11

第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法

5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念

5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性

5.3 5.3 系统开环频率特性曲线的绘制系统开环频率特性曲线的绘制

5.45.4 频率域稳定判据频率域稳定判据

5.55.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性

5.6 5.6 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性

22

5.1 5.1 频率特性的基本概频率特性的基本概念念5.1.15.1.1 频率特性的定义频率特性的定义

设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。1 、引例

建立系统仿真模型如下：

33

给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，

Ar=1 ω=0.5 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4

结论：给线性系统一个正弦输入信号时，输出信号相对于输入信号幅值和相位都发生了变化，输入信号频率不同时，改变程度亦不同

44

22 、频率特性定义、频率特性定义

频率响应 频率响应 稳定的线性定常系统，其对正弦函数输入下的稳稳定的线性定常系统，其对正弦函数输入下的稳

态响应。态响应。

幅频特性 幅频特性 输出与输入的振幅比。它描述了系统对不同频率输出与输入的振幅比。它描述了系统对不同频率

的正弦函数输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；的正弦函数输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；

相频特性相频特性输入与输出的相位差。相频特性描述了系统的稳输入与输出的相位差。相频特性描述了系统的稳

态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角迟后或态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角迟后或

相角超前的特性；相角超前的特性；

幅频特性和相频特性，称为系统或环节的幅频特性和相频特性，称为系统或环节的频率特性。频率特性。

55

5.1.25.1.2 频率特性和传递函数之间的关系频率特性和传递函数之间的关系

n

jj

m

ii

r

c

ps

zsK

sX

sXsW

1

1

)(

)(

)(

)()(

tXtx rr sin)(

n

nc ps

A

ps

A

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A

js

A

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XrsWsX

1

1020122

)()(

66

tpn

tptjtjc

neAeAeAeAtx 110201)(

稳态时稳态时

01 02( ) j t j tcx t A e A e

j

jWXjs

s

XsWA r

jsr

2

)()()(

2201

j

jWXjs

s

XsWA r

jsr

2

)()()(

2202

77

01 02( ) j t j tcx A e A e

( ) ( ) jW j A e ( ) ( ) jW j A e

( ) ( )

( ) ( )2

( ) sin( ) sin( )

j t j

c r

r c

e ex t A X

j

A X t X t

rc XAX )(

)()( jWX

XA

r

c

)()( jW

其中：其中：

88

jssWjW

)()(

( )( )( ) ( )

( )jc

r

X jW j A e

X j

频率特性与传递函数之间的关系：

99

5.1.3 5.1.3 频率特性的几何表示方法频率特性的几何表示方法11 、极坐标图、极坐标图（幅相频率特性图或奈奎斯特图）（幅相频率特性图或奈奎斯特图） 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。当频率改变。当频率 ωω 从从 00 变化到无穷大时，矢量的端点变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一条曲线，这条曲线反映出便在平面上画出一条曲线，这条曲线反映出 ωω 为参为参变量、模与幅角之间的关系。通常这条曲线叫做幅相变量、模与幅角之间的关系。通常这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画有这种曲线的图形频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画有这种曲线的图形称为极坐标图。称为极坐标图。

1010

22 、、波特图波特图（对数频率特性图）（对数频率特性图） 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。频图。两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。

对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘值乘 2020 ，即 表示，均匀分度，单位为，即 表示，均匀分度，单位为dbdb 。。 对数相频特性图的纵坐标是相移角对数相频特性图的纵坐标是相移角 φφ((ωω)) ，，均匀均匀分 度，单位为“度”。分 度，单位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线，对数对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线，对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。相频特性图绘的是对数相频特性曲线。

)(lg20)( AL

1111

5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性11 、比例环节、比例环节11 ）代数表达式）代数表达式 传递函数 传递函数 频率特性频率特性 幅频特性幅频特性 相频特性相频特性22 ）频率特性图）频率特性图（（ 11 ）极坐标图）极坐标图

0)(

)(

0)(

)(0

KA

KejKjG

KsGj

ωω 00 11 1010 100100 ∞∞

P(P(ωω)) KK KK KK KK KK

Q(Q(ωω)) 00 00 00 00 00

1212

（（ 22 ）伯德图）伯德图对数幅频图对数幅频图对数相频图对数相频图

22 、积分环节的频率特性、积分环节的频率特性11 ）代数表达式）代数表达式 传递函数 传递函数

频率特性频率特性 幅频特性幅频特性

相频特性相频特性

0)(

lg20)(

KL

90)(

1)(

111)(

1)(

90

A

ejj

jG

ssG

j

1313

22 ）频率特性图）频率特性图

lg20lg20)(lg20)( 1 AL

ωω 11 1010 100100 10001000

L(L(ωω)) 00 -20-20 -40-40 -60-60

斜率 -20/ 十倍频程

对数相频特性图对数相频特性图 90)(

对数幅频特性对数幅频特性

（ 1 ）极坐标图

（（ 22 ）波特图）波特图

1414

若若νν=2=2时，时，

lg201

lg20)(

90)(1

)(

1)(

1)( 90

L

A

ejGs

sG j

180)(

lg40)(

L

如果有如果有 νν 个积分环节串联，个积分环节串联，则有则有

1515

33 、惯性环节、惯性环节11 ）代数表达式）代数表达式传递函数传递函数频率特性频率特性

幅频特性幅频特性相频特性相频特性22 ）图形表达式）图形表达式（（ 11 ）极坐标图）极坐标图

)arctan()(1

1)(

1

1

11

1

1

1)(

1

1)(

22

)arctan(

22

2222

TT

A

eT

T

Tj

TjTjG

TssG

T

ωω 00 …… 1/T1/T …… ∞∞

P(P(ωω)) 11 …… 1/21/2 …… 00

Q(Q(ωω)) 00 …… --1/21/2 …… 00

1616

（（ 22 ）波特图）波特图

22

221lg20

1

1lg20)(lg20)( T

TAL

1717

44 、振荡环节、振荡环节1)1) 代数表达式代数表达式传递函数传递函数

频率特性频率特性

幅频特性幅频特性

相频特性相频特性 22

2222

1

2arctan

2222

2222

22

22

22

1

2arctan)(

)2()1(

1)(

)2()1(

1

)2()1(

2)1(

2)1(

1)(

1012

1)(

22

T

T

TTA

eTT

TT

TjT

TjTjG

TssTsG

T

Tj

1818

2)2) 频率特性图频率特性图(1)(1) 极坐标图极坐标图

重要性质：当重要性质：当 0<0<ξξ<0.707<0.707 时，时， 幅频特性出现峰值。幅频特性出现峰值。谐振频率谐振频率 ωωpp::

谐振峰值谐振峰值 Mp:Mp:

ωω 00 …… 1/T1/T …… ∞∞

P(P(ωω)) 11 …… 00 …… 00

Q(Q(ωω)) 00 …… --0.50.5 …… 00

2

22

12

1)(

21211)(

pp

np

AM

Td

dA

ξ 越小， Mp 越大

1919

(2)(2) 波特图波特图

分析：分析： a.a. 当当 TTωω<1<1 （（ ωω<1/T<1/T ）时，系统处于）时，系统处于低低频段频段

b.b. 当当 TTωω>1>1 （（ ωω>1/>1/TT ）时，系统处于）时，系统处于高频段高频段

2222

2222

)2()1(lg20

)2()1(

1lg20

)(lg20)(

TT

TT

AL

01lg20)( L

T

T

TL

lg40

)lg(20

)(lg20)(22

222

2020

55 、微分环节、微分环节11 ）代数表达式）代数表达式传递函数传递函数

频率特性频率特性

22 ）频率特性图）频率特性图（（ 11 ）极坐标图）极坐标图

221

2arctan

2222

2222

arctan22

90

22

)2()1(

2)1(21)(

11)(

)(

21)(1)()(

Tj

j

j

e

jjjG

ejjG

ejjG

sssGssGssG

2121

（（ 22 ）波特图）波特图在半对数坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率特性曲线相对于频率轴在半对数坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；一阶微分环节和惯性环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为互为镜相；一阶微分环节和惯性环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相镜相；二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜相。。

2222

5.3.15.3.1 系统开环幅相曲线的绘制系统开环幅相曲线的绘制11 、起点、起点（ （ ωω =0 =0 ） ）

)1)(1()(

)1)(1()(

)1)(1(

)1)(1()(

21

21

21

21

sjTsjTj

jjKjG

sTsTs

ssKsG

k

k

1)90(

0

)0()0(

K

j

KjGk

5.3 5.3 系统开环频率特性曲线的绘制系统开环频率特性曲线的绘制

22 、终点、终点（ （ ωω = =∞∞ ）：）：在原点，且当在原点，且当 n-m=1n-m=1 时，沿负虚轴趋于原点时，沿负虚轴趋于原点 当当 n-m=2n-m=2 时，沿负实轴趋于原点时，沿负实轴趋于原点 当当 n-m=3n-m=3 时，沿正虚轴趋于原点时，沿正虚轴趋于原点

2323

33 、与虚轴的交点：、与虚轴的交点：

44 、与实轴的交点：、与实轴的交点：

例 例

0)(

)()()(

P

jQPjGk

)15)(12(

10)(

)12(

10)(

)15)(12(

10)(

12

10)(

ssssG

sssG

sssG

ssG

k

k

k

k

1010

0)(

)()()(

Q

jQPjGk

2424

5.3.25.3.2 对数频率特性曲线的绘制对数频率特性曲线的绘制

221lg20)(1

1)( TL

TssG

TLT

LT

lg20)(1

01lg20)(1

TT

TLa 1lg20

10

)(

1 、典型环节对数幅频渐近特性曲线的绘制

1 ）惯性环节

2 ）一阶微分环节

TT

TLa 1lg20

10

)(

1)( TssG

2525

2

1

2

222

2

2

22

4)1(lg20)(

12

1)(

nn

nn

L

sssG

TL

L

n

n

lg40)(

0)(

n

na TL

lg40

0)(

n

na TL

lg40

0)(

12)( 22 nn sssG

3 ）振荡环节

4 ）二阶微分环节

2626

22 、系统对数幅频渐近特性曲线的绘制、系统对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤如下：步骤如下：（（ 11 ）在半对数坐标纸上标出横轴及纵轴的刻度。）在半对数坐标纸上标出横轴及纵轴的刻度。（（ 22 ）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率，标在频率轴上。节的交接频率，标在频率轴上。（（ 33 ）计算）计算 20lgK20lgK，， KK为系统开环放大系数。为系统开环放大系数。（（ 44 ）在）在 ωω=1=1 处找出纵坐标等于处找出纵坐标等于 20lgK20lgK “的点“的点 A”A” ；过该点作；过该点作一直线，其斜率等于一直线，其斜率等于 -20-20νν(db/dec)(db/dec)，当，当 νν取正号时为积分环节取正号时为积分环节的个数，当的个数，当 νν取负号时为纯微分环节的个数；该直线直到第一取负号时为纯微分环节的个数；该直线直到第一个交接频率个交接频率 ωω11 对应的地方。若 对应的地方。若 ωω11<1<1，则该直线的延长线以过，则该直线的延长线以过

““ A”A”点。点。

2727

（（ 55）以后每遇到一个交接频率，改变一次渐近线的）以后每遇到一个交接频率，改变一次渐近线的斜率：斜率： 遇到惯性环节的交接频率，斜率增加遇到惯性环节的交接频率，斜率增加 -20db/dec-20db/dec；； 遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加 +20db/dec+20db/dec；； 遇到振荡环节的交接频率，斜率增加遇到振荡环节的交接频率，斜率增加 -40db/dec-40db/dec；； 遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加 +40db/dec+40db/dec；；直至经过所有各环节的交接频率，便得系统的开环对数幅频渐直至经过所有各环节的交接频率，便得系统的开环对数幅频渐近特性。近特性。 若要得到较精确的频率特性曲线，可在振荡环节和二阶微若要得到较精确的频率特性曲线，可在振荡环节和二阶微分环节的交接频率附近进行修正。分环节的交接频率附近进行修正。

2828

例已知某系统的开环传递函数为例已知某系统的开环传递函数为

试绘出系统的开环对数幅频特性。试绘出系统的开环对数幅频特性。解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是

)05.01)(125.01)(101(

)1001(001.02

2

ssss

ssGk

01.0100

1,20

05.0

1,8

125.0

1,1.0

10

14321

dbK

K

6010lg20lg20

103

3

开环放大系统

2929

绘出该系统的开环对数幅频特性。绘出该系统的开环对数幅频特性。

3030

5.4 5.4 频率域稳定判据频率域稳定判据

5.4.15.4.1 极坐标图中的奈氏判据 极坐标图中的奈氏判据

11 、内容、内容

若开环传递函数有正极点，且个数为若开环传递函数有正极点，且个数为 PP 。闭环系统稳定的。闭环系统稳定的

充要条件是，开环幅相特性曲线 ，当充要条件是，开环幅相特性曲线 ，当 ωω 从从 --∞∞变化到变化到 ++

∞∞时，逆时针包围（时，逆时针包围（ -1-1，， j0j0）点的圈数）点的圈数 N=PN=P。否则系统不稳。。否则系统不稳。

即，用式子表示即，用式子表示

要闭环系统稳定，必须要闭环系统稳定，必须 Z=0Z=0。。

注：注： “ ” “ ”顺时针时圈数取 正 ，逆时针时圈数取 负 。“ ” “ ”顺时针时圈数取 正 ，逆时针时圈数取 负 。

)( jGk

NPZ

3131

例例 某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试 某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。

解：解：由开环传递函数可知，由开环传递函数可知，

有一个正极点，即有一个正极点，即 P=1P=1；；

ωω：： 0→∞0→∞时，逆时针包围时，逆时针包围

（（ -1-1，， j0j0）点一圈，即）点一圈，即 N=1N=1。。

Z=P-N=0Z=P-N=0

所以系统稳定。所以系统稳定。

1

2)(

s

sGk

3232

22、对奈氏判据的两点说明、对奈氏判据的两点说明

11 ））含有积分环节时奈氏判据的使用含有积分环节时奈氏判据的使用

当含有积分环节时， 曲线将不封闭，这时需要作增补特 当含有积分环节时， 曲线将不封闭，这时需要作增补特

性，即从性，即从 0-0- ∞按顺时针方向，半径为 ，作圆弧连接∞按顺时针方向，半径为 ，作圆弧连接 0+0+。得到。得到

封闭曲线后再使用奈氏判据。封闭曲线后再使用奈氏判据。增补特性：增补特性：22 ））实际的应用方法实际的应用方法只需用只需用 ωω：： 0→∞0→∞时的开环频时的开环频率特性曲线。这时，奈氏判据率特性曲线。这时，奈氏判据

的数学表达式变为： 的数学表达式变为：其中其中 N’N’表示当表示当 ωω：： 0→∞0→∞时的开时的开环频率特性曲线围绕（环频率特性曲线围绕（ -1-1，， j0j0）点的圈数。）点的圈数。

'2NPZ

jGk

3333

例例 某单位反馈系统，开环传递函数为 某单位反馈系统，开环传递函数为 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。 ，试用奈氏判据判别系统稳定性。

解：解：考虑积分环节的增补频率特性，考虑积分环节的增补频率特性，开环系统幅相频率特性表示如下：开环系统幅相频率特性表示如下：由系统开环传递函数表达式中可知由系统开环传递函数表达式中可知 P=0P=0从图中可知从图中可知 N’=-1N’=-1 Z=p-2N=2Z=p-2N=2，系统不稳定，系统不稳定

)1)(12(

5.4)(

ssssGk

3434

5.4.25.4.2 在伯德图中使用奈氏判据在伯德图中使用奈氏判据

若系统有若系统有 PP 个开环极点在右半个开环极点在右半 SS 平面，则闭平面，则闭环系统稳定的充要条件是，在环系统稳定的充要条件是，在对数幅频特性为正对数幅频特性为正的所有频段内，对数的所有频段内，对数相频特性与相频特性与 -180°-180° 相位线相位线的的正负穿越次数之差为正负穿越次数之差为 P/2P/2 。。

3535

例例若系统开环传递函数为若系统开环传递函数为

试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解：解：由图可知，对数相频由图可知，对数相频

特性对特性对 -180°-180°的正、负穿的正、负穿

越各一次。又由于开环传越各一次。又由于开环传

递函数无正极点，递函数无正极点，

即即 P=0P=0 。根据奈氏判据，。根据奈氏判据，

闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。

)1025.0)(11.0)(15)(110(

)15.0)(1(500

sssss

sssGk

3636

5.55.5控制系统的频率域性能指标控制系统的频率域性能指标5.5.15.5.1 开环频域性能指标开环频域性能指标11 、、截止频率截止频率 ωωcc对数幅频特性等于对数幅频特性等于 00 分贝时的分贝时的 ωω 值，即值，即

截止频率截止频率 ωωcc 表征响应的快速性能， 表征响应的快速性能， ωωcc 越大，系越大，系统的快速性能越好。统的快速性能越好。22 、幅值裕度、幅值裕度相角为相角为 -180°-180° 这一频率值这一频率值 ωωgg所对应的幅值倒数的所对应的幅值倒数的分贝数。分贝数。

1)(,0)(lg20)( ccc AAL

)(lg20)(lg20)(

1lg20 xxk

xk

AjGjG

h

3737

增益裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开增益裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。环增益所允许增加的最大分贝数。对于最小相位系统，对于最小相位系统，增益裕度与系统的稳定性有如下关系：增益裕度与系统的稳定性有如下关系：

系统是不稳定的系统是临界稳定的系统是稳定的

dBh

dBh

dBh

0

0

0

3838

33 、、相位裕度相位裕度 γγ((ωωc)c)相频特性曲线在相频特性曲线在 ωω= = ωωcc 时的相角值时的相角值 φφ((ωωc)c) 与与 -18-1800°° 之差。之差。

相位裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系相位裕量的物理意义是，为了保持系统稳定，系统开环频率特性在统开环频率特性在 ωω= = ωωcc 时所允许增加的最大相时所允许增加的最大相位滞后量。位滞后量。对于最小相位系统，相位裕度与系统的稳定性有对于最小相位系统，相位裕度与系统的稳定性有如下关系：如下关系：

180)()( cc

系统是不稳定的系统是临界稳定的系统是稳定的

0)(

0)(

0)(

c

c

c

3939

5.5.25.5.2 闭环频率域性能指标闭环频率域性能指标

)( j 为闭环频率特性，当 时对应的频率为带宽频率，记为 ， 当 时，

称为系统带宽。

一阶系统

二阶系统

2 、谐振频率 ，谐振峰值

闭环幅频特性， ， 对应的信号角频率为谐振频率 ， 称为谐振峰值

3)0(lg20)(lg20 jj

b b

3)0(lg20)(lg20 jj ),0( b

)(1

)()(

jG

jGM

0)(' M

r )( rr MM

Tb

1

2

1222 ]1)21()21[( nb

1 、频带宽度

4040

5.5.3 闭环频率域性能指标和开环频率域性能指标之间的关系

一般有

sin

1

r

rc

M

4141

5.6.15.6.1闭环频率特性闭环频率特性

典型的闭环频率特性曲线典型的闭环频率特性曲线（（ 11））零度幅值零度幅值 M(0)M(0)频率为频率为 00（或低频）时的幅值。（或低频）时的幅值。（（ 22））谐振峰值谐振峰值 MpMp闭环幅频特性的最大值。闭环幅频特性的最大值。（（ 33））谐振频率谐振频率 ωωpp出现谐振峰值时的频率值。出现谐振峰值时的频率值。（（ 44））频带宽度频带宽度 0~0~ωωbb从从 00频到频到 ωωbb称为频带宽度。称为频带宽度。ωωbb是闭环频率特性幅值减小是闭环频率特性幅值减小到到 0.707M(0)0.707M(0)时的频率，称为时的频率，称为截止频率。截止频率。

)()(

)(1

)(

)(

)()(

j

k

eM

jG

jG

jR

jYj

5.6 5.6 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性

4242

5.6.25.6.2闭环频率特性和系统过渡过程的关系闭环频率特性和系统过渡过程的关系11 ））闭环幅频特性的低频区闭环幅频特性的低频区 闭环幅频特性闭环幅频特性M(M(ωω))中靠近零频的低频区特性即中靠近零频的低频区特性即M(0)M(0)附近，反映了附近，反映了 控制系统的稳态性能，即控制精度。控制系统的稳态性能，即控制精度。 结论：若结论：若M(0)<1M(0)<1，说明系统是，说明系统是 00型系统，单位阶跃下无稳态误差；型系统，单位阶跃下无稳态误差； 若若M(0)=1M(0)=1，说明系统是，说明系统是 11型或型或 22型系统，单位阶跃下无稳态误差；型系统，单位阶跃下无稳态误差；22 ））闭环幅频特性的中频区闭环幅频特性的中频区 闭环幅频特性的谐振峰值闭环幅频特性的谐振峰值MpMp反映控制系统的平稳性，谐振频率反映控制系统的平稳性，谐振频率 ωωpp 反映控制系统的快速性。反映控制系统的快速性。 对于二阶系统有如下关系：对于二阶系统有如下关系：

结论：结论：MpMp的值越小，则超调量超小，系统的动态过程的平稳性越好。的值越小，则超调量超小，系统的动态过程的平稳性越好。 ωωpp （或 （或 ωωbb）越大，频带就越宽，系统的快速性能越好。）越大，频带就越宽，系统的快速性能越好。

nsnP

p

t

eM

4~3,1

%100%,12

1

2

1/

2

2