第 4 章连续系统的复频域分析

第 4 章连续系统的复频域分析


4.1 拉普拉斯变换

4.2 单边拉普拉斯变换的性质

4.3 单边拉普拉斯逆变换

4.4 连续系统的复频域分析

4.5 系统微分方程的复频域解

4.6 RLC系统的复频域分析

4.7 连续系统的表示和模拟

4.8 系统函数与系统特性


4.1 拉普拉斯变换

4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

一个信号 f(t) 若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。例如， e-αtε(t)(α ＞ 0) 就是这种信号。若 f(t) 不满足绝对可积条件，则其傅里叶变换不一定存在。例如，信号 ε(t) 在引入冲激函数后其傅里叶变换存在，而信号 eαtε(t)(α ＞ 0) 的傅里叶变换不存在。若给信号 eαtε(t) 乘以信号 e-σt(σ ＞ α) ，得到信号 e-(σ-α)t

ε(t) 。信号 e-(σ-α)tε(t) 满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。


设有信号 f(t)e-σt(σ 为实数 ) ，并且能选择适当的 σ 使 f(t)e-σt

绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。若用 F(σ+jω) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有

dtetfdteetfjF tjtjt

)()()()(

根据傅里叶逆变换的定义，则

dejFetf tjt

)(2

1)(


上式两边乘以 eσt ，得


4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域

任一信号 f(t) 的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于 f(t) 的

双边拉普拉斯变换是信号 f(t)e-σt 的傅里叶变换，因此，若 f(t)e-σt

绝对可积，即

dtetf t)(


例 4.1 - 1 求时限信号 f1(t)=ε(t)-ε(t-τ) 的双边拉氏变换及其收敛域。式中， τ ＞ 0 。


例 4.1 - 2 求因果信号 f2(t)=e-αtε(t)(α ＞ 0) 的双边拉氏变换

及其收敛域。解设 f2(t) 的双边拉氏变换为 F2(s), 则

dtetesF stat

)()(2


例 4.1-3 求反因果信号 f3(t)=-e-βtε(-t)(β ＞ 0) 的双边拉氏变换及其收敛域。


图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a) F2(s) 的收敛域； (b) F3(s) 的收敛域； (c) F4(s) 的收敛域

o

j

£ o

(a )

j

£

(b )

j

o

(c )


双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且信号与其

双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。

实际中的信号都是有起始时刻的 (t ＜ t0 时 f(t)=0) ，若起始

时刻 t0=0, 则 f(t) 为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变

换的积分下限为“ 0” ，该变换称为单边拉普拉斯变换。单

边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复

频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。


4.1.3 单边拉普拉斯变换

信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换 ( 或反变换 ) 分别为


与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若 f(t) 满足

dtetf t

0)(

则 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s) 存在。使 F(s) 存在的 S 复平面上 s 的取值区域称为 F(s) 的收敛域。因为 f(t) 的单边拉普拉斯变换等于 f(t)ε(t) 的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于 jω 轴的一条直线的右边区域，可表示为

0]Re[ s


4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换


4.2 单边拉普拉斯变换的性质

1. 线性


2. 时移性


3. 复频移

第 4 章连续系统的复频域分析例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t) ，求 f1(t) 和 f2(t) 的象函数。


例 4.2-4 .)(.),()cos()( 0 的象函数求为实数 tfattetf t


4. 尺度变换

,]Re[),()( 0 ssFtf若则

a

sF

aatf

1)(

式中，为常数，a 0a

证

00

0

]Re[,Re

,]Re[)(

asa

s

a

sFssF

即为收敛域应为

的所以的收敛域为由于

第 4 章连续系统的复频域分析例 4.2-5 已知 ),()()(),()( 1 batbatftfsFtf

,0,0 ba 求 f1(t) 的象函数。

解因为


5. 时域卷积


证根据信号卷积的定义，并且 f1(t) 和 f2(t) 是因果信号，则


例 4.2-6 已知图 4.2-1(a) 所示信号 f(t) 与图 (b) 所示信号fτ(t) 的关系为 f(t)=fτ(t)*fτ(t) ，求 f(t) 的单边拉氏变换。

图 4.2-1 例 4.2-6 图(a) f(t) 的波形； (b) fτ(t) 的波形

to

f ( t )

2

(a )

to

f( t )

1

(b )


6. 时域微分

式中， f(1)(t) 、 f(2)(t) 、 f(n)(t) 分别表示 f(t) 的一次、二次、 n 次

导数， f(0-) 、 f(1)(0-) 、 f(i)(0-) 分别表示 f(t) 、 f(1)(t) 、 f(i)(t) 在 t

=0- 时的值。


证先证明式 (4.2-9) 和式 (4.2-10) 。根据单边拉普拉斯变换的定义，则有


反复应用式 (4.2 - 9) ，就可得到 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变

换如式 (4.2 - 11) 所示。 f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域至

少是 Re ［ s ］＞ σ0 。若 F(s) 在 s=0 处有一阶极点，则 sF

(s) 中的这种极点被消去， f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛

域可能扩大。 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情

况。

若 f(t) 为因果信号，则 f(n)(0-)=0 (n=1, 2, …), 此时，时域

微分性质表示为 )()]([ )( sFstfL nn n=1, 2, … ； Re ［ s ］＞ σ0


例 4.2-7

求 f1(t) 和 f2(t) 的单边拉氏变换。

)],([)( 21 te

dt

dtf t )],()( 2

2 tedt

dtf t

解

(1) 求 f1(t) 的单边拉氏变换。由于

)(2)()]([)( 221 tette

dt

dtf tt

故根据线性得

22

21)]([)( 11

s

s

stfLsF

若应用时域微分性质求解，则有

2

2)()]([)(

0

221

stetesLsF

t

tt


(2) 求 f2(t) 的单边拉氏变换。由于

)(2)()( 222 tete

dt

dtf tt

因此得

2

2)]([)( 22

stfLsF

第 4 章连续系统的复频域分析 7. 时域积分

若 f(t)←→ F(s) ， Re ［ s ］＞ σ0, 则有：

s

sFdftf

t )()()(

0

)1(

,2,1)(

)()( ns

sFtf

nn

若 f(-n)(t) 表示从 -∞ 到 t 对 f(t) 的 n 重积分，则有

n

n

m

mmn

n

t

s

sFf

stf

s

sF

s

Fdftf

)()0(

1)(

)()0()()(

1

)(1

)(

)1()1(

(4.2-12)

(4.2-13)


证明式 (4.2-12) ：因为

)()()()()()()(0

tttfdtfdft

根据时域卷积性质，则

s

sFtttfLdfL

t )()]()()([)(

0

因为 dftft

0

)1()2( )()(

2

)1(

0

)1()2( )()]([)()]([

s

sF

s

tfLdfLtfL

t

第 4 章连续系统的复频域分析证明式 (4.2-13): 因为

dff

dfdfdftf

t

tt

0

)1(

0

0)1(

)()0(

)()()()(

s

ftfLfL

)0()]()0([)]0([

)1()1()1(

单边拉普拉斯变换为

s

sF

s

tfLdf

t )()]([)(

0

s

sF

s

fdftf

t )()0()()(

)1()1(

根据线性得


若 f(t) 是因果信号， f(n)(t) 是 f(t) 的 n 次导数，则 f(t) 等于 f

(n)(t) 从 0- 到 t 的 n 重积分。若 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变换用 Fn(s)

表示，根据时域积分性质式 (4.2 - 12) ，则 f(t) 的单边拉氏变换为

nn

s

sFtfLsF

)()]([)(

若 f(t) 为非因果信号，则 L ［ f(t) ］ =L ［ f(t)ε(t) ］。因此，

若 f(t)ε(t) 的 n 次导数的单边拉普拉斯变换用 Fn(s)

表示，则 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s) 也可由式 (4.2 - 17) 得到。

)]()([ ttfdt

dn

n


非因果信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换也可根据式 (4.2-13) 求解。若 f(t) 在 t=-∞ 的值 f(-∞)=0 ， f (1)(t) 是 f(t) 的一阶导数，则

dftft

)()( )1(

t ＞ -∞

若 f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换用 F1(s) 表示，则 f(t) 的单边拉普拉斯变换为

s

sF

s

ftfLsF

)()0()]([)( 1

若 f(-∞)≠0 ，则

)()()( )1( fdftf

t t ＞ -∞


对于 t ＞ 0- ，有

dff

fdfdftf

)()0(

)()()()(

0 )1(

0 )1(0 )1(

则 f(t) 的单边拉普拉斯变换为

s

sF

s

ftfLsF

)()0()]([)( 1

nn

s

sF

s

ftfLsF

)()0()]([)(


例 4.2-8 求图 4.2-2(a) 所示因果信号 f(t) 的单边拉氏变换。

解 f(t) 的二阶导数为

)3(2)2(2)1(2)(2)2( ttttf

由于 δ(t) ←→ 1, 由时移和线性性质得 sss eeetfLsF 32)2(

2 2222)]([)(

2

32

22

2

)1(2)()]([)(

s

eee

s

sFtfLsF

sss

由时域积分性质


图 4.2-2 例 4.2-8 图(a) f(t) 的波形； (b) f′(t) 的波形； (c) f″(t) 的波形

t0

2

2

(a )

1 3 t0

f ( t )

2

2

(b )

1 3 t0

f ( t )

(2)

2

(c )

3

£ 2

1

(£ 2) (£ 2)

(2)

¡å¡äf ( t )


例 4.2-9 求图 4.2-3(a) 所示信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换。

解方法一由于

)1()()()( ttttf

根据单边拉氏变换的定义，得

s

ettfLtfLsF

s )1()]()([)]([)(


图 4.2-3 例 4.2-9 图

f ( t )¡ä

t0

1

(a )

1

£ 1

t0

1

(b )

1

f ( t )( t )

t0

(2)

(c )

1

(£ 1)

f ( t )


方法二 f(0-)=-1 ， f(t) 的一阶导数为

)1()(2)1( tttf f(1)(t) 的单边拉氏变换为

setfLsF 2)]([)( )1(1 Re ［ s ］＞ -∞

s

e

s

e

s

s

sF

s

ftfLsF

ss

121

)()0()]([)( 1

Re ［ s ］＞ 0


8. 复频域微分

若 f(t)←→ F(s), Re ［ s ］＞ σ0 ，则有

n

nn

ds

sFdtft

ds

sdFtft

)()()(

)()()(

Re ［ s ］＞ σ0

n=1, 2, …; Re ［ s ］＞ σ0

证根据单边拉普拉斯变换的定义

0

)()( dtetfsF stRe ［ s ］＞ σ0

第 4 章连续系统的复频域分析例 4.2-10 求 f(t)=tnε(t) 的单边拉氏变换。

解由于 ,1

)(s

t Re ［ s ］＞ 0 ，根据式 (4.2 - 21) ，得

2

11)]()[(

ssds

dttL

Re ［ s ］＞ 0

于是得 2

1)]([

sttL Re ［ s ］＞ 0

由于 t2ε(t)=(-t) ［ (-t)ε(t) ］，

322 21

)]([ssds

dttL

Re ［ s ］＞ σ0

重复应用以上方法可以得到 1

!)]([

nn

s

nttL Re ［ s ］＞ σ0


9. 复频域积分

若 f(t)←→ F(s) ， Re ［ s ］＞ σ0 ，则有

dFt

tfs

)()(

式中，存在，的单边拉普拉斯变换的收敛域

为 Re ［ s ］＞ 0 和 Re ［ s ］＞ σ0 的公共部分。 t

tft

)(lim

0 t

tf )(

第 4 章连续系统的复频域分析证根据单边拉普拉斯变换的定义

0

)()( dtetfsF stRe ［ s ］＞ σ0

对上式两边从 s 到∞积分，并交换积分次序得

00)()()( dtdetfddtetfdF

s

tt

ss

因为 t ＞ 0, 所以上式方括号中的积分在 Re ［ s ］＞ 0

时收敛。因此得

des

t

00

)()()()(

t

tfLdte

t

tfdt

t

etfdF st

st

s


例 4.2-11 ),(sin

)( tt

ttf 求 f(t) 的单边拉氏变换。

解由于 ,1

1)(sin

2

stt 根据复频域积分性质，得

s

dt

ttLsF

s

s

1arctanarctan

1

1)(sin)(

2


10. 初值和终值定理

(1) 初值定理

若信号 f(t) 不包含冲激函数 δ(t) 及其各阶导数，并且

)()( sFtf Re ［ s ］＞ σ0

则信号 f(t) 的初值为

)(lim)(lim)0(0

ssFtffst


(2) 终值定理

若 f(t) 在 t→∞ 时极限 f(∞) 存在，并且

f(t) ←→ F(s) Re ［ s ］＞ σ0; -∞ ＜ σ0 ＜ 0

则 f(t) 的终值为

)(lim)(lim)( ssFtffst


例 4.2-12 )()0(),(cos)( ffttetf t 和求

解由于 cos t·ε(t)←→ ，根据复频移性质，则有 12 s

s

1)1(

1)]([)(

2

s

stfLsF 1]Re[ s

由初值定理得

11)1(

)1(lim)(lim)0(

2

s

ssssFf

ss

由终值定理得

01)1(

)1(lim)(lim)(

200

s

ssssFf

ss

第 4 章连续系统的复频域分析表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质

第 4 章连续系统的复频域分析表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换


4.3 单边拉普拉斯逆变换

4.3.1 查表法

例 4.3-1 已知，求 F(s) 的原函数 f

(t) 。

解 F(s) 可以表示为

44

1)(

2

ss

ssF

22 )2(

1

44

1)(

s

s

ss

ssF


由附录 F 查得编号为 15 的象函数与本例中 F(s) 的形式相

同。编号 15 的变换对为

)(])[()( 110201 tebtabb

as

bsb at

与本例中 F(s) 的表示式对比，则 b1=1, b0=1 ， α=2 ，代入变

换对得

)()1()]([)( 21 tetsFFtf t


4.3.2 部分分式展开法

若 F(s) 为 s 的有理分式，则可表示为

011

1

011

1

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sA

sBsF

nn

n

mm

mm

式中， ai(i=0, 1, 2, …, n-1) 、 bi(i=0, 1, 2, …, m) 均为实数。若

m≥n, 则为假分式。若 m ＜ n ，则为真分式。 )(

)(

sA

sB)(

)(

sA

sB


式中， ci(i=0, 1, 2, …, n-1) 为实数。 N(s) 为有理多项式，其逆

变换为冲激函数及其一阶到 m-n 阶导数之和。为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，

)(

)(

sA

sD

若 F(s) 为假分式，可用多项式除法将 F(s) 分解为有理多项式与有理真分式之和，即

nmn

nmn

scsccsN

sA

sDsN

sA

sDscsccsF

110

110

)(

)(

)()(

)(

)()(


1

2

1

1)21(

)2)(1(

43)21(

23

61072)(

2

23

sss

ss

ss

ss

ssssF

则

)()2('2)()]([)( 21 teettsFLtf tt ）（


若为有理真分式，可直接展开为部分分式

后求逆变换。要把 F(s) 展开为部分分式，必须先求出 A(s)=0

的根。因为 A(s) 为 s 的 n 次多项式，所以 A(s)=0 有 n 个根 si

(i=1, 2, …, n) 。 si 可能为单根，也可能为重根；可能为实根，

也可能为复根。 si 又称为 F(s) 的极点。 F(s) 展开为部分分式

的具体形式取决于 si 的上述性质。

)(

)()(

sA

sBsF


1. F(s) 仅有单极点

若 A(s)=0 仅有 n 个单根 si(i=1, 2, …, n) ，则根据附录 A

中式 (A-2) ，无论 si 是实根还是复根，都可将 F(s) 展开为

n

i i

i

n ss

K

ssssss

sB

sA

sBsF

121 )())((

)(

)(

)()(

式中，各部分分式项的系数 Ki

为

issii sFssK )()(


i

ts

sste i

1)(

故 F(s) 的单边拉普拉斯逆变换可表示为

由于

)()]([)(1

1 teKsFFtfn

i

tsi

i


例 4.3-2 已知，求 F(s) 的单边拉氏逆变换 ( 原函数 )f(t) 。

65

5)(

2

ss

ssF

解 F(s) 的分母多项式 A(s)=0 的两个根分别为 s1=-2, s2=-

3 。因此， F(s) 的部分分式展开式为

32)3)(2(

5)( 21

s

K

s

K

ss

ssF

3)3)(2(

5)2( 21

sss

ssK


2)3)(2(

5)3( 32

sss

ssK

所以

3

2

2

3)(

sssF

于是得

)()23()]([)( 321 teesFLtf tt

第 4 章连续系统的复频域分析 2. F(s) 有重极点

若 A(s)=0 在 s=s1 处有 r 重根，而其余 (n-r) 个根 sj(j=r+1,

… ， n) ，这些根的值是实数或复数，则由附录 A 中式 (A-8)

和 (A-11) 可得

n

rj

j

n

rj j

ir

ii

i

nrr

ss

KsF

ss

K

ss

K

ssssss

sBsF

1 11

11 1

1

11

)(

)()()()(

)()(

式中：

1)]()[(

)!(

1

)()(

11

1 1

11

ssr

r

ir

i

r

ii

i

sFssids

d

irK

ss

KsF

第 4 章连续系统的复频域分析先求 F1(s) 的逆变换，因为

ii

stt

i

1)(

)!1(

1 1

由复频移性质，可得

iits

sstte

i )(

1)(

)!1(

1

1

11

)()()!1( 1

1

11 1 sFteti

Kr

i

tsii

F(s) 的单边拉普拉斯逆变换为

)()()!1(

)]([)(11

111 1 teKteti

KsFLtf ts

n

rjj

r

i

tsii j


例 4.3-3 已知求 F(s) 的单边拉氏逆变换。

,)3()1(

53)(

2

ss

ssF

解 F(s) 有二重极点 s=-1 和单极点 s=-3 。因此， F(s) 可展开为

31)1()( 311

212

s

K

s

K

s

KsF

1)3()1(

53)1( 12

212

sss

ssK

1)3()1(

53)1( 12

211

sss

ss

ds

dK


1)3()1(

53)3( 323

sss

ssK

于是得

3

1

1

1

)1(

1)(

2

ssssF

)()()]([)( 31 teetesFLtf ttt


3. F(s) 有复极点

如果 A(s)=0 的复根为 s1,2=-α±jβ ，则 F(s) 可展开为

js

K

js

K

js

K

js

K

jsjs

sBsF

*11

21

))((

)()(

式中， K2=K*1 。令 K1=|K1|ejφ, 则有

js

eK

js

eKsF

jj

11)(


由复频移和线性性质得 F(s) 的原函数为

)()cos(2

)(][)]([)(

1

)()(1

)(1

)(1

1

tteK

eeeK

teeKeeKsFLtf

t

tjtjt

tjjtjj

对于 F(s) 的一对共轭复极点 s1=-α+jβ 和 s2=-α-jβ ，只需要

计算出系数 K1=|K1|ejφ( 与 s1 对应 ) ，然后把 |K1| 、 φ 、 α 、 β

代入式 (4.3 - 8) ，就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。


如果 F(s) 有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以 A(s)=0 的根为二重共轭复根 s1,2=-α±jβ

为例，其 F(s) 可展开为

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()(

)()(

121211

21211

212

*11

2

*1211

212

212

22112

12

22

js

eK

js

eK

js

eK

js

eK

js

K

js

K

js

K

js

K

js

K

js

K

js

K

js

K

jsjs

sBsF

jjjj


式中：

2

1

2

1

12*1222

11*1121

1212

1111

j

j

j

j

eKKK

eKKK

eKK

eKK

根据复频移和线性性质，求得 F(s) 的原函数为

)()cos(2)()cos(2

)()(

)]([)(

212111

)()(12

)()(11

1

2211

ttteKtteK

teeeetKteeeeK

sFLtf

tt

tjjtjjtjjtjj


例 4.3-4 已知 ,84

82)(

2

ss

ssF 求 F(s) 的单边拉氏逆变换 f(t) 。

解 F(s) 可以表示为

)22)(22(

82

4)2(

82)(

2 jsjs

s

s

ssF

F(s) 有一对共轭单极点 s1,2=-2±j2, 可展开为

)22()22()( 21

js

K

js

KsF


于是得

4222

4221

21)()22(

21)()22(

j

js

j

js

ejsFjsK

ejsFjsK

22

2

22

2)(

44

js

e

js

esF

jj

2,2,4

,21 K 于是得

)(4

2cos22)]([)( 2 ttesFLtf t


例 4.3-5 已知，求 F(s) 的单边拉氏逆变换。 )2(

)4()(

2

ss

essF

s

解 F(s) 不是有理分式，但 F(s) 可以表示为 sesFsF 2

1 )()( 式中， F1（ s）

2

12

)2(

4)(1

ssss

ssF

由线性和常用变换对得到)()2()]([)( 2

11

1 tesFLtf t

由时移性质得

)2(]2[

])([)]([)(

)2(2

21

11

te

esFLsFLtf

t

t


例 4.3-6 已知单边拉氏变换 22 )1(

2)(

s

ssF

求 F(s) 的原函数 f(t) 。

解 F(s) 为有理分式，可用部分分式法求 f(t) 。但 F(s) 又可表示为

1

1)(

2sds

dsF

因为 1

1)(sin

2

stt ，根据复频域微分性质，

则 F(s) 的原函数为

)(sin)](sin)[()]([)( 1 ttttttsFLtf


例 4.3-7 已知 ,1

1)(

2sesF

求 F(s) 的单边拉氏逆变换。

解 F(s) 不是有理分式，不能展开为部分分式。 F(s)

可以表示为

s

s

ss

s

e

e

ee

esF

4

2

22

2

1

1

11

1)(

对于从 t=0- 起始的周期性冲激序列其单

边拉氏变换为

),(0

nTtn

sTn e

nTtL

1

1])([

0

0]Re[ s


由于settL 21)]2()([ ]Re[s

因此，根据时域卷积性质得

s

s

n e

ettnt

4

2

0 1

1)]2()([)4(

于是得

)]42(4[

)2()(4)]([)(

0

0

1

ntnt

ttntsFLtf

n

n

）（

）（


例 4.3-7 中 f(t) 与 F(s) 的对应关系可以推广应用到一般从t=0- 起始的周期信号。设 f(t) 为从 t=0- 起始的周期信号，周期为 T ， f1(t) 为 f(t) 的第一周期内的信号。 f(t) 和 f1(t) 如图 4.3-

1(a) 、 (b) 所示。 f(t) 可以表示为

0

10

1 )()()()(nn

nTttfnTtftf

令 f1(t) ←→ F1(s), f(t) ←→ F(s), 则有

sTe

sFsF

1

)()( 1 Re ［ s ］＞ 0


图 4.3-1 因果周期信号

to

(a )

f1 ( t )

to

(b )

T 2 T

¡

f ( t )


* 4.3.3 反演积分法

单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义

式求逆变换，这种方法称反演积分法。

单边拉普拉斯逆变换的定义为

j

j

stdsesFj

tf

)(

2

1

0

)(0

0

t

t


留数定理的内容为：若复变函数 G(s) 在闭合曲线 L 上及

其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则 G(s)沿闭

合曲线 L 的积分等于 2πj 乘以 G(s) 在这些奇点 (si) 的留数之和，

即

L

Ls

sGsjdssGi内奇点

)]([Re2)(


图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径

o

j

A

B

C D

1 2a


若给积分路径 AB补充一半圆 C ，如图 4.3 - 2 所示，则构成一闭合路径 L(ACBA) 。若令 G(s)=F(s)est ，且 G(s) 的奇点全部是极点，根据留数定理，则有

内极点L

st

s

st

L

C

stj

j

st

esFs

dsesFj

dsesFj

dsesFj

i

])([Re

)(2

1

)(2

1)(

2

1


根据留数定理和约当引理，则 F(s) 的单边拉普拉斯逆变换为

左侧极点

])([Re

0)(

st

isesFs

a

tf t ＞ 0

t<0

根据复变函数理论，若 F(s) 为有理真分式，并且 F(s)est 的极

点 s=si 为一阶极点，则该极点的留数为

issst

ist esFssesFs )()(])([Re

若 F(s)est 的极点 s=si 为 r 重极点，则该极点的留数为

ii

ssstr

ir

rst

sesFss

ds

d

resFs

)()()!1(

1])([Re

1

1

(4.3 - 15)


例 4.3-8 已知 ,)2)(3(

1)(

2

sssF Re ［ s ］＞ -2 。

求 F(s) 的单边拉氏逆变换。

解选 σa ＞ -2 ，则 F(s)est 在 σa左侧的极点分别为一阶极

点 s1=-3 和二重极点 s2=-2 。

tts

stst

s

ts

stst

s

eteesFsds

desFs

eesFsesFs

222

2

33

)()2(])([Re

)()3(])([Re

2

1


于是，根据式 (4.3 - 15) ，得

])([Re])([Re

0)(

21

st

s

st

sesFsesFs

tf

t ＞ 0

t<0

)(])1([

0

23

223

tete

etee

tt

ttt


4.4 连续系统的复频域分析

4.4.1 连续信号的复频域分解

根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换为 F(s) ，则信号 f(t) 可以表示为

dsesFj

tfj

j

st

)(

2

1)( 0t


4.4.2 基本信号 est 激励下的零状态响应

若线性时不变连续系统 (LTI) 的输入为 f(t), 零状态响应为 yf(t) ，冲激响应为 h(t) ，由连续系统的时域分析可知 :

)()()( thtfty f

若系统的输入为基本信号，即 f(t)=est, 则

dehedehthety ssttsstf

)()()()( )(

若 h(t) 为因果函数，则有

)()()(0

sHedehty ststf


式中：

)]([)()()(00

thLdtethdehsH sts

即， H（ s）是冲激响应 h(t) 的单边拉普拉斯变换，称为线

性边续系统的系统函数， est 称为系统的特征函数。


4.4.3 一般信号 f(t) 激励下的零状态响应

对于 σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上的任一 s ，信号 est产生的零状态响应为 H(s)est 。 est 与其响应的对应关系表示为

stst esHe )(

根据线性系统的齐次性，对于 σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上的任一 s ，

为一复数，因此，信号产生的零状

态响应可以表示为

dssFj

)(2

1

stedssF

j)(

2

1

stst esdsHsFj

edssFj

)()(2

1)(

2

1


根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号 f(t) 可以分解为σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上不同 s 的指数信号的和( 积分 ) ，因此，系统对 f(t) 的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。对应关系为

stedssFj

)(2

1

j

j

stj

j

st dsesHsFj

dsesFj

tf

)()(

2

1)(

2

1)(

即 f(t)产生的零状态响应 Yf

(t)

dsesHsFj

tyj

j

stf

)()(

2

1)(


因为 f(t) 、 h(t) 是因果信号，所以 yf(t) 也是因果信号。

另一方面，由于 yf(t)=h(t)*f(t) ，根据时域卷积性质，则 yf

(t) 的单边拉普拉斯变换为 )()()]([)( sFsHtyLsY ff

j

j

stf dsesY

j

tyf

)(

2

1

0

)(0

0

t

t

)(

)()(

sF

sYfsH


式 (4.4-6) 和式 (4.4-7) 表明，系统的零状态响应可按以

下步骤求解：

(1) 求系统输入 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s);

(2) 求系统函数 H(s);

(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换 Yf(s) ， Yf(s)=H(s)F

(s);

(4) 求 Yf(s) 的单边拉普拉斯逆变换 yf(t) ；


例 4.4-1 已知线性连续系统的输入为 f1(t)=e-tε(t) 时，零状

态响应 yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t) 。若输入为 f2(t)=tε(t) ，求系统的零状

态响应 yf2(t) 。

)2)(1(

1

2

1

1

1)]([)(

1

1)]([)(

11

11

sssstYLsY

stfLsF

ff

2

1

)(

)()(

1

1

ssF

sYsH f


f2(t) 的单边拉氏变换为

222

1)]([)(

stfLsF

yf2(t) 的单边拉氏变换为

sssss

sFsHtyLsY ff

1

)2(

12

4

1

)2(

1

)()()]([)(

22

222

于是得

)()12(4

1)]([)( 2

21

2 tetsYLty tff


4.5 系统微分方程的复频域解

设二阶连续系统的微分方程为

)()(')(")()(')(" 01201 tfbtfbtfbtyatyaty

式中， a0 、 a1 和 b0 、 b1 、 b2 为实常数； f(t) 为因果信号，因

此， f(0-) 、 f′(0-) 均为零。设初始时刻 t0=0, y(t) 的单边拉普拉

斯变换为 Y(s) ，对式 (4.5-1) 两端取单边拉普拉斯变换，根据

时域微分性质，得


)()()(

)()]0()([)]0(')0()([

012

2

012

sFbssFbsFsb

sYayssYaysysYs

)()(

)]0(')0()[()()(

012

2

1012

sFbsbsb

yyassYasas

分别令

)0(')0()()(

)(

)(

1

012

2

012

yyassM

bsbsbsB

asassA


)()(

)(

)(

)()( sF

sA

sB

sA

sMsY

对式 (4.5-4) 取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应 y(t) 、零输入响应 yx(t) 和零状态响应 yf(t) ，即

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

)(

)(

)()(

1

1

1

sFsA

sBLty

sA

sMLty

sFsA

sB

sA

sMLty

f

x


由于 Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为

012

012

2

)(

)()(

asas

bsbsb

sA

sBsH

设 n 阶边续系统的微分方程为

m

j

ji

n

i

ii tfbtya

0

)(

0

)( )()(

n 阶系统的微分方程为

011

1

011

1

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sA

sBsH

nn

n

mm

mm


关于响应的初始值需注意以下问题：

)()()( )()()( tytyty if

ix

i 1,,2,1,0 ni

于是得

)0()0()0( )()()( if

ix

i yyy

)0()0()0( )()()( if

ix

i yyy

（ 1）对于 n 阶线性连续系统，由于 yx(t)+yf(t), 因此有


)0()0( )()( iix yy

)0()0()0( )()()( if

iix yyy

（ 2）对于 n 阶线性连续因果系统，若在 t<0 和 t>0 时 yx

(t) 满足的微分方程相同，则

)0()0( )()( ix

ix yy 1,,2,1,0 ni

对于因果系统，若输入 f(t) 为因果信号，则

一般不等于零，因此得

)0(,0)0( )()( if

if yy 而


例 4.5-1 已知线性系统的微分方程为

)()('3)(6)('5)(" tftftytyty

求系统的零输入响应 yx(t) 、零状态响应 yf(t) 和完全响应 y(t) 。

2)0(',1)0(),()( yytetf t


f(t) 的单边拉氏变换为

1

1)]([)(

steLsF t

解

方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得

)()(3

)(6)]0()([5)]0(')0()([ 2

sFssF

sYyssYysysYs


求 Y(s) 、 Yx(s) 、 Yf(s) 的单边拉氏逆变换，得

)()45()(

45)(

810)(

32

32

32

teeety

eety

eeety

tttf

ttx

ttt

0

0

t

t


方法 2 分别根据 yx(t) 和 yf(t) 满足的微分方程求 yx(t) 和

yf(t) 。 yx(t) 满足的微分方程为

)()('3)(6)(5)( '" tftftytyty ffx

由于 f(t) 为因果信号，所以 f(0-)=0 ， yf(0-)=y′f(0-)=0 。

yf(t) 满足的微分方程为

0)(6)(5)( '" tytyty xxx

yx(t) 的初始条件 yx(0-)=y(0-) 、 yx’(0-)=y′(0-) 。


4.6 RLC 系统的复频域分析4.6.1 KCL 、 KVL 的复频域形式

KCL 和 KVL 的时域形式分别为

0)(

0)(

tu

ti

设 RLC 系统 (电路 ) 中支路电流 i(t) 和支路电压 u(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 I(s) 和 U(s) ，对式 (4.6 - 1) 取单边拉普拉斯变换，根据线性性质，得到

0)(

0)(

sU

sI


4.6.2 系统元件的复频域模型

1. 电阻元件 (R)

设线性时不变电阻 R 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联，则 R 上电流和电压关系 (VAR) 的时域形式为

)()( tRitu

电阻 R 的时域模型如图 4.6-1(a) 所示。设 u(t) 和 i(t) 的象函数分别为 U(s) 和 I(s) ，对式 (4.6-3) 取单边拉普拉斯变换，得 )()( sRIsU


图 4.6-1 R 的时域和 S 域模型

(a) 时域模型； (b) S 域模型

(a )

i ( t ) R

u ( t )£« £

(b )

I (s ) R

U (s )£« £


2. 电感元件 (L)

设线性时不变电感 L 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联，则电感元件 VAR 的时域形式为

0)(1

)0()(

)()(

0tdu

Liti

dt

tdiLtu

t

(4.6-5)


图 4.6-2 电感 L 的时域和零状态 S 域模型(a) 时域模型； (b) 零状态 S 域模型

(a )

i ( t ) L

u ( t )£« £

(b )

I (s ) sL

U (s )£« £


电感 L 的时域模型如图 4.6-2(a) 所示。设 i(t) 的初始值 i

(0-)=0(零状态 ) ， u(t) 和 i(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 U(s)

和 I(s) ，对式 (4.6-5) 取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质，得

)()( ssLIsU 若电感 L 的电流 i(t) 的初始值 i(0-) 不等于零，对式 (4.6-

5) 取单边拉普拉斯变换，可得

s

isU

sLsI

LissLIsU

)0()(

1)(

)0()()(


图 4.6-3 电感元件的非零状态 S 域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型

(a )

I (s )

U (s )

£«£

£« £

sLLi (0 £ )

(b )

I (s )

U (s )£« £

sL

i L (0 -)s


3. 电容元件 (C)

设线性时不变电容元件 C 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联，则电容元件 VAR 的时域形式为

dt

tduCti

tdiC

utut

)()(

0)(1

)0()(0

第 4 章连续系统的复频域分析电容元件的时域模型如图 4.6-4(a) 所示。若 u(t) 的初始值 u

(0-)=0(零状态 ) ， u(t) 和 i(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 U(s)

和 I(s) ，对式 (4.6-9) 取单边拉普拉斯变换，得

)(1

)( sIsC

sU

若电容元件 C 上电压 u(t) 的初始值 u(0-) 不等于零，对式(4.6-9) 取单边拉普拉斯变换，得

)0()()(

)0()(

1)(

CussCUsI

s

usI

sCsU


图 4.6-4 电容元件的时域和零状态 S 域模型(a) 时域模型； (b) 零状态 S 域模型

(b )

I (s )

U (s )£« £

(a )

i ( t ) C

u ( t )£« £

sC1


图 4.6-5 电容元件的非零状态 S 域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型

(b )

I (s )

U (s )£« £

C u C (0 £ )

(a )

I (s )

U (s )£« £

sC1

£« £

u (0 £ )s

sC1


4.6.3 RLC 系统的复频域模型及分析方法

例 4.6-1 图 4.6-6(a) 所示 RLC 系统， us1(t)=2V, us2(t)=4V,

R1=R2=1Ω ， L=1H ， C=1Ｆ。 t ＜ 0 时电路已达稳态， t=0

时开关 S 由位置 1 接到位置 2 。求 t≥0 时的完全响应 iL(t) 、零

输入响应 iLx(t) 和零状态响应 iLf(t) 。解 (1) 求完全响应 iL(t) ：

VtuRR

Ru

ARR

tui

sC

sL

1)()0(

1)(

)0(

121

2

21

1


图 4.6-6 例 4.6-1 图

(b )

R2

R1

IL

(s )

L£«

£

sC1

u C (0 £ )s L i L (0 £ )

£«

£

Us2

(s )

I2

(s )

I 1 (s )

(a )

uC

( t )£«

£

R2

R1

i L ( t )

LC

S

t £½ 0

£«

£

us 2

( t )

21

£«

£

us 1

( t )

(c )

R 2R 1

IL x(s )

sL£«

£

sC1

u C (0 £ )s

Li L (0 £ )

I2x

(s )I1x

(s )

£«

£

(d )

R 2R 1

I L f(s )

sLsC1£«

£

I1 f

(s )

U s2 (s )

£«

£


则 S 域的网孔方程为

)0()0(

)(1

)(1

)0()()(

1)(

1

221

2211

LC

CS

Lis

usIsLR

sCsI

sC

s

usUsI

sCsI

sCR

式中，，把 Us2(s) 及各元件的值代入网

孔方程，解网孔方程得

stuLsU ss /4)]([)( 22


]1)1[(

)2(

)22(

42)()(

2

2

2

2

2

ss

s

sss

sssIsIL

求 IL(s) 的单边拉氏逆变换，得

)(4

3cos22)]([)( 1 AtesILti t

LL

0t

第 4 章连续系统的复频域分析 (2) 求零输入响应 iLx(t) ：设零输入响应 iLx(t) 的单边拉氏变换为 ILx(s) ，网孔电流的象函数分别为 I1x(s) 和 I2x(s) ，如图 4.6 -

6(c) 所示。列网孔方程，得

)0()0(1

)(1

)0()(

1)(

1

21

211

LC

x

Cxx

Lis

usLR

sCsI

sC

s

usI

sCsI

sCR

把各元件的值及 uC(0-) 和 iL(0-) 的值代入网孔方程，

1)1(

2)()(

22

s

ssIsI xLx

)(4

3cos2)]([)( 1 AtesILti t

LxLx

0t


(3) 求零状态响应 iLf(t) ：

对图 4.6 - 1(b) 所示电路模型，令 iL(0-)=0 、 uC(0-)=0 ，得到

开关 S 在位置 2 时零状态响应的 S 域电路模型，如图 4.6 -6(d)

所示。设零状态响应 ILf(t) 的单边拉氏变换为 ILf(s) ，可应用网孔

分析法求 ILf(s) ，然后求 ILf(s) 的逆变换得到 iLf(t) 。此外，也可

以根据 S 域电路模型求出系统函数 H(s) ，然后通过 H(s) 求 ILf(s)

和 iLf(t) 。令 ab端的输入运算阻抗为 Z(s) ，则有

sLRsC

sCsLR

RsZ

2

2

1 1

1)(

)(


于是得

)(

)()( 2

1 sZ

sUsI s

f

)(

)(1

1

)(1

1

)( 2

2

1

2sZ

sU

sLRsC

sCsIsLR

sC

sCsI sfLf

把 Z(s) 的表示式代入上式得到 H(s) 为

22

1

)()(

1

)(

)()(

22121

212

ssRRsLCRRLCsRsU

sIsH

s

Lf


因此得

]1)1[(

4)()()(

22

sssUsHsI sLf

求 ILf(s) 的单边拉氏逆变换，得

))((4

3cos222)( Atteti t

Lf


4.7 连续系统的表示和模拟

4.7.1 连续系统的方框图表示

图 4.7-1 系统的方框图表示

f ( t ) y ( t )


一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示，如图 4.

7-1 所示。方框图左边的有向线段表示系统的输入 f(t) ，右边的有向线段表示系统的输出 y(t) ，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元 (子系统 ) 连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器 (放大器 ) 、积分器等。


1. 连续系统的串联

图 4.7-2 连续系统的串联(a) 时域形式； (b) 复频域形式

¡

hn

( t )

Y (s )

¡

Hn

(s )

f ( t ) h1

( t )

F (s ) H1

(s )

h2

( t )

(a )

H2

(s )

(b )

y ( t )


设复合系统的冲激响应为 h(t) ，根据线性连续系统时域分析的结论， h(t) 与 hi(t) 的关系为

)(**)(*)()( 21 thththth n

若 h(t) 和 hi(t) 为因果函数， h(t) 的单边拉普拉斯变换即系

统函数为 H(s) ，根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质，

H(s) 与 Hi(s) 的关系为

)()()()( 21 sHsHsHsH n


2. 连续系统的并联

图 4.7-3 连续系统的并联(a) 时域形式； (b) 复频域形式

h1

( t )

h2

( t )

h n ( t )

¡

£«£«

£«＋

(a )

F (s ) Y (s )

H1

(s )

H2

(s )

H n (s )

¡

£«

£«

£«

(b )

f ( t ) y ( t ) ＋


复合系统的冲激响应 h(t) 与子系统冲激响应 hi(t) 之间的关系为

n

iin ththththth

121 )()()()()(

n

iin sHsHsHsHsH

121 )()()()()(

h(t) 的单边拉普拉斯变换，即系统函数 H(s) 与 hi(t) 的单边

拉普拉斯变换 Hi(s) 之间的关系为


例 4.7-1 某线性连续系统如图 4.7-4 所示。

其中， h1(t)=δ(t), h2(t)=δ(t-1), h3(t)=δ(t-3) 。

(1) 试求系统的冲激响应 h(t);

