מורכבות חישובית

1

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IPמורכבות חישובית

Interactive Proof

לאה צבאן 033574278

רונית אנקורי )לוריא( 034200493

שירה זיסמן 034455105

יעל טרמין 058234659

Interactive Proof 2

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IPראשי פרקים

- חזרהNPProof systemInteractive proofsThe complexity class- IP : דוגמאIPעבור בעיית הסתירה : דוגמאIPעבור גרף לא איזומורפי NP IP Co-NP IP

Interactive Proof 3

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP NPחזרה על

כדי להבין את אופן הפעולה של.NP נחזור למחלקת IPמערכת

מחלקת הסיבוכיותIP שאותה נציג, בהמשך, היא אנלוגית הסתברותית ל

NP. השפות ששייכות למחלקתNP הן

השפות שלהן יש "אישור" קצר שניתן לאימות ביעילות )פולינומי(.

Interactive Proof 4

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP המשך - NPחזרה על

מחלקהP אוסף כל השפות – L שניתן לזהותן ע"י מ"ט דטרמינסטית פולינומית

בזמן. מחלקהNP מחלקת הבעיות שהפתרון –

שלהן יכול להיות מאומת בזמן פולינומי : אוסף השפות שניתן לזהותן ע"י 1הגדרה :

מ"ט לא דארמיניסטית. מחלקת כל השפות שבהן חברות 2הגדרה :

בשפה ניתנת לאימות בזמן פולינומיאלי . ההגדרות שקולות.2

Interactive Proof 5

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP הגדרות

יחס בינאריR הוא polynomial self decidable אם קיימת מ"ט בזמן פולינומי

שמקבלת את השפה.

.היחס ניתן להחלטה בזמן פולינומיאלי קיים פולינום כך ש אם ורק

wאם קיים אימות לכל

RyxyxE ,|,

LR

LbLX

L

L

Rwx

xbw

,

||

Interactive Proof 6

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP המשךהגדרות -

יחס מוגדר להיות אוסף של זוגות( x,y שמתקבלים ע"י לכן אם )

כך ש yורק אם קיים )כלומר, אם קיים חישוב שמתקבל ע"י (

ניתן להוכיח ש ניתן להכרעה בזמןפולינומיאלי וחסום פולינומיאלית ע"י

( שמוכיחה x,yסימולציה של מ"ט על )שניתן להכריעה בזמן פולינומיאלי.

המכונה תעצור אחרי לכל היותר צעדים –

לכן היחס חסום פולינומיאלית.

LR

LRyx ),(LM

LMLx

LR

LM

LR XPL

Interactive Proof 7

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP Proofמערכת הוכחה - System

:משתתפים Prover – ו Verifier.שמקבלים קלט משותף

Prover בעל כוח אינסופי – תפקידו לשכנע את הProver שהקלט אכן

שייך לשפה.Verifier

.)בעל כוח מוגבל ) פולינומי –

Interactive Proof 8

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP3SATמערכת הוכחה עבור

VerifierProver

צריך verifierה – לבדוק את ערכי האמת

של הנוסחה תחת ההשמה שקיבל כדי

proverלראות האם ה צדק. )הדבר נעשה ב

polynomial time.)

צריך לשכנע proverה- את

שהנוסחה Verifierה- שהוא שלח ניתנת

לסיפוק.לצורך זה שולח השמה שמספקת את

הקלט.

קלט משותף:)xyz’()x’y’(z’

האם שייך לשפה?

)x)=false

)y)=true

)z)=false

וגמא:ד

1 2

-מכיוון שהProver בעל כוח אינסופי הוא פקת את סיכול למצוא השמה שמ

הקלט, במידה והיא קיימת.

-מכיוון שהProver בעל כוח אינסופי הוא פקת את סיכול למצוא השמה שמ

הקלט, במידה והיא קיימת.

Interactive Proof 9

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP Proof Systemהגדרה -

Proof)נגדיר את התכונות של מערכת הוכחה System):

מדיניות הVerifier.)יעילה )בזמן פולינומי ( דרישות נכונותCorrectness:)

Completeness - עבורx השייך לשפה, ישאסטרטגית הוכחה משכנעת.

Soundness - עבורx שאינו בשפה, לא קיימת אסטרטגיית הוכחה.

Interactive Proof 10

Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP Interactive Proof

Interactive Proofs הוא מושג שבסיסו ב -Proof system.

:נוסיף שני מאפיינים נוספים למודלדיאלוג דו כווני בין אינטראקציה-

הקבוצותנאפשר ל רנדומיות – Verifier להטיל

מטבעות.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP Interactive Proof

IP עבור שפהL מוגדרת כמשחק בין שתי , שמבצעים Prover ו- Verifierקבוצות ,

אינטראקציה ביניהם על קלט משותף באופן שעונה על התכנות הבאות:

-אסטרטגיית הVerifier היא פרוצדורה הסתברותית פולינומיאלית בזמן.

( דרישות נכונותCorrectness.בשקף הבא :)


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IPIP

דרישות נכונות (Correctness)

:דרישות נכונותCompleteness קיימת אסטרטגיית – Prover, P ,

, כאשר מבצעים xLכך שעבור כל , Prover, Pאינטראקציה על קלט משותף, ה-

, בהסתברות של לפחות Verifier, Vישכנע את ה-.

Soundness עבור כל– xL כאשר מבצעים ,אינטראקציה על קלט משותף, כל אסטרטגיה

, Verifier, V, לשכנע את ה -Prover, Pשל ה- תהיה בהסתברות של לכל היותר .

32

31


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP The IP Hierarchy - הגדרה

מחלקהIPמורכבת מכל השפות שיש להן Interactive Proof System

מספר המסרים שמוחלפים במשך הפרוטוקולבין שתי הקבוצות במהלך האינטראקציה

במערכת.roundsנקראת מספר ה לכל פונקציה).(r מחלקת הסיבוכיות ,)).(r

(IP מורכבת מכל השפות שיש להןinteractive proof system שבה נעשים לכל ,

על קלט משותף. r(|x|) roundsהיותר לסט של פונקציות שלמים).(r, :נגדיר

IP(R)=UrRIP(r(.))


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IPתכונות נוספות - NPIP

, P=IP(poly צריך לרוץ בזמן (Verifierכיוון שה הוא סט של פונקציות polyכאשר

פולינומיאליות.

ניתן להגדיר את הגדרתIP לדרישה של Perfect Completeness 1 (הסתברות של

תמיד Prover ה-xL, כלומר, אם )לקבלה.Verifierישכנע את ה-

שמופיעים 2/3 ו- 1/3טענה: את הקבועים בהגדרה ניתן להגדיר כהסתברויות

.pו- לכל פולינום (.)

1-2-p(.)

2-p(.)


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP ללא אקראיותואינטראקציה

ללא אקראיות IP תתמוטט למחלקת NP-

proof systems.בין המחלקות נקבל ) ללא אינטראקציהIP(1

( , שהיא מעין ורסיה AM)שמסומנת לעיתים כ .NPרנדומלית )אולי חזקה יותר( של

שתי תכונות אלו יוצרות מחלקת סיבוכיות חזקה מאוד שאותה נראה בהמשך.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP - Perfect Soundness

טענה: אם נדרושPerfect Soundness .NP-proof systemsהמחלקה תתמוטט ל -

הוכחה: Perfect Soundness עם IPבהינתן מערכת

: (בשקף הבא)NPנבנה מערכת הוכחה ב-


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP הוכחת הטענה על Perfect Soundness

, קיים פרוטוקול לקבלה ע"י xLעבור . completeness, לפי דרישות ה-verifierה- מוצא תוצאה של הטלת המטבע Proverה-

שתיתן כזה פרוטוקול, ושולח Verifierשל ה- את תוצאת ההטלה עם Verifierל-

בודק )בזמן Verifierהפרוטוקול )המלא(. ה-פולינומי( שהפרוטוקול תקף, ומקבל. באופן

משמש כנביא.Proverזה ה- Perfect Soundness, לפי דרישות ה-xLעבור

Verifierלא קיימת הטלת מטבע של ה-, verifierשתגרור פרוטוקול שיתקבל ע"י ה-

ולכן לא קיים ניחוש "טוב" של הנביא.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP ללא אקראיות - הסבר

בהינתןIP עבור Prover ועבור Verifier : NPדטרמוניסטי, נבנה מערכת הוכחה ב-

Verifier יכול לצפות את החלק של ה-Proverה- Verifierבפרוטוקול האינטרקטיבי, ולשלוח ל-

את הפרוטוקול המלא (כולל החלק של משמש Prover). במיקרה זה ה-Verifierה-

בודק את Verifeir. ה-NPכנביא של בעיית תקיפות ה"ניחוש" של הנביא לפי מערכת

ההוכחה המקורית.

.NPקיבלנו בעיה ב-


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP גרפים איזומורפיים ו -NP

NPCOGraphIsooGrapgNonIs

NPGGGGGraphIso

1010 |,


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP ISOMORPHISM

- בעיית איזומורפיזם בין גרפים GraphIso:גרפים G2=(V2,E2) -ו G1=(V1,E1) נקראים

( אם קיים G1G2איזומורפיים ) מסומנים

כך ש :V1V2מיפוי חח”ע ועל

(u,v) E1

אם ורק אם

.((u),(v)) E1

מיפוי גרפים איזומורפיים נקרא 2 בין איזומורפיזם בין הגרפים.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP Non Isomorphism

GraphNonIso - אם לא קיים מיפוי שמקיים את התנאי הקודם אזי הגרפים לא – איזומורפיים.

נגדיר שפה זו כGNI: {GNI= (G1,G2): G1 and G2 are non-isomorphic}

נראהInteractive Proof עבור GNI.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP עבורGraphNonIso (GNI)

: קלט משותף( G1=(V1,E1 ( - ו G2=(V2,E2

:בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח(G1=({1,...,n},E1 ( - ו G2=({1,...,n},E2

:הסבר|V1| = |V2|

אחרת, הגרפים ודאי אינם איזומורפים, אינו צריך "לשכנע" את proverוה-.verifierה-


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP - ל GNI :גרפים2קלט : G1, G2.

Prover Verifier

i { 1,2}בוחר אקראית –{n,....,1} על ופרמוטציה

Hבונה גרף ע”י הפרמוטציה –:Gi איזומורפי לגרף

H=(}1,...,n{,}((u),(v)):(u,v)E{).Prover ל-H שולח את – H

אם שני הגרפים לא איזומורפיים P יבדוק בכוחו ה”לא מוגבל” מי

מהגרפים בקלט איזומורפי לגרף H וישלח תשובה j -כך ש H Gj V בודק אם התשובה נכונה

)i=j .(אם כן, מקבל.

j


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP הוכחה

תארנו פרוטוקולIP עבור GNI:מערכת ההוכחה אינטראקטיבית ורנדומית. .12. Completeness ההסתברות ש – V ישתכנע עבור שני

)כי 1פים היא רגרפים לא איזומוP-ישלח את ה j-הנכון, ו V יקבל i=j-ו ,)

3. Soundness-ההסתברות ש – P יצליח לשכנע את V פיםרכאשר הגרפים אינם איזומו

היא ½. אם "מריצים" את הפרוטוקול פעמיים ידחה היא:Vת קטנה ל-¼, ואז ההסתברות ש-וההסתבר

GNIGG 10 ,

321P

32

411 P

),( 10 GNIGG


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP NP

-הProver ,הוא בעל כוח חישובי בלתי מוגבל Prover יתן ל Verifier,את הפרמוטציה

שתוביל אותו לאור הירוק.NP חלש יותר מ IP( ומוכל בתוכו NP IP.)

מה לגבי שוויון ביןNP -ו IP? אין שוויון בניהם. ראינו בעיה בCo-NP שהיא

.IP שהיא ב NP וגם בעיה ב IPב

NPNPCoAssume

IPNpCoGNI

IPGraphIsooof

IPNPClaim

:

)(

:Pr

:


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP IP CO-NP

ניקח בעיה בCO-NP ונוכיח שהיא ב IP. בעיית הסתירה שייכת לNPC ולכן גם(

(.-NPCoל-.נוכיח שלנוסחה אין השמות אמת -ע”י מערכת אינטראקטיבית נוכיח שיש ל

הוא K=0 השמות אמת, ו- Kבדיוק מקרה פרטי.

