Languages
Pages
Legal
1
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IPמורכבות חישובית
Interactive Proof
לאה צבאן 033574278
רונית אנקורי )לוריא( 034200493
שירה זיסמן 034455105
יעל טרמין 058234659
Interactive Proof 2
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IPראשי פרקים
- חזרהNPProof systemInteractive proofsThe complexity class- IP : דוגמאIPעבור בעיית הסתירה : דוגמאIPעבור גרף לא איזומורפי NP IP Co-NP IP
Interactive Proof 3
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP NPחזרה על
כדי להבין את אופן הפעולה של.NP נחזור למחלקת IPמערכת
מחלקת הסיבוכיותIP שאותה נציג, בהמשך, היא אנלוגית הסתברותית ל
NP. השפות ששייכות למחלקתNP הן
השפות שלהן יש "אישור" קצר שניתן לאימות ביעילות )פולינומי(.
Interactive Proof 4
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP המשך - NPחזרה על
מחלקהP אוסף כל השפות – L שניתן לזהותן ע"י מ"ט דטרמינסטית פולינומית
בזמן. מחלקהNP מחלקת הבעיות שהפתרון –
שלהן יכול להיות מאומת בזמן פולינומי : אוסף השפות שניתן לזהותן ע"י 1הגדרה :
מ"ט לא דארמיניסטית. מחלקת כל השפות שבהן חברות 2הגדרה :
בשפה ניתנת לאימות בזמן פולינומיאלי . ההגדרות שקולות.2
Interactive Proof 5
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP הגדרות
יחס בינאריR הוא polynomial self decidable אם קיימת מ"ט בזמן פולינומי
שמקבלת את השפה.
.היחס ניתן להחלטה בזמן פולינומיאלי קיים פולינום כך ש אם ורק
wאם קיים אימות לכל
RyxyxE ,|,
LR
LbLX
L
L
Rwx
xbw
,
||
Interactive Proof 6
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP המשךהגדרות -
יחס מוגדר להיות אוסף של זוגות( x,y שמתקבלים ע"י לכן אם )
כך ש yורק אם קיים )כלומר, אם קיים חישוב שמתקבל ע"י (
ניתן להוכיח ש ניתן להכרעה בזמןפולינומיאלי וחסום פולינומיאלית ע"י
( שמוכיחה x,yסימולציה של מ"ט על )שניתן להכריעה בזמן פולינומיאלי.
המכונה תעצור אחרי לכל היותר צעדים –
לכן היחס חסום פולינומיאלית.
LR
LRyx ),(LM
LMLx
LR
LM
LR XPL
Interactive Proof 7
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP Proofמערכת הוכחה - System
:משתתפים Prover – ו Verifier.שמקבלים קלט משותף
Prover בעל כוח אינסופי – תפקידו לשכנע את הProver שהקלט אכן
שייך לשפה.Verifier
.)בעל כוח מוגבל ) פולינומי –
Interactive Proof 8
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP3SATמערכת הוכחה עבור
VerifierProver
צריך verifierה – לבדוק את ערכי האמת
של הנוסחה תחת ההשמה שקיבל כדי
proverלראות האם ה צדק. )הדבר נעשה ב
polynomial time.)
צריך לשכנע proverה- את
שהנוסחה Verifierה- שהוא שלח ניתנת
לסיפוק.לצורך זה שולח השמה שמספקת את
הקלט.
קלט משותף:)xyz’()x’y’(z’
האם שייך לשפה?
)x)=false
)y)=true
)z)=false
וגמא:ד
1 2
-מכיוון שהProver בעל כוח אינסופי הוא פקת את סיכול למצוא השמה שמ
הקלט, במידה והיא קיימת.
-מכיוון שהProver בעל כוח אינסופי הוא פקת את סיכול למצוא השמה שמ
הקלט, במידה והיא קיימת.
Interactive Proof 9
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP Proof Systemהגדרה -
Proof)נגדיר את התכונות של מערכת הוכחה System):
מדיניות הVerifier.)יעילה )בזמן פולינומי ( דרישות נכונותCorrectness:)
Completeness - עבורx השייך לשפה, ישאסטרטגית הוכחה משכנעת.
Soundness - עבורx שאינו בשפה, לא קיימת אסטרטגיית הוכחה.
Interactive Proof 10
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP Interactive Proof
Interactive Proofs הוא מושג שבסיסו ב -Proof system.
:נוסיף שני מאפיינים נוספים למודלדיאלוג דו כווני בין אינטראקציה-
הקבוצותנאפשר ל רנדומיות – Verifier להטיל
מטבעות.
Interactive Proof 11
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP Interactive Proof
IP עבור שפהL מוגדרת כמשחק בין שתי , שמבצעים Prover ו- Verifierקבוצות ,
אינטראקציה ביניהם על קלט משותף באופן שעונה על התכנות הבאות:
-אסטרטגיית הVerifier היא פרוצדורה הסתברותית פולינומיאלית בזמן.
( דרישות נכונותCorrectness.בשקף הבא :)
Interactive Proof 12
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IPIP
דרישות נכונות (Correctness)
:דרישות נכונותCompleteness קיימת אסטרטגיית – Prover, P ,
, כאשר מבצעים xLכך שעבור כל , Prover, Pאינטראקציה על קלט משותף, ה-
, בהסתברות של לפחות Verifier, Vישכנע את ה-.
Soundness עבור כל– xL כאשר מבצעים ,אינטראקציה על קלט משותף, כל אסטרטגיה
, Verifier, V, לשכנע את ה -Prover, Pשל ה- תהיה בהסתברות של לכל היותר .
32
31
Interactive Proof 13
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP The IP Hierarchy - הגדרה
מחלקהIPמורכבת מכל השפות שיש להן Interactive Proof System
מספר המסרים שמוחלפים במשך הפרוטוקולבין שתי הקבוצות במהלך האינטראקציה
במערכת.roundsנקראת מספר ה לכל פונקציה).(r מחלקת הסיבוכיות ,)).(r
(IP מורכבת מכל השפות שיש להןinteractive proof system שבה נעשים לכל ,
על קלט משותף. r(|x|) roundsהיותר לסט של פונקציות שלמים).(r, :נגדיר
IP(R)=UrRIP(r(.))
Interactive Proof 14
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IPתכונות נוספות - NPIP
, P=IP(poly צריך לרוץ בזמן (Verifierכיוון שה הוא סט של פונקציות polyכאשר
פולינומיאליות.
ניתן להגדיר את הגדרתIP לדרישה של Perfect Completeness 1 (הסתברות של
תמיד Prover ה-xL, כלומר, אם )לקבלה.Verifierישכנע את ה-
שמופיעים 2/3 ו- 1/3טענה: את הקבועים בהגדרה ניתן להגדיר כהסתברויות
.pו- לכל פולינום (.)
1-2-p(.)
2-p(.)
Interactive Proof 15
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP ללא אקראיותואינטראקציה
ללא אקראיות IP תתמוטט למחלקת NP-
proof systems.בין המחלקות נקבל ) ללא אינטראקציהIP(1
( , שהיא מעין ורסיה AM)שמסומנת לעיתים כ .NPרנדומלית )אולי חזקה יותר( של
שתי תכונות אלו יוצרות מחלקת סיבוכיות חזקה מאוד שאותה נראה בהמשך.
Interactive Proof 16
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP - Perfect Soundness
טענה: אם נדרושPerfect Soundness .NP-proof systemsהמחלקה תתמוטט ל -
הוכחה: Perfect Soundness עם IPבהינתן מערכת
: (בשקף הבא)NPנבנה מערכת הוכחה ב-
Interactive Proof 17
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP הוכחת הטענה על Perfect Soundness
, קיים פרוטוקול לקבלה ע"י xLעבור . completeness, לפי דרישות ה-verifierה- מוצא תוצאה של הטלת המטבע Proverה-
שתיתן כזה פרוטוקול, ושולח Verifierשל ה- את תוצאת ההטלה עם Verifierל-
בודק )בזמן Verifierהפרוטוקול )המלא(. ה-פולינומי( שהפרוטוקול תקף, ומקבל. באופן
משמש כנביא.Proverזה ה- Perfect Soundness, לפי דרישות ה-xLעבור
Verifierלא קיימת הטלת מטבע של ה-, verifierשתגרור פרוטוקול שיתקבל ע"י ה-
ולכן לא קיים ניחוש "טוב" של הנביא.
Interactive Proof 18
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP ללא אקראיות - הסבר
בהינתןIP עבור Prover ועבור Verifier : NPדטרמוניסטי, נבנה מערכת הוכחה ב-
Verifier יכול לצפות את החלק של ה-Proverה- Verifierבפרוטוקול האינטרקטיבי, ולשלוח ל-
את הפרוטוקול המלא (כולל החלק של משמש Prover). במיקרה זה ה-Verifierה-
בודק את Verifeir. ה-NPכנביא של בעיית תקיפות ה"ניחוש" של הנביא לפי מערכת
ההוכחה המקורית.
.NPקיבלנו בעיה ב-
Interactive Proof 19
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP גרפים איזומורפיים ו -NP
NPCOGraphIsooGrapgNonIs
NPGGGGGraphIso
1010 |,
Interactive Proof 20
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP ISOMORPHISM
- בעיית איזומורפיזם בין גרפים GraphIso:גרפים G2=(V2,E2) -ו G1=(V1,E1) נקראים
( אם קיים G1G2איזומורפיים ) מסומנים
כך ש :V1V2מיפוי חח”ע ועל
(u,v) E1
אם ורק אם
.((u),(v)) E1
מיפוי גרפים איזומורפיים נקרא 2 בין איזומורפיזם בין הגרפים.
Interactive Proof 21
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP Non Isomorphism
GraphNonIso - אם לא קיים מיפוי שמקיים את התנאי הקודם אזי הגרפים לא – איזומורפיים.
נגדיר שפה זו כGNI: {GNI= (G1,G2): G1 and G2 are non-isomorphic}
נראהInteractive Proof עבור GNI.
Interactive Proof 22
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP עבורGraphNonIso (GNI)
: קלט משותף( G1=(V1,E1 ( - ו G2=(V2,E2
:בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח(G1=({1,...,n},E1 ( - ו G2=({1,...,n},E2
:הסבר|V1| = |V2|
אחרת, הגרפים ודאי אינם איזומורפים, אינו צריך "לשכנע" את proverוה-.verifierה-
Interactive Proof 23
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP - ל GNI :גרפים2קלט : G1, G2.
Prover Verifier
i { 1,2}בוחר אקראית –{n,....,1} על ופרמוטציה
Hבונה גרף ע”י הפרמוטציה –:Gi איזומורפי לגרף
H=(}1,...,n{,}((u),(v)):(u,v)E{).Prover ל-H שולח את – H
אם שני הגרפים לא איזומורפיים P יבדוק בכוחו ה”לא מוגבל” מי
מהגרפים בקלט איזומורפי לגרף H וישלח תשובה j -כך ש H Gj V בודק אם התשובה נכונה
)i=j .(אם כן, מקבל.
j
Interactive Proof 24
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP הוכחה
תארנו פרוטוקולIP עבור GNI:מערכת ההוכחה אינטראקטיבית ורנדומית. .12. Completeness ההסתברות ש – V ישתכנע עבור שני
)כי 1פים היא רגרפים לא איזומוP-ישלח את ה j-הנכון, ו V יקבל i=j-ו ,)
3. Soundness-ההסתברות ש – P יצליח לשכנע את V פיםרכאשר הגרפים אינם איזומו
היא ½. אם "מריצים" את הפרוטוקול פעמיים ידחה היא:Vת קטנה ל-¼, ואז ההסתברות ש-וההסתבר
GNIGG 10 ,
321P
32
411 P
),( 10 GNIGG
Interactive Proof 25
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP NP
-הProver ,הוא בעל כוח חישובי בלתי מוגבל Prover יתן ל Verifier,את הפרמוטציה
שתוביל אותו לאור הירוק.NP חלש יותר מ IP( ומוכל בתוכו NP IP.)
מה לגבי שוויון ביןNP -ו IP? אין שוויון בניהם. ראינו בעיה בCo-NP שהיא
.IP שהיא ב NP וגם בעיה ב IPב
NPNPCoAssume
IPNpCoGNI
IPGraphIsooof
IPNPClaim
:
)(
:Pr
:
Interactive Proof 26
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP IP CO-NP
ניקח בעיה בCO-NP ונוכיח שהיא ב IP. בעיית הסתירה שייכת לNPC ולכן גם(
(.-NPCoל-.נוכיח שלנוסחה אין השמות אמת -ע”י מערכת אינטראקטיבית נוכיח שיש ל
הוא K=0 השמות אמת, ו- Kבדיוק מקרה פרטי.
IPNPCoClaim :
Interactive Proof 27
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP הוכחה
nxxx ....., 21 הנוסחה הינה בעלתK השמות אמת אם קיימים
כך ש:1 .. לנוסחה 2
יש בדיוק השמות אמת.. לנוסחה 3
יש בדיוק השמות אמת.
kkk 10
nn xxxxx ,......,0...., 2320
0k
nn xxxxx ,......,1...., 2321
1k
10 ,kk
Interactive Proof 28
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP
P-ישלח ל V את k0,k1.V ’1 בודק אם מתקיים תנאי מס
)k0+k1=k או 2) וממשיך אקראית עם תנאי , עד שמגיעים לליטרל בודד.3
אםV לא תפס את P.בשקר, הוא משתכנע
והאם זה IP?
- רעיון א’הוכחה
Interactive Proof 29
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP - רעיון א’, המשךהוכחה Completeness: ,אם אכן יש השמת אמת P
הנכונים, עד לרמת k0, k1ייתן בכל שלב את ישתכנע.Vליטרל בודד, ו-
Soundness: השמות אמת, ו-9 נניח שיש P P השמות אמת. 8 שיש Vרוצה לשכנע את
(, 3,6 )במקום 2,6 את המספרים Vייתן ל- P ההשמות - 6 יבחר את התנאי עם Vואם
הצליח “להבריח” את השקר שלו, ויותר הוא לא יצטרך לשקר. יש הסתברות ½ שזה
יכול לשקר בכל אחד Pיקרה. אבל מהשלבים, לכן ההסתברות לחשוף את
השקר אינה ½ אלא n )½( !
Interactive Proof 30
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP - רעיון ב’הוכחה
נרחיב את : , F ,שדה גדול מספיקn2<|F.|נבצע העברה של משוואות לוגיות למתמטיות.
כל נוסחה בוליאנית נמיר לפולינום עםn משתנים.
FF n :'
'~~~'
'''
'1'~
'
qpqp
qpqp
pp
xx ii
'
Interactive Proof 31
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP 1- רעיון ב’, המשך הוכחה
P:רוצה להוכיח
גםP וגם V -יודעים להמיר את ל .
kxxnx
nx x x
1,0
11,0 1,0 1,0
),...,('1 2 3
...
'
Interactive Proof 32
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP 2- רעיון ב’, המשך הוכחה
Verifier Prover
1,0
21,0
1 ),...,,('2
...)(nx
nx
xxxxp )(1 xp
. בוחר P1(0)+P1(1)=kבודק F1רנדומית . 1
1,0
211,0
2 ),...,,,('3
...)(nx
nx
xxxxp
. בוחר P2(0)+P2(1)=kבודק F2רנדומית .
)(2 xp
.
.
2
1
2
Interactive Proof 33
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP 3- רעיון ב’, המשך הוכחה
Verifier Prover
1,0
11211,0
),...,,,,...,,('1
...)(ni x
niix
i xxxxp
. בוחר Pi(0)+Pi(1)=kבודק Fiרנדומית .
)(xpi
.
.
),,...,,(' 121)( xnn xp
i
)(xpn בודקPn(0)+Pn(1)=k בוחר .Fnרנדומית , ובודק:
),...,(' 1)( nnnp
i
2n-1
.
.
אם כן, מקבל.
Interactive Proof 34
Inte
ract
ive
Pro
of
IP
IP 4- רעיון ב’, המשך הוכחה
Completeness: אם כל הפולינומים נכונים, כל הבדיקות יתנו תשובה חיובית,
ובשלב האחרון נקבל שאכן .
Soundness: אם P ,שלח פולינום לא נכון כי זהו פולינום רוב הסיכויים ש-
, והסיכוי ש-nמדרגה הוא . אם במקרה קיבלנו
חייב לשקר שוב, כי Pנמשיך לשלב הבא, ו-יש לו פולינום “לא טוב”. סך הכל הסיכוי
יחשף הוא: לא Pשהשקר של
),...,(' 1)( nnnp
)()( 1111 pp
0)()( 1111 pp
nn
2)()( 1111 pp
32||1|)|1( 2 fnfn n.
Top Related