Xác suất thống kê Tác giả: Lê Đức Vĩnh, Trường ĐH Nông Nghiệp Hà nội, 2009

8/12/2019 Xác suất thống kê Tác giả: Lê Đức Vĩnh, Trường ĐH Nông Nghiệp Hà nộ i, 2009

http://slidepdf.com/reader/full/xac-suat-thong-ke-tac-gia-le-duc-vinh-truong-dh-nong-nghiep 1/156http://www.ebook.edu.vn

BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠOTRƯỜ NG ĐẠI HỌC NÔNG NGHI ỆP I

**********************

Ths.LÊ ĐỨ C V ĨNH

GIÁO TRÌNH

XÁC SU ẤT TH ỐNG KÊ

HÀ NỘI - 2006WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Tr ườ ng Đại học Nông nghi ệ p Hà N ội – Giáo trình Giáo trình Xác su ấ t thố ng kê…………………….. 1

Chươ ng 1 : Phé p th ử . Sự kiệ n

Những kiến thức về giải tích tổ hợ p sinh viênđã đượ c học trong chươ ng trình phổthông. Tuy nhiênđể giúp ngườ i học dễ dàng tiếp thu kiến thức của những chươ ng kế tiếp

chúng tôi giớ i thiệu lại một cách có hệ thống những kiến thức này. Phép thử ngẫu nhiênvà sự kiện ngẫu nhiênlà bướ c khở i đầu đểngườ i học làm quen vớ i mônhọc Xác suất.Trong chươ ng này chúng tôi trình bày những kiến thức tối thiểu về sự kiện ngẫu nhiên,các phép toán về các sự kiện ngẫu nhiên, hệ đầy đủ các sự kiện đồng thờ i chỉ ra cáchphân chia một sự kiện ngẫu nhiên theo một hệ đầy đủ. Những kiến thức này là cần thiếtđểngườ i học có thể tiếp thu tốt những chươ ng tiếp theo.

I. Giải tí ch t ổ hợ p

1.Qui t ắc nhân : Trong thực tếnhiều khiđể hoàn thành một công việc, ngườ i ta phải thựchiện một dãy liên tiếp khànhđộng.

Hành động thứ nhất: có 1 trong n1 cách thực hiệnHành động thứ hai:có1 trong n2 cách thực hiện. . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . .Hành động thứ k: có 1 trong nk cách thực hiện

Gọi n là số cách hoàn thành công việc nói trên, tacó:n = n1n2..nk

Qui tắc trêngọi là qui tắc nhân.Ví dụ: Để đi từ thành phốA tớ i thành phốC phải quathành phốB. Có một trong bốn

phươ ng tiện để đi từ A tớ i B là: đườ ng bộ, đườ ng sắt, đườ ng khôngvà đườ ng thuỷ. Có

một trong hai phươ ng tiện để đi từ B tớ i C là đườ ng bộ và đườ ng thuỷ. Hỏi có bao nhiêucáchđi từA tớ i C?Đểthực hiện việc đi từA tớ i C ta phải thực hiện một dãy liên tiếp haihànhđộng.

Hành động thứ nhất: chọn phươ ng tiện đi từA tớ i Ccón1= 4cáchHành động thứ hai:chọn phươ ng tiện đi từB tớ i Ccón2 = 2cách

Vậy theo qui tắc nhân, số cách đi từA tớ i Clà n= 4.2 = 8cách

2.Qui t ắc cộng:Để hoàn thành công việc ngườ i tacó thể chọn một trong k phươ ng án.

Phươ ngán thứ nhất: có 1 trong n1 cách thực hiệnPhươ ngán thứ hai:có1 trong n2 cách thực hiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Phươ ngán thứ k: có 1 trong nk cách thực hiện

Gọi n là số cách hoàn thành công việc nói trên, tacó:n = n1 + n2 +. . . ..+ nk W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Qui tắc trêngọi là qui tắc cộngVí dụ: Một tổsinh viên gồm hai sinh viênHàNội, ba sinh viên NamĐịnh và ba sinh

viên ThanhHoá. Cần chọn hai sinh viêncùng tỉnh tham giađội thanh niên xungkích.Hỏi cóbao nhiêucáchchọn.

Phươ ngán thứ nhất: Chọn hai sinh viênHàNội cón1= 1cáchPhươ ngán thứ hai:Chọn hai sinh viên NamĐịnh cón2= 3cáchPhươ ngán thứ ba:Chọn hai sinh viên ThanhHoá cón3= 3cách

Theo qui tắc cộng tacó số cách chọn hai sinh viên theo yêu cầu:n = 1 + 3 + 3 = 7cách

3.Hoán vị Trướ c khiđưa rakhái niệm một hoán vị của n phần tử ta xét ví dụsau:.

Ví dụ: Có ba học sinh A,B,Cđượ c sắp xếp ngồi cùng một bàn học. Hỏi có bao nhiêucách sắp xếp?

Có một trongcác cách sắp xếp sau:ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.Nhận thấy rằng:Đổi chỗbất kỳhaihọc sinhnào cho nhau tađượ c một cách sắp xếpkhác. Từmột cách sắp xếp banđầu, bằng cáchđổi chỗ liên tiếp haihọc sinh cho nhau tacó thể đưa về các cách sắp xếp còn lại. Mỗi một cách sắp xếp như trêncòn đượ c gọi làmột hoán vị của ba phần tửA, B, C. Tổng quát vớ i tập hợ p gồm n phần tử ta có địnhnghĩ a sau:3.1 Định nghĩ a : Một hoán vị của n phần tử làmột cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó.3.2 S ố hoán vị của n ph ần t ử : Vớ i một tập gồm n phần tử đãcho. Số tất cả các hoán vịcủa n phần tử kýhiệu là Pn.Ta cần xây dựng công thức tính Pn.

Để tạo ra một hoán vị của n phần tử ta phải thực hiện một dãy liên tiếp nhànhđộng.Hànhđộng thứ nhất: Chọn 1 phần tử xếp đầu có n cáchchọnHànhđộng thứ hai:Chọn 1 phần tử xếp thứ 2 có n-1cáchchọn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hànhđộng cuối: Chọn phần tử còn lại xếp cuối có 1 cách chọn

Theo qui tắc nhân, số cách tạo ra 1hoán vị của n phần tử làPn = n.(n-1) ....2.1= n!

4. Chỉnh h ợ p không l ặp

4.1 Định nghĩ a : Một chỉnh hợ p không lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp cóthứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đãcho.Ví dụ: Có5 chữ số1, 2, 3, 4, 5.Hãy lập tất cả các sốgồm 2 chữ số khác nhau

Các số đó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.Mỗi một số trên chính là một cách sắp xếp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau lấy từnăm phần tử lànăm chữ số đãcho. Vậy mỗi số là chỉnh hợ p không lặp chập haicủa nămphần tử.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4.2 S ố các chỉ nh hợ p không l ặ p: Số các chỉnh hợ p không lặp chập kcủa n phần tử kíhiệulà k

nA . Ta xây dựng công thức tính knA .

Để tạo ra một chỉnh hợ p không lặp chập k của n phần tử ta phải thực hiện một dãy liêntiếp khành động.

Hànhđộng thứ nhất: chọn 1 trong n phần tử đểxếp đầu: có n cáchHànhđộng thứ hai:chọn 1 trong n-1 phần tử đểxếp thứ 2: cón -1cách. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .Hànhđộng thứ k: chọn 1 trong n-k+1 phần tử đểxếp cuối: có n-k+1cách

Theo qui tắc nhân: Số cách tạo ra một chỉnh hợ p không lặp chập kcủa n phần tử là:knA = n(n-1).. ....(n-k+1)

Đểdễnhớ ta sử dụng công thức sau:

)!kn(!n

1.2)......kn(1.2).......kn().1kn)...(1n.(n)1kn)....(1n.(nAk

n −=

−−

+−−=+−−=

5. Chỉnh h ợ p lặp: Đểhiểu thế nào là một chỉnh hợ p lặp taxét ví dụsau:Ví dụ: Hãy lập các sốgồm 2 chữ số từ 4 chữ số: 1, 2, 3, 4.Các số đó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.Mỗi số trongcác số nói trênlà một cách sắp xếp có thứ tự gồm hai chữ số, mỗi chữ sốcó thể cómặt đến hai lần lấy từ bốn chữ số đãcho. Mỗi cách sắp xếp như vậy còn gọi làmột chỉnh hợ p lặp chập haicủa bốn phần tử. Tổng quát hoáta có địnhnghĩ a sau:5.1 Định nghĩ a : Một chỉnh hợ p lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tựgồm k phần tử màmỗi phần tử lấy từ n phần tử đãchocó thể cómặt nhiều lần.5.2 S ố các chỉ nh hợ p lặ p ch ậ p k :Số các chỉnh hợ p lặp chập k của n phần tử đượ c ký hiệu là k

nA . Ta sẽ đưa ra công thứctính k

nA .Để tạo ra một chỉnh hợ p lặp chập k của n phần tử ta phải thực hiện một dãy liên tiếp khành động.

Hànhđộng thứ nhất: chọn 1 trong n phần tử xếp đầu có n cáchHànhđộng thứ hai:chọn 1 trong n phần tử xếp thứ 2 cón cách. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hànhđộng thứ k: chọn 1 trong n phần tử xếp thứ k có n cách

Theo qui tắc nhân tacó: knA = nk

6.Tổ hợ p: Các khái niệm trên luônđể ý đến trật tự của tập hợ p ta đang quansát. Tuynhiên trong thực tế cónhiều khi tachỉ cần quan tâm tớ i các phần tử của tập con của mộttập hợ p mà không cần để ý đến cách sắp xếp tập conđó theo một trật tự nào. Từ đây tacó khái niệm về tổhợ p như sau6.1 Định nghĩ a : Một tổhợ p chập k của n phần tử làmột tập con gồm k phần tử lấy từ nphần tử đãcho.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ví dụ: Cho tập hợ p gồm bốn phần tử a,b,c,d.Hỏi có bao nhiêu tập con gồm haiphần tử?Các tập conđó làa,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,dVậy tập hợ p gồm bốn phần tử a,b,c,dcó sáu tập con vừa nêu.6.2: S ố t ổhợ p ch ậ p k của n ph ần t ử có kýhiệu là k

nC

Bằng cáchđổi chỗ các phần tử cho nhau, một tổ hợ p chập k của n phần tử có thể tạo rak! chỉnh hợ p không lặp chập kcủa n phần tử. Có k

nC tổhợ p chập kcủa n phần tử tạo ra knA chỉnh hợ p không lặp chập kcủa n phần tử.

Vậy tacó :)!kn(!k

!n!k

ACknk

n −==

7.Tổhợ p lặp:7.1 Định nghĩ a : Một tổhợ p lặp chập kcủa n phần tử làmột nhóm không phân biệt thứ tựgồm k phần tử, mỗi phần tử cóthể cómặt đến k lần lấy từ n phần tử đãcho.

Ví dụ: Cho tập a,b,c gồm 3 phần tử Các tổhợ p lặp của tập hợ p trênlà a,a,a,b,a,c,b,b,b,c,c,c7.2 S ố các t ổ hợ p lặ p ch ậ p k của n ph ần t ử kýhiệu là:. k

nC

Việc tạo ra một tổ hợ p lặp chập k của n phần tử tươ ng đươ ng vớ i việc xếp k quả cầugiống nhauvào n ngăn kéo đặt liền nhau, hai ngăn liên tiếp cùng chung một vách ngăn.Các vách ngăn trừ vách ngăn đầu và cuối có thể xê dịch và đổi chỗ cho nhau. Mỗi cáchsắp xếp k quảcầu giống nhauvào n ngăn là một cách bố trín+k-1 phần tử ( gồm k quảcầu và n-1vách ngăn) theo thứ tự từ phải sangtrái. Cách bố tríkhôngđổi khicác quảcầuđổi chỗ cho nhau hoặc các vách ngăn đổi chỗ cho nhau.Cách bố tríthayđổi khicác quảcầu và các vách ngăn đổi chỗ cho nhau. Tacó (n+k-1)!cách bố trín+k-1 phần tử (gồm kquảcầu và n-1 vách ngăn). Số cách đổi chỗ k quảcầu là k! , số cách đổi chỗ n-1 váchngăn là (n-1)! . Vậy tacó số các tổhợ p lặp chập kcủa n phần tử là:

k k n

k n C

nk k n

C 1)!1(!)!1(ˆ

−+=−−+

=

Ví dụ: Tại một trại giốnggà cóba loại gà giống A, B, C. Một kháchhàngvào địnhmua 10 con.Hỏi cóbao nhiêucách mua (giảsử rằng số lượ ngcác giống gà A, B, C mỗiloại của trại đều lớ n hơ n 10).Ta thấy mỗi một cách mua 10 congà chính là một tổhợ p lặp chập 10của 3 phần tử. Vậysố cách mualà: 10

3C = 1012C = 66

8. Nhị thứ c Newton

Ta có: 2012

1112

0202

222 baCbaCbaCbab2a)ba( ++=++=+ 303

3212

3121

3030

332233 baCbaCbaCbaCbab3ba3a)ba( +++=+++=+

Mở rộng ra:n0n

nkknk

n11n1

n0n0

nn baC................baC........baCbaC)ba( +++++=+ −−

Công thức trêngọi là công thức nhị thức Newton.Ta chứng minh công thức nhị thức Newton theo quinạp..WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vớ i n = 2 tacó công thức đúng.Giảsử công thức đúng vớ i n = m tức là:

m0mm

11m1m

0m0m

m baC.......baCbaC)ba( +++=+ − Ta sẽchứng minh:

1m01m1m

1m11m

01m01m

1m

baC.........baCbaC)ba( ++

+++

++

+++=+ Thật vậy:

)ba)(baC...baC...baC()ba()ba()ba( m0mm

kkmkm

0n0m

m1m +++++=++=+ −+ =>1011101101 )(...)(...)()( +−−+−++ +++++++=+ mm

mmm

k k mk m

k m

mmm

m baC C baC C baC C ba

Mặt khác: k1m

km

1km CCC +

− =+ suy ra:1m01m

1m1m1

1m01m0

1m1m baC.........baCbaC)ba( ++

+++

++ +++=+ .

Theo nguyênlý quinạp công thức nhị thức Newtonđượ c chứng minh.

Ví dụ: Tìm hệsố của x12 trong khai triển: 20

2)1(

x x +

Ta có: 202020

k220k20

20020

20

x1C.......xC........xC)

x1x( ++++=+ − .

Xét 20 - 2 k = 12=> k = 4 Vậy hệsố của x12 là: 47454

20 =C

II. Phé p th ử , sự kiệ n

1.Phép th ử ngẫu nhiên và không ng ẫu nhiên

Một phép thử có thể coi là một thí nghiệm, một quansát các hiện tượ ng tự nhiên,cáchiện tượ ngxã hội và các vấn đề kĩthuật vớ i cùng một hệ điều kiện nào đó.Trongcác loại phép thử cónhững phép thử mà khi bắt đầu tiến hành thực hiện tađã biếtđượ c kết quả sẽ xảy ra sau khi thử như đun nướ c ở điều kiện bình thườ ng (dướ i áp suất 1atmotphe)thì đến 100oC nướ c sẽsôi, hoặc cho dungdịch NaOH không dư vào dungdịchHClcũng không dư ta thuđượ c muối ăn NaClvà nướ c H2O.Những phép thử màkhi bắt đầu tiến hành thử ta biết đượ c những kết quả nào sẽ xảy rasau khi thử đượ c gọi là các phép thử không ngẫu nhiên.Tuy nhiêncó rất nhiều loại phép thử màngay khi bắt đầu tiến hành phép thử ta khôngthể biết đượ c những kết quả nào sẽ xảy ra sau khi thử chẳng hạn như khi gieo 100hạt

đậu giống, số hạt nảy mầm sau một thờ i gian gieocó thể làtừ 0 đến 100 hoặc khi choấp10 quảtrứng thì số trứng gà cóthểnở ra gà conlà từ 0 đến 10 con. Những phép thử loạinày gọi là những phép thử ngẫu nhiên.Tronggiáo trình này chúng tachỉ quan tâm tớ i những phép thử ngẫu nhiên,đó lànhững

phép thử màkhi bắt đầu tiến hành thử ta chưa thể biết những kết quả nào sẽ xảy ra.Đểđơ n giản từ đây trở đi khinói tớ i phép thử ta phải hiểu đấy là phép thử ngẫu nhiênWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2. Sự kiện:Các kết quả cóthể có của một phép thử ứng vớ i một bộ các điều kiện xác định nào đó gọilà các sự kiện ngẫu nhiên hoặc đơ n giản gọi là các sự kiện hoặc các biến cố.Ta thườ ng lấy các chữ cái A, B, C, D. . .. . . hoặc Ai, B j, Ck, Dn.. . .để chỉ các sự kiện.

Ví dụ1: Tung một conxúc xắc cânđối và đồng chất có thể có các sự kiện sau:A: Sự kiện xuất hiện mặt chẵnB: Sự kiện xuất hiện mặt lẻ Ai: Sự kiện xuất hiện mặt có i chấm.

Ví dụ2: Trong một giỏ đựng hoaquả cóchứa 1 quảcam, 1quả quýt, 1quả đào và 1quảlê. Chọn ngẫu nhiên ra 2quả cóthểcó các sự kiện sau:

A: Haiquả đượ c chọn gồm 1 cam 1quýtB: Haiquả đượ c chọn gồm 1 cam 1đàoC: Haiquả đượ c chọn gồm 1 cam 1 lêD: Haiquả đượ c chọn gồm 1quýt 1 lê

E: Haiquả đượ c chọn gồm 1quýt 1đàoG: Haiquả đượ c chọn gồm 1đào 1 lê

3. Sự kiện t ất yếu và sự kiện không th ể có Sự kiện tất yếu hoặc sự kiện chắc chắn là sự kiện nhất thiết phải xảy ra sau khi phép thửđượ c thực hiện. Takí hiệu sự kiện này là Ω ..Sự kiện không thể cóhoặc sự kiện bất khảhoặc sự kiện rỗng là sự kiện không bao giờxảy ra sau khi thử. Ta kí hiệu sự kiện này là φ .

Ví dụ: Đứng tại HàNội ném một hòn đá

Sự kiện đá rơ i xuốngđịa giớ i Việt Namlà sự kiện tất yếuSự kiện đá rơ i xuốngĐại Tây Dươ ng là sự kiện bất khả.4. Quan h ệgiữ a các sự kiện, hai s ự kiện b ằng nhauSự kiện Ađượ c gọi là kéo theo sự kiện B nếu Axảy rathì B cũngxảy ravà kíhiệuA B ( hoặc A B).Nếu Akéo theo Bvà B kéo theo Athì ta nói A bằng Bvà viết A = B. Trongxác suất haisự kiện bằng nhauđượ c coilà một

Ví dụ: Một học sinh thi hết một mônhọcA là sự kiện học sinhđó đỗ(đạt điểm từ 5 tớ i 10)B là sự kiện học sinhđó đỗtrung bình hoặc khá(đạt điểm từ 5 tớ i 8)C là sự kiện học sinhđó đỗ kháhoặc giỏi

G là sự kiện học sinhđó đỗ giỏi (đạt điểm 9, 10)K là sự kiện học sinh dố đỗ khá(đạt điểm 7, 8)TBlà sự kiện học sinhđó đỗtrung bình (đạt điểm 5, 6)Ai là sự kiện học sinhđó đạt i điểm (i = 0, 1, . . . .,9, 10).

Ta có: ...TBA;KA;BA;GA;AA;AC;AB;AG 57796 WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




5.Các phép tính v ề sự kiện5.1 Phé p hợ p: Hợ p của 2 sự kiện Avà B là sự kiện C, sự kiện Cxảy ra khi Axảy ra hoặcB xảy ra.Kí hiệu: CBA = Υ và đọc là A hợ p B bằng CTa có thểmôtảhợ p của 2 sự kiện Avà B bằnghình vẽsau:

Hình 1Dựa vào hình vẽ trên có thể thấy C xảy ra khi:

• A xảy ra và B không xảy ra.• B xảy ra và A không xảy ra.• Cả A và B cùng xảy ra.

Vì vậy có thểnói hợ p của hai sự kiện A và B là một sự kiện C xảy ra khi ít nhất 1 trong 2sự kiện A, B xảy ra.Ví dụ: Một sinh viên thi hết một mônhọc

Gọi : Alà sự kiện sinh viênđókhông phải thilại (điểm thi từ 5 đến 10)B là sự kiện sinh viênđó đạt điểm trung bình khá(điểm thi từ 5 đến 8)C là sự kiện sinh viênđó đạt điểm khá giỏi ( điểm thi từ 7 đến 10)

Ta có: A = CB Υ .5.2 Phé p giao : Giaocủa 2 sự kiện A và B là sự kiện D, sự kiện D xảy ra khicảA và Bcùng xảy ra.Kí hiệu: D B A =Ι hoặc AB = D và đọc là A giao B bằng D hoặc A nhân B bằng DHình vẽsau môtảgiaocủa 2 sự kiện Avà B

Hình 2Ví dụ: Quaylại ví dụ ở mục 5.1

Gọi K là sự kiện sinh viênđó đạt điểm khá(điểm thi từ 7 đến 8)Ta có: K = C B Ι Nếu φ=BA Ι ta nói Avà B là 2 sự kiện xung khắc vớ i nhau. Khi A xung khắc vớ i B thìhợ p của 2 sự kiện Avà B đượ c kí hiệu là A + Bvà đọc là A cộng B.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




5.3 Phé p tr ừ . S ự kiện đố i lậ p: Hiệu của sự kiện A trừ sự kiện B là sự kiện E, sự kiện Exảy ra khi Axảy ravà B khôngxảy ra.Kí hiệu: A\B= Evà đọc là A trừB bằng ETa cũng có thểmôtảhiệu của sự kiện A trừ sự kiện B bằng hìnhvẽ sau:

Hình 3Dễnhận thấy rằng: Nếu A BΙ = φ thìA \ B = A

Sự kiện : A \ Ω Gọi là sự kiện đối lập của sự kiện Avà kíhiệu là__A .

Từ địnhnghĩ a sự kiện đối lập của sự kiện A ta thấy:

* Avà__A. xung khắc vớ i nhau

* Nếu A khôngxảy rathì__A xảy ravà ngượ c lại

Hai sự kiện đối lập nhau xung khắc vớ i nhau “mạnh mẽ” theo kiểu có anh thì khôngcótôi nhưng khôngcóanhthì phải có tôi.

Ví dụ: Một tổ học sinh gồm 3học sinh nam 3học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 ngườ i.Gọi : Alà sự kiện 2học sinhđượ c chọn là cùng giớ i

B là sự kiện 2học sinhđượ c chọn đều là namC là sự kiện 2học sinhđượ c chọn đều là nữ

D là sự kiện 2học sinhđượ c chọn có một nam một nữ Ta cóA \ B = C, D = A .

Hình sau môtả sự kiện đối lập của sự kiện A

Hình 45.4 Tí nh ch ấ t

1/ AA;A Ωφ 2/ AA;A;A;AA =ΩΩ=Ωφ=φ=φ Υ Υ 3/ Nếu CB;BA thì CA 4/ BAAB;ABBA == Υ Υ W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




5/ C)AB()BC(A;C)BA()CB(A == Υ Υ Υ Υ 6/ )CA)(BA()BC(A;ACAB)CB(A Υ Υ Υ Υ Υ ==

7/__BAB \ A =

8/____________________

BAAB;BABA Υ Υ == Việc chứng minhcác tính chất trên khá dễ dàng xindành cho bạn đọc. Chúng tôichỉchứng minhtính chất 8 phần 1 như là một ví dụminhhoạcho việc chứng minhcác sựkiện bằng nhau:

Ta chứng minh:___________BABA = Υ

Giảsử_______

BA Υ xảy ra theođịnh nghĩ a của sự kiện đối lập => BA Υ khôngxảy ra, theođịnh nghĩ a của hợ p hai sự kiện => A khôngxảy ravà B khôngxảy ra,lại theođịnh nghĩ a

của sự kiện đối lập => A xảy ravà__B xảy ra, theođịnh nghĩ a của phép giao hai sự kiện

=>____

BA . xảy ra.

Vậy tacó:___________BABA Υ (1)

Ngượ c lại giảsử____BA xảy ra, theođịnh nghĩ a của phép giao, =>

__A xảy ravà

__B xảy ra,

lại theođịnh nghĩ a của sự kiện đối lập => A khôngxảy ravà B khôngxảy ra, theođịnhnghĩ a của hợ p hai sự kiện => BA . khôngxảy ra, theođịnh nghĩ a của sự kiện đối lập

=>_______

BA Υ xảy ra. Vậy tacũngcó:____________

BABA Υ (2)

Từ (1) và (2) =>___________BABA = Υ

6. Sự kiện có thểphân chia đượ c, sự kiện sơ cấp cơ bản6.1 S ự kiện có thể phân chia đượ cSự kiện Ađượ c gọi là cóthểphân chiađượ c nếu tồn tại hai sự kiện B φ ≠ , C φ ≠ ,BC =φ vàA = B + C. Khiđó ta nói A phân chiađượ c thành hai sự kiện Bvà C.

Ví dụ: Trong một conxúc xắc cânđối và đồng chất.Gọi Alà sự kiện xuất hiện mặt có sốchấm chia hết cho 3.Gọi Ai là sự kiện xuất hiện mặt i chấm

Sự kiện Acó thểphân chiađượ c vì tồn tại A3; A

6φ=φ≠

63AA; và A = A

3 + A

6.

6.2 S ự kiện sơ cấ p cơ bản: Sự kiện khác rỗng và không thểphân chiađượ c gọi là sự kiệnsơ cấp cơ bản.

Ví dụ: Quaylại ví dụ ở mục 6.1.Các sự kiện A1, A2, A3, A4, A5, A6 là các sự kiện sơ cấp cơ bản.Ta nhận thấy rằng các sự kiện sơ cấp cơ bản là các sự kiện mà sau một phép thử chỉ cómột trongcác sự kiện này xảy ra.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM


http://slidepdf.com/reader/full/xac-suat-thong-ke-tac-gia-le-duc-vinh-truong-dh-nong-nghiep 11/156




HọC đượ c gọi là đại số các sự kiện nếu yêu cầu 1, 2 nêu trên thoả mãn và hợ p của mộtsốhữu hạn các sự kiện thuộc C cũng là một sự kiện thuộc C. Ta nhận thấy rằng nếu C là

−σ đại số các sự kiện thìC cũng là một đại số các sự kiện.Ví dụ: Tungđồng thờ i 2đồng tiền, các sự kiện sơ cấp cơ bản là:

SS, SN, NS, NN.Xét Ω = SS + SN +NS +NN.Tập tất cả các tập hợ p concủa Ω làmột đại số các sự kiện.và cũng là một −σ đại số cácsự kiện

Bài tậ p ch ươ ng 1

1. Một đoạn gen gồm 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên kết vớ i nhau theo một hàngdọc.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




a. Hỏi có bao nhiêucách liên kết 8 gennói trên?b. Hỏi có bao nhiêucách liên kết để2 gen Xđứng liền nhau?c. Hỏi có bao nhiêucách liên kết để có3 gen XYZđứng liền nhau theo thứ tự trên.

2. Có10 ngườ i xếp theo một hàng dọca. Cóbao nhiêucách sắp xếp để2 ngườ i Avà B đứng liền nhau?b. Cóbao nhiêucách sắp xếp để2 ngườ i Avà B đứngcách nhauđúng 3 ngườ i?

3. Có thể lập đượ c bao nhiêu sốgồm 10 chữ số khác nhau sao cho:a.Khôngcó2 chữ sốchẵn nào đứng liền nhaub. Khôngcó 2 chữ số lẻ nào đứng liền nhauc. Các chữ sốchẵn đứng liền nhaud. Các chữ số lẻ đứng liền nhau

4. Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6a. Có thể lập đượ c bao nhiêu sốgồm 8 chữ số sao cho chữ số1 và chữ số2 mỗi chữ sốcómặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần.b. Cóthể lập đượ c bao nhiêu sốchẵn gồm 8 chữ số trongđó chữ số2 có mặt đúng 3 lần,các chữ số còn lại cómặt đúng một lần.c. Có thể lập đượ c bao nhiêu số lẻgồm 8 chữ số trongđó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần,các chữ số còn lại cómặt đúng 1 lần.

5*. Trong một kì thi tinhọc quốc tế tại một khu vực gồm 6 phòng thiđánh số từ 1 đến

6 dành cho bađoàn Việt nam ,Mĩ vàNga mỗi đoàn gồm 4 thí sinh. Mỗi phòng thicó 2 máy tính (khôngđánh số) dành cho 2 thí sinh. Việc xếp 2 thí sinhvào mỗi phòng thi theonguyên tắc hai thí sinhcùng một quốc tịch khôngđượ c xếp cùng một phòng. Hỏi có baonhiêucách sắp xếp các thí sinhcủa bađoàn vào 6 phòng?

6*.Dọc theo hai bênđườ ng vào một trườ ng tronghọc ngườ i ta dự định trồng mỗi bên 3cây bàng, 3 cây phượ ng và 3 cây bằng lăng.a. Hỏi có bao nhiêucách trồng để các câycùng loại trồngđối diện nhau?b. Hỏi có bao nhiêucách trồngđểkhôngcó hai câycùng loại nào trồngđối diện nhau?

7*. Vòng chung kết giải vôđịch bóngđá châu Âu gồm 16đội trongđó có đội chủ nhà vàđội vôđịch bốn năm trướ c.a. Cóbao nhiêucách chia 16đội vào bốn bảng A, B, C, D.b, Có bao nhiêucách chia 16đội vào bốn bảng A, B, C, D sao chođội chủ nhà và độivô địch bốn năm trướ c khôngcùng bảng.c. Giải bài toán trên trong trườ ng hợ p khôngđể ýtớ i vaitrò của các bảng.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




8. Một đàn gà gồm 4 congà mái và 6 congà trống. Trong 4 congà mái có 2 conmàuvàng, 2 conmàu đen. Trong 6 congà trống có 3 conmàu vàng và 3 conmàu đen. Chọnngẫu nhiên 2 congà a. Cóbao nhiêucách chọn để đượ c 1 con trống 1 conmáib. Cóbao nhiêucáchchọn để đượ c 2 con màu vàngc. Cóbao nhiêucách chọn để đượ c1 con trống 1 conmái cùng màu

9. Một tổ sinh viên gồm 6 nam 4 nữ. Trong 6 namcó 2 sinh viênHà Nội và 4 sinh viêntỉnhHàTây. Trong 4 nữ có2 nữ sinhHàNội và 2 nữ sinhThái Bình.Chọn ngẫu nhiên ra3 ngườ ia. Cóbao nhiêucách chọn ra 3 sinh viên nam?b. Cóbao nhiêu cáchchọn ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên nữ?c. Cóbao nhiêucách chọn ra 3 sinh viên gồm đủ3 tỉnh?

10. Chođa giác đều gồm 2ncạnha. Hỏi có thể lập đượ c bao nhiêuhình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều này?b. Hỏi đa giác đều nói trêncó bao nhiêuđườ ng chéo?

11. Cho tập A = 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 a. Acóbao nhiêu tập concó ít nhất 2 chữ số nhỏhơ n 6b. Acó bao nhiêu tập concó ít nhất 2 chữ số lớ n hơ n 6

12. Có4 viên bi giống nhauđượ c bỏ vào 3 cái hộp. Hỏi cóbao nhiêucách bỏ?

13*. Có 4 hành khách đợ i tàu tại nhàga Ađể đi tớ i B. Một đoàn tàu gồm 4 toa chuẩn bịrờ i ga Ađể đi tớ i B.a. Cóbao nhiêucách lêntàu của 4 hành khách trên.b. Có bao nhiêucách lêntàu của 4 hành khách trên sao cho mỗi ngườ i lên một toa.c. Cóbao nhiêucách để 4 hành khách trên lên hai toa mỗi toa 2 ngườ i.

14. Trong khai triển 502 )

x2x( − .

a. Tìm số hạng không chứa xb. Tìm hệ số của x20

c. Tìm hệsố của x-40 15. Chứng minhcác đồng nhất thức:a. nn

nkn

1n

0n 2C......C.............CC =+++++

b. 1nnn

kn

2n

1n 2nnC.....kC........C2C −=+++++

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




c.1n12C

1n1.....C

1k1......C

21C

1nnn

kn

1n

0n +

−=

+++

++++

+

d. 1n2n2

1k2n2

3n2

1n2

n2n2

k2n2

2n2

0n2 C......C....CCC....C.....CC −+ +++++=+++++

16. Cho p, q > 0, p + q = 1.Tìm số hạng lớ n nhất trong dãy sốsau:0nn

nkknk

n1n1

nn00

n qpC;..........;qpC.......;..........;pqC;qpC −−

17. Xếp 3 ngườ i theo một hàng dọc. Nêucác sự kiện sơ cấp cơ bản

18. Từ 4 ngườ i A, B, C, D lấy ngẫu nhiên 2 ngườ i. Nêu tập các sự kiện sơ cấp cơ bản.

19. Haicá thể sinh vật có cùng kiểu gen Aa Bbđem lai vớ i nhau.Hãy nêucác kiểu gencó thể có của các cá thểcon.

20. Từ hai nhóm học sinh,nhóm thứ nhất gồm 4 học sinh nam A, B, C, Dnhóm thứ haigồm 4 học sinh nữX, Y, Z, T.Chọn mỗi nhóm ra 2học sinh.a. Chỉ ra tập các sự kiện sơ cấp cơ bản ứng vớ i phép thử trênb. Chỉ ra hai hệ đầy đủ các sự kiện.

21. Tung một lần 3đồng tiền.a.Hãy chỉ ra các sự kiện sơ cấp cơ bản.b.Hãy chỉ ra một hệ đầy đủ các sự kiện chỉ gồm hai sự kiện

22. Tungđồng thờ i hai conxúc xắc.a. Cóbao nhiêu sự kiện sơ cấp cơ bảnb. Hãy chỉ ra một hệ đầy đủ các sự kiện gồm 11 sự kiện

23. Một đa giác đều gồm 2ncạnh (n > 2).Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh.a. Cóbao nhiêu sự kiện sơ cấp cơ bản?b. Cóbao nhiêu sự kiện đểbốn đỉnh đượ c chọn lâpthành hình chữ nhật?Khi n = 3 Chọn ngẫu nhiên 3đỉnh của một lục giác đều.c. Cóbao nhiêu sự kiện sơ cấp cơ bản?d. Cóbao nhiêu sự kiện bađỉnhđượ c chọn lập thành tamgiác đều?

25. Chứng minhcác tính chất về các phép toán của các sự kiện.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 2 : Xá c su ấ t

Việc đưa ra những số đo thích hợ p đánh giá khảnăng khách quanxảy ra của mỗi sựkiện đượ c trình bày trong phần đầu của chươ ng này. Các dạng định nghĩ a xác suất từ các

định nghĩ a cổ điển tớ i định nghĩ a xác suất theo hệ tiênđề giúp ngườ i học hình dungđượ csự phát triển và tính phong phú, đa dạng của môn xác suất. Các tính chất các định lý vềxác suất đượ c trình bày ở mức tối thiểu đểngườ i học khỏi cảm thấy nặng nềkhi tiếp thuchúng. Những ví dụ đưa ra giúp ngườ i học thấy đượ c những áp dụng thực thực tế củamônxác suất và quacác ví dụ này ngườ i học có thểhiểu cách làm các bài toán xác suất.

I. Cá c đị nh nghĩ a củ a xá c su ấ t

1. M ở đầu : Khi tiến hành một phép thử, có thể cómột trong nhiều sự kiện sẽ xảy ra, mỗisự kiện là một đặc tính định tính, việc chỉ ra “số đo” khảnăng xảy ra của mỗi một sựkiện là điều cần thiết. Ta có thểhiểu xác suất của mỗi sự kiện là “số đo” khảnăng xảy racủa sự kiện đó. Việc gắn cho mỗi sự kiện một “số đo” khảnăng xảy racủa nó phải đảm bảo tính khách quan,tính hợ p lý và tính phi mâu thuẫn. Trongmục này chúng tasẽ đưara các định nghĩ a của xác suất. Mỗi dạng có những ưu và nhượ c điểm nhất định. Tuyvậy, quacác dạngđịnh nghĩ a này có thể hình dung ra sự phát triển của mônxác suất, mộtmôn học có nguồn gốc xuất phát từ những sòng bạc nhưng nhờ sự tự hoàn thiện trongquá trình phát triển nên mônxác suất không những có đầy đủ các yếu tố cơ bản của một ngành khoahọc chính xác mà còn là một trong những ngành của Toán học có thể hỗ trợcho tất cả các lĩ nh vực khoahọc khác từ khoahọc tự nhiênđến khoahọc kĩ thuật và kể cảnhững ngành tưở ng như xa lạvớ i Toán học đó là các ngành khoahọc xã hội.

2. Định nghĩ a xác su ất theo quan ni ệm đồng khả năng.2.1 Phé p th ử đồng khảnăng: Một phép thử đồng khảnăng là một phép thử mà các kếtquả trực tiếp (còn gọi là sự kiện sơ cấp) ứng vớ i phép thử này có khảnăng xuất hiện như nhau sau khi thử. Chẳng hạn khi ta gieo một conxúc xắc cânđối và đồng chất thì việcxuất hiện một trongcác mặt có số chấm từ 1 đến 6 là có khảnăng như nhau hoặc khichọn ngẫu nhiên hai trong năm ngườ i A, B, C, D, Ethì việc chọn đượ c AB hoặc CD . . .DElà có khảnăng xuất hiện như nhau.2.2 Định nghĩ a xác suấ t theo quan ni ệm đồng khảnăng:Xét một phép thử đồng khảnăng.Giảsử sau phép thử này có một trong n sự kiện sơ cấp

có thể xảy ravà cómột trong nA sự kiện sơ cấp xảy rakéo theo Axảy ra. Ta thấy lấyn

nA

làm số đo khách quanxảy ra sự kiện Alà hợ p lý. Vìvậy tacó định nghĩ a sau:

Định ngh ĩ a: Xác suất của sự kiện Alà sốP(A) =n

nA

* nlà sốkết quả đồng khảnăng sau phép thử * nA là sốkết quả xảy rakéo theo Axảy ra hoặc sốkết quảthuận lợ i cho sự kiện A haysố kết quả hợ p thành sự kiện AWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Việc tínhxác suất dựa trênđịnh nghĩ a trên phải thực hiện theotrình tự sau:* Xét phép thử đang quansát có phải là phép thử đồngkhảnăng không* Nếu phép thử là đồng khảnăng thì phải tìm sốsự kiện đồng khảnăng n* Để tính xác suất của sự kiện A ta phải tìm sốkết quả kéo theo A sauđó sử dụng địnhnghĩ a

P(A) =n

nA

2.3 Các ví dụ Ví dụ2.1: Gieo haiđồng tiền cânđối và đồng chất. Tính xác suất để cảhai cùng xuất

hiện mặt quốc huy.Gọi Alà sự kiện cảhaiđồng tiền cùng xuất hiện mặt quốc huy.Ta có: Sốsự kiện đồngkhảnăng: n = 4

Sốsự kiện kéo theo A: nA = 1 .Vậy P (A) =41

Ví dụ2.2: Một đàn gà cóbốn congà ri gồm hai mái hai trống và sáu congà tamhoàng gồm hai trống bốn mái. Chọn ngẫu nhiên hai congà Gọi Alà sự kiện hai congà đượ c chọn đều là trống

B là sự kiện hai congà đượ c chọn gồm một trống một máiC là sự kiện hai congà đượ c chọn là gà mái ri

Hãy tính xác suất của các sự kiện A, B, CTa có: Sốsự kiện đầy khảnăng là 2

10C = 45

Sốsự kiện kéo theo Alà 24C = 6

Sốsự kiện kéo theo Blà 1

6

1

4CC = 24

Sốsự kiện kéo theo Clà 22C = 1

Vậy: P(A)=152

456

= , P(B) =158

4524

= , P(C) =51

Ví dụ2.3: Cóba gen X, Y, Zvà ba gen x, y, z xếp ngẫu nhiên theo một dãy dọc. Tínhxác suất để các gen x, y, z xếp liền nhau.

Gọi Alà sự kiện cần tínhxác suấtSốsự kiện đồng khảnăng: n = 6! = 720

Sốsự kiện kéo theo A: nA = 3!4! = 144. Vậy: P(A) =5

1

720

144=

Ví dụ2.4: Haicá thểbố và mẹ cùng có kiểu gen AaBb.Tính xác suất để cáthểconcókiểu gen giống kiểu gencủa bố mẹ. Ta có bảng liên kết gen sau:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




chứng minh trong chươ ng sau. Tuyđịnh nghĩ a xác suất bằng tần suất khôngchỉ ra giá trịcụ thể xác suất của sự kiện nhưng trong thực tế khi số lần thử n là lớ n ta thườ ng lấy tầnxuất f n(A) thay choxác suất của sự kiện A.Vào cuối thế kỷ19 nhà toán học Laplace theo dõi các bản thống kê vềdân số trongvòng 10 năm của London, Peterbua, Berlinvà nướ c

Pháp ông tatìm ra tần suất sinh con traicủa ba vùng trênvà cảnướ c Pháp là43

22 . Khi

xemxét tỉ lệ sinh con traicủa Paris ôngtìm đượ c tần suất4925 , tần suất nà y nhỏ hơ n

4322 .

Ngạc nhiên về sự khác nhauđó, Laplaceđiều tra thêmvà tìm ra haiđiều thú vịsau: M ột là: Vào thờ i bấy giờ các trẻem đẻ ra không ghi tên cha trong giấy khai sinhthì

dù sinhởMarseille, Bordeaux hay bất cứ ởnơ i nào trênđất Pháp đều có trong bản thôngkê trẻsinhởParis.

Hai là: Phần lớ n nhữngđứa trẻ nói trênđều là congái.Sau khiloại những đứa trẻkhông sinhở Paris rakhỏi danhsách này thì tỉ lệ trẻtrai ở

Paris trởvềcon số43

22 .

Qua ví dụnêu trênchúng tôi muốn các nhà nông học tươ ng lai khi quansát hoặc thínghiệm thấy có một số liệu nào đó khác vớ i số liệu đã biết thì cần phải tìm nguyên do sựkhác biệt này xuất phát từ đâu, rất có thểquađó ta có thể phát hiện đượ c những điều bổích phục vụcho chuyên môn.

4. Định nghĩ a xác su ất b ằng hình họcVớ i những phép thử đồng khảnăng mà sốkết quảsau một phép thử làvô hạn thì việc sửdụng định nghĩ a xác suất ở mục 2 để tính xác suất của một sự kiện là không thực hiệnđượ c. Đểkhắc phục hạn chế này ngườ i tađưa rađịnhnghĩ a xác suất bằnghình học.

4.1 Độ đ o của một miề n: GiảsửD là một miền hình học nào đóchẳng hạn Dlà một đoạnthẳng, một hình phẳng hay một khối không gian. Số đo độ dài, diện tích, thể tích tươ ngứngđượ c gọi là độ đo của miền Dvà kíhiệu là m(D)4.2. Định nghĩ a :Xét một phép thử vớ i vôhạn kết quả đồng khảnăng,giảsử cóthể thiết lập sự tươ ngứngmột - một mỗi kết quảvớ i một điểm thuộc miền Gcó độ đo là m(G) . Mỗi kết quả kéotheo sự kiện A tươ ngứng vớ i mỗi điểm thuộc miền D Gcó độ đo m(D).

Xác suất của sự kiện Alà sốP(A) =)G(m)D(m

Ví dụ1: Một đườ ng dâycáp quang nối Hà Nội vớ i thành phốHồ ChíMinhdài 1800km gặp sự cố kĩthuật làm tắc nghẽn việc thông tin liênlạc. Sự cố kĩthuật có thể xảy raởbất cứ một vị trí nào trênđườ ng cáp quang trên vớ i cùng một khảnăng. Tính xác suất đểsự cố kĩthuật xảy racách HàNội khôngquá300km.Miền Gở đây là đườ ng cáp quang nối Hà Nội- thành phốHồ ChíMinhcó m(G) = 1800.Miền D tươ ng ứng vớ i sự kiện cần tính xác suất là đoạn cáp quang từ Hànội tớ i vị trícáchHàNội 300 km, m(D) = 300.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vậy xác suất cần tính P =61

1800300

= .

Ví dụ2: Hai ngườ i A, Bhẹn gặp nhautại một địa điểm trongquãng thờ i gian từ 12giờ đến 13 giờ theo quiướ c, ngườ i đến trướ c đợ i ngườ i đến sau khôngquá15 phút. Tínhxác suất đểhai ngườ i gặp đượ c nhau. Biết rằng mỗi ngườ i có thể đến điểm hẹn vào bấtcứ thờ i điểm nào trongquãng thờ i giannói trên.Gọi x là thờ i điểm Ađến chỗ hẹn, ylà thờ i điểm Bđến chỗ hẹn, 0 60y,x ≤≤ Việc hai ngườ i đến chỗ hẹn tươ ngứng vớ i điểm M(x, y) thuộc hình vuông OABCcócạnhdài 60đơ n vị dài. Hai ngườ i gặp đượ c nhau

+≤≤−≤− 15xy15x15yx M(x, y) thuộc hình ODEBGH.

Hình 1Ta có miền Glà hình vuông OABC, miền Dlà hình ODEBGH.

m(G) = 602 , m(D)= 602- 452.

Vậy xác suất cần tính P =

16

7

16

91

60

4560

)G(m

)D(m2

22

=−=−

=

Một số bài toán thực tếnhư quá trình thụphấn, quá trình thụtinh ....có thể áp dụng như bài toán gặp gỡ nói trên.

5. H ệ tiên đềKolmogoropMặc dùra đờ i từ thế kỉ17 nhưng do nguồn gốc xuất phát và những khái niệm đượ c nêura có tính môtả thiếu những luận cứ khoahọc nêncảmột quãng thờ i giandài từ thế kỉ17đến trướ c những năm 30của thế kỉ20xác suất khôngđượ c coilà một ngành toán họcchính thống.Mãi tớ i năm 1933 khinhà toán học Nga A.N Kolmogorop xây dựng hệ tiênđềcholý thuyết xác suất thì xác suất mớ i đượ c công nhận là một ngành toán học chínhthống sánh nganghàng vớ i nhiều ngành toán học khác như số học, hìnhhọc, đại số, giảitích...Tuy đượ c chấp nhận muộn màng nhưng xác suất đã cómặt trong hầu hết các lĩ nh vựckhoahọc từ khoahọc tự nhiên , khoahọc kĩ thuật dến khoahọc xã hội. Vì làmột giáotrình dành chocác ngành không chuyên về toán chúng tôichỉ có ý định trình bày sơ lượ chệ tiênđề về lýthuyết xác suất do A.N Kolmogoropđưa raXét C làmột σ - đại số các sự kiện . Xác suất P là một hàm xác định trên C thoả mãn :

1/ P(A)≥ 0 A CWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2/ 1)(P =Ω 3/ Nếu A1, A2 , ... ,An,.. . . . . . . ... xung khắc từngđôi, An C , n =1,2,...thì

∑∑∞

=

∞

=

=1i

i1i

i )A(P)A(P

Bộba ( ,Ω A, P )đượ c gọi là không gianxác suất.

II Cá c tí nh ch ấ t và cá c đị nh lý

1. Các tí nh ch ất.Để đơ n giản, tachỉ sử dụngđịnh nghĩ a theo quanđiểm đồngkhảnăng đểchứng minhcác tính chất sẽnêu trongmục này. Tuy nhiêncác tính chất đó cũngđúng vớ i mọi dạngđịnh nghĩ a xác suất khác.

1/ 1)A(P0 ≤≤ vì 1n

n)A(Pn

n0nn0 AA =≤=≤≤≤

2/ 1)(,0)( =Ω= PP φ vì nn,0n == Ωφ suy rađiều cần chứng minh.3/ Nếu φ =∩ B A thì P(A+B) = P(A) + P(B)

Gọi nA là sốsự kiện kéo theo A, nB là sốsự kiện kéo theo B do A xung khắc vớ i B nên sốsự kiện kéo theo A + Blà

)B(P)A(Pnn

nn

nnn

nn)BA(Pnnn BABABA

BABA +=+=+

==++= ++

4/ )AB(P)B(P)A(P)BA(P −+= Gọi nA là số sự kiện kéo theo A, nB là số sự kiện kéo theo B, nAB là số sự kiện kéo theo

AB, BAn là sốsự kiện kéo theo BA . Ta có

)AB(P)B(P)A(Pn

nnn

nn)BA(P

nnnn

nn)BA(Pnnnn

ABBA

ABBABAABBABA

−+=−+=

−+==−+=

Υ

H ệ quả1: )A(P1)A(P −= . Thật vậy tacó

=+Ω=+Ω=+ 1)A(P)A(P)(P)AA(PAA điều cần chứng minh.

H ệ quả2: Nếu A1, A2 , .. .An xung khắc từngđôi thì ∑∑==

=n

i

i

n

i

i AP AP11

)()(

a p dụng nhiều lần tính chất 1.3 tacó hệ quảtrên.5/ Nếu )B(P)A(PBA ≤

Vì )B(Pn

nn

n)A(PnnBA BABA =≤=≤

2. Xác su ất có điều ki ệnWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Xét hai sự kiện Avà B trong một phép thử đượ c tiến hànhứng vớ i một bộ điều kiện nàođó. Việc xuất hiện sự kiện này đôi khiảnh hưở ng đến xác suất xuất hiện của sự kiện kiavà ngượ c lại .Chẳng hạn trong một hộp có 3 bi trắng và 2 biđỏ, rút lần lượ t 2 bi. Lần đầu rút đượ c bitrắng hay khôngrõ ràngảnh hưở ng đến xác suất xuất hiện bi trắngở lần thứ hai.

2.1. Định nghĩ a: Xác suất của sự kiện A vớ i giả thiết sự kiện B đã xảy ralà xác suất cóđiều kiện của A vớ i điều kiện B.Ta kí hiệu xác suất này là P(A/B) hoặc PB(A)

Ví dụ2.1: Quaylại ví dụvừa nêu trên.Gọi B là sự kiện lần đầu rút đượ c bi trắng , A

là sự kiện lần saucũng rút đượ c bi trắng. Tacó P(A/B)=21

42

= còn P(A/ 43)B = . Rõ ràng

việc xuất hiện hay không xuất hiện Bảnh hưở ng tớ i xác suất xuất hiện A.Ví dụ 2.2: Tính trạng hoavàng gen Alà tính trạng trội, hoa trắng gen alà tính trạng

lặn. Hai câyđậu hoavàng dị hợ p tử ( cùng mang gen Aa)đem lai vớ i nhaucác cá thểconcó các kiểu gen AA, Aa, aA, aa vơí cùng một khảnăng. Chọn một cá thể conthì thấy cá

thể này có hoamàu vàng.Tínhxác suất để cáthể đó là đồng hợ p tử Gọi Blà sự kiện cá thểconcóhoamàu vàng, Alà sự kiện cá thểconcó genđồng hợ p tử.

Ta có: P(A/B) =31

2.2 Công th ứ c xác suấ t có đ iề u kiện

)B(P)AB(P)B / A(P =

Thật vậy gọi nB là số sự kiện kéo theo B( dogiả thiết B đã xảy ra nên nB 0≠ , gọi nAB làsự kiện kéo theo AB

Ta có)B(P)AB(P

nnnn

nn)B / A(P

B

AB

B

AB ===

3. Công th ứ c nhân xác su ất

Từ )B / A(P)B(P)AB(P)B(P)AB(P)B / A(P == (1)

Thayđổi vaitrò của Avà B cho tacó P(AB) = P(A)P(B/A)Mở rộng tacó: P(A1A2...An) =P(A1)P(A2 /A1)...P(An /A1A2...An-1) (2)Công thức trêngọi là công thức nhânxác suất. Áp dụng liên tiếp công thức (1) nhiều lầnta có công thức (2)

Ví dụ3.1: Có6 câyđậu hoavàng và 2 câyđậu hoa trắng lấy lần lượ t 2 câyđậu. Tínhxác suất để cả2 câyđậu lấy ralà câyđậu hoavàng.

Gọi Alà sự kiện cả2 cây lấy ralà đậu hoavàngA1 là sự kiện cây lấy ra lần đầu màu vàngW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




A2 là sự kiện cấy lấy ra lần hai màu vàngTa có: A = A1A2 từ đó suy ra

2815

5630

75.

86)A / A(P)A(P)AA(P)A(P 12121 =====

Sử dụngđịnh nghĩ a xác suất theo quanđiểm đồng khảnăng tacũng có kết quảtrên.Ví dụ3.2: Một giống lúa mớ i tại một trại laitạo giống trướ c khiđưa rasản xuất đại trà

phải tiến hành liên tiếp ba lần kiểm định do ba trung tâmkhảo cứu giống cấp một, cấphai, cấp ba tiến hành. Nếu giống lúa đượ c chấp nhận ở trung tâm cấp dướ i thì đượ cchuyển lên trung tâm cấp trênđểkiểm định tiếp. Qua thống kê cho thấy giống của trạitrên đượ c trung tâm cấp một chấp nhận vớ i xác suất 0,7. Sau khi chuyển lên trung tâmcấp hai nó đượ c chấp nhận vớ i xác suất 0,8. Nếu đượ c chuyển lên trung tâm cấp ba nóđượ c chấp nhận vớ i xác suất 0,9.Tínhxác suất đểgiống lúa đượ c đưa rasản xuất đại trà.Gọi: Alà sự kiện giống lúa đượ c đưa rasản xuất đại trà.

Ai là sự kiện giống lúa đượ c chấp nhận ở trung tâm cấp i.Ta có: A = A1A2A3

P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2 /A1)P(A3 /A1A2) =0,7.0,8.0,9 = 0,4864. Các sự kiện độc lập.4.1 Hai s ự kiện độc lậ p: Sự kiện Ađượ c gọi là độc lập vớ i sự kiện B nếu:

P(A/B) = P(A)Từ địnhnghĩ a trên ta có * Nếu Ađộc lập vớ i Bthì P(AB)=P(A)P(B)Thật vậy P(AB)=P(B)P(A/B) =P(B)P(A)* Nếu Ađộc lập vớ i Bthì B cũngđộc lập vớ i ADo P(AB)=P(A)P(B/A) =P(B)P(A)P(B/A)=P(B). Do vậy Bcũngđộc lập vớ i A.* Ađộc lập vớ i B P(AB)= P(B)P(A)

4.2. H ệ độc lậ p t ừ ng đ ôi và độc lậ p hoàn toànHệ: A1,A2,...,An đượ c gọi là độc lập từngđôi nếu Ai độc lập A j i≠ jHệ: A1,A2,...,An đượ c gọi là độc lập hoàn toàn nếuP( A,...,A,AA,...A,A)A(P)A...AA / A n21 j j ji j j ji k21k21

= Từ địnhnghĩ a trên ta thấy hệ độc lập hoàn toàn thì độc lập từngđôi nhưng điều ngượ c lạinói chung khôngđúng.4.3. Các ví dụ

Ví dụ4.1: Một mạng cấp nướ c như hình vẽ

Hình 2WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nướ c đượ c cấp từE đến F qua ba trạm bơ m tăng áp A, B, C.Các trạm bơ m làm việc độclập vớ i nhau.Xác suất để các trạm bơ m A,B,Ccósự cốsau một thờ i gianlàm việc lầnlượ t là: 0,1; 0,1; 0,05.Tínhxác suất để vùng F mất nướ cGọi: Flà sự kiện vùng F mất nướ c

A là sự kiện trạm Acó sự cố B là sự kiện trạm Bcó sự cố C là sự kiện trạm Ccó sự cố

Ta có: F =( ) ( )[ ]CBAP)F(PCBA ∩=∩ = P(AB)+P(A)-P(ABC) = P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)= 0,01 + 0,05 - 0,005 = 0,055

Ví dụ4.2: Có hai lồng gà giống. Lồng thứ nhất có 2 gà trống, 4gà mái. Lồng thứ haicó 4 gà trống, 2 gà mái. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lồng ra 1 con.Tính xác suất để2 congàlấy rađều là gà máiGọi : A1 là sự kiện congà lấy raở lồng một là gà mái

A2 là sự kiện congà lấy raở lồng hailà gà máiTa có: P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 9

262.

64

=

5. Dãy phép th ử độc lập: Trong thực tếnhiều khi ta gặp những phép thử hợ p gồm mộtdãy liên tiếp các phép thử như nhauđượ c lặp đi lặp lại n lần và để ý đến sự xuất hiện củamột sự kiện A nào đó trong n lần thử này. Chẳng hạn khi gieo một đồng tiền cânđối vàđồng chất n lần hoặc tung một conxúc xắc cânđối và đồng chất n lần thì những phép thửthuộc loại này chính là dãy phép thử độc lập.5.1. L ượ c đồ Bernoulli. Tiến hành một dãy n phép thử mà phép thử sau độc lập vớ i các phép thử trướ c đó, xác suất xuất hiện sự kiện Aởmỗi phép thử lànhư nhauvà bằng p

(p ≠ 0, p≠ 1).Dãy n phép thử độc lập loại này còn đượ c gọi là một lượ c đồBernoulli.5.2. Công th ứ c Bernoull: Trong một lượ c đồBernoulli sự kiện A có thể xuất hiện từ 0đến n lần. Gọi Bk là sự kiện A xuất hiện đúng k lần trong lượ c đồBernoulli. ta xây dựngcông thức tính P(Bk)Gọi Ai là sự kiện A xuất hiện ở lần thứ i trong n lần thử Ta có Bk = A1A2...Ak n1knkn1n1k A...AA...A...A...A +−−+ ++ . Mỗi sự kiện của tổng các sựkiện trên gồm tích của n sự kiện trongđó A xuất hiện k lần và A xuất hiện n-k lần. Mỗitích trên tươ ng ứng vớ i việc chọn ra k phép thử (A xuất hiện) từ n phép thử đãcho, theolý thuyết tổ hợ p có tất cả k

nC tích như vậy.

Do n phép thử là độc lập P(Ai) = p, P qp1)A( j =−= nên P(A1A2...Ak (P...)A...A n1k ==+ n1knkn1 A...AA...A +−− ) = pkqn-k Suy ra: P(Bk) = k

nC pkqn-k Đây là công thức Bernoulli cho ta biết xác suất A xuất hiện k lần trong một lượ c đồBernoulliGọi: Pn(k)là xác suất đểsự kiện A xuất hiện k lần trong một lượ c đồBernoullivàWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Pn(k1, k2) là xác suất đểA xuất hiện trongkhoảng từ k1 đến k2 lần (k1< k2)Ta có: Pn(k) = P(Bk) = k

nC pkqn-k

Pn(k1,k2) = knkk

kk

kn

k

kkn qpC)k(P

2

1

2

1

−

==∑∑ =

Ví dụ5.1: Xác suất đểmột quả trứng gà đem ấp nở ra gà con là 0,8. Đem ấp 5 quảtrứng.Tính xác suất để có3 quảnở ra gà con?Ta có một lượ c đồBernoulli vớ i n = 5, p = 0,8.Xác suất cần tính là

2048,02,08,0C)3(P 23355 ==

Ví dụ5.2: Tỉ lệ đậu hoavàng đồng hợ p tử gen AA, hoavàng dị hợ p tử gen Aavà hoatrắng gen aalà 1 : 2 : 1.Chọn10 hạt đậu đem gieo

1/ Tính xác suất để có4 câyđậu hoavàng là đồng hợ p tử 2/ Tínhxác suất để có5 câyđậu hoavàng

Nếu chỉ xét tớ i các câyđậu hoavàngđồng hợ p tử trong sốcâyđậu tacó lượ c đồ

Bernoullie vớ ip1 =

43q,

41

1 = . Vậy xác suất cần tính là

6441010 )

43.()

41(C)4(P =

Trong trườ ng hợ p thứ 2 tacó p2 =41q,

43

1 = và xác suất cần tính

5551010 )

41.()

43(C)5(P =

5.3. S ố lần xuấ t hiện ch ắ c nh ấ t: Xét một lượ c đồBernoullie vớ i số lần thử n và xác suấtxuất hiện sự kiện A, P(A) = p .k0 đượ c gọi là số lần xuất hiện chắc nhất hoặc số lần xuất hiện có khảnăng nhất nếu:Pn(k0) ≥ Pn(k) k = 0, 1..., n.Để tìm k0 ta chỉ cần xét dãy sốPn(0), Pn(1),...Pn(k),...Pn(n)xem số nào lớ n nhất thì k ứng vớ i số đó chính là k0 cần tìm. Tuy nhiên việc tính tất cảcác số trongdãy số trên sẽmất nhiều thờ i gian.Vì vậy ta đưa ra thuật toán tìm số lần

xuất hiện chắc nhất từ nhận xét sau. Trongdãy sốu1, u2,... un nếuk

1k

uu + còn lớ n hơ n 1 thì

dãy số còn tăng đến khinàok

1k

uu + nhỏhơ n 1 thì dãy sốbắt đầu giảm. Sốk0 mà từ đó dãy

chuyển từ tăng sanggiảm là sốcần tìm. Ápdụng nhận xét trên taxét

qp.

1kkn

qpCqpC

)k(P)1k(P

knkkn

1kn1k1kn

n

n

+−

==+

−

−−++

Pn(k+1)>Pn(k) kqnp)qp(kqnpqkqkpnp >−+>−+>− Do np - qlà một hằng sốnên khi kcòn nhỏhơ n np - qdãy còn tăng tớ i khi k vượ t quanp – qthì dãy bắt đầu giảm.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu np - q không phải là sốnguyên số lần xuất hiện chắc nhất là: k0 = [np-q]+1Chú ý: Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớ n nhất nhỏ thua hoặc bằng x, kí hiệulà[ ] x Nếu np - qlà sốnguyênthì số lần xuất hiện chắc nhất là k0 = np - qvà k0+1.

Khiđó ta có Pn(k0) = Pn(k0+1) n,0k)k(Pn =≥ Ví dụ5.3: Xác suất đểmỗi cây sống sau thờ i gian trồng là 0,8. Trồng 1000 cây,Tìm sốcâycó khảnăng sống cao nhấtTa có n =1000, p = 0,8, q = 0,2 np - q = 799,8Vậy sốcâycó khảnăng sống cao nhất k0 = 800

6. Công th ứ c xác su ất toàn ph ầnXét A1, A2,..., An là một hệ đầy đủ các sự kiện, Alà một sự kiện nào đó.Ta có:

A= A n21n21 AA...AAAA)A...AA(A +++=+++=Ω )AA...AAAA(P)A(P n21 +++= Sử dụng công thức cộngvà nhânxác suất tacó

P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+...+ P(An)P(A/An)Công thức trênđượ c gọi là công thức xác suất toàn phần

Ví dụ6.1: Một khohàng có10 kiện hàng trongđó có4 kiện domáy Asản xuất,3 kiện domáy Bsản xuất và 3 kiện còn lại domáy Csản xuất. Tỉ lệ sản phẩm loại hai docác máy sản xuất lần lượ t là 0,02; 0,03; 0,05. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra một kiện hàng rồitừ đólấy ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ralà sản phẩm loại haiGọi: Alà sự kiện sản phẩm lấy ralà sản phẩm loại hai

Ai là sự kiện sản phẩm lấy ra domáy i sản xuấtKhiđó A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ A = 321 AAAAAA ++ Theo công thức xác suất toàn phần tacó

P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3)

= 032,005,0.10303,0.

10302,0.

104

=++

Ví dụ6.2: Một loài sinh vật có các kiểu gen AA, Aa, aa theotỉ lệ: 1 : 2 : 1.Nếu cá thểbố (mẹ) có kiểu gen AA lai vớ i các thể mẹ(bố) có kiểu gen AAthì các cá thểconđều cókiểu gen AA.Nếu cá thểbố (mẹ) có kiểu gen AA lai vớ i các thể mẹ(bố) có kiểu gen Aathì cáthểconcókiểu gen AA, Aa theotỉ lệ1 : 1.Nếu cá thểbố (mẹ) có kiểu gen AA lai vớ i các thể mẹ(bố) có kiểu gen aathì cáthể conchỉ có các kiểu Aa.Chọn một cá thểcon từ cáthể mẹ cókiểu gen AA.

1/ Tính xác suất để cáthểconcó kiểu gen AA2/ Tính xác suất để cáthểconcó kiểu gen AaW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Gọi: Alà sự kiện cá thểconcó kiểu gen AAB là sự kiện cá thểconcó kiểu gen AaA1 là sự kiện cá thểbố cókiểu gen AAA2 là sự kiện cá thểbố cókiểu gen AaA3 là sự kiện cá thểbố cókiểu gen aa

Theođầu bài :

0) / (;21) / (;1) / (;

41)(;

42)(;

41)( 321321 ====== A AP A AP A AP AP AP AP

1) / (;21) / (;0) / ( 321 === A BP A BP A BP

Hệ: A1, A2, A3 là hệ đầy đủ.A = 321 AAAAAA ++

suy ra P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3)

= 21

41

41

0.41

21

.42

1.41

=+=++ B = 321 BABABA ++

suy ra P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3)

=21

41

411.

41

21.

420.

41

=+=++

7. Công th ứ c BayesGiảsử A1, A2,...Ai. . . . An là một hệ đầy đủ các sự kiện. Alà một sự kiện nào đó

cóP(A)≠ 0Theo công thức xác suất toàn phần tacó:P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+... +P(Ai)P(A/Ai)+...+P(An)P(A/An)

Xét A j là một sự kiện nào đó trong hệ các sự kiện đã cho

Ta có P(A j /A)=( )∑

=

= n

1iii

j j j

A / AP)A(P

)A / A(P)A(P)A(P)AA(P

Công thức trênđượ c gọi là công thức Bayes.Các xác suất P(A j /A)gọi là các xác suất hậunghiệm đểphân biệt vớ i các xác suất tiên nghiệm P(Ai)

Ví dụ7.1: Cặp trẻsinh đôi có thể làsinh đôi thật ( docùng một trứng sinh ra) trongtrườ ng hợ p này chúng luôncùng giớ i. Trườ ng hợ p cặp sinhđôi do hai trứng sinh ragọi làgiả sinhđôi. Nếu cặp sinhđôi do hai trứng sinh rathì xác suất để chúng cùng giớ i là 1/2.Biết xác suất đểcặp sinhđôi docùng một trứng sinh ralà p. Một cặp trẻsinhđôi rađờ ibiết chúng cùng giớ i. Tínhxác suất để chúng là sinhđôi thật.Gọi: Alà sự kiện cặp trẻsinhđôi là cùng giớ i

A1 là sự kiện cặp trẻsinhđôi là sinhđôi thậtA2 là sự kiện cặp trẻsinhđôi là giảsinhđôiW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




A1, A2 là hệ đầy đủ, P(A1) = p; P(A2) =1-p; P(A/A1) = 1; P(A/A2) = 21

Theo công thức Bayes tacó xác suất cần tính là:

p1p2

21

)p1(1.p

1.p)A / A(P)A(P)A / A(P)A(P

)A / A(P)A(P)A / A(P2211

111 +

=

−+

=+

=

Ví dụ7.2: Tỉ lệngườ i đến khám tại một bệnh viện mắc bệnh Alà 60%, trong sốnhững ngườ i mắc bệnh Acó50% mắc cảbệnh B,còn trong sốnhững ngườ i không mắcbệnh Acó 70% mắc bệnh B.

1/ Khám cho một ngườ i thì thấy ngườ i đó mắc bệnh B.Tínhxác suất đểngườ iđượ c khám cũng mắc bệnh A.

2/ Nếu ngườ i đượ c khám không mắc bệnh Btìm xác suất đểngườ i đó không mắcbệnh A.Gọi : Alà sự kiện ngườ i chọn đi khám mắc bệnh A

B là sự kiện ngườ i chọn đi khám mắc bệnh BTa có A và A là một hệ đầy đủ, P(A) = 0,6; P(A) =0,4Vì vậy tacó: B = BA +BA

Xác suất cần tínhởphần 1là P(A/B) =)B(P

)A / B(P)A(P

Xác suất cần tínhởphần 2là)B(P

)A / B(P)A(P)B / A(P =

Ta có: P(B/A) = 0,5; P( )A / B = 0,3.

Suy ra: P(B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/ A)= 0,6.0,5 + 0,4.0,7 = 0,58 P(B) = 0,42

Vậy: P(A/B) =72

42,03,0.4,0)B / A(P,

2915

58,030,0

===

Ví dụ7.3: Đểgâyđột biến cho một tính trạng ngườ i ta tìm cách tác động lên hai genA, B bằng phóngxạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen Alà 0,4; do gen Blà 0,5vàdo cảhai genlà 0,9.

1/ Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ cóthể tác độnglên gen A vớ i xác suất 0,7và lên gen B vớ i xác suất 0,6.

2/ Tính trạng có dấu hiệu đột biến. Xác định vaitrò đónggóp của từng genGọi : Clà sự kiện có đột biến ở tính trạngđangxét

A là sự kiện phóng xạ tác dụng lên gen AB là sự kiện phóngxạ tác dụng lên gen BC1 là sự kiện phóngxạ chỉ tác động lên gen AC2 là sự kiện phóngxạ chỉ tác dụng lên gen BC3 là sự kiện phóngxạ tác dụng lêncả2 genW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




C4 là sự kiện phóngxạkhôngtác dụng lên gennàoKhiđóhệC1, C2, C3, C4 làmột hệ đầy đủ

C1 = AB, C2 = BA , C3 = AB, C4 = A B. Mặt khác A, Blà độc lập nênP(C1) = P(A)P(B) = 0,28, P(C2) = P(A)P(B) = 0,18

P(C3) = P(A)P(B) = 0,42; P(C4) = P(A)P(B) = 0,12Mặt khác P(C/C1) = 0,4; P(C/C2) = 0,5; P(C/C3) = 0,9và P(C/C4) = 0Theo công thức xác suất toàn phần tacó

P(C) = 0,28.0,4 +0,18.0,5 +0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58Vai trò đóng góp của riêng gen A cho sự đột biến là

1931,0580112

)() / ()() / ( 11

1 ≈==C P

C C PC PC C P

Vai trò đóng góp của riêng gen B cho sự đột biến là

1552,058090

)() / ()(

) / (22

2 ≈== C PC C PC P

C C P Vai trò đóng góp của cảhai gen cho sự đột biến là

6517,0580378

)() / ()() / ( 33

3 ≈==C P

C C PC PC C P

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Bài tậ p ch ươ ng II

1.Tungđồng thờ i 3đồng tiền. Tínhxác suất để cả3 đồng tiền cùng xuất hiện mặt sấp.

2. Một tổ học sinhcó4 nam, 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3học sinh.a.Tínhxác suất đểtrong 3 ngườ i đượ c chọn có 2 nam, 1 nữ.b. Tính xác suất đểtrong 3 ngườ i đượ c chọn đều là nữ.

3. Có6 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 6.Rút lần lượ t 3 tấm rồi đặt từ trái qua phảia.Tínhxác suất đểsố lập đượ c là sốchẵnb. Tính xác suất đểsố lập đượ c chia hết cho 3c. Tínhxác suất đểsố lập đượ c chia hết cho 5

4. Cón ngườ i xếp theo một hàng dọc (n >5)a.Tínhxác suất để2 ngườ i A, Bđứng liền nhaub.Tính xác suất để2 ngườ i A, Bđứngcách nhauđúng 3 ngườ i

5. Một học sinhcó 5 quyển sách Toán, 3 quyển sách Văn và 2 quyển sách Ngoại ngữ.Học sinhnày xếp ngẫu nhiêncác quyển sách này trên một ngăn của giá sách.a. Tínhxác suất để5 quyển sáchToán đứng liền nhaub. Tính xác suất đểkhôngcó2 quyển sách Toán nào xếp liền nhau

6. Chọn ngẫu nhiên 10học sinh,tính xác suất đểkhôngcó 2 học sinhnào có cùng sinhnhật.

7. Cho một lôhàngcó n sản phẩm trongđó cóm phếphẩm. Lấy ngẫu nhiên ksản phẩm(k < n, k < m ).Tínhxác suất đểtrong ksản phẩm lấy ra có l phếphẩm (l < k).

8*. Một đoàn tàu vào ga gồm có 4 toa, trên sân gacó 8 hành khách đợ i lêntàu. Các hànhkhách này có lên một trong bốn toa trên một cách ngẫu nhiêna. Tínhxác suất đểmỗi toacó đúng 2 hànhkhách mớ i lênb. Tính xác suất đểmỗi toacó đúng 4hành khách mớ i lên

c. Tính xác suất đểmột toacó đúng 5hành khách mớ i lên 3 toacòn lại mỗi toacó 1 hànhkhách lên.

9. Tại một trại lợ n giống có 4 con lợ n nái thuộc các loài A, B , C, D cho phối giống vớ i 4lợ n đực cũng thuộc 4loài trên một cách ngẫu nhiên .a. Tínhxác suất để các cặp lợ n cùng loài phối giống vớ i nhaub. Tính xác suất đểkhôngcócặp nào cùng loài phối giống vớ i nhauWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




10. Trong 10hạt đậu giốngcó 4 hạt đậu hoavàng thuần chủng, 3hạt đậu hoa vàng khôngthuần chủngvà 3 hạt đậu hoa trắng.Chọn ngẫu nhiên 3hạt đậua. Tínhxác suất để3 hạt đậu đượ c chọn gồm 3loại khác nhaub. Tính xác suất để3 hạt đậu đượ c chọn là đậu cho hoamàu vàngc. Tínhxác suất để3 hạt đậu đượ c chọn có ít nhất một hạt cho hoamàu trắng

11. Một đoạn thẳng có chiều dài 2l đượ c bẻngẫu nhiênthành 3đoạn. Tính xác suất để3đoạn này lập thành một tamgiác.

12. Do thiếu kinh nghiệm một nhân viênthụ tinh nhântạo cho bò chỉchuẩn đoán đượ c bò sẽ rụng trứng trongkhoảng 0hsáng đến 24hcùng ngày. Biết rằng trứng và tinhtrùngcó thể sống trong tử cung khôngquát giờ (t < 12).a. Kỹ thuật viên tiến hành thụ tinh nhântạo vào lúc 12h. Tính xác suất đểviệc thụ tinhthành công.b. Kĩ thuật viên tiến hành việc thụ tinh nhântạo một cách ngẫu nhiên trongquãng thờ igian từ 10hđến 14h.Tínhxác suất đểviệc thụtinhthành công.

13. Lai gà lông màu nâu vớ i gà lông màu trắng gà conở thếhệF1 có lông màu nâu,màuxám và màu trắng theotỉ lệ: 1 : 2 : 1.Chọn ngẫu nhiên 5 quả trứng ở thếhệF1 đemấpvà cả 5 quả trứngđều nở . Tính xác suất để:a. Có đúng 3 gà con có lông màu nâu.b. Có2 gà con có lông màu nâu và 3 gà con có lông màu xám.c. Có1 gà con có lông màu nâu, 2 gà con có lông màu xám, 2 gà con có lông màu trắng.

14. Biết tỉ lệngườ i có nhóm máu O, A, Bvà AB trong cộngđồng tươ ngứng là:34%, 37%, 21%, 8%. Ngườ i có nhóm máu O, A, Bchỉ cóthểnhận máu của ngườ i cùngnhóm vớ i mình hoặc nhận từ ngườ i có nhóm máu O,còn ngườ i có nhóm máu AB có thểnhận máu từ bất cứ một ngườ i có nhóm máu nào. Có một ngườ i cần tiếp máu và mộtngườ i chomáu. Việc truyền máu đã đượ c thực hiện.a. Tínhxác suất đểngườ i nhận máu có nhóm máu Ab. Tính xác suất đểngườ i nhận máu có nhóm máu B

15. Một công tycó hai phòng chức năng.Phòng A gồm 3 nhân viên nam, 2 nhân viên nữ.Phòng B gồm 3 nhân viên nam, 3 nhân viên nữ. Đểkiểm tra năng lực làm việc của mỗi phòng, giám đốc công ty quyết định chọn mỗi phòng 2 nhân viênđể kiểm tra chuyênmôn. Biết rằng mỗi nhân viênở phòng Acó thểvượ t quakỳ kiểm tra vớ i xác suất 0,8đốivớ i namvà 0,7 đối vớ i nữ. Mỗi nhân viên phòng Bcó thểvượ t quakỳ kiểm tra vớ i xácsuất 0,7đối vớ i namvà 0,8đối vớ i nữ.a. Tínhxác suất để4 nhân viênđượ c chọn đều là nam.b. Tính xác suất để4 nhân viênđượ c chọn đều quakì kiểm traWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




c. Khả năng vượ t qua kì kiểm tra của phòng nào cao hơ n?

16. Một nhóm bệnh nhân gồm 6 ngườ i trongđó có4 ngườ i mắc bệnh Avà 5 ngườ i mắcbệnh B.a. Tìm sốbệnh nhân mắc cảhai loại bệnhb. Chọn ngẫu nhiên 2 trong số6 bệnh nhânnói trên.Tính xác suất để2 ngườ i đó mắc cảhai loại bệnh.c. Ngườ i ta định sử dụng một loại biệt dượ c Xđể điều trị chonhóm bệnh nhân trên.Xácsuất đểmột bệnh nhânchỉ mắc một loại bệnh khi sử dụng biệt dượ c X khỏi bệnh là 0,8.Xác suất đểmột bệnh nhân mắc cả hai loại bệnh khi sử dụng biệt dượ c X khỏi bệnh là0,6.Chọn ngẫu nhiên hai bệnh nhân trong 6 bệnh nhânnói trên rồi chodùng biệt dượ c X.Tínhxác suất để cảhai bệnh nhânkhỏi bệnh.

17. Ba phòng thí nghiệm đượ c giao nhiệm vụ tạo giống lúa mớ i. Ba phòng làm việc độclập, xác suất thành công tươ ngứng là 0,4; 0,3; 0,2.a. Tínhxác suất để có đúng một phòng thành công.b. Tính xác suất để có ít nhất một phòng thành công.c. Trong một năm nếu phòng nào thành công trong việc tạo ra giống lúa mớ i thì đượ c coilà hoàn thành nhiệm vụ. Nếu thất bại đượ c làm thêm một lần nữa và nếu lần này thànhcôngthì cũng đượ c coilà hoàn thành nhiệm vụ. Tính xác suất để cảba phòng cùng hoànthành nhiệm vụ.

18. Một mạng cung cấp điện như hình vẽ

Hình 3Điện đượ c cung cấp từ E tớ i khu tiêudùng F qua năm trạm biến áp A, B, C, D, G. Cáctrạm biến áp này làm việc độc lập, xác suất đểmỗi trạm biến áp A, B, Ccó sự cố kĩthuậtsau một thờ i gianhoạt động là 0,1.Xác suất trên vớ i hai trạm D, Glà 0,05.a. Tínhxác suất đểF mất điện.b. Biết F bịmất điện.Tínhxác suất để cả2 trạm D, Gcó sự cố.

19. Cho A, Blà hai sự kiện có P(A) = 0,45; P(B) = 0,30; P(AB) = 0.60.Hãy tính cácxác suất sau:a. P( )BA ; b. P(B/A) ; c. P(AB) ; d. P(A/B)

20. Cho P(A) = 3/14; P(B) = 1/6; P(C) = 1/3; P(AC) = 1/7; P(B/C) = 5/21.Tính: a. P(A/C) ; b. P(C/A) ; c. P(BC) ; d. P(C/B)WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




21. Nếu một cơ n bão xuất hiện ởbờbiển Philippinthì cơ n bão đó sẽ đổbộ vào Việt Namvớ i tỉ lệp1. Kinh nghiệm cho biết xác suất đểmột cơ n bão xuất hiện ở vùng biển nàytrongtháng Tám là p2.a. Tính xác suất đểmột cơ n bão sẽxuất hiện ở bờ biển Philippinvà sẽ đổbộ vào ViệtNam trongtháng Tám năm nay.b. Nếu cơ n bão hình thànhở vùng biển Philippinmà đượ c làm nhẹ đi bằngkĩ thuật phunhoáchất khi bão quavùng biển Trườ ng sathì khảnăngnó đổbộ vào Việt Namsẽ giảmđi 1/4.Tính xác suất ởphần a trong trườ ng hợ p này. Biết rằng các cơ n bão xuất hiện ở vùng biển Philippin khiđổ bộ vàođất liền luônđi qua quần đảo Trườ ng sa.

22. Một nhàphântích thị trườ ng chứng khoán xemxét triển vọngcủa các chứng khoán của nhiều công tyđang phát hành. Một năm sau 25% số chứng khoán tỏra tốt hơ n nhiềuso vớ i trung bình của thị trườ ng, 25% sốchứngkhoán tỏra xấu hơ n nhiều so vớ i trung bình của thị trườ ng và 50% bằng trung bình của thị trườ ng. Trong sốnhững chứngkhoán

trởnên tốt có40%đượ c nhàphântíchđánh giá làmua tốt, 20% số chứngkhoán là trung bình cũngđượ c đánh giá làmua tốt và 10% số chứng khoán trởnên xấu cũngđượ c đánhgiá làmua tốt.a. Tínhxác suất đểmột chứng khoán đượ c đánh giá làmua tốt sẽtrở thành tốt.b. Tính xác suất đểmột chứng khoán đượ c đánh giá làmua tốt sẽtrở thành xấu.

23. Một đại lý tại HàNội kinh doanhđồuống do ba công ty A, B, Csản xuất theotỉ lệ2 : 3 : 5.Tỷ lệ đồuốngcó ga tươ ngứngởba công ty trênlà 70%, 60%và 50%.a. Chọn ngẫu nhiên một kiện hàng tại khocủa đại lý. Tính xác suất đểkiện đồuốngđượ cchọn là đồuống cóga.

b. Biết kiện hàngđượ c chọn là đồuống có ga.Tính xác suất đểkiện hàng đó do công tyA sản xuất.

24. Trong một kho số lượ ng rượ u loại Avà loại Blà như nhau. Ngườ i tachọn ngẫu nhiêntừ trong kho ra một chai rượ u và đưa cho 5 ngườ i sành rượ u nếm thử đểxemđây là loạirượ u nào. Giảsử xác suất đoán đúng của mỗi ngườ i là 0,7. Có 3 ngườ i kết luận là rượ uloại A, 2 ngườ i kết luận là rượ u loại B.Tính xác suất đểchai rượ u trênlà rượ u loại A.

25. Một trung tâm phân phối giống cây trồng nhận cây giống từ 3 cơ sở khác nhau theotỉlệ: 2 : 3 : 5.Tỷ lệcây giống xấu tươ ngứng là 5%, 3%và 2%.

a. Chọn ngẫu nhiên một cây giống của trung tâm.Tính xác suất đểcây giống đượ c chọnlà cây xấu.b. Biết cây giống đượ c chọn là cây giống xấu. Khảnăng cây giống đó thuộc cơ sở nào làcao nhất? Tại sao?

26. Cho laigà lôngxám thuần chủng (tính trạng trội) vớ i gà lông trắng thuần chủng (tínhtrạng lặn) ở thế hệ F1 tất cả gàcon đều có lông màu xám ,ở thế hệ F2 gà cólông màuWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




xám và màu trắng theotỉ lệ3 : 1. Biết tỉ lệ gàlôngxám thuần chủng ,gà lôngxám khôngthuần chủng, gà lông trắng thuần chủng trong một đàn gà là1 : 2 : 1. Một quả trứng gàcủa một gà mẹlôngxám không thuần chủng sắp nở ra một chú gàcon.a. Tínhxác suất để gàcon nở ra có lôngmàu trắng.b. Biết gà con nở ra có lôngmàu xám. Tính xác suất để gàbố cólôngmàu trắng.

27. Tỉ lệngườ i có kísinhtrùng sốt rét trongmáu của mỗi ngườ i dânvùng caolà 0,2.a. Chọn ngẫu nhiên 4 ngườ i. Tính xác suất để trong 4 ngườ i đượ c chọn có 3 ngườ i trongmáu có kísinhtrùng sốt rét.b. Lấy máu của 100 ngườ i đem thử. Tính xác suất để có ít nhất một ngườ i có kísinhtrùng sốt rét trongmáu.

28. Cóhai tổ học sinh. Tổ thứ nhất có 4 nam 5 nữ, tổ thứ haicó5 nam 6 nữ. Chon ngẫunhiên ra mỗi tổ3 học sinh rồi ghép mỗi học sinh tổ này vớ i mỗi học sinhcủa tổkia làmmột nhóm học tậpa.Tínhxác suất để các nhóm học tập đều cùng giớ i.b.Tính xác suất để các nhóm học tập đều khác giớ i

29. Nhânngày quốc tế phụnữ, sinh viên Avào cửa hàng hoatại cổng trườ ng mua ngẫunhiên 3 bông hoađểtặng cho 3 bạn nữmỗi ngườ i 1 bông. Sinh viên Bcũngvào cửahàng hoanày và cũng mua ngẫu nhiên 3 bông hoađểtặng cho 3 bạn nữ nói trên mỗingườ i 1 bông. Cửa hàng hoa chỉ bán 3loại hoalà hồng bạch, hồngvàng và hồng nhung.a. Tínhxác suất đểmỗi bạn nữ đượ c tặng 2 bông hoacùng màu.b. Tính xác suất đểmỗi bạn nữ đượ c tặng 2 bông hoa gồm 2màu khác nhau.

30. Một hộp đậu giống gồm 2hạt đậu trắng và 3 hạt đậu đỏ. Một hộp khác gồm 3hạt đậutrắngvà 2 hạt đậu đỏ. Tỉ lệ nảy mầm là 0,8đối vớ i mỗi hạt đậu trắng, là 0,7đối vớ i mỗihạt đậu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từmỗi hộp ra 2hạt đem gieo.a. Tínhxác suất để cả4 hạt đều nảy mầm.b. Biết 4 hạt đem gieođều nảy mầm.Tínhxác suất để4 hạt này đều là đậu đỏ.

31. Lai hai giống hoamàu hồng và màu đỏthuần chủng,các cây con F1 cóthểcho hoamàu hồng,màu đỏhoặc màu cánh sen vớ i tỉ lệ1: 1: 2.Chọn ngẫu nhiên 5hạt hoa F1 đemgieo.Tính xác suất để:a. Có đúng 3 cây cho hoamàu đỏ.b. Có2 cây hoamàu đỏ, 3 câymàu hồng.c. Có1 câymàu đỏ, 1 câymàu hồngvà 3 câymàu cánh sen.

32. Dướ i tác độngcủa phóng xạ các nhiễm sắc thể của một tế bào bị gãy làm haimảnhtrongđó chỉ cómột mảnh chứa tâmđộng.Các mảnhgãy theo thờ i giansẽtự ghép lại vớ inhau một cách ngẫu nhiênvà tế bào sẽsống sót nếu mỗi cặp mảnhghép vớ i nhauchỉchứa một tâmđộng.Tìm xác suất đểtế bào sống sót, biết rằng tế bào đó cón nhiễm sắcthể bị gãy.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




33. (Bài toán Buffon) Trên mặt phẳngcó một dải các đườ ng thẳng song songcách đềunhau một khoảng 2a. Gieo ngẫu nhiên một cái kimcó chièu dài 2l (l < a).Tínhxác suấtđể cái kim cắt một trong nhữngđườ ng thẳng trên.

34. Hai tầu thuỷcập vào một cảngđể trả hàng một cáchđộc lập trongvòng 24h. Biết

rằng thờ i gia bốc dỡ hàng của tàu thứ nhất là 2h,của tàu thứ hai là 3hTínhxác suất đểmột trong haitàu trên phải chờ đểcập bến.

35. Cón viên bi bỏngẫu nhiênvào mcái hộp (n > m).a. Tínhxác suất để có đúng 1 hộp không chứa viên binào.b. Tính xác suất để có1 hộp chứa cản viên bi.c. Tínhxác suất đểmỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.

36. (Bài toán Banach) Một nhà toán học có 2 bao diêm, mỗi baocón que. Ông tađểmỗibêntúi 1 bao. Khi sử dụng nhà bác học rút ngẫu nhiên 1 bao rồi rút ra 1 queđể dùng.Tìm xác suất đểkhi ông phát hiện 1 baođã hết diêmthì bao kiacòn k que.

37. Cók thùnghạt giống gồm k loại khác nhauđượ c gửi đến một trung tâm bảo quảngiống. Trung tâmnày cók phòngđượ c đánh số từ 1 đến k mỗi phòng bảo quản một loạihạt giống. Do ngườ i phụ trách kĩ thuật của trung tâm vắng mặt, nhân viên bảo vệ đànhxếp tạm mỗi thùng hạt giống vào một phòng.a. Tínhxác suất đểkhôngthùng nào để đúngvị trí.b. Tính xác suất để các thùng đều để đúngvị trí.

38*. Trên một toatàu có30 hành khách.Đến ga tiếp theo mỗi hành kháchcó thểxuốngtàu vớ i xác suất 0,3. Tại ganày mỗi hànhkhách mớ i có thể lên toatàu trên vớ i xác suất0,5.Tínhxác suất đểkhi rakhỏi ga toatàu vẫn còn đủ30 hànhkhách.

39. Một cửa hàng bán một loại sản phẩm trongđó 30% donhà máy Asản xuất, 40% donhà máy Bsản xuất, 30% donhà máy Csản xuất.Tỷ lệ sản phẩm loại một của banhà máy trên lần lượ t là: 0,9 ; 0,8 , 0,9.a. Mua ngẫu nhiên một sản phẩm tại cửa hàng.Tĩ m xác suất để sản phẩm muađượ c làloại một.b. Biết sản phẩm muađượ clà loại một. Tínhxác suất để sản phẩm đó donhà máy Asảnsuất.

40. Tại một vùng dân cư, tỷ lệngườ i nghiện hút thuốc lá là0,2. Biết rằng tỷ lệviêmhọngtrong sốngườ i nghiện thuốc lá là0,7và vớ i ngườ i không nghiện là 0,2.Khám ngẫunhiên 1 ngườ i thì thấy ngườ i đó bịviêmhọng.Tính xác suất đểngườ i đó nghiện thuốc lá.

41. Có8 ngườ i rút thăm để chọn các căn hộ trong một chung cư từ tầng 8đến tầng 15,mỗi tầng có 8 căn hộ.a. Tínhxác suất để để cả8 ngườ i trênđều nhận đượ c các căn hộ trongcùng một tầng.b. Tính xác suất để8 ngườ i trên nhận đượ c 8 căn hộ trên 8 tầng khác nhau.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 3 Bi ế n ng ẫ u nhiên

Định nghĩ a chính xác mangtính toán học thuần tuývềbiến ngẫu nhiên vượ t khỏi yêu cầucủa giáo trình. Định nghĩ a đượ c trình bày ở đây mangtính môtả, tuy nhiênnó cũng giúpcho ngườ i học hiểu đượ c thế nào là biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rờ i rạc, biến nhiênliên tục. Các khái niệm khác như bảng phân phối xác suất hàm phân phối cũng như hàmmật độ xác suất đều đượ c trình bày vớ i những kiến thức đơ n giản nhất. Các số đặc trưngquantrọng nhất của biến ngãu nhiên như kì vọng, phươ ng sai,độ lệch chuẩn đượ c trình bày kĩ hơ n các số đặc trưng khác.Các biến ngẫu nhiên rờ i rạc và liên tục thườ ng gặptrong thực tế cũng như các số đặc trưng của chúng đượ c giớ i thiệu khá kĩ . Khái niệmvéctơ ngẫu nhiênđượ c gớ i thiệu một cách sơ lượ c. Các ví dụliên quan tớ i các kiến thứclý thuyết cũng như các ứng dụng thực tế giúp ngườ i học hiểu và cóhứng thúhơ n đối vớ imônhọc. Luật số lớ n, một số định lí về luật số lớ n và một số định lý giớ i hạn đượ c giớ ithiệu sơ lượ c trong chươ ngnày.

I Bi ế n ng ẫ u nhiên

Khi tiến hành một phép thử ngẫu nhiên,các kết quả của phép thử thườ ng là các đặc tínhđịnh tính. Tuy nhiên trong nhiều phép thửmỗi một kết quả của phép thử thườ ngđượ c gántươ ngứng vớ i một giá trị định lượ ng nào đó. Chẳng hạn khi chơ i các trò chơ i ăn tiền mỗikết quả của một lần chơ i đượ c gán tươ ng ứng vớ i một số tiền ( đặc tính định lượ ng) màngườ i chơ i đượ c hay mất hoặc khi nhằm bắn một phát đạn vào bia, mỗi kết quả của việcbắn tươ ngứng vớ i điểm số ( đặc tínhđịnh lượ ng)mà xạ thủ đạt đượ c.

1.Định nghĩ a:Biến ngẫu nhiên (thực) là biến nhận giá trị là các số thực phụthuộc vào kết quả của phépthử ngẫu nhiên .Ta thườ ng dùng các chữ cái hoa X, Y, Z... để chỉ các biến ngẫu nhiênvà các chữ cáithườ ng x, y, z...hoặc xi , y j.... .để chỉ các giá trị cụthể màbiến ngẫu nhiênđó nhận.

2. Các ví dụ:Ví dụ1: Tungđồng thờ i hai conxúc xắc. Gọi X là tổng số chấm ở hai mặt trên, Xlà

một biến ngẫu nhiênvà cóthể nhận một trongcác giá trịtừ 2 đến 12Ví dụ2: Một ngườ i nhằm bắn vào bia cho tờ i khitrúng biathì ngừng. Gọi Y là số đạn

cần dùng. Ylà một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị:1, 2, ..., n, ...

Ví dụ3: Thắp sáng liêntục một bóng đèn điện cho tớ i khi dâytóc của bóng đèn bịcháy. Gọi Z là thờ i gian bóngđèn sáng. Zlà một biến ngẫu nhiênQua baví dụtrên ta thấy có hai loại biến ngẫu nhiên:Loại thứ nhất là loại biến ngẫu nhiênchỉ nhận một sốhữu hạn hay vôhạn đếm đượ c cácgiá trị.*Một tập đượ c gọi là vôhạn đếm đượ c nếu tồn tại một phép tươ ngứng một - một tớ i tậpcác số tự nhiên N.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Loại thứ hai là loại biến ngẫu nhiênmà nó cóthểnhận các giá trịtrong một khoảng hoặcmột số khoảng thực nào đó. Loại biến ngẫu nhiên thứ nhất gọi là biến ngẫu nhiên rờ i rạc.Loại biến ngẫu nhiên thứ haigọi là biến ngẫu nhiên liêntục.Việc đưa ra một định nghĩ a thuần tuý toán học vềbiến ngẫu nhiên khôngđượ c trình bàyở đây. Ngườ i đọc muốn biết có thể thamkhảo ở các tài liệu dẫn raở cuối giáo trìnhnày.

3. Bảng phân ph ối xác su ất của m ột bi ến ng ẫu nhiên r ờ i rạc.3.1. Định nghĩ a : Bảng phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rờ i rạc X là một bảnggồm hai dòngDòng trên ghicác giá trị cóthể có của biến ngẫu nhiên X,dòng dướ i ghicác xác suấttươ ngứng. Nếu X nhận 1 số hữu hạn các giá trị thì bảng phân phối xác suất của Xlà:

X x1 x2 ... xi ... xn P p1 p2 ... pi ... pn

Nếu X nhận 1 sốvô hạn đếm các giá trị thì bảng phân phối xác suất của Xlà X x1 x2 ... xi ... xn ...P p1 p2 ... pi ... pn ...

pi = P(X= xi) là xác suất đểX nhận giá trị làxi.

Do X nhận và chỉ nhận một trongcác giá trịxi nên tacó ∑=

n

1iip = 1 đối vớ i bảng thứ nhất

và ∑∞

=1iip = 1đối vớ i bảng thứ hai.

3.2. Các ví dụ Ví dụ1: Một ngườ i chơ i trò chơ i ăn tiền bằng cách tungđồng thờ i 2 đồng tiền cânđối

và đồng chất. Nếu cả hai xuất hiện mặt sấp anh tađượ c 100đồng, nếu cả hai xuất hiệnmặt ngửa anh ta mất 40đồng còn xuất hiện một sấp một ngửa anh ta mất 30đồng.Gọi Xlà số tiền anh ta nhận đượ c sau một ván chơ i. Lập bảng phân phối xác suất của XNhận thấy X có thểnhận các giá trị- 40, - 30, 100 tươ ngứng vớ i việc mất 40đồng , mất30đồngvà đượ c 100đồng.

Ta có P(X = - 40) =41)100X(P,

21)30X(P,

41

===−=

Vậy bảng phân phối xác suất của XlàX - 40 - 30 100

P41

21

41

Ví dụ2 : Một phòng thí nghiệm đượ c cấp ba triệu đồng để tiến hành thí nghiệm tìmmột chủng virút trong gia cầm. Một lần thí nghiệm chi phímột triệu đồng. Nếu phát hiệnra chủng virút này thì ngừng thí nghiệm. Nếu không phát hiện rathì làm thí nghiệm chotớ i khi phát hiện ra chủng vi rút trên hoặc hết kinh phí thìdừng. Gọi Y là số tiền màWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




phòng thí nghiệm trên tiết kiệm đượ c. Lập bảng phân phối xác suất của Y biết các thínghiệm là độc lập vớ i nhauvà xác suất để tìm rachủng virút ởmỗi lần thínghiệm là 0,3.Ta thấy Ycó thểnhận một trong ba giá trị0, 1, 2. Vớ i xác suất tươ ngứng

P(Y= 0 ) = 0,72 = 0,49; P( Y = 1 ) = 0,7.0,3 = 0,21; P( Y = 2 ) = 0,3.Vậy bảng phân phối xác suất của Ylà

Y 0 1 2P 0,49 0,21 0,3

Ví dụ3: Một ngườ i nhằm bắn vào một mục tiêu cho tớ i khi trúng đích thì dừng. Cáclần bắn độc lập, xác suất trúngđíchcủa mỗi lần bắn là p(0 < p < 1).Gọi Z là số đạn phải dùng. Lập bảng phân phối xác suất của ZNhận thấy Zcó thểnhận các giá trị1, 2, ..., n,...P(Z = n) = qn-1p (q = 1 - p). Vậy bảng phân phối xác suất của Zlà

Z 1 2 ... i ... n ...

P p qp qi-1p qn-1p ...

4. Hàm phân ph ối xác su ất4.1. Định nghĩ a : Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xlà hàm số F(x) hoặcFX(x) cho bở i F(x) = P( X<x) vớ i mọi x RTừ định nghĩ a ta thấy mọi biến ngẫu nhiênđều có hàm phân phối xác suất. Nếu X là mộtbiến ngẫu nhiên rờ i rạc thìF(x) = P(X = x1) + ... +P(X = xi-1) vớ i xi-1 < x ≤ xi vàF(x) = 0 nếu x ≤ x1 4.2. Các ví dụ

Ví dụ1: Biến ngẫu nhiên Xcó bảng phân phối xác suấtX 0 1 2P 0,3 0,4 0,3

1/ Lập hàm phân phối xác suất của X2/ Vẽ đồ thị của F(x)

Ta có

>

≤<≤<

≤

=

21

217,0103,0

00

)(

xkhi

xkhi

xkhi

xkhi

xF

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Đồ thị của F(x)

Hình 1

Ví dụ2: Đểthử sức chịu nén của một loại vật liệu ngườ i ta tiến hành theo ba mức sau:Mức 1: Tiến hành thử vớ i áp lực 200 2 / cmkG . Nếu vật liệu chịu đượ c áp lực này thìchuyển sang mức haiMức 2: Tiến hành thử vớ i áp lực 230 2 / cmkG . Nếu vật liệu chịu đượ c áp lực này thìchuyển sang mức baMức 3: Tiến hành thử vớ i áp lực 250 2 / cmkG Biết các lần thử độc lập vớ i nhauvà xác suất để loại vật liệu chịu đượ c các mức thử trêntươ ng ứng là 0,90; 0,60; 0,40.Gọi X là số lần thử. Y là số lần thử thành công.Hãy tìmhàm phân phối xác suất của Xvà của YTa thấy: Xcó thểnhận các giá trị1, 2, 3

Y có thểnhận các giá trị 0, 1, 2, 3.P( X = 1) = 0,1; P( X = 2) = 0,9.0,4 = 0,36; P( X = 3) = 0,9.0,6 = 0,54

Vậy hàm phân phối xác suất của Xlà

)x(FX

><≤

<≤≤

=

3xkhi13x2khi46,0

2x1khi1,01xkhi0

P(Y = 0) = 0,1; P(Y = 1) = 0,9.0,4 = 0,36; P(Y = 2) = 0,9.0,6.0,6 = 0,324P(Y = 3) = 0,9.0,6.0,4 = 0,216

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




>

<≤<≤<≤≤

=

31

32784,02146,0101,000

)(

xkhi

xkhi

xkhi

xkhi

xkhi

xF Y

5. Các tí nh ch ất của hàm phân ph ối: Hàm phân phối F(x)của biến ngẫu nhiên Xcó cáctính chất sauTí nh ch ấ t 5.1: 1)(0 ≤≤ xF Tính chất này suy ra từ định nghĩ a của hàm phân phối xác suất .Tí nh ch ấ t 5.1: 1)x(Flim;0)x(Flim

xx==

∞→−∞→

Việc chứng minhtính chất này vượ t ra khỏi kiến thức của giáo trình này. Tuy nhiên nếuđặt

)(F)x(Flim;)(F)x(Flim xx ∞=−∞= ∞→−∞→ thì ta có thể hiểu khi x −∞→ sự kiện X < x trở thành sự kiện không thể có còn khix +∞→ sự kiện X < x trở thành sự kiện tất yếu. Từ đósuy ra kết quả của tính chất 2Tí nh ch ấ t 5.3: Hàm phân phối xác suất F(x)là hàm khônggiảmThật vậy: x1, x2 R, x1 < x2 Xét F(x2) = P(X <x2) = P[(X <x1) ]xXx[ 21 <≤ ]

= P (X <x1) ]xXx[P 21 <≤+ ]= F(x1) )x(F]xXx[P 121 ≥<≤+ Tí nh ch ấ t 5.4: P( )bXa <≤ = F(b) - F(a)

Thay bvà x2, avào x1 trong chứng minhtính chất 3 tacóF(b) = F(a) + P( )bXa <≤ P( )bXa <≤ = F(b) - F(a)Tí nh ch ấ t 5.5: Hàm phân phối xác suất là hàm liêntục trái. Ta công nhận tính chất nàyNgườ i tacũngđã chứng minhđượ c rằng nếu một hàm thực F(x)thoả mãn các tính chất 2,tính chất 3 và tính chất 5 thì nó cũng là hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiênX nào đó.Từ các tính chất trên ta nhận thấy khi biết hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xthì ta có thể tính xác suất đểX nhận giá trịtrong một khoảng bất kì. Vì vậy biết hàm phânphối xác suất của Xcũng là biết đượ c qui luật xác suất của X.

Ví dụ: Choπ

>

π≤<−

≤

=

2xkhi1

2x0khixcos1

0xkhi0

)x(F

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




1/ Chứng minh rằng F(x)là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xnào đó 2/ Gọi Xlà biến ngẫu nhiêncó hàm phân phối F(x).

Tính: P(4

X0 π<≤ )

Ta có: 1)x(Flim;0)x(Flim xx == ∞→−∞→ Vậy hàm F(x)thoả mãn tính chất 2. Dễ thấy F(x) liêntục vớ i mọi x R, vậy F(x)thoảmãn tính chất 5

x ≤ 0, F(x) = 0 F(x) khônggiảm

x ]2

,0[ π , F(x) = 1 - cosxlà hàm tăng. Vớ i x >2π , F(x) = 1cũng không

giảm.Từ những kết quảnêu trên ta thấy F(x) khônggiảm trên R. Theocác yêu cầu đểmộthàm số vớ i biến số thực trở thành hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiênnàođó, hàm F(x)thoả mãn các yêu câù này. Vậy nó là hàm phân phối xác suất của một biếnngẫu nhiên.Gọi X là biến ngẫu nhiêncó hàm phân phối xác suất F(x) nêu trên, theotínhchất 4 tacó:

P(4

x0 π<≤ ) = F (4π )- F(0) = 1-

2220

22 −=−

6. Hàm m ật độ xác su ất Định nghĩ a : Nếu hàm phân phối F(x)của biến ngẫu nhiên Xcó đạo hàm x R thì

)x(f )x(F =′ đượ c gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên XKhiđó biến ngẫu nhiên Xgọi là biến ngẫu nhiên liêntục tuyệt đối.Từ định nghĩ a trên ta thấy nếu X là biến ngẫu nhiên rờ i rạc thì hàm phân phối xác suấtcủa X là hàm gián đoạn nên F(x) khôngkhảvi ( khôngcó đạo hàm) tại những điểm giánđoạn. Vìvậy biến ngẫu nhiên rờ i rạc khôngcó hàm mật độ xác suất.

7. Các tí nh ch ấtTí nh ch ấ t 7.1: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Xlà một hàm không âmThật vậy vì F(x)là hàm khônggiảm nên )x(F)x(f ′= ≥ 0

Tí nh ch ấ t 7.2: Hàm phân phối xác suất ∫∞−

=x

dt)t(f )x(F ở đóf(x)là hàm mật độ xác suất

của XThật vậy do F(x)là một nguyênhàm của f(x) nên:

)x(F)(F)x(F)t(Fdt)t(f xx

=−∞−== ∞−∞−∫

Tính chất trênđượ c minhhoạbở i hình sau:

Hình 2WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Tí nh ch ấ t 7.3: ∫=<≤b

adx)x(f )aXa(P

Thật vậy do F(x)là một nguyênhàm của f(x) nên

=−==∫ )()()()( aF bF xF dx x f b

a

b

a

)bXa(P <≤

Tí nh ch ấ t 7.4: Nếu Xcó hàm mật độf(x)thì P(X = a) = 0 x RVìP(X =a) = 0)a(F)b(F[lim)bXa(Plim

abab=−=<≤

++ →→

Do F(x)khảvi nên F(x) liêntụcTừ hai tính chất trên tacó hệ quảsau: Nếu biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ xác suấtf(x)thì

P[a≤ X < b] = P[a <X≤ b]= P[a< X < b]= P[a≤ X≤ b] =∫

b

adx)x(f

Tí nh ch ấ t 7.5: 1dx)x(f =∫+∞

∞−

Vì:

1)(F)(F)x(Fdx)x(f =−∞−+∞== ∞+

∞−

+∞

∞−∫

Từ tính chất này ta thấy diện tích của hình giớ i hạn bở i hàm mật độ xác suất của và trụcOx bằng 1.Ngườ i ta cũng đã chứng minh đượ c rằng nếu một hàm thực f(x) không âmvà

1dx)x(f =∫+∞

∞− thì nó cũng là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên Xnào đó

8. Các ví dụ:

Ví dụ1: Choππ

=][0,x nÕu

][0,x Õu

xsinAn0

)x(f

1/ Tìm Ađểf(x)là hàm mật độ xác suất2/ Tìm hàm phân phối xác suất tươ ngứng

Đểf(x) trở thànhhàm mật độ xác suất thì f(x)≥ 0 và 1dx)x(f =∫+∞

∞− .Từ f(x)≥ 0 suy ra A≥ 0.

Xét 1dx)x(f =∫+∞

∞− 21A1A21|xcosA1xdxsinA 0

0===−= π

π

∫

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




CóF(x) =π>

π≤<−

≤

=∫∞−

xÕu1

x0nÕu21

0xnÕu

nxcos

210

dt)t(f x

Ví dụ2: Cho 2x1A

)x(f += 1/ Tìm Ađểf(x)là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Xnào đó 2/ Tìm hàm phân phối xác suất tươ ngứng3/ Tính P[0<X<1]

Đểf(x)là hàm mật độ xác suất A ≥ 0 và

π==π==

+∞+∞−

+∞

∞−∫ 1A1A1|Aarctgx1dx

x1A

2

F(x) = )2

arctgx(1|arctgt1

t1

dt.1 xx

2

π+π

=π

=+π

∞−∞−∫

Xác suất: P[0 <X <1] =411arctg1

=π

II. Cá c số đặ c tr ư ng

Khi biết bảng phân phối xác suất hayhàm phân phối xác suất đối vớ i biến ngẫu nhiênrờ i rạc, biết hàm phân phối xác suất hayhàm mật độ xác suất đối vớ i biến ngẫu nhiênliêntục là hoàn toàn xác định đượ c qui luật xác suất của biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trongthực tế,để giải quyết một vấn đề nàođó nhiều khi không cần phải biết một trongcác loại

hàm nêu trênmà chỉcần biết một số giá trị đặc trưng tươ ngứng vớ i biến ngẫu nhiênđangxét. Các giá trị đặc trưng này đượ c chiathành hainhóm một nhóm đặc trưng chovị trí vàmột nhóm đặc trưng cho mức phântán của biến ngẫu nhiên.1. Kì vọng1.1. Các định nghĩ aNếu biến ngẫu nhiên Xcó bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xi .... ……….xn P p1 p2 ... pi .................. pn

thì kì vọng toán ( hoặc vọng số) của X là số kíhiệu là M(X) hay E(X) cho bở i:

E(X) =∑=

n

1iiixp

Nếu biến ngẫu nhiên X nhận vôhạn đếm đượ c các giá trị có bảng phân phối xác suấtX x1 x2 ... xi ... xn ...P p1 p2 ... pi ... pn ...W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




và nếu ∑∞

=1nnn |x|p hội tụ thì kì vọng toán của Xlà sốM(X) hoặc E(X) cho bở i

E(X) =∑∞

=1nnnxp

Nếu biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ xác suất f(x)và nếu ∫+∞

∞−

dx)x(f |x| hội tụ thì kì

vọng toán của Xlà sốE(X) = ∫+∞

∞−

dx)x(xf

Từ các định nghĩ a trên ta nhận thấy:* Địnhnghĩ a chỉ ra cách tính kì vọng toán của biến ngẫu nhiên .*Các biến ngẫu nhiên rờ i rạc nhận một sốhữu hạn các giá trịluôncó kì vọng toán.* Các biến ngẫu nhiên rờ i rạc nhận một số vô hạn đếm đượ c hoặc khôngđếm đượ c cácgiá trị cóthểkhôngcó giá trị kì vọng .* Kì vọng của biến ngẫu nhiên Xlà giá trị đặc trưng chovị trí (trọng tâm hoặc trungtâm)của biến ngẫu nhiên .* Kì vọng cònđựoc gọi là trung bình số học của biến ngẫu nhiên.1.2 Các ví dụ

Ví dụ1: Một nhóm 10 ngườ i trongđó ba ngườ i cao 1,62 m, hai ngườ i cao 1,66m, haingườ i cao 1,70mvà ba ngườ i cao 1,74m.Chọn ngẫu nhiên một ngườ i trongnhóm ngườ itrên.Gọi Xlà chiều caocủa ngườ i đượ c chọn. Tính E(X)Ta có bảng phân phối xác suất của X

X 1,62 1,66 1,70 1,74

P 0,3 0,2 0,2 0,3Vậy E(X) = 0,3.1,62 + 0,2.1,66 + 0,2.1,70 + 0,3.1,74 = 1,68m

Ví dụ2: Sau một năm bán hàng, một cửa hàng kinh doanh hoa tươ i tại Hà nội nhậnthấy số lẵng hoa X bán ra trongngày theotỉ lệ (xác suất ) sau:

X 9 10 11 12 13 14 15P 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10

Một lẵng hoa tươ i muavào 60.000đồng bán ra 100000đồng, nếu trongngày bán khônghết số còn lại bị vứt bỏ. Số lẵng hoa cần muavào là bao nhiêuđểlợ i nhuận trung bình thuđượ c là cao nhất?Đểthực hiên bài toán trên ta lập bảng sau:

Hàngđầu của bảng ghi số lẵng hoa Y dự định muavào trongngày.Cột đầu của bảng ghi số lẵng hoa Xcó thể bán ra trongngày.Cột cuối ghixác suất bán đượ c số lẵng hoa tươ ngứng.Ô giao giữa dòng ivà cột j là tiền lờ i (trăm nghìn) thuđượ c khi muavào j lẵng bán ra i

lẵng.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




YX

9 10 11 12 13 14 15 P

910

1112131415

360 300 240 180 120 60 0360 400 340 280 220 160 100

360 400 440 380 320 260 200360 400 440 480 420 360 300360 400 440 480 520 460 400360 400 440 480 520 560 500360 400 440 480 520 560 600

0,050,10

0,150,250,200,150,10

Việc quyết định muacác lẵng hoahàngngày có thể thực hiện theocác phươ ngán sau:Phươ ng án 1: Muavào 9 lẵng, tiền lờ i trung bình là:E1 = 360Phươ ng án 2: Muavào 10 lẵng, tiền lờ i trung bình là:E2 = 300. 0,05 + 400. 0,95 = 395Phươ ng án 3: Muavào 11 lẵng, tiền lờ i trung bình là:E3 = 240. 0,05 + 340. 0,10 + 440. 0,85 = 420Phươ ng án 4: Muavào 12 lẵng, lợ i nhuận là:E4 = 180. 0,05 + 280. 0,1 + 380. 0,15 + 480. 0,70 = 430Phươ ng án 5:Muavào 13 lẵng, lợ i nhuận là:E5 = 120. 0,05 + 220. 0,1 + 320. 0,15 + 420. 0,25 + 520. 0,45 = 415Phươ ng án 6: Muavào 14 lẵng, lợ i nhuận trung bình là:E6 = 60. 0,05 + 160. 0,1 + 260. 0,15 +360. 0,25 + 460. 0,20 + 560. 0,25 = 380

Phươ ng án 7: Muavào 15 lẵng, lợ i nhuận trung bình là:E7 = 0. 0,05 + 100. 0,1 +200. 0,15 + 300. 0,25 + 400. 0,2 + 500. 0,15 + 600. 0,1 = 330

Từ các kết quảtrên ta thấy khi cửa hàng muavào 12 lãng hoa thì lợ i nhuận trung bình làcao nhất.

Ví dụ3: Một xạ thủnhằm bắn vào một mục tiêu cho tớ i khi trúng mục tiêuthì dừng.Các lần bắn độc lập, xác suất trúng mục tiêucủa mỗi lần bắn là 0,8.Gọi X là lượ ng đạn phải dùng.Tínhkì vọngcủa XX có bảng phân phối xác suất sau

X 1 2 ... n ...

P 0,8 0,2.0,8 ... 0,2n-1

0,8 ...Do Xchỉ nhận các giá trịnguyên dươ ng nên nếu chuỗi ∑

∞

=

−

1n

1n 8,0.2,0.n hội tụ thì giá trị đó

chính là kì vọng toán của X

Xét ∑∞

==

1)(

n

n x x f vớ i x )1,0( . Do chuỗi hội tụ đều trong miền đangxét nênWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




∑∞

=

−=′1n

1nnx)x(f

Mặt khác ∑∑ ∞

=

−∞

= −=

−+−=′

−==

1n22

1n

1n

n

)x1(1

)x1(xx1)

x1x(nxx

x-1x

∑∞

=

− ====1

221 25,1

8,08,0)(

8,01)2,0('2,0.

n

n X E f n

V í dụ4: Đại biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ)x1(

1)x(f 2+π=

( phân phối Cauchy ).Tính E(X)

Ta có: dxx1

x2dx)x(f |x| 2∫∫+∞

∞−

+∞

∞− +π=

Dotích phânnày phânkì nên X khôngcó kì vọng.

Ví dụ5: Biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ

π

π=

][0,x nÕu

][0,x Õu

xsin21

n0)x(f

Ta có E(X) = ∫+∞

∞−

dx)x(xf = ∫π π

=0 2

xdxsinx21

1.3 Tí nh ch ấ t1/ Kì vọng của hằng sốbằng chính nó

Thật vậy ta có thể coi hằng số làbiến ngẫu nhiênchỉ nhận giá trịC vớ i xác suất bằng 1

nên E(C) = 1.C = C2/ Hằng số cóthể đưa rangoài dấu kì vọngXét: Y= kX, nếu Xlà biến ngẫu nhiên rờ i rạc vớ i P(X = xi) = pi thì

P(Y = kxi) = pi. Vậy E(Y) = ∑∑ == )X(kExpk)kx(p iiii 3/ Kì vọng của một tổng bằng tổngcác kì vọng

Ta chứng minh trong trườ ng hợ p X, Ylà các biến ngẫu nhiên rờ i rạc.Gọi: Z = X + Y vớ i zij = xi + y j , P(Z = zij ) = pij Ta có:

E(Z) = ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ +=+=+= ij jiji jijiij jiijijij pypxypxp)yx(pzp

= ∑∑ +=+ •• )Y(E)X(Eypxp j jii

∑∑=

•=

• ======1i

ij j j1 j

ijii p)yY(Pp;p)xX(Pp

Hệ quả 1: E(aX + b) = aE(X) + b

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hệ quả 2: E( ∑∑==

=n

1iii

n

1iii )X(Ea)Xa

Ápdụng nhiều lần tính chất 2và tính chất 3 tacó hai hệ quảtrên4/ Nếu Xđộc lập vớ i Ythì E(XY) = E(X). E(Y)

Đặt: Z = XY, jiij yxz = . Giảsử P(X = xi) = •ip , P(Y= y j) = jp• jiij p.p)zZ(P ••== ∑ ∑∑ •••• == j jiiij ji yp.x.pzp.p)Z(E

= ∑ ∑ =•• )Y(E).X(Eypx.p j jii 5/ Nếu Y = )X( vớ i là một hàm số xác định nào đó. Nếu X là biến ngẫu nhiên

rờ i rạc vớ i P(X= xi) = pi thìP[Y = ii p)]x( = .Vậy E(Y) =∑ )x(p ii Nếu Xcó hàm mật độf(x)thì Y có hàm mật độf(x) vậy

E(Y) = ∫+∞

∞−dx)x(f )x(

2. Ph ươ ng saiXét biến ngẫu nhiên Xcó kì vọng E(X)2.1 . Định nghĩ a : Phươ ng saicủa biến ngẫu nhiên Xlà số kíhiệu là D(X) hoặc VarXvà D(X) = E[X-E(X)]2 Từ địnhnghĩ a trên ta thấy:* Nếu Xcóphươ ng saithì X phải có kì vọng* Phươ ng saicòn đượ c gọi là độlệch bình phươ ng trung bình của Xđối vớ i kì vọng củanó.* Phươ ng saicàng nhỏ thìX càng tập trung xung quanhkì vọng E(X)Vậy phươ ng sailà đại lượ ng đặc trưng cho mức độphântán của biến ngẫu nhiênquanhgiá trịtrung bình lí thuyết của nó.Xét: D(X) = E[X-E(X)]2 = EX2-2XE(X) + [E(X)]2

= E(X2)-2E(X)E(X) + E[E(X)]2 = E(X2)-[E(X)]2

Đặt [E(X)]2 = E2(X) tacó D(X) = E(X2) - E2(X)2.2 Các ví dụ

Ví dụ1: Biến ngẫu nhiên Xcó bảng phân phối xác suất

X 0 1 2P 0,3 0,4 0,3

Tính D(X).Có: D(X) = E(X2) - E2(X)

E(X) = 0.0,3 +1.0,4 + 2.0,3 = 1E(X2) = 0.0,3 + 12.0,4 +22.0,3 = 1,6. Vậy D(X) = 1,6 - 12 = 0,6W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Ví dụ2: Một xạ thủnhằm bắn vào một mục tiêu cho tớ i khitrúngđích thì dừng.Cáclần bắn là độc lập, xác suất trúngđíchởmỗi lần bắn là 0,8.Gọi Xlà lượ ng đạn cầndùng.Tính D(X)Nhận thấy X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị tự nhiên dươ ng vớ i P(X = k) = 0,2k-1.0,8

E(X) = ∑∑ ∞

=

−∞

=

−

= 1

1

1

1

2,0.8,08,0.2,0. k

k

k

k

k k

Xét chuỗi: ∑∑ ∞

=

−∞

==′=

1k

1k

1k

k kx)x(f x (x)f (0,1)xvíi

Mặt khác f(x) = 22 )x1(1

)x1(xx1)x(f

x1x

−=

−+−=′

− 2

1

1

8,01)2,0('2,0. ==∑

∞

=

− f k k

k

25,18,0

1)( == X E

E(X2) = ∑ ∑∞

=

∞

=

−− =1k 1k

1k21k2 2,0.k8,08,0.2,0.k

∑ ∑∞

=

∞

=

−− +−=1k 1k

1k1k 2,0.k8,02,0).1k(k8,0

∑∞

=

− +−=1

2

8,012,0).1(2,0.8,0

k

k k k

Từ ∑∑∑ ∞

=

−∞

=

−∞

=−==′=

1

2

1

1

1)1()('')(

k

k

k

k

k

k xk k x f kx x f x (x)f ;(0,1)xvíi

∑∞

=

−−=′′1k

2kx)1k(k)x(f

∑ −−==−

=−

=′ 2332 2,0).1(

8,02)2,0(''

)1(2)(''

)1(1)( k k k f

x x f

x x f

E(X2) = 223 8,02,1

8,01

8,04,0

8,01

8,022,0.8,0 =+=+

D(X) = 22222

8,02,0

8,01

8,02,1)()( =−=− X E X E ≈0,3125

Ví dụ3: Cho biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ xác suất

π

π= ][0,x nÕu

][0,x Õu

xsin21

n0)x(f Tính D(X).

Ta có: E(X) = ∫+∞

∞−

dx)x(xf = ∫π π

=0 2

xdxsinx21

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




E(X2) = ∫+∞

∞−

dx)x(f x2 = ∫π

−π

=0

22 1

2xdxsinx

21

Vậy: D(X) = 144

12

222

−π=π−−π

2.3 Các tí nh ch ấ t của ph ươ ng sai1/ Phươ ng saicủa hằng sốbằng 0

Thật vậy: D(C) = E(C2) - E2(C) =C2 - C2 = 02/ Hằng số đưa rangoài dấu phươ ng sai phải bình phươ ng lên

Vì: D(kX) = E(k2X2) - [E(kX)2] = k2E(X2) - k2E2(X)= k2[E(X2) - E2(X)] = k2D(X)

3/ Nếu Xđộc lập vớ i YthìD(X+Y) = D(X) + D(Y)Ta có: D(X + Y) = E[(X+Y)2] - [E(X +Y)]2

= E( X2 +2XY + Y2) - [E(X) + E(Y)]2

= E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) - E2(X) - 2E(X)E(Y) - E2(Y)= E(X2) + E(Y2) - E2(X) - E2(Y) = D(X) +D(Y)

H ệ quả1: D(aX +b) = a2D(X) H ệ quả2: Nếu X1, X2,....,Xn độc lập thìD( ∑∑ = )X(Dk)Xk i

2iii

Hai hệ quảtrên suy trực tiếp từ ba tính chất vừa nêu. Minhhoạcho sự hữu ích của hệ quả2 taxét ví dụsau.

Ví dụ: Gieođồng thờ i 10 conxúc xắc cânđối và đồng chấtGọi Xlà tổng sốchấmở các mặt trên.Tính D(X)Gọi Xi là sốchấmởmặt trêncủa conxúc xắc thứ i

X = ∑=

10

1iiX Docác Xi là độc lập vớ i nhau nên D(X) =∑

=

10

1ii )X(D

P(Xi =1) = P(Xi =2) =...= P(Xi =6) =61

E(Xi) = 61 ( 1 + 2 + ... + 6) =3,5

E( 2i X ) =

61 (1 + 4 + ... +36) =

1235

36105

36441546)

621(

691)(;

691 2 ==

−=−=i X D

Vậy: D(X) = 12350

361050

= 6175

=

3. Độlệch chu ẩnViệc dùng phươ ng saiđể đo mức độphântán của biến ngẫu nhiên quanhgiá trị kì vọngcủa nó sẽtrởnên khôngthích hợ p đối vớ i biến ngẫu nhiêncó thứ nguyên (có đơ n vị đo đikèm) bở i nếu X có thứ nguyên bậc nhất thì phươ ng sai D(X)lại có thứ nguyên bậc hai.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Đểkhắc phục nhượ c điểm này ngườ i ta đưa ra một giá trị cũng đặc trưng cho mức độphântán của X nhưng có cùng thứ nguyên vớ i Xđó là độlệch chuẩn3.1 . Định nghĩ a : Độlệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Xlà số

)X(D)X( =σ

* Độlệch chuẩn cùng thứ nguyên vớ i X nếu Xlà biến cóthứ nguyên* Biến ngẫu nhiên Xcó độlệch chuẩn khivà chỉkhi Xcóphươ ng sai3.2. Tí nh ch ấ t

1/ 0)X( ≥σ 2/ )X(|k|)kX( σ=σ 3/ Nếu Xđộc lập vớ i Ythì :

)Y()X()Y(D)X(D)YX( σ+σ≤+=±σ Việc chứng minhcác tính chất trênkhádễ dàng nêndành cho ngườ i đọc

4. Một số giá trị đặc tr ư ng khác Ngoài các giá trị đặc trưng là kì vọng, phươ ng sai hoặc độ lệch chuẩn ngườ i tacòn đưa ramột số giá trị đặc trưng khác4.1 Mômen : Mômen cấp kcủa biến ngẫu nhiên Xđối vớ i a là số

µk(a) = E(X - a)k * Nếu a = 0thì µk(0)gọi là mô men gốc cấp kcủa X* Nếu a = E(X)thì µk(a)gọi là mô men trung tâm cấp kcủa Xvà kíhiệu là µk Ta có µ(0) = E(X),µ2 = D(X),µ1 = 0 vớ i mọi biến ngẫu nhiênMặt khác khi Xcóphân phối đối xứng quakì vọng E(X)thì µk = 0 vớ i k là số tự nhiênlẻ.Vìvậy tacó thểsử dụng µ3 để xét xem phân phối xác suất của Xcó đối xứng hay không.Tuy nhiên, nếu Xlà đại lượ ng có thứ nguyênthì µ3 cóthứ nguyên bậc ba so vớ i X,vì vậy

ngườ i tadùng H3 = 33

σµ làm số đo chotính chất đối xứng hay khôngđối xứngcủa Xvà H3

gọi là hệsốbất đối xứng của X. Ngườ i ta dùng hệ số 3H 44

4 −σµ

= làm hệsố nhọn của

phân phối xác suất của X,σ2 là phươ ng saicủa X.4.2 Mode : Nếu Xlà biến ngẫu nhiên rờ i rạc thì modecủa đại lượ ngngẫu nhiên Xlà sốkí hiệu là ModXthoả mãn P(X = modX)≥ P(X = xi) xi

Nếu Xlà biến ngẫu nhiên liêntục thì ModXlà điểm mà tại đó hàm mật độf(x)đạt giá trịcực đại.Ví dụ1: Cho Xcó bảng phân phối xác suất

X 1 2 3 4 5P 0,3 0,2 0,1 0,3 0,1

ModX = 1 hoặc ModX = 4. Xcó2 ModWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ví dụ2: Cho Xcó hàm mật độf(x) cho bở i đồ thị sau:

Hình 3ModX là hoànhđộ điểm cực đại của hàm mật độ f(x)

4.3. Phân vị: Phânvị mức 1 -α của biến ngẫu nhiên Xlà sốXα xác định bở i:

P(X < X α ) ≤ 1 -α )( α X X P ≤≤

Nếu α = 0,5thìX0,5 gọi là trungvì của X

Hình 4

III. M ộ t sốqui lu ậ t xác su ấ t rờ i rạ c th ườ ng g ặ p

1. Phân ph ối nhị thứ c1.1 Định nghĩ aBiến ngẫu nhiên Xđượ c gọi là cóphân phối nhị thức nếu X có bảng phân phối xác suấtsau:

X 0 1 . . . k . . . nP n00

n qpC 1n1n qpC − knkk

n qpC − 0nnn qpC W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Vớ i 0 < p < 1, q = 1 - pKhi Xcó phân phối nhị thức takí hiệu X B(n , p), n, pgọi là các tham số của phân phốiPhân phối nhị thức vớ i n = 1còn gọi là phân phối BernoulliTừ định nghĩ a trên ta thấy: Số lần xuất hiện sự kiện A trong một lượ c đồBernullicó phânphối nhị thức.1.2 Kì vọng và phươ ng sai

X B(n,p) tacóE(X) =∑=

n

0kk knkk

n qpC − = p∑=

n

1kk kn1kk

n qpC −−

Xét: ( =′∑=

− )qxCn

1k

knkkn ∑

=

n

1kk kn1kk

n qxC −−

Mặt khác nn

0k

knkkn )xq(qxC +=∑

=

− nên 1nn

0k

knkkn )xq(n)qxC( −

=

− +=′∑

∑=

n

1k

k kn1kkn qxC −− = n(q + x)n-1

Thay x = p tacó: E(X) = p∑=

n

1kk kn1kk

n qpC −− = p. n(q + p)n-1 = np

Phươ ng sai: D(X) = E(X2) - E2(X)

E(X2) = ∑=

n

0k

2k knkkn qpC − = p2∑

=

n

1kk (k-1) kn2kk

n qpC −− + ∑=

n

0kk knkk

n qpC −

Xét: (q + x)n = =+− −

=

−∑ 2nn

0k

knkkn )xq)(1n(nqxC ∑

=

n

1kk (k-1) kn2kk

n qxC −−

Thay x = p tacó: n(n - 1) =∑=

n

1kk (k-1) kn2kkn qpC −− .

Mặt khác ∑=

n

0kk knkk

n qpC − = E(X) = np. vậy tacóE(X2) = n( n - 1)p2 + np

D(X) = n2p2 - np2 + np - (np)2 = np(1 - p) = npqVí dụ1: Xác suất đểmột cây sống sau một thờ i gian trồng là 0,8. Trồng 1000 cây.Gọi

X là sốcây sống sau một thờ i gian trồng.Tính E(X), D(X).Ta có X B(1000; 0,8) vậy E(X) = 1000.0,8 =800,

D(X) =1000.0,8.0,2 =160

2. Phân ph ối siêu b ội2.1 Định nghĩ a: Xét một đám đông gồm N cá thể trongđó cóM cá thể có đặc tính A.Chọn ngẫu nhiên ncá thể ( n ≤ M, n≤ N - M).Gọi Xlà số cáthể có đặc tính A trong ncáthể đượ c chọn. Xlà biến ngẫu nhiêncóphân phối siêu bội.Nhận thấy Xcó thể nhận 1 trongcác giá trịtừ 0, 1, ... ,nWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




P(X = k) = nN

knMN

kM

CCC −

− Như vậy quy luật siêu bội phụthuộc vào ba tham sốN, M, n.

2.2 Bảng phân ph ố i xác su ấ t của quy lu ật siêu b ội, kì vọng, ph ươ ng sai của phân ph ố isiêu b ội.

Từ công thức xác suất: P(X=không = nN

knMN

kM

CCC −

− ta có bảng phân phối xác suất của phân

phối siêu bội là:X 0 1 . . . k . . . n

P nN

nMN

0M

CCC − n

N

1nMN

1M

CCC −

− ... nN

knMN

kM

CCC −

− ... nN

0MN

nM

CCC −

Từ bảng phân phối các xác suất của phân phối siêu bội xét tỉ số củaP( X = k+1)và P(X = k) tacó:

Nếu 2N )1n)(1N( +++ không phải là sốnguyênthì ModX = [ 2N )1n)(1N( +

++ ]

Còn nếu2N

)1n)(1N(+

++ = k0 là sốnguyênthì ModXlà k0 hoặc k0 -1

Áp dụng công thức tínhkì vọngvà phươ ng saicủa X tacó:

E(X) =N

nM vàD(X) = )111(.

−−

−−

N n

N M N

N nM

Nhận xét 1: Nếu trongđám đông gồm N cá thể trongđó cóM cá thể có đặc tính A,chọn ngẫu nhiên lần lượ t n cá thể có hoàn lại. Gọi Y là số cáthể có đặc tính A trong ncáthể thì

Y B(n,p) vớ i p =NM Theo công thức tính kì vọng và phươ ng saicủa phân phối nhị thức

ta có:

E(Y) = np =N

nM, D(Y) =N

MN.N

nM −

Từ đây tacó E(X) =E(Y), D(X) < D(Y). Như vậy phân phối siêu bội và phân phối nhịthức (tươ ng ứng vớ i việc lấy mẫu khônghoàn lại và có hoàn lại từ một đám đông sẽ đềcập tớ i trong phần thống kê)có cùng kì vọng. Tuy vậy phươ ng saicủa phân phối siêu bộinhỏhơ n phươ ng saicủa phân phối nhị thức. Sự khác biệt này càng cao nếu n càng lớ n.Kết quả này phùhợ p vớ i trực quanlà mẫu không lặp lại ít phântán hơ n mẫu có lặp lại.Tuy nhiên nếu số lượ ng các cá thể trongđám đông Nlà rất lớ n so vớ i n thì sự sai khácgiữa phân phối siêu bội và phân phối nhị thức là khôngđáng kể. Điều này có nghĩ a là nếuX và Y là phân phối siêu bội và phân phối nhị thức tươ ngứng nói ở trên khi N lớ n so vớ in thì:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




P(X = k)≈ P(Y = k) k = 0, 1 ..., n Nhận xét 2: Điều kiện M N n −≤ có thể bỏ qua, khiđó X có thể có thể không nhận

một số giá trị đầu hoặc một số giá trị cuối còn công thức tính xác suất, kì vọng, phươ ngsai của X vẫn tính như cũ.2.1 Các ví dụ

Ví dụ1: Từ một đàn gà gồm 10 con trongđó có5 con mắc bệnh A.Chọn ngẫu nhiênra 3 con.Gọi X là số gàmắc bệnh A trong 3 congà đượ c chọn, Xlà biến ngẫu nhiêncóphân phối siêu bội

Ví dụ2: Một tổ học sinh gồm 5 nam 4 nữ, chọn ngẫu nhiên 3 ngườ i, gọi Y là số nữsinh trong 3 ngườ i đượ c chọn. Ylà biến ngẫu nhiêncó phân phối siêu bội.3. Phân ph ối hình h ọc.3.1 Định ngh ĩ a: Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học vớ i tham số thực p > 0 nếu Xcó bảng phân phối xác suất sau:

X 1 2 3 ………….k…………….n………………

P p p(1-p) p(1-p)2 p(1-p)

k-1 p(1-p)

n-1……….

3.2 Các s ố đặc tr ư ng:

Đặt q = 1 – p => E(X) = ∑∑ ∞

=

−∞

=

− =1

1

1

1 ...k

k

k

k pk p pqk

Xét chuỗi: ∑∑ ∞

=

−∞

==′=

1k

1k

1k

k kx)x(f x (x)f (0,1)xvíi

Mặt khác f(x) = 22 )x1(1

)x1(xx1)x(f

x1x

−=

−+−=′

− 2

1

1 1)('. p

q f qk k

k ==∑∞

=

−

p X E 1)( =

E(X2) = ∑ ∑∞

=

∞

=

−− =1 1

1212 ...k k

k k pk p pqk

∑ ∑∞

=

∞

=

−− +−=1 1

11 .).1(k k

k k qk pqk k p

∑∞

=

− +−=1

2 1).1(.k

k

pqk k q p

Từ ∑∑∑ ∞

=

−∞

=

−∞

= −==′= 1

2

1

1

1 )1()('')( k

k

k

k

k

k

xk k x f kx x f x (x)f ;(0,1)xvíi

∑∞

=

−−=′′1k

2kx)1k(k)x(f

∑ −−==−

=−

=′ 2332 ).1(2)(''

)1(2)(''

)1(1)( k qk k

pq f

x x f

x x f W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




E(X2) = 22321212

p

pq p p

q p p

pq +

=+=+

D(X) = 222222 1212)()(

pq

p pq

p p pq

X E X E =−+=−+=−

Ví dụ3: Tiến hành liên tiếp các thí nghiệm tìm nguyên tố vi lượ ng trong các mẫu đất chotớ i khi thí nghiệm thànhcông thì dừng. Các thí nghiệm thực hiện độc lập, Xác suất thàngcôngở mỗi thí nghiệm là 0,6. Gọi X là số lần phải thực hiện thí nghiệm.

1/ Chỉ ra qui luật xác suất của X.2/ Tính E(X), D(X).

Từ giả thuyết suy ra: X nhận các giá trị tự nhiên dươ ng, 14,0.6,0)( −== nn X P . Vẫy cóphân phối hình học vớ i tham số p = 0,6.

1111,16.04.0)(;6666,1

6,011)( 22 ≈==≈==

p

q X D

p X E

4. Phân ph ối Poisson4.1 Định nghĩ a: Biến ngẫu nhiên Xcó phân phối Poisson vớ i tham số thực λ > 0 nếu Xcó bảng phân phối xác suất sau:

X 0 1 2 ... n ...

P λ−e !1

e λλ− !2

e2λλ− ...

!ne

nλλ− ...

Ta kí hiệu X λP đọc là X có phân phối Poisson vớ i tham số λ 4.2 Các số đặc tr ư ng

Xét: k1k)kX(P

)1kX(P ≥λ≥λ==

+= Từ đây tacó

Nếu λ khônglà sốnguyênthì ModX = [λ ]Nếu λ là sốnguyênthì ModX =λ hoặc ModX =λ -1

E(X) = λ=λ=−

λλ=λ λλ−∞

=

−λ−

∞

=

λ− ∑∑ e.e)!1n(

.e!n

.ne1n

1n

1n

n

Tươ ng tự trên tacũng có D(X) =λ . Như vậy phân phối Poisson rất đặc biệt là cả kì vọngvà phươ ng saiđều bằng tham số λ Nhận xét: Gọi X(t) là số lần xảy ra sự kiện A trongquãng thờ i gian [0,t). Hiện tượ ngngẫu nhiên trênđượ c gọi là một quá trình Poisson nếu nó thoả mãn 3 yêu cầu sau:* Nếu t < t’thì qui luật của biến X(t) - X(t’)chỉ phụthuộc vào t t t ′−=∆ chứ không phụthuộc vào t. Yêu cầu này đượ c gọi là yêu cầu thuần nhất theo thờ i gian.* Nếu t < 11 ttt ′<≤′ thì các phép thử tươ ng ứng vớ i việc khảo sát các hiện tượ ng trongquãng thờ i gian ttt ′−=∆ và 111 ttt ′−=∆ là độc lập vớ i nhau* Nếu P1( )t∆ và P2( )t∆ là các xác suất tươ ng ứng xảy ra một lần sự kiện A và ít nhất 2lần sự kiện A trongquãng thờ i gian t∆ thìWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




0t

)t(Plim;t

)t(Plim 20t

10t

=∆∆

λ=∆∆

→∆→∆

Việc nhận điện thoại tại một trạm điện thoại là một quá trình Poisson. Số lần các cuộcđiện thoại gọi đến trạm điện thoại này là biến ngẫu nhiêncó phân phối Poisson.Quá trìnhphânrã các nguyên tố phóng xạ cũng là một quá trình Poisson và số nguyên tử bị phânhuỷ trong một quãng thờ i giancũng là một biến ngẫu nhiêncóphân phối Poisson.

5. Phân ph ối đa th ứ c5.1 Định nghĩ a: Xét một dãy n phép thử độc lập , sau mỗi phép thử cóthể cómột trong k sự kiện A1, A2, ... , Ak xảy ra.Xác suất P(Ai) = pi

P(Ai) = pi , 1pk

1ii =∑

=

. Gọi Xi là số lần xuất hiện sự kiện Ai trong n lần thử. Luật phân

phối của các biến X1, X2, ... ,Xk đượ c gọi là luật đa thức.Ta thấy X1 + X2 + ... + Xk = n ,khác vớ i các qui luật đã nêuở trên qui luật đa thức là qui

luật của k - 1 biến ngẫu nhiên. Biến thứ k phụthuộc vào các biến còn lại bở i:Xk = n - (X1 + X2 + ... + Xk-1)Nếu k = 2 luật đa thức trở thành luật nhị thức5.2 Công th ứ c xác su ấ t của lu ật đ a th ứ cGiảsửX1, X2, ... ,Xk là các biến ngẫu nhiêncó luật đa thức

Ta đi tính xác suất P(X1 = n1, X2 = n2, ... ,Xk = nk) vớ i nnk

1ii =∑

=

Gọi ijA là sự kiện Ai xuất hiện ở lần thử thứ j, i = n,1 j,k,1 = nên một trong những kếtquả của dãy n phép thử thoả mãn Xi = ni có xác suất xuất hiện là: k21 n

kn

2n

1 p....pp

Có tất cả!n!...n!n

!nk21

.Vậy xác suất cần tính là:

P(X1 = n1 , X2 = n2 , …, Xk = nk) = !n!...n!n!n

k21. k21 n

kn

2n

1 p....pp

IV Cá c phân ph ố i liên tụ c

1. Phân ph ối đều1.1. Định nghĩ a: Biến ngẫu nhiên Xcó hàm mật độ

=b][a,xnÕu

a-b1

b][a,xnÕu 0)x(f

đượ c gọi là biến ngẫu nhiêncó phân phối đều trênđoạn [a,b]Nếu Xcó phân phối đều trênđoạn [a,b]thì hàm phân phối xác suất của XlàWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




>

≤≤

<

=

bx nÕu1

bxanÕua-ba-x

ax nÕu0

)x(F

Đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a, b]là cáchình sau:

Hình 5 Hình 61.2. Kì vọng và phươ ng sai của phân ph ố i đề u

Kì vọng : E(X) =2

badxab

xdx)x(xf b

a

+=−

= ∫∫+∞

∞−

Phươ ng sai: D(X) =E(X2) - E2(X)

Có: E(X2) = )aabb.(31dx

abxdx)x(f x 22

b

a

22 ++=

−= ∫∫

+∞

∞−

Vậy D(X) =12

)ab(4

)ba()aabb(31 22

22 −

=

+

−++

2. Phân ph ối mũ 2.1. Định nghĩ a: Biến ngẫu nhiêncó hàm mật độ

≥θ

<= θ 0x nÕue

0x nÕux-

0)x(f 0>θ

đượ c gọi là biến ngẫu nhiêncó phân phối mũvớ i tham số θ .Hàm phân phối xác suất của phân phối mũ là

≥

<= θ

0x nÕue-1

0xÕu nx-

0)x(F

Đồ thị của hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của phân phốimũ là các hình sau:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 9 Hình 10Đồ thị của hàm mật độf(x)có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn đượ c gọi làphân phối hình chuông.3.2. Kì vọng và phươ ng sai :

Tronggiáo trình giải tích ta đã biết π=∫+∞

∞−

−

2dte 2

z2

. Đây là tích phân Euler - Poisson.Bây giờ chúng tasẽsử dụng tích phân Euler - Poisson để tính kì vọng và phươ ng saicủaphân phối chuẩn

E(X) = dxe2

1.x 2

2

2)x(

∫+∞

∞−

σµ−

−

πσ. Đặt z =

σ=

σµ− dxdzx

Khi x ±∞→ thìz ±∞→ , x = zσ µ + . Thayvào công thức tínhkì vọng tacó :

E(X) = dzze2

dze2

dze)z(21 2

z2z

2z 222

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−

πσ+

πµ=σ+µ

π

Do hàm trong dấu tích phânở số hạng thứ hai là hàm lẻ vậy tích phân thứ hai bằng 0.Tích phân thứ nhất bằng π2 . Vậy E(X) =µ .

Xét: E(X2) = dxe2

1.x 2

2

2)x(

2∫+∞

∞−

σµ−

−

πσ. Cũngđổi biến như trên tacó

E(X2) = dze)z(21 2

z2

2

∫+∞

∞−

−σ+µ

π

dzez

2

dzze

2

2dze

2

2z

22

2z

2z2 222

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−

π

σ+

π

µσ+

π

µ=

= )1(dzez2

2z

22

22

∫+∞

∞−

−

πσ

+µ

Xét tích phân : Idzez 2z

22

=∫+∞

∞−

−. Đặt z = u dz = du, 2

z2z 22

evdvdzze −−

−== .

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ta có I = ∫+∞

∞−

−

∞−

−

+∞→π+=+− 20dze|)ze(lim 2

za2

z

a

22

.Thayvào (1) tacó

E (X2) = µ 2 + σ 2 D(X) =σ 2.

Như vậy hai tham số µ và 2σ chính là kì vọng và phươ ng saicủa phân phối chuẩn. Tớ iđây tacó thểkhẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi biết kì vọng và phươ ngsaicủa nó.3.3. Phân ph ố i chu ẩ n t ắ c: Nếu biến ngẫu nhiên X cóphân phối chuẩn vớ i kì vọng µ = 0và phươ ng saiσ 2 =1thì X đượ c gọi là biến ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn tắc hoặc phânphối Gauss.Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc đượ c kí hiệu là )x( còn gọi là hàmGauss,hàm phân phối đượ c kí hiệu là φ (x)còn gọi là hàm Laplace.Giá trị của hàm (x)và φ (x)đượ c cho bở i bảng 1và bảng 2ởphần phụ lục cuối sách.Hàm (x) là hàm chẵn, )x()x( =− . Trongkhoảng (0, +∞ ), (x)đơ n điệu giảm

(0) = 0,3989; 0001,0)4(;0044,0)3(;0540,0)2(;2420,0)1( == Nếu: x≥ 4 thì (x) 0≈

Hàm φ (x) = ∫∞−

x

dt)t( ,φ (-x) = 1 -φ (x) vớ i x > 0

φ (0) = 0,5;φ (1) = 0,2420;φ (2) = 0,0540;φ (3) = 0,0044;φ (3,9) = 0,0001Nếu: x≥ 4 thì φ (x) 1≈ .Nếu x < - 4thì φ (x) 0≈ .Đồ thị của hàm (x)và φ (x) là các hình sau:

Hình 11 Hình 12

3.4 Tí nh xác su ấ t : GiảsửX ~ N( 2;σµ ) .

P[a≤ X≤ b] =∫ σµ−

−

πσ

b

a

2)x(

dxe2

1 2

2

. Bằngcáchđổi biến:

z =σ

µ−x ta cóP[a≤ X ≤ b] =

σµ−

φ−

σµ−

φ=∫σ

µ−

σµ−

abdz)z(

b

a W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Ví dụ: Cho X~ N(3 , 4).Tính P[ 2≤ X ≤ 4].Ápdụng công thức trên tacó:

P[ 2≤ X ≤ 4] =

−

φ2

34 +

−

φ2

32 = 2φ (0,5) - 1 = 0,3828.

3.5 Qui t ắ c 3 σ :Xét biến ngẫu nhiên X vớ i kì vọng µ và phươ ng saiσ 2 .

P[ |X-µ | < ε ] =σε<

σµ−XP = 2φ (

σε ) - 1.

Vớ i σ=ε ta có: P[ |X-µ | < σ ]= 2φ (1) - 1 = 0,6826Vớ i ε = 2σ ta có: P[ |X-µ | < 2 ]= 2φ (2) - 1 = 0,9544Vớ i ε = 3σ , P[ |X-µ | < 3σ ]= 2φ (3) - 1 = 0,9973.

Như vậy nếu X ~ N( 2;σµ ) thì P[ |X -µ | < ε ] = 1 khiε > 3σ . Điều này có nghĩ a là nếu

biến ngẫu nhiên Xcó phân phối chuẩn vớ i kì vọng µ và phươ ng sai σ 2 thì gần như chắcchắn rằng Xsẽnhận giá trịtrongkhoảng [µ - 3σ , µ + 3σ ] .

Ví dụ: Trọng lượ ng của mỗi congà trong một trại gà làbiến ngẫu nhiên Xcó phânphối chuẩn vớ i kì vọng µ = 3 kgvà độlệch chuẩn σ = 0,5 kg. Khi bắt ngẫu nhiên mộtcongà trongtrại, gọi X là trọng lượ ng congà congà vừa bắt, tacó: µ - 3σ = 1,5kg ;µ +3σ = 4,5kg. vậy tacó thể tin rằng congà này có trọng lượ ng từ 1,5 kgđến 4,5kg.

V. Vé c tơ ng ẫ u nhiên

1. Véc tơ ngẫu nhiên:Cho U = (X1, X2, ... ,Xn) là một véc tơ thuộc không gian thực Rn. Nếu Xi là các biến ngẫunhiênthì U gọi là một véc tơ ngẫu nhiên n chiều, các biến X1, X2, ... ,Xn là các thànhphần ngẫu nhiêncủa véc tơ ngẫu nhiên U

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một ngườ i từ đám đông.Gọi X là chiều cao, Ylà trọng lượ ngcủa ngườ i đượ c chọn. Véc tơ U = (X, Y)là một véc tơ ngẫu nhiên hai chiều.Để đơ n giản tronggiáo trìnhnày tachỉ đềcập đến véc tơ ngẫu nhiên hai chiều. Các kếtquảvề véc tơ ngẫu nhiên nhiều chiều có thểsuy ra từ véc tơ ngẫu nhiên hai chiều. Nếucác thành phần X, Ycủa véc tơ ngẫu nhiên (X, Y)là các biến ngẫu nhiên rờ i rạc thì(X, Y)gọi là véc tơ ngẫu nhiên rờ i rạc. Nếu các thành phần đó là các biến ngẫu nhiên liêntục thì (X, Y)gọi là véc tơ ngẫu nhiên liêntục.

2. Qui lu ật xác su ất:2.1. Hàm phân ph ố i: Chovéc tơ ngẫu nhiên (X, Y).Hàm F(x,y) = P(X< x , Y< y)gọi là hàm phân phối xác suất đồng thờ i của véc tơ (X, Y)

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 13Vềmặt hình học F(x, y)là xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X, Y) rơ i vào miền gạch hìnhvẽtrên.2.2. Tí nh ch ấ t

1/ 0)y,x(Flim)y,x(Flim1)y,x(Flimyx

yx

===−∞→−∞→

+∞→+∞→

2/ )x(F)y,x(Flim Xy =+∞→ gọi là hàm phân phối xác suất của thành phần X3/ )y(F)y,x(Flim Yx

=+∞→

gọi là hàm phân phối xác suất của thành phần Y

4/ Hàm phân phối khônggiảm theo từng biến, nghĩ a làF(x1, y)≤ F (x2, y) vớ i mọi x1< x2 F(x, y1) ≤ F(x, y2) vớ i mọi y1 < y2

5/ P( a≤ X < b, c≤ Y < d) = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c)Việc chứng minhcác tính chất trên xindành cho ngườ i đọc.Từ các tính chất trên ta nhận thấy rằng: Khi biết hàm phân phối xác suất đồng thờ i của

véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) tahoàn toàn xác định đượ c qui luật xác suất của nó cũng như các qui luật của các thành phần tươ ngứng.

3 Bảng phân ph ối xác su ất đồng th ờ i của véc tơ ngẫu nhiên r ờ i rạc:Đối vớ i véc tơ ngẫu nhiên rờ i rạc (X, Y) việc cho bảng phân phối xác suất đồng thờ i tỏra thuận lợ i hơ n việc chohàm phân phối xác suất3.1 Bảng phân ph ố i xác su ấ t đồng th ờ i của véc t ơ (X, Y) là bảng sau:

YX y1 y j ym

x1 p11 p1j p1m

xi pi1 pị j pim

xk pk1 pkj pkmWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




pij = P( X = xi, Y= y j)

Ta có )yX(Ppp),xX(Ppp,1p j j

k

1iijii

m

1 jij

k

1i

m

1 jij ======= •

=•

== =∑∑∑∑

3.2. Bảng phân ph ố i xác su ấ t của các thành ph ần

Bảng phân phối xác suất của các thành phần X, Ylà các bảng sau:X x1 x2 ... xi ... xk

P p1. p2 . ... pi . ... pk .

Y y1 y2 ... y j ... ym

P p. 1 p. 2 ... p. j ... p.m

Ví dụ: Véc tơ ngẫu nhiên (X, Y)có bảng phân phối xác suất đồng thờ i sau:

YX 0 1 2

0 0,1 0,2 0,31 0,1 0,1 0,2

Ta có: P( X = 0) = 0,6; P( X = 1) = 0,4P( Y = 0 ) = 0,2; P( Y = 1) = 0,3; P( Y = 2) = 0,5

Vậy bảng phân phối xác suất của thành phần X, Y lần lượ t là:

X 0 1P 0,6 0,4

Y 1 2 3P 0,2 0,3 0,5

4. Hàm m ật độ xác su ất: Chovéc tơ ngẫu nhiên (X, Y)có hàm phân phối xác suấtF(x, y)

4.1. Định nghĩ a: Nếu tồn tại hàm f(u, v) sao cho F(x, y) =∫ ∫∞− ∞−

x y dudv)v,u(f vớ i mọi

(x, y) 2 R thì hàm f(x, y)gọi là hàm mật độ xác suất đồng thờ i của véc tơ ngẫu nhiên(X, Y)Từ định nghĩ a trên ta thấy: nếu (X, Y)là véc tơ ngẫu nhiên rờ i rạc thì (X, Y) khôngcóhàm mật độ xác suất4.2. Tí nh ch ấ t:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




1/ f(x, y)≥ 0 vớ i mọi (x, y) 2 R

2/ f(x, y) =xy

)y,x(F∂∂

∂

3/ 1dxdy)y,x(f =

∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−

4/ P[ (X, Y) D] =∫∫D

dxdy)y,x(f

4.3. Hàm mật độ của các biế n thành ph ầnChovéc tơ ngẫu nhiên (X, Y) vớ i hàm mật độ đồng thờ i f(x, y)

Hàm ∫+∞

∞−

= dy)y,x(f )x(f X gọi là hàm mật độ của thành phần X

Hàm ∫+∞

∞−

= dx)y,x(f )y(f Y gọi là hàm mật độ của thành phần Y

Ví dụ: Chovéc tơ ngẫu nhiên (X, Y)có hàm mật độ xác suất

f(x, y) =)y1)(x1(

1222 ++π

1/ Tính P( 0≤ X ≤ 1, 0≤ Y ≤ 1)2/ Tìm f X(x)và f Y(y)

Ta có : P( 0≤ X ≤ 1, 0≤ Y ≤ 1) =

=161

y1dy

x1dx1dxdy

)y1)(x1(11 1

02

1

022

1

0

1

0222 =

++π=

++π ∫∫∫ ∫

)1(1

)1)(1()( 2222 x y x

dy x f X +

=++

= ∫+∞

∞− π π tươ ng tự

)y1(1)y(f 2Y +π

=

5. Một số đặc tr ư ng: Đối vớ i véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) ta thườ ng quan tâmđếncác đặc trưng sau:5.1.Hi ệ p ph ươ ng sa i(covariance ho ặc mô men t ươ ng quan ):Hiệp phươ ng sai của véc tơ (X, Y)là số: cov(X, Y) = E[X - E(X)][Y - E(Y)]Dựa vào tính chất của kỳ vọng tacó:

cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)Vậy cov(X, X) = var(X), cov(Y,Y) = var(Y).Nếu Xđộc lập vớ i Ythì cov(X, Y) = 0

Điều ngượ c lại nói chung khôngđúng5.2. H ệ số t ươ ng quan:

Hệ số tươ ng quan giữa X, Ylà số ρ (X,Y) =)Y(D)X(D

)Y,Xcov( WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hệ số tươ ng quancó các tính chất sau:1/ Nếu Xđộc lập vớ i Y thì 0= ρ , điều ngượ c lại nói chung khôngđúng.2/ -1≤ ρ (X,Y)≤ 1.3/ ρ(X,Y) =± 1 khi Y= AX + B.

4/<−>=++

0),(0),(),(

ackhiY X ackhiY X d cY baX

ρ ρ ρ

Việc chứng minh các tính chất trên dành cho ngườ i đọc.6. Phân ph ối có điều ki ện.Giảsử (X,Y)là vectơ ngẫu nhiên rờ i rạc, ta biết

j.

ij

j

ji

ji

pp

)yY(P)yY,xX(P

)yYxX(P =

===

===

Bảng phân phối xác suất

X x1 x2 xi xk j yY X P = /

j.pp j1

j.pp j2

j.ppij

j.ppkj

đượ c gọi là bảng phân phối xác suất có điều kiện của X vớ i điều kiện Y=y j.Tươ ng tự bảng phân phối xác suất

Y y1 y2 y j ym

ixX / YP =

.i

1i

pp

.i

2i

pp

.i

ij

pp

.i

im

pp

đượ c gọi là bảng phân phối xác suất có điều kiện của Y vớ i điều kiện X = xi.

∑=

k

1i j.

iij

pxp

= ) / X(E jyY= đượ c gọi là kỳ vọngcó điều kiện của X biết Y = y j

∑=

m

1 j .i

jij

pyp

= ) / Y(EixX= đượ c gọi là kỳ vọngcó điều kiện của Y biết X = xi.

Nếu (X,Y)là vectơ ngẫu nhiên liêntục có hàm mật độ đồng thờ i f(x,y)thì hàm

(x/y) =)y(f )y,x(f

Y gọi là hàm mật độ có điều kiện của X vớ i điều kiện Y = y.

Tươ ng tự hàm:(y/x) =

)x(f )y,x(f

x gọi là hàm mật độ có điều kiện của Y vớ i điều kiện X = x.

∫+∞

∞−

dx)y / x(x = E(X/ Y=y) là kì vọng có điều kiện của X vớ i điều kiệnY = y

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




∫+∞

∞−

ψ dy)x / y(y = E(Y/ X=x) là kì vọng có điều kiện của Y vớ i điều kiện X = x.

Ví dụ1: Vectơ ngẫu nhiên (X,Y)có bảng phân phối xác suất đồng thờ i sau:X

Y0 1 2

0 0,1 0,2 0,12 0,2 0,1 0,14 0,05 0,1 0,05

Phân phối xác suất của thành phần của Xlà :X 0 1 2P 0,35 0,40 0,25

Kì vọng: E(X) = 0,9Phân phối xác suất của thành phần Ylà:

Y 0 2 4P 0,4 0,4 0,2

Kì vọng: E(Y) = 1,6Phân phối xác suất của X vớ i điều kiện Y = 1là:

X 0 2 4P(X/Y=1) 0,40 0,40 0,20

Kì vọng E( X/Y=1) =1,5.

Y 0 1 2P(Y/X=2) 0,5 0,25 0,25

Kì vọng E(Y/X=2) = 0,75.Ví dụ 2: Vectơ ngẫu nhiên (X,Y)có hàm mật độ xác suất đồng thờ i :

f(x,y) =σσ

µ−µ−ρ−

σ

µ−+

σ

µ−ρ−

−

ρ−σπσ

YX

yX2

Y

Y2

X

X2

)y)(x(2yx

)1(21

2YX

e12

1

đượ c gọi là cóphân phối chuẩn hai chiều.Nhận thấy:

f X(x) = X2

2X

2)x(

2X

e2

1 σµ−

−

πσ ; f Y(y) = Y

2

2Y

2)y(

2Y

e2

1 σµ−

−

πσ

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




(x/y) =2

YY

XX2

X)y(x

)1(21

2X

e12

1 µ−σσ

ρ−µ−ρ−σ

−

ρ−πσ

(y/x) =2

XX

YY2

Y)x(y

)1(21

2Y

e12

1 µ−σσ

ρ−µ−ρ−σ

−

ρ−πσ

E(Y/ X=x) = ρY

X

σσ (x-µ X) +µ Y

E(X/ Y=y)= ρX

Y

σσ (y-µ Y) +µ X

Vớ i E(X) =µ X, E(Y) =µ Y, D(X) =σ 2X, D(Y) =σ 2

Y , ρ (X,Y) =ρ Từ những kết quảtrên chúng ta thấy :* Các thành phần của phân phối chuẩn hai chiều là phân phối chuẩn.

* Nếu ρ = 0 thì f(x,y) = f X(x)f Y(y). Vậy trong phân phối chuẩn hai chiều ρ = 0 khivàchỉ khi Xvà Y độc lập.

7. Phân ph ối của t ổng hai bi ến ng ẫu nhiên .Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y)có hàm mật độphân phối đồng thờ i f(x, y).Xét vectơ ngẫu nhiên Z = X + Y,chúng tađi tìm qui luật phân phối xác suất của Z.GọiFZ(z) là hàm phân phối xác suất của biến Z. Tacó:FZ(z) = P[Z < z]= P[ X + Y< z]. Nếu coi M(X ,Y)là điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳngOxythì P(X + Y< z)là xác suất đểM(X , Y) rơ i vào miền bên tráiđườ ng thẳng x + y = z

Hình 14

Vậy FZ(z) = P[M(X,Y) D ] = ∫ ∫+∞

∞−

−

∞−

x z

dxdy y x f ]),([ Lấy đạo hàm của tích phân theo biến z tacó :

F’Z(z) = f z(z) = ∫+∞

∞−

− dx x z x f ),( đây là công thưc xác định hàm mật độ xác suất của

Z. Thayđổi vaitrò của xvà y trong công thức tích phânkép trên tacũng có WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Bất đẳng thức trên donhà toán học ngườ i Nga Chebyshevđưa ra từ thế kỷ19.Ta chứng minh bất đẳng thức cho trườ ng hợ p Xcó hàm mật độ xác suất f(x).

P[| X- a | <ε ] =1 - P[| X- a |≥ ε ] (1)P[|X - a |≥ ε ] = =∫

ε≥−ax

dx)x(f ∫ε≥−

22

)ax(

dx)x(f

∫∫+∞

∞−ε≥−

−ε

≤−ε

≤ dx)x(f )ax(1dx)x(f )ax(1 22

)ax(

22

22

= 2

2bε

(2)

Từ (1)và (2) suy ra P[| X- a | <ε ] 2

2b1ε

−≥ , điều phải chứng minh

3.3 Định lýChebyshev: Dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập n X có E(Xn) = µ , D(Xn) =σ2 tuân theo luật số lớ n.

Đặt∑=

=n

1i iX

n

1X ta có E(X) = µ , D(X) =n

2σ .

Ápdụng bất đẳng thức Chebyshev vớ i biến X ta có:

1 ≥ P[ |X -µ | < ε ]n

1 2

2

εσ−≥ . Do (lim

n ∞→1)

n1 2

2

=εσ− nên

∞→nlim P[ | X -µ | < ε ] = 1 điều phải chứng minh.

Định lý Chebyshevlà cơ sở toán học cho phép đo các đại lượ ng vật lý. Khiđo một đạilượ ng vật lý nào đó có độ đo chưa biết, ngườ i ta tiến hành đo nhiều lần đượ c các giá trị

X1, X2, …, Xn sauđó lấy ∑=

=n

i

i X

n

X 1

1 làm giá trị của đại lưọng cần đo µ .

2.4 Định lý Bernoulli: Tiến hành một dãy n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện

Aởmỗi phép thử làp. Gọi f n(A) =n

nA là tần suất của sự kiện A.

Dãy f n(A) tuân theo luật số lớ n.

Thật vậy : tacóE(f n(A)) = p, D(f n((A)) =npq ( q = 1- p).

áp dụng bất đẳng thức Chebyshev vớ i đại lượ ng f n(A) tacó:

1 ≥ P[ | f n(A) -p| <ε ]

n

pq1 2

ε

−≥ . Từ đây suy rađịnh lý đượ c chứng minh.

3. Các định lý giớ i hạn.Các định lý về luật số lớ n liên quan tớ i sự hội tụ theoxác suất của dãy các đại lượ ng ngẫunhiên. Phần này chúng tôitrình bày không chứng minhcác định lý về sự hội tụ theo quyluật của dãy các biến ngẫu nhiên.3.1 . Định lýgiớ i hạn điạ phươ ng Moivre -Laplace.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Xét một lượ c đồBernoulli,xác suất xuất hiện sự kiện Aởmỗi phép thử làp. Xác suất đểA xuất hiện đúng k lần trong n lần thử làPn(k).Xác suất đểA xuất hiện trongkhoảng từ k1 đến k2 lần trong n lần thử làPn(k1, k2). Theocông thức Bernoulli tacó:

Pn(k) = Cnk

pk

qn-k

, Pn(k1, k2) = ∑=−

2

1

k

kk

knkkn qpC .

Việc sử dụng công thức Bernoulliđể tính các xác suất đòi hỏi phải thực hịên một sốlượ ng khálớ n các phép toán nên khi n lớ n ta sử dụng công thức xấp xỉ đượ c suy ra từ cácđịnh lý sau.

Định lý1: Định lý giớ i hạn điạphươ ng Moivre -Laplace:

∞→nlim − )x(

npq1)k(P kn = 0,ở đóxk=

npqnpk − .

Điều này có nghĩ a là khi nkhálớ n tacũng cócông thức xấp xỉ sau:

Pn(k)≈ npq1 ( npqnpk − ).

Định lý2: Định lý giớ i hạn tích phân Moivre -Laplace:

∞→nlim [Pn(k1, k2) - ∫

2k

1k

x

xdt)t( ] = 0

ở đó1kx =

npqnpk1 − , 2kx =

npqnpk2 − , (t) = 2 / t2

e21 −

π.

Khi nkhálớ n tacũng cócông thức xấp xỉ sau

Pn(k1, k2) ≈ φ ( npqnpk2 − ) - φ ( npqnpk1 − ).

Ví dụ1: Xác suất đểmỗi cây sống sau thờ i gian trồng là 0,8. Trồng 400 cây1/ Tínhxác suất để có đúng 320 cây sống.2/ Tínhxác suất đểsốcây sống nằm trongkhoảng từ 300đến 360 cây.

Giải: Xác suất cần tínhởphần 1 là:

P400(320)≈ 2,0.8,0.400

1 (2,0.8,0.400

320320− ) =81 (0) = 0,05.

Xác suất cần tínhởphần 2 là:P400(300, 360) = 99379,0)5,2()5,2()0,5( =φ=−φ−φ

Ví dụ2 : Tại một khunghỉ mát có 2n ngườ i đến nghỉ. Khách đượ c phục vụ ăn trưa bở ihai đợ t liên tiếp từ 10h 30 đến 11h 30và từ 11h 30đến 12h 30 . Mỗi khách nghỉ cóthểđến quán ăn của khunghỉ mát vào một trong haiđợ t vớ i cùng một khảnăng. Hãy tìm sốchỗ ngồi tối thiểu tại quán ăn đểvớ i xác suất khôngnhỏhơ n 0,95có thể tin rằng khôngcó kháchnào khôngđượ c phục vụ ăn trưa.Gọi Xlà sốngườ i đến quán ăn trong lần phục vụ đầu: Từ 10h 30đến 11h 30 .WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




X ~ B(n; 0,5).Gọi k0 là sốchỗngồi tại quán ăn, tacó:P[ X≤ k0, 2n- X≤ k0] ≥ 0,95 P [ 2n –k0 ≤ X≤ k0 ] ≥ 0,95

φ (n25,0nk0 − ) - φ (

n25,0kn 0− ) ≥ 0,95 2 φ (

n25,0nk0 − ) - 1 ≥ 0,95

φ (n25,0nk0 − )≥ 0,975 =φ (1,96) k ≥ n + 0,98

Vớ i n = 50 k0 ≥ 50 + 9,8 = 59,8. Vậy nếu khunghỉ có100khách thì phòng ăn cần bốtrí 60 chỗ.3.2 Định lýgiớ i hạn Poisson: Khi sử dụng công thức xấp xỉ nêu trênđể tính xác suất của phân phối nhị thức độ chínhxác sẽkhông cao nếu: P(A) = p gần 0 hoặc 1. Khi p gần 0 hoặc 1 ta sử dụngđịnh lý sau:

Định lý 3: Xét một dãy vôhạn các phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện Aở phép thử thứ n là pn thoả mãn

∞→nlimnpn = λ .

Gọi Xlà số lần xuất hiện A trongdãy phép thử nói trên tacó:

!ke)kX(Plim

k

n

λ== λ−

∞→

Ápdụngđịnh lý nói trên khi X ~ B (n, p)màp gần 0 hoặc 1

Ta có:!)()(

k np

ek X Pk

np−≈= .

Ví dụ: Tỉ lệngườ i có kísinhtrùng sốt rét trongmáu ởmột vùng đồng bằng sông CửuLonglà 0,01. Lấy mẫu máu của 100 ngườ i. Tính xác suất để có5 ngườ i có kýsinhtrùngsốt rét trongmáu.

Gọi Xlà sốngườ i có kísinhtrùng sốt rét trongmáu của 100 ngườ i.X ~ B(100; 0,01). Tacó P( X = 5 )≈

!51e 1− = 0,03066.

3.4 Định lýgiớ i hạn trung tâm:Haiđịnh lý nêuở mục 3.1chỉ là các trườ ng hợ p riêngcủa định lý giớ i hạn trung tâm. Tabiết rằng: Nếu biến ngẫu nhiên Xcó kì vọng a và phưong sai b2 thì biến ngẫu nhiên

baXZ −= gọi là biến ngẫu nhiênđượ c chuẩn hoá. Những định lý đềcập tớ i dãy các biến

ngẫu nhiênđộc lập sau khiđã đượ c chuẩn hoá, hội tụ theo quy luật tớ i phân phối chuẩntắc đượ c gọi là định lý giớ i hạn trung tâm.Trongmục này chúng tôi nêu hai trong những

định lý nói trên.Xét dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập: X1, X2. . . . .Xn . . .

có cùng kì vọng avà phươ ng sai b2. ∑=

=n

1ii

__X

n1X , n

baXZ

__

n−=

Định lý 4: Dãy các biến ngẫu nhiên Z1 . . Z2 . . . . . Zn . . . hội tụ theo qui luật tớ i phânphối chuẩn tắc.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Định lý vừa nêulà dạng đơ n giản của định lý giớ i hạn trung tâm cổ điển, nó là trườ nghợ p đặc biệt của định lí sau:

Định lý5 (Lindeberg): Chodãy các biến ngẫu nhiênđộc lập: X1, X2, ……, Xn….Xi có kì vọng ai vàphươ ng sai 2

ib .

∑==

n

1iin Xn1Y , ∑=

=n

1iin aA , ∑=

=n

1i

2i2n bB ,n

nnn B AYZ −= .

Nếu giả thiết sauđượ c thỏa mãn: ∑ ∫= ε≥

∞→

n

1k B|x|k

22n

nn

)x(dFxB1lim = 0 vớ i mọi ε> 0 thì dãy các

biến ngẫu nhiên Z1 , Z2 , ….., Zn…… hội tụ theo qui luật tớ i phân phối chuẩn tắc.Ngườ i đọc muốn tìm hiểu kĩ hơ n về các định lý giớ i hạn có thể đọc các sách thamkhảođượ c nêuở cuối giáo trình.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Bài tậ p ch ươ ng III.

1.Một ngườ i tungđồng tiền 3 lần, gọi X là số mặt sấp ở phía trêncủa 3 đồng tiền vừatung.a. Lập bảng phân phối xác suất của X.b.Tìm hàm phân phối xác suất của X.c. Tính E(X), D(X).

2. Một ngườ i tungđồng thờ i hai conxúc xắc cânđối và đồng chất. Gọi tổng số chấm ởhai mặt trênlà X. Nếu X≤ 4 anh ta mất 100đồng. Nếu 5≤ X <10 anh ta mất 50đồng.Nếu X > 10 anh tađượ c 200đồng.Gọi Ylà số tiền anh ta nhận đượ c sau một lần chơ i.a. Lập bảng phân phối xác suất củaYb. Tìm hàm phân phối xác suất của Yc, Tínhkì vọngcủa Y. Cókết luận gì về trò chơ i này

3. Một ngườ i có 3 viênđạn nhằm bắn vào bia cho tớ i khitrúng bia hoặc hết đạn thì dừng.Các lần bắn độc lập, xác suất trúng biaởmỗi lần bắn là 0,8.Gọi Ylà số đạn phải dùnga. Lập bảng phân phối xác suất của Yb.Tìm hàm phân phối xác suất của Yvà vẽ đồ thị của hàm phân phối.c.Tính E(Y), D(Y).

4. Hai cầu thủ bóng rổ lần lượ t ném bóng vào rổcho tớ i khicómột ngườ i ném trúng hoặccả hai ngườ i ném hết 3 lượ t thì dừng. Xác suất ném trúng rổ của ngườ i thứ nhất là 0,8,của ngườ i thứ hai là 0,6, các lần ném độc lập. Gọi X là số lần ném của ngườ i thứ nhất, Y

là số lần ném của ngườ i thứ hai, Z = X + Y.a. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, Y, Z.b. Tính E(X), E(Y), E(Z)và D(X), D(Y), D(Z).

5. Một khohàng có 6 lô hàng do nhà máy A sản xuất và 4 lô hàng donhà máy B sảnxuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 3 lôhàng. Gọi X là số lô hàng do nhà máy A sảnxuất trong 3 lôhàngđượ c lấy ra.a. Lập bảng phân phối xác suất của X.b.Tính E(X), D(X).

6. Khi laiđậu hoađỏ thuần chủng vớ i đậu hoa trắng thuần chủngở thếhệF1 các câyđậuđều có hoa màu đỏ. ở thế hệF2 các câyđậu có hoamàu đỏ và màu trắng theotỷ lệ3: 1.Chọn ngẫu nhiên 4 câyđậu ở thế hệF2. Gọi X là số câyđậu có hoa màu đỏ trong 4 câytrên.a. Lập bảng phân phối xác suất của X.b. Tính E(X), D(X).

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




7. Một cửa hàng kinh doanh thực phẩm tươ i sống tại một khu dân cư qua một thờ i gianđiều trathị trườ ng nhận thấy lượ ng tiêu thuthịt lợ n X ( kg/ ngày) có bảng phân phối xácsuất sau:

X 100 105 110 115 120 125

P 0,1 0,20 0,20 0,30 0,12 0,08Giá thịt lợ n muavào 25000đồng/kg bán ra 30000đồng/ kg cuối ngày tiêuthụ không hết phải bán vớ i giá 15000đồng/ kg . Nếu là chủcửa hàng, anh (chị) nên quyết định hàngngày nên nhập lượ ng thịt lợ n là bao nhiêuđể cólợ i nhuận trung bình là cao nhất.

8. Điều tra lượ ng sữa tươ i đóng chai X bán ra hàng ngày của một cửa hàng đượ c bảngphân phối xác suất như sau:

X 7 8 9 10 11 12P 0,1 0,15 0,20 0,30 0,15 0,1

Mỗi chai sữa vào 3.000đồng bán ra 5.000đồng . Hết ngày không bán đượ c thì vứt bỏ.Theo anh (chị) cửa hàng mỗi ngày nên nhập vào bao nhiêu chai sữa để cólợ i nhuận trung bình cao nhất.

9. Một ngườ i trồng 2giò phong lanvà 2 chậu địa lan. Mỗi giò phong lancó xác suấtsống là 0,6 nếu chết trồng lại lần thứ hai. Mỗi chậu địa lancó xác suất sống là 0,7 nếuchết trồng lại lần thứ hai. Phong lanvà địa lan nếu sống sẽra hoa.Giá thành giống phonglan là 15.000đ / giò, giá thành giống địa lanlà 12.000đ / chậu. Tiền công chăm sóc phonglanvà địa lan tươ ngứng là 20.000đ và15.000đ . Tiền bán mỗi giòphong lanlà 200.000đ ,mỗi chậu địa lanlà 150.000đ . Hãy tính tiền lờ i trunh bìnhmàngườ i trồng hoa thuđượ c.

10. Khi choấp trứng vịt tronglò ấp thì 85% trứng nở . Trong số vịt con mớ i ra đờ i có

60%vịt mái.a. Choấp 5000quảtrứng, nhiều khảnăng nhất có bao nhiêuvịt mái.b. Khi nuôixác suất sống của vịt mái là 0,9 ,của vịt đực là 0,8. Nếu tiền trứng và tiền ấplà 1200đồng /1quả, tiền thức ăn và tiền công chăm sóc là 1400đồng/ 1 con( kể cảconsống và con chết). Tiền bán vịt mái là 6000đồng, tiền bán vịt đực là 5000đồng/1 conthìchủ lò lãi trung bình là bao nhiêu?.

11 . Ba vận động viên bóng bàn A, B, Ccó trình độngang nhau tham gia một giải đấutheo qui tắc: Avà B gặp nhauở trận đầu nếu ai thắng sẽ đấu tiếp vớ i C. Ngườ i thắng ởtrận thứ hai sẽ gặp ngườ i thuaở trận đầu. Giải đấu sẽ kết thúc khicó một ngườ i thắng

liên tiếp 2 trận. Hãy tính xác suất thắng trận của từng ngườ i.12. Một nhân viêntại một trung tâmtrò chơ i điện tử phụ trách 20máy. Xác suất đểmỗimáy cần sự giúp đỡ của nhân viên trong một giờ là0,1.Các máy hoạt động độc lập.a. Gọi X là số máy cần sự giúp đỡ của nhân viên trong 1 giờ . Tìm qui luật phân phối xácsuất của Xb. Tìm xác suất để trong 1 giờ làm việc có ít nhất 1 máy cần đến sự giúp đỡ của nhânviên.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




13. Một lô hàng có 8 sản phẩm loại A, 2sản phẩm loại B. Rút lần lượ t từ lô hàng ra 1sản phẩm đểkiểm tra cho tớ i khi gặp sản phẩm loại B thỉ dừng.Gọi X là số sản phẩm rútra.

a. Lập bảng phân phối xác suất của X.

b. Tính E(X), D(X).

14. Tỉ lệngườ i có kýsinhtrùng sốt rét trongmáu tại một vùng miền núi là 0,1. Ngườ i tatiến hành xét nghiệm mẫu máu cho dânở vùng này cho tớ i khi phát hiện ra mẫu có kếtquảdươ ng tính thìdừng.Gọi Xlà số mẫu máu cần xét nghiệm.

a. Tính E(X), D(X).

b. Tính ModX.

15. Tiến hành một dãy các phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện Aởmỗi phép thử

P(A) = p.Gọi Xlà số lần thất bại trướ c thành côngđầu tiên.a. Hãy xác định quy luật phân phối xác suất của X.

b. Nếu Y là số lần thất bại trướ c thành công thứ k. Hãy xác định quy luật phân phối xácsuất của Y.

16. Cho f(x) =≥

<− 0xkhiAxe

0xkhi0x

a. Tìm Ađểf(x) trở thành hàm mật độ xác suất.

b. Tìm hàm phân phối xác suất tươ ngứng.

c. Tính E(X).

17. Cho f(x) = Ae-|x|

a. Tìm Ađểf(x)là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiênX.

b. Tìm hàm mật độ xác suất của Y = X2.

c. Tínhxác suất P [ Y≥ 1 ].

18. Cho X, Ylà 2 biến ngẫu nhiênđộc lập có bảng phân phối xác suất sau:

X 0 2 2 Y 0 1 2

P 0,2 0,5 0,3 P 0,3 0,5 0,2a. Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z = X + Y.b. Hãy lập bảng phân phối xác suất của U = X.YWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




c. Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thờ i của (X, Y)

19. Tỉ lệ hạt thóc khôngnảy mầm là 0.001.Tính xác suất sao chochọn ngẫu nhiên 1000hạt thì a. Cókhôngquá10hạt khôngnảy mầm.b. Có đúng 10hạt khôngnảy mầm.

20. Cho X1, X2, …, Xi,…Xn là dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập có D(Xn) ≤ M n. Chứngminh rằng dãy các biến ngẫu nhiên trên tuân theo luật số lớ n.

21. Cho X1, X2, …, Xi,…Xn là dãy các biến ngẫu nhiênđộc lập có 0)X(Dn1lim

n

1iin

=∑=

∞→.

Chứng minh rằngdãy các biến ngẫu nhiên trên tuân theo luật số lớ n.

22. Các thếhệconở thếhệF2 có các kiểu gen AA, Aa, aa theotỉ lệ1 : 2 : 1.Xét 10cá thể

ở thếhệF2.

a. Tính xác suất để có3 cá thểmang gen AA, 5cá thểmang gen Aavà 2 cá thểmang genaa.

b. Tính xác suất để số cáthể mang gencùng kiểu nhiều hơ n số cáthể mang genkháckiểu.

23. Một phòng thí nghiệm đượ c cấp kinh phí để tìm một nguyên tố vi lượ ng trong mẫuđất. Khảnăng thành côngở thínghiêmđầu là 0,5 vớ i chi phí 10 triệu. Nếu thí nghiệm

đầu thất bại kinh phí đượ c tăng lên 15 triệu để thêmcác loại hoá chất mớ i nênxác suấtthành cônglà 0,6. Nếu thí nghiệm lần này cũng thất bại thì kinh phí vẫn đượ c cấp như làn thứ 2 và xác suất thành côngcũng là 0,6. Nếu lần này thất bại việc thí nghiệm kếtthúc và phòng này đượ c coilà khônghoàn thành nhiệm vụ. Gọi X là số tiền phòng phảidùng.Tính E(X).

24. Cho:≥

<= − 0xeAx

0x0)x(f x22

a. Xác định Ađểf(x)là hàm mật độ xác suất củamột biến ngẫu nhiên Xnào đó.b. Tìm hàm phân phối xác suất tươ ngứng.c. Tính: P(0 < X <1)d. Tínhkì vọngvà phươ ng saicủa X

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




25. Cho:≥

<=

θ−

0xke

0x0)x(f

2x

a. Tìm kđểf(x)là hàm mật là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiênYnào đó.

b. Tìm hàm phân phối xác suất tươ ngứng.c. Tìm kì vọng và phươ ng saicủa Y.

26. Tỉ lệ ngườ i có kýsinh trùng sốt rét ở mỗi ngườ i dânvùng caolà 0,2. Thử máu 900ngườ i dânở vùng caonói trên.a. Tính xác suất để số mẫu máu có kýsinh trùng sốt rét nằm trongkhoảng từ 156 đến204.b. Tínhxác suất đểsốmẫu máu có kýsinhtrùng sốt rét khôngnhỏhơ n 120c. Tínhxác suất đểsốmẫu máu có kýsinhtrùng sốt rét không lớ n hơ n 150.

27. Xác suất của một loại hạt giống nảy mầm sau khi gieolà 0,8.a. Phải gieoít nhất bao nhiêuhạt đểvớ i xác suất khôngnhỏhơ n 0,977có thể tin rằng cótrên 100hạt nảy mầm.b. Phải gieoít nhất bao nhiêuhạt đểvớ i xác suất khôngnhỏhơ n 0,977có thể tin rằng tầnsuất nảy mầm lệchkhỏi xác suất nảy mầm khôngquá0,01 về giá trịtuyệt đối.

28. Trọng lượ ng X của mỗi con bò trong một đàn bò làbiến ngẫu nhiêncó phân phốichuẩn vớ i kì vọng 300 kgvà độlệch chuẩn 50 kg. Chon ngẫu nhiên 1 con bò trongchuồng.Tínhxác suất đểcon bò đượ c chọn :a. Có trọng lượ ng trên 350 kg.b. Có trọng lượ ng từ 250đến 350 kg.c. Chọn ngẫu nhiên 4 con bò trongđàn bò nói trên.Tính xác suất để 2 trong 4 con bòđượ c chọn có trong lượ ng từ 250đến 350 Kg.

29. Trọng lượ ng mỗi concá chép trong hồ làmột biến ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn vớ ikì vọng 2 kgvà độlệch chuẩn 0,4 kg.Cá có trọng lượ ng đến 1,5 kglà cá loại ba,cá cótrọng lượ ng từ 1,5 kgđến 2,5 kglà cá loại hai,cá có trọng lượ ng trên 2,5 kglà cá loạimột.a. Bắt một concá trong hồ, tính xác suất đểconcá bắt đượ c là cá loại hai. Bắt 1000 concá trong hồ thì khảnăng nhất có bao nhiêucá loại haib. Có ngườ i bắt ngẫu nhiên 3 concá trong hồ thì khảnăng bắt đượ c 3 concá cùng loạilớ n hơ n khảnăng bắt đượ c 2 concá cùng loại. Theo anh (chị) ý kiến trênlà đúng haysai?Tại sao?c. Bắt 5 concá trong hồ, tính xác suất để1 conloại một, 3 conloại haivà 1 conloại ba.

30. Một ngườ i chuẩn bị 10 hốc đểtrồng bí, mỗi hốc gieo một hạt xác suất nảy mầm củamỗi hạt là 0,9.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




a. Tínhxác suất để có ít nhất 1 hốc khôngcó hạt nảy mầm.b. Biết mỗi hốc có hạt nảy mầm cây bí sẽsống và ra quả đem bán đượ c 50.000đ. Tiền lờ ithuđượ c từ 10 hốc bí trênlà bao nhiêu?c. Một ngườ i góp ý mỗi hốc bí nên gieo 3hạt, nếu mỗi hốc có hơ n 1 cây nonthì nhổ bỏchỉ để lại 1 cây vớ i lập luận là làm như thế xác suất để cả10 hốc đều có cây nonsẽ lớ nhơ n 0,90. Anh (chị) có đồng ý vớ i lập luận trên không ?Tại sao?

31. Năng suất lúa Xởmột địa phươ ng là biến ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn vớ i kì vọng60 tạ và độlệch chuẩn là 5 tạ /ha. Gặt ngẫu nhiên 5 thửa ruộng.a. Tính xác suất để trong 5 thửa ruộng đượ c gặt có 2 thửa ruộng có năng suất lệch khỏi kìvọng khôngquá2 tạ.b.Tính xác suất để trong 5 thửa ruộng đượ c gặt có ít nhất 1 thửa ruộng có năng suất lệchkhỏi kì vọng khôngquá2 tạ.

32. Các khách hàng mua xe hơ i tại một đại lý nếu vì lýdo nào đó không vừa ý, chiếc xeđã muađượ c trả lại trongvòng 2ngày sau khi muavà đượ c lấy nguyên tiền. Mỗi xe bị trảlại như vậy đại lý bị thiệt hại 5 triệu đồng.Tỉ lệxe bị trả lại là 10 %.Có100 xe mớ i đượ c bán ra.a. Tìm kì vọng và độlệch chuẩn sốxe bị trả lại.b. Tìm kì vọngvà độlệch chuẩn của số tiền đại lý bị thiệt hại.

33. Biến ngẫu nhiên Xcó phân phối Poisson vớ i λ = 10.Tính xác suất đểX không vượ tquá3.

34. Số lần trục trặc của một mạng máy tínhở một trườ ngđại học trong một thángcó phânphối Poisson vớ i λ = 2.Tínhxác suất đểtrong một thángcó 5 máy bị trục trặc.

35. Biến ngẫu nhiênXcó phân phối mũvớ i kì vọng là 2. Hãy tính xác suất đểX nhận giátrị nhỏhơ n 3.

36. Một cái biahình chữ nhật có chiều dài 6m, chiều rộng 4m. Một ngườ i nhằm bắn vàobia,Gọi X, Y lần lượ t là khoảng cách giữa điểm chạm của viênđạn vớ i mặt phẳng chứabia tớ i 2 trục đối xứng của bia. Biết X có phân phối chuẩn vớ i kì vọng là 2 m và độlệchchuẩn 0,9m. Ycó phân phối chuẩn vớ i kì vọng là 1,5mvà độlệch chuẩn 0,6mvà X độclập vớ i Y. Tính xác suất đểviênđạn đượ c bắn trúng bia.

37. Cho vectơ ngẫu nhiên 2 chiều có bảng phân phối xác suất đồng thờ i sau:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




XY 0 1 2 3

0 0,05 0,10 0,05 0,101 0,01 0,05 0,10 0,102 0,05 0,10 0,05 0,15

a Tìm phân phối của các thành phần X,Y.b. Tìm Cov(X,Y) ,ρ (X, Y).

c. Tìm phân phối của 2YX

= và tính E( 2YX

= ).

d. Tìm phân phối của 1XY

= và tính E( 1XY

= ).

38. Xác suất sinh con trailà 0,5 vớ i mỗi ngườ i mẹ. Một giađình dự định có 3 con.Gọi X

là biến ngẫu nhiênchỉ số con gái trong giađình có 3 con. Ylà biến ngẫu nhiênchỉ dãycác trẻemcó giớ i tính liền nhau, chẳng hạn nếu có3 đứa trẻ đều là gái hoặc đều là traithìY = 1. Nếu đứa đầu là gái, đứa thứ hai là trai,đứa thứ ba là gái thìY = 3.a. Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thờ i của vectơ (X,Y).b. Gọi Z là chi phívềquần áo biết Z = X +Y +10 .Hãy lập hàm phân phối xác suất của Z.c. Tínhkì vọngvà phươ ng saicủa Z.

39. Xác suất đểmỗi cây sống sau một thờ i gian trồng là 0,8. Trồng 400 cây.a. Tínhxác suất để cótừ 300 câyđến 340 cây sống.b. Tínhxác suất đểsốcây sống khôngnhỏhơ n 300 cây.c. Tínhxác suất đểsốcây sống khôngquá340 cây.

40. Tỉ lệngườ i có kísinhtrùng sốt rét tại một vùng đồng bằng là 0,001.Xét nghiệm 4000mẫu máu.a. Tínhxác suất để có8 mẫu có kísinhtrùng sốt rét.b. Tínhxác suất để đểkhôngcó quá5 mẫu máu có kísinhtrùng sốt rét

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 4: Nh ữ ng khái ni ệ m cơ bả n m ở đầu về thố ng kê.

Thống kê toán học có thể coi là một phươ ng pháp khoa học phân tích và xử lýdữ liệu

có đượ c nhờ các thí nghiệm, các cuộc điều tra nghiên c ứu các hiện tượ ng t ự nhiên, cácvấn đề kỹthuật cũng nh ư các vấn đề xãhội. Những d ữ liệu ở đây có thể lànhững đặctính định tính, cũng có thể lànhững đặc tính định lượ ng. T ừ những dữ liệu thu th ập đượ c,dựa vào các quy lu ật xác su ất để đưa ra nh ững quy ết định, nh ững đánh giá và các dự báovề những hi ện tượ ng đang đượ c thí nghiệm ho ặc đang đượ c quan sát là mục đích củathống kê toán học.

I. T ổ ng th ể và mẫ u.

1.Tổng th ể và kí ch th ướ c của tổng th ể.Khi nghiên c ứu hoặc quan sát một hoặc một số đặc tính của các phần tử trong m ột tậphợ p nào đó thìtập hợ p các phần tử này đượ c gọi là tổng th ểhoặc đám đông, m ỗi phần tửthuộc tập hợ p này đượ c gọi là các cá thể của tổng th ể hoặc cá thể của đám đông. Ch ẳnghạn như khi nghiên c ứu chi ều cao của thanh niên Vi ệt Nam ( có tuổi từ 15 đến 30) thìtổng th ểgồm tất cả các thanh niên Vi ệt Nam ở thờ i điểm bắt đầu nghiên c ứu, đặc tính màta nghiên c ứu là một đặc tính định lượ ng đó làchiều cao của mỗi cá thể trong t ập hợ pthanh niên Vi ệt Nam. Khi điều tra m ột loại bệnh m ớ i xu ất hiện trên gia c ầm tại các tỉnhthuộc đồng b ằng B ắc Bộ thì tổng th ể là toàn bộ gia c ầm đang đượ c ch ăn nuôi tại đồngbằng B ắc Bộ. Đặc tính mà ta quan tâm t ớ i trong tr ườ ng hợ p này là một đặc tính định tínhxét mỗi cá thể gia c ầm trong t ổng th ể cóhoặc không có loại bệnh mà ta quan tâm. S ốlượ ng các cá thể trong m ột tổng th ể đượ c gọi là kích thướ c của tổng th ể . Ngườ i tathườ ng dùng ch ữ hoa N để chỉ kích th ướ c của tổng th ể .Thông th ườ ng kích thu ớ c tổngthể rất lớ n. Chính vì vậy việc xét một hoặc một số các đặc tính của tất cả các cá thể trongtổng th ể sẽtốn kém về thờ i gian, công s ức cũng nh ư tiền của. Trong nhi ều trườ ng hợ pviệc nghiên c ứu tất cả các cá th ể của tổng th ể làkhông khả thi vì số lượ ng cá thể ởtổngthể cómặt trong th ờ i gian nghiên c ứu luôn bi ến động. Ch ẳng hạn việc xét tuổi thọ của tấtcả công dân Vi ệt Nam là một việc làm không khả thi. Trong nhi ều trườ ng hợ p khác việcnghiên c ứu tất cả các cá thể của tổng th ể lại là một việc làm không có ý nghĩ a. N ếu cầnđánh giá chất lượ ng bia của nhà máy bia Hà Nội sản xu ất trong m ột tháng mà đem m ởtất cả các chai bia này ra đểkiểm tra thì không th ể chấp nhận đượ c vì sau khi ki ểm tra sẽkhông còn bia để bán.

2. Mẫu và kí ch th ướ c m ẫu.Một tập hợ p các cá thể lấy ra t ừ tổng th ể gọi là mẫu. S ố lượ ng cá thể cómặt trong m ộtmẫu gọi là kích thướ c của mẫu. . Ng ườ i ta th ườ ng dùng ch ữ n để chỉ kích thướ c mẫu.Kích th ướ c của mẫu thườ ng nhỏhơ n rất nhiều so v ớ i kích th ướ c của tổng th ể. Từ tổngthể đãcho ta có thể lấy ra nhi ều m ẫu khác nhau v ớ i cùng m ột kích thướ c n. T ập hợ p tấtcả các m ẫu có thể lấy ra đượ c từ tổng th ể đượ c gọi là không gian m ẫu. N ếu đặc tính màta nghiên c ứu là đặc tính định lượ ng X thì vớ i một mẫu cụ thể có kích thướ c n, cá thể thứi trong m ẫu có đặc tính X = x i thìbộ số WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




(x1, x 2, ..., x i, ... x n ) cũng đượ c gọi là một mẫu. T ập hợ p tất cả các bộ n số tươ ng ứng vớ itập tất cả các mẫu có cùng kích thướ c n cũng đượ c gọi là không gian m ẫu. Trong tr ườ nghợ p này không gian m ẫu là một tập con của không gian R n.Thay vì nghiên c ứu tất cả các cá thể cómặt trong t ổng th ể ta chuy ển sang nghiên c ứu mộtbộphận của tổng th ể làmẫu vì vậy mẫu phải đại diện một cách khách quan nh ất cho t ổng

thể. Để đảm bảo yêu c ầu trên, ng ườ i ta đưa ra các phươ ng pháp lấy mẫu sau.3. Các ph ươ ng pháp lấy m ẫu3.1 Lấ y mấ u ng ẫ u nhiên không hoàn lại: Đánh số các cá thể trong t ổng thổng th ể từ 1đến N. Rút ngẫu nhiên l ần lượ t n cá thể đưa vào một mẫu. Từ phươ ng pháp lấy mẫu này

ta thấy: xác suất để cáthể đầu tiên có mặt trong m ẫu làN1

, xác suất để cáthể thứ i có

mặt trong m ẫu là1iN

1+−

.

3.2 Lấ y mẫ u ng ẫ u nhiên có hoàn lại: Đánh số các cá thể trong t ổng th ể từ 1 đến N. Rútngẫu nhiên t ừ tổng th ể ra 1 cá thể, ghi đặc tính của cá thể này rồi trả cáthể đóvề tổng

thể, đặc tính vừa ghi đượ c coi là phần tử đầu của mẫu. Vi ệc xác định các ph ần tử tiếptheo của mẫu cũng đượ c làm tươ ng tự như trên. T ừ phươ ng pháp lấy mẫu ng ẫu nhiên có

hoàn lại ta th ấy: xác suất đểmỗi cá thể cómặt trong m ẫu làN1

. Mỗi cá thể cómặt nhiều

lần trong m ẫu.Ta nh ận th ấy rằng v ớ i kích thướ c n, s ố lượ ng các m ẫu trong tr ườ ng h ợ p lấy m ẫu khônglặp là An

N, số lượ ng các mẫu trong tr ườ ng hợ p lặp N n . Khi N l ớ n hơ n rất nhiều so v ớ i nthì An

N và Nn sai khác nhau không đáng k ể vìvậy việc lấy mẫu có hoàn lại cũng gầngiống nh ư việc lấy mẫu không hoàn lại.3.3. L ấ y mẫ u theo các lớ p: Đểmẫu đại diện một cách khách quan nh ất cho t ổng th ể là ưutiên hàng đầu của việc lấy m ẫu. Trong nhi ều trườ ng hợ p ngườ i ta chia t ổng th ể ra làm klớ p rồi từ mỗi lớ p lấy ng ẫu nhiên ra m ột số cáthể đưa vào mẫu. N ếu số lượ ng các cá thểở lớ p thứ i là N i thì số cáthể đượ c chọn đưa vào mẫu của lớ p này là ni cần thoả mãn

NN

nn ii ≈ .

3.4: L ấ y mẫ u theo chu kỳ : Trong vi ệc kiểm tra ch ất lượ ng các sản phẩm công nghi ệpđượ c sản xuất theo dây chuy ền việc lấy mẫu ngẫu nhiên sẽ gặp khó khăn và tốn kém.Phươ ng pháp lấy mẫu theo chu kỳ tỏra thu ận lợ i trong n ền sản xuất công nghi ệp hiệnđại. Cứ sau m ột chu kỳ gồm T sản phẩm ta l ấy ra m ột sản ph ẩm để đưa vào mẫu. Đểtránh sự trùng lặp của chu kì sản xuất ra các sản phẩm tốt, xấu của dây chuy ền vớ i chu kỳlấy m ẫu ta có thể thay đổi chu kỳ T trong các đợ t lấy m ẫu khác nhau v ớ i mục đích m ẫu phải đại diện một cách khách quan nh ất cho t ổng th ể .Các ph ươ ng pháp lấy m ẫu trên là các ph ươ ng pháp phổ biến trong vi ệc thu th ập các dữliệu.Vi ệc lấy mẫu tốt, xấu theo nghĩ a có khách quan hay không ảnh hưở ng rất lớ n tớ i việcđưa ra k ết luận có chính xác hay không v ề các đặc tính có mặt trong t ổng th ể .

II. B ố trí mẫ u và phân ph ố i mẫ u.

Khi nghiên c ứu đặc tính định lượ ng X ở tổng th ể bằng các phươ ng pháp lấy mẫu ta nh ậnđượ c một mẫu có kích th ướ c n gồm n số liệu:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




x1, x 2, ... , x i, ..., x n.Đểkhai thác và xử lý các thông tin ch ứa đựng trong dãy số liệu này ta c ần sắp xếp số liệunhằm dễ dàng nh ận ra các đặc trưng của dãy số liệu đó.

1. Sắp xếp số liệu

Thông th ườ ng ta s ắp xếp số liệu theo th ứ tự tăng d ần. Dãy số liệu này ưu điểm hơ n dãysố liệu ban đầu, ta có thể dễ dàng nh ận biết giá trị nhỏnhất và giá trịlớ n nh ất của các sốliệu mẫu. Bi ết đượ c biên độ dao động của các số liệu mẫu. Vớ i cách s ắp xếp này ta d ễdàng nh ận bi ết các số liệu có mặt trong m ẫu hơ n m ột lần vì các số liệu bằng nhau đượ cxếp liền nhau.1.2 S ắ p xế p mẫ u theo bảng t ần số vàt ần su ấ t mẫ u. Bảng t ần số : Là bảng hai dòng sau:

xi x1 x2 ... x i ... x k ni n1 n2 ... n i ... n k

Dãy trên ghi các giá trị cóthể có của mẫu theo th ứ tự tăng d ần, dòng dướ i ghi t ần sốtươ ng ứng. T ần sốmẫu là số cáthể có đặc tính X = xi trong m ẫu. Bảng tần sốmẫu cho ta

nhiều thông tin h ơ n dãy số liệu đượ c sắp xếp theo th ứ tự tăng dần. Ngoài những thông tincó đượ c như dãy số liệu đượ c sắp xếp theo th ứ tự tăng dần, qua bảng tần số ta có thểbiếtđượ c số liệu nào có mặt nhiều nhất, số liệu nào có mặt ít nhất trong m ẫu.

Bảng t ần su ấ t: G iá trị f i =nn i đượ c gọi là tần su ất của cá thể có X = x i trong m ẫu. Bảng

tần suất mẫu là bảng sau:xi x1 x2 ... x i ... x k f i f 1 f 2 ... f i ... f k

Ngoài những thông tin có đượ c như bảng tần số mẫu ta còn biết đượ c tỷ lệ phần trămđóng góp của số liệu mẫu.1.3 Biể u diễ n bằ ng đồ thị:Trong m ặt phẳng Oxy v ớ i Oy là trục chỉ tần sốni , Ox chỉ giá trịmẫu x i. Xét tập các điểmM i(x i, n i), nối M i vớ i điểm nằm trên trục hoành có hoành độ xi ta có biểu đồ hình gậybiểu diễn tần số. Cũng trong m ặt phẳng Oxy v ớ i Oy là trục chỉ tần su ất f i , Ox chỉ giá trịmẫu x i. Xét tập các điểm N i(x i, n i), nối N i vớ i x i ta có biểu đồ hình gậy biểu diễn tần suất.Các bi ểu đồ này th ể hiện bở i hai hình sau. L ấy tỷ lệ trên trục Oy trong bi ểu đồ tần su ấtgấp n lần trên bi ểu đồtần số ta đượ c hai bi ểu đồgiống nhau.

Hình 1 Hình 2

n

x 1 x 2 x k-1 kO

f i

x x x k-1 x O

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 5 Hình 6

3. Hàm phân ph ối mẫu.Vớ i mẫu cho b ở i bảng tần suất:

Hàm phân ph ối mẫu là hàm cho b ở i:

≥

<≤+++

<≤

<

=+

k

iiin

x xkhi

x x xkhi f f f

x x xkhi f

x xkhi

xF

1

.....

.....

.....

0

)(121

211

1

Nhận thấy rằng: hàm phân ph ối mẫu phụthuộc vào m ẫu và kích thướ c của m ẫu. Vớ i haimẫu có cùng kích thướ c có thể nhận đượ c hai hàm phân ph ối mẫu khác nhau. Giảsử đặctính định lượ ng X ở tổng th ể có hàm phân ph ối F(x) .Định lý Glivenco-Katelli đã chỉra r ằng: vớ i mọi số thực x, Sup |F n(x) - F(x)| h ội tụ hầuchắc chắn tớ i 0 khi n ti ến ra vô cùng. Điều này có nghĩ a là vớ i n đủ lớ n ta có thể lấy phânphối mẫu thay cho phân ph ối xác suất chưa biết của tổng th ể.

III. M ẫ u ng ẫ u nhiên và cá c đặ c tr ư ng m ẫ u.

1. Mẫu ng ẫu nhiên. Giả sử đặc trưng bi ến X ở mỗi cá thể ởtổng th ể làmột đại lượ ng ng ẫu nhiên có hàm

phân ph ối xác su ất F(x), ta ti ến hành m ột phép lấy m ẫu ng ẫu nhiên có kích thướ c n. GọiX i là biến ng ẫu nhiên chỉ giá trịX của cá thể thứ i trong m ẫu, ta th ấy các X i là các bi ếnngẫu nhiên có cùng phân ph ối xác suất vớ i X. V ớ i mỗi mẫu cụ thểX i sẽ có giá trị xácđịnh là xi. Do vi ệc lấy mẫu là độc lập nên dãyX1, X 2, ..., X n là các đại lượ ng ng ẫu nhiên độc lập.Ta có thể hiểu véctơ ngẫu nhiên ( X 1, X 2, .. X i,.., X n ) trong đó X i độc lập vớ i X j khi i ≠ jvà các X i có cùng phân ph ối xác suất vớ i X đượ c gọi là một mẫu ng ẫu nhiên l ấy từ tổngthể đãcho.Vớ i mỗi mẫu cụ thể ta có một bộ n số thực (x 1, x 2, ..., x i, ..., x n), bộ số này này gọi làmột thểhiện của mẫu ngẫu nhiên ( X 1, X 2, ...X i,.., X n ) ứng vớ i mẫu đang xét.

n i

x x x x k-1 x k O

f i

x x x x k-1 x k O

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ví dụ: Xét tổng th ể làtập sinh viên Vi ệt Nam, đặc trưng X là chiều cao của mỗi sinhviên. Xét một mẫu có kích thướ c n = 10, véc tơ ngẫu nhiên:( X 1, X 2, ..., X 10 ) vớ i X i là chiều cao của sinh viên th ứ i trong m ẫu là m ột mẫu ngẫu

nhiên. V ớ i một mẫu cụ thểx1 = 1,65; x 2 = 1,52; x 3 = 1,60; x 4 = 1,65; x 5 = 1,70

x6 = 1,58; x 7 = 1,68; x 8 = 1,72; x 9 = 1,52; x 10 = 1,60Bộ số (1,65; 1,52; 1,60; 1,65; 1,70; 1,58; 1,68; 1,72; 1,52; 1,60) là một thể hiện củamẫu ngẫu nhiên ( X 1, X 2, ..., X 10 ).2. Các đặc tr ư ng m ẫu:2.1 Hàm mẫ u (th ố ng kê ): Hàm g( X 1, X 2, .., X n) vớ i ( X 1, X 2, ., X n ) là một m ẫu ng ẫunhiên gọi là một hàm mẫu hay m ột thống kê .Vì mẫu (X 1,X2, ..., X n ) là một véc tơ ngẫu nhiên nên g( X 1, X 2, ..., X n ) là một biếnngẫu nhiên. V ớ i mẫu cụ thểbiến ngẫu nhiên X i = x i vớ i i = 1, 2 . . . , ng(x 1, x2, ... , x n), là giá trị cụthể màthống kê g( X 1, X 2, ..., X n ) nhận tươ ng ứng vớ i mẫuđã cho. Phân ph ối xác suất của thống kê g ( X 1, X 2, ..., X n ) phụ thuộc vào phân ph ốixác suất của biếnngẫu nhiên X ở tổng th ể .2.2 Trung bình và phươ ng sai m ẫ u.Xét mẫu ngẫu nhiên ( X 1, X 2, ..., X n)

Thống kên1

X = ( X 1+ X 2 + ...+ X n) gọi là trung bình m ẫu. Vớ i mẫu cụ thể:

(x1, x 2, ..., x n),n1

x = (x1+ x2+ ...+ x n) là giá trị màtrung bình m ẫu nh ận đượ c ứng vớ i

mẫu đã cho. Ta coi x là một thểhiện của X vớ i mẫu đã cho.

Thống kê: 2S =n1 2

n

1ii )XX(∑

=

− gọi là phươ ng sai m ẫu chưa hiệu chỉnh,

2s =n

1 2n

1ii )xx(∑

=

− cũng đượ c gọi là phươ ng sai m ẫu chưa hiệu chỉnh vớ i ý nghĩ a nó

là một thểhiện của 2S ứng vớ i mẫu cụ thể.

Thống kê: S 2 =1n

1−

2n

1ii )XX(∑

=

− gọi là phươ ng sai m ẫu đã hiệu chỉnh,

s2 =1n

1−

2n

1ii )xx(∑

=

− cũng đượ c gọi là phươ ng sai m ẫu đã hiệu chỉnh tươ ng

ứng vớ i mẫu đã cho.Đểphân bi ệt trong ph ần còn lại của giáo trình ta s ử dụng các ch ữ viết hoa chỉ các thốngkê của mẫu ngẫu nhiên và các chữ không vi ết hoa chỉ các thểhiện tươ ng ứng,Thống kê : S ˆ gọi là độlệch chu ẩn mẫu chưa hiệu chỉnh và s là thểhiện của S ˆ vớ i mẫuđã cho.Thống kê : S gọi là độlệch chu ẩn mẫu đã hiệu chỉnh và s là thểhiện của S vớ i mẫu đãcho.Khái niệm chưa hiệu chỉnh và đãhiệu chỉnh của phươ ng sai m ẫu sẽ giải thích ở chươ ngsau. Ta có th ể tính các th ống kê trên theo công th ức sau:

22222 ˆ1

;ˆ S n

nS X X S

−=−= vớ i ∑

=

=n

ii x

n X

1

22 1 W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Ví dụ: Một mẫu cho b ở i bảng tần số sau:

xi 50 52 54 56ni 2 3 3 2

Ta có :101x = (2.50 + 3.52 +3.54 + 2.56 ) = 53

2s =101

[2(50- 53) 2 +3(52 -53) 2 + 3(54-53) 2 +2(56-53) 2] = 4,2

s2 =91

[2(50- 53) 2 +3(52 -53) 2 + 3(54-53) 2 +2(56-53) 2] =3

14

s = 05,22,4 ≈ , s = 2,16.Trong th ực hành chúng ta chỉ tính các th ể hiện của thống kê ứng vớ i một mẫu cụ thể, để thuận lợ i cho vi ệc tính toán ta đưa ra m ột công th ức khác để tính

2

s = n1 2

n

1ii )xx(∑= − = n

1)xx(

n

1ii∑= −

2s =n1

)xn1

xnx2

xn

1i

2n

1i

n

1iii

2 ∑∑ ∑== =

+− =n1 2n

1i

i2 xx −∑

=

Đặt ∑=

=n

1i

i22 x

n1

x ta có 2s =22 xx − , ta cũng có

s2 =1n

n−

2s suy ra s 2 =1n

n−

(22 xx − )

2.3 M ột số đặc tr ư ng m ẫ u khác: Do các đặc trưng nêu ra d ướ i đây không đượ c sử dụngphổ biến trong ph ần còn lại của ch ươ ng trình nên chúng tôi chỉ nêu ra các thể hiện của

các đặc trưng m ẫu ngẫu nhiên t ươ ng ứng vớ i một mẫu cụ thể.Mô men m ẫu cấp k là sốmk (0) =

n1 ∑

=

n

i

k i x

1

Mô men trung tâm m ẫu cấp k là sốmk =n1 k

n

1ii )xx(∑

=

−

Hệ sốbất đối xứng mẫu là số: h3 = 3k

sm

Hệ số nhọn mẫu là số : 3sm

h 44

4 −=

IV M ộ t số phân ph ố i xá c su ấ t th ườ ng g ặ p trong th ố ng kê .

Phân ph ối chu ẩn là một phân ph ối kháphổbiến, các biến ngẫu nhiên g ặp trong nhi ều lĩ nhvực thườ ng có phân ph ối chu ẩn hoặc xấp xỉ chuẩn. Các biểu thức đượ c trình bày trongphần còn lại của thống kê đều có liên quan m ật thiết đến phân ph ối chu ẩn. Mục này giớ ithiệu ( không ch ứng minh) m ột số định lý vềphân ph ối chu ẩn và các phân ph ối có liênquan đến phân ph ối chu ẩn.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




1. Các định lý vềphân ph ối chu ẩn.1.1 Định lý 1: Nếu biến ng ẫu nhiên X có phân ph ối chu ẩn vớ i kỳ vọng µ và phươ ng sai

σ 2 thì Z =σ

µ−X cóphân ph ối chu ẩn tắc.

Một biến ngẫu nhiên X có phân ph ối bất kỳ vớ i kỳ vọng a và phươ ng sai là b2 thìbiến

Z =b

aX − gọi là biến đã đượ c chu ẩn hoá. Như vậy chu ẩn hoá một biến ng ẫu nhiên có

phân ph ối chu ẩn ta đượ c một biến có phân ph ối chu ẩn tắc.1.2 Định lý2: Nếu X và Y là hai bi ến chu ẩn độc lập, E(X) = µ X, D(X) = σ 2

X ;E(Y) = µ Y, D(Y) = σ 2

Y thì :1/ Z = X + Y có phân ph ối chu ẩn vớ i kỳ vọng là tổng của hai kỳ vọng và phươ ng

sai là tổng của hai ph ươ ng sai.2/ Z = X - Y có phân ph ối chu ẩn vớ i kỳ vọng là hiệu của hai kỳ vọng, và phươ ng

sai là tổng của hai ph ươ ng sai.Tổng, hi ệu của hai bi ến chu ẩn độc lập cũng là một biến chu ẩn.1.3 Định lý3: Nếu X

1, X

2, ..., X

n là dãy các biến chu ẩn độc lập có cùng kỳ vọng

µ và

phươ ng sai σ 2 thì Z =σ

µ−Xn cóphân ph ối chu ẩn tắc.

ở đón1

X = ( X 1+ X 2+ ... +X n ) là biến trung bình của dãy biến ngẫu nhiên chu ẩn

X1, X 2, ..., X n.1.3 Định lý 4: Nếu X 1, X 2, ..., X n; Y 1, Y 2, ..., Y m là dãy các bi ến ng ẫu nhiên chu ẩn, độc

lập, X i N( µ X , σ 2X) i= 1, n; Y j N( µ Y, σ 2

y) j = 1, m thì biến

mn

)(YXZ

Y2

X2

YX

σ+

σ

µ−µ−−= cóphân ph ối chu ẩn tắc.

X là trung bình của dãy các biến: X 1, X 2, ..., X n Y là trung bình của dãy các biến: Y 1, Y 2, ..., Y m

2.Phân ph ối khi bình ph ươ ng χχχχ 2.2.1. Định nghĩ a: Nếu X 1, X 2, ..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân ph ối chu ẩn

tắc thì biến ngẫu nhiên Z = ∑=

n

1i

2iX đượ c gọi là biến ngẫu nhiên có phân ph ối khi bình

phươ ng vớ i n bậc tự do. Kýhiệu Z χ 2n

2.2 Định lý1 : Nếu Z χ 2n thì hàm mật độ của Z có dạng:

>

Γ

≤

=−−

0zkhiez

)2n

(2

10zkhi0

)z(f 2z

12n

2

n ,

Trong đó hàm: ∫+∞

−−=Γ 0

t1x dtet)x( , x > 0.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2.3 Định lý2: Nếu Z χ 2n thì E(Z) = n và D(Z) = 2n.

Hàm mật độ và hàm phân ph ối xác suất của phân ph ối χ 2n phụthuộc vào bậc tự do của

phân ph ối . Hai hình sau cho ta đồ thị hàm mật độ và hàm phân ph ối xác suất khi bìnhphươ ng ứng vớ i các bậc tự do n = 1, n = 4, n = 10.

Hình 7 Hình 82.4 Định lý3: Nếu X 1, X 2,. . . . . X i,. . X n là các biến ngẫu nhiên chu ẩn, độc lập,

X i N( µ , σ2) thì biến

22 S1n

Z σ−

= là biến ngẫu nhiên có phân ph ối2

1−n χ

S2 =1n

1−

2n

1ii )XX(∑

=

− ,n1

X = ( X 1+ X 2+ ... +X n )

Khi coi vec t ơ ngẫu nhiên (X 1, X 2, ..., X n) là mẫu ngẫu nhiên c ủa biến X ở tổng th ể cóphân ph ối chu ẩn vớ i kỳ vọng µ vàphươ ng sai σ 2 thìS 2 là phươ ng sai m ẫu đã hiệu

chỉnh và X là trung bình mẫu.

3.Phân ph ối Student3.1 Định nghĩ a: Nếu X và Y là hai bi ến ngẫu nhiên độc lập , X có phân ph ối chu ẩn tắc, Y

có phân ph ối χ 2n thìZ = n

Y

X là biến ngẫu nhiên có phân ph ối Student v ớ i n bậc tự do.

Khi đó ta ký hiệu Z Sn hoặc Z Tn.3.2 Định lý1: Nếu Z Tn thì hàm mật độ của Z là

21n

2

nt

1

1

n2n

)2

1n(

)z(f +

+

π

Γ

+Γ

=

3.3 Định lý2: Nếu Z T 1 thìZ không có kỳ vọng và phươ ng sai .Nếu Z T2 thìE(Z) = 0, D(Z) không t ồn tại.Nếu Z Tn vớ i n > 2 thì E(Z) = 0 , D(Z) =

2nn−

.

Do hàm mật độ của phân ph ối T n là hàm ch ẵn nên n ếu Z Tn thìP [|Z| α≥ ] = 2P[ 0],Z0 >αα≤≤ .

Hàm m ật độ và hàm phân ph ối T n cũng phụthuộc vào bậc tự do n. Hình vẽsau là đồ thịcủa hàm mật độphân ph ối T n trong các trườ ng hợ p n = 1, n = 5 và n = 10.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 93.4 Định lý3: Nếu X 1, X 2, ..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, X i cóphân ph ối chu ẩntắc vớ i kỳ vọng µ vàphươ ng sai σ 2 thìbiến ngẫu nhiên

Z = nS

X µ− cóphân ph ối Student v ớ i n - 1 b ậc tự do.

3.5 Định lý4: Nếu X 1, X 2, ..., X n; Y 1, Y 2, ..., Y m là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,E(X i) = µ X,, i= 1, n; E(Y j ) = µ Y , j = 1, m,

D(X i) = D(Y j) , i= 1, n, j = 1, m thì biến ngẫu nhiên

m1

n1

S

)(YXZ YX

+

µ−µ−−= có

phân ph ối Student v ớ i n + m - 2 b ậc tự do.

∑=

=n

1iiX

n1

X là biến ngẫu nhiên trung bình của dãy các biến:

X1, X 2, .. ..,Xi …, Xn

∑=

=m

1 j jY

m

1Y là biến ngẫu nhiên trung bình của dãy các biến

Y1, Y 2, ...,Y m

2

m

1 j

2 j

n

1i

2i

2 SS,2mn

)YY()XX(

S =−+

−+−=

∑∑==

4.Phân ph ối Fisher- Snedecor.4.1 Định nghĩ a: Nếu X và Y là hai bi ến ngẫu nhiên độc lập.

X χ 2n ; Y χ 2

m thìZ =Ym

.nX đượ c gọi là biến ngẫu nhiên có phân ph ối Fisher- Snedecor

vớ i n, m b ậc tự do. Kí hiệu Z Fn, m .4.2 Định lý1: Nếu Z Fn, m thì hàm mật độ của Z là :

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




>+

Γ

Γ

+

Γ

≤

=+

−−

0zn)zmn

1(z.

2

m

2

nmn

2mn

0zn0

)z(f 2mn

22n2

n

Õu

Õu

4.3 Định lý2: Vớ i m > 4 , E(Z) = 2

2

)2m)(4m(n)2mn(m2

)Z(D,2m

m−−−+

=−

Khi m ≤ 2 , E(Z) và D(Z) không t ồn tại, khi 2 ≤ m <4 thì E(Z) =2m

m−

còn D(Z) không

tồn tại. Hàm m ật độ và hàm phân ph ối của phân ph ối F n , m phụthuộc vào n và m. Hìnhvẽsau cho hàm mật độ của phân ph ối Fisher - Senedecor trong các trườ ng hợ p n = 6, m =6; n = 12, m = 6; n = 6 ,m = 60.

Hình 10 Hình 11

4.4 Định lý3: Nếu Z Fn, m thì 1 Fm, n .

4.5 Định lý4: Nếu X 1, X 2, ..., X n; Y 1, Y 2, ..., Y m là dãy các biến ngẫu nhiên chu ẩn độclập,X i N( 2

; X X σ µ ) i = 1, n; Y j N( 2; Y Y σ µ ) j = 1, m

S 2X =

1n1−

2n

1ii )XX(∑

=

− , S Y2 =

1m1−

2m

1 ji )YY(∑

=

− thì biến ngẫu nhiên

Z = 2Y

2X

S

S cóphân ph ối Fisher - Senedecor v ớ i n-1, m-1 b ậc tự do.

5. Phân vị mứ c 1- α .Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân ph ối F(x), α là một số thực thuộc khoảng (0, 1) .Phân vị mức 1- α của biến ngẫu nhiên X là một số α X thoả mãn

P( )XX(P1)XX αα ≤≤α−≤< Từ tính ch ất của hàm phân ph ối ta có:

F( )X(F1)X 0+αα ≤α−≤ ,vì lýdo đó

α X cũng là phân vị mức 1- α của hàm phân ph ốiF(x). X 0,5 chính là trung vị của biến ngẫu nhiên X.Nhận thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục vớ i hàm mật độf(x) thìWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




F( α−== ∫α

∞−α 1dx)x(f )X(

X

Nếu biến ng ẫu nhiên X có phân ph ối chu ẩn tắc thì phân vị mức 1- α của X đượ c kí hiệulà αU hay U( α ).

Nếu biến ng ẫu nhiên X có phân ph ối khi bình ph ươ ng vớ i n bậc tự do thì phân vị mức1-α của X đượ c kí hiệu là 2, nα χ hoặc ),(2 nα χ

Chú ý 1: Một số tác gi ả dùng kí hi ệu: 2,α χ n hoặc ),(2 nα χ

1- α

α

Hình 12Nếu biến ng ẫu nhiên X có phân ph ối Student v ớ i n b ậc tự do thì phân vị mức 1- α của Xđượ c kí hiệu là t n,α hoặc t( ), nα

Chú ý 2: Một số tác gi ả dùng kí hi ệu: α ,nt hoặc ),( α nt

Hình 13

Nếu biến ng ẫu nhiên X có phân ph ối Fisher -Snederco thì phân vị mức 1- α của X đượ ckí hiệu là F mn ,,α hoặc F( ),, mnα

Chú ý 3: Một số tác gi ả dùng kí hi ệu: α ,, mnF hoặc ),,( α mnF

0 x

y

2, nα χ

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




α −1 α

mnF ,,α

Hình 14

6.Gi ớ i thi ệu cách tra bảng trong ph ụ lụcĐể tìm U

α ta sử dụng bảng 2 là bảng cho giá trị của hàm Laplace.

* α (0, 1), nhìn trong bảng giá trị của hàm φ (x) xem giá trị nào gần vớ i 1- α nhất.

* Hàng ch ứa giá trị này chỉ phần đơ n vị vàphần mườ i của U α .

* Cột chứa giá trị này chỉ phần trăm của U α .Ví dụ1 : Vớ i α = 0,01 , giá trịgần 1- α = 0,99 nh ất trong bảng giá trị hàm φ (x) là

0,99010 . Giá trị này nằm ở hàng 2,3 vàcột 3. V ậy U 0,01 = 2,33.Vớ i α = 0,025 , g iá trịgần 975,01 =α− này nằm ở hàng 1,9 và cột 6. V ậy U 0,025 = 1,96.

Để tìm χ 2, nα ta tra bảng 3.

* χ 2, nα là sốnằm trên hàng n và cột α .

Ví dụ2 : χ 10,05,0 = 18,31 là phân vị mức 1- 95,0=α của phân ph ối χ 210

χ 218,975,0 = 8,33 là phân vị mức 0,025 của phân ph ối χ 2

18

Để tìm t n,α tra bảng 4.

* t n,α là sốnằm trên hàng n và cột có giá tri là 2 α .

Ví dụ3: t 12,025,0 = 2,179 là phân vị mức 1- 975,0=α của phân ph ối T 12

t 30,01,0 = 2,457,33 là phân vị mức 1- α = 0,99 của phân ph ối T30.

Để tìm F mn ,,α ta tra bảng 5.1 và bảng 5.2

Nếu α = 0,05 ta tra bảng 5.1. Giá trịF 05,0,m,n là giao của cột n và hàng m trong bảng 5.1

Ví dụ4: F 16,8,05,0 = 2,54 là phân vị mức 0,95 của phân ph ối F8 , 16

F 12,14,05,0 = 2,64 là phân vị mức 0,95 của phân ph ối F14 , 12

Nếu 1- α = 0,01 ta tra bảng 5.2 . Cách tra t ươ ng tự bảng 5.1.Ví dụ5: F 16,9,01,0 = 3,87 là phân vị mức 0,99 của phân ph ối F9 , 16

F 10,30,01,0 = 4,25 là phân vị mức 0,99 của phân ph ối F30 , 10 .

0 x

y

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




7. Cho Z 2nχ . Tìm phân vị mức 1 - α của Z n ếu

a. 1 - α = 0,95, n = 10 ; =α−1 0,99 ; n = 10 ; b. 1 - α = 0,05 ; n = 16c. 1 - α = 0,95 ; n = 20 ; d. 1 - 01,0=α ; n = 8

8. Cho Z Tn. Tìm phân vị mức 1 - α của Z n ếua. 1 - α 0,975 ; n = 14 ; b. 1 - 99,0=α ; n = 20c. 1 - 05,0=α ; n = 16; d. 1 - α = 0,10 ; n = 19

9. Cho Z Fn, m . Tìm phân vị mức 0,95 của Z n ếua. n = 12; m = 14; b. n = 6; m = 15c. n = 14; m = 24; d. n = 10; m = 6.

10. Cho Z Fn, m . Tìm phân vị mức 0,99 của Z n ếua. n = 8; m = 6; b. n =12; m =16c. n = 6; m = 4; d. n =20; m =25.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Tr ườ ng Đại học Nông nghi ệ p Hà N ội – Giáo trình Giáo trình Toán xác su ấ t thố ng kê……………….. 94

Chươ ng 5 Ướ c l ượ ng tham s ố

Ướ c lượ ng tham số làmột trong những bài toán cơ bản của thống kêtoán học. Khinghiên cứu đặc tính Xcủa của mỗi cá thể của tổng thể, nếu xác địnhđượ c qui luật xácsuất của Xthì việc đưa racác đánhgiá cũng như các dự báo về sự biến độngcủa tổng thểliên quanđến đặc tínhnày sẽ chính xác và khách quan. Tuy nhiên không phải lúc nàochúng tacũngxác định đượ c qui luật xác suất của X. Trong một số trườ ng hợ p, tachỉbiết đượ c dạng toán học của hàm phân phối hoặc hàm mật độ của biến định lượ ng Xmàchưa biết các tham số cómặt trongchúng.Vìvậy để xác định qui luật xác suất của Xtrướ c hết phải đưa ra nhữngđánhgiávề các tham số này. Bài toán ướ c lượ ng tham số sẽgiúp tagiải quyết vấn đềtrên.Giảsử biến định lượ ng Xở tổng thể có hàm phân phối:F ),...,,,( 21 k x θ θ θ ở đó dạng toán học của hàm phân phối đã biết còn các tham số

k θ θ θ ,....,, 21 chưa biết. Từmẫu ngẫu nhiênkích thướ c n(X1, X2, ..., Xn) đưa ra nhận địnhcác tham số trên nhận giá trị nào hoặc các tham số trên

nhận giá trịtrong một khoảngnào lànội dungcủa bài toán ướ c lượ ng tham số.

I. Ướ c l ượ ng đ iể m

1. Định nghĩ a: Nếu lấy thống kê (ˆˆ GG = X1, X2, ..., Xn) thay cho tham số chưa biết θ thì G đượ c gọi là một ướ c lượ ngđiểm của θ Do (ˆˆ GG = X1, X2, ..., Xn) là một thống kê nên một ướ c lượ ngđiểm của tham số θ cũnglà một biến ngẫu nhiên .* Vớ i mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn), g = G (x1, x2, ..., xn) là một gía trị cụthể của ướ c lượ ngđiểm.* Trong không gian mẫu ngẫu nhiêncó thể xác định nhiều thống kêkhác nhauvì vậymỗi tham số θ cónhiều ướ c lượ ngđiểm.* Để ướ c lượ ngđiểm là một thống kê thay thế tốt choθ ta phải đưa racác yêu cầu đánhgiá tính tốt đó. Khi một thống kêthoả mãn các yêu cầu này ta có thể yên tâmdùng nólàmướ c lượ ngcủa θ

2. Ướ c lượ ng không ch ệch: Thống kê (ˆˆ GG = X1, X2, ..., Xn) đượ c gọi là một ướ clượ ng không chệchcủa tham số θ nếu E(G ) = θ

Ví dụ1: Giả sử đặc trưng Xở tổng thể có kì vọng E(X) = µ

( X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ngẫu nhiên. Khiđó thống kê ∑==

n

1i iXn1

X là một ướ c lượ ngkhông chệchcủa µ .Thật vậy: Vì Xi có cùng phân phối xác suất vớ i X nên E(Xi) = µ i = 1,n.

Xét: µ=== ∑∑==

n

1ii

n

1ii )X(E

n1)X

n1(E)X(E

Ví dụ2: Giảsử đặc trưng Xở tổng thể cóE(X) = µ , D(X) = 2σ thống kêWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ví dụ2: Xét một dãy n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện Aởmỗi phép thử

là P(A) = p.Gọi nA là số lần xuất hiện A trong n lần thử, tần suất f n(A) =n

nA là ướ c lượ ng

không chệchvà vững của p = P(A). Khẳngđịnh trêncó từ định lý Bernoulli.

4.Ướ c lượ ng hi ệu quả: Thống kê G= G (X1,X2,. . .Xn) đượ c gọi là ướ c lượ ng hiệu quảcủa tham số θ nếu:1/ G là một ướ c lượ ng không chệchcủa θ .2/ Nếu H= H (X1,X2. . .Xn) là một ướ c lượ ng không chệch bất kỳ của θ thì

E(G - 2)θ ≤ E(H -θ )2 Do E(G ) = θ , E(H ) = θ nên E(G - 2)θ = D(G ), E(H -θ )2 = D(H ). Vì vậy ướ c lượ nghiệu quả còn đượ c gọi là ướ c lượ ng không chệch vớ i phươ ng sai bénhất của θ .Giả sử biến Xcủa tổng thể có hàm mật độ xác suất f(x,θ ) vớ i tham số θ có thểnhận giátrị trong một miền nào đó. G= G (X1,X2,. . .Xn) là một ướ c lượ ng không chệch của θ taluôncó:

E( 2)G θ− = D(G )≥ 2),x(f lnnE

1

θ∂θ∂

(*).

Nếu 2),x(f lnnE

1)G(D

θ∂θ∂

= thì G là ướ c lượ ng hiệu quả của θ .

Bất đẳng thức (*)gọi là bất đẳng thức Cramer – Rao. Tacó thểchứng minhđượ c rằngnếu biến Xcủa tổng thể cóphân phối chuẩn vớ i kì vọng µ vàphươ ng sailà σ 2 thì

∑==

n

1iiXn

1X là một ướ c lượ ng hiệu quả của µ . Tần suất f n(A) trong một lượ c đồBernoullicũng là một ướ c lượ ng hiệu quả của xác suất P(A) = p.Có nhiều phươ ng pháp tìm ướ c lượ ng điểm của tham số chưa biết có mặt trong quy luậtphân phối xác suất của tổng thể. Tronggiáo trình này trình bày hai phươ ng pháp tìmướ clượ ngđiểm của tham số đó là :

“ Phươ ng pháp hợ p lý nhất” và “ Phươ ng pháp mô men”.Đây là hai phươ ng pháp thôngdụngđể tìmướ c lượ ngđiểm của tham số.

5.Ướ c lượ ng điểm theo ph ươ ng pháp h ợ p lý nh ất.Ướ c lượ ngđiểm của tham sốchưa biết θ theo phươ ng pháp hợ p lý nhất đượ c dựa trên

quanđiểm ”giá trị của θ trong thực tế chính là giá trị ứng vớ i xác suất xảy ra lớ n nhất”.Khi biến ngẫu nhiên Xở tổng thể có hàm mật độ xác suất f(x,θ ) thì hàm mật độ xác suấtđồng thờ i của mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,. . .Xn) là

( x1, x2,. . .xn,θ ) = f(x1,θ ). f(x2,θ ). . . . f(xn,θ ) (1)Hàm f(xi,θ ) là hàm mật độ xác suất của thành phần Xi trong mẫu ngẫu nhiên:

(X1, X2,. .Xi . . .Xn)Khi Xlà biến ngẫu nhiên rờ i rạc nhận giá trị xác suất P(X=α j) = P j(θ ) thì xác suất để

Xi = x ji vớ i x ji α 1, α 2, ... α j. . . α n là P( Xi = x ji) = P ji(θ ).WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Xác suất để(X1,X2 . . .Xi. . .Xn) = (x j1, x j2, . . .,x ji, . .x jn) là (x j1, x j2, . . ., x ji, . ., x jn) = p j1(θ )p j2(θ )...p ji(θ )...p jn(θ ) (2)Việc tìm một thống kê G = G (X1,X2,. .Xi,.. .,Xn) thay choθ sao cho vớ i mẫu cụ thể (x1, x2, . . .,xi, . .xn) đã cho g= G (x1, x2, . . .,xi, . .,xn) thoả mãn

f(x1, g ) f(x2, g ). . . . f(xn, g )≥ f(x1,θ )f(x2,θ ). . . . f(xn,θ ) (3)hoặc: p j1( g )p j2( g )...p ji( g )...p jn( g )≥ p j1(θ )p j2(θ )...p ji(θ )...p jn(θ ) (4)vớ i mọi θ thuộc một miền thực nào đó làhợ p lý theo quanđiểm nêu trên. Trong trườ nghợ p biến ngẫu nhiên Xở tổng thể làliêntục ta lập hàm:

(X1,X2,. . .Xn,θ ) = f(X1,θ )f(X2,θ ). . . . f(Xn,θ ) (5)Hàm này đượ c gọi là hàm hợ p lý mẫu. Việc tìm điểm cực đại của (5) tươ ng đươ ng vớ itìm điểm cực đại của:

ln (X1,X2,. . .Xn,θ ) = ∑=

θn

1ii ),X(f ln (6)

Thống kê G = G (X1,X2,. . .Xn) để(6) cực đại thoả mãn phươ ng trình

0dlnd =θ (7).Phươ ng trình (7)đượ c gọi là phươ ng trình hợ p lý, mọi nghiệm của phươ ng trình này để(6) cực đại là ướ c lượ ng hợ p lý nhất của θ .

Ví dụ1: Giảsử X ở tổng thể cóphân phối chuẩn N( 2;σµ ) vớ i σ 2 đã biết. . Ta tìmướ c lượ ngđiểm của µ

Xét hàm hợ p lý mẫu: (X1,X2,. . .Xn, µ ) =∑

πσ

µ−σ

− 2i2 )X(

21

n e)2(

1

ln = ∑ µ−σ

−πσ

2i2 )X(

21

21lnn

Phươ ng trình hợ p lý 0)X(1dlnd

i2 =µ−σ

=µ

∑

∑∑ ==µ=µ− XXn10)X( ii

Vậy XG = . Ta có 0nd

lnd22

2

<σ

−=µ

. Vậy tại X = µ hàm hợ p lý đạt cực đại, X là ướ c

lượ ng hợ p lý nhất của µ .Trườ ng hợ p đại lượ ng ngẫu nhiên Xở tổng thể làrờ i rạc ta lập hàm :

(X1,X2,. . .Xn,θ ) = )()...()( 21 θ θ θ jn j j p p p hàm này cũng đượ c gọi là hàm hợ p lý

mẫu. Cũng như trên (X1,X2,. . .Xn,θ ) cực đại khivà chỉkhi ∑=

=n

i j i

p1

)(lnln θ cực đại

tươ ngđươ ng vớ i θ là nghiệm của phươ ng trình

)8(0d

)(plnddlnd i j =

θ

θ=

θ∑

Phươ ng trình (8)cũnggọi là phươ ng trình hợ p lýWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ví dụ2: Xác suất xuất hiện sự kiện Aở một phép thử độc lập P(A) = p. Tiến hành n phép thử độc lập. gọi X là số lần xuất hiện A trong n lần, Xi là số lần xuất hiện Aở lần

thứ i, tacó: ∑=

=n

1iiXX . Hàm hợ p lý

(X1,X2,. . .Xn,p) = )p1ln()xn(plnxClnln)p1(pC xn

xnxxn −−++=− −

)A(f nXp0

p1Xn

pX

dplnd

n===−−−= ,

f n(A) là tần suất xuất hiện A trong n phép thử. Vậy hàm ướ c lượ ng hợ p lý nhất của xácsuất pchính là tần suất )A(f n

6. Ướ c lượ ng tham s ố theo ph ươ ng pháp mômenGiảsử đặc trưng Xở tổng thể có hàm phân phối xác suất ),...,,,( 21 m xF θ θ θ ở đókiểudạng của hàm phân phối đã biết, các tham số mθ θ θ ,...,, 21 chưa biết. Từmột mẫu ngẫunhiên n X X X ,...,, 21 ta sẽ tìm các ướ c lượ ngđiểm của các tham số m21 ,...,, θθθ

Ta có : ),...,,(gEX)0( m21kkk θθθ==µ là mômen gốc cấp kcủa X.Thay )0(iµ bở i các mômen gốc của mẫu tươ ngứngcó hệphươ ng rình sau:

=

=

=

∑

∑

∑

mimm

k imk

im

X n

g

X n

g

X n

g

1),...,,(

....................................

1),...,,(

.....................................

1),...,,(

21

21

211

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

Các nghiệm của hệphươ ng trình trênlà các ướ c lượ ng của các tham số mθ θ θ ,...,, 21 .Phươ ng pháp tìm các ướ c lượ ngđiểm vừa nêulà phươ ng pháp mômen.

Ví dụ: Giảsử đặc trưng Xcủa tổng thể cóphân phối chuẩn N( σ µ ; 2) vớ i( n X X X ,...,, 21 )là một mẫu ngẫu nhiên tươ ngứng. Ta biết µ 1(0) = µ , µ 2(0) = 22 σ µ + .

Mômen gốc mẫu cấp 1là ∑=

=n

1iiX

n1X

Mômen gốc mẫu cấp 2là ∑=

=n

1i

2i

2 Xn1X

Từ đây ta cóhệphươ ng trình sau :

=σ+µ

=µ222 X

X

=−=σ

=µ2222 SXX

X)

Vậy X là là ướ c lượ ngđiểm của µ , 2S là ướ c lượ ngđiểm của 2σ tìm đượ c theophươ ng pháp mômen.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




II. Ướ c lượ ng khoảng

Trong thực tếnhiều khi ta muốn đánh giámột tham sốchưa biết θ nhận giá trịtrong mộtkhoảngnào đó. Bài toán ướ c lượ ng khoảng giải quyết vấn đề này

1.Khoảng tin c ậy. Độtin c ậyGiảsử 1G = 1G (X1,X2,. . .Xn), 2G = 2G (X1,X2,. . .Xn) là hai thống kêcó từmẫu ngẫunhiên (X1, X2,. . ., Xn), θ là một tham số cómặt trong phân phối xác suất của tổng thể,P là số thoả mãn 0 < P < 1.Khoảng [ 1G , 2G ] thoả mãn P[ 1G ≤ θ ≤ 2G ] = Pđượ c gọi làkhoảng tin cậy của θ vớ i độtin cậy P

2G - 1G đượ c gọi là bề rộng của khoảng tin cậyMong muốn của ngườ i làm thống kêlà vớ i mẫu đã chotìm đượ c khoảng tin cậy[ 1G , 2G ] sao cho* Bề rộng của khoảng tin cậy càng nhỏ càng tốt* Độtin cậy Pcàng lớ n càng tốtTuy nhiên vớ i kích thướ c mẫu cố định khi bề rộng của khoảng tin cậy giảm thì độtin cậyP cũnggiảm theovà ngượ c lại. Vì vậy trong thống kê ngườ i ta thườ ng cố địnhđộtin cậyP và tìm một khoảng tin cậy [ 1G , 2G ] ứng vớ i độ tin cậy này sao chonó cóbề rộngcàngnhỏ càng tốt. Thông thườ ng, ngườ i tachọn độtin cậy Pở các mức:

P = 0,95; P = 0,99; P = 0,999Để tìm 1G và 2G ứng vớ i độtin cậy P ta thực hiện theocác bướ c sau:* Lập thống kê G = G (X1, X2,. . ., Xn, θ ) sao cho phân phối xác suất của G xác định*Từ phân phối xác suất của G tìm cặp sốa, bthoả mãn:* P( a≤ G ≤ b) = P (1),có thể tìm đượ c vô sốcặp a, bthoả mãn (1)*Thực hiện phép biến đổi tươ ngđươ ng đưa (1) về:* P[ 1G ≤ θ ≤ 2G ] = P (2)Khi đó khoảng [ 1G , 2G ] là khoảng tin cậy của θ vớ i độ tin cậy P. Trong tất cả các cặpsốa, bthoả mãn (1), nếu tìm đượ c a1, b1 sao cho b1- a1 nhỏnhất thì khoảng [ 1G , 2G ] tìmđượ c ứng vớ i cặp sốa1, b1 này cũng cóbề rộng là nhỏnhất.

2.Ướ c lượ ng kì vọng của phân ph ối chu ẩn: GiảsửX ~ N( 2;σµ ) , vớ i mẫu ngẫu nhiên(X1, X2,. . .Xi , .., Xn) và vớ i độtin cậy Pđã cho tatìmướ c lượ ng khoảng của kì vọng µ .2.1 Tr ườ ng hợ p σ 2 đã biế t

Xét thống kê Z = nXσ

µ− Z ~ N(0,1).

Vớ i độ tin cậy Pđã chocó thể tìm đượ c vô sốcặp a, bđểP(a≤ Z ≤ b) = P. Do phân phốichuẩn tắc là phân phối đối xứng, nếu lấy b =

2

Uα , a = -2

Uα vớ i α = 1-Pthì b - a = 22

Uα là

nhỏnhất. Khiđó ta có

P[-2

Uα ≤ nXσ

µ− ≤2

Uα ] = P P[X -2

Uα nσ ≤ µ ≤ X +

2

Uα nσ ] = PW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Vậy khoảng tin cậy của kì vọng µ khi σ 2 đãbiết là:

[X -2

Uα nσ ; X +

2

Uα nσ ] (3).

Chú ý: vớ i mẫu cụ thể ( x1, x2,....xn) thì ∑=

=n

1i

ixn

1x là giá trị cụthể của X ứng vớ i mẫu

đã cho, khiđó khoảng:

[x -2

Uα nσ ; x +

2

Uα nσ ] (3’)cũngđượ c gọi là khoảng tin cậy của kỳ vọng µ

tươ ngứng vớ i mẫu (x1, x2,....,xn).Ví dụ: Giảsử biến Xở tổng thể cóphân phối chuẩn vớ i kì vọng chưa biết µ và

phươ ng sai 2σ = 4. Từmột mẫu có kích thướ c n = 16 tatìm đượ c x= 12.Vớ i độtin cậy P = 0,95,hãy tìmướ c lượ ng khoảng của µ .Giải: tacó: 1 - P = 0,05 =α ; U0,025 =1,96.

x -2

Uα

n

σ = 12-1,96.2

1 = 11,02 ;x+ 2

Uα

n

σ = 12+1,96.2

1 = 12,98.

Vậy khoảng tin cậy của µ vớ i độtin cậy P = 0,95là [11,02; 12,98]2.2 Tr ườ ng hợ p σ 2 chư a bi ế t.

Xét thống kê Z = nS

X µ− Z Tn-1 ở đóS2 = ∑=

−−

n

1i

2i )XX(

1n1 . Vớ i độ tin cậy P đã

cho tacùng tìm đượ c vô số cặp số a, bđểP [ a≤ Z ≤ b] = P. Do phân phối Tn-1 là phânphối đối xứng nếu lấy b =

1,2

−nt α và a = -

1,2

−nt α thìb - a = 2

1,2

−nt α nhỏnhất, khiđó :

P[-1,

2 −n

t α ≤ n X µ − ≤

1,,2

−nt α ] = P

P[X-1,

2 −n

t α nS

≤ µ ≤ X+1,

2 −n

t α nS ] = P

Vậy khoảng tin cậy của kì vọng µ trong trườ ng hợ p phươ ng sai chưa biết là:

[X-1,

2 −n

t α nS ;X+

1,2

−nt α n

S ] (4)

Vớ i mẫu cụ thể ( x1, x2,....xn) thì khoảng:

[x-1,

2 −n

t α ns ;x+

1,2

−nt α n

s ] (4’)cũng gọi là khoảng tin cậy của µ

khi σ 2 chưa biết.Ví dụ: điều tra năng suất của một giống lúa trên 10 thửa ruộng tacó kết qủa sau:

Biết năng suất X( tấn /ha) , X ~ N( σ µ ; 2). Vớ i độtin cậy P = 0,95tìmướ c lượ ng khoảngcủa µ .

xi 4,4 4,5 4,6 4,8 4,9 5,0ni 1 1 3 3 1 1

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ta có: x =101 (1.4,4+ 1.4.5 +3.4,6 +3.4,8+ 1.4,9+ 1.5,0) = 4,7.

s2 =91 (1.(-0,3)2+1.(-0,2)2+3.(-0,1)2+3.(0,1)2+1.0,12+0,32) = 0,071

s = 2s = 0,266; 1-P = 0,05;9,025,0

t , = 2,26

x -1,

2 −n

t α ns = 4,7-2,26.

10266,0 = 4,5; x +

1,2

−nt α n

s = 4,7+ 2,26.10266,0 = 4,9

Vậy khoảng tin cậy của năng suất µ vớ i độtin cậy P = 0,95là [4,5; 4,9].

3.Ướ c lượ ng xác su ấtTiến hành một dãy n phép thử độc lập có nA lần xuất hiện A. Vớ i độtin cậy Pđã chohãyướ c lượ ng khoảng của tham sốp = p(A).

Ta có tần suất xuất hiện A là f =n

nA . Xét thống kê Z = n)p1(p

pf −

− , Z hội tụ theo quy

luật tớ i phân phối N(0,1). Tươ ng tự như bài toán tìm ướ c lượ ng khoảng của kỳ vọng µ của phân phối chuẩn, khi n khálớ n thì:

P[ -2

Uα ≤ n)p1(p

pf −

−≤

2

Uα ] = P (5).

Xét bất đẳng thức: -2

Uα ≤ n)p1(p

pf −

−≤

2

Uα

n(f-p)≤ p(1-p)2

2U α 21 ppp ≤≤ vớ i p1, p2 cho bở i

p1 = 2

2

2

22

2

2 41)1(

21

α

α α α

U n

U f nf U U nf

+

+−−+

p2 = 2

2

2

22

2

2

Un

U41)f 1(nf UU

21nf

α

ααα

+

+−++

Vậy (5) )( 22 p p pP ≤≤ = P .Ướ c lượ ng khoảngcủa plà

[2

2

2

22

2

2 41)1(

21

α

α α α

U n

U f nf U U nf

+

+−−+;

22

2

22

2

2

Un

U41)f 1(nf UU

21nf

α

ααα

+

+−++] (5’)

Ví dụ: Điều tra 2000 giađình giáo viênở các tỉnh đồng bằng Bắc Bộ thấy có1600 giađình có ít nhất 1 conđang học hoặc đã tốt nghiệp đại học. Vớ i độ tin cậy P = 0,95,hãytìm ướ c lượ ng khoảng tỉ lệ p các giađình giáo viêncó con đang học hoặc đã tốt nghiệpđại học.

Ta có: f =20001600= 0,8, 1- f = 0,2 ; 1- p = 0,05 ; U0,025= 1,96.W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Mút trái của khoảng tin cậy là 2

22

96,12000496,132096,1

296,11600

+

+−+= 0,78

Mút phải của khoảng tin cậy là 2

22

96,12000 4

96,132096,12

96,11600

+

+++= 0,82

Vậy khoảng tin cậy của tỉ lệp vớ i độtin cậy P = 0,95là [0,78; 0,82].Việc sử dụng công thức (5)để tìm khoảng tin cậy của p = P(A)khá cồng kềnh và phức

tạp. Trong thực hành nếu cỡmẫu lớ n thì thống kê Z = n)f 1(f

pf −

− có phân phối xấp xỉ

chuẩn. Từ đóta có khoảng tin cậy của plà:

[f -2

Uα n

)f 1(f − ; f +2

Uα n

)f 1(f − ] (6)

áp dụng (6)để tìm khoảngướ c lượ ngcủa tỉ lệp trongví dụvừa nêu.

Ta có: f - U0,025 n)f 1(f − = 0,8 -1,96

20002,0.8,0 = 0,78

f + U0,025 n)f 1(f − = 0,8 + 1,96

20002,0.8,0 = 0,82

Khi cỡ mẫu n lớ n, sử dụng công thức(5), (6)để tìm khoảng tin cậy của p tacó kết quảtươ ng tự nhau.

4.Ướ c lượ ng ph ươ ng sai của phân ph ối chu ẩn.Xét một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể cóphân phối chuẩn N( ); 2σ µ

Thống kê Z = 2

2

S)1n(σ− có phân phối χ2n-1vớ i S2 = ∑

=−

−

n

ii X X

n 1

2)(11 .

Vớ i độtin cậy Pđã chocóvô sốcặp sốa, bđểP[a≤ 2

2S)1n(σ− ≤ b] = P (5)

Lấy a = 2

21;1 α χ −−n

; b = 2

2;1 α χ

−n ; α = 1- P, tacó

P[ 2

1,2

1 −− nα χ ≤ 2

2S)1n(σ− ≤ 2

1,2

−nα χ ] = P

P[1

2

2

2)1(

−

−

n

S n

α χ

≤ σ 2 ≤ 1,

21

2

2)1(

−−

−

n

S n

α χ

] = P (6)

Từ (6) tacó : khoảng tin cậy của σ 2 vớ i độtin cậy P là:

[1,

2

2

2)1(

−

−

n

S n

α χ ≤ σ 2 ≤

1,2

1

2

2)1(

−−

−

n

S n

α χ ] (7)

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chú ý: −≤≤−

−−−

S n

S n

nn

2

1,2

1

2

1,2

11α α χ

σ χ

(7’) là khoảng tin cậy của σ vớ i độ tin cậy P

Vớ i mẫu cụ thể : ( x1, x2,....xn) , s2

= ∑= −−

n

1i

2

i )xx(1n1

khoảng

[1,

2

2

2)1(

−

−

n

sn

α χ ≤ σ 2 ≤

1,2

1

2

2)1(

−−

−

n

sn

α χ ] (7’’)cũng gọi là khoảng tin cậy của σ 2 vớ i độ

tin cậy Pứng vớ i mẫu đã cho.

−≤≤−

−−−

sn

sn

nn

2

12

1

2

1,2

11α α χ

σ χ

(7’’’) là khoảng tin cậy của σ tươ ng ứng vớ i mẫu

đã cho.Ví dụ: Biết tỉ lệ phần trăm X của một nguyên tố vi lượ ng trongcác mẫu đất thuộcchâu thổ sông Hồng có phân phối chuẩn N( σ µ ; 2). Ngườ i ta tiến hành phântích 15 mẫu

đất và tìm đượ c s2 = 0,1%. Vớ i độtin cậy P = 0,95.Tìm khoảng tin cậy của σ 2.P = 0,95 nênα = 0,05, 14,975,0

2 χ = 5,73; 14,025,02 χ = 26,12

1,2

2

2)1(

−

−

n

sn

α χ = 14.0,001

26,12= 0,000536 ;

1,2

1

2

2)1(

−−

−

n

sn

α χ =14.0,001

5,63= 0,002487

Vậy khoảng tin cậy của σ 2 ứng vớ i mẫu đã cholà [0,000536 ; 0,002487].

5. Ướ c lượ ng số cáthể có đặc tí nh A trong đám đông g ồm N cá th ể

Đây là bài toán thườ ng gặp trong thực tế, chẳng hạn cần đưa raướ c lượ ng về số ngườ imắc một loại bệnh trong một khu vực dân cư có N ngườ i hoặc cần ướ c lượ ng về số phếphẩm trong một khohàng gồm Nsản phẩm,….Gọi m là số cáthể có đặc tính A trongđám đông gồm Ncá thể. Lấy từ đám đông ra mộtmẫu ngẫu nhiên ( khônghoàn lại) gồm n cá thể gọi X là số cáthể có đặc tính A trong n

cá thể . Xcó phân phối siêu bội vớ iN

nM)X(E = và ).1N1n1.(

NMN.

NnM)X(D

−−−−=

Biến ngẫu nhiên)X(D)X(EXZ −= cóphân phối giớ i hạn là chuẩn tắc.

Từ quy luật phân phối giớ i hạn của Z vớ i độtin cậy Pđã cho tacó thể tìm đượ c khoảng

tin cậy của E(X) từ đósuy rakhoảng tin cậy của M. Tuy nhiên việc tìm khoảng tin cậycủa E(X) theo phươ ng pháp trênlà kháphức tạp nên ta khôngđi theo hướ ng này. Tacũng biết rằng nếu N lớ n hơ n rất nhiều so vớ i n thì phân phối siêu bội xấp xỉ phân phối

nhị thức B(n, p) vớ i p =NM . Giảsử An là số cáthể có đặc tính A trong ncá thể,

nnf A= ,

khoảng tin cậy của p vớ i độtin cậy Plà :

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




n f f

U f

M N

n f f

U f

M

)1()1(22

−−≤≤

−+ α α

(9)

Bất đẳng thức cho bở i (9) cho takhoảng tin cậy của N vớ i đọtin cậy P.Ví dụ: Để điều tra số lượ ng một loài cá trong hồngườ i tađánh bắt 400 concá rồi đánh

dấu mỗi concá này bằng một vòng nhômnhỏsauđó thả vào hồ. Sau một thờ i gian ngườ ita bắt lại 150 con thấy trongđó có50 conđã đượ c bắt ở lần trướ c. Vớ i độtin cậy

P = 0,95hãy tìm khoảng tin cậy số lượ ng ncủa loài cá này.

Ta có 400M;150n;96,1U;32f 1;

31

15050f 025,0 ====−==

3246,09.150

2.96,131

n)f 1(f Uf

2=−=

−− α

3420,09.150

2.96,131

n)f 1(f Uf

2=+=

−+ α

12323246,0400

n)f 1(f Uf

M

11703420,0400

n)f 1(f Uf

M

2

2

≈=−−

≈=−+

α

α

Kết luận: Vớ i đọtin cậy P = 0,95 tacó thể tin rằng loài cá trênở trong hồ vào khoảng từ1170 conđến 1232 con.

7. Kí ch th ướ c m ẫu cần thi ếtTa biết rằng bề rộng của khoảng tin cậy phụthuộc và độtin cậy P và kích thướ c mẫu n.Gọi 2l là bề rộng của khoảng tin cậy, 2l tỉ lệ thuận vớ i Pvà tỉ lệ nghịch vớ i n.Bề rộngcủa khoảng tin cậy thểhiện sự chínhxác cao hay thấp của ướ c lượ ng,khoảng tincậy cànghẹp, độ chính xác ướ c lượ ngcàng cao. Trong thực tế, để đảm bảo tínhchínhxác của ướ c lượ ng ta thườ ng yêu cầu bề rộngcủa khoảng tin cậy nhỏthua ε 2 vớ i ε làsốdươ ng cho trướ c. Trongmục này chúng tađưa racách tìm kích thướ c mẫu tối thiểu đểbề rộngcủa khoảng tin cậy 2l≤ 2ε .Trong trườ ng hợ p σ 2 đã biết, kì vọng µ của phân phối chuẩn có bề rộng khoảng tin cậy

2l = 2n

U2

σα . Để2l ≤ 2ε

nU

2

σα ≤ ε 2

2

22

2

UnUnεσ

≥εσ

≥ αα (8)

Chỉ cần lấy nlà số tự nhiênnhỏnhất thoả mãn (8) tacó 2l ≤ 2ε .Ví dụ1: Biết X ~ N( µ , 0,16).Hãy tìm kích thướ c mẫu n đểvớ i độ tin cậy P = 0,95

độrộng của ướ c lượ ngkhoảng 2l≤ 0,2.TacóU0.025 = 1,96,ε = 0,1,áp dụng (8) n ≥ 1,962. 0,16 n 61, 4656

0,01 ≥ . Vậy để2l ≤ 0,2 thì tối thiểu phải

tiến hànhđiều tra 62 mẫu.Độrộng của khoảng tin cậy của xác suất p trong phân phối B(n, p)là:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2l =n

U

n f f

U 2

2

)1(2α

α ≤− vì

41)1( ≤− f f (Bất đẳng thức Caushy)

Xét: 22

222

4

Un

2

Un2

n

U

ε≥

ε≥ε≤

ααα

(9)

Vậy để khoảng ướ c lượ ng của xác suất p có độrộng 2l≤ ε 2 thì số lần thử n phải thoảmãn (9).

Ví dụ2: Phải tiến hành bao nhiêu phép thử độc lập đểvớ i độ tin cậy P = 0,99 bề rộngcủa khoảng tin cậy của xác suất P(A) = pnhỏhơ n 0,1

Ta có U0.005 = 2,26,ε = 0,05. Ápdụng (9) n ≥ 76,51005,0.4

26,22

2

=

Vậy để thoả mãn yêu cầu phải tiến hành tối thiểu 511 phép thử .

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Bài t ậ p ch ươ ng V1. Cho mẫu ngẫu nhiên ( X1, X2,....Xn) biết Xi N( ); 2σµ

a. Chứng minh rằng: Z1= X1, Z2 =

2

XX 21 + , Zi = iX...XX i21 +++

Zn =n

X...XX n21 +++ đều là các ướ c lượ ng không chệch của µ .

b. Trongcác ướ c lượ ng trênướ c lượ ngnào là tốt nhất.

2. Cho mẫu ngẫu nhiên X1, X2,....Xn biết Xi có phân phối mũ vớ i tham số θ hãy chứng

minh rằng: Z =n

1n − vớ i ∑=

=n

1iiX

n1X là ướ c lượ ng không chệchcủa θ .

3. Cho X1, X2,....Xn là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ một tổng thể có kì vọng µ và phươ ngsai σ 2. Xét hai thống kê

Z1 = ==+

+++ XZ,)1n(n

nX...X2X2 2n21

nX...XX n21 +++

a. Chứng minh rằngcảhai thống kê trênđều là ướ c lượ ng không chệchcủa µ .b. Trong haiướ c lượ ng trênướ c lượ ng nào tốt hơ n.

4. Năng suất ngô X (tạ /ha)là đại lượ ng ngẫu nhiêncó phân phối chuẩn N( σµ ; 2). Điềutra năng suất ngôcủa 130 thửa ruộng tacókết quảsau:Năng suất xi 40 45 46 49 51 53 57Số thửa ni 2 5 9 35 43 22 14

a. Hãy tìm khoảng tin cậy của năng suất ngô trung bình µ vớ i độtin cậy P = 0,95.b. Hãy tìm khoảng tin cậy của σ 2 vớ i độtin cậy P = 0,98.

5. Biết trọng lượ ng X ( g/quả) của mỗi quảtrứng có phân phối chuẩn N(µ , 25) Cân mộtmẫu gồm 100quảtrứng tacó kết quảsau:

xi 150 160 165 170 175 180 185ni 4 12 14 25 25 14 6

a. Vớ i đọtin cậy P = 0,95tìm khoảng tin cậy của trọng lượ ng trứng trung bình µ .

b. Trứng có khối lượ ng lớ n hơ n 170 glà trứng loại một. Vớ i độtin cậy P = 0,95hãy tìmkhoảng tin cậy của tỷ lệ trứng loại một.

6.Biết khối lượ ng X(kg/con)của mỗi congà tại một trại gà cóphân phối chuẩn N( σµ ; 2).Bắt ngẫu nhiên 20 congà đem cân tacó kết quảsau:

xi 2,1 2,3 2,4 2,6 2,7 2,9 3,1 3,3ni 1 2 3 3 5 3 2 1W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Vớ i độtin cậy P = 0,95a.Tìm khoảng tin cậy của trung bình µ b.Tìm khoảng tin cậy của phươ ng sai σ 2.

7. Sức chịu nén tối đa của một loại vật liệu là một biến chuẩn N( σµ ; 2). Thử 10 mẫu vậtliệu nói trên tacó kết quảsau:

Sức chịu nến tối đa X(kg/cm2) 250 270 300 330 350ni 1 2 4 2 1

Tìm khoảng tin cậy của µ vớ i độtin cậy P = 0,95.

8. Theodõi doanh thuhàng tháng của 10 cửa hàng kinh doanhthóc giống tại một tỉnh tacókết quảsau:

Doanh thu X( triệu đồng) 30 31 33 35 37 39 40ni 1 1 2 2 2 1 1

Biết Xcóphân phối chuẩn N( σ µ ; 2). Hãy tìm khoảng tin cậy của µ vớ i độtin cậy

P = 0,98.9. Trọng lượ ng Xcủa các gói mì ăn liền tuân theo phân phối chuẩn. Kiểm tra 20gói mìta có x= 78,0 , s = 2,5 g. Vớ i độtin cậy P = 0.95hãy tìm khoảng tin cậy của E(X).

10. Kiểm tra 1000 mẫu máu một loại gia cầm có 120 mẫu chứa vi rút gây bệnh A.Hãytìm khoảng tin cậy của tỉ lệgia cầm chứa virút gây bệnh A trong máu vớ i độtin cậyP = 0,95.

11. Đo độ chịu lực Xcủa 250 mẫu bê tông tacókết quảsau:X 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 250-260

Tần sốni 12 15 30 58 65 35 20 15Biết độ chịu lực X(kg/cm2) tuân theo qui luật phân phối chuẩn. Hãy tìm khoảng tin cậycủa E(X) vớ i độtin cậy P = 0,95.

12.Đo một đại lượ ng 15 lần bằng một dụng cụ đo khôngcó sai sốhệ thốngtacó s2 = 0,4.Biết sai sốX cóphân phối chuẩn, hãy tìm khoảng tin cậy của phươ ng sai vớ i độtin cậyP = 0,95.

13. Trọng lượ ng Xcủa một giống lợ n khi xuất chuồng là một biến ngẫu nhiêncó phânphối chuẩn. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 con lợ n đến thờ i gian xuất chuồng có trọnglượ ng cho bở i bảng sau:

129,8 ; 121,2 ; 138,6 ; 125,4 ; 122,6 ; 139,8 ; 129,9 ; 130,3 ; 125,8Hãy tìm khoảng tin cậy của trọng lượ ng trung bình E(X) vớ i độtin cậy P = 0,95.

14. Để khảo sát mức tiêuthụxăng trung bình của một loại ô tô ngườ i ta chochạy thử 20xe loại này trênđoạn đườ ng 100km. Mức xăng tiêu thu tươ ngứng cho bở i bảng sau:

Mức xăng X 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5Sốxe ni 3 4 6 5 2

Hãy tìm khoảng tin cậy của mức xăng tiêuthụtrung bình vớ i độtin cậy P = 0,95.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




15. Một công ty thancó 10000 công nhânlàm việc trực tiếp tại các hầm lò. Để xác địnhsố công nhân mắc các bệnh về phổi ngườ i ta tiến hành kiểm tra 820 ngườ i thấy có 120ngườ i mắc bệnh về phổi. Vớ i độ tin cậy P = 0,95hãy tìm khoảng tin cậy của số côngnhân mắc bệnh vềphổi trong tổng công ty.

16. Đểu ướ c lượ ng số lượ ng cò tại một vườ n cò lớ n ở đồng bằng sông Cửu Long ngườ i tabắt ngẫu nhiên 800 concò vàcho mỗi conđeo một vòng nhômnhỏsauđó thả lại vườ n.Một tháng sau bắt lại 320 con thấy có 80 con cóđeo vòng nhôm.Hãy ướ c lượ ng số còtrong vườ n vớ i độtin cậy P = 0,95.

17. Một kho hàng chứa 12000sản phẩm. Để ướ c lượ ng số phế phẩm trong khohàngngườ i ta kiểm tra 500sản phẩm thấy có 50 phếphẩm. Hãy ướ c lượ ng sốphếphẩm trongkho vớ i độtin cậy P = 0.95.

18. Để ướ c lượ ng số ngườ i nghiện ma tuý trong một vùng ngườ i ta ngườ i ta ghi danh1000 ngườ i đượ c trảvề cộng đồng sau khi cai nghiện. Một năm sau trở lại các trung tâmcai nghiện chọn ngẫu nhiên 800 ngườ i thấy có 480 ngườ i trong số 1000 ngườ i đượ c trởvề cộng đồng năm trướ c trở lại trại. Hãy ướ c tính sốngườ i nghiện trongvùng vớ i độ tincậy P = 0,95.

19. Đại lượ ng ngẫu nhiên Xcó phân phối chuẩn vớ i phươ ng sai 0,04. Tối thiểu phải điềutra bao nhiêu mẫu đểvớ i độtin cậy P = 0,95độrộngcủa khoảng tin cậy khôngquá0,4.

20. Phải kiểm traít nhất bao nhiêu mẫu bệnh phẩm đểvớ i độ tin cậy P = 0,95độ rộngcủa khoảng tin cậy tỉ lệ ngườ i mắc bệnh ≤ 0,05.

21 Xét nghiệm 400 mẫu máu của những ngườ i dân tại một vùng cao phía bắc thấy 45mẫu máu có kísinh trùng sốt rét trongmáu. Vớ i độ tin cậy P = 0,95hãy tìm khoảng tincậy của tỉ lệngườ i dâncó kísinhtrùng sốt rét trongmáu ở vùng caonói trên.

22. Kiểm tra 200 congà tại một trại thấy có 80 con mắc bệnh A.Hãy tìm khoảng tin cậycủa tỉ lệ gàmắc bệnh Aở trại gà nói trên vớ i độtin cậy P = 0,95.

23. Biết đặc trưng Xcó phân phối chuẩn N(µ ; 0,09).Hỏi dung lượ ng mẫu tối thiểu làbao nhiêuđểvớ i độ tin cậy P = 0,95 có thể tin rằng độ rộng của khoảng tin cậy của µ không vượ t quá0,5.

24. Tỉ lệ ngườ i có nhóm máu O ở một tộc ngườ i là p. Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêungườ i đểvớ i độtin cậy P = 0,95độrộngcủa khoảng tin cậy của p không vượ t quá0,02.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 6: Ki ể m đị nh giả thuy ế t th ố ng kê

Việc xác định qui luật xác suất của các biến cómặt trong tổng thể làmột điều cần thiếttrong xử lí số liệu. Bài toán ướ c lượ ng tham sốmớ i giải quyết việc ướ c lượ ng tham tham

số cómặt trong phân phối xác suất của tổng thể. Trong chươ ng này chúng tasẽxây dựngcác qui tắc đánhgiá giả thuyết về các tham số, giảthuyết về các qui luật xác suất dựatrên mẫu ngẫu nhiên Quacác qui tắc kiểm định, ngườ i học có thểbiết đượ c cách xâydựng các giảthuyết và đối thuyết trong từng trườ ng hợ p cụ thể. Bài toán kiểm địnhgiảthuyết thống kêlà một bài toán lớ n và quantrọng của thống kêtoán học. Vì thờ i lượ ngchươ ng trình có hạn, giáo trình chỉ đềcập tớ i một sốqui tắc kiểm định thôngdụng nhất.Một sốqui tắc phi tham sốgiớ i thiệu tronggiáo trình đượ c đơ n giản hóa bằngcách thaycác thống kêdùng đểkiểm địnhcác qui tắc này bở i các qui luật xấp xỉ tươ ngứng.

I. Giả thuy ế t - Đố i thuy ế t

1. Giả thuy ết: Một mệnh đề(một câu khẳng định) vềmột vấn đềchưa biết nào đó đượ cgọi là một giảthuyết. Các mệnh đềsauđều đượ c gọi là các giảthuyết:Vào năm 2010 con ngườ i sẽ cómặt trên saohoả Tham số 0θ=θ Tham số [ ]21;θθθ X ~ N( ); 2σµ Sự kiện Ađộc lập vớ i sự kiện B

Ta thườ ng dùng H0 để chỉmột giả thuyết. Giả thuyết là một mệnh đềnên có thể đúnghoặc khôngđúng. Tuy nhiênđểkiểm tratính đúng của một mệnh đềta phải dựa trên tiêuchí thế nào là một mệnh đề đúng. Để khẳng định tính đúng sai của một mệnh đề ta

thườ ng kiểm tra mệnh đề này có thoảmột sốyêu cầu nào đó hay không hoặc đưa ra mộtmệnh đề khác trái vớ i mệnh đề đãcho, trên cơ sở thực tế ta đưa ra quyết định coi mệnhđềban đầu là đúng hoặc mệnh đềmớ i đưa ra là đúng. Trong thống kê tasẽ theo hướ ngthứ hai.

2. Đối thuy ết: Một mệnh đề trái vớ i giả thuyết đượ c gọi là một đối thuyết. Ta thườ ngdùng H1 để chỉ đối thuyết.

Ví dụ1: H0: Vào năm 2010 con ngườ i sẽ cómặt trên saohoả.Các mệnh đềsaulà đối thuyết của giảthuyết H0

H1: Vào năm 2020 con ngườ i mớ i cómặt trên saohoả H1: Vào năm 2010 con ngườ i chưa thể cómặt trên saohoả

Ví dụ2: H0: X ~ N( );2

σ µ Các đối thuyết của giảthuyết trêncó thể làH1: X ~ B(n, p) hoặc H1: X khôngcóphân phối chuẩn N( ); 2σµ

Nhận xét:* Giảthuyết H0 cóthể đứngđộc lập* Đối thuyết phải đi kèm vớ i mệnhđềtrướ c đó đượ c gọi là giảthuyết* Mỗi giảthuyết có thể cónhiều đối thuyết khác nhauWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ mẫu đã cho ta xây dựng một qui tắc chấp nhận giảthuyết H0 ( tươ ngứng vớ i việc bác bỏ đối thuyết H1) hoặc bác bỏ giảthuyết H0 (tươ ngứng vớ i việc chấp nhận đối thuyết H1)đượ c gọi là bài toán kiểm định một giả thuyết thống kê. Việc đưa ra một qui tắc chấpnhận hoặc bác bỏ giảthuyết H0 dựa trên mẫu đã cho tươ ng đươ ng vớ i việc xây dựng mộtqui tắc chia không gian mẫu V ralàm hai phần Wvà W

Hình 1Nếu mẫu ( X1, X2, ... , Xn ) W ta quyết định bác bỏ giảthuyết H0 Nếu mẫu ( X1, X2, ... , Xn ) W ta quyết định chấp nhận giảthuyết H0

Kiểm định một giả thuyết thống kê không phải là một phép chứng minh về tính đúnghoặc khôngđúng của giả thuyết. Kiểm định một giả thuyết thống kê thực chất là xâydựng một qui tắc hành động dựa vào mẫu đã có đưa ra quyết định lựa chọn giả thuyết H0hoặc đối thuyết H1

7. Các loại sai l ầm: Vớ i một qui tắc hành động chấp nhận hay bác bỏH0 ta có thểmắc phải các loại sai lầm sau:7.1. Sai l ầm loại 1: Bác bỏ giảthuyết H0 khi H0 đúngĐiều này có nghĩ a là giảthuyết H0 đúng nhưng mẫu ( X1, X2, ... , Xn ) W nên ta bác bỏH0. Tươ ngứng vớ i sai lầm loại 1 là xác suấ t sai l ầm loại 1: P(W/H0) = α 7.2. Sai l ầm loại 2: Chấp nhận giảthuyết H0 khi H0 sai.Điều này cũng có nghĩ a là:

Khi H0 sai ( tức là coi H1 đúng) nhưng mẫu ngẫu nhiên ( X1, X2, ... , Xn ) W nên tachấp nhận H0. Tươ ngứng vớ i sai lầm loại 2 là xác suấ t sai l ầm loại 2: P(W /H1) = β .Ta có nhận xét: Xác su ấ t sai l ầm loại 1: P(W/H0) = α là xác suất bác bỏH0 mà thực ra H0 đúng đượ cgọi là mức ý nghĩ a của bài toán kiểm định. Khiđó xác suất đểchấp nhận H0 khi H0 đúnglà 1 - α . Xác suấ t sai l ầm loại 2: P(W /H1) = β là xác suất chấp nhận H0 khi H0 sai. Vậy xác suất bác bỏH0 khi H0 sai là 1 - β . Giá trị1 - β đượ c gọi là lực lượ ng của phép kiểm định.Mong muốn của ngườ i làm thống kêlà xây một qui tắc chấp nhận hoặc bác bỏmột giảthuyết sao choxác suất cảhai loại sai lầm càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên tacó

P(W/H0) + P(W /H0) = 1 ; P(W/ H1) + P(W /H1) = 1Từ đây suy ra khiα giảm thì β tăng và ngượ c lại. Vớ i mẫu có kích thướ c cố định, đểxây dựng một qui tắc hành động chấp nhận hoặc bác bỏ giảthuyết ta có thể đi theo mộttrong hai hướ ng sau:

H ướ ng th ứ nhấ t: Cố định xác suất sai lầm loại 1 xây dựng một qui tắc sao choxácsuất sai lầm loại 2 là nhỏnhất hoặc có thểchấp nhận đượ c.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




3. Đối thuy ết m ột phí a và hai phí aXét giảthuyết đơ n : H0 : 0θ=θ * Mệnh đề: H1 : 0θ≠θ gọi là đối thuyết hai phía của H0 * Mệnh đề: H1 : 0θ<θ gọi là đối thuyết phía trái của H0 * Mệnh đề: H1 : 0θ>θ gọi là đối thuyết phía phải của H0. Không phải lúc nào cũng tồn tại qui tắc mạnh đều nhất để kiểm định giả thuyết H0 vớ imột trong bađối thuyết vừa nêu.Các qui tắc kiểm định đượ c giớ i thiệu tronggiáo trìnhnày hoặc là qui tắc mạnh đều nhất hoặc là qui tắc tốt và thôngdụng trong thống kê . Quitắc “tốt” ở đây có thể hiểu theonghĩ a: Qui tắc mạnh đều nhất là tối ưu toàn cục thì quitắc “ tốt” là tối ưu bộphận

4. Ki ểm định kì vọng của phân ph ối chu ẩn khi ph ươ ng sai đã biết. Giảsử đặc trưng Xở tổng thể cóphân phối chuẩn N( σµ ; 2) vớ i σ 2 đã biết.Từmẫu ngẫu nhiên (X1, X2,....Xn) ta xây dựng qui tắc kiểm định giảthuyết

H0 : 0µ=µ trongcác trườ ng hợ p sau:4.1. Tr ườ ng hợ p 1 : Đối thuyết H1 : 0µ≠µ

Thống kê Z = nXσ

µ− cóphân phối chuẩn tắc.

Vớ i t (0, 1)xác suất P[| nXσ

µ− | >2tU ] = t. Nếu giảthuyết H0 đúng thì xác suất

P[| nX 0

σµ− | >

2tU ] = t. Nếu lấy t = α là mức ý nghĩ a của bài toán kiểm định thì

P[| nX 0

σµ−

| > 2Uα ] = α .

Bất đẳng thức2

0 UnXα>

σµ− Mẫu ngẫu nhiên ( X1, X2,....Xn) W.

Điều này có nghĩ a là: P[2

0 UnXα>

σµ− ] = P(W/ H0) = α

Vậy qui tắc kiểm định: Giả thuyết H0: 0µ=µ Đối thuyết H1: 0µ≠µ .

vớ i mức ý nghĩ a α là:

Qui t ắ c 1: Nếu: ZT =2

0 UnXα>

σµ− quyết định bác bỏH0.

Nếu: ZT =2

0 UnXα≤

σµ− quyết định chấp nhận H0.

Vớ i mẫu cụthể ( x1, x2,....xn) đã cho ta thực hiện bài toán kiểm định theocác bướ c sau:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui t ắ c 3: Nếu: ZT = nX 0

σµ− < -Uα quyết định bác bỏH0.

Nếu: ZT = nX 0

σµ−

≥ -Uα quyết định chấp nhận H0.

Vớ i mẫu cụ thể ( x1, x2,....xn) tacũng thực hiện bài toán kiểm định thaocác bướ c:

Bướ c 1: Tính ZT= nx 0

σµ−

Bướ c 2: Tìm Uα .

Bướ c 3: Nếu ZT < - Uα quyết định bác bỏH0.

Nếu ZT ≥ - Uα

quyết định chấp nhận H0.

Miền chấp nhận và miền bác bỏ đượ c môtảbở i hình vẽsau:

Hình 4

Ví dụ3: Trọng lượ ng Xgói mì ăn liền tuân theo qui luât chuẩn N(µ , 25).Từ mẫu 25gói mì ăn liền ta tìm đượ c x = 82 gam. Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định giảthuyết

H0 : µ = 80

H1 : µ > 80.

Ta có ZT= n x

σ µ 0− = 5.

58082− = 2,0 ; U0,05=1,68.

TừZT> U0,05, áp dụng qui tắc 2 ta quyết định bác bỏH0

5. Kiểm định kỳ vọng của phân ph ối chu ẩn khi không bi ết ph ươ ng saiWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu1,

2

0

−≤

−n

t nS

X α

µ ta chấp nhận H0

Cũng như qui tắc 1: Vớ i mẫu cụ thể ( x1, x2,....xn) ta tiến hành bài toán kiểm định theocác bướ c sau:

Bướ c 1: Tính ZT = ns

x 0µ−

Bướ c 2: Tìm1,

2 −n

t α

Bướ c 3: Nếu ZT >2

,1 α −n

t quyết định bác bỏH0

Nếu ZT ≤ 1,2 −n

t α quyết định chấp nhận H0

Miền chấp nhận và miền bác bỏH0 cho bở i hình sau:

Hình 6

Ví dụ1: Năng suất lúa là một đại lượ ng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N( σ µ ; 2).Điều tra năng suất giống lúa trênở200 ruộng tađượ c bảng các số liệu sau:

Năng suất tạ /ha 46 48 49 50 51 53 54 58

Số thửa ruộng 17 18 35 45 42 23 10 10

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05.Hãy kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết:

H0: µ = 52

H1: µ ≠ 52WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Để tính x vàs ta lập bảng sau:

xi ni xini nixi2

46

48

49

50

51

53

54

58

17

18

35

45

42

23

10

10

782

804

1715

2250

2142

1219

540

580

35972

41472

84035

112500

109242

64607

29160

33640

∑ 200 10032 510628

x = 50,16, 3009,37199

s200s,1144,37xxs2

2222 ===−= ; s = 6,11.

ZT = 20011,6

|00,5216,50| − = 4,26, t 0,025 , 199= U0,025 = 1,96

ZT = 4,26 > 1,96 bác bỏH0

5.2 Tr ườ ng hợ p 2. Đối thuyết H1: 0µ<µ

Tươ ng tự như trườ ng hợ p 1. Từ thống kê Z = nS

X µ− cóphân phối Tn-1nếu H0 đúng ta

cóqui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết ởmức ý nghĩ a α là

H0: 0µ=µ

H1: 0µ<µ

Qui t ắ c 5: Nếu Z = nS

X 0µ− < - 1, −nt α bác bỏH0 WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu Z = nS

X 0µ−≥ - 1, −nt α chấp nhận H0

Hình vẽsau cho miền chấp nhận và bác bỏH0

Hình 7

Dựa vào qui tắc 5,các bướ c thực hiện bài toán kiểm định như trườ ng hợ p 1

5.3 Đố i thuy ế t H 1: 0µ>µ

Tươ ng tự như trườ ng hợ p 2, qui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết

H0:

0µ=µ

H1: 0µ>µ

ởmức ý nghĩ a α

Qui t ắ c 6: Nếu: ZT = nS

X 0µ− > 1, −nt α , bác bỏH0

Nếu: Z = nS

X 0µ−≤ t 1, −nα chấp nhận H0

Hình vẽsau cho miền chấp nhận và bác bỏH0

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 8

6.Ki ểm định ph ươ ng sai của phân ph ối chu ẩnTừ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, ... ,Xn) của tổng thể cóphân phối chuẩn N( σ µ ; 2), vớ i mứcý nghĩ a α xây dựng qui tắc kiểm định cặp giảthuyết , đối thuyết :

H0: σ 2 = 20σ

H1: σ 2 > 20σ

Thống kê Z = 2

2S)1n(σ− cóphân phối 2

1n−χ , vớ i t (0,1) tacó

P[2

2S)1n(σ

− > 2

1, −nt χ ] = t (1)

Nếu H0 đúng thì P[ 20

2S)1n(σ− > 2

1, −nt χ ] = t (2)

Cho t =α là mức ý nghĩ a của bài toán kiểm định có:

P[ 20

2S)1n(σ− > 2

1, −nα χ ] = α (3)

Bất đẳng thức:

20

2S)1n(σ− > 2

1, −nα χ tươ ngđươ ng vớ i (X1, X2, ... ,Xn) W α=)H / W(P 0

Qui tắc kiểm định H0 là:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui t ắ c 7: Nếu 20

2S)1n(σ− > 2

1, −nα χ bác bỏH0

Nếu 2

0

2S)1n(

σ

−≤ 2

1, −nα χ chấp nhận H0

Hình vẽsauchỉmiền chấp nhận và miền bác bỏH0

Hình 9

Từ mẫu cụ thể ( x1, x2,....xn) theo qui tắc ta thực hiện bài toán kiểm định cặp giả thuyết ,đối thuyết: H0: σ 2 = 2

0σ

H1: σ 2 > 20σ ởmức ý nghĩ a α theocác bướ c sau:

Bướ c 1: Tính ZT = 20

2s)1n(σ−

Bướ c 2: Tìm 21, −nα χ

Bướ c 3: Nếu ZT > 21, −nα χ ta bác bỏH0

Nếu ZT ≤ 21, −nα χ ta chấp nhận H0

Ví dụ: Một máy sản xuất các tấm chất dẻo đượ c thườ ng xuyên theodõi về độ dày củasản phẩm Biết độ dày Xcủa các tấm chất dẻo tuân theo qui luật chuẩn N( 2;σµ ). Nếu độlệch chuẩn vượ t quá 0,3mmthì chất lượ ng sản phẩm khôngđượ c đảm bảo về kĩ thuật.Ngườ i ta chọn ngẫu nhiên 10 tấm chất dẻo rồi đo độ dày của mỗi tấm và đượ c kết quảsau (đơ n vị đo mm)

22,0 ; 22,6 ; 23,2 ; 22,7 ; 22,5 ; 22,8 ; 22,5 ; 22,8 ; 22,9 ; 23,0.Từ yêu cầu của thực tế vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy lập cặp giả thuyết và đối thuyếtthích hợ p đánhgiá tình trạng làm việc của máy sản xuất các tấm chất dẻo trênĐộ lệch chuẩn ở mức cho phép không vượ t quá 0,3 mm tươ ng ứng vớ i phươ ng sai σ 2 không vượ t quá0,09 mm2. Ta có cặp giảthuyết đối thuyết sau:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




H0: σ 2 = 0,0909,0:H 2

1 >σ

Vớ i mẫu đã cho tacó: x = 2,27, s2 = 0,1089, ZT = 89,1009,01089,0.9s)1n(

20

2

==σ−

ởmức ý nghĩ a 0,05 tacó:205,0,9χ = 16,92; ZT =10,89 < 16,92 = 2

9,05,0 χ quyết định chấp nhận H0, điều này cónghĩ a là máy sản xuất các tấm dẻo vẫn hoạt động bình thườ ng.Vớ i cặp giảthuyết H0: σ 2 = 2

0σ

H1: σ 2 < 20σ

Ta có qui tắc kiểm định là


2s)1n(σ− < 2

1,1 −− nα χ ta bác bỏH0

Nếu 20

2s)1n(σ−

≥ 2

1,1 −− nα χ ta chấp nhận H0 Miền bác bỏ vàmiền chấp nhận H0 cho bở i hình

H ình 10Vớ i cặp giảthuyết : H0: σ 2 = 2

0σ

H1: σ 2 ≠ 20σ

Ta có qui tăc kiểm định là:


2s)1n(σ−

< 21,

21 −− n

α χ hoặc 20

2s)1n(σ−

> 21,

2 −n

α χ bác bỏH0

Nếu 2

1,2

1 −− nα χ ≤ 2

0

2s)1n(σ− ≤ 2

1,2

−nα χ chấp nhận H0.

Miền bác bỏ vàmiền chấp nhận H0 cho bở i hìnhWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hình 11 Nhận xét: Do phươ ng sailà sốdođặc trưng cho sai sốnêncác bài toán kiểm định về

phươ ng sai ngườ i ta thườ ng kiểm định vớ i đối thuyết một phía.

7. Ki ểm định xác su ất .Xác suất xuất hiện sự kiện Aởmỗi phép thử P(A) = p. Tiến hành n phép thử độc lập cónA lần xuất hiện A. Vớ i mức ý nghĩ a α ta xây dựng qui tắc kiểm định cặp giảthuyết, đốithuyết :

H0: p = p0 H1: p ≠ p0

Xét thống kê Z = npq

pf − , f =n

nA , q =1 - p, thống kênày theođịnh lý giớ i hạn trung tâm

cóphân phối xấp xỉ chuẩn tắc. Nếu H0 đúng thì

Z = nqppf

00

0− cóphân phối xấp xỉ chuẩn tắc. Giống như bài toán kiểm địnhkỳ vọng

của phân phối chuẩn, tacóqui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết trênlà:

Qui t ắ c 10: Nếu: nqppf

00

0− >2

Uα ta bác bỏH0

Nếu: nqppf

00

0−≤

2

Uα ta chấp nhận H0.

Ví dụ: Xét nghiệm 1000 mẫu máu của những ngườ i dânở vùng Tây Nguyên ta thấycó232 mẫu máu có kýsinhtrùng sốt rét. Hãy kiểm định :

H0: p = 0,2H1: p≠ 0,2, mức ý nghĩ a α = 0,05.

Ta có f =1000232 = 0,0232, ZT = n

qppf

00

0− = 10008,0.2,0

2,0f − = 2,53.

U0,025= 1,96 ; ZT= 2,53 > 1,96 vậy giảthuyết H0 bị bác bỏ.Chú ý1: Vớ i cặp giảthuyết đối thuyếtWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Khiđó: P[

mn

YX2Y

2X σ

+σ

−>

2

Uα ] = α

Từ đây có qui tắc bác bỏH0 là:

Qui t ắ c 13: Nếu

mn

YX2Y

2X σ

+σ

− >2

Uα quyết định bác bỏH0

Nếu

mn

YX2Y

2X σ

+σ

−≤

2

Uα quyết định chấp nhận H0.

Vớ i hai mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) và ( y1, y2,...ym) thực hiện bài toán kiểm định cặp giảthuyết , đối thuyết trên theocác bướ c sau:

Bướ c 1: Tính ZT =

mn

yx

2y2x σ+σ

−

Bướ c 2: Tìm2

Uα .

Bướ c 3: Nếu ZT >2

Uα bác bỏH0

Nếu ZT ≤ 2

Uα chấp nhận H0

8.2. Tr ườ ng hợ p 2Y

2X ; σσ chư a bi ế t như ng n, m ≥ 30.(g ọi là m ẫ u lớ n)

Do thống kê Z =

mS

nS

)(YX2Y

2X

YX

+

µ−µ−− có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc. Nếu H0

đúng thì

Z =

mS

nS

YX2Y

2X +

− cóphân phối xấp xỉ chuẩn tắc

Cũng như ở trườ ng hợ p trên tacó qui tắc chấp nhận hoặc bác bỏ giảthuyết H0 vớ i đốithuyết hai phía là:

Qui t ắ c 14: Nếu:

mS

nS

YX2y

2x +

−>

2

Uα

quyết định bác bỏH0

Nếu:

mS

nS

YX2y

2x +

−≤

2

Uα quyết định chấp nhận H0.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




8.3. Tr ườ ng hợ p 22 , Y X σ σ chư a bi ế t như ng bi ế t 22Y X σ σ = .

Thống kê Z =

m1

n1S

)(YX YX

+

µ−µ−− cóphân phối Tn+m-2

S2 =2mn

)YY()XX(m

1 j2 j

n

1i2i

−+

−+− ∑∑ == =2mn

S)1m(S)1n( 2y

2x

−+

−+−

Nếu H0 đúng thì Z =

m1

n1S

YX

+

− có phân phối Tn+m-2 và cóqui tắc kiểm định cặp giả

thuyết, đối thuyết ởmức ý nghĩ a α là:H0 : µ X = µ Y H1 : YX µ≠µ

Qui t ắ c 15: Nếu

m1

n1S

YX

+

−> 2

2 −+mn

t α quyết định bác bỏH0

Nếu

m1

n1S

YX

+

− ≤ t

2,2

−+mnα quyết định chấp nhận H0

Vớ i hai mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn) và ( y1, y2,...ym) thực hiện bài toán kiểm định cặp giảthuyết , đối thuyết trên theocác bướ c sau:

Bướ c 1: Tính ZT=

m1n1s

yx

+

− vớ i

2

)1()1( 222

−+

−+−=

smsns Y X

Bướ c 2: Tìm2,

2 −+mn

t α

Bướ c 3: Nếu ZT >2,

2 −+mn

t α quyết định bác bỏH0

Nếu ZT ≤ 2,

2 −+mn

t α quyết định chấp nhận H0

Ví dụ: Điều tra năng suất của 8 thửa ruộng trồng giống lúa Avà năng suất của 10 thửaruộng trồng giống lúa B vớ i cùng một điều kiện canhtác tacó kết quảsau:

X 40 38 40 42 44 41 36 39Y 41 44 38 42 40 45 39 37 43 41

Biết rằng X N( 2X ;σµ ), Y N( σµ ;Y

2). Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05 hãy kiểm định:H0: YX µ=µ H1: YX µ≠µ

Ta có =x 40, y= 41, 2Xs =

742 = 6, 2

Ys = 6,66, s2 = 6,375, s = 2,52.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




* Cách 1: Thu thập thêm dữ liệu mẫu đển, m≥ 30 sauđó sử dụng qui tắc kiểm định như đã nêu trongmục 4.2.* Cách 2: Xây dựng cặp giảthuyết đối thuyết phụ:

H’0: 2xσ = 2

yσ

H’1:2xσ ≠

2yσ vớ i cùng mức ý nghĩ a α .Qui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết này sẽ trình bày ở mục sau.

Nếu H’0 đượ c chấp nhận ta sử dụng qui tắc như đã nêuở mục 4.3.Nếu H’0 bị bác bỏ thìvề mặt lý thuyết việc so sánh haikỳ vọng trên chưa giải quyếtđượ c. (Bài toán Behrens-Fisher).

9. Ki ểm định s ự bằng nhau của hai kỳ vọng vớ i đối thuy ết m ột phí a.Từ hai mẫu ngẫu nhiênđộc lập:

(X1, X2,....Xi,....Xn) ; Xi N(µ x, 2xσ ),

(Y1, Y2,…Y j,…Yn) ; Y j N(µ y, 2yσ ).

Ta xây dựng qui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết :H0: YX µ=µ H1: YX µ>µ

9.1 Tr ườ ng hợ p 1: Khi 2xσ , 2

yσ đã biết.

Thống kê Z =

mn

)(YX2Y

2X

YX

σ+

σ

µ−µ−− cóphân phối chuẩn tắc.

Nếu H0 đúng thì Z =

mn

YX2Y

2X σ

+σ

− có phân phối chuẩn tắc.

Từ đây tacóqui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết trênlà:


mn

YX2Y

2X σ

+σ

− > Uα quyết định bác bỏH0

Nếu:

mn

YX2Y

2X σ

+σ

− ≤ Uα quyết định chấp nhận H0

9.2. Tr ườ ng hợ p 2: Khi 2

xσ , 2

yσ chưa biết nhưng m, n≥ 30.Tươ ng tự như trên tacóqui tăc kiểm định là:


mS

nS

YX2Y

2X +

− > Uα quyết định bác bỏH0

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui t ắ c 24: Nếu :

m1

n1S

YX 0

+

µ−− > t 2, −+mnα quyết định bác bỏH0

Nếu:

m1n1S

YX 0

+

µ−−≤ t 2, −+mnα quyết định chấp nhận H0.

Ví dụ: Theodõi 10 thửa ruộng trồng giống lúa A vớ i năng suất X tađượ c: x = 6,2 tấn/ ha, 2

xs = 0,16.Theodõi 8 thửa ruộng trồng giống lúa B vớ i năng suất Y tađượ c:

y= 5,4 tấn/ ha, 2ys = 0,20.

Biết chi phícanhtác giống lúa A tốn kém hơ n giống lúa B qui rathóc là 0,4 tấn/ ha. Vớ imức ý ngh ĩ a α = 0,05, xây dựng giả thuyết và đối thuyết thích hợ p đểkhẳng định giốnglúa A có hiệu quảkinh tế hơ n giống lúa B không. Biết rằng năng suất của hai giống lúanày đều có phân phối chuẩn vớ i phươ ng sai bằng nhauvà giá thành của hailoại lúa này

là như nhau.Yêu cầu trên tươ ngứng vớ i việc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết sau:H0 : 4,0+= Y X µ µ H1: 4,0+> Y X µ µ

Ta có s2 =2 2X Y(n 1)s (m 1)s 9.0,16 7.0,20 0,18; s 0, 42

n m 2 16− + − +

= = =+ −

ZT = 75,1;01,2

81

10142,0

4,04,52,611 16,05,0

0 ==+

−−=

+

−−t

mns

y x µ

Do ZT = 2,01 > 1,75 = 16,05,0t quyết định bác bỏH0. Điều này có nghĩ a là giống lúa Acó hiệu quảkinh tếhơ n giống lúa B.

10.Ph ươ ng pháp so sánh c ặp đôiXét n cặp mẫu ngẫu nhiên ),(),....,,(),,( 2211 nn Y X Y X Y X Xi có cùng phân phối vớ i Xcó phân phối chuẩn ),(N 2

XX σµ .Yi có cùng phân phối vớ i Ycóphân phối chuẩn ),(N 2

YY σµ , Xđộc lập vớ i Y.Đặt D = X – Y , Di = Xi – Yi , 2

Y2X

2VYXV , σ+σ=σµ−µ=µ

Khiđó ),(~ 2V V N D σ µ ; Y X D

n D

n

ii −== ∑

=1

1 ; )(1

11

2 ∑=

−−

=n

ii D D D

nS

Cặp giảthuyết đối thuyết:

0YX1

0YX0

:H:H

µ+µ≠µµ+µ=µ

tươ ngđươ ng vớ i cặp giảthuyết đối thuyết:

0V1

0V0

:'H:'H

µ≠µµ=µ

Sử dụng quy tắc 4 tacó:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu1,

2

0

−>

−=

n D

T t nS

D Z α

µ ta quyết định bác bỏH0.

Nếu1,

2 −

≤n

T t Z α ta quyết định châp nhận H0.

Cặp giảthuyết đối thuyết:

0YX1

0YX0

:H:H

µ+µ>µµ+µ=µ

tươ ngđươ ng vớ i cặp giảthuyết đối thuyết:

0V1

0V0

:'H:'H

µ>µµ=µ

Sử dụng quy t ắ c 6 ta có:

Nếu 1,0

−>−

= nV

T t nS

D Z α

µ ta quyết định bác bỏH0.

Nếu 1, −≤ nT t Z

α ta quyết định châp nhận H0.Ví dụ: Tại một câulạc bộ thẩm mỹngườ i taquảng cáo rằng sau một khóa tập luyệngiảm béo ngườ i tham gia tập luyện có thể giảm trọng lượ ng hơ n 5 kg. Một mẫu ngẫunhiên gồm 10 ngườ i đượ c đo trọng lượ ng trướ c và sau khi tập luyện cho bở i bảng sau:

X 85 90 96 93 86 89 82 84 100 102Y 80 86 90 86 81 81 78 81 91 93

Hãy lập cặp giả thuyết đối thuyết thích hợ p đểkiểm tratính đúngđắn của việc quảng cáonói trên. Biết rằng ),(~ 2

X X N X σ µ , ),(~ 2Y Y N Y σ µ .

Xét cặp giảthuyết đối thuyết:

5:H

5:H

YX1

YX0

+µ>µ

+µ=µ

Đặt D = X – Y , Di = Xi – Yi , Di nhận các giá trịsau:Vi: 5 4 6 7 5 8 4 3 9 9

Ta có : 87,1,11,2940,6 9,05,0

2 ==== t ssd d v

50,11011,2

565=

−=

−= n

sd

Z v

T

87,150,1ZT <= quyết định chấp nhận giả thuyết H0. Điều này có nghĩ a vớ i mức ýnghĩ a α = 0,05trọng lượ ng của những ngườ i tập luyện giảm béo chỉ ởmức giảm đi nhỏhơ n hoặc bằng 5 kg.

Phươ ng pháp sosánh cặp đôi thườ ngđượ c sử dụng trongcác thí nghiệm khoahọc. Đểxem một phươ ng pháp canhtác, một chế độcho giasúc ăn, một loại thuốc mớ i …có tốthơ n loại cũ hay không, ngườ i ta sẽbố trín cặp thí nghiệm, một thực hiện theo phươ ng pháp cũ một thực hiện theo phươ ng pháp mớ i, sau thờ i gianthí nghiệm thuđượ c n cặpdữ liệu từ đó đưa ra kế luận.

11.Ph ươ ng pháp loại bỏ các sai s ố thôWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Khi thu thập và kiểm tracác số liệu mẫu, do nhiều nguyên nhânchủquanvà khách quan,việc gặp phải các sai số là điều không thể tránh khỏi. Các loại sai số thườ ng gặp trongviệc điều travà thu thập các số liệu là :11.1. Sai s ố thô: L à sai số xuất hiện do vi phạm các nguyên tắc cơ bản của việc đo đạchoặc do những sơ suất màngườ i thu thập số liệu gây ra một cách cố ýhoặc vôý.

11.2. Sai s ố hệ thố ng: Là những sai số do các dụng cụ đo gây ra hoặc dokĩ thuật viênkhông nắm đượ c qui tắc vận hànhdụngcụ đo. Sai số loại này dễ phát hiện để loại bỏ.11.3. Sai s ố ngẫ u nhiên: Là sai số chịu tác động của nhiều nguyên nhân,các sai số nàythườ ngnhỏ vàkhôngchịu sự tác động của ngườ i thu thập số liệu.Trướ c khi tiến hành phântích và xử lýsố liệu, việc loại bỏ các số liệu dị thườ ng (các saisố thô) rakhỏi tập các số liệu cần xử lý là điều cần chú ý, có như vậy các thông tin thuđượ c sau xử lýmớ i đảm bảo tínhchính xác vớ i độtin cậy cao.11.4. Ph ươ ng phá p loại bỏsai s ố thô:Khi tiến hành loại bỏ sai số thô (số liệu lạ) ta cần chú ý:

• Trướ c tiên cần kiểm tra xem có sơ suất hoặc có vi phạm các nguyên tắc cơ bảnkhi thu thập số liệu không?

•

Thử loại bỏ x0 là số liệu bị nghi ngờ rồi tiến hành xử lý số liệu xem kết luận cókhác so vớ i khi giữ lại x0 hay không? Nếu không có sai khácđáng kể thì nên giữ lại số liệu x0.

• Nên tham khảo các tài liệu chuyên môn liên quan có thể giải thích cho việc xuấthiện số liệu lạ này sauđó mớ i quyết định nên giữ hay nên bỏ.

Giảsử ta có dãy số liệu: n x x x ,...,, 10 ở đóx0 bị nghi ngờ làsố dịthườ ng (giá trị nhỏnhất

hoặc lớ n nhất) trongdãy số trên. Khiđó ta xét đại lượ ng:s

xxZ 0

T

−= . Nếu

1,2

−>

nT t Z α ta quyết định loại bỏ giá trịx0 rakhỏi dãy các số liệu trên.

Nếu 1,2

−≤ nT t Z α ta kết luận dãy số liệu trên khôngcó số dịthườ ng. Trong thực tế tùy yêucầu chính xác của việc xử lýsố liệu ngườ i ta thườ ng lấy α ở các mức 0,05 hoặc 0,01.Việc đưa ra tiêu chuẩn loại bỏsai số thônói trên dựa trêngiảthiết các số liệu mẫu

n x x x ,...,, 10 lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩn ),( 2σ µ N .Ví dụ: Ngườ i tađo 10trục thép do một dây chuyền cơ khí sản xuất tính đượ c

04,0,98,1 == s x trongđó cótrục có đườ ng kính lớ n nhất là 2,03. Vớ i mức α = 0,05hỏi trục có đườ ng kính nêu trêncó phải là trục dị thườ ng không?

Ta có: 64,31004,0

03,298,1n

sxx

Z 0T ≈

−=

−=

26,264,3,26,2 9,025,09,025,0 =>== t Z t T trục có đườ ng kính 2,03 nên loại khỏi mẫu.Chú ý : Để kiểm tra giá trị nhỏ nhất và giá trị lớ n nhất của mẫu có phải là sai số thô

hay không trong trườ ng hợ p kích thướ c mẫu không lớ n ta có thể thực hiện theo qui tắcsau:

*Tính: ZTM =s

x xˆ

max − hoặc ZTm =s x xˆ

min− WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




ZT = 23,0)

4001

5001(878,0.122,0

005,0

)m1

n1)(f 1(f

|f f | 21 ≈+

=+−

− ; U0,025 = 1,96

ZT = 0,23 < U0,025 = 1,96 ;giảthuyết đượ c chấp nhận.

12.2 Tr ườ ng hợ p đố i thuy ế t một phí a: H 1: p 1 > p 2 Tươ ng tự như trườ ng hợ p trên tacó qui tắc kiểm định là

Qui t ắ c 26: Nếu α>+−

− U)

m1

n1)(f 1(f

f f 21 bác bỏH0

Nếu α≤+−

− U)

m1

n1)(f 1(f

f f 21 chấp nhận H0

13.Ki ểm định s ự bằng nhau của hai ph ươ ng saiGiảsửX~ N( ); 2

X X σ µ ), ( X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ngẫu nhiên tươ ngứng.Y ~ N( ); 2

Y Y σ µ ), ( Y1, Y2, ..., Yn) là một mẫu ngẫu nhiên tươ ngứng.Ta xây dựng qui tắc kiểm địnhgiảthuyết H0: σ 2

X = σ 2Yởmức ý nghĩ a α

13.1 Tr ườ ng hợ p đố i thuy ế t một phí a: H1: 22Y X σ σ >

Thống kê Z = 2Y

2Y

2X

2X

S.S σ

σ cóphân phối Fn-1, m-1. Nếu H0 đúng thìZ = 2

Y

2X

SS cóphân phối

Fn-1, m-1. P( α α => −− )1,1,2

2

mnY

X F S

S

Từ đây tacóqui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyếtH0: σ 2

X = σ 2Y

H1: σ 2X > σ 2

Y ởmức ý nghĩ a α là

Qui t ắ c 27: Nếu 2Y

2X

SS > 1,1, −− mnF α ta bác bỏH0

Nếu 2Y

2X

SS ≤ 1,1, −− mnF α ta chấp nhận H0

13.2 Tr ườ ng hợ p đố i thuy ế t 2 phí a H 1: σ 2X ≠ σ 2

Y

Vớ i cặp giảthuyết đối thuyết H0: 22

Y X σ σ = H1: σ 2

X ≠ σ 2Y

ở mức ý nghĩ a α ta cóqui tắc kiểm định sau:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui t ắ c 28 : Nếu: 2Y

2X

SS

−−−−− 1,1,2

1,1,2

1;

mnmnF F α α ta bác bỏH0

Nếu: 2Y

2X

SS

−−−−− 1,1,2

1,1,2

1;

mnmnF F α α ta chấp nhận H0

Ví dụ: Một mẫu gồm 17 phần tử lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩn N( 2; X X σ µ ) tađượ c: 2

Xs =123,5.Một mẫu ngẫu nhiênkhác gồm 15 phần tử cũng lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩnN( 2; Y Y σ µ ) tađượ c s2

Y = 60,4. Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định cặp giảthuyếtđối thuyết

H0 : 22Y X σ σ =

H1 : 22Y X σ σ >

Ta có ZT = 48,2,04,24,605,123

14,16,05,02

2

=== F s

s

Y

X , ta chấp nhận giảthuyết :H0: 22Y X σ σ =

14. Ki ểm định s ự bằng nhau của nhi ều kì vọngViệc sosánh sự bằng nhaucủa nhiều kì vọng là một yêu cầu kháphổbiến trong nônghọc, sinhhọc cũng như trong lâmhọc. Chẳng hạn như sosánh như so sánh năng suất củak giống lúa khác nhau hay sosánh chiều cao trung bìnhcủa kchủng ngườ i khácnhau...Những vấn đề vừa nêu sẽ đượ c đề cập k ĩ hơ n trong giáo trình thống kê nâng cao.Trongmục này ta xây dựng phươ ng pháp kiểm định giảthuyết đối thuyết

H0: k i µ µ µ ==== ..........1 H1: ≠i j để ji µ µ ≠

Giảsử :( X11, X12, ..., X1

1n ) là mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩn N( 21 ;σ µ )

( Xi1, Xi2, ..., Xiin ) là mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩn N( 2;σ µ i )

( Xk1, Xk2, ..., Xkkn ) là mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể cóphân phối chuẩn N( 2;σ µ k )

∑=

=1n

1 j j1

11 X

n1X ,..., ∑

=

=in

1 jij

ii X

n1X , ..., ∑

=

=kn

1 jkj

kk X

n1X

iX là trung bìnhcủa mẫu ngẫu nhiên thứ i

SSi =∑=

−in

1 j

2

iij)XX( tổng bình phươ ngđộlệchcủa nhóm thứ i

SSW =∑=

k

1iiSS là tổng bình phươ ngđộlệch bên trongcác nhóm

∑=

=k

1iiiXn

n1X là trung bình chung, n =∑

=

k

1iin là kích thướ c mẫu

SSB =∑ − 2ii )XX(n là tổng bình phươ ngđộlệch giữa các nhómW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Bướ c 3: Nếu ZT > k nk F −− ,1,α quyết định bác bỏH0 Nếu ZT ≤ k nk F −− ,1,α quyết định chấp nhận H0

Ví dụ: Đểso sánh năng suất của 3 giống lúa A, B, C ngườ i ta thực hiện thí nghiệmtrên 20 thửa ruộng, sau khi thuhoạch tacókết quả sau:Giống lúa A trồng trên 7 thửa ruộng năng suất X1 của từng thửa ruộng là:

54 57 55 58 61 54 52.Giống lúa B trồng trên 6 thửa ruộng năng suất X2 của từng thửa ruộng là:

50 55 58 54 61 52 Giống lúa C trồng trên 7 thửa ruộng năng suất X3 của từng thửa ruộng là 58 60 54 56 61 60 57ởmức ý nghĩ a α = 0,05,hãy kiểm địnhgiảthuyết

H0: Năng suất của 3 giống lúa trênlà như nhauBiết rằng X1, X2, X3 là các biến chuẩn có cùng phươ ng sai

Ta có71x1 = ( 54 + 57 + 55 + 58 + 61 + 54 + 52) = 56.

61x2 = ( 50 + 55 + 58 + 54 + 61 + 52) = 55.

71x3 = ( 58 + 60 + 54 + 56 + 61 + 60 + 57) = 58.

201x = ( 7.56 + 6.55 + 7.58 ) = 56,4.

ss1 = (54 - 56)2+(57 - 56)2 +(55 - 56)2 +(58 - 56)2 +(61 - 56)2 +(54 - 56)2 +(52 - 56)2 = 55ss2 = (50 - 55)2 + (55 - 55)2 + (58 - 55)2 + (54 - 55)2 + (61 - 55)2 + (52 -55)2 = 80ss3 = (58 - 58)2+(60 - 58)2+(54 - 58)2 +(56 - 58)2 +(61 - 58)2 +(60 - 58)2 +(57 - 58)2 = 38

ssw = ss1 + ss2 + ss3 = 173ssb = 7. (56 - 56,4)2 + 6. (55 - 56,4)2 +7. (58 - 56,4)2 = 30,8

msb = 40,152

8,301

==−k

ssg , 18,1017173

knsswmsw ==

−=

ZT = 51,118,1040,15

==mswmsb Fk-1,n-k,0,05 = F2,17,0,05 = 3,59

ZT = 1,51 < 3,59 = F0,05 , 2 ,17 Giảthuyết đượ c chấp nhận, khôngcó sự khác nhau vềnăng suất của ba giống lúa trên.

III . Ki ể m đị nh giả thuy ế t phi tham s ố

1. Kiểm định m ột phân ph ối xác su ấtTheo dõi một dãy n phép thử độc lập tacókết quảsau:

Sự kiện A1 A2 ... Ai ... Ak

Tần số n1 n2 ... ni ... nkWW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ta tiến hành kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết ởmức ý nghĩ a α H0: P(A1) = p1, ... , P(Ai) = pi, ... , P(Ak) = pk H1: j để P(A j) ≠ p j

Nhận thấy rằng: H0 đúng thì ni ≈ npi, đểkiểm định cặp giảthuyết đối thuyết trên cần đưara một thống kêthích hợ p đểkhi thống kênày vượ t quá ngưỡ ng cho phép nào đó thìta

nói có sự khác biệt giữa ni và npi. Khi đó ta sẽ quyết định bác bỏ giảthuyết còn nếungượ c lại ta chấp nhận giả thuyết hay nói đúng hơ n là mẫu đã cho phù hợ p vớ i giảthuyết.1.1.Tr ườ ng hợ p các p i đã biế t

Ngườ i ta chứng minhđượ c rằng nếu H0 đúng thì thống kê Z =∑=

−k

1i i

2ii

np)npn( có phân

phối giớ i hạn 21k−χ . Khi thống kênày vượ t qua ngưỡ ng α−χ ,

21k ta quyết định bác bỏ giả

thuyết.Qui tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết

H0: P(A1) = p1, ... , P(Ai) = pi, ... , P(Ak) = pk

H1: j đểP(A j) ≠ p j ởmức ý nghĩ a α là

Qui t ắ c 1: Nếu ∑=

−k

1i i

2ii

np)npn( > 2

1, −k α χ ta bác bỏH0

Nếu ∑=

−k

1i i

2ii

np)npn( ≤ 2

1, −k α χ ta chấp nhận H0

Ví dụ1: Haicá thể ởthếhệF1 (cùng mang kiểu gen Aa)đem lai vớ i nhau.Các cá thểở thếhệF2 cómột trong 3 kiểu gen AA, Aa, aa.Điều tra 200cá thể ởthếhệF2 có:

Kiểu gen AA Aa aaSố cáthể 40 105 55

ởmức ý nghĩ a α = 0,05 kiểm định cặp giảthuyết , đối thuyếtH0: Kiểu genở thếhệF2 tuân theo luật Mendel

H1: Kiểu genở thếhệF2 không tuân theo luật Mendel

Giảthuyết H0 tươ ngứng vớ i P(AA) =41 , P(Aa) =

42 , P(aa) =

41

Sử dụng qui tắc 1 ta thực hiện bài toán kiểm định theocác bướ c sau:

Bướ c 1:Tính ZT = =−∑

=

3

1i i

2ii

np)npn(

100)100105(

50)5040( 22 −

+− +

50)5055( 2−+ = 2,75

Bướ c 2: Tìm 22,05,0 χ = 5,99

Bướ c 3: ZT = 2,75 < 5,99 = 22,05,0 χ . Theo qui tắc1 giảthuyết H0 đượ c chấp nhận điều

này có nghĩ a là mẫu đã cho phùhợ p vớ i qui luật Mendel

Chú ý: Xét ZT = ∑∑==

+−=

− k

i i

iiiik

i i

ii

np pnnpnn

npnpn

1

222

1

2 2)(

= nnpn

npnnpn k

i i

ik

ii

k

ii

k

i i

i −=+− ∑∑∑∑==== 1

2

111

2

2 (1)WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Khi sử dụng qui tắc1 ta có thể tính ZT theo công thức (1)1.2 Khi các p i phụthuộc vào r tham s ốchư a bi ế t (r < k-1)Giảsử pi = pi ( r θ θ θ ,...,, 21 ) là các hàm phụthuộc vào r tham số r θ θ θ ,...,, 21 Đểthực hiện bài toán kiểm định trong trườ ng hợ p này trướ c hết ta cần tìm các ướ c lượ ng điểm của iθ theo phươ ng pháp hợ p lý nhất. Nếu iθ là một ướ c lượ ngđiểm của iθ thì

(pp ii = 1θ , 2θ , ... , r θ ) là ướ c lượ ngđiểm của pi. Tươ ng tự như qui tắc 1, thống kê

Z = ∑=

−k

1i i

2ii

pn)pnn( có phân phối giớ i hạn 2

1rk −−χ nếu H0 đúng. Từ đây tacó qui tắc

kiểm định cặp giảthuyết, đối thuyết:H0: P(A1) = p1, ... , P(Ai) = pi, ... , P(Ak) = pk H1: j đểP(A j) ≠ p j

ởmức ý nghĩ a α là

Qui t ắ c 2: Nếu ∑=

−k

1i i

2ii

pn)pnn( > 2

1, −−r k α χ ta bác bỏH0

Nếu ∑=

−k

1i i

2ii

pn)pnn( ≤ 2

1, −−r k α χ ta chấp nhận H0

Ví dụ2: Đểxemcó sự lây lancủa “ bệnh nấm mầm” từ câynày sang câykhác ở cáccâycọdầu hay không ngườ i ta trồng 500 cặp câycọdầu vào 500 hốc tại một vườ n ươ mcây. Sau một thờ i gian kiểm tra ta thuđượ c kết quảsau:

Cả2 cây bị bệnh 1 cây bị bệnh 0 cây bị bệnh73 185 242

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05 kiểm định cặp giảthuyết đối thuyếtH0: Không có sự lây bệnh từ câynày sang câykhác

H1: Cósự lây bệnh từ câynày sang câykhácGọi p là xác suất đểmỗi câycọdầu bị “ bệnh nấm mầm ”Nếu giảthuyết H0 đúng thì:

Xác suất để cảhai cây bị mắc bệnh p2 = p2.Xác suất đểmột trong hai cây bịmắc bệnh p1 = 2p(1 - p).Xác suất đểkhông câynào mắc bệnh p2 = (1 - p)2

Giả thuyết H0 tươ ng ứng vớ i giả thuyết p2 = p2, p1 = 2p(1 - p), p0 = (1 - p)2. Bài toánkiểm định thực hiện theocác bướ c:

Bướ c 1: Ướ c lượ ngxác suất p bở i tần suất 331,01000

18573.2f ==

0p = ( 1- 0,331)2 = 0,44754; 1p =2.0,331 ( 1- 0,331) = 0,4429;2p = 0,3312 = 0,10956

77,22323,18

15,2245,36

78,5422,18

p500)p500242(

p500)p500185(

p500)p50073( 222

2

22

1

21

0

20 ++=

−+

−+

− = 12,55

Bướ c 2: Tìm 21,05.0 χ = 3,84

Bướ c 3: ZT = 12,55 > 3,84 = 21,05.0 χ

Giảthuyết H0 bị bác bỏ, có sự lây lan “ bệnh nấm mầm” từ câynày sang câykhác.WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chú ý1: Khi sử dụng hai qui tắc vừa nêu ta phải thực hiện yêu cầu npi hoặc n ip ítnhất phải bằng 5

Chú ý2: Đểkiểm định giảthuyếtH0: X F(x, r θ θ θ ,...,, 21 )

Khi mẫu đã chođượ c phân chia thành k lớ p

Lớ p <x1 x1- x2 xi-1- xi ≥xk-1 Tần số n1 n2 ni nk

Tr ườ ng hợ p 1: Nếu các tham số r θ θ θ ,...,, 21 đã biết.Ta có: p1 = F(x1, r θ θ θ ,...,, 21 ) p2 = F(x2, r θ θ θ ,...,, 21 ) - F(x1, r θ θ θ ,...,, 21 )

pi = F(xi, r θ θ θ ,...,, 21 ) - F(xi-1, r θ θ θ ,...,, 21 ) ; pk = 1 - (p1+ p2 + ...+ pk-1)Nếu npi ≥ 5 vớ i mọi i = 1, k ta sử dụng qui tắc 1đểthực hiện bài toán kiểm định.Nếu có những lớ p mà npi < 5 ta phải thực hiện ghép lớ p này vào các lớ p liền kề để cácnpi ≥5 sauđó sử dụng qui tắc 1.

Tr ườ ng h ợ p 2: Nếu các tham số r θ θ θ ,...,, 21 chưa biết. Ta phải tìm các ướ c lượ ngđiểm của r θ θ θ ,...,, 21 theo phươ ng pháp hợ p lý nhất. Giảsử iθ là ướ c lượ ngđiểm của θ i.Ta có )ˆ,....ˆ,x(Fp r111 θθ= , )ˆ,....ˆ,x(F)ˆ,....ˆ,x(Fp r11r122 θθ−θθ=

)ˆ,....ˆ,x(F)ˆ,....ˆ,x(Fp r11ir1ii θθ−θθ= − , )p...pp(1p 1k21k −+++−= Nếu vớ i mọi i =1, kmàn ip ≥ 5 ta sử dụng qui tắc 2đểthực hiện bài toán kiểm định.Nếu cónhững lớ p mànpi < 5 ta phải thực hiện ghép lớ p này vào các lớ p liền kề để cácnpi ≥ 5 sauđó mớ i sử dụng qui tắc 2.

Chú ý3: Việc phâncác số liệu mẫu vào các lớ p nếu thoả mãn các yêu cầu sauthì lựclượ ng của phép kiểm địnhsẽlớ n (xác suất sai lầm loại 2 nhỏ)

*Xác suất đểX nhận giá trịtrongcác lớ p xấp xỉ nhau.*Nếu kích thướ c mẫu nhỏhơ n 100thì số lớ p k phải lớ n nhất thoả mãnnpi ≥ 5 ; n ip ≥ 5

*Nếu kích mẫu lớ n hơ n 100thì số lớ p k phải xấp xỉ 3,2n2/5 và yêu cầu npi hoặc n ip ≥5vẫn đượ c bảo đảm.

Ví dụ: Sản lượ ng của loại đậu xám( tạ / ha) trên 36mảnh đất gần nhauđượ c cho bở i bảng sau:

19,2 17,7 22,0 21,1 18,5 21,0 19,3 19,0 18,217,1 19,2 19,1 20,1 14,3 19,5 17,3 16,3 19,617,5 19,1 19,7 16,0 16,7 16,4 20,0 18,8 20,819,3 16,0 17,4 17,2 17,6 11,4 16,3 11,5 16,1

ởmức ý nghĩ a α = 0,05có thểxem mẫu đã chocó phùhợ p vớ i giảthuyết :H0 : Sản lượ ng loại đậu xám cóphân phối chuẩn N( 2;σ µ )

Ta ướ c lượ ng µ bở i x = 17,95,ướ c lượ ng σ 2 bở i 2s = 5,617.

Lấy các ip bằng nhau tacósố lớ p kở đây là 7. Vậy các ip đều bằng71 W

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




x1 là số thoả mãn71)

sxx( 1 =

−φ x1 = 15,42


sxx( 2 =

−φ x2 = 16,61

x3 là số thoả mãn 73

)sxx

(3

=−

φ x3 = 17,53x4 là số thoả mãn

74)

sxx( 4 =

−φ x4 = 18,37


sxx( 5 =

−φ x5 = 19,29


sxx( 6 =

−φ x6 = 20,48

Các số liệu mẫu đượ c xếp vào các lớ p theo bảng sau:

Lớ p < x1 [ )21 ; x x [ )32 ; x x [ )43 ; x x [ )54 ; x x [ )65 ; x x ≥ x 6 ni 3 6 6 3 7 7 4

Sử dụng qui t ắ c 2 tiến hành kiểm định theocác bướ c sau:

Bướ c 1: Tính ZT = ∑=

−k

i i

ii

pn pnn

1

2

ˆ)ˆ( =

736

)7363( 2−

+

736

)7366( 2−

+

736

)7366( 2−

+

736

)7363( 2−

+ 36

)7367( 2−

+

736

)7367( 2−

+

736

)7364( 2−

= 3,666

Bướ c 2: Do phải ướ c lượ ng hai tham số µ và σ 2 nên sốbậc tự do là 4,448,92

4,05,0 = χ . Bướ c 3: ZT = 3,666 < 9,488 =2

4,05,0 χ mẫu đã cho phùhợ p vớ i giảthuyết.

Chú ý: ZT = ∑∑==

+−=

− k

i i

iiiik

i i

ii

pn pn pnnn

pn pnn

1

222

1

2

ˆˆˆ2

ˆ)ˆ(

= n pnn

pnn pnn k

i i

ik

iii

k

ii

k

i i

i −=+− ∑∑∑∑==−= 1

2

111

2

ˆˆ2

ˆ (2)

Khi sử dụng qui tắc 2 ta có thể tính ZT theo công thức cho bở i (2)

2. Ki ểm định tí nh độc lập của hai đặc tí nh định tính.Xét một đám đông mỗi cá thể ta để ýtớ i haiđặc tính định tính Avà B. Giảsử đặc tính Ađượ c chiathành k mức A1, A2,... Ak, đặc tính Bđượ c chiathành m mức B1, B2...Bm.Từđám đông lấy ra một mẫu ngẫu nhiêncó kích thướ c n tacó kết quảsau:

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




BA

B1 B2 B j Bm

A1 n11 n12 n1j n1m A2 n21 n22 n2i n2m

Ai ni1 ni2 nij nim

Ak nk1 nk2 nkj nkm nij là số cáthể có đặc tính A = Ai và đặc tính B = B j trong mẫu.

Từmẫu trên xây dựng qui tăc kiểm định cặp giảthuyết, đối thuyếtH0 : Ađộc lập vớ i B.H1 : A khôngđộc lập vớ i Bởmức ý nghĩ a α .

Ta có .1

i

m

jij nn =∑

=

là số cáthể có đặc tính A = Ai

j

k

iij nn .

1=∑

=

là số cáthể có đặc tính B = B j

∑∑∑===

==m

j j

k

ii

mk

jiij nnn

1.

1.

,

1,= n

Để đơ n giản ta quiướ c: ∑∑∑== =

=mk

ji ji

k

i

m

jij nn

,

1,1 1)

f ij = nnij là ướ c lượ ng của xác suất P(AiB j)

f i.= nn .i là ướ c lượ ng của xác suất P(Ai)

f .j= nn j. là ướ c lượ ng của xác suất p(B j)

Nếu giảthuyết đúng thìAi độc lập vớ i B j vìvậy có P(AiB j) = P(Ai)P(B j)

nnn

nf f f jiij jiij

•••• ≈≈

Ta đưa ra thống kê Zthích hợ p đểkhi thống kênày vượ t qua một giá trị xác định nào đó

thì ta khẳng định có sự khác biệt giữa nij và

n

nn ji •• , từ đó đưa ra quyết định bác bỏ giả

thuyết. Ngườ i tađã chứng minhđượ c thống kê

Z = ∑= ••

••−mk

ji ji

jiij

n

nnn

nnn,

1,

2)( cóphân phối giớ i hạn là )1m)(1k(

2−−χ nếu giảthuyết đúng. Từ đây

ta có qui tắc bác bỏ giảthuyết ởmức ý nghĩ a α là:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui t ắ c 3: Nếu ∑= ••

••−mk

ji ji

jiij

n

nnn

nnn,

1,

2)(> 2

)1)(1(, −− mk α χ ta quyết định bác bỏH0

Nếu ∑= ••

••−m,k

1 j,i ji

2 jiij

nnn

)nnn

n(≤ 2

)1)(1(, −− mk α χ ta quyết định chấp nhận H0 hay mẫu

đã cho phùhợ p vớ i giảthuyết Ađộc lập vớ i B.Chú ý: Khi sử dụng qui tắc 3 đểkiểm định tính độc lập của haiđặc tính A, B cần đáp

ứng yêu cầunnn ji •• ≥ 5.

Ví dụ: Xét một đàn ốc sên rừng, đặc tính Alà màu vỏ gồm màu vàng (A1) và màuhồng (A2). Đặc tính Blà số vạch trênvỏgồm : 0vạch(B0), 1 hoặc 2 vạch (B1), 3 hoặc 4vạch (B2) và 5 vạch (B3). Bắt ngẫu nhiên 169 conốc sên rừng thuộc đàn ốc sênnói trênta có bảng sau:

Số vạchMàu vỏ

0 (B0) 1-2 (B1) 3-4 (B2) 5 (B3)

Vàng(A1) 35 19 36 25Hồng(A2) 14 14 16 10

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định giảthuyếtH0: Màu vỏ độc lập vềdi truyền vớ i số vạch trênvỏ

H : Màu vỏkhôngđộc lập vềdi truyền vớ i số vạch trênvỏ Ta có: •1n = 115, •2n = 54, 1n• = 49, 2n• = 33, 3n• = 52, 4n• = 35, n = 169

13,2

16935.54

)169

35.5410(

16952.54

)169

52.5416(

16933.54

)169

33.5414(

16949.54

)169

49.5414(

16935.115

)169

35.11525(

16952.115

)169

52.11536(

16933.115

)169

33.11519(

16949.115

)169

49.11535(

nnn

)nnn

n(Z

22222

2223,2

1 j,i ji

2 jiij

T

=−

+−

+−

+−

+−

+

−+

−+

−=

−= ∑

= ••

••

)1)(1(,2 −− mk α χ = 81,73,05,02 = χ ZT = 2,13 < 7,81 = 3,05,0

2 χ . Ta quyết định chấp nhận H0 màu vỏ vàsố vạch trênvỏđộc lập vớ i nhau vềdi truyền.

Chú ý 1: ZT = +−=−

∑ ∑ ∑∑= = ==

mk

ji

mk

ji

mk

ji jiij

ji

ijmk

ji ji

jiij

nnn

nnn

nn

n

nnn

nnn ,

1,

,

1,

,

1,..

..

2,

1, ..

2..

12)(

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




= −=+− ∑∑∑∑====

mk

ji ji

ijm

j j

k

ii

mk

ji ji

ij

nn

nnnn

nn

nn

nn

,

1, ..

2

1.

1.

,

1, ..

2

112 (3)

Khi sử dụng qui tắc 3 có thể tính ZT bằng công thức cho bở i (3)Chú ý 2: Việc xây dựng qui tắc kiểm định tính thuần nhất của đám đông cũng đượ c

trình bày như tiêu chuẩn vừa nêu. Tiêu chuẩn đưa racũng giống như tiêu chuẩn vừa nêu.3.Quy t ắc dấuXét n cặp mẫu ngẫu nhiên : ),(),....,,(),,( 2211 nn Y X Y X Y X

Xi có cùng phân phối vớ i Xcó hàm mật độf(x)Yi có cùng phân phối vớ i Ycó hàm mật độg(x)

Nếu X, Ylà các biến chuẩn thì việc sosánh kì vọng của X và Y đã đượ c trình bày trongphươ ng pháp sosánh cặp đôi. Bây giờ ta đưa ra quy tắc kiểm định trong trườ ng hợ p tổngquát cặp giảthuyết đối thuyết.

H0: Xcó cùng phân phối vớ i YH1: Xvà Y có phân phối khác nhau.

Đặt D = X - Y , Di = Xi – Yi.Nếu H0 đúng ngườ i tacó thểchứng minh rằng P(D > 0) = P(D < 0) = 0,5.

Gọi M làsố các giá trị màDi > 0 ta thấy M cóphân phối nhị thức B( n,21 ). Cặp giả

thuyết đối thuyết nêu trên tươ ngđươ ng vớ i cặp giảthuyết đối thuyết.

H0’: M có phân phối nhị thức B( n,21 )

H1’: M khôngcóphân phối nhị thức B( n,21 )

Sử dụng định lý giớ i hạn: Biến Z =n

n M

5,0

5,0 có phân phối giớ i hạn chuẩn tắc tacó quy

tắc kiểm định cặp giảthuyết H0 vàH1 là :

Qui t ắ c 5: Nếu ZT =25,0

5,0α U

n

n M >

− bác bỏH0

Nếu2

T UZ α≤ chấp nhận H0

Trong thực hành khi gặp các cặp số liệu ),( ii y x mà ii y x = ta loại bỏcặp số liệu này rakhỏi mẫu.

Ví dụ: Chiều cao Xcủa ngườ i bố vàchiều cao Ycủa con trai tươ ng ứng từ mẫu gồm20 cặp bốconđượ c choở bảng sau:

X 1,72 1,70 1,62 1,58 1,64 1,68 1,67 1,73 1,57 1,63Y 1,74 1,68 1,65 1,55 1,61 1,70 1,67 1,74 1,59 1,60X 1,74 1,76 1,58 1,67 1,55 1,68 1,71 1,58 1,75 1,65Y 1,72 1,73 1,60 1,64 1,62 1,66 1,65 1,62 1,77 1,61

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05,hãy kiểm định cặp giảthuyết đối thuyếtH0: Xcó cùng phân phối xác suất vớ i YH1: X khôngcó cùng phân phối xác suất vớ i YW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Ta loại bỏmẫu thứ bảy do chiều caocủa cặp cha connày như nhau.Đặt: D = X – Y, di = xi - yi Sốmẫu códi dươ ng m = 11 ,kích thướ c mẫu n = 19.

==−

= 96,1U;96,0n5,0n5,0m

Z 025,0T quyết định chấp nhận H0.

4.Quy t ắc Wilcoxon4.1 Th ứ t ự của dã y sốChodãy số : x1, x2 ,……, xn Gọi ui = rank( xi) là thứ hạng của sốxi khi xếp dãy số trên theo thứ tự tăng dần.Nếu trongdãy sốx1, x2 ,……, xn có cácgiá trịbằng nhauđượ c xếp từ thứ tự thứ k đến

thứ k +m-1thì thứ hạng của các sốgiống nhaunày cùng bằng k +2m .

Ví dụ: Chodãy số: 1,4; 1,1; 1,4; 1,1; 1,5; 1,4; 1,6; 1,8; 1,7; 1,8.Xếp dãy số trên theo thứ tự tăng dần tacó:

1,1; 1,1; 1,4; 1,4; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,8.Khiđó:rank(1,1) = 1,5, rank(1,4) = 4, rank(1,5) = 6, rank(1,6) =7, rank(1,7)=8, rank(1,8) = 9,5.

4.2 Quy t ắ c WilcoxonDựa vào thứ tự của dãy sốmẫu, Wilcoxonđưa ra quy tắc kiểm định cặp giả thuyết đốithuyết:

H0: Xcó cùng phân phối xác suất vớ i YH1: X và Y có phân phối khác nhau

Wilcoxon giải quyết bài toán trên trong trườ ng hợ p mẫu gồm n cặp:),( 11 Y X ; (X2 , Y2) ;……;(Xn , Yn)

Mannvà Whitneygiải quyết bài toán trên trong trườ ng hợ p tổng quát vớ i hai mẫu

),....,,( 21 n X X X và ),....,,( 21 mY Y Y .Gọi Vi là thứ tự của Xi trongdãy gồm n + m số:mn Y Y Y X X X ,....,,,,....,, 2121

Đặt ∑=

=n

1iiVV ,nếu H0 đúng có thểchứng minh rằng

12)1mn(nm)V(D;

2)1mn(n)V(E ++

=++

=

Khiđó thống kê

12)1mn(nm

2)1mn(nV

Z++

++−

= cóphân phối xấp xỉ chuẩn tắc .

Từ đây tacóquy tắc kiểm định cặp giảthuyết đối thuyếtH0: Xcó cùng phân phối xác suất vớ i YH1: X và Y có phân phối khác nhau

ởmức ý nghĩ a α là :

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Quy t ắ c 6: Nếu2

T U

12)1mn(nm

2)1mn(nV

Z α>++

++−= ta bác bỏH0.

Nếu2T

UZ α

≤ ta chấp nhận H0.

Ví dụ: Theodõi doanh thu Xcủa 10 cửa hàng thóc giống tại Hà Tâyvà doanh thu Ycủa 12 cửa hàng thóc giống tại Thái Bình tacókết quảsau:X(triệu đồng/ tháng): 32, 36, 28, 24, 30, 25, 32, 33, 26, 27Y(triệu đồng/ tháng): 31, 35, 27, 31, 26, 28, 34, 32, 30, 31, 26, 29Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định cặp giảthiết đối thuyết:

H0: Xcó cùng phân phối xác suất vớ i YH1: X và Y có phân phối khác nhau

Ta có tổng các thứ hạng của các xi là v = 107,5

165,1512

)1mn(nm;1152

)1mn(n=

++=

++

96,1U;45,0

12)1mn(nm

2)1mn(nv

Z 025,0T ==++

++−=

96,1U45,0Z 025,0T =<= ta quyết định chấp nhận H0.4.3 Quy t ắ c Kruskal-WallisCác dữ liệu thuđượ c từ các cuộc điều tra trong sinhhọc, nônghọc, lâm học và y họcthườ ng đượ c thu thập từ nhiều vùng khác nhau. Ta cần kiểm tra xemcác dữ liệu này cócùng xuất phát từ một tập cơ bản (cùng một tổng thể ) hay không?Giảsử mẫu đượ c thuthập từ k vùng (k 3≥ ) và giảsử rằng dãy các giá trịmẫu:

111211 ...,,, n x x x lấy từ vùng I,có đặc tính 1 X

222221 ...,,, n x x x lấy từ vùng II,có đặc tính 2 X ……………………………………………

k knk k x x x ...,,, 21 lấy từ vùng K,có đặc tính k X

Kích thướ c mẫu ∑=

=k

1 j jnn .

Ta gọi ijn là thứ tự của số liệu ij x trong n số liệu trên, in j1,ki1 ≤≤≤≤ . Đặt ∑=

=in

1 jiji nR

Xét thống kê: )1n(3nR

)1n(n12Z

k

1i i

2i +−

+= ∑

=

Nếu 6n,3k i ≥≥ thìZ có phân phối xấp xỉ phân phối khi bình phươ ng vớ i k-1 bậc tự do.Dựa vào quy luật phân phối xấp xỉ của biến Z vớ i mức ý nghĩ a α ta cóquy tắc kiểmđịnh cặp giảthuyết đối thuyết

H0: Dãy các số liệu trên thu thập từmột tập cơ bảnH1: Dãy các số liệu trên không thu thập từmột tập cơ bảnW

WW D

YKEMQUYNHON

UCOZ C

OM




Quy t ắ c 7: Nếu 21,

1

2

)1(3)1(

12−

=

>+−+

= ∑ k

k

i i

iT n

n R

nn Z α χ bác bỏH0

Nếu 21, −≤ k T Z α χ chấp nhận H0.

Quy tắc trênđượ c gọi là quy tắc Kruskal - Wallis.

Ví dụ: Nghiên cứu tác động của 3loại thức ăn giasúc khác nhauđối vớ i sự tăng trọngcủa một loài lợ n ngườ i ta tiến hành thử nghiệm trên 20 con lợ n.Gọi: X1 là mức tăng trọng trong một thángởmỗi con trongnhóm 6 con lợ n dùng thứcăn loại Alà:

17,5 13,5 9,0 12,5 11,0 16,52 X là mức tăng trọng trong một tháng ở mỗi con lợ n trongnhóm 7 con lợ n dùng

thức ăn loại Blà:16,0 14,5 11,5 8,5 12,0 15,0 10,5

3 X là mức tăng trọng trong một thángởmỗi con lơ n trongnhóm 7 con lợ n dùngthức ăn loại Clà:

17,0 9,5 14,0 13,0 10,0 15,5 8,0Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định cặp giảthuyết đối thuyếtH0: Baloại thức ăn có tác dụng như nhau vớ i sự tăng trọng của lợ n

H1: Baloại thức ăn có tác dụng khác nhau vớ i sự tăng trọng của lợ nGiảthuyết H0 tươ ngđươ ng vớ i các số liệu mẫu trên lấy từmột đám đông thuần nhất.Ta có: k = 3, n1 = 6, n2 = n3 = 7, n = 20

69R,71R,65R 321 ===

77,4)1n(3nR

)1n(n12Z

k

1i i

2i

T =+−+

= ∑=

; 99,522,05,0 = χ

<= 99,577,4ZT giảthuyết H0 đượ c chấp nhận, điều naycó thểhiểu là 3 loại thứcăn trên có tác dụng như nhau vớ i việc tăng trọng của lợ n.

Chú ý: Các qui tắc kiểm định phi tham số cóưu điểm là không cần biết trướ c kiểudạng phân phối xác suất của cácđặc trưngở tổng thể, nhưng do lượ ng lượ ng thông tinthuđượ c từ tổng thểkhông nhiều nên lực lượ ng của phép kiểm định của các qui tắc nàykhông cao.

WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Bài tập ch ươ ng VI

1. Biết độ chịu lực X của các mẫu bê tôngcó phân phối chuẩn N( 2;σ µ ). Đo độ chịu lựccủa 210 mẫu bê tông tacó kết quảsau:

Độ chịu lực Xi(kg/cm2) 195 205 215 225 235 245Sốmẫu bê tông ni 13 18 46 74 34 15

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05, hãy kiểm định giảthuyết, đối thuyết:H0 : µ = 230H1: µ ≠ 230 hoặc H1: µ < 230

2.Trọng lượ ngcủa mỗi gói mì ăn liền X (g/gói) do một nhà máy sản xuất là biến chuẩnvớ i phươ ng sai bằng 2,25. Lấy ngẫu nhiên 20gói mì do nhà máy trênsản xuất đem cân tacó trọng lượ ng trung bình

x = 78,2. Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05 hãy kiểm định cặp giảthuyết, đối thuyếtH0: µ = 80 ; H1: µ ≠ 80

3. Năng suất X của một giống lúa trongvùng là một biến chuẩn. Điều tra năng suất lúatrên 36mảnh ruộng tacó kết quảsau:

Xi(tấn/ha) 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0Số mảnh ni 3 5 10 9 6 3

Vớ i mức ý nghĩ aα = 0,05 hãy kiểm định cặp giảthuyết , đối thuyếta. H0: µ = 5,5 ; H1: µ ≠ 5,5b. H0: 2σ = 0,8 ; H1: 2σ > 0,8

4. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 600học sinh lớ p 12các vùng nông thôn khu vực phía Bắcthấy có 122nói sẽnộp đơ n thivào trươ ngĐại Học Nông nghiệp I.Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định cặp giả thuyết, đối thuyết

H0: Tỉ lệ học sinh thivào ĐHNNI p = 0,20H1: Tỉ lệ học sinh thivào ĐHNNI p > 0,20 .

5. Đểso sánh năng suất của hai giống lúa A (năng suất X), giống lúa B ( năng suất Y),ngườ i ta trồng từng cặp trêncác loại đất khác nhau sau thuhoạch tađượ c kết quảsau:Giống A( năng suất X tấn / ha) 6 7 6,5 5,5 4,3 6,6 5,8 4,9 5,3 6,5Giống B( năng suất Y tấn / ha) 5 4 7,5 5,5 5,5 5,6 6,8 4,2 6,3 4,5Biết X và Y là các biến chuẩn. Vớ i mức ý nghĩ a 0,05có thể coi năng suất hai giống lúatrên là khác nhau không? Sử dụng phươ ng pháp sosánh cặp đôi . Hãy xét trong trườ nghợ p lấy mẫu độc lập.

6. Để xét ảnh hưở ng của hai loại phân bón A, Bđối vớ i một giống lúa ngườ i tadùngphân A bón cholúa trên 5 thửa ruộng.Dùng phân B bón cholúa trên 6 thửa ruộng. Sauthuhoạch tacókết quả:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




X(tạ /ha)Năng suất lúa sử dụng phân A 45 47 43 44 46Y(tạ /ha)Năng suất lúa sử dụng phân B 46 49 43 46 50 44

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05có thểcoiảnh hưở ng của hailoại phân trênđối vớ i năng suất lúa lànhư nhauđượ c không? Thực hiện như bài 5.

7.Đểso sánh trọng lượ ngcủa conrạ ( sinh từ lần thứ hai trở đi) và trọng lượ ng con so( sinh lần đầu) qua thống kêởmột nhàhộsinh tađượ c kết quảsau:Trọng lượ ng(g) 1700-2000 2000-2300 2300-2600 2600-2900 2900-3200Sốconrạni 9 13 18 42 18Sốcon so mi 5 10 22 40 45

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05có thểcoi trọng lượ ng con so lớ n hơ n trọng lượ ng con rạ không?

8. Theodõi doanh thu X , Y hàng tháng của 8 cửa hàng bán giống cây trồng tại NamĐịnh và 10 cửa hàng bán giống cây trồng tại Thái Bình tađượ c kết quảsau:X(triệu đồng/ tháng ) 32 36 28 24 30 25 32 33Y(triệu đồng/ tháng ) 31 35 27 36 31 26 28 34 32 30

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05có thểcoi doanh thucủa các cửa hàng bán giống cây trồngởhaiđịa phươ ng trênlà khác nhau không?

9. Một nông trườ ng bòsữa nhập ba giống bò A, B, C. Ngườ i ta thống kêsản lượ ng sữacủa chúng theo ba mức: ít, trung bình và nhiều sữa. Từ bảng số liệu vềsự phân bốbagiống bò trên theo ba mức:

Giống bò A B CÍt sữa 92 53 75

Trung bình 37 15 19Nhiều sữa 46 19 12

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05hãy nhận định xemsản lượ ng sữa của 3 giống bò có khác nhaukhông?10. Để điều tra mức độxem phimcủa nhân dân một tỉnh ngườ i ta chia mức độxem phimthành ba cấp (nhiều , vừa, ít). Kết quả điều tra 300 hộnhư sau:

Mức độ Vùng Nhiều Vừa ítThành phố 48 26 26Ven nội 38 34 28Huyện 16 10 74

Có thểcoi mức độxem phimởba vùng là như nhauđượ c không? Mức ý nghĩ a 0,05.

11. Khảo sát màu mắt và màu tóc của 6800 ngườ i Pháp tađượ c kết quảsau:Màu tóc

Màu mắt Vàng Nâu Đen HungXanh 1768 807 189 47Đen 946 1387 746 53Nâu 115 438 288 16

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05 hãy kiểm định giảthuyết:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




H0: Màu tóc độc lập vớ i màu mắt.H1: Màu tóc khôngđộc lập vớ i màu mắt.

12. Đểnghiên cứu mối liên hệ giữa việc nghiện thuốc lá (đặc tính A)và huyết áp (đặc

tính B) ngườ i ta tiến hành điều tra 200 ngườ i kết quảcho bở i:A

BA0(không nghiện) A1(nghiện nhẹ) A2(nghiện nặng)

B0(huyết áp bt) 50 25 28B1(huyết áp cao) 30 35 32

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05hãy kiểm định giả thuyết :H0: Ađộc lập vớ i BH1: A khôngđộc lập vớ i B

13. Một loài hoacó 3 giống A, B, C. Mỗi giống hoacó thểcho hoađỏhoặc hoa trắng. Từsố liệu thống kê:

Màu\ Loài A B CHoađỏ 58 102 65Hoa trắng 102 118 75

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05. Hay kiểm địnhcác giảthuyết:a. Màu hoavà giống hoađộc lập vớ i nhaub. Trong giống hoa Btỉ lệgiữa hoađỏ vàhoa trắng là 1 : 1

14. Điều tra 100 giađìnhcó hai con tađượ c kết quảsau:Sốcon trai

Sốgiađình 0 1 2ni 20 56 24

Vớ i mức 05,0=α hãy kiểm định giảthuyết:a. H0: Sốcon trai trong mỗi giađình tuân theo phân phối nhị thức B(2 ; 0,5)b. H0: Sốcon trai trong mỗi giađình tuân theo phân phối nhị thức B(2 ; p)

15. Một loại câycó gen Achỉ láquăn, gen achỉ láphẳng, gen Bhạt trắng, gen bchỉ hạtđỏ. Khi lai hai cây thuần chủng lá quăn hạt đỏ và láthẳng hạt trắng tađượ c thế hệ F1.

Cho haicá thể ởthếhệF1 lai vớ i nhauở thếhệF2 tacó kết quảsau:1160 câylá quăn hạt đỏ ; 380 câylá quăn hạt trắng350 câylá thẳnghạt đỏ ; 110 câylá thẳng hạt trắng

Vớ i các số liệu trênởmức ý nghĩ a 0,05 hãy kiểm định cặp giảthuyết đối thuyết :H0: Kết quả phùhợ p vớ i qui luật phân litính trạng 9 : 3 : 3 : 1H1: Trái vớ i H0.

16. Xét mối liên quan giữa vợ chồngvà thể trạng tacó bảng số liệu sau:WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Trọng lượ ng mảnhđối chứng X 55,8 53,3 30,1 51,0 37,8 68,8Trọng lượ ng mảnh thực nghiệm Y 60,4 58,7 28,9 48,0 39,7 68,8X 57,7 59,1 49,4 35,4 42,7 21,2 28,3 57,3 42,4Y 56,8 40,6 57,3 44,3 32,2 47,7 77,0 55,1 66,1

Biết X, Ylà các biến chuẩn. Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05.Hãy xây dựng cặp giả thuyếtđối thuyết thích hợ p và đưa ra kết luận.23. Điều tra 320 giađìnhcó 5 con tacó các số liệu sau:

Sốcon trai X 5 4 3 2 1 0Sốgiađình ni 18 56 110 88 40 8Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định giảthuyết đối thuyết

H0: Sốcon trai X ~ B(5, 0,5 )H1: Trái vớ i H0

24. Số tainạn giao thôngxảy ra mỗi ngày Xtại một thành phố đượ c ghi trong bảng sau:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8ni 10 32 46 35 20 9 2 1 1

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0,05hãy kiểm định giảthuyết : Số tainạn giao thông khôngxảy ratrongngày tuân theo luật Poisson.

25. Chiều cao Xcủa cây dầu sau 6 tháng tuổi quansát đượ c choở bảng sau:

X 24 - 30 30 - 36 36 - 42 42 - 48 48 - 54 54 - 60 60 - 66ni 12 24 35 47 43 32 7

Vớ i mức ý nghĩ a α = 0.05hãy kiểm định giảthuyết Xcó phân phối chuẩn.

26. Một loài hoa hồng có 4 màu : đỏ, hồng, bạch và vàng. Vớ i mẫu gồm 200 bông hoahồng thuộc loài hoa trên tacó bảng số liệu sau:

Màu hoa đỏ hồng bạch vàngSốhoa 27 65 75 33

Vớ i mức ý nghĩ a 0,05hãy kiểm định giả thuyết H0 : Các màu hoađỏ, hồng, bạch, vàngtheotỉ lệ1 : 2 : 2 : 1. 27. Chi phí về văn hoá X (Đơ n vị 100000đ /năm) và chi phí về đi lại Y(Đơ n vị 100000đồng/năm) của 15 giađ ình cho bở i bảng sau:

X 12 6,5 6,2 8,8 4,5 7,0 7,1 20 15 7,5 8,5 10,9 8,2 8 10,5Y 5,9 6,7 4,5 4,8 10 5,5 5,2 15 7,0 4,0 5,5 8,2 5,4 8,4 7,0

Sử dụng tiêu chuẩn về dấu kiểm định giả thuyết: X và Y có cùng qui luật xác suất vớ imức ý ngh ĩ a 0,05.

28. Mức tiêu thụ xăng của 3 loại xe A, B, C ( lít/100km) lần lượ t là X , Y, Z. Ngườ i tacho chạy thử 7 xe A, 7 xe B và 8 xe C các số liệu thuđượ c choở bảng sau:

X : 10,5 8,7 7,5 9,6 8,4 9,0 8,7WW

W D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Y : 9,4 7,5 6,9 8,9 9,4 10 8,1Z : 7,1 8,4 7,0 9,8 8,7 10 7,9 8,2

Vớ i mức ý ngh ĩ a 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis hãy kiểm định giả thuyết:Mức tiêu thụ xăng của 3 loại xe nói trên có cùng qui luật xác suất

29. Một mẫu điều tra lươ ng của công nhân một nhà máy may X1, lươ ng của công nhânnhà máy chế biến hải sản X2, lươ ng của công nhân nhà máy sản xuất dày da xuất khẩu X3 và lươ ng vủa công nhân nhà máy chế biến hàng nông sản X4 tại một khu chế suất cho bở ibảng số liệu sau: (Đơ n vị 100000đồng/tháng)

X1 : 8,5 8,8 7,9 8,5 9,2 9,5 8,3X2 : 9,0 9,1 8,7 8,6 9,4 9,2 8,5 9,1X3 : 10 9,4 9,2 8,6 8,7 8,1 9,9X4 : 8,1 8,8 8,6 9,0 9,2 7,8 8,7 8,9 9,1

Ở mức ý ngh ĩ a 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis hãy kiểm định giả thuyết:Mức lươ ng của công nhân bốn nhà máy trên là như nhau.

30. Chiều cao X của một mẫu ngẫu nhiên của 12 sinh viên nam tại Hà nội và 14 sinh viênnam tại thành phố Hồ Chí Minh cho bở i bảng số liệu sau:X: 1,65 1,72 1,60 1,68 1,59 1,75 1,77 1,66 1,78 1,80 1,56 1,70Y: 1,59 1,61 1,64 1,70 1,68 1,57 1,55 1,78 1,72 1,77 1,60 1,64 1,62 1,77Ở mức ý ngh ĩ a 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Mann – Whitney hãy kiểm định giả thuyết:

X và Y có cùng qui luật phân phối.

UYNHON U

COZ COM

Xác suất thống kê Tác giả: Lê Đức Vĩnh, Trường ĐH Nông Nghiệp Hà nội, 2009

Documents

Transcript of Xác suất thống kê Tác giả: Lê Đức Vĩnh, Trường ĐH Nông Nghiệp Hà nội, 2009