課程名稱課程名稱::速率與速度速率與速度課程名稱課程名稱::速率與速度速率與速度
編授教師:中興國中 楊秉鈞
速率與速度
速率與速度的意義 速率與速度: ( 1 )意義:
速率: 與時間的比值=速率 只描述物體運動的快慢,不包括方向,非向量。
速度: 與時間的比值=速度 可描述物體運動的快慢及方向,為向量。
路徑
位移
t
LV
時間路徑
速率
t
XV
時間位移
速度
時間運動的長度運動快慢
速率與速度的單位 速率與速度: ( 2 )單位:
常見單位:
單位換算: 10 cm / s = m / s 。 90 Km / h = m / s
時間單位長度單位 : 單位
t
XV
) hrKm ( 小時
公里 ) sm ( 秒
公尺 ) scm ( 秒
公分
0.1
25
sm
s
m
s
m25
18
590
3600
100090
1hr
1Km90 hr
Km 90
sm
hrKm
185
518
速率與速度的方向性 速率與速度: ( 3 )方向性: 說明例:若物體運動,費時 t 秒:( t2 - t1 △=
t )
0 AX BX
甲 乙
運動路徑 甲 → 乙 乙 →甲 甲 → 乙 → 甲路程(m )位移(m )
所花時間( s ) t t t
速率(m/s )
速度(m/s )
方向性:速率無方向;速度的方向,與 的方向相同 速度> 0 :表示朝 向運動 速度< 0 :表示朝 向運動 速度= 0 : 。
位移為零
正負
AB XX
AB XX > 0AB XX
BA XX < 0
)(2 AB XX
AA XX = 0
t
XX AB
t
XX AB > 0
t
XX AB
t
XX BA < 0
t
XX AB 2
t
XX AA = 0
位移
起點終點位移 XXX
速率與速度的比較 速率與速度: ( 3 )速度的方向性: 比較: 二物體若速度相等,其速率必相等且運動方向必相同。 二物體若速率相等,其速率必相等但運動方向不一定相同。
甲、乙兩車:速度 ;速率 。
丙、丁兩車:速度 ;速率 。
乙
甲h
Km60
hKm60
丙h
Km60
丁h
Km60
相等 相等 相等不相等
方向相同
大小相等
範例解說1. 小王和家人於大坑登山步道健行,他幫爸爸計時,測得爸爸上山 的速率為 2.0 公里/小時,下山的速率則為 3.0 公里/小時,則: 爸爸往返此登山步道一趟的平均速率為何? 公里/小時。 爸爸往返此登山步道一趟的平均速度為何? 公里/小時。
hrKm
XX
XXXXL
4.2
652
32t
V
速率
0t
0
t
XV
度速
假設山路 X Km
X
X
2.40
barVreadV :
範例解說 2. 如圖為一時鐘,秒針長 15cm ,則當秒針由 3 的位置走到 6 的位置期間: 針尖的平均速率為何? cm / s 。 針尖的平均速度為何? cm / s ,方向 。
1.57
scm
L
57.115
153.140.5
15
r/4215t
V
四分之一個圓周長速率
scm2
15t
XV
215速度
2
速度對時間圖V-t
速度對時間圖 習慣以速度當 ,時間當 。 ( 1 )物體靜止時: X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例:一物體的位置與時間關係如下表
位置 5 5 5 5 5 5
時間 0 1 2 3 4 5
靜止時的 V-t 圖特徵Y 軸
X 軸
落在 t 軸的水平線
013
55
01
55V
........34
34
12
12
n
n
t
X
tt
XX
tt
XX
t
X
X
5
t t
V
0
水平線
速度對時間圖: ( 2 )物體等速運動時: X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例一:一物體的位置與時間關係如下表 位置 -1 0 1 2 3 4
時間 0 1 2 3 4 5
X
t
V
t
X-t 圖是向右的斜直線時 V 是正值的等速運動
等速運動的 V-t 圖特徵
斜直線
s
mt
X
tt
XX
tt
XX
t
X
n
n 113
02
01
0V
...1
....34
34
12
12
水平線(但不落在 t 軸上)
速度對時間圖: ( 2 )物體等速運動時: X-t 圖形呈 。 V-t 圖形呈 。 說明例二:一物體的位置與時間關係如下表
等速運動的 V-t 圖特徵
斜直線水平線(但不落在 t 軸上)
位置 0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10
時間 0 2 4 6 8 10
X-t 圖是向左的斜直線時 V 是負值的等速運動
s
mt
X
tt
XX
tt
XX
t
X
n
n 12802
V
...2802
....34
34
12
12
X
t
V
t-1
速度對時間圖: ( 3 )物體變速運動時: V-t 圖呈 或 。
其中 V-t 圖 斜直線為 運動
變速運動的 V-t 圖特徵斜直線 曲線(拋物
線 .. )
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
V
t
等加速度
等加速度運動加速度運動
(變速)
V 漸增
V 由 0 漸增,再減少,又增加
V 由0 , 漸增
V 漸減
V 漸增
V 由 0 ,漸增
V 漸減
V 漸減至 0 ,再漸增
V 由 0 ,漸增
等加速度運動
加速度運動
物體有折返的特徵 速度對時間圖: ( 4 )物體折返的特徵: 或 的方向改變,即表示物體有折返情形 X-t 圖的折返特徵:呈 。 V-t 圖的折返特徵:呈 。
位移 速度位移方向變號(轉折)速度方向(或位移)變號時
X
t
V
t
t’t’
在 t’ 時刻,折返
在 t’ 時刻,折返
+-
-
++-
+
速度對時間圖: ( 5 ) V-t 圖形與時間軸所夾的面積:面積的大小= 。 面積大小為正值時:表示位移 0 ,朝 向運動 面積大小為負值時,表示位移 0 ,朝 向運動 面積大小為零值時,表示位移 0 , 。
V-t 圖下的面積意義
+
位移> 正< 負= 無位移
kV
t
t
-k
V
tt
kV
t
t
ktX
-
ktX
+k
V
t
b
t
2
)( tbkX
2
ktX
速度對時間圖的特徵: ( 1 )物體 時 :呈水平線且落於 t 軸 ( 2 )物體 運動時:呈水平線 ( 3 )物體 運動時:呈斜直線或曲線 其中 V-t 圖 斜直線為等加速度運動 ( 4 )速度對時間圖的折返特徵:速度有 時。 ( 5 )速度對時間圖下的面積= 。(指與 t 軸所夾的面積) ( 6 )速度對時間圖的交點意義:表此時間下,二物體 相同。
V-t 圖的特徵靜止
等速度變速
變號位移
速度
V
(如:丙)(如:甲、乙、丁)(如:乙、丁)
VV
t’
VV
t’
VV
t’
VV
t’
延伸討論 t’ 時間下的位移
甲X
乙X
丙X
丁X
圖(一) 圖(二)
範例解說1. 圖(一)是甲運動過程的 X-t 圖與圖(二)是乙運動過程的 V-t 圖,則:
甲在運動過程中折返 次。 乙在運動過程中折返 次。
2. 元祐參加直線折返跑比賽,如圖是他比賽過程中速度與時間關係圖,則: ( )在元祐比賽過程中,他跑步速度的方向總共改變幾次? ( A ) 3 ( B ) 4 ( C ) 5 ( D ) 8 。 若起跑點與折返點相距 15 公尺, 則他在比賽過程中共跑了幾公尺? 公尺。
3
2
A
60
+ - + - + +-
等速度運動
等速度運動 等速度運動: ( 1 )同義詞:等速運動=等速度運動=等速度 運動 ( 2 )意義: 是物體以 的方式運動,是 、 相等的運動 等速度運動的運動軌跡必為 。
( 3 )比較: 等速運動 等速率運動 等速率運動 為等速度運動
等速度 速率 方向
必為不一定
直線
A
B
等速度運動
等速率運動
直線
等時距下,間距相同。 直線軌跡。
方向不同 等時距下,間距相同。
等速度運動 等速度運動: ( 4 )常見關係圖: 等速運動的平均速度 瞬時速度,速度處處相等。 位移= × 。
=速度 時間 VtX
X
t
X
t
t
V
t
V
tVX
tVX
0....t-t
X-X
t
XV
12
12
0....t-t
X-X
t
XV
12
12
範例解說1. 某物體作等速度直線運動,其位置與時間的關係圖如圖所示,則: 此物體的速度為 公尺/秒。 圖中的時間軸之「?」值為若干秒? 秒。 此物體的位置( x )與時間( t )的關係式為何? 。
sm5
0-2
10-20
t
XV
5
sec5
50-t
25
0-t
10-35
t
XV
t
t
5
105
5202
10100
20,210,0
tX
aba
bba
batX
代入
X = 5t +10
速度=平均速度 ( in any Δt )
範例解說2. 如附圖中沿直線運動的甲、乙二質點,其 X 與 t 的關係圖如下,則 : t = 3 秒時,甲、乙相距若干公尺? 公尺。 乙車是否能追上甲車? 。
sm4
0-1
0-4
t
XV
甲
sm1
0-2
0-2
t
XV
乙
mVtX 1234 甲
mVtX 331 乙
12m
3m 9m
9 否
範例解說3. 圖為甲乙兩車的位置與時間關係圖,則: 甲車作 運動,速度 m/s 。 乙車作 運動,速度 m/s 。 請將 X-t 圖改畫成 V-t 圖。 兩車出發後第 5 秒,兩車相距 公尺。
sm10
0-1
0-10
t
XV
甲
sm10
0-1
0-10-
t
XV
乙
等速 等速
10 -10
100
平均速度 與瞬時速度
平均速度與瞬時速率: ( 1 )平均速度:可表示物體在行進的過程當中的約略之快慢及方向。 甲曲線為 運動:其平均速度 瞬時速度。 乙直線為 運動:其平均速度 瞬時速度。 當 Δt 為一段時間時, V 稱 ,其大小稱 。
平均速度
平均速度
12
12
tt
XX
t
XV
1...35
35
01
01
t
XV乙
=≠
X
t
甲
乙
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
6
8
10
變速等速
.5212
35.5 2-1
t
XV甲
.....
5.0-68
87 8-6
t
XV
平均速率
平均速度與瞬時速率: ( 2 )瞬時速度:指物體在行進的過程當中任一時刻的快慢及方向。 當 Δt 為極小瞬間時, V 稱 ,其大小稱 。 如何求出甲在 t1 時刻下的瞬時速度(簡稱 )
瞬時速度
瞬時速度
X
t1t 2t
1X
2X
甲
丙12
1221
tt
XX
t
XV
割線乙
1
12t'1
'
tt
XX
t
XV
切線丙
當過 t1 的割線,逐漸使△ t
極小時,丙線成為過 t1 的切線 故甲在 t1 時刻下的瞬時速度, 等於丙切線的瞬時速度。 X-t 圖任一點的切線斜率,可表 示為該時刻的瞬時速度
速度
極小
瞬時速率
乙
Δt 趨近極小
瞬時速率與平均速率的比較
==
瞬時速率
12
12
t-t
X-X
t
XV
0t
( 3 )瞬時速率與平均速率的比較: 若 t 與 t1 重合,直線 L 的速率即表示物體在 t1 時刻的 。 曲線 AB 兩點間的平均速率 直線 L1 的速率。 曲線 AB1 兩點間的平均速率 直線 L2 的速率。
瞬時速率示意圖
車子的里程錶
道路的速限交通標誌
起點 終點
1000 公尺0 公尺
500 公尺
1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖: 不計起點與終點,龜與兔中途相遇 次。 兔子總共休息 次:第一次在 ,休息了 分鐘。 第二次在 ,休息了 分鐘。
範例解說3
2 松樹下 20 草坪上 15
X-t 交點 相遇
300 m
1000 m
起點 終點
1000 公尺0 公尺
500 公尺
1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖: 先到終點,用了 分鐘走完全程,領先對手 分鐘,且 領先 公尺。 全程都作等速率運動的是誰? 。平均速率= m/s 。
範例解說烏龜 50 5
1200m
200
sm
m
t
XV
4.060
24
min24050
01200
烏龜 0.4
X-t 斜直線 等速
1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖: 求出兔子在下列時間的平均速率? 0~ 5 分鐘的平均速率= m/s 。 25~ 35 分鐘的平均速率= m/s 。 50~ 55 分鐘的平均速率= m/s 。 0~ 25 分鐘的平均速率= m/s 。 20~ 50 分鐘的平均速率= m/s 。 0~ 55 分鐘的平均速率= m/s 。
範例解說
1
12
12
t-t
X-X
t
XV
1.170.67
0.20.39
0.36
回家作業
找 Δt ,對應的位移 ΔX 。
2. 下圖為小尹沿一直線運動的速度和時間關係圖,則: 她在 10分鐘內的位移為多少公尺? m 。 她在 10分鐘內的路程為多少公尺? m 。 0~ 6 分鐘的平均速率= m/min 。 0~ 10 分鐘的平均速率= m/min 。 0~ 10 分鐘的平均速度= m/min 。
範例解說
1
28
44 6
4.42.8
36 m
36 m
- 8 m
- 8 m
時間位移
時間路程
速度速率 VV ;
X
mX 28836 mL 44836
範例解說3. 當沖天炮一飛沖天時,速度與時間關係圖如圖,若以向上的速度為正: 沖天炮何時開始下降?第 秒。 沖天炮最高飛到多高? m 。 第八秒時,沖天炮是否已落在地面上? 。
5
mX 5.12552
11
12.5
mX 5.7532
12
否,正在下落中,在離距地面 5 m高處。
7.5m12.5m
2X
1X
5 m
V 變化( 正轉負
)
+
-
範例解說4. 將以下 X-t 圖,轉換成 V-t 圖:
V
t
甲、乙
V
t+
-
範例解說4. 將以下 X-t 圖,轉換成 V-t 圖:
V
t
甲
乙
+
-
V
t
+
-
2:
1
1:
1
smV /2010
020100
smV /12040
2004020
課程結束