.10

-5 8 25 0,15

12 27 646 10 4 0,72 2 0,003 10 10 1,6

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -...

Documents

Transcript of ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -...