file · Web viewrangkuman materi koordinat, ... kelas d. program studi s2 pendidikan...
Transcript of file · Web viewrangkuman materi koordinat, ... kelas d. program studi s2 pendidikan...
RANGKUMAN MATERI KOORDINAT, TITIK DAN GARIS
BENTUK AKAR DAN PANGKAT
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”
Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
Oleh
Wahyu Hidayat (147785066)
Kelas D
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
…………………………………………………………………….
i
DAFTAR ISI
……………………………………………………………………………
ii
BAB I KOORDINAT TITIK DAN GARIS
…………………………………………... 1
1.1 Jarak Dua Titik
…………………………………………………………
1
1.2 Titik Tengah Sebuah Garis
………………………………………………
2
1.3 Gradien Garis
……………………………………………………………
3
1.4 Persamaan Garis Lurus atau Kurva
………………………………………
6
1.5 Persamaan Garis Melalui Titik ( x1 , y1 ) dengan Gradien m
……………
6
1.6 Mengenal Persamaan Garis
……………………………………………
7
1.7 Persamaan ax + by + c = 0
………………………………………………
7
1.8 Titik Potong Dua Garis
…………………………………………………
8
1.9 Gradien Dua Garis Saling Tegak Lurus ………………….
…………….. 9
BAB II BENTUK AKAR DAN PANGKAR
…………………………………………. 10
2.1 Perbedaan Beberapa Bilangan
…………………………………………..
10
2.2 Bentuk Akar
……………………………………………………………..
10
2.3 Bentuk Pangkat ………………….…..
………………………………….. 12
2.4 Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
………………………………..
13
DAFTAR PUSTAKA
…………………………………………………………………. 15
BAB I
KOORDINAT, TITIK DAN GARIS
1.1 Jarak Dua Titik
Gambar. 1.1 menunjukan segitiga secara umum. Titik C mempunyai
koordinat (x2 , y1 ¿, panjang AC = x2 - x1 dan panjang BC = y2 - y1. Berdasarkan
Teorema Phytagoras:
AB2=AC2+BC 2
AB=√AC 2+BC 2
AB=√ ( x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa untuk mencari jarak
antara dua titik (x1 , y1 ¿, dan (x2 , y2), adalah √ ( x2−x1 )2+( y2− y1 )2.
Contoh 1.1
Tentukan panjang garis AB pada gambar di bawah ini!
Penyelesaian :
Gambar. 1.1
(x1,y1)
((x2,y2)
(x2,y1)x2 - x1
y2 - y1
Y
X
A
B
C
x2 x1
y2
y1
Y
X
C A
B
(-2,-1)
(3,5)
Gambar. 1.2
AB=√ ( x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2
¿√ (3−(−2))2+ (5−(−1))2
¿√52+62
¿√25+36
¿√61.
Jadi, panjang garis AB adalah √61.
1.2 Titik Tengah Sebuah Garis
Koordinat dapat digunakan untuk menentukan titik tengah suatu garis.
Apabila pada gambar 1.1 disisipkan sebuah titik, namakan titik M terletak
pada pertengahan AB, maka koordinat titik M dapat ditentukan nilainya.
Perhatikan gambar. 1.3.
Koordinat titik M dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
AD=12
AC=12(x2−x1)
sehingga koordinat x pada titik M adalah
x1+ AD=x1+12(x2−x1)
¿ x1+12
x2−12
x1
¿ 12
x1+12
x2
¿ 12 ( x1+x2 )
Gambar. 1.3
(x1,y1)
((x2,y2)
(x2,y1)D
y2 - y1
X
A
B
C
x2 x1
y2
y1
M
Y
DM=12
CB=12( y2− y1)
sehingga koordinat y pada titik M adalah
y1+DM= y1+12( y2− y1)
¿ y1+12
y2−12
y1
¿ 12
y1+12
y2
¿ 12 ( y1+ y2 )
M ( 12 ( x1+ x2 ) , 1
2 ( y1+ y2 ))Dengan demikian, titik tengah suatu garis yang dibentuk oleh titik ( x1 , y1 )
dan ( x2 , y2 ) mempunyai koordinat ( 12 ( x1+x2) , 1
2 ( y1+ y2 )).Contoh 1.2
Tentukan koordinat titik tengah garis AB pada contoh 1.1!
Penyelesaian :
Koordinat titik tengah garis AB = ( 12 ( x1+x2) , 1
2 ( y1+ y2 ))=( 1
2 (3+(−2)) , 12 (5+(−1)))
=( 12
(1 ) , 12
( 4 ))=( 1
2,2)
Jadi, koordinat titik tengah garis AB adalah ( 12
,2).
1.3 Gradien Garis
y
x
Gambar. 1.4
Gradien merupakan ukuran kemiringan
ruas garis ataupun garis. Gradien pada gambar.
1.4 dapat ditentukan dengan yx .
Berdasarkan gambar. 1.1 pada pembahasan sebelumnya, panjang x dan y
berturut-turut adalah x2−x1 dan y2− y1. Sehingga gradien garis yang dibentuk
oleh titik (x1, y1 ¿ dan titik (x2 , y2 ¿ adalah y2− y1
x2−x1 .
Contoh 1.3
Tentukan gradien garis AB pada contoh 1.1!
Penyelesaian :
Gradien garis AB = y2− y1
x2−x1
¿ 5−(−1)3−(−2)
¿ 65
.
Jadi, gradien garis AB adalah 65 .
Dua garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut mempunyai
gradien yang sama. Dalam hal ini, gradien dapat digunakan untuk
membuktikan bahwa empat buah titik yang diketahui dapat membentuk suatu
jajar genjang, belah ketupat dan bentuk lainnya.
Contoh 1.4
Buktikan bahwa titik A(1,1), B(5,3), C(3,0) dan D(-1,-2) membentuk sebuah
jajar genjang ABCD!
Penyelesain:
Untuk mempermudah menyelesaikan soal, gambar terlebih dahulu sketsa jajar
genjang yang terbentuk dari titik A, B, C dan D seperti pada gambar di atas.
X
A(1,1)B(5,3)
C(3,0)
D(-1,-2)
Y
Gambar. 1.5
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa
sketsa pada gambar di atas merupakan jajar genjang, diantaranya adalah:
Metode 1 (menggunakan panjang)
Dalam metode ini, terlebih dahulu mencari panjang setiap sisi yang dibentuk
oleh dua titik. Sisi-sisi tersebut adalah AB, BC, CD dan DA.
AB=√ (5−1 )2+(3−1 )2=√20
BC=√(3−5 )2+(0−3 )2=√13
CD=√ ((−1)−3 )2+((−2)−0 )2=√20
DA=√(1−(−1))2+(1−(−2))2=√13
Karena AB = CD dan BC = DA, maka ABCD adalah sebuah jajar genjang.
Metode 2 (menggunakan titik tengah)
Dalam metode ini, terlebih mencari koordinat titik tengah diagonal AC dan
diagonal BD. Apabila koordinat kedua titik sama dan membagi dua bagian
yang sama, maka segi empat tersebut adalah sebuah jajar genjang.
Titik tengah AC = ((1+32 ) ,(1+0
2 ))=(2 , 12 )
Titik tengah BD = ((5+(−1)2 ) ,( 3+(−2)
2 ))=(2 , 12 )
Karena titik tengah AC = titik tengah BD, maka ABCD adalah jajar genjang.
Metode 3 (menggunakan gradien)
Dalam metode ini, terlebih dahulu mencari gradien garis dari sisi-sisi yang
berhadapan. Jika kedua pasangan sisi yang berhadapan sejajar, maka ABCD
adalah jajar genjang. Pasangan sisi yang berhadapan adalah AB dengan DC,
dan DA dengan CB.
Gradien AB = 3−15−1
=12
Gradien DC = 0−(−2)3−(−1)
=12
Gradien DA = 1−(−2)1−(−1)
=32
Gradien CB = 3−05−3
=32
Karena m AB = m DC, dan m DA = m CB, maka AB // DC dan DA//CB,
sehingga ABCD adalah jajar genjang.
1.4 Persamaan Garis Lurus atau Kurva
Bagaimana cara untuk mengetahui kalau titik (3,7) dan (1,5) berada
dalam kurva atau garis y=3 x2+2? Jawabannya adalah dengan
mensubstitusikan koordinat dari titik-titik ke dalam persamaan. Jika titik-titik
tersebut memenuhi persamaanya, maka titik-titik tersebut berada di dalam
garis yang dimaksud.
Untuk (3,7), x = 3, maka y=3 x2+2
¿3 (3 )2+2
¿ (3×9 )+2
¿27+2
¿29
Titik (3,7) tidak terletak dalam kurva y=3 x2+2 karena titik (3,7) tidak
memenuhi persamaan y=3 x2+2.
Untuk (1,5), x = 1, maka y=3 x2+2
¿3 (1 )2+2
¿ (3 ×1 )+2
¿3+2
¿5
Titik (1,5) terletak dalam kurva y=3 x2+2 karena titik (1,5) memenuhi
persamaan y=3 x2+2.
Dengan demikian persamaan garis atau kurva berfungsi untuk
menentukan apakah suatu koordinat titik ( x , y ) terletak dalam suatu garis/
kurva atau tidak.
1.5 Persamaan Garis Melalui Titik ( x1 , y1 ) dengan Gradien m
gradien mY
Dalam kasus umum, gradien m yang melalui titik A( x1 , y1 ) diperlukan
untuk menemukan persamaan garis. Gambar. 1.6 menunjukan garis dan titik
P dengan koordinat (x,y). Gradien AP adalah y− y1
x−x1. Samakan dengan m,
sehingga m = y− y1
x−x1 atau y− y1=m ( x−x1 ). Dengan demikian, persamaan
garis melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah y− y1=m ( x−x1 ).
Contoh 1.5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-2,3) dengan gradien m = -1!
Penyelesaian :
( y− y1 )=m ( x−x1)
( y−3 )=−1 ( x−(−2))
( y−3 )=−1 ( x+2 )
y−3=−x−2
y=−x+1
Jadi, persamaan garisnya adalah y=−x+1.
1.6 Mengenal Persamaan Garis
Jawaban pada contoh 1.5 dapat ditulis y=mx+c dengan m dan c
adalah bilangan. Jika m = 0, maka semua titik dalam garis mempunyai
koordinat (…,c) sehingga membentuk garis yang sejajar dengan sumbu-x.
Jadi titik (1,2), (-1,2), (5,2) dan seterusnya terletak pada garis lurus y = 2 dan
sejajar dengan sumbu-x. Begitu juga garis yang sejajar dengan sumbu-y
mempunyai persamaan dengan bentuk x = k. Semua titik di dalam garis
tersebut mempunyai koordinat (k,…). Jadi titik (3,0), (3,2), (3,4) dan
seterusnya terletak pada garis x = 3. Garis x = k tidak mempunyai gradien
Gambar. 1.6
A( x1 , y1 )
P( x , y )
X
atau gradiennya tidak didefinisikan. Sehingga persamaan tersebut tidak dapat
ditulis dalam bentuk y=mx+c.
1.7 Persamaan ax + by + c = 0
Cara sederhana untuk menentukan gradien pada persamaan garis
ax+by+c=0 adalah dengan menyusun persamaan tersebut ke dalam bentuk
y=¿ … .
Contoh 1.6
Tentukan gradien garis dari persamaan 2 x+3 y−4=0!
Penyelesaian :
2 x+3 y−4=0
3 y=−2 x+4
y=−23
x+ 43
Berdasarkan persamaan bentuk y=mx+c, dapat ditentukan gradien dari
persamaan garis y=−23
x+ 43 adalah
−23 .
1.8 Titik Potong Dua Garis
Salah satu cara untuk menentukan titik potong dari dua garis yang
diketahui persamaannya adalah dengan mensubstitusikan satu persamaan ke
persamaan lain, sehingga nilai (x,y) dapat ditemukan, atau dapat juga dengan
cara eliminasi.
Contoh 1.7
Tentukan titik potong dari persamaan 2 x− y=4 dan 3 x+2 y=−1!
Penyelesaian:
2 x− y=4
y=2 x−4 … (1)
Substitusikan (1) ke persamaan:
3 x+2 y=−1
3 x+2 (2 x−4 )=−1
3 x+4 x−8=−1
7 x=7
x=1
Substitusikan x = 1 ke persamaan
y=2 x−4
y=2 (1 )−4
y=2−4
y=−2
Jadi, titik potongnya adalah (1,-2).
1.9 Gradien Dua Garis Saling Tegak Lurus
Gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah m1 dan m2, dengan
m1 m2=−1.
Contoh 1.8
Tunjukan bahwa titik (0,-5), (-1,2), (4,7) dan (5,0) membentuk belah ketupat!
Penyelesaian :
Titik tengah diagonalnya adalah :
a. titik tengah d1 = ( 12
(0+4 ) , 12
(−5+7 )) atau (2,1 ),
b. titik tengah d2 = ( 12
(−1+5 ) , 12
(2+0 )) atau (2,1 ).
Gradien garis diagonalnya adalah :
a. gradien d1 = 7−(−5)4−0
=124
=3,
b. gradien d2 = 0−2
5−(−1)=−2
6=−1
3 .
Karena titik tengah diagonal d1 dan d2 merupakan titik yang sama, maka segi
empat tersebut adalah jajar genjang. Jika kedua gradien diagonalnya
dikalikan, maka m d1 × m d2 = 3 ×(−13 )=−1, sehingga kedua diagonalnya
saling tegak lurus. Dengan demikian, titik (0,-5), (-1,2), (4,7) dan (5,0)
membentuk belah ketupat.
BAB II
BENTUK AKAR DAN PANGKAT
2.1 Perbedaan Beberapa Bilangan
Beberapa bilangan digunakan hanya untuk menghitung seperti 1, 2, 3, 4 dan
seterusnya. Bilangan-bilangan itu disebut dengan bilasngan asli atau bilangan bulat
positif. Kemudian, bilangan-bilangan tersebut biasanya digunakan untuk mengukur
dan digunakan dalam bidang perdagangan. Untuk tujuan tersebut, bilangan pecahan
juga sangat diperlukan. Bilangan bulat dan bilangan pecahan merupakan bilangan
rasional. Bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis dalam bentuk pq , dimana p dan q
merupakan bilangan bulat dan q tidak sama dengan nol. Bilangan-bilangan yang bukan
merupakan anggota dari himpunan bilangan rasional disebut dengan bilangan
irrasional. Bilangan rasional dan irrasional keduanya dibentuk oleh bilangan asli.
2.2 Bentuk Akar
Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dan ditulis
dalam bentuk pq , dengan ketentuan p ,q ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti √2 ,√8 ,√12
termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan-bilangan tersebut bukan
merupakan rasional. Bilangan-bilangan seperti ini disebut dengan bilangan bentuk
akar.
Menyederhanakan bentuk akar
Untuk x , y suatu bilangan positif berlaku :
Contoh 2.1
Sederhanakan!
a. √8 ,
b. √12 ,
c. √27√3
,
√ xy=√ x ×√ y dan√ xy= √x
√ y
d. √28+√63 .
Penyelesaian :
a. √8=√4×2=√4×√2=2√2 .
b. √12=√4 × 3=√4 ×√3=2√2 .
c. √27√3
=√ 273
=¿ √9=3 .
d. √28+√63=(√4 ×√7 )+(√9×√7 )=2√7+3√7=5√7 .
Merasionalkan penyebut
Pecahan 1√2
, bentuk akar pada bagian penyebutnya dapat dihilangkan dengan
cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan √2√2
, sehingga pecahan ini
menjadi 1√2
× √2√2
=√22 . Mengubah pecahan
1√2
menjadi √22
disebut dengan
merasionalkan penyebut. Dengan kata lain, merasionalkan penyebut adalah
menghilangkan bentuk akar dari penyebut pada suatu pecahan.
Contoh 2.2
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut!
a.6√3
,
b. 3√2√10
.
2. Tentukan nilai x , y dan z pada gambar di bawah ini!
AB
C
y
D x
z
m10
15
Gambar. 2.1
Penyelesaian :
1. a. 6√3
= 6√3
× √3√3
=6√33
=¿ 2√3.
b. 3√2√10
= 3×√2√5×√2
= 3√5
=3√55 .
2. Perhatikan segitiga ADB
Berdasarkan Teorema Pythagoras :
z2+102=152
Sehingga,
z2+102=152
z2=152−102
z2=225−100
z2=125z=√125z=√25 ×5z=5√5 .
Segitiga ADB sebangun dengan segitiga ABC, sehingga :
x15
= y10
=15z
Telah didapat z=5√5 , sehingga :
15z
= 155√5
=3√55
Mencari nilai x dan y:
x=15× 3√55
=9√5
y=10 × 3√55
=6√5
Jadi, nilai x , ydan zsecara berturut-turut adalah 9√5 ,6√5 dan 5√5.
2.3 Bentuk Pangkat
Apabila a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif maka
bentuk an menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a. Secara umum
dapat ditulis sebagai berikut.
an=a × a ×a × …× a⏟n faktor
Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a
disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat.
Misalkan a , b∈R dan m , nadalah bilangan bulat positif, maka:
1. am× an=am+n,
2. am÷ an=am−n , dengan m>n ,
3. (am )n=am×n,
4. (a × b )m=am ×bm.
Contoh 2.3
Sederhanakan (2 a2 b )3 ÷ (4 a4 b )!
Penyelesaian :
(2a2 b )3 ÷ (4 a4 b )=(23 ( a2 )3 b3 )÷ (4 a4 b )
¿ (8 a2× 3 b3 ) ÷ ( 4 a4 b )
¿ (8÷ 4 )× (a6 ÷ a4 )× (b3 ÷ b1 )
¿2a6−4 b3−1
¿2a2 b2.
2.4 Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif
Pada rumus am÷ an=am−n, jika m = n maka diperoleh :
am÷ an=am−n
an÷ an=an−n
1=a0
Jadi, a0=1 , a≠ 0 .
Jika m = 0, maka diperoleh
a0÷ an=a0−n
1÷ an=a−n
1an =a−n
Jadi , a−n= 1an ,a≠ 0 .
Contoh 2.4
1. Jika a = 5, tentukan nilai 4a−2!
2. Sederhanakan !
a. 4 a2 b× (3a b−1 )−2,
b .[ MLT −2
L2 ]÷[ L T−1
L ] .Penyelesaian :
1. a = 5
4 a−2=4 × 1a2 =4 × 1
25=0.16 .
2. a. 4 a2 b × (3 ab−1 )−2 = 4 a2 b × (3−2 a−2 (b−1)−2 )= 4 a2 b× (3−2a−2 b2 )
¿(4× 132 )× ( a2 a−2 ) × ( bb2 )
¿ 49
a0 b3
¿ 49
b3 .
b .[ MLT −2
L2 ]÷[ L T−1
L ]=( M L1−2T −2 ) ÷ ( L1−1T−1 )
¿ ( M L−1T−2 ) ÷ ( L0T−1 )
¿ ( M L−1T−2 ) ÷T−1
¿ M L−1T−2−(−1 )
¿ M L−1T−1
DAFTAR PUSTAKA
Neill, Hugh dan Douglas Quadling.2002 . Advance Level Mathematics: Pure Mathematics
1. Cambridge: Cambridge University Press.