III Olimpiada de Otoño 2013Categoría Canguro

Instrucciones: Tienes 2 horas para resolver el examen. Escribe tus respuestas y todos tus datos en la hoja de respuestas. Para los primeros 12 problemas, escribe únicamente la respuesta. Cada uno vale 5 puntos.

Problema 1. En la figura se muestra un triángulo ABC con ángulo recto en C. La línea AD divide al ángulo ∢ A en dos ángulos iguales, formando el triángulo isósceles ADB con AD=DB. ¿Cuál es la medida del ángulo ∢ ADC?

Problema 2. Calcula el valor de la siguiente suma:

1012−1002+992−982+…+32−22+12

Problema 3. El granjero Totoro tiene muchas naranjas. Si las divide en montones de 2 en 2, le sobra 1; si las divide en montones de 3 en 3, le sobra 1; y si la divide en montones de 5 en 5, le sobran 3. Si Totoro sabe que tiene menos de 600 naranjas, ¿cuántos valores cumplen lo anterior?

Problema 4. Petunia no le quería dar su número telefónico a Totoro así que le dio sólo algunos dígitos:

14 A945 B

y le dijo que era divisible entre 99. ¿Cuántos números distintos tendría que marcar Totoro?

Problema 5. Al chef Totoro le toma 6 minutos freír cada lado de un pescado en la sartén. Sólo tiene una sartén y nunca puede poner más de 4 filetes a la vez. ¿Cuál es el menor tiempo que le tomaría freír 9 filetes? (Supón que no pierde tiempo en darles la vuelta o quitarlos y ponerlos.)

Problema 6. ¿De cuántas maneras es posible escoger signos para que la suma

±1±2±3±4±…±2012±2013

sea igual a 1012?

Problema 7. En la siguiente figura se tiene un rectángulo ABCD y los puntos L ,M , N están sobre los lados AB ,BC , DA de modo que NA=1cm , LB=3cm ,BM=4cm. Si el lado CD del rectángulo mide 5cm y el área del triángulo NMD es de 20 c m2, ¿cuál es el área, en c m2, del triángulo LMN?

Problema 8. En la habitación de Totoro hay once focos pero los interruptores funcionan de manera chistosa: sólo se puede prender dos focos al mismo tiempo, apagar dos focos al mismo tiempo o prender un foco y apagar otro. Si al principio están todos prendidos, ¿cuál es la menor cantidad de movimientos que se necesitan hacer para dejar todos los focos apagados?

Problema 9. Carmen tiene una alberca cuadrada que tiene 18 metros cuadrados de área. En cada vértice de la alberca mandó poner un árbol grandote que le gusta mucho. El arquitecto Totoro le presentó un proyecto para hacer su alberca más grande sin tirar los árboles. En los planos, los árboles son ahora los puntos medios de la alberca grande. ¿Cuánto aumentó el área de la alberca?

Problema 10. A Dulce le gusta llevar a su perro Mosho a todas partes. Sin embargo, cuando va a casa de sus abuelos tiene que amarrarlo porque si no se come las flores del jardín. La casa de sus abuelos es un rectángulo de 10×5 metros y Dulce amarra a Mosho en una esquina de la casa, con una cuerda que mide 10 metros. ¿De qué tamaño es el área que Mosho puede destruir todavía?

Problema 11. Saraí ve todos los días tres programas de televisión. Cada uno dura una hora y los pasan a distintas horas. Nunca se los pierde. Los programas son:

Cocinando con Totoro: 6pm, 8pm, 10pm.Orgullo y Totoro: 6pm, 7pm, 10pm.Los diarios de Totoro: 7pm, 9pm, 10pm.

¿De cuántas maneras distintas puede ver sus programas?

Problema 12.

Instrucciones: Para los siguientes 3 problemas es necesario que justifiques tu respuesta.

Problema 13. La calle donde vive Totoro tiene menos de 15 casas, numeradas 1, 2, 3, etcétera. El producto de los números de las casas antes de la de Totoro es igual al producto de los números de las casas después de la de Totoro. ¿Cuántas casas hay en la calle?

Problema 14. Encuentra todos los valores de m ,n enteros positivos y m<n tales que

n!m!

sea una potencia de 2.

Problema 15. Llamemos Bn a la propiedad de que en un conjunto B, el número 3 no divide a b1+b2+ ...+bk para todo 1≤k≤n. Sea H el conjunto {1913,1914 ,1915 , ...2013 }. Obtengamos todas las posibles permutaciones posibles de H . Dada una permutación H ' elegida al azar, ¿Cual es la probabilidad de que H ' cumpla B101 .