IPNPCoClaim :


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP הוכחה

nxxx ....., 21 הנוסחה הינה בעלתK השמות אמת אם קיימים

כך ש:1 .. לנוסחה 2

יש בדיוק השמות אמת.. לנוסחה 3

יש בדיוק השמות אמת.

kkk 10

nn xxxxx ,......,0...., 2320

0k

nn xxxxx ,......,1...., 2321

1k

10 ,kk


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP

P-ישלח ל V את k0,k1.V ’1 בודק אם מתקיים תנאי מס

)k0+k1=k או 2) וממשיך אקראית עם תנאי , עד שמגיעים לליטרל בודד.3

אםV לא תפס את P.בשקר, הוא משתכנע

והאם זה IP?

- רעיון א’הוכחה


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP - רעיון א’, המשךהוכחה Completeness: ,אם אכן יש השמת אמת P

הנכונים, עד לרמת k0, k1ייתן בכל שלב את ישתכנע.Vליטרל בודד, ו-

Soundness: השמות אמת, ו-9 נניח שיש P P השמות אמת. 8 שיש Vרוצה לשכנע את

(, 3,6 )במקום 2,6 את המספרים Vייתן ל- P ההשמות - 6 יבחר את התנאי עם Vואם

הצליח “להבריח” את השקר שלו, ויותר הוא לא יצטרך לשקר. יש הסתברות ½ שזה

יכול לשקר בכל אחד Pיקרה. אבל מהשלבים, לכן ההסתברות לחשוף את

השקר אינה ½ אלא n )½( !


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP - רעיון ב’הוכחה

נרחיב את : , F ,שדה גדול מספיקn2<|F.|נבצע העברה של משוואות לוגיות למתמטיות.

כל נוסחה בוליאנית נמיר לפולינום עםn משתנים.

FF n :'

'~~~'

'''

'1'~

'

qpqp

qpqp

pp

xx ii

'


Inte

ract

ive

Pro

of

IP

IP 1- רעיון ב’, המשך הוכחה

P:רוצה להוכיח

גםP וגם V -יודעים להמיר את ל .

kxxnx

nx x x

1,0

11,0 1,0 1,0

),...,('1 2 3

...

'


Inte

ract

ive

Pro

of

IP


Verifier Prover

1,0

21,0

1 ),...,,('2

...)(nx

nx

xxxxp )(1 xp

. בוחר P1(0)+P1(1)=kבודק F1רנדומית . 1

1,0

211,0

2 ),...,,,('3

...)(nx

nx

xxxxp

. בוחר P2(0)+P2(1)=kבודק F2רנדומית .

)(2 xp

.

.

2

1

2


Inte

ract

ive

Pro

of

IP


Verifier Prover

1,0

11211,0

),...,,,,...,,('1

...)(ni x

niix

i xxxxp

. בוחר Pi(0)+Pi(1)=kבודק Fiרנדומית .

)(xpi

.

.

),,...,,(' 121)( xnn xp

i

)(xpn בודקPn(0)+Pn(1)=k בוחר .Fnרנדומית , ובודק:

),...,(' 1)( nnnp

i

2n-1

.

.

אם כן, מקבל.


Inte

ract

ive

Pro

of

IP


Completeness: אם כל הפולינומים נכונים, כל הבדיקות יתנו תשובה חיובית,

ובשלב האחרון נקבל שאכן .

Soundness: אם P ,שלח פולינום לא נכון כי זהו פולינום רוב הסיכויים ש-

, והסיכוי ש-nמדרגה הוא . אם במקרה קיבלנו

חייב לשקר שוב, כי Pנמשיך לשלב הבא, ו-יש לו פולינום “לא טוב”. סך הכל הסיכוי

יחשף הוא: לא Pשהשקר של

),...,(' 1)( nnnp

)()( 1111 pp

0)()( 1111 pp

nn

2)()( 1111 pp

32||1|)|1( 2 fnfn n.

מורכבות חישובית

Documents

Transcript of מורכבות חישובית