1Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rjeenjima MATEMATIKA II20.3.2004.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) . ln4 2cos ,2 2xyy xy xArc y x f ++=2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama, 22 23 y xe z+ += 92 2= + y xi. 0 = z3. Izraunajte( ) ( ) ( )( )( )} + + + + 2 , 21 , 12. 4 ln ln dy y y y x dx e y y yx4. Izraunaj,2dS x}}E gdje jeEplat stoca. 4 0 , 42 2 2s s = + z z y x5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 0 22 2= + dy y x xydxRjeenja:1.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. 0 , 5 2 1 , 5 2 1 : ,2 2 2 2 2> > + + > + + e = xy y x y x R y x Df2.( ). 1 2 2 23 3+ e e 3..32234152 ln 62e e + + 4.. 5 512 5..2 2cy x y = MATEMATIKA II20.3.2004.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) . ln4 2sin ,2 2yxy xx yArc y x f ++=2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama, 22 23 y xe z+ = 42 2= + y xi. 0 = z3. Izraunajte( ) ( ) ( )( )( )}+ + + +2 , 21 , 12. ln 4 ln dy e x x x dx x x y xy4. Izraunaj,2dS y}}E gdje jeEplat stoca. 2 0 , 92 2 2s s = + z z y x5. Rijeite diferencijalnu jednadbu ( ) ( ) . 0 4 2 = + + dy y x dx y x2Rjeenja:1.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. 0 , 5 1 2 , 5 1 2 : ,2 2 2 2 2> > + + > + + e = xy y x y x R y x Df2.( ). 3 2 22 e e 3..32234152 ln 62e e + + 4.. 10 108 5.( ) ( ) . 22 3x y c x y = MATEMATIKA II17.4.2004.1. Naite one tangencijalne ravnine na plohu,4 22 2y xz + =koje prolaze tokom( ), 0 , 1 , 1 Aa okomite su na ravninu. 0 7 = + + z y x 2. Izraunajte( )}}+ +Ddxdy y x y x , 132 2 2 2 gdje je( ) { }. 3 0 , 2 : ,2 2 2x y y x R y x D s s s + e =3. Izraunajte,}I xdsgdje jeI presjenica ploha 23 x y =i. z y =4. Izraunaj tok vektorskog poljak z j i a3+ + =kroz sferu.2 2 2 2R z y x = + +5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ln 2 ln ' x y x xy = Rjeenja:1.. 0 3 3 4 ... , 0 1 ...2 1= = z y x z y 2..2883 1310813+3..6314..545 R5.. ln ln2x x c y =3MATEMATIKA II22.5.2004.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) . 1 4 4 2 42,223+ + + + = y x y xyxx y x f2. Izraunajtevolumentijelaomeenogplohamax y z y x y x z = = + + + = , 2 ,2 2 2 2 2i , 3x y =koje se nalazi u prvom oktantu. 3. Izraunajte,4}Ids xgdje jeI krunica. 22 2y y x = +4. Izraunajte }}E, zdS gdjejeE diorotacionogparaboloida, 12 2y x z = kojisenalazi iznad ravnine. 0 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) . 0 ln 22= + + dy ye x dx x xyyRjeenja:1.Stacionarnetokesu( ) ( ). 1 , 0 , 0 , 1 B A UtokiAfunkcijaimalokalniminimum, dok u toki B nema ekstrem.2.( ). 7 2 8144 = V3..434.( ). 11 5 25605.. ln2c ye e x x x y xy y= + +4MATEMATIKA II17.6.2004.1. Na krivulji8 3 2 32 2= + + y xy xodredite toke za koje je kvadrat udaljenosti od ishodita najvei.2. Izraunajtepovrinulikaomeenogkrunicomx y x 32 2= + ikardioidom cos 1+ = rkoji se nalzi unutar prve, a izvan druge krivulje.3. Izraunajte,3}I+ydy x arctgxdxgdje jeI dio parabole 2y x =od toke( ) 1 , 1 Ado( ). 0 , 0 B4. Izraunajtetokvektorskogpoljak z j xy i x a 3 22+ = krozzatvorenuplohu , 0 , , 22 2 2 2 2> + = = z y x z y x zorijentiranu u smjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. 3 ' 2 ' '2+ = xe x y yRjeenja:1. ( ) ( ). 2 , 2 , 2 , 2 B A2.. 3..4 812 ln21 4..255.( ) .2322 22 1x e x e c c yx x + + =MATEMATIKA II17.6.2004.1. Na krivulji14 4 6 42 2= + + y xy xodredite toke za koje je kvadrat udaljenosti od ishodita najvei.2. Izraunajte povrinu lika omeenog krunicomx y x 62 2= +i kardioidom( ) cos 1 2 + = rkoji se nalzi unutar prve, a izvan druge krivulje.3. Izraunajte,}I+arctgydy xydxgdje jeI dio parabole 2x y =od toke( ) 1 , 1 Ado( ). 0 , 0 B4. Izraunajtetokvektorskogpoljak z j yz i x a22 2 + = krozzatvorenuplohu , 0 , , 62 2 2 2 2> + = = z y x z y x zorijentiranu u smjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 1 1 3 ' 2 ' ' + + = +xe x y y y5Rjeenja:1. ( ) ( ). 7 , 7 , 7 , 7 B A2.. 43..4 412 ln21 4..3645..31163812 32 1|.|

\|+ + + = x x xe x x e c e c yMATEMATIKA II8.7.2004.1. Naitetangencijalneravninenaplohu0 82 422 2= + + xy zy xkojesuparalenes ravninom. 0 11 2 2 = + z y x2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama62 2 2= + + z y xi.2 2y x z + =3. Izraunajte( ) ,2 2}I +dy x dx y x gdjejeIdiosinusoidex y sin = odtoke( ) 0 , 0 A do ( ). 0 , B4. Izraunajte( )}}E+ , 12dS zgdje jeEdio sfere42 2 2= + + z y xu prvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ' ' ' ' '2 3y y y yy + =Rjeenja:1. . 0 8 2 2 ... , 0 8 2 2 ...2 1= + = z y x z y x 2.( ). 11 6 6323..2933 +4..3145.( ) .2 11c x ce c y y++ =6MATEMATIKA II8.7.2004.1. Odrediteiskicirajteprirodnudomenu,teispitajteekstremefunkcije ( ) . 1 1 , x y y x y x f + + + =2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama22 2 2= + + z y xi.2 2y x z + =3. Izraunajte( ) ( ) , 12 2}I+ + +dy x dx y x gdjejeIdiokrivuljex y cos = odtoke( ) 1 , 0 A do ( ). 1 , B4. Izraunajte( )}}E+ , 22dS zgdje jeEdio sfere12 2 2= + + z y xu prvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu.'ln ' ' ' 'xyy y xy + =Rjeenja:1. ( ) { }. 1 , 1 : ,2 > > e = y x R y x Df Stacionarnatokafunkijeje,32,32|.|

\| A nou toj toki fukcija nema ekstrem.2..63.. 22 323 + +4..675..2 1211 1c e xe c y cx c x c+ =MATEMATIKA II2.9.2004.1. Naite tangencijalne ravnine na plohuxy z 2 =koje prolaze tokom( ) 4 , 0 , 1 A , a okomite su na ravninu. y x =2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama8 , 22= + = z y x yi. 0 = z3. Izraunajte, cos}Iyds xgdje jeI rub kvadrata. 1 = +y x4. Izraunajte( )}}E , 12dS z zgdje jeEdio plohe. 1 0 ,2 2 2s s + = z y x z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 0 3 62 2= + dy x dx xy y7Rjeenja:1. . 0 8 4 4 ... , 0 2 2 2 ...2 1= + = + + + z y x z y x 2..151024= V3.. 04.. 05.( ) . 32x c x y = +MATEMATIKA II2.9.2004.1. Naite tangencijalne ravnine na plohuxy z 3 =koje prolaze tokom( ) 9 , 0 , 0 A , a okomite su na ravninu. 0 5 6 = + + z y x2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama5 , 52= + = z x x xi. 0 = z3. Izraunajte, sin}Iyds xgdje jeI rub kvadrata. 2 = +y x4. Izraunajte }}E+,3122dSzz gdje jeEdio plohe. 1 0 ,2 2 2s s + = z y x z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. 1 '22 2xyyxy xy + =Rjeenja:1. . 0 9 3 9 ... , 0 9 9 3 ...2 1= + = + z y x z y x 2..340= V3. . 04.( ). 1 3 ln 2 2 5..221cx exy= 8MATEMATIKA II16.9.2004.1. a) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) ( ). ln 1 ,2y x y x y x f + =b) Naite tangencijalnu ravninu na plohu( ) y x y x z + = ln 12 u toki |.|

\|,.21,21T .2. Izraunajte }}Dxdxdy y , sin2gdjejeDpodrujeuravnini,ogranienokrivuljama, 1 cos 2 = x y 0 = y i0 = xu prvom kvadrantu.3. Izraunajte krivuljni integral( )( )( )}+ + , 2 , 10 , 0 , 0. cos cos sin cos zxdz x xdy dx x y zx z4. Izraunajte tok vektorskog poljaj y x i a2 2cos + =kroz zatvorenuplohu (orijentiranu u smjeru vanjskih normala) koju ini dio plohe 2 2y x z + =u prvom oktantu, zajedno s ravninama, 0 = x 0 = yi. 1 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu, 1 sin ' cos ' ' = + x y x yuz uvjete( ) 0 0 = yi( ) 1 0 ' = y .Rjeenja: 1. a)( ) { }. 1 , 0 : ,2 2x y y x R y x Df s > + e = b). 0 1 2 ... = + z y x 2..2413.. 1 cos 24.. 1 sin 1 cos 2 2 5.. cos sin 1 x x y + =9MATEMATIKA II16.9.2004.1. a) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) ( ). ln 2 ,2y x y x y x f + + =b) Naite tangencijalnu ravninu na plohu( ) y x y x z + + = ln 22 u toki |.|

\|,.21,21T .2. Izraunajte }}Dxdxdy y , cos2gdjejeDpodrujeuravnini,ogranienokrivuljama, sin 1 x y + = 0 = y i0 = xu prvom kvadrantu.3. Izraunajte krivuljni integral( )( )( )}+ + , 1 , 10 , 0 , 0. cos sin cos cos yzdz y dy y x yz z ydx4. Izraunaj tok vektorskog poljak i y x a 3 sin2 2 + =kroz zatvorenu plohu (orijentiranu u smjeruvanjskihnormala)kojuinidioplohe 2 2y x z + = uprvomoktantu,zajednos ravninama, 0 = x 0 = yi. 1 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu, 1 cos ' sin ' ' = x y x yuz uvjete02=|.|

\|yi12' =|.|

\|y .Rjeenja: 1. a)( ) { }. 2 , 0 : ,2 2 > > + e = y x y x R y x Df b). 0 3 2 3 3 ... = + z y x 2..1213.. 1 cos4.. 1 1 cos 1 sin 2 5.. cos sin 1 x x y =10MATEMATIKA II6.11.2004.1. Odredite maksimum funkcije( ) , 12 5 7 , y x y x f + =uz uvjet. 42 2= + y x2. Izraunajte volumen tijela koje nastaje presjekom ploha42 2= + y xi. 42 2= + z x3. Izraunajte( ) ,3 2}I+ +dy y x xydxgdje jeI dio krunice 2 2 2R y x = +od toke( ) 0 , R Ado toke( ). , 0 R B4. Izraunajteploniintegral ( )}}E+ +,12z xdSgdjeje E dioravnine1 = + + z y x uprvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. 1 6 ' 5 ' '2 2+ = + xe x y y yRjeenja:1.. 332..364= V3..4 34 3R R+4..212 ln 3|.|

\|5..6131312 2 3 3221+|.|

\|+ + + =x x xe x x x e c e c yMATEMATIKA II11.12.2004.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) . ln4 2cos ,2 2xyy xy xArc y x f ++=2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama, 22 23 y xe z+ += 92 2= + y xi. 0 = z3. Izraunajte( ) ( ) ( )( )( )} + + + + 2 , 21 , 12. 4 ln ln dy y y y x dx e y y yx4. Izraunaj,2dS x}}E gdje jeEplat stoca. 4 0 , 42 2 2s s = + z z y x5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 0 22 2= + dy y x xydx11Rjeenja:1.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. 0 , 5 2 1 , 5 2 1 : ,2 2 2 2 2> > + + > + + e = xy y x y x R y x Df2.( ). 1 2 2 23 3+ e e 3..32234152 ln 62e e + + 4.. 5 512 5..2 2cy x y = MATEMATIKA II11.12.2004.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) . ln4 2sin ,2 2yxy xx yArc y x f ++=2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama, 22 23 y xe z+ = 42 2= + y xi. 0 = z3. Izraunajte( ) ( ) ( )( )( )}+ + + +2 , 21 , 12. ln 4 ln dy e x x x dx x x y xy4. Izraunaj,2dS y}}E gdje jeEplat stoca. 2 0 , 92 2 2s s = + z z y x5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) . 0 4 2 = + + dy y x dx y xRjeenja:1.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. 0 , 5 1 2 , 5 1 2 : ,2 2 2 2 2> > + + > + + e = xy y x y x R y x Df2.( ). 3 2 22 e e 3..32234152 ln 62e e + + 4.. 10 108 5.( ) ( ) . 22 3x y c x y = 12MATEMATIKA II15.1.2005.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) . 3 2 ,2 2 3y y x y x y x f + + =2. Izraunajte }}Dxydxdy,gdje jeD podruje u 2Romeeno krivuljomx y ln =i pravcima 1 = + y xi. 2 = x3. PomouGreenoveformuleizraunajte( ) , cos sin2}I+ + ydy e dx x y y ex xgdjejeIdio krirvuljex y x 42 2= + , koji se nalazi iznad osix , od toke( ) 0 , 4 Ado toke( ). 0 , 0 B4. Izraunajtetokvektorskogpolja( ) k z j x z a + = 42krozplohu ( ) { }, 4 0 , : , ,2 2 3s s + = e = E z y x z R z y xorijentiranutakodavektornormalezatvara otar kut s vektorom. k5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) .11' 2 ' ' 122+= + +xxy y xRjeenja:1.Stacionarnetokefunkcijesu( ) .31,31, 1 , 1 ,21, 0|.|

\| |.|

\| C B A OdtogautokiA funkcija ima lokalni minimum, dok u B i C nema ekstrema.2..1212 ln 2 ln2+ 3..384..3165. ( ).2221carctgxarctgx c y + + =13MATEMATIKA II3.2.2005.1. Odredite tangencijalne ravnine na plohuxy y x z + + =2 2 koje prolaze tokom( ), 6 , 0 , 1 Aa okomite su na ravninu. y x =2. Izraunajte povrinu oba lika omeena krivuljomy y x = +2 2 i pravcem. 3x y =3. Izraunajte }I, xydsgdje jeI presjenica ploha 21 y x =iz x =u prvom oktantu.4. Izraunajtetokvektorskogpoljaj i x a + =4krozzatvorenuplohu ( ) { } ( ) { }, 1 : 0 , , 1 0 , 1 : , ,2 2 3 2 2 3s + es s + = e = E y x R y x z y x z R z y x orijentiranu u smjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ' ' ' '2 2y y y yy + =Rjeenja:1.. 0 12 6 6 ... , 0 3 3 3 ...2 1= + = + + + z y x z y x 2..1636,163122 1+ = = P P3..120194.. 05.( ) .2 11c x ce c y y++ =MATEMATIKA II3.2.2005.1. Odredite tangencijalne ravnine na plohuxy y x z + =2 2 koje prolaze tokom( ), 6 , 1 , 0 Aa okomite su na ravninu. 15 = + y x2. Izraunajte povrinu oba lika omeena krivuljomx y x = +2 2 i pravcem. 3x y =3. Izraunajte }I, xydsgdje jeI presjenica ploha 21 x y =iz y =u prvom oktantu.4. Izraunajtetokvektorskogpoljak j y a + =4krozzatvorenuplohu ( ) { } ( ) { }, 1 : 0 , , 1 0 , 1 : , ,2 2 3 2 2 3s + es s + = e = E y x R y x z y x z R z y x orijentiranu u smjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ' ' ' '2 2y y y yy + =14Rjeenja:1.. 0 12 6 6 ... , 0 3 3 3 ...2 1= + + = z y x z y x 2..163245,163242 1+ = = P P3..120194.. 05.( ) .2 11c x ce c y y++ =MATEMATIKA II17.2.2005.1. Odrediteiskicirajteprirodnudomenufunkcije( )2 2 2 27 4 2 36 23 9 ,y xy x y xy xy x f + + + = te izraunajte.yfcc2. Izraunajtevolumenmanjegtijelaomeenogplohama( ) 4 22 2 2= + + z y x i . 22 2y x z + =3. a) Provjerite da je poljekzxyjyxzxizyya2 211 ||.|

\|+ +||.|

\|+ =potencijalno.b) Izraunajte ( )( ).111 , 1 , 21 , 1 , 02 2dzzxydyyxzxdxzyy}||.|

\|+ +||.|

\|+ 4. PomouStokesova teoremaizraunajte }Ir d a , akoje, 2 k z j x i xz a + =aI pozitivno orijentirana krivulja nastala presjekom ravnine2 2 = + + z y xs koordinatnim ravninama.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu, 1 ' =|.|

\|xyarctgxyyuz uvjet( ) . 0 1 = yRjeenja:1.( ) { }. 36 9 4 : ,2 2 2> + e = y x R y x Df( )( ) ( ).3 9 23 ln 14 4 3 9 ln 2 2 9,2 2 2 22 2 2 27 4 2 36 27 4 2 36 2y xy x y xy xy xy x y xy xy x y xy xyf + + + + + + + +=cc2.( ). 2 4 832 = V3. . 24. .325. ( ) . 0 ln212 2= + y xxyarctgxy15MATEMATIKA II19.3.2005.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) . 18,2+ + + = yyxxy x f2. Izraunajte }}Dxdxdy, sin gdjejeDpodrujeuravniniomeenokrivuljom 2x y = i pravcem. x y =3. Izraunajte( ) ( ) ,2 2 2}I + +dy y x dx y x gdjejeIdiokrivulje2 2 = x y odtoke0 = xdo toke. 4 = x4. Izraunajte( )}}E+ , dS y xgdje jeEdio sfere42 2 2= + + z y xu prvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ln 2 ln ' x y x xy = Rjeenja:1. Stacionarne toke funkcije su( ) ( ). 2 , 2 , 2 , 2 B AOd toga u toki A funkcija ima lokalni minimum, a u toki B lokalni maksimum.2.2 2cos1 sin1. 3..3804.. 45.. ln ln2x x c y =16MATEMATIKA II16.4.2005.1. Ako je ( ),42 2y x y xxz = pokaite da je. 2 22z zyzyxxzx + =cc +cc2. Prelaskom na sferne koordinate izraunajte integral } } } 20204032. dz d d3. Izraunajtekrivuljniintegral }I ds x 4 6 pozatvorenojkrivulji,2 1II = I gdjeje 1Ipresjenicaploha 21 y x = iz y = uprvomoktantu,a 2I spojnicatoaka( ) 0 , 0 , 1 A i ( ). 1 , 1 , 0 B4. Izraunajte }}E, xydS gdjejeE dioplohe, 22 2y x z = omeenravninama0 = y i , 3x y =u prvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. 2 cos 4 ' '2 2 xe x x y y + = +Rjeenja:2..151283..362 3310 +4..1601495..32181812 sin412 sin 2 cos2 22 1xe x x x x x c x c y|.|

\|+ + + + =17MATEMATIKA II21.5.2005.1. Odreditetangencijalneravninenaplohu, 1 22 2 2= + + + z z y xy x kojesuparalelnes ravninom. 0 7 2 5 4 = + + z y x2. Izraunajtepovrinulikaomeenogkardioidom( ) sin 1 2 + = r ikrunicom ( ) , 9 32 2= + y xkoji se nalazi unutar obje krivulje.3. Izraunajte krivuljni integral( )}I+ ds y x , gdje jeI presjenica ploha 32xy =ixy z92=od toke( ) 0 , 0 , 0 Ado toke( ). 2 , 3 , 3 B4. Izraunajtepovrinudijelaplohecilindra 12 2= + z x uprvomoktantu,kojisenalazi izmeu ravninax y =i. 2x y =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) . 0 ln sin cos = + + + + dy y y x x dx y y xexRjeenja:1.. 0 10 2 5 4 ... , 0 6 2 5 4 ...2 1= + + = + z y x z y x 2.. 53..203874.. 1 = P5.. ln cos yc y y y x xy e xex x + + MATEMATIKA II16.6.2005.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) . 7 2 ,3 2 4+ + = y y y x x y x f2. Izraunajte volumen tijela omeenog plohama 2 2y x z + =i. 4y z =3. Izraunajte( ) ( )}I+ + +dy y x dx y x2 2 2, gdje jeI dio krivulje1 1 + = x yod toke2 = xdo toke. 0 = x4. Izraunajte( )}}E+ , 12dS zgdje jeEdio sfere12 2 2= + + z y xu prvom oktantu.5. Metodom varijacije konstanti rijeite diferencijalnu jednadbu.cos1' 'xy y = +18Rjeenja:1.Stacionarnetokefunkcijesu( ) ( ). 1 , 1 , 1 , 1 ,33, 0 ,33, 0 ||.|

\|||.|

\|D C B A Odtoga funkcija ima lokalni minimum u tokama C i D, dok u A i B nema ekstrema.2.. 83..3104..325.( ) ( ) . cos cos ln sin2 1x c x x c x y + + + =MATEMATIKA II7.7.2005.1. a) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) . 1 ,2y x xy y x f + + =b)Napiitejednadbutangencijalneravninenaplohu, 12y x xy z + + = utoki ( ). ,. 4 , 0 T2. Izraunajte ( )}}+Dy xdxdy x,32 22gdjejeDpodrujeuravniniomeenokrivuljama 0 , 2 ,2 2 2 2= = + = + x y y x y y xi. x y =3. Pomou Greenovog teorema izraunajte( ) ( ) ( )}I+ + + +dy x e dx ye xx x1 ln2 2, gdje jeI dio krivulje 2x y =od toke( ) 1 , 1 Ado toke( ). 1 , 1 B4. Izraunajte }}E,2dS x gdjejeE dioplohe 2 2y x z + = kojisenalaziunutarsfere . 62 2 2= + + z y x5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . ' 1 ' 'xe y x xy = + Rjeenja:1.a)( ) { }. , 1 : ,2 2x y xy R y x Df s > e =b). 0 8 4 8 ... = + + z y x 2..4183|.|

\| 3..132ee + 4..60149 5..2 1 1c e e c xe c yx x x+ =19MATEMATIKA II7.7.2005.1. Na krivulji9 5 8 52 2= + + y xy xodredite toke najblie ishoditu.2. Izraunajte }}}Vzdxdydz, gdjejeV podrujeu 3R omeenoplohama1 ,2 2= + = z y x z i . 4 = z3. Pomou Greenovog teorema izraunajte( ) ( ) ( ) , 1 ln2 2dy xe y dx y ey y+ + + +}I, gdje jeI dio krivulje 2y x =od toke( ) 1 , 1 Ado toke( ). 1 , 1 B4. Izraunajte }}E, S d agdje jek z i y a + = , aE dio ravnine2 2 2 = + + z y xu prvom oktantu, orijentiran normalom koja zatvara otar kut s vektorom. k5. Rijeite diferencijalnu jednadbu'. ' ' '2yy y yy = +Rjeenja:1..22,22,22,22||.|

\| ||.|

\|B A 2.. 21 3..132ee + 4..32 5.( ) . ln2 12c x c y + = +20MATEMATIKA II8.9.2005.1. Ako je( ) , ,yxxyyxy y x z|.|

\|+ = pokaite da vrijedi. z xyyzyxzx + =cc+cc2. Izraunajtepovrinulikaomeenogkrunicama( ) , 3 322= +y x ( ) 1 12 2= + y x i pravcem. 0 = y3. Izraunajte( )}I+ + ,3ds z y x gdjejeIpresjenicaploha 2 2y x z + = i 2 22 y x z = u prvom oktantu.4. Izraunajte tok vektorskog poljak z y j y i x a2 33 6 + =kroz zatvorenu plohu koju ini dio sfere42 2 2= + + z y x zakojije1 > z zajednosravninom, 1 = z orijentiranuusmjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 0 4 22 2= + dx xy y dy xRjeenja:2..333..352 +4.. 105.( ). 2x y cx y + =21MATEMATIKA II8.9.2005.1. Ako je( ) , ,yxxyxxy y x z|.|

\|+ = pokaite da vrijedi. z xyyzyxzx + =cc+cc2. Izraunajtepovrinulikaomeenogkrunicama( ) , 1 12 2= + y x ( ) 3 322= + y x i pravcem. 0 = x3. Izraunajte( )}I+ + ,3ds z y x gdjejeIpresjenicaploha42 2= + y x i 2 26 y x z = u prvom oktantu.4. Izraunajtetok vektorskog poljak xz j y i x a 2 32 + =kroz zatvorenu plohukojuini dio sfere42 2 2= + + z y x zakojije1 > z zajednosravninom, 1 = z orijentiranuusmjeru vanjskih normala.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) . 0 3 62 2= + dy x dx y xyRjeenja:2..333..3442 + 4.. 55.. 3 ) (2x x c y = 22MATEMATIKA II22.9.2005.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) .252,2 2x yxxyx y x f + + + =2. Izraunajte( )}}}+Vdxdydz y x ,2gdjejeV podrujeu 3R kojesenalaziizvansfere 42 2 2= + + z y x ,aunutarsfere, 42 2 2z z y x = + + teunutarcilindrakojisedobije translacijom presjeka te dvije sfere po osi. z3. a)Provjerite da je vektorsko polje( ) ( ) j y y x i y y y a ln ln + + =potencijano.b) Izraunajte( ) ( )( )( )}+ + 2 , 21 , 1. ln ln ydy y x dx y y y4. Izraunajte tok vektorskog poljak z a =kroz dio sfere42 2 2= + + z y xu prvom oktantu, orijentirane normalom koja zatvara otar kut s vektorom. k5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. 2 sin cos ' x x y y = +Rjeenja:1.Stacionarnetoke funkcijesu( ) ( ). 1 , 1 , 1 , 1 B AOdtogau tokiA funkcijaima lokalni minimum, a u toki B lokalni maksimum.2.. 93..4152 ln 6 4..3165.. 2 sin 2sin xce x y+ =23MATEMATIKA II22.9.2005.1. a) Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) ( ). ln2 2cos ,2 2y xy xy xArc y x f ++=b) Izraunajte( ). 0 , 1xfcc2. Izraunajte }}}Vxdxdydz, gdjejeV podrujeu 3R omeenoplohama 2 2y x z + = i . 3y z =3. a)Provjerite da je vektorsko polje( ) ( )j xe i e arctgx ay y + + = 1potencijano.b) Izraunajte( ) ( )( )( )} + +1 , 10 , 0. 1 dy xe dx e arctgxy y4. Izraunajte }}E, xydSgdje jeEdio plohe 2x y =za koji je, 1 s ya koji se nalazi izmeu ravnina 0 = zi. 1 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu. ' ' ' '3 2y y yy = +Rjeenja:1. a)( ) ( ) ( ) { }. , 2 1 1 : ,2 2 2x y y x R y x Df < s + + e =b)( ) .331 0 , 1 =ccxf2.. 03..11 2 ln214 e+ + 4.. 05..221c x y c y + = +24MATEMATIKA II19.11.2005.1.a) Ispitajte ekstreme funkcije( )2, 6 . f xy y x y x y = +(6 bodova)b)Napiitejednadbutangencijalneravninenaplohu 26 z y x y x y = + utoki ( ) 1, 2,. . T(2 boda)2. Izraunajte 22 224 ,Dyx ydxdyx }}akojeDpodrujeuravniniomeenokrunicama 2 2 2 21, 4 x y x y + = + =i pravcima3, 0, y xy = =u prvom kvadrantu.3. Izraunajte 2, zdx arctgxdy dzI+ +}akojeIdiopresjeniceploha 21 y x = iy z = od toke( ) 0,1,1 Ado toke( ) 1, 0, 0. B4. Izraunajte tok vektorskog polja 3 3 3a zi y j xk = + + kroz sferu 2 2 2 2. x y z R + + =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu 3'' 9 cos3 .xy y x xe + = +RJEENJA: 1. a) Toka( ) 4, 4 Tje toka u kojoj funkcija ima lokalni maksimum. b)...3 3 0. y z + =2. 33 .33. 8.15 24. 54.5R 5. 31 21 1 1cos3 sin 3 sin3 .6 18 54xy c x c x x x x e| |= + + + |\ .25MATEMATIKA II17.12.2005.1. Pokaite da funkcija ( )2 21yz yx y = + zadovoljava jedndabu.y z z zx x y yc c + =c c2. Prelaskom na sferne koordinate izraunajte integral 224 22 30 04cos . d d dz } } }3.Izraunajte( ) ( )22 2, x y dx x y dyI }gdjejeIdiokrivulje1 1 y x = odtoke0 x = do toke2. x =Skicirajte krivuljuI.4.Izraunajte,1 4xydSzE+}}gdjejeE dioplohe 2 2z x y = + kojisenalaziispodravnine 2 . z y =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu 3 2' '' ' ' . yy y y yy = +Rjeenja: 2..15643..3164.. 05.( ) . ln ln2 1c x c y + = +26MATEMATIKA 217.12.2005.1. Pokaite da funkcija ( )2 21yz yx y = + zadovoljava jedndabu.y z z zx x y yc c + =c c2. Prelaskom na sferne koordinate izraunajte integral 221 122 30 01sin . d d dz } } }3.Izraunajte ( ) ( )22 2, x y dx x y dyI }gdjejeIdiokrivulje1 2 y x = + odtoke0 x = do toke3. x =Skicirajte krivuljuI.4.Izraunajte,1 2xydSzE+}}gdjejeE dioplohe 2 22z x y = + kojisenalaziispodravnine . z x =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu 3 2' '' ' ' . yy y y y + =Rjeenja: 2..153..354.. 05.( ) . ln2 1 1c x c y c y + = +27MATEMATIKA II14.1.2006.1. Odreditetangencijalneravninenaplohux xy z = kojeprolazetokom( ), 6 , 3 , 2 B a okomite su na ravninu . 3 2 2 2 = z y x2. Izraunajte }}} +Vdxdydzx,112gdjejeV podrujeu 3R omeenoplohama y z x y = = , 12 i. 2y z =3. PomouGreenovogteoremaizraunajte( ) ( )}I+ + + + +, ln2 2 2 2dy y x x x y dx y x akoje Ipozitivnoorijentiranrubpodrujauravniniomeenogkrunicama ,2 2x y x = + x y x 22 2= +i pravcima. , x y x y = =4. Izraunajte tok vektorskog poljak z j y i x a + =kroz dio ravnine2 2 = + + z y xu prvom oktantu orijentiranog normalom koja zatvara otar kut s vektorom. i5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) ( ) . 0 cos sin cos 2 sin2= + dy x y y x dx y x x yRjeenja:1.. 0 16 4 5 ... , 0 1 2 ...2 1= + + + = + + + z y x z y x 2..38 3.. 04..325.. sin cos cos cos2c y y y y x x y = + 28MATEMATIKA II2.2.2006.1. Ispitajte ekstreme funkcije( ) . 1 4 4 2 42,223+ + + + = y x y xyxx y x f2. Izraunajte }}Dxdxdy y , cos2gdjejeDpodrujeuravnini,ogranienokrivuljama, sin 1 x y + = 0 = y i0 = xu prvom kvadrantu.3. Izraunajte,}I xdsgdje jeI presjenica ploha 23 x y =i, z y =u prvom oktantu.4. Izraunaj tok vektorskog poljak z j i a3+ + =kroz sferu.2 2 2 2R z y x = + +5. Rijeite diferencijalnu jednadbu.'ln ' ' ' 'xyy y xy + =Rjeenja: 1.Stacionarnetokesu( ) ( ). 1 , 0 , 0 , 1 B A UtokiAfunkcijaimalokalniminimum, dok u toki B nema ekstrem.2..1213..6314..545 R5..2 1211 1c e xe c y cx c x c+ =29MATEMATIKA 29.2.2006.1. Na krivulji7 2 3 22 2= + + y xy xodredite toke koje su najudaljenije od ishodita.2.Izraunajpovrinulikaomeenogkrunicama( ) ( ) 3 3 , 1 122 2 2= + = + y x y x ,kojise nalazi unutar obje krivulje.3. a) Provjerite da je polje( ) ( ) ( ) j e y x i x y ay + + + + = cos 1 lnpotencijalno. b) Izraunajte( ) ( ) ( )( )( ). cos 1 ln1 , 10 , 0} + + + + dy e y x dx x yy4.PomouStokesovogteoremaizraunajte }Ir d a akoje , 2 k z j yz i y a + = aIkrivulja nastala presjekom ravnine2 2 = + + z y xs koordinatnim ravninama.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu, sin ' x x y xy = +uz uvjet( ) . 0 = yRjeenja: 1. Traene toke su( ) ( ). 7 , 7 , 7 , 72 1 T T2.. 365 = P3.. 1 sin 2 2 ln 2 e + +4..325..sincosx xxx y + =30MATEMATIKA II16.2.2006.1.Odreditetangencijalneravninenaplohu72 2 2= + + + z y xy x kojesuparalelnes ravninom. 3 4 5 = + y x2. Izraunajte }}DdxdyxyakojeDpodrujeuprvomkvadrantuomeenokardioidom , cos 1 + = rkrunicomx y x 32 2= +i osi, xkoje se nalazi izvan prve, a unutar drugekrivulje.3. Izraunajte( ) ( )}I dy y x dx y x2 2 3,akojeIdiokrivulje1 1 = x y odtoke0 = xdo toke. 3 = xSkicirajte krivulju.4. Izraunajte( )}}E+ , dS y xako jeEdio sfere92 2 2= + + z y xu prvom oktantu.5. Rijeite diferencijalnu jednadbu.1' ' '22xxy xy+= Rjeenja: 1.. 0 14 4 5 ... , 0 14 4 5 ...2 1= + + = + y x y x 2.. 2 ln2113.. 404..295..212122212c x c x arctgx arctgxxy + + + =31MATEMATIKA 223.2.2006.1. Pokaite da funkcija ||.|

\|+ +=222ln 1yxyyz zadovoljava jedndabu( ) .2 2xzyzxyxzy x =cc+cc2.Izraunajte 2Vxdxdydz}}},gdjejeV podrujeu 3R omeenoplohama 2 2z x y = + i . 62 2 2= + + z y x3.PomouGreenovogteoremaizraunajte( ) ( ) ( )}I+ + + +dy x e dx ye xx x1 ln2 2,gdjejeIdio krivulje 2x y =od toke( ) 1 , 1 Ado toke( ). 1 , 1 B4.Izraunajte }}E, xyzdS gdjejeE dioplohe 2 21 x y + = uprvomoktantukojisenalazi izmeu ravnina0 z =i2. z =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu'' cos .xy y x xe + = +Rjeenja: 2.( ). 164 6 72153..132ee +4.. 15..2121sin21sin cos2 1xe x x x x c x c y|.|

\| + + + =32MATEMATIKA 223.2.2006.1. Pokaite da funkcija ||.|

\|+ =222ln 1xyxxz zadovoljava jedndabu( ) .2 2yzxzxyyzx y =cc+cc2.Izraunajte 2Vydxdydz}}},gdjejeV podrujeu 3R omeenoplohama 2 2z x y = + i 2 2 22. x y z + + =3. PomouGreenovog teoremaizraunajte( ) ( ) ( ) , 1 ln2 2dy xe y dx y ey y+ + + +}I, gdje jeI dio krivulje 2y x =od toke( ) 1 , 1 Ado toke( ). 1 , 1 B4.Izraunajte }}E, xyzdS gdjejeE dioplohe 2 24 x y + = uprvomoktantukojisenalazi izmeu ravnina0 z =i1. z =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) '' sin 1 .xy y x x e = + +Rjeenja: 2.( ). 7 2 8153..132ee + 4.. 25..4141sin2122 1x x xe x x x e c e c y|.|

\|+ + + =33MATEMATIKA 218.3.2006.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) ( ). ln2sin ,2 2y xyy xArc y x f ++=2. Prelaskom na sferne koordinate izraunajte integral } } }210 0103 2. cos dz d d3. Izraunajte }Ids x3 gdje jeI dio presjenice ploha 21 x y =iz y =u prvom oktanu.4. Izraunajte tok vektorskog poljak z j x i y a + =kroz dio ravnine2 2 = + + z y xu prvom oktantu orijentiranog normalom koja zatvara otar kut s vektorom. i5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) . 0 ln ln = + + + dy tgy x y x dx e y yxRjeenja: 1.( ) ( ) ( ) { }. , 1 1 , 1 1 : ,2 2 2 2 2x y y x y x R y x Df < s + + s + e =2..153..2401494..355.. cos ln ln c y e y xyx= + +MATEMATIKA 218.3.2006.1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije( ) ( ). ln2sin ,2 2x yxy xArc y x f ++=2. Prelaskom na sferne koordinate izraunajte integral } } }24020203 2. sin dz d d3. Izraunajte }Ids x3 gdje jeI dio presjenice ploha 21 x y =iz y =u prvom oktanu.4. Izraunajte tok vektorskog poljak z j x i y a + =kroz dio ravnine2 2 = + + z y xu prvom oktantu orijentiranog normalom koja zatvara otar kut s vektorom. i5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) ( ) . 0 ln ln = + + + dy e x x dx ctgx y x yy34Rjeenja: 1.( ) ( ) ( ) { }. , 1 1 , 1 1 : ,2 2 2 2 2x y y x y x R y x Df > s + + s + e =2..15163..2401494. 1.35.. sin ln ln c e x x xyy= +MATEMATIKA 28.4.2006.1. Odredite minimum funkcije( ) , 7 3 4 , f xy x y = +uz uvjet. 42 2= + y x2.Izraunajtepovrinu lika omeenogkrunicom 2 26 x y y + =i kardioidom( ) 21 sin r = +koji se nalazi unutar prve, a izvan druge krivulje.3.Provjeritedajevektorskopolje( ) cos sin cos cos a z zx y x i x j x zxk = + + potencijalnote izraunajte krivuljni integral( )( )( )}+ + , 2 , 10 , 0 , 0. cos cos sin cos zxdz x xdy dx x y zx z4. Izraunajte tok vektorskog polja 32 a xi j zk = + kroz sferu 2 2 2 2. x y z R + + =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu 3'' 4 1 3cos 2. y y x x + = +Rjeenja:1.. 3 )58,56( = f2.. 4 = P3.. 1 cos 24..54345 3 R R+5.. 2 sin431 6 2 cos 2 sin32 1x x x x x c x c y + + + =35MATEMATIKA 28.4.2006.1. Odredite maksimum funkcije( ) , 5 4 3 , f xy x y = + uz uvjet 2 29. x y + =2. Izraunajte povrinu lika omeenog krunicom 2 23 x y x + =i kardioidom1 cos r = +koji se nalazi unutar obje krivulje.3.Provjeritedajevektorskopolje( ) cos cos sin cos a yi z yz x y j y yzk = + + potencijalnote izraunajte krivuljni integral( )( )( ) 1,1,0,0,0cos cos sin cos . ydx z yz x y dy y yzdz+ +}4. Izraunajte tok vektorskog polja 33 a i y j zk = + kroz sferu 2 2 2 2. x y z R + + =5. Rijeite diferencijalnu jednadbu( ) '' 2 ' 1 2sin .xy y y x e x + = + +Rjeenja:1.. 20 )59,512( = f2..45= P3.. 1 cos4..54345 3 R R5.. cos )6121(3 22 1x e x x xe c e c yx x x+ + + + =36MATEMATIKA 220.5.2006.1. Ispitajte ekstreme funkcije. 3 168) , (2 = yyxxy x f2.Izraunajte }}}Vdxdydz y ,2akojeV podrujeomeenosferama12 2 2= + + z y x i . 42 2 2= + + z y x3.Izraunajte }I+ + + , ) ( dz dy e dx z yxakojeIdiopresjeniceplohaz y x y = = , 12odtoke ) 0 , 0 , 1 ( Ado toke). 0 , 0 , 1 ( B4.Izraunajte }}E + +,2 2z y xdSakojeE diorotacionogparaboloida 2 24 y x z = kojise nalazi iznad ravnine. 0 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu,1'2x xy xy+= +uz uvjet.21ln ) 1 ( = yRjeenja:1. Funkcijaf ima u toki)41, 1 ( Alokalni minimum, a u toki)41, 1 ( B lokalni maksimum2..151243..438e4.). 1 17 17 (125..1ln1|.|

\|+=xxxy37MATEMATIKA 220.5.2006.1. Ispitajte ekstreme funkcije. 1681 ) , (2xxyyy x f + + =2.Izraunajte }}}Vdxdydz x ,2akojeV podrujeomeenosferama12 2 2= + + z y x i . 92 2 2= + + z y x3.Izraunajte( )}I+ + + , 2 dz z y x dy dx eyakojeIdiopresjeniceplohaz x y x = = , 12od toke) 1 , 0 , 1 ( Ado toke). 0 , 1 , 0 ( B4.Izraunajte }}E + +,2 2z y xdSakojeE diorotacionogparaboloida 2 21 y x z = kojise nalazi iznad ravnine. 0 = z5. Rijeite diferencijalnu jednadbu, 1 sin cos ' = + x y x yuz uvjet. 1 ) 0 ( = yRjeenja:1. Funkcijaf ima u toki) 1 ,41( Alokalni minimum, a u toki) 1 ,41( B lokalni maksimum2..159683..3204.). 1 5 5 (65.. sin cos x x y + =