التّحليلية والهندسة الّشعاعي الحساب

المستهدفة الكفاءاتشعاعين. تساوي على التّعرفوإنشاؤه. شعاعي مجموع على التّعرفحقيقي. بعدد شعاع جداء على التّعرفالمستوي. وفي مستقيم، على التّعليمنقط. ثالث استقامية على التّعرفمعلم. في نقط ثالث واستقامية شعاعين توازي عن التّعبيرمستقيم. توجيه معامل على التّعرفله. معادلة عُلِمت مستقيم إنشاءلمستقيم. معادلة إيجادلمجهولين. خطيتين معادلتين ةجمل حللمجهولين. خطيتين معادلتين جملة استخدام إلى تؤدي مسائل حل

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

246

9

م-1746) مونج قاسبارم(1818

الحالية الصياغة ظهرتأعماله في التحليلية للهندسة

مفاهيم مع مقارنة النّشأة حديث األشعة مفهوم يعتبر القرن إلى يعود فظهوره الّرياضيات، في أخرى

قراسمان قنتر إرمان الحظ حينما عشر التّاسع BA و AB من كّل اتجاه بسبب أنّه م1832 سنة

إلى بها وصل التي الفكرة وهي متعاكسان، فإنهما بعد فيما سمح الذيالهندسي( )المجموع مفهومكيفية. نقط ثالث إلى الدّستور بتمديد

موبيوسو وهملتون قراسمان من كّل عمل وقد الشعاعي الحساب وقواعد عمليات إعطاء علىم-1845) كليفورد ويليام الرياضي بعد فيما وجاء

الشكل في وصاغها القواعد هذه فهذّبم( 1879اليوم. نعرفه الذي

هندسي كائن تعريف إمكانية لنا وفّرت التّي التّحليلية الهندسة إلى بالنّسبة أما األشعة، لظهور سابق بها العمل أّن نجد اإلحداثيات، بين تربط عالقة بواسطة

عن عبر عندما ق.م( 200- 260) أبولونيوس قبل من استعملت فقد طرف من كذلك واستعملت الزائد و الناقص و المكافئ القطع من كل معادالت

م(1665م-1596) ديكارت روني ان غير قرة ابن والثابت الخيام عمرم-1601) فيرما دو بيار مع لها أضاف بما التحليلية الهندسة أب اعتبر

م(.1665

التّحليلية للهندسة مونج قاسبار والفيزيائي الرياضي أعطى م1795 سنة في " أوراق عنوان تحت له بحث في اليوم نستخدمها التي الحديثة الصياغة

" الهندسة في مطبقة التحليل

شعاعين تساوي.1نشاط

(عالمة) بوضع أدناه الجدول أكمل ثّم اآلتية األربعة األشكال أ( الحظالمناسب. المكان في الخطأ ( عالمة) و الصحة

الّشكلAB ، CD للشعاعين(1)

الّشكل(2)

الّشكل(3)

الّشكل(4)

نفس المنحى

نفساإلتجاه

247

(4( الّشكل )3 الّشكل )(2 الّشكل )(1الّشكل )

أنشطـة

نفس الطّول

. AB = CD لدينا شكل أي ب( في

شعاعين مجموع.2نشاط

ورقة على المجاور الّشكل أ( انقل حيثB ، C النّقطتين وعلّم مسطّرة،

AB=uو BC=v. إلى بالنّسبةAC النّاتج الّشعاع يمثّل ب( ماذا

؟u ، v الّشعاعين ثّم ،LN=v وLM=u حيثM ، N النّقطتين ج( علّم LMPN الّرباعي يكون بحيثP النّقطة أنشئ

أضالع. متوازي .LP وAC الّشعاعين بين د( قارن ؟u ، v الّشعