Skripta Iz LAG-A I Mate Ma Tike

8/3/2019 Skripta Iz LAG-A I Mate Ma Tike

1/230

Svaki skup sastoji se od razliitih objekata koje emo nazivati njegovim elementima. Skupovi se

oznaavaju najee velikim slovima , , , ... a elementi malim slovima , , , ...

Neki element moe pripadati datom skupu , to se oznaava sa , ili ne pripadati

istom skupu, to se oznaava sa .

Kaemo da je podskup skupa i piemo ili , ako svaki element skupa

pripada istovremeno i skupu ; znai, elementi skupa imaju neko karakteristino

svojstvo, oznaimo ga sa , po kome se razlikuju od svih ostalih elemenata skupa , to se

moe napisati u obliku:

ima svojstvo .

U sluaju da nijedan element ne poseduje dato svojstvo , tada je - tzv.

prazan skup.

Primer: ,

, - jer ne postoji nijedan realan broj iji bi kvadrat

bio .

Napomena: Jedan objekat moe istovremeno biti element nekog skupa i predstavljati skup nekihelemenata.

Def: Dva skupa i su jednaka ako svaki element skupa pripada i skupu i ako svakielement skupa istovremeno pripada i skupu .

Primer: , , .

, , .

Ako skupovi i nisu jednaki, tj. ako su razliiti piemo da je . Ako je i,

osim toga, niti je , niti , tada kaemo su skupovi i meusobnoneuporedivi.

Def:Partitivni skup datog skupa je skup . Oigledno je

ako i samo ako je .

Page 1 of 230Skupovi

08/11/2005file://C:\Documents and Settings\Emir2\Desktop\skripta\final.html


2/230

Primer:

Operacije sa skupovimaDef:Unijom dva skupa i nazivamo skup koji se sastoji od elemenata koji pripadaju

skupu , zatim od elemenata skupa , kao i od elemenata koji pripadaju i jednom i

drugom skupu (ukoliko takvi elementi postoje). Unija skupova i se oznaava sa

; dakle .

Primer: , ;

U optem sluaju, kada imamo konano mnogo skupova , njihova unija je:

.

Unija beskonano mnogo skupova , , se pie u obliku:

Operacija uniranja skupova ima sledea svojstva:

1. ;

2. - svojstvo komutativnosti;

3. - svojstvo asocijativnosti;

Def:Presekom skupova i naziva se skup koji obrazuju samo oni elementi koji

pripadaju istovremeno i skupu i skupu ; dakle, moe se napisati da je:

.

Def: Ako je presek dva skupa i prazan: , tada su ta dva skupa disjunktna.Za familiju skupova kaemo da je disjunktna ako je bilo koji par date familije disjunktan.

Primer: Neka je data familija skupova , gde je

.

Oigledno je da bilo koja dva razliita skupa ove familije imaju prazan presek.

Slino kao i unija skupova, i presek skupova ima svojstva:




3/230

1. ;

2. - svojstvo komutativnosti;

3. - svojstvo asocijativnosti;

Ako je dato konano mnogo skupova njihov presek se oznaava na sledei

nain:

.

Teorema: Vai distributivni zakon za operaciju preseka skupova u odnosu na operaciju uniranja,tj.

.

Napomena: Ako su i proizvoljni realni brojevi i ako je, recimo, , tada emo:

- otvorenim intervalom nazvati skup ,

- a zatvorenim intervalom skup

Def: Razlika skupova i , obeleava se , predstavlja skup svih onih elemenata

skupa koji ne pripadaju skupu , tj.

Za razliku skupova ne vai svojstvo komutativnosti, tj. ako je tada je

.

Primer: Na skupu realnih brojeva dati su intervali i . Prema definiciji

razlike skupova imamo da je , a .

U sluaju kada skupovi i nemaju zajednikih taaka, tj. kada je , tada je:

, odnosno .

Iz prethodne definicije neposredno sledi da je za svaki skup :

i .

Def: Simetrina razlika skupova i je unija skupova i , tj.

.

Ako su skupovi i disjunktni, tj. ako je , tada vai:




4/230

, jer je u tom sluaju i .

Oigledno je da za simetrinu razliku skupova i vai svojstvo komutativnosti jer:

.

Primer: Skupovi i su predstavljeni intervalima na skupu realnih brojeva: i

. Tada imamo da je:

.

Kako je to je .

Def: Neka je . Komplement skupa u odnosu na skup (ili dopuna skupa do

skupa ) je skup:

.

Za svaki skup imamo da je:

i jer je i .

Def: Par elemenata nazivamo ureenim parom (ili ureenom dvojkom) ako je tano

odreeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

Ureeni parovi i su jednaki ako i samo ako je i ; znai da ureeni

parovi i mogu biti jednaki samo za .

Primer: Taka u realnoj ravni predstavlja ureeni par jer se tano zna da je apscisa, a

ordinata take .

Dekartov proizvodDef:Dekartovim proizvodom skupova i naziva se skup sastavljen od svih

ureenih parova u kojima element koji je na prvom mestu pripada skupu , a element koji

je na drugom mestu pripada skupu :

Primer: Dati su skupovi i . Odrediti Dekartove proizvode i

.




5/230

Oigledno je , to znai da za Dekartov proizvod skupova ne vai svojstvokomutativnosti.

Dekartov proizvod se oznaava sa ; Dekartov proizvod predstavlja

realnu ravan, tj.

.

Ako su data tri skupa , , , tada njihov Dekartov proizvod predstavlja skup

ureenih trojki kod kojih prvi element pripada skupu , drugi element skupu , a trei element

skupu , tj.

.

Dekartov proizvod se oznaava sa i predstavlja skup svih taaka u realnom

trodimenzionom prostoru:

.

U optem sluaju, kada je dato skupova , tada njihov Dekartov proizvod:

predstavlja skup svih -torki u kojima prvi element pripada skupu , drugi element skupu ,

... , -ti element skupu . Dekartov proizvod predstavlja skup svih

taaka u -dimenzionom prostoru.

Def: Svaka reenica koja je istinita ili lana naziva se iskazom ili izjavom.

Ako je neki iskaz, obeleimo ga sa , istinit, tada se kae da je njegova logika vrednostili , a ako je iskaz laan, tada je njegova logika vrednost ili

. Dakle, svakom iskazu se pridruuje odgovarajua logika vrednost:




6/230

Ako je dat neki iskaz , tada se negacija iskaza oznaava sa . Na primer, ako je dat

iskaz , tada negacija tog iskaza oznaava da je .

Ukoliko je iskaz istinit, iskaz je laan (i obrnuto). Prema tome, negaciji iskaza

odgovara sledea tablica istinitosti:

Def: Ako je ureeni par iskaza tada se reenica " i " , oznaava se , naziva

konjunkcijom iskaza i . Konjunkcija je istinita ako i samo ako su istinita obaiskaza:

Def: Ako je ureeni par iskaza tada reenica " ili " , oznaava se ,

predstavlja disjunkciju iskaza i . Disjunkcija je lana samo ako su lana obaiskaza:

Def: Neka je ureen par iskaza. Logikom uslovljenou ili implikacijom nazivamo

sledeu pogodbenu reenicu:




7/230

"Ako je , tada je i ", to se oznaava .

Tablica istinitosti za implikaciju ima sledei oblik:

U reenici , je pretpostavka (hipoteza), a je posledica ili teza implikacije. Reenica

se moe itati i kao: uslovljava , implicira , iz sledi , je dovoljanuslov za , je neophodan uslov za , itd.

Def: Ako vae implikacije i , tada se kae da su iskazi i logiki

ekvivalentni. Znak za logiku ekvivalenciju iskaza i , , ita se kao: vai

ako i samo ako vai , je ekvivalentno sa , itd.

Tablica istinitosti za ekvivalenciju :

Neodreeni iskazi kao, na primer, svaki, bilo koji, bar jedan, neki, svi, itd., nazivaju se kvantorima

ili kvantifikatorima. Najei su: - "svaki", - "bar jedan" ili "postoji", - "postoji tanoedan".




8/230

Aksioma indukcije: Ako neki skup (tj. podskup skupa prirodnih brojeva) ima svojstva:

1.

2. ako

tada je

Posledica ove aksiome je takozvani

Princip matematike indukcije: Ako je neko tvrenje u kome figurie prirodni broj

dokazano za prirodni broj i ako se, uz pretpostavku da vai za proizvoljan prirodni

broj , dokae da ono vai i za , tada tvrenje vai za sve prirodne

brojeve .

Osobine skupa prirodnih brojeva

1) Ureenost skupa prirodnih brojeva pomou binarnih relacija poretka " " i strogog poretka " "koja ima sledea svojstva:

za proizvoljna dva prirodna broja vai samo jedan od odnosa:

- svojstvo trihotomije

ako su , i proizvoljni prirodni brojevi, tada u sluaju da je i

- svojstvo tranzitivnosti.

2) Za svaki broj .

3) Na skupu prirodnih brojeva se neogranieno i jednoznano mogu primenjivati sabiranje,

mnoenje i stepenovanje prirodnim brojem rezultat e uvek biti prirodan broj; pri tome sabiranje imnoenje imaju sledea svojstva:

- komutativnost

- asocijativnost

- distributivnost.

4) Neutralni element za mnoenje je : .

5) Skup prirodnih brojeva je ogranien s donje strane, a nije ogranien s gornje strane, tj.

postoji najmanji prirodni broj , a ne postoji najvei.

6) Jednaina , nema reenja u skupu prirodnih brojeva ako je ,




9/230

er tada .

Da bi se reila jednaina , , skup prirodnih brojeva se mora proiriti tj.

operacija oduzimanja , , dovodi do proirenja skupa na skup .

Osobine skupa celih brojeva1) Ureenost skupa (pomou relacija poretka i strogog poretka kao i kod skupa prirodnihbrojeva).

2) Na skupu celih brojeva se neogranieno i jednoznano mogu primenjivati sabiranje,

oduzimanje, mnoenje i stepenovanje prirodnim brojem .

3) Sabiranje i mnoenje imaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

4)

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za mnoenje je , tj.

.

6) Za svaki ceo broj postoji suprotan broj takav da, ako je

.

7) Skup celih brojeva je neogranien kako s donje (leve), tako i s gornje (desne) strane, tj. u skupune postoji ni najmanji ni najvei ceo broj.

8) Jednaina , nema reenja u skupu celih brojeva.

Reavanje jednaine , odnosno operacija deljenja, proiruje skup celih brojeva na skup

racionalnih brojeva :

ili

Osobine skupa racionalnih brojeva1) Ureenost skupa (na isti nain kao i kod prirodnih i celih brojeva).

2) Na skupu racionalnih brojeva se neogranieno i jednoznano mogu primenjivati sabiranje,

oduzimanje, mnoenje, stepenovanje celim brojem i deljenje

- rezultat e uvek biti racionalan broj.




10/230

3) Skup racionalnih brojeva je svugde gust skup, to znai da izmeu svaka dva racionalana

broja postoji beskonano mnogo racionalnih brojeva. Ako i , tada je

i .

Na slian nain moemo obrazovati i aritmetiku sredinu racionalnih brojeva i ,

odnosno i ; tada bi smo dobili da je

, jer je

, itd.

Produujui ovakav proces dobijamo beskonano mnogo racionalnih brojeva koji lee unutar

intervala , to znai da je skup racionalnih brojeva svugde gust.

4) Skup racionalnih brojeva je neogranien s obe strane, tj. ne postoji ni najmanji ni najveiracionalan broj.

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za mnoenje je , tj.

.

6) Za svaki racionalan broj , postoji inverzni element za mnoenje

.

Def:Dedekindovim presekom na skupu racionalnih brojeva nazivamo par skupova

i (tzv. donja i gornja klasa) koji imaju sledea svojstva:

Svaki element donje klase je manji od bilo kojeg elementa gornje klase .

Na skupu racionalnih brojeva, Dedekindov presek pripada jednom od sledea tri tipa:

1. Postoji najvei element u klasi , a klasa ne sadri najmanji element

;

2. Klasa ne sadri najvei element, ali klasa sadri najmanji element

;




11/230

3. Ne postoji najvei element u klasi niti postoji najmanji element u klasi

.

Prva dva tipa definiu racionalan broj, dok trei definie iracionalan broj.

7) Geometrijska interpretacija racionalnih brojeva na brojnoj pravoj.

8) Operacije sa racionalnim brojevima koje su inverzne stepenovanju

korenovanje:

logaritmovanje:

daju u optem sluaju iracionalne brojeve.

Skup realnih brojevaSvi racionalni i svi iracionalni brojevi obrazuju skup realnih brojeva ( ). Skup realnih

brojeva ima sledee osobine:

1) Skup realnih brojeva je svugde gust i ureen skup (pomou binarnih relacija poretka i strogogporetka).

2) Dedekindov presek na skupu realnih brojeva daje uvek realan broj i ima samo dva tipa:

1. Postoji najvei element u klasi , a klasa ne sadri najmanji element

;

2. Klasa ne sadri najvei element, ali klasa sadri najmanji element

;

3) Skup realnih brojeva je neprebrojiv skup.

Def: Kaemo da je skup , ogranien s gornje strane ako postoji realan broj

takav da je .

Najmanje od gornjih ogranienja skupa nazivamo supremum skupa :

.

Ako je , tada kaemo da je najvei (maksimalni) element u skupu

.

Def: Za skup kae se da je ogranien odozdo ako postoji takav realan broj da

je .




12/230

Najvee od donjih ogranienja skupa naziva se infimum skupa :

.

Ako je , tada se kae da je najmanji (minimalni) element u skupu

.

Operacije sa apsolutnim vrednostima realnih brojeva.Def: Ako je proizvoljan realan broj, tada je apsolutna vrednost od :

Svojstva apsolutnih vrednosti:

1.

2. ako je ili

3. , ili

4.

5.

6.

7.

8. .

Nejednakosti. Na skupu realnih brojeva za nejednakosti vae sledea svojstva:

1.

2.

3.

Kao posledice navedenih osobina mogu se dokazati sledea svojstva:

4.




13/230

5.

6.

7.

8.

9.

Bernulijeva nejednakost vai za svaki realan broj i svaki prirodan broj :

Skup kompleksnih brojevaDef: Skup svih ureenih parova realnih brojeva u kojem su jednakost, sabiranje i mnoenje

definisani na sledei nain:

naziva se skupom kompleksnih brojeva , a svaki takav ureen par naziva se

kompleksan broj . Reenje jednaine zove se imaginarna

jedinica . Kompleksan broj seesto pie i u algebarskom obliku:

. Skup kompleksnih brojeva predstavlja podskup Dekartovog proizvoda

sa gore navedenim osobinama.




14/230

Def: Svakom kompleksnom broju odgovara konjugovano kompleksni broj :

, odnosno

Operacije sa kompleksnim brojevima. Neka su data dva kompleksna broja i

; tada se mogu uvesti sledee operacije:

1. Sabiranje:

2. Oduzimanje:

tj. s obzirom da je oduzimanje operacija inverzna sabiranju, ako je , onda je

, to znai da se razlika dva kompleksna broja geometrijski moe interpretirati

pomou njihovog zbira.

3. Mnoenje:

4. Deljenje se uvodi kao operacija inverzna mnoenju:




15/230

, tj. ,

odakle dobijamo sistem od dve jednaine sa dve nepoznate:

Reavanjem ove dve jednaine dobija se

, tj.

5. Stepenovanje kompleksnog broja prirodnim brojem se izvodi pomou operacijamnoenja:

Napomena. Imamo da je ; uopte:

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kompleksan broj predstavlja taku u

ravni jer je . Ako se uvede sistem polarnih koordinata u ravni

, , rastojanje take od koordinatnog poetka

predstavlja modul kompleksnog broja : . Ugao koji du obrazuje

sa apscisnom osom zove se argument kompleksnog broja broja :; za ugao koji je vei od koristi se oznaka

. Oigledno je , , te se kompleksan

broj moe napisati u trigonometrijskom obliku:

gde je , , tj. .




16/230

U trigonometrijskom obliku se znatno pojednostavljuje mnoenje, deljenje i stepenovanje

kompleksnih brojeva. Neka su data dva kompleksna broja i

.

Mnoenje: , to znai da je

modul proizvoda dva kompleksna broja jednak proizvodu modula

, a argument proizvoda jednak zbiru argumenata

.

Deljenje:

,

Stepenovanje:

,

U sluaju kada je dobija se Moavrova formula:

.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omoguuje da se na skupu kompleksnihbrojeva uvede operacija korenovanja. Neka je dat kompleksan broj

. Kaemo da je -ti koren broja , ako

je . Znai, ako je , tada

. Dva kompleksna broja e biti

jednaka ako imaju jednake module i jednake argumente:




17/230

i , tj. i , to

znai da je , odnosno , i

. Dakle,

S obzirom da su i periodine funkcije sa periodom to znai da

ima razliitih vrednosti.

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Stepenovanje broja kompleksnim brojem

definie se jednakou . Ako je imaginarni deo

kompleksnog broja jednak nuli, tj. ako je realan broj, tada za stepen vae poznata

svojstva stepena sa realnim eksponentom:

Ako je realni deo kompleksnog broja jednak nuli a imaginarni deo oznaimo sa , dobijamotzv. Ojlerovu formulu:

,

na osnovu koje kompleksan broj moe da se napie u

eksponencijalnom obliku:

ili, imajui u vidu da je

odnosno

,

er je .

Primer:




18/230

Pojam binarne relacije. Relacija ekvivalencije i poretka.Def: Neka su i proizvoljni skupovi. Svaki podskup Dekartovog proizvoda

predstavlja binarnu relaciju (oznaiemo je sa ).

Binarna relacija se najee zadaje ukazivanjem nekog zajednikog svojstva, karakteristinog zasve one elemente Dekartovog proizvoda koji joj pripadaju.

Primer: Dati su skupovi i ; definiimo na skupu

binarnu relaciju na sledei nain: ureen par (ili, to je isto, ) ako

je deljivo sa , tj. . Dakle, imamo da je

Def: Za binarnu relaciju kaemo da je refleksivna ako ureen par

.

Def: Binarna relacija je simetrina ako ,

.

Def: Binarna relacija je tranzitivna ako ,

.

Def: Binarna relacija se naziva relacijom ekvivalencije ako je refleksivna,simetrina i tranzitivna.

Def: Binarna relacija je antisimetrina ako ,

.

Def: Binarna relacija koja poseduje svojstva refleksivnosti, tranzitivnosti i antisimetrinosti nazivase relacijom poretka.

Teorema: Svakom razlaganju skupa na klase odgovara neka relacija ekvivalencije na

Dekartovom proizvodu , i obrnuto, svakoj relaciji ekvivalencije zadatoj na skupu

odgovara neko razlaganje skupa na klase.




19/230

Pojam binarne operacije. Algebarske strukture.Def:Binarna algebarska operacija na nekom skupu predstavlja zakon po kome se svakom

ureenom paru korespondira po jedan i samo jedan element iz .

Def: Neprazan skup na kome je zadata jedna ili vie unutranjih operacija i, eventualno, jednaili vie spoljanjih operacija, naziva se algebarskom strukturom.

Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom.Grupoid,polugrupa, grupa, Abelova grupa.

Def: Skup na kome je zadata binarna algebarska operacija naziva se grupoid.

Osobine operacija. Ako je u nekom grupoidu , to emo oznaavati sa ;

je kompozicija elemenata i .

Primer: Neka je dat dvolani skup i operacija , .

Znai, imamo da je , , , , tj.

je grupoid.

Def: Za operaciju kaemo da je komutativna ako za proizvoljne elemente i vai:

.

Def: Operacija je asocijativna ako za proizvoljne elemente , i vai:

.

Def: Grupoid sa asocijativnom operacijom zove se asocijativni grupoid ili polugrupa.

Def: Element je neutralni element za datu operaciju ako za svaki element vai:.

Primer: Za operaciju uniranja skupova, neutralni element je prazan skup:

Teorema: Operacija na grupoidu moe imati samo jedan neutralni element.

Dokaz: (pps)

Def: Neka je asocijativni grupoid sa neutralnim elementom i neka su . Kaemo

da je inverzni element elementa ako je: .

Teorema: Proizvoljni element moe imati samo jedan inverzni element.




20/230

Def: Asocijativni grupoid koji sadri neutralni element zove se grupa ako za svaki element

, postoji inverzan element : .

Operacija u grupi se najee naziva mnoenjem (pa se umesto pie ) i grupa se utom sluaju naziva multiplikativnom.

Primer: Proverimo da li skup prirodnih brojeva sa operacijom mnoenja prirodnih brojeva

obrazuje grupu. je grupoid jer, za proizvoljne elemente , i njihov

proizvod . Mnoenje prirodnih brojeva je asocijativna operacija, a brojpredstavlja neutralni element za mnoenje. Preostaje jo da proverimo da li postojiinverzan element. Ako je proizvoljan prirodan broj i pri tom , tada ne

postoji takav prirodan broj da bi vailo

( je racionalan broj). Dakle, nije grupa.

Def: Ako je operacija u grupi komutativna, tj. , tada se grupa

naziva komutativnom ili Abelovom.

Kod Abelovih grupa operacija se esto naziva sabiranjem (umesto pie se ), agrupa se naziva aditivnom.

Primer: Neka je skup celih brojeva. Dokaimo da je Abelova grupa. Poto je, za bilo

koja dva cela broja i , njihov zbir takoe ceo broj, to je na skupu definisanaoperacija sabiranja, koja je, kao to znamo komutativna i asocijativna. Osim toga,

predstavlja neutralni element za sabiranje, a za svaki ceo broj postojinjemu suprotan broj

Prema tome, je Abelova grupa.

Def: Ako je grupa i skup , tada kaemo da je podgrupa grupe

ako skup obrazuje grupu s obzirom na operaciju grupe . Svaka podgrupasadri neutralni element grupe .

Osobine grupe:1) Ako u grupi element ima inverzni element , tada je inverzni element

elementa element : . Ova osobina sledi iz relacije

.

1) Ako je u Abelovoj grupi suprotan element elementa , tada je suprotan

element elementa upravo element , tj. , to sledi iz relacije

.




21/230

2) U grupi svaka od jednaina i , ima jedinstveno reenje

, odnosno .

2) U Abelovoj grupi svaka od jednaina , ima jedinstveno

reenje . (Zbog komutativnosti je ).

3) U grupi , iz jednakosti .

3) U Abelovoj grupi iz jednakosti .

4) U svakoj grupi vai jednakost .

4) U svakoj Abelovoj grupi vai jednakost .

Def: Element nazivamo razlikom elemenata i ( , i su elementi Abelove grupe)ako je , to oznaavamo sa ; razlika elemenata definie operacijuoduzimanja, koja je inverzna operaciji sabiranja.

Algebarske strukture sa dve binarne operacije.Prsten, telo, polje.

Def:Prstenom nazivamo skup snabdeven sa dve operacije "sabiranje" i "mnoenje" tako

da je Abelova grupa i da, osim toga, za sabiranje i mnoenje vae zakoni

distributivnosti:

Svojstva prstena:1) U svakom prstenu je , to

predstavlja tzv. pravilo otvaranja zagrada.

2) Ako su , i proizvoljni elementi prestena , tada je .

3) Za svaki element je .

4) U svakom prstenu vae jednakosti , , .

Ako je operacija mnoenja komutativna: , tada se prsten naziva komutativnim, a ako

e operacija mnoenja asocijativna: , tada se prsten naziva asocijativnim.

Ako postoji neutralni element za operaciju mnoenja, ,

nazivaemo ga jedinicom, a odgovarajui prsten prsten sa jedinicom.

Primer: Prsten je asocijativan i komutativan prsten sa jedinicom jer je operacija




22/230

mnoenja na skupu celih brojeva asocijativna i komutativna, a predstavlja neutralnielement za mnoenje.

Skup parnih celih brojeva sa operacijama

sabiranja i mnoenja obrazuje asocijativni i komutativni prsten bez jedininog

elementa, jer .

Def: Ako u asocijativnom i nekomutativnom prstenu sa jedinicom svaki element, izuzev nule, imainverzan element za mnoenje, tada se takav prsten naziva telo.

Def: Ako svi elementi nekog prstena, izuzev nule, obrazuju multiplikativnu grupu, tada takavprsten predstavlja telo.

Def: Ako u komutativnom i asocijativnom prstenu sa jedinicom svaki element, izuzev nule, imasvoj inverzan element za mnoenje, tada se takav prsten naziva polje.

Def: Prsten je polje ako svi njegovi elementi osim nule obrazuju komutativnu grupu za mnoenje.

IzomorfizamDef: Grupoide i nazivamo izomorfnim ako postoji takvo uzajamno jednoznano

preslikavanje , da za bilo koja dva elementa , vai:

.

Preslikavanje sa ovim svojstvima naziva se izomorfnim preslikavanjem. Svojstvo

izomorfnosti grupoida je simetrino (jer preslikavanje inverzno izomorfnom preslikavanju je takoeizomorfno), refleksivno (na primer identino preslikavanje grupoida na samog sebe) i tranzitivno.

Ako su grupoidi i izomorfni, to oznaavamo sa:

Pri izomorfnom preslikavanju se uvaju sva svojstva grupoida (ili bilo koje druge algebarskestrukture), kao to su komutativnost, asocijativnost, egzistencija jedininog ili inverznog elementa.

Primer: Neka je komutativni grupoid a izomorfno preslikavanje grupoida na grupoid

. Ako elementi a elementi i , tada

je . S obzirom na svojstvo komutativnosti grupoida

( ) i jednoznanost izomorfnog preslikavanja , sledi da je , tj.

je komutativan grupoid.

Dakle, izomorfna slika polugrupe (asocijativnog grupoida) je polugrupa, izomorfna slikagrupe je grupa, dok je izomorfna slika Abelove grupe Abelova grupa.

Dva prstena e biti izomorfna ako izmeu njih moe da se uspostavi uzajamno jednoznanopreslikavanje koje e predstavljati izomorfizam kako za njihove aditivne grupe tako i za njihovemultiplikativne grupoide.

Bulova algebra




23/230

Bulova algebra predstavlja neki neprazan skup u kome su definisane dve binarne operacije:

unija i presek ( i ) kao i jedna unarna operacija uzimanje komplementa nekog proizvoljnog

podskupa . Ove operacije zovu se Bulove operacije.

Sistem aksioma.(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

Def: Bulova algebra predstavlja neprazan skup snabdeven sa tri operacije ,

i , koje zadovoljavaju aksiome (A1) (A5).

Def: Neka su i proizvoljni skupovi. Funkcija predstavlja zakon

korespondencije pomou koga se proizvoljnom elementu skupa dodeljuje neki element

skupa .

Da bi se zadala konkretna funkcija potrebno je dati skupove i i zakon korespondencije

izmeu elemenata tih skupova, koji predstavlja ili nabrajanje ili opte pravilo. Ako su skupovi i

beskonani, tada se zakon korespondencije moe zadati samo nekim optim pravilom.

Primer: Dat je skup prirodnih brojeva. Svakom prirodnom broju dodeliemo broj

; time je definisana funkcija , tj. .

Teorema: Svaka funkcija definie neku binarnu relaciju na skupu .

Primer: Ako je data funkcija , , imamo da je




24/230

. Odgovarajua binarna relacija je

.

Def: Za funkciju kaemo da jejednoznana ako se bilo kojem elementu iz skupa

korespondira najvie jedan element iz skupa .

Iz ove definicije sledi da u optem sluaju nekim elementima skupa ne mora biti

korespondiran nijedan element iz skupa .

Primer: Data je funkcija pomou pravila , ; tada se moe

napisati da je .

Osobine funkcija

Def: Funkcija je svugde definisana ako svakom elementu skupa odgovara

neki element skupa .

Def: Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupa naziva

se oblast definisanosti funkcije , ili domen te funkcije.

Funkcija je svugde definisana ako je (tj. ako se njena oblast

definisanosti podudara sa skupom ).

Primer: Neka je skup , znai , a skup , tj

. Definiimo na skupu funkciju

.

Oblast definisanosti date funkcije je jer logaritamska funkcija nije

definisana za vrednost .

Ako je funkcija svugde definisana, to znai da je svakom elementu

korespondiran bar po jedan element ; ako je funkcija uz to i

jednoznana, tada je svakom elementu korespondiran po jedan i samo jedan

element , tj.

.

Def: Ako je funkcija jednoznana i svugde definisana tada takvu funkciju nazivamo

preslikavanjem skupa u skup .

Def: Kaemo da je funkcija na skupu ako je svaki element skupa




25/230

korespondiran nekom elementu skupa ; u suprotnom kaemo da je funkcija u

skupu .

Skup iji su elementi korespondirani elementima skupa naziva se skup (oblast)

vrednosti funkcije .

Funkcija e biti funkcija na skupu ako i samo ako se skup vrednosti funkcije

podudara sa skupom , tj. ako je .

Def: Funkcija se naziva injektivnom ako je svaki element skupa

korespondiran samo po jednom elementu skupa .

Znai je injektivna funkcija ako razliitim elementima skupa odgovaraju razliiti

elementi skupa , tj. ako su i proizvoljni elementi skupa i , tada je

i , tj.

Ako je injektivna funkcija na celom skupu , tada je svaki element skupa

korespondiran jednom i samo jednom elementu skupa .

Inverzna funkcija

Def: Neka je proizvoljna funkcija definisana na skupu . Razmotrimo funkciju

zadatu na skupu zakonom korespondencije:

.

Tako definisana funkcija je inverzna funkcija date funkcije .

Primer: Na skupu pozitivnih realnih brojeva, koji emo oznaavati sa , zadat je zakon

korespondencije . Inverzna funkcija data je zakonom ; oznaimo . Dakle, dobili smo

inverznu funkciju .

Iz prethodne definicije sledi da je funkcija inverzna funkciji upravo polazna

funkcija .

Teorema: Ako je funkcija svugde definisana, tada je inverzna funkcija

funkcija na celom skupu .

Dokaz: Neka je proizvoljan element skupa i svuda definisana funkcija;




26/230

tada postoji takav element da je . U tom sluaju je , to znai

da je u funkciji proizvoljni element korespondiran nekom

elementu iz ; odatle sledi da je funkcija na celom skupu .

Teorema: Ako je funkcija na celom skupu , tada je inverzna funkcijasvugde definisana.

Teorema: Inverzna funkcija je jednoznana ako i samo ako je polazna funkcija

injektivna.

Kompozicija funkcija

Def:Kompozicijom dve funkcije i naziva se funkcija

, iji se zakon korespondencije zadaje na sledei nain:

.

Teorema: Za kompoziciju funkcija vai asocijativni zakon, tj. ako su date tri funkcije

, i , tada je:

.

Uzajamno jednoznana korespondencija skupova

Pretpostavimo da je funkcija :

1. jednoznana,2. svugde definisana,

3. na celom skupu ,

4.injektivna.

Kako je funkcija svugde definisana i jednoznana, tada svakom elementu

odgovara po jedan i samo jedan element . Takoe, a obzirom da je

injektivna funkcija na celom skupu , to se svaki element skupa

korespondira po jednom i samo jednom elementu skupa ( ). U tom sluaju

kaemo da je izmeu skupova i uspostavljena uzajamno jednoznana korespondencija.

Def: Funkcija realizuje uzajamno jednoznanu korespondenciju skupova i

ako je svugde definisana, jednoznana, injektivna i na celom skupu .

Primer: Neka je skup prirodnih brojeva, a skup parnih brojeva.




27/230

Definiimo funkciju ; time je izmeu skupa svih prirodnih brojeva i

skupa svih parnih brojeva uspostavljena uzajamno jednoznana korespondencija.

Teorema: Ako funkcije i uspostavljaju uzajamno jednoznanu

korespondenciju, tada to isto vai i za njihovu kompoziciju .

Def: Za dva skupa i se kae da su ekvivalentni, oznaava se sa , ako seizmeu njihovih elemenata moe uspostaviti uzajamno jednoznana korespondencija.

Ekvivalencija skupova je binarna relacija za koju vae svojstva refleksivnosti, simetrinosti itranzitivnosti, tj. predstavlja relaciju ekvivalencije.

Def: Ako za skupove i postoji bar jedno uzajamno jednoznano preslikavanje, tada

kaemo da skupovi i imaju jednaku mo.

GLAVA 1POJAM BROJA, ALGEBARSKE STRUKTURE, POJAM FUNKCIJE

1.1 Skupovi

1.1.1 Operacije sa skupovima

1.1.2 Dekartov proizvod

1.2 Elementi matematike logike

1.3 Pojam broja

1.3.1 Osobine skupa prirodnih brojeva

1.3.2 Osobine skupa celih brojeva

1.3.3 Osobine skupa racionalnih brojeva

1.3.4 Skup realnih brojeva

1.3.5 Skup kompleksnih brojeva

1.4 Algebarske strukture

1.4.1 Pojam binarne relacije. Relacija ekvivalencije i poretka

1.4.2 Pojam binarne operacije. Algebarske strukture

1.4.3 Algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom. Grupoid, polugrupa, grupa, Abelova grupa

1.4.4 Algebarske strukture sa dve binarne operacije. Prsten, telo, polje

1.4.5 Izomorfizam

1.4.6 Bulova algebra

1.5 Pojam funkcije

1.5.1 Osobine funkcija

1.5.2 Inverzna funkcija 1.5.3 Kompozicija funkcija

1.5.4 Uzajamno jednoznana korespondencija skupova




28/230

Pojam vektora. Osnovne operacije s vektorima.Def:Vektori su veliine odreene svojom duinom (brojnom vrednou), svojim

pravcem i smerom.

Vektor se predstavlja ureenim parom taaka, npr. i oznaava se sa

.

Def: Za dva vektora kaemo da su jednaki ako imaju istu duinu, isti pravac i istismer.

Def:Slobodnim vektorom se naziva vektor koji se sme pomerati tako da mu sepri tom ne menja ni duina, ni pravac, ni smer; takvo pomeranje se nazivatranslacija.

Duina vektora (intenzitet, modul, ili apsolutna vrednost) oznaava se sa ili .

Nula-vektorje vektorija je duina jednaka nuli; samim tim pravac mu nije odreen; oznaava se

sa .

Vektorija je duina zove sejedinini vektorili ort. Kaemo da je ako vektor

ima istu poetnu taku, isti pravac i smer kao i vektor i .

Sabiranje vektora.Neka su i dva proizvoljna vektora (razliita od nula-vektora); ako se vektor translatorno

pomeri tako da mu se poetna taka poklopi sa krajem vektora , dobiemo nadovezane vektore




29/230

i .

Def:Zbirdva nadovezana vektora i je trei vektor kome je poetak u poetnoj

taki vektora , a kraj u krajnjoj taki vektora .

Dva slobodna vektora se mogu sabirati i po tzv. principu paralelograma sila, ako se prethodnoedan od njih translatorno pomeri tako da mu se poetna taka podudari sa poetnom takomdrugog vektora; vektori koje sabiramo zovu se komponente, a njihov zbir rezultanta.

Definicija zbira dva vektora proiruje se na zbir konano mnogo nadovezanih vektora:

.

Sabiranje vektora ima sledea svojstva:

1. - komutativnost

2. - asocijativnost

3. - je neutralni vektor pri sabiranju

4. - za svaki vektor postoji suprotan vektor , koji ima istu

duinu i pravac, ali suprotan smer.

Dakle, skup svih vektora sa operacijom sabiranja vektora obrazuje Abelovu grupu.

Na osnovu svojstva 4. uvodi se operacija oduzimanja vektora kao operacija suprotna operacijisabiranja, tj. razliku dva proizvoljna vektora i definiemo kao zbir vektora i vektora

, suprotnog vektoru :

Razlika dva vektora i , koji imaju zajedniki poetak je vektor .




30/230

Mnoenje vektora skalarom.

Def: Ako je i realan broj , tada je vektoriji je pravac isti kao i pravac vektora

, modul je , a smer mu je isti kao i smer vektora ako je , odnosno

suprotan smeru vektora ako je .

Za svaki vektor moemo napisati da je:

.

Mnoenje vektora realnim brojem ima sledea svojstva:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Def:Uglom izmeu dva vektora i (oznaka: ) nazivamo najmanji ugao za koji jedan

od tih vektora treba da se obrne oko zajednike poetne take da bi se poklopio sa drugim

vektorom. Dakle, za proizvoljne vektore i uvek je , a za kolinearne

vektore je taj ugao ili .




31/230

Def: Orijentisanom pravom ili osom nazivamo pravu za ije se bilo koje dve take zna koja jeprethodna a koja sledea, tj. za koju je utvren pozitivan smer. Osa se moe okarakterisati isvojim jedininim vektorom.

Osa na kojoj je utvrena poetna taka i taka ije je odstojanje od poetne take jednakozove se koordinatna osa.

Def:Algebarska vrednost vektora na datoj osi je broj ako je smer vektora

isto kao i smer ose, odnosno broj ako je smer vektora suprotan smeru

ose.

Def: Projekcija vektora na orijentisanu ili neorijentisanu pravu ili ravan je vektor iji

je poetak projekcija poetne take , a projekcija krajnje take datog vektora

.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

Def: Za dva vektora i kaemo da su kolinearni ako imaju isti pravac, tj. ,

ili, drugaije reeno, ako postoje takvi skalari i , , da je:

, tj.

Def: Za tri ili vie vektora kaemo da su komplanarni ako lee u jednoj ravni (ili ako lee uparalelnim ravnima). Da bi tri vektora , i bili komplanarni treba da postoje takvi skalari

, i (pri tom bar jedan od njih razliit od nule) da je zadovoljena jednakost:

.

Napomena: Zbir , odnosno predstavlja tzv. linearnu kombinaciju




32/230

vektora i , odnosno vektora , i .

Def: Za vektore i kaemo da su linearno zavisni ako postoje takvi skalari i (koji nisu

istovremeno jednaki nuli) da je zadovoljena jednakost:

, tj.

Prema tome, dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearna.

U optem sluaju kaemo da su vektori linearno zavisni ako postoje takvi skalari

(koji nisu svi jednaki nuli) da je odgovarajua linearna kombinacija uvek jednaka

nuli:

.

U suprotnom kaemo da su vektori linearno nezavisni.

Dakle, dva linearno zavisna vektora su kolinearna, a dva linearno nezavisna vektora sunekolinearna (obrazuju kos ugao).

Vektorski prostor

Def: Skup nazivamo vektorskim prostorom ako je za sve elemente skupa kojipredstavljaju vektore, odnosno elemente ma kakve prirode, definisana operacija sabiranja:

, i mnoenja skalarom: , i ako ove operacije imaju sledea

svojstva:

1. - komutativnost;

2. - asocijativnost;

3. - egzistencija neutralnog elementa;

4. - egzistencija suprotnog elementa;

Znai je Abelova grupa.

5. - je neutral za mnoenje;

6. ;

7. - zakoni distributivnosti.




33/230

Def: Za dati vektorski prostor , najvei broj meu sobom linearno nezavisnih vektora odreuje

dimenziju tog prostora. U -dimenzionom vektorskom prostoru svaki skup od linearnonezavisnih vektora predstavlja bazu tog prostora.

Def:Baza datog vektorskog prostora je skup takvih linearno nezavisnih vektora da se svaki vektortog prostora moe predstaviti kao linearna kombinacija vektora koji odreuju datu bazu.

Teorema: Svaki vektor u -dimenzionom vektorskom prostoru moe se na tano jedan

nain predstaviti linearnom kombinacijom od linearno nezavisnih vektora

vektorskog prostora . Takvo predstavljanje datog vektora

naziva se razlaganjem vektora po bazi koju obrazuju vektori :

,

gde skalari , nisu svi istovremeno jednaki nuli.

Def: Koeficijenti razlaganja datog vektora po datoj bazi predstavljaju koordinate vektora u odnosuna tu bazu.Vektor se pomou svojih koordinata moe napisati u sledeem obliku:

ili .

Ortogonalnu bazu obrazuju uzajamno ortogonalni vektori; normiranu bazu obrazuju vektoriduine , dok ortonormiranu bazu obrazuju meusobno ortogonalni jedinini vektori. Afinu bazuobrazuju vektori razliite duine koji nisu svi uzajamno ortogonalni.

Uobiajeno je da se vektori ortonormirane baze u ravni (tj. u dvodimenzionom prostoru)

oznaavaju sa , a baza sa , dok se vektori ortonormirane baze u trodimenzionom

prostoru oznaavaju sa , i , a baza sa .

Svaka tri linearno nezavisna vektora obrazuju triedar (trostrani rogalj). Pretpostavimo da triedar

obrazuju tri jedinina vektora iji pravci odreuju koordinatne ose, dok im je zajedniki

poetak koordinatni poetak. Ako su, osim toga, ovi jedinini vektori i uzajamno ortogonalni,onda oni obrazuju trodimenzioni pravougli Dekartov koordinatni sistem.

Uobiajeno je da se trodimenzioni pravougli koordinatni sistem odreuje jedininim vektorima

koji respektivno lee na osama (koje se nazivaju apscisna osa, ordinatnaosa i osa aplikata).




34/230

Skalarni proizvod

Def: Skalarnim (unutranjim) proizvodom dva vektora nazivamo proizvod njihovih modula ikosinusa ugla odreenog tim vektorima.

Skalarni proizvod vektora i je skalar i oznaavamo ga sa , ili . Dakle:

Primetimo da skalarni proizvod moemo napisati u obliku:

odnosno

gde je algebarska vrednost projekcije vektora na vektor , dok je

algebarska vrednost projekcije vektora na vektor .

Def: Skalarni proizvod dva vektora je proizvod modula jednog vektora i algebarske vrednostiprojekcije drugog vektora na prvi vektor.

Svojstva skalarnog proizvoda:

1. - komutativnost

2.

3. - uslov ortogonalnosti

4. - distributivnost u odnosu na sabiranje vektora

5.

Ako je dat proizvoljni vektor , tada e algebarske vrednosti njegovih projekcija na ortonormiranu

bazu biti:

, , ,

gde su , i uglovi koje vektor obrazuje redom sa vektorima , i ortonormiranebaze.




35/230

Uslov ortogonalnosti vektora i glasi: .

U Dekartovom koordinatnom sistemu sa bazom skalarni proizvod vektora

i je:

,

stoga je za : ,

tj. modul vektora je .

U ortonormiranom koordinatnom sistemu u -dimenzionom prostoru je skalarni proizvod vektora

i :

a modul vektora :

Vektorski proizvod

Def: Vektorski (spoljanji) proizvod dva nekolinearna vektora i je vektor koji ima:

- modul jednak povrini paralelograma koji odreuju i

- pravac ortogonalan na vektore i

- smer takav da vektori , i obrazuju desni triedar.




36/230

Vektorski proizvod vektora i se oznaava sa (ili , ). Dakle, ako je

, tada je:

Ako je , tj. tada su vektori i kolinearni.

Svojstva vektorskog proizvoda:

1. (pri tom je ) - ne vai komutativnost

2. , za svaki skalar

3.

4.

5. .

Ako su i dva proizvoljna vektora zadata svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi

: , , tada je vektorski proizvod vektora i :

tj.

koordinate vektorskog proizvoda datih vektora su:




37/230

Vidimo da vektorski proizvod vektora i predstavlja vektor , koji svojim

pravcem odreuje poloaj, svojim smerom orijentaciju, a svojim modulom veliinu (povrinu)paralelograma koji obrazuju vektori i . Dakle, povrina orijentisanog paralelograma moe se

predstaviti pomou odreenog normalnog vektora .

Meoviti proizvod tri vektora

Def: Meoviti proizvod tri vektora , i je skalar koji oznaavamo sa

i koji je jednak zapremini paralelopipeda obrazovanog nad

vektorima , i ako je triedar , , desne orijentacije, a ako je leve orijentacije,tada je .

Neka je , a , tj. ; moemo napisati da je

, a je merni broj povrine paralelograma nad vektorima i .

Dakle,

,

gde je algebarska vrednost projekcije vektora na pravac jedininog vektora

; pri tom je ako je (tj. , i obrazuju desni triedar), i

ako je (tj. , i obrazuju levi triedar), a je visina paralelopipeda sa

osnovom .

,

gde znak skalara zavisi od orijentacije ureene trojke , i .




38/230

Svojstva meovitog proizvoda:

1.

2.

3.

4. ciklina promena mesta vektora u meovitom proizvodu ne menja njegovuvrednost jer je svejedno koju stranu paralelopipeda uzimamo za osnovu, poduslovom da odgovarajui triedar ne menja orijentaciju:

5. Uslov komplanarnosti tri vektora , i je da je njihov meoviti proizvod

jednak nuli: .

Pojam matriceDef:Matricom nazivamo pravougaonu tablicu (shemu) sa elemenata rasporeenih u

vrsta i kolona:




39/230

Matrice se oznaavaju velikim slovima latinice: , , , ...

Proizvoljni element matrice pripada -toj vrsti i -toj koloni pa matricu moemo oznaiti i na

sledei nain:

ili

Matrica iji su svi elementi nule naziva senula-matrica

.

Za matricu sa vrsta i kolona kae da ima dimenziju .

Def: Dve matrice istog tipa jednake su ako i samo ako su im odgovarajui elementijednaki. Takve matrice nazivamo i konformne matrice.

Ako je, u matrici , tada imamo matricu vrstu:

Ako je , tada imamo matricu kolonu:

Ako je broj vrsta jednak broju kolona, tada imamo kvadratnu matricu:

Elementi lee na glavnoj dijagonali kvadratne matrice, dok elementi

pripadaju sporednoj dijagonali.

Zbir svih elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zove se trag matrice i oznaava:




40/230

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a elementi na glavnojdijagonali nisu svi nula, zove se dijagonalna matrica:

Ako su u dijagonalnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki , imamo

skalarnu matricu:

koja se za zovejedinina matrica:

Koristei tzv. Kronekerov simbol:

dijagonalnu, skalarnu i jedininu matricu -tog reda moemo predstaviti u obliku:

Sabiranje matrica. Mnoenje matrice brojem.

Def: Dve konformne matrice i su jednake: , ako i samo

ako je:




41/230

Jednakost matrica ima sledea svojstva:

1. refleksivnost:

2. simetrinost:

3. tranzitivnost:

Dakle, jednakost matrica je relacija ekvivalencije.

Def: Kaemo da je matrica jednaka zbiru matrica i ako su matrice , i iste

dimezije, tj. , , i ako je osim toga:

Sabiranje matrica ima sledea svojstva:

1. komutativnost:

2. asocijativnost:

3. nula-matrica je neutralni element za sabiranje:

4. za proizvoljnu matricu postoji suprotna matrica :

Posledica. Postoji operacija inverzna sabiranju, tj. za dve date matrice i uvek

postoji matrica takva da je:

, tj.

matrica se zove razlika matrica i .

Def: Mnoenje matrice brojem. Ako je , a matrica , tada je:

to znai da se matrica mnoi brojem tako to se svaki njen element pomnoi tim brojem. Odatlesledi da: , .

Operacija mnoenja matrice brojem ima sledea svojstva:

1. komutativnost:

2. asocijativnost:

3. distributivnost s obzirom na zbir brojeva:




42/230

4. distributivnost s obzirom na zbir matrica:

Sve konformne matrice obrazuju vektorski prostoriji su oni elementi.

Determinante

Poimo od sistema od dve linearne algebarske jednaine sa dve promenljive:

gde koeficijenti uz promeljive nisu , a slobodni lanovi nisu oba . Ako prvu jednainu tog

sistema pomnoimo sa , a drugu sa i oduzmemo od prve, dobiemo

; ako pak prvu jedaninu pomnoimo sa a drugu sa

i oduzmemo je od prve dobiemo . Dakle dobili smo:

Zajedniki faktor uz promeljive i moemo napisati u obliku kvadratne sheme (tablice) kojuobrazuju koeficijenti uz i :

Takva shema zove se determinanta sistema. Ako se u determinanti koeficijenti koji stoje uz

promenljivu , odnosno zamene slobodnim lanovima i , dobijaju se determinante:

,

Pomou determinanata , i sistem ekvivalentan datom sistemu piemo u obliku:

,

Odatle, pod pretpostavkom da je determinanta sistema , dobijamo reenje sistema:

,

Razlikujemo sledee tri mogunosti:




43/230

1. Ako je determinanta sistema , tada ovaj sistem ima jedinstveno reenje.

2. Ako je , tj. , a bar jedna od determinanata i

razliita od nule, tada sistem nema reenje jer ne postoje realni brojevi i takvi

da bi bilo ispunjeno i .

3. Ako je , a takoe i i , tada sistem ima beskonano

mnogo reenja jer beskonano mnogo realnih brojeva i zadovoljavaju

jedna7. ine i .

Geometrijski svaka od jednaina sistema predstavlja po jednu pravu u Dekartovom koordinatnomsistemu.

Ako je , postoji jedinstveno reenje, tj. prave se seku u taki , gde je

, .

Ako je , a i , tada je , tj. prave su paralelne.

Ako je , tada je , tj. sistem obrazuju dve prave koje se

poklapaju (dve identine prave).

Def: Kvadratna shema od elemenata rasporeenih u vrsta i kolona zove se




44/230

determinanata -tog reda. Vrste i kolone zovu se jednim imenom redovi determinante.

Determinanata drugog reda ima oblik:

a determinanta treeg reda:

Vrednost determinante drugog reda se izraunava po pravilu:

Vrednost determinante treeg reda kao i determinanate -tog reda , izraunava se po

optem pravilu. Neka je data determinanta treeg reda:

Ako se izostavi jedna vrsta i jedna kolona u datoj detrminanti, preostali elementi e obrazovatiednu determinantu drugog reda; svaku detrminantu koju na pomenuti nain dobijamo iz datedeterminante nazivamo minorom. Oigledno, data detreminanta treeg reda ima onoliko minora

koliko i elemenata, tj. . Na primer, elementima , i odgovaraju minori:

, ,

Def: Vrednost determinante treeg reda jednaka je:

.

Za ovako napisanu determinantu treeg reda kaemo da je razvijena po elementima prve vrste.

Pri razvijanju determinante svaki element se mnoi odgovarajuim minorom i brojem

gde oznaava red vrste, a red kolone. Determinanta se moe razviti po elementima bilo kojevrste ili kolone vrednost e uvek biti ista. Na primer:

Sada se moe formulisati pravilo izraunavanja determinante -tog reda:




45/230

Ako ovu determinantu razvijemo po elementima -te vrste dobijamo

gde smo minore obeleili sa .

Ako umesto minora uvedemo kofaktor elemenata :

,

imaemo (kada se razvije po elementima -te vrste):

.

Primer:

Svojstva determinante:1. Ako u proizvoljnoj determinanti dva paralelna reda uzajamno promene mesto, tada

determinanata menja znak, a zadrava istu apsolutnu vrednost. Na primer:

, .

2. Determinanat se mnoi brojem tako to se svi elementi jednog njenog reda pomnoetim brojem, i obrnuto, zajedniki faktor svih elemenata jednog reda determinante je istovremenomnoilac cele determinante, pa se moe izdvojiti i napisati ispred determinante:




46/230

Posledica: Ako su svi elementi jednog reda determinante jednaki nuli, tada je i .

3. Ako su u determinanti dva paralelna reda identina ili proporcionalna tada je vrednostdeterminante :

.

4. Ako sve vrste ili sve kolone date determinante reda ciklino promene mesta, tadadeterminanta ne menja svoju vrednost:

.

5. Determinanta ne menja svoju vrednost ako se svim elementima jednog njenog reda dodajuodgovarajui elementi nekog drugog paralelnog reda, pomnoeni jednim istim brojem:

.

6. Ako su elementi jedne vrste ili kolone date determinante zbirovi od dva ili vie sabiraka, tada seta determinanta moe razloiti na zbir od dve ili vie determinanata:

.

7. Ako su svi elementi jednog reda date determinante linearna kombinacija odgovarajuih

elemenata dvaju ili vie drugih paralelnih redova, tada je vrednost determinante .

Rang matrice

U proizvoljnoj matrici moemo uoiti determinanate, poev od onih prvog reda (to su

sami elementi matrice), pa zatim drugog reda, ... , sve do determinante reda , gde je

. Svaku takvu detereminantu reda , sastavljenu od elemenata

koji lee u preseku vrsta i kolona, nazivamo minorom date matrice. Detereminanta -togreda koja sadri sve elemente kvadratne matrice -tog reda zove se detereminanta

kvadratne matrice i oznaava ; dakle, za je:




47/230

Kvadratna matrica je regularna ako je , tj. ako je jednak redu te

matrice, a neregularna (singularna) ako je .

Def:Rang matrice je najvei red detereminanata razliitih od nule koje pripadaju datoj matrici, tj.rang matrice je najvei red minora te matrice koji je razliit od nule; oznaava se sa

ili .

Dakle, rang bilo koje matrice je prirodan broj, jedino je rang nula-matrice jednak nuli.

Odreivanje ranga matrice. Pri odreivanju ranga matrice polazi se od minora najnieg reda (tj.od onih prvog i drugog reda), dok se ne utvrdi najnii red onih minora koji su svi jednaki nuli; utom sluaju je rang razmatrane matrice .

Def: U elementarne transormacije, tj. u transformacije koje ne menjaju rang polazne matricespadaju:

1. Mnoenje svih elemenata nekog reda matrice jednim istim brojem .

2. Uzajamna promena mesta dvaju paralelnih redova.

3. Prikljuivanje novog reda iji su svi elementi nule.

4. Iskljuivanje reda iji su svi elementi nule.

5. Dodavanje elementima jednog reda odgovarajuih elemenata nekog drugog paralelnogreda pomnoenih jednim istim brojem .

6. Transponovanje, tj zamena mesta svih vrsta sa odgovarajuim kolonama ili obrnuto; to

znai da, ako je data neka matrica , njena transponovana matrica e imati

oblik (ako je polazna matrica dimenzije , njena transponovana

matrica e biti dimenzije ).

Primer: Za matricu vrstu transponovana matrica e biti matrica

kolona:

Kvadratna matrica koja je jednaka svojoj transponovanoj matrici zove se simetrina matrica, tj.

matrica je simetrina ako i samo ako .




48/230

Teorema: Elementarne transformacije konano mnogo puta primenjene na datu matricu nemenjaju rang matrice.

Def: Dve matrice i su ekvivalentne, piemo , ako i samo ako se jedna od njihmoe prevesti u drugu pomou konano mnogo uzastopnih elementarnih transformacija, tj.

ako je .

Mnoenje matrice matricom

Proizvod dve matrice ima smisla samo u sluaju ako su matrice i saglasne, to

znai da je matrica reda , a matrica reda .

Def: Proizvod saglasnih matrica i je matrica , koja

ima onoliko vrsta koliko ih ima matrica i onoliko kolona koliko ih ima matrica :

pri tom se elementi matrice formiraju po zakonu:

Dakle, element matrice , koji se nalazi na preseku -te vrste i -te kolone, obrazuje se

tako to se elementi -te vrste matrice pomnoe odgovarajuim elementima -te kolone

matrice i dobijeni proizvodi saberu.

Primer: Nai proizvod dve date matrice:

i

Poto je i , to je

Znai:

.

Mnoenje matrica u optem sluaju nije komutativna operacija, tj:




49/230

Izuzetak je mnoenje proizvoljne kvadratne matrice jedininom matricom i nula-matricom:

i .

Kod mnoenja veeg broja matrica neophodno je da svake dve susedne matrice budu saglasne,tj. da budu saglasne u nizu.

Na primer, ako su date matrice , i , tada se moe obrazovati proizvod datih

matrica samo u navedenom poretku, tj. .

Def: Mnoenje matrica je asocijativna operacija:

Teorema: Proizvod dve kvadratne matrice istog reda bie regularna matrica ako i samo ako suobe matrice regularne.

Inverzna matrica

Zbog nekomutativnosti mnoenja ( ), deljenje nije jednoznano definisana

operacija, jer kolinik matrica i moe biti i matrica takva da je , i matrica

za koju je (pri tom je ). Dakle, postoji deljenje sleva i deljenje zdesna,odnosno levi i desni kolinik.

Kolinik dve kvadratne matrice ne mora uvek postojati, jer ako je, recimo, neregularna, a

regularna matrica, tada su proizvodi i neregularne matrice, te je i, to znai da za date matrice i ne postoje matrice i takve da je

, odnosno .

Def: Matrica je inverzna matrica regularne kvadratne matrice ako je:

.

Iz definicije sledi da je kvadratna matrica istog reda kao i i takoe regularna matrica.

Neregularna matrica nema inverznu matricu.

Teorema: Za datu regularnu kvadratnu matricu postoji jedna i samo jedna inverzna matrica

.

Dokaz: (pps) Regularna kvadratna matrica ima dve inverzne matrice: i . Na osnovu

definicije sledi:

Pomnoimo obe jednakosti sa sleva i primenimo zakon asocijacije:




50/230

Dobijamo:

tj. .

Takoe, moemo zakljuiti da, ako je data regularna kvadratna matrica, tada je njena

inverzna matrica. Imajui to u vidu, neposredno se dokazuje da je:

.

Primer: Odrediti inverznu matricu matrice:

.

Svojstva mnoenja matrice matricom:

1.

2. (u optem sluaju)

3.

4. moguno i kada je i , na primer:

,

5. .




51/230

Def: Jednaina sa promenljivih oblika:

gde koeficijenti nisu svi istovremeno nula, nazivamo linearnom algebarskom

jednainom; njena leva strana predstavlja linearnu formu sa promenljivih. Skup reenja

ove jednaine je skup svih ureenih -torki brojeva koje tu jednainu

identiki zadovoljavaju.

Def: Sistem od linearnih algebarskih jednaina sa promenljivih

:

nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni lanovi nisu svi jednaki

nuli, a homogenim sistemom ako su svi slobodni lanovi jednaki nuli. Skup reenja ovog

sistema je skup ureenih -torki brojeva koje sve jednaine sistema

identiki zadovoljavaju.

Sistem se pie u saetom obliku:

,

a u matrinom obliku:




52/230

, odnosno ,

gde je .

Matrica

zove se matrica sistema. Ako se ovoj matrici dopiu zdesna slobodni lanovi koji obrazujumatricu , dobija se proirena matrica sistema:

.

Pri tom je , a ne moe biti manji od ranga matrice, ve

e ili ili .

U pogledu reavanja sistema postoje sledee mogunosti:

1. Sistem nema ni jedno reenje

2. Sistem ima jedinstveno reenje

3. Sistem ima beskonano mnogo reenja

U prvom sluaju kaemo da je sistem nesaglasan (inkompatibilan), dok je u preostala dva sluajasistem saglasan (komplatibilan).

Teorema: (Kroneker-Kapelijeva) Sistem linearnih algebarskih jednaina je saglasan ako i samoako je:

.

Posledica: Sistem linearnih algebarskih jednaina nema reenja ako i samo ako je:

.




53/230

Reavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednaina

Dat je sistem:

gde slobodni lanovi nisu svi jednaki nuli i u optem sluaju je .

Razmatraemo samo saglasan sistem, tj. kada je , jer u sluaju kada je

unapred znamo da je sistem nesaglasan, tj. nema reenja.

Za saglasan sistem postoje sledee mogunosti:

1.

2.

U prvom sluaju je oigledno , tako da na levoj strani imamo linearno nezavisnih i

linearno zavisnih linearnih formi; koeficijenti tih linearnih formi obrazuju regularnukvadratnu matricu -tog reda. Kako je, po pretpostavci, , to je u

ovom sluaju posmatrani sistem od jednaina sa promenljivih ( ) ekvivalentannehomogenom sistemu od jednaina sa promenljivih i sa regularnom matricom. Zato seodmah reava nehomogeni sistem:

gde je

, tj. .

U matrinom obliku taj sistem glasi:

.

Ovu matrinu jednainu reavamo mnoei je prvo sleva sa :




54/230

.

Dakle, da bi se odredili elementi traene matrice , potrebno je prvo nai inverznu matricu

.

Za odreivanje jedne nepoznate, recimo , iz polaznog sistema, potrebno je eliminisati sve

ostale promenljive. Prvo emo pomnoiti sve jednaine tog sistema odgovarajuim kofaktorima

odnosno minorima elemenata , uzetim sa odgovarajuim znakom

( ):

a zatim, grupiui koeficijente uz odgovarajue promenljive, sabrati dobijene jednaine:

()

Na levoj strani ove jednaine imamo u zagradama izraze:

, za , i ,

dok je na desnoj strani izraz:

,

koji se dobija kada se koeficijenti (koji stoje uz promenljivu u polaznom sistemu) zamene

slobodnim lanovima :




55/230

Prema tome, jednaina () moe se napisati u obliku:

odakle je

ime je dobijeno reenje polaznog sistema. Zbog jednoznanosti operacije

deljenja brojem razliitim od nule u skupu realnih brojeva, dobijeno reenje je jedinstveno.

Teorema: (Kramerova) Ako je determinanta sistema od nehomogenih linearnih algebarskihjednaina sa promenljivih razliita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno reenjedato formulom:

gde je determinanta tog sistema, a determinanta dobijena tako to su u

koeficijenti uz zamenjeni, redom, slobodnim lanovima .

S obzirom da vai da je:

to jest

tada reenje sistema moemo napisati u obliku:

Kvadratna matrica na desnoj strani zove se adjungovana matrica matrice i oznaava:

. S obzirom na to je:

.

Neposredno zakljuujemo da je inverzna matrica matrice :




56/230

.

Matrica dobija se tako to se, prvo, matrica transponuje, pa se zatim, polazei od:

od kofaktora njenih elemenata formira :

Reavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednaina

Dat je sistem od homogenih jednaina sa promenljivih:

Kod homogenog sistema uvek je , to znai da je takav sistem uvek

saglasan. Sistem oigledno uvak ima trivijalno reenje:

Treba, meutim, ispitati da li taj sistem osim trivijalnog ima i netrivijalna reenja. Razlikujemosledee sluajeve:

1. Ako je (znai ), tada je u sistemu sadran podsistem od saglasnih

homogenih jednaina sa promenljivih, pa je determinanta tog podsistema . Prema,tome, na osnovu Kramerove teoreme, takav sistem ima samo jedno reenje, tj. osim trivijalnogdrugih reenja nema.

Napomena: Sve determinante koje se obrazuju zamenom koeficijenata uz slobodnim

lanovima, bie jednake nuli jer su svi slobodni lanovi jednaki nuli.




57/230

2. Ako je , tada postoji slobodnih promenljivih kojima moemo davati

proizvoljne vrednosti, te u tom sluaju sistem osim trivijalnih ima i beskonano mnogo netrivijalnihreenja. U datom sistemu je sadran saglasan podsistem:

ije su vezane promenljive date formulom:

a opte reenje je

ili u matrinom obliku:

ili krae:

To je opte reenje homogenog sistema u kome, u poreenju sa optim reenjem

nehomogenog sistema, nedostaje (trivijalno reenje); ine fundamentalni

sistem reenja. Dakle, svako netrivijalno reenje homogenog sistema (pod uslovom:

) je linearna kombinacija njegovih fundamentalnih reenja.

Primer: Reiti homogeni sistem jednaina:




58/230

Lako je videti da je trea jednaina posledica prvih dveju, te da je dati sistem ekvivalentansistemu koji ine prve dve jednaine i koji se moe napisati u obliku:

Opte reenje datog homogenog sistema je:

ili u matrinom obliku:

.

Gausov algoritam

Sistem od nehomogenih linearnih jednaina sa promenljivih ( ):

ednostavno se reava u matrinom obliku ako je , naime imamo:

i ,

poto je matrica sistema, za , regularna. Meutim, ako je matrica visokog reda,

tada je izraunavanje inverzne matrice pozamaan posao, te vei praktini znaaj imaju nekedruge metode reavanja sistema. Jedna od takvih je Gausova metoda koja se sastoji usukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema.

Pretpostavimo da je koeficijent (u sluaju da je poelo bi se nekim drugim

koeficijentom). Iskljuimo nepoznatu iz svih jednaina sistema osim prve. Da bi smo to

realizovali potrebno je obe strane prve jednaine pomnoiti sa i dodati ih drugoj

ednaini, zatim obe strane prve jednaine pomnoiti sa i dodati ih treoj jednaini,

itd. i na kraju obe strane prve jednaine pomnoiti sa i dodati ih -toj jednaini. Nataj nain se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:




59/230

pri tom se koeficijenti uz promenljive i slobodni lanovi u poslednjih jednaina sistemaodreuju formulama:

,

Ako sada pretpostavimo da je , primeniemo isti postupak za iskljuivanje promenljive

iz poslednjih jednaina sistema i dobiemo ekvivalentan sistem jednaina:

gde je

,

Na slian nain bismo, uz pretpostavku da je , iskljuili promenljivu iz poslednjih

jednaina sistema, a zatim produili isti postupak.

Ako se u navedenom postupku doe do sistema u kome jedna od jednaina ima slobodni lanrazliit od nule, a svi njeni koeficijenti na levoj strani su jednaki nuli, tada je polazni sistemnesaglasan. Ako to nije sluaj, tada Gausov algoritam dovodi do sistema, ekvivalentnogpolaznom sistemu:

pri tom je , , a prema tome i .




60/230

U tom sluaju sistem je saglasan; ako je , sistem ima jedinstveno reenje, a ako je

, sistem ima beskonano mnogo reenja. Zaista, ako je , sistem ima oblik:

Poslednja jednaina sistema jednoznano odreuje promenljivu ; kada se vrednost za

uvrsti u pretposlednju jednainu, jednoznano se odreuje promenljiva , itd. Nastavljajui

ovaj postupak nalazimo da sistem, a to znai i njemu ekvivalentan polazni sistem, u sluaju kad jeima jedinstveno reenje.

Ako je , tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a

zatim se, kao i u prethodnom sluaju, odreuju vezane promenljive . S obzirom

na to da slobodne promenljive mogu imati proizvoljne vrednosti, sistem u ovom sluaju imabeskonano mnogo reenja.

Kao to smo videli, homogen sistem linearnih jednaina uvek je saglasan jer postoji bar jedno,

trivijalno reenje . Ako je , sistem nema netrivijalnih reenja,

a ako je , Gausovim algoritmom se polazni sistem svodi na sistem sa

stepenastom matricom, koji osim trivijalnog ima jo i beskonano mnogo netrivijalnih reenja.

Primer: Reiti sistem pomou Gausovog algoritma:

Napiimo proirenu matricu sistema i primenimo Gausov algoritam:

to znai da smo polazni sistem doveli na oblik:

odakle se neposredno dobija jedinstveno reenje:

.




61/230

Jednaina prave u ravni

Ako je zadata proizvoljna taka u datoj ravni, i proizvoljni vektor , tada je

takom i vektorom definisana prava koja prolazi kroz taku , i ortogonalna

e na dati vektor . Ako je proizvoljna taka posmatrane prave, , tada je

vektor ortogonalan na vektor , te je njihov skalarni proizvod jednak

nuli, tj.

ili

(gde je konstanta ) to predstavlja opti oblik jednaine prave u ravni. Ako

e prava je paralelna osi , ako je , tada je ova prava paralelna osi , a

ako je , tada prava prolazi kroz koordinatni poetak.




62/230

Primetimo da jednaina prave koja prolazi kroz koordinatni poetak moe da se napie u obliku:

,

je ugao koji prava obrazuje sa pozitivnim pravcem apscisne ose, koeficijent pravca prave; iliu optem sluaju (to sledi iz opteg oblika jednaine prave):

to predstavlja eksplicitni oblik jednaine prave u ravni.

Ako je data taka i pravac, tj. koeficijent pravca , tada je jednaina prave koja u

zadatom pravcu prolazi kroz taku :

er je

gde je proizvoljna taka posmatrane prave.




63/230

Ako su date dve take i , tada se jednaina prave kroz dve date

take i izvodi na sledei nain: ako je proizvoljna taka prave, tada je:

,

tj. ako koeficijent pravca oznaimo sa

tada je prava koja prolazi kroz dve date take i data jednainom:

.

Ukoliko prava na koordinatnim osama odseca segmente i (pri tom se vodi rauna oznacima), tada se dobija segmentni oblik jednaine prave:

.




64/230

Iz eksplicitnog oblika se lako prelazi na segmentni, naime jednaina moe se

napisati u obliku:

.

Neka je prava zadata svojim pravcem i rastojanjem prave od koordinatnog poetka, koje emo

oznaiti sa . Apsolutnu vrednost vektora koji je ortogonalan na posmatranu pravu

oznaiemo sa - to je tzv. poteg; neka je , to znai da ovaj jedinini

vektor ima koordinate . Ako je proizvoljna taka date prave,

oznaimo vektor . Kako je projekcija vektora na pravac

edininog vektora , stavivi u skalarni proizvod koordinate vektora i , dobijamo:

,

to predstavlja normalni oblik jednaine prave.

Odstojanje od take do prave. Neka su taka i koordinatni poetak sa razliitih strana date

prave. Treba odrediti odstojanje take od prave.




65/230

Kako je to je odstojanje take od prave:

Ako bi taka i koordinatni poetak bili sa iste strane prave tada bismo imali da je:

Ugao izmeu dve prave. Date su jednaine dve prave u optem obliku:

i , tj. .

Ugao izmeu datih pravih je jednak uglu izmeu vektora i , tj.

, odnosno .

Jednaina ravni u prostoru

Ravan je odreena takom i normalnim vektorom . Ako je proizvoljna taka ravni, i

ako uvedemo oznake , tada je

s obzirom da je

ili

to predstavlja opti oblik jednaine ravni.




66/230


67/230

Prelazak sa opteg na normalni oblik jednaine ravni. Neka je ravan data u optem obliku:

gde normalni vektor ima koordinate . Ako stavimo da je (ako

vektori i imaju isti smer tada je , a ako imaju razliit smer, tada je

), gde je , tada je

, ,

to znai da je

,

odnosno normalni oblik jednaine ravni e biti

,

gde je (bira se znak suprotan znaku slobodnog lana )

Neka je data jednaina ravni u optem obliku ili

. Ako je , tada podelivi i levu i desnu stranu prethodneednaine sa , dobijamo:




68/230

tj.

to predstavlja segmentni oblik jednaine ravni. ( , i oznaavaju odseke na koordinatnim

osama , i .

Ako ravan prolazi kroz dve date take i i paralelna je sa

pravom iji pravac odreuje vektor , tada su vektori , i

komplanarni, te je njihov meoviti proizvod jednak , odnosno jednaina ravni kroz dve takekoja je paralelna datom vektoru glasi:

Odstojanje take od ravni. Odstojanje take od ravni koje emo oznaiti sa

predstavlja algebarsku vrednost vektora koji je ortogonalan na ravan :

.

Oznaimo sa ; ako je normalni jedinini vektor ravni , tada je ,




69/230


70/230

Ugao izmeu dveju ravni predstavlja ugao izmeu odgovarajuih normalnih vektora:

Jednaina prave u prostoru

Poloaj prave u prostoru jednoznano je odreen takom kroz koju prava prolazi i vektorom istog

pravca koji emo oznaiti sa . Ako je data taka kroz koju

posmatrana prava prolazi, a proizvoljna taka prave, tada, ako stavimo da je

i , dobijamo, s obzirom na kolinearnost vektora i , jednainu

prave u vektorskom bliku:

ili .

Iz prethodne jednaine neposredno se dobija kanonski oblik jednaine prave:

.

Iz vektorskog oblika jednaine prave se neposredno moe izvesti i parametarski oblik jednaineprave. Naime, ako vektorski oblik jednaine prave napiemo u obliku:

, odnosno

gde je zamenjeno parametrom , dobijamo




71/230

Jednaina prave kroz dve date take i . Ako je

proizvoljna taka posmatrane prave, tada su vektori i kolinearni,

tj. jednaina date prave e biti , tj.

ili

odnosno

Ako je vektor jedinini vektor, tada je , tako da

za pravu koja prolazi kroz dve take imamo da je:

gde su , , koordinate odgovarajueg jedininog vektora.

Prava se moe posmatrati i kao presek dveju ravni:

gde je , i , a , gde je

matrica sistema. Sistem predstavlja jednainu prave u optem obliku.

Da bismo sa opteg preli na kanonski oblik, treba odrediti koordinate proizvoljne take kroz

koju posmatrana prava prolazi, i vektora koji je paralelan sa datom pravom. Pretpostavimo dae:




72/230


73/230


74/230

Razmatrane prave i se mogu zadati i u optem obliku:

vektor koji odreuje pravac prave je ;

a vektor koji odreuje pravac prave je .

Presena taka dveju pravih se odreuje iz optih jednaina pravih iz kojih se od etiri ravni uzmuproizvoljne tri i odredi njihova zajednika taka.

4. Mimoilazne prave ne lee u jednoj ravni; ako je prava odreena vektorom

, prava vektorom , ako je proizvoljna

taka prave , a proizvoljna taka prave , tada vektori ,

i ne pripadaju istoj ravni tj. nisu komplanarni, te je uslov da se prave i

mimoilaze:

.




75/230

5. Ako su dve prave meusobno ortogonalne, tada su i vektori i

, koji odreuju pravce datih pravi, takoe meusobno ortogonalni, te je uslov

ortogonalnosti:

, tj. .

Ugao izmeu dveju pravih i predstavlja ugao izmeu odgovarajuih vektora

i , te je

, tj.

Meusobni poloaj prave i ravni

Neka su date prava jednainom u kanonskom obliku i ravan jednainom u optem obliku:

Prava i ravan mogu imati jedan od sledeih meusobnih poloaja:

1. Prava lei u ravni ako je vektor koji odreuje pravac prave ortogonalan na

vektor ravni , i ako bilo koja taka prave , oznaimo je sa , pripada

ravni , znai:

tj. ,




76/230

odakle dobijamo uslov da prava lei u ravni:

2. Prava i ravan su meusobno paralelne ako su vektori i meusobno ortogonalni i

ako prava i ravan nemaju zajednikih taaka; ako sa oznaimo

proizvoljnu taku prave , tada je:

tj.

to znai da e prava i ravan biti paralelne ako je:

3. Prava e prodirati kroz ravan ako je , tj. ako postoji samo jedna

zajednika ta

ka prave i ravni , ta

ka prodora , i ako je , tj.

. Napiimo jednainu prave u parametarskom obliku:

Taka prodora prave kroz ravan mora zadovoljavati jednainu ravni ; znai ako u

optoj jednaini ravni stavimo vrednosti iz jedna

ine prave dobijamo:




77/230

odnosno

odakle se pomou dobijene vrednosti za parametar odreuju koordinate take prodora

, zamenom u jednaini prave.

Ugao prave prema ravni.

Def: Ugao izmeu prave i ravni predstavlja ugao izmeu prave i njene projekcije na

tu ravan.

Primetimo da je , te je:

odnosno ugao izmeu prave i ravni je dat izrazom:

Ako je prava ortogonalna na ravan , tada je , odnosno vektori i su kolinearni




78/230


79/230

tj. ako je normalni vektor huper-ravni , tada je proizvoljni vektor

ortogonalan na normalni vektor hiper-ravni

, tj.

to predstavlja vektorsku jednainu hiper-ravni.

GLAVA 2ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE I ANALITIKE GEOMETRIJE

2.1 Vektori

2.1.1 Pojam vektora. Osnovne operacije s vektorima

2.1.2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

2.1.3 Vektorski prostor 2.1.4 Skalarni proizvod

2.1.5 Vektorski proizvod

2.1.6 Meoviti proizvod tri vektora

2.2 Matrice i determinante

2.2.1 Pojam matrice

2.2.2 Sabiranje matrica. Mnoenje matrice brojem

2.2.3 Determinante

2.2.4 Rang matrice

2.2.5 Mnoenje matrice matricom

2.2.6 Inverzna matrica 2.3 Sistemi linearnih algebarskih jednaina

2.3.1 Reavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednaina

2.3.2 Reavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednaina

2.3.3 Gausov algoritam

2.4 Elementi analitike geometrije

2.4.1 Jednaina prave u ravni

2.4.2 Jednaina ravni u prostoru

2.4.3 Meusobni poloaj dveju ravni

2.4.4 Jednaina prave u prostoru

2.4.5 Meusobni poloaj dveju pravih u prostoru

2.4.6 Meusobni poloaj prave i ravni

2.4.7 Pojam hiper-ravni




80/230

Razmatraju se klase funkcija kod kojih su i oblast definisanosti i skup vrednosti mnotva realnih

brojeva, , tj. takozvane realne funkcije realne promenljive. Ako po zakonu

korespondencije realnom broju odgovara realni broj , , piemo i

nazivamo nezavisno promenljivom ili argumentom funkcije, dok je - zavisnopromenljiva.

Skup svih vrednosti koje se mogu davati nezavisno promenljivoj naziva se oblastdefinisanosti funkcije, ili domen funkcije, a odgovarajue vrednosti koje moe dobijati zavisnopromenljiva predstavljaju skup vrednosti funkcije.

Primer: Funkcija ili je svuda definisana, tj. na skupu svih realnih

brojeva, a takoe je to funkcija na celom skupu realnih brojeva jer je svaki realni broj

korespondiran broju ; navedena funkcija je injektivna jer, ako je tada je

, tj. . Dakle, funkcija preslikava skup realnih brojeva na

skup realnih brojeva, tj. .

Nain zadavanja funkcije1. Tablini nain zadavanja funkcije

2. Zadavanje funkcije njenim grafikom

3. Zadavanje funkcije analitikim izrazom

Primer: Funkcija ima sledei analitiki izraz:




81/230

4. Zadavanje funkcije pomou parametara

Primer: Neka je data funkcija .

Eliminacijom parametra dobijamo funkciju .

Operacije na skupu realnih funkcija1) Zbir. Neka su date dve realne funkcije jedne nezavisno promenljive i . Zbir

ove dve funkcije e biti funkcija koja svakom realnom broju korespondira broj

tj.

.

Ako je - oblast definisanosti funkcije , a - oblast

definisanosti funkcije , tada e oblast definisanosti funkcije ,

, biti:




82/230

.

2) Proizvod funkcija predstavlja funkciju koja svakom realnom broju

korespondira broj , tj.

Za funkciju oblast definisanosti e biti:

.

Osnovne elementarne funkcije1. Stepene funkcije:

2. Eksponencijalne funkcije:

3. Logaritamske funkcije:

4. Trigonometrijske funkcije:

5. Inverzne trigonometrijske funkcije:

Def:Elementarnim funkcijama nazivaju se funkcije koje se mogu zadati analitikim izrazom

, dobijenim iz osnovnih elementarnih funkcija i konstanti pomou konano mnogo

operacija sabiranja, oduzimanja, mnoenja, deljenja i kompozicije funkcija.

Def: Ureeni skup elemenata obrazuje niz ako se svakom prirodnom broju




83/230

po nekom zakonu korespondira po jedan i samo jedan element .

Dakle, niz je funkcija prirodnog argumenta tj. funkcija ija je oblast definisanosti skup prirodnihbrojeva . Niz je dat ako su mu poznati svi lanovi ili kad je data formula (odnosno zakon

korespondencije ) po kojoj se moe odrediti bilo koji lan niza . Niz se oznaava

sa .

Primer:

Aritmetiki niz se moe predstaviti pomou prvog lana i konstantne razlike (diferencije)

:

Razlika dva uzast

Skripta Iz LAG-A I Mate Ma Tike

Documents

Transcript of Skripta Iz LAG-A I Mate Ma Tike