(2) 若 f(t)=ε(t) ，试求系统的零状态响应 yf(t) 。

解

(1) 求系统冲激响应 h(t): 图示复合系统是由子系统 h1(t) 与

子系统 h2(t)串联后再与子系统 h3(t) 并联组成的。设由子系统

h1(t) 和 h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为 h4(t) ，由式 (4.7-

1) 和式 (4.7-2) 得


sethLthLthLsH

tttththth

)]([)]([)]([)(

)1()1()()()()(

2144

214

复合系统的冲激响应和系统函数分别为

ss eethLthLthLsH

ttththth

334

34

)]([)]([)]([)(

)3()1()()()(


(2) 求 f(t)=ε(t) 时系统的零状态响应 yf(t): 设系统零状态响

应 yf(t) 的单边拉氏变换为 Yf(s) ，则

seesFsHsY ss

f

1)()()()( 3

求 Yf(s) 的单边拉氏逆变换得

)3()1()]([)( 1 ttsYLtY ff


图 4.7-4 例 4.7-1 图

h 1 ( t ) h 2 ( t )

£«

£

h4

( t )

h 3 ( t )

＋f ( t ) y ( t )


3. 用基本运算器表示系统

图 4.7-5 基本运算器的时域和 S 域模型(a) 数乘器； (b) 加法器； (c) 积分器

f ( t ) af ( t )a F (s ) aF (s )a

(a )

f1

( t )£«f2

( t )

f1

( t )

f2 ( t )

£«

£«F

1(s )£«F

2(s )

F1

(s )

F 2 (s )

(b )

y ( t )£½¡Ò f ( )d ¡Ò F (s ) Y (s )£½

(c )

s1 F (s )

st

- ¡Þ

＋

f ( t )

£«

£«＋


4.7-2 某线性连续系统如图 4.7-6 所示。求系统函数 H(s),

写出描述系统输入输出关系的微分方程。

图 4.7-6 例 4.7-2 图

F (s ) Y (s )

a 0

a1

£«

£ £

b 0

b 1

s 2 X (s ) s X (s ) X (s ) £« £«＋＋s

1s1


解

012

012

)()(

)()()()(

asas

sFsX

sFsXassXasXs

Y(s) 为右边加法器的输出，该加法器有两个输入，如图所示。

因此有

于是得

)()()()()( 0101 sXbsbsXbssXbsY (4.7 - 6)

(4.7 - 5)


把式 (4.7 - 5) 代入式 (4.7 - 6) ，得

)()(01

201 sFasas

bsbsY

系统函数为

012

01

)(

)()(

asas

bsb

sF

sYsH

)()()()( 01012 sFbsbsYasas

对上式应用时域微分性质，得到系统微分方程为

)()(')()(')(" 0101 tfbtfbtyatyaty

第 4 章连续系统的复频域分析 4.7.2 连续系统的信号流图表示 H1

(s )X

1(s ) X

2(s ) X

2(s )£½X

1(s )H

1(s )

(a )

H 1 (s )

X 2 (s ) X 4 (s )

X 1 (s )

X 3 (s )

H 2 (s )

H 3 (s )

(b )

X4

(s )£½X1

(s )H1

(s )£«X2

(s )H2

(s )

£«X 3 (s )H 3 (s )

H1

(s )

X2

(s )X (s )

X1

(s )

X 3 (s )

H2

(s )

H 3 (s )

(c )

X 1 (s )£½X (s )H 1 (s )

X2

(s )£½X (s )H2

(s )

X3

(s )£½X (s )H3

(s )

H1

(s )

X 2 (s ) X 4 (s )

X1

(s )

X 3 (s )

H2

(s )

H 3 (s )

H5

(s )

H 6 (s )

X5

(s )

X 6 (s )

(d )

X4

(s )£½X1

H1

(s )£«X2

(s )H2

(s )

£«X 3 (s )H 3 (s )

X 5 (s )£½X 4 (s )H 5 (s )

X6

(s )£½X4

(s )H6

(s )

图 4.7-7 信号流图的规则


关于信号流图，还有如下常用术语：

(1) 节点：信号流图中表示信号的点称节点。

(2) 支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。

(3) 源点与汇点：

(5) 开路：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次，该通路称开路。

(6) 环 (回路 ) ：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，则该通路称为环或回路。

第 4 章连续系统的复频域分析 1. 连续系统的信号流图表示

图 4.7-8 信号流图与方框图的对应关系

F (s ) Y (s )H (s ) F (s ) Y (s )H (s )

(a )

F (s ) Y (s ) F (s ) Y (s )a

(b )

a

F 1 (s )

F 2 (s )

£«

£«Y (s )

(c )

F 2 (s )

Y (s )

F1

(s ) 1

1

F (s ) Y (s ) F (s ) Y (s )

(d )

s1 s

1

＋


例 4.7-3 某线性连续系统的方框图表示如图 4.7-9(a) 所示。画出系统的信号流图。

图 4.7-9 例 4.7-3 图(a) 方框图； (b) 信号流图

Y (s )F (s ) 1 X 1 (s ) H 1 (s ) H 3 (s )

X 2 (s )

H 2 (s )

(b )

£«

(a )

£«

X 1 (s )H 1 (s ) H 3 (s )

H 2 (s )

Y (s )X 2 (s )＋

F (s )


解系统的方框图中， H1(s) 、 H2(s) 、 H3(s) 分别是三个

子系统的系统函数。设加法器的输出为 X1(s), 子系统 H1(s) 的

输出为 X2(s) ，则有

)()()()( 221 sXsHsFsX

)()()( 112 sXsHsX

)()()( 23 sXsHsY


例 4.7-4 某线性连续系统的方框图表示如图 4.7-10(a) 所示。画出系统的信号流图。

图 4.7-10 例 4.7-4 图(a) 方框图； (b) 信号流图

F (s ) Y (s )

a 0

a 1

£«

£ £

b 0

b 2

X 1 (s )

£«

£«

Y (s )F (s )1 X 1 (s ) X 2 (s )

(b )

s1

s1X 2 (s ) X 3 (s )

£«

b 1

(a )

£ a 1

£ a 0

s1

s1

X 3 (s )

b 2

b 1

b 0

＋＋


解设左边加法器的输出为 X1(s) ，左边第一和第二个积分

器的输出分别为 X2(s) 和 X3(s) ，则有

)()()()(

)(1

)(

)(1

)(

)()()()(

302112

23

12

30211

sXbsXbsXbsY

sXs

sX

sXs

sX

sXasXasFsX


2. 梅森公式 (Mason's Rule)

m

iiiP

sH 1)(

式中， Δ 称为信号流图的特征行列式，表示为

rqp

rqpnm

nmi

j LLLLLL,,,

1


例 4.7-5 已知连续系统的信号流图如图 4.7-11 所示。求系统函数 H(s) 。

图 4.7-11 例 4.7-5 图

G1

(s )

Y (s )F (s )H

2(s ) 1 H

3(s )

G 2 (s )

G 3 (s )

G 4 (s )

1H4

(s )H1

(s )


解系统信号流图共有四个环，环传输函数分别为

)()()()(

)()(

)()(

)()(

14324

443

332

221

sGsHsHsHL

sGsHL

sGsHL

sGsHL

)()()()(

)()()()(

442231

332221

sGsHsGsHLL

sGsHsGsHLL


系统信号流图中从 F(s) 到 Y(s) 只有一条开路，开路传输函数P1 和对应的剩余流图特征行列式分别为

1

)()()()(

1

33211

sHsHsHsHP

得到系统信号流图的特征行列式为

)]()()()()()()()([

)]()()()()()()()()()([1

)()(1

44223322

1432443322

31214321

sGsHsGsHsGsHsGsH

sGsHsHsHsGsHsGsHsGsH

LLLLLLLL

)()()()(

)( 432111 sHsHsHsHPsH

得到系统函数为


4.7.3 连续系统的模拟

1. 直接形式

以二阶系统为例，设二阶线性连续系统的系统函数为

012

012

2)(asas

bsbsbsH

给 H(s) 的分子分母乘以 s-2 ，得到

)(1)(

20

11

20

112

sasa

sbsbbsH


图 4.7-12 二阶系统直接形式信号流图(a) 直接形式Ⅰ ; (b) 直接形式Ⅰ的方框图表示；

(c) 直接形式Ⅱ ; (d) 直接形式Ⅱ的方框图表示

F (s ) Y (s )

a0

a 1

£«

£ £

b 0

b2

£«

£«

s1

s1

£«b 1

(b )(a )

Y (s )F (s )1

£ a1

£ a 0

b 2b 1

b0

s £ 1 s £ 1

(c )

1

£ a 1

£ a0

b 2

b 1

b 0s £ 1s £ 1

Y (s )F (s ) F (s ) Y (s )

(d )

b0 s

1s1

b 2

b 1

a 0

a1

£«

£ £

£« £«

＋＋

＋＋


2. 级联 ( 串联 ) 形式

如果线性连续系统由 n 个子系统级联组成，如图 4.7-2 所示，则系统函数 H(s) 为



例 4.7-6 已知线性连续系统的系统函数为

12198

2)(

23

2

sss

sssH

求系统级联形式信号流图。

解用一阶节和二阶节的级联模拟系统。 H(s) 又可以表示为

)()()4)(3(

2

)1()( 21 sHsH

ss

s

s

ssH


式中， H1(s) 和 H2(s) 分别表示一阶和二阶子系统。它们的表

示式为

)127(1

2

127

2

)4)(3(

2)(

)(1

1

1)(

21

21

22

11

ss

ss

ss

s

ss

ssH

ss

ssH


图 4.7-13 例 4.7-6 图(a) 子系统信号流图； (b) 系统的级联形式信号流图

Y 1 (s )F 1 (s )

(a )

1 s £ 1

£ 1

1

Y 2 (s )F 2 (s )1 s £ 1

£ 7

1

£ 12

s £ 1 2

F (s )1 s £ 1

£ 1

1

Y (s )1 s £ 1

£ 7

1

£ 12

s £ 1 2

(b )


3. 并联形式

若系统由 n 个子系统并联组成，如图 4.7-3 所示，则系

统函数 H(s) 为


这种情况下，先把每个子系统用直接形式信号流图模拟，然后把它们并联起来，就得到系统并联形式的信号流图。


例 4.7-7 已知线性连续系统的系统函数 H(s) 为

6116

82)(

23

sss

ssH

求系统级联形式信号流图。

解用一阶节和二阶节的级联模拟系统。 H(s) 又可以表示为

)()(

65

103

1

3

)]3)(2)[(1(

82)(

21

2

sHsH

ss

s

s

sss

ssH


式中：

)65(1

103

652

103)(

)(1

3

1

3)(

21

21

2

1

1

1

ss

ss

ss

ssH

s

s

ssH


图 4.7-14 例 4.7-7 图

Y (s )

s £ 1

£ 5

£ 6

s £ 1

£ 3

£ 10

s £ 1

£ 1

3

1

1

1

1F (s )


4.8 系统函数与系统特性 4.8.1 H(s) 的零点和极点

线性时不变连续系统的系统函数 H(s)通常是复变量 s 的有理分式，可以表示为

011

1

011

1

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sA

sBsH

nn

n

mm

mm

n

ij

m

jj

n

mm

ps

ssbm

pspsps

ssssssb

sA

sBsH

1

1

21

21

)(

)(

)())((

)())((

)(

)()(


4.8.2 H(s) 的零、极点与时域响应 1. 左半平面极点

若 H(s) 在左半平面负实轴上有一阶极点 p=-α(α ＞ 0) ，则H(s) 的分母 A(s) 就有因子 (s+α) ， h(t) 中就有对应的函数 Ae-αtε

(t) ；若 p=-α 为 r 重极点，则 A(s) 中就有因子 (s+α)r ， h(t) 中就有对应的函数 Aitie-αtε(t)(i=1, 2, …, r-1) 。 A 、 Ai 为实常数。

若 H(s) 在左半平面负实轴以外有一阶共轭复极点 p1,2=-α±jβ ，则 A(s) 中就有因子［ (s+α)2+β2 ］， h(t) 中就有对应的函数 Ae-αt

cos(βt+θ)ε(t) ；若 p1,2=-α±jβ 为 r 重极点，则 A(s) 中有因子［ (s+

α)2+β2 ］ r ， h(t) 中就有对应的函数 Aitie-αtcos(βt+θi)ε(t)(i=1, 2,

…, r-1) 。 A ， Ai, θi 为实常数。


2. 虚轴上极点

若 H(s) 在坐标原点有一阶极点 p=0 ，则 A(s) 中有因子 s ，

h(t) 中就有对应函数 Aε(t), A 为常数；若 p=0 为 r 重极点，则 A

(s) 中有因子 sr ， h(t) 中就有对应函数 Aitiε(t)(i=1, 2, …, r-1) ，

Ai 为实常数。若 H(s) 在虚轴上有一阶共轭虚极点 p1,2=±jβ ，

则 A(s) 中有因子 (s2+β2) ， h(t) 中就有对应函数 A cos(βt+θ)ε(t) ，

A 、 θ 为实常数；若 p1,2=±jβ 为 r 重极点，则 A(s) 中有因子 (s2+

β2)r ， h(t) 中就有对应函数 Aiti cos(βt+θi)ε(t)(i=1, 2, …, r-1) ， Ai 、

θi 为实常数。

第 4 章连续系统的复频域分析 3. 右半平面极点

图 4.8-1 H(s) 的极点分布与时域函数的对应关系


4.8.3 H(s) 与系统的频率特性

由线性连续系统的频域分析可知，系统冲激响应 h(t) 的傅里叶变换 H(jω) 表示系统的频率特性，称为系统的频率响应。下面讨论 H(jω) 与系统函数 H(s) 的关系。根据傅里叶变换的定义和单边拉普拉斯变换的定义，若 h(t) 为因果信号，则有

0

)()()( dtethdtethjH tjtj

dtethsH tj

)()(


H(s) 的收敛域包含 jω 轴，意味着 H(s) 的极点全部在左半平面。在这种情况下， H(s) 对应的系统称为稳定系统。根据以上讨论，可以得到以下结论：若因果系统的系统函数 H(s)

的极点全部在左半平面，则

jssHjH )()(

m

ii

m

iim

js

pj

sjbsHjH

1

1

)(

)()()(


设 bm ＞ 0 ，并且令

i

i

jii

jii

eApj

eBsj

则式又可以表示为

)(

1

1 )()(

i

i

i

jn

i

ji

m

i

jim

eHeA

eBbjH


式中：

n

mm

AAA

BBBbH

21

21)(

)()()( 2121 nm


图 4.8-2 H(s) 零、极点的矢量表示及差矢量表示

o

j

p i si

A i B ii

ij


例 4.8-1 已知二阶线性连续系统的系统函数为

20

2 2)(

ss

ssH

式中， α ＞ 0, ω0 ＞ 0, ω0 ＞ α 。粗略画出系统的幅频和相频特性曲线。

解 H(s) 有一个零点 s1=α; 有两个极点，分别为

jjp 2202,1


式中，。于是 H(s) 又可表示为 220

21

)(psps

ssH

由于 H(s) 的极点 p1 和 p2 都在左半平面，因此，系统的频率特性为

))(()()(

21 pjpj

jsHjH js


令

则 H(jω) 又可表示为

,,, 221121 pjeApjeAjBe jjj

)()(

2121

)()( 21

21

jjjj

j

eHeAA

B

eAeA

BejH

幅频特性和相频特性分别为

21

)(AA

BH

21)(


图 4.8-3 例 4.8-1 图(a) H(s) 零、极点的矢量和差矢量表示； (b) 系统的幅频特性和相频特性


4.8.4 H(s) 与系统的稳定性

1. 稳定系统

一个连续系统，如果对任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统。即对有限正实数 Mf 和 My ，若 |f(t)|≤Mf ，并且 |yf(t)|≤My ，则系统是稳定系统。

线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应 h(t) 绝对可积。设 M 为有限正实数，系统稳定的充分必要条件可表示为

Mdtth )(


充分性：设线性连续系统的输入 f(t) 有界，即 |f(t)|≤Mf 。

系统的零状态响应 yf(t) 为

MMty ff )(

dtfhtfthty f )()()(*)()(

因此有

dtfhdtfhty f )()()()()(

即 dhMty ff

)()(

若 h(t) 绝对可积，


必要性：所谓式 (4.8-16) 对系统稳定是必要的，是当 h(t)

不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输入 f(t)产生无界输出 yf(t) 。为此，设 f(t) 有界，则 f(-t) 也有界，并且表示为

1

0

1

)](sgn[)( thtf

h(t) ＞ 0

h(t)=0

h(t) ＜ 0

于是有

)()()( thtfth


因为

dtfhty f )()()(

令 t=0, 根据式 (4.8 - 17) 则有

dhdfhy f )()()()0(

若 h(t) 不绝对可积，即

dh )( , 则 yf(0)=∞ 。


2. 罗斯 - 霍尔维兹准则

设 n 阶线性连续系统的系统函数为

011

1

011

1

)(

)()(

asasbsa

bsbsbsb

sA

sBsH

nn

nn

mm

mm

式中， m≤n ， ai(i=0, 1, 2, …, n) 、 bj(j=0, 1, 2, …, m) 是实常数。H(s) 的分母多项式为

011

1)( asasasasA nn

nn


H(s) 的极点就是 A(s)=0 的根。若 A(s)=0 的根全部在左半平面，则 A(s) 称为霍尔维兹多项式。

A(s) 为霍尔维兹多项式的必要条件是： A(s) 的各项系数 ai

都不等于零，并且 ai全为正实数或全为负实数。若 ai全为负实

数，可把负号归于 H(s) 的分子 B(s) ，因而该条件又可表示为 ai

＞ 0 。显然，若 A(s) 为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯 - 霍尔维兹准则 (R-H 准则 ) 。罗斯 -霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据 (罗斯准则 ) 。

第 4 章连续系统的复频域分析罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯 - 霍尔维兹准则 (R-H准则 ) 。罗斯 -霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据 (罗斯准则 ) 。


若 n 为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有 n+1 行 ( 以后各行均为零 ) ，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：


罗斯判据 ( 罗斯准则 ) 指出：多项式 A(s) 是霍尔维兹多

项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。

若第一列元素的值不是全为正值，则表明 A(s)=0 在右半平面

有根，元素值的符号改变的次数 ( 从正值到负值或从负值到正

值的次数 ) 等于 A(s)=0 在右半平面根的数目。根据罗斯准则和

霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同

(全为正值 ) ，则 H(s) 的极点全部在左半平面，因而系统是稳

定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系

统是不稳定系统。


综上所述，根据 H(s)判断线性连续系统的方法是：首先

根据霍尔维兹多项式的必要条件检查 A(s) 的系数 ai(i=0, 1, 2,

…, n) 。若 ai 中有缺项 ( 至少一项为零 ) ，或者 ai 的符号不完

全相同，则 A(s) 不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。

若 A(s) 的系数 ai 无缺项并且符号相同，则 A(s) 满足霍尔维兹

多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯 -霍尔维兹准则判

断系统是否稳定。


例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为

232

1)(

12323

12)(

532

2)(

233

23452

2341

sss

ssH

sssss

ssH

sss

ssH

判断三个系统是否为稳定系统。


解 H1(s) 的分母多项式的系数 a1=0 ， H2(s) 分母多项式的

系数符号不完全相同，所以 H1(s) 和 H2(s) 对应的系统为不稳定

系统。 H3(s) 的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一

步用 R-H准则判断。 H3(s) 的分母为 232)( 23

3 ssssAA3(s) 的系数组成的罗斯阵列的行数为 n+1=4 ，罗斯阵列为

2

2

2

1

d

c

0

0

2

3

d

c


根据式 (4.8 - 20) 和式 (4.8 - 21) ，得

202

22

2

1

222

31

2

1

2

2

d

c

000

02

2

1

002

01

2

1

0

0

d

c

因为 A3(s) 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据

R-H准则， H3(s) 对应的系统为稳定系统。


例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的 S 域方框图表示。图中， H1(s) 为

图 4.8-4 例 4.8-3 图

)10)(1()(1

sss

KsH

K 取何值时系统为稳定系统。

F (s )£«

£

X (s )H 1 (s ) Y f(s )


解令加法器的输出为 X(s) ，则有

)]()()[()()()(

)()()(

11 sYsFsHsXsHsY

sYsFsX

ff

f

由上式得

Ksss

K

sH

sH

sF

sYsH

sFsH

sHsY

f

f

1011)(1

)(

)(

)()(

)()(1

)()(

231

1

1

1


2

2

11

1

d

c

0

0

10

d

c

K

根据 H(s) 的分母构成罗斯阵列，得


由式 (4.8-20) 和式 (4.8-21) 计算阵列的未知元素，得到阵列为

K

K

1110

11

1

0

0

10

K

根据 R-H准则，若和 -K ＞ 0 ，则系统稳定。根据以上条件，当 K ＜ 0 时系统为稳定系统。

011

10

K

第 4 章连续系统的复频域分析 4.8.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换

0

)()()( dtetfdtetfjF tjtj

dtetfsF st

)()( 0]Re[ s

若 f(t) 为因果信号，则 f(t) 的傅里叶变换 F(jω) 和单边拉普拉斯变换 F(s) 分别为

由于 s=σ+ jω ，因此，若能使 σ=Re ［ s ］等于零，则 F

(s) 就等于 F(jω) 。但是，能否使 σ 等于零，这取决于 F(s) 的收敛域。

F(s) 的收敛域为 Re ［ s ］＞ σ0, σ0 为实数，称为收敛坐标。σ0 可能小于零，可能等于零，也可能大于零。


1. σ0 ＜ 0

如果 σ0 ＜ 0 ，则 F(s) 的收敛域包含 jω 轴 (虚轴 ) ， F(s)

在 jω 轴上收敛。若令 σ=0 ，即令 s=jω ，则 F(s) 存在。这时，f(t) 的傅里叶变换存在，并且令 s=jω ，则 F(s) 等于 F(jω) 。即

jssFjF )()(

例如，，其单边拉普拉斯变换为)1()( )1(2 tetf t

2)(

s

esF

s

2]Re[ s

的傅里叶变换为)(tf

2)()(

j

esFjF

j

js


2. σ0=0

m

i i

iN js

KsFsF

1

)()(

若收敛坐标 σ0=0 ， F(s) 的收敛域为 Re ［ s ］＞ 0 ， F(s)

的收敛域不包含 jω 轴，故 F(s) 在 jω 轴上不收敛。若令 s=jω ，则 F(s) 不等于 F(jω) 。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为 m 个一阶极点 jβi(i=1, 2, …, m) 。将 F(s) 展开为部分分式，

表示为

式中， FN(s) 表示左半平面极点对应的分式。令 FN(s) 的原函数

为 fN(t) ，则 F(s) 的原函数为


)()()()]([)(1

1 tftfeKtfsFLtf MN

m

i

tjiN

i

m

i

tjiM teKtf i

1

)()(

的傅里叶变换为)(tf

)]([)]([)]([)( tfFtfFtfFjF MN

jsNN sFtfF )()]([

由于是的原函数，并且的极点在左半面，故)(tfN )(sFN)(sFN


根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于 ε(t) 的傅里叶变换为，因此得

j

1)(

)()()(1

i

m

iijs KsFjF

m

i iiiM jj

ktfF1

1)()]([

m

iii

m

i i

ijsN

m

i iiijsN

Kjj

KsF

jjKsFjF

11

1

)()(

1)()()(


3. σ0 ＞ 0

若 σ0 ＞ 0 ，则 F(s) 的收敛域也不包含 jω 轴，收敛域的

边界在右半平面内。因此，不能用式 (4.8-24) 得到 F(jω) 。

例如， f(t)=e2tε(t), F(s)= ， F(s) 的收敛域为 Re ［ s ］

＞ 2 ， f(t) 的傅里叶变换不存在。

2

1

s


例 4.8-4 已知 f(t)=e-2tcos t·ε(t) 的单边拉氏变换为

1)2(

2)(

2

s

ssF 0]Re[ s

求傅里叶变换)(tf ).( jF

解 F（ S）的收敛坐标，即。因此00 20

1)2(

2)(

2

j

jjF


另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于

2

1)]([ 2

jteF t

所以有

1)2(

2

2)1(

1

2)1(

1

2

1

]cos)([)(

2

2

j

j

jj

tteFjF t


例 4.8-5 已知 f(t)=(1-e-t)ε(t) 的单边拉氏变换为

)1(

1)(

sssF 0]Re[ s

求傅里叶变换)(tf

解1

11)(

sssF

1

11)(

)(1

11)()()(

jj

jjsFjF js

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