Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola
description
Transcript of Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola
![Page 1: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/1.jpg)
Bentuk Koordinat
Koordinat Kartesius, Koordinat Polar,Koordinat Tabung, Koordinat Bola
Desember 2011
![Page 2: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/2.jpg)
Koordinat Kartesius
• Sistem Koordinat 2 DimensiSistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y
![Page 3: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/3.jpg)
Koordinat Kartesius
y
x
![Page 4: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/4.jpg)
Koordinat Kartesius
• Sistem Koordinat 3 DimensiSistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yangketiganya saling tegak lurus
![Page 5: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/5.jpg)
Koordinat Kartesius
x
y
z
![Page 6: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/6.jpg)
Koordinat Polar• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik
didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.
![Page 7: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/7.jpg)
Koordinat Polar
Otitik kutub sumbu polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
![Page 8: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/8.jpg)
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi: - derajat dari sumbu-x (sumbu polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r : koordinat radial : koordinat sudut
![Page 9: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/9.jpg)
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil = ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap
Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius.
(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)
![Page 10: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/10.jpg)
Koordinat Polar
r
![Page 11: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/11.jpg)
Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesiusGunakan relasi:
x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0
Catatan: menentukan Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -/2 < < /2 = arctan (y/x).Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
= + arctan (y/x).
![Page 12: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/12.jpg)
Koordinat Polar
Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a adalah r = a
Contoh: Untuk lingkaran berjari-jari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin
- berpusat di (a,0): r = 2a cos
![Page 13: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/13.jpg)
Koordinat Polar Jika a = 1, maka
r = 2 sin r = 2 cos
![Page 14: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/14.jpg)
Konversikan persamaan polar r = 2 sin ke dalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r menjadi
r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tersebut dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1
![Page 15: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/15.jpg)
Titik dalam koordinat tabung
r
Koordinat Polar dalam bidang datar
![Page 16: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/16.jpg)
Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).
r
Titik dalam koordinat tabung
![Page 17: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/17.jpg)
r
r
(r,,z)
Titik dalam koordinat tabung
![Page 18: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/18.jpg)
Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius
cos( )sin( )
x ry rz z
r
r
(r,,z)
2 2 2
tan( )
r x yyx
z z
![Page 19: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/19.jpg)
(x,y,z)
Titik dalam koordinat bola
![Page 20: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/20.jpg)
Titik dalam koordinat bola
![Page 21: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/21.jpg)
0 .
Titik dalam koordinat bola
![Page 22: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/22.jpg)
Titik dalam koordinat bola
![Page 23: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/23.jpg)
Titik dalam koordinat bola
![Page 24: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/24.jpg)
Sudut .
0 2 .
Titik dalam koordinat bola
![Page 25: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/25.jpg)
Titik dalam koordinat bola
( , ,)
![Page 26: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/26.jpg)
Konversi antara koordinat boladan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
sin( ) cos( ) tan( )r z rz
![Page 27: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/27.jpg)
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
cos( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( )sin( )cos( )
x ry rz
![Page 28: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/28.jpg)
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y zyx
x yrz zz z
x y z
(x,y,z)
z
r
![Page 29: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/29.jpg)
Integral pada Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung dan Koordinat Bola
![Page 30: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/30.jpg)
Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi
* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z
* * *( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu
f x y z x y z
ix iyiz
![Page 31: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/31.jpg)
Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, , and z?
Dengan menganggap kasus 2 dimensi dalam koordinat polar
r
r
zr dan,,
![Page 32: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/32.jpg)
Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r
r
r+rr
Integral: Koordinat Tabung
![Page 33: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/33.jpg)
r+r
r
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+ r.
r
r+r
Integral: Koordinat Tabung
![Page 34: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/34.jpg)
Sudut terjadi penambahan sudut sebesar .
Integral: Koordinat Tabung
![Page 35: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/35.jpg)
Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut
![Page 36: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/36.jpg)
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut
Integral: Koordinat Tabung
![Page 37: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/37.jpg)
Dengan penambahan z.
Integral: Koordinat Tabung
![Page 38: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/38.jpg)
Integral: Koordinat Tabung
dA r dr d
Untuk mencari volume benda padat
![Page 39: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/39.jpg)
Integral: Koordinat Tabung
dV r dr d dz
Maka . . .
( , , )S
f r z r dr d dz
![Page 40: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/40.jpg)
Soal
1. Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)
2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan
2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z
![Page 41: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/41.jpg)
Soal
3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a. b.
Tentukan persamaan dalam koordinat tabung dan gambarkan
2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z
![Page 42: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/42.jpg)
Soal
4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a.b. c.
Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan
3
3
4
![Page 43: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/43.jpg)
Soal
5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a.b.
Tentukan persamaan dalam koordinat bola dan gambarkan
2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z
![Page 44: Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050614/568165c1550346895dd8c695/html5/thumbnails/44.jpg)
Soal
6. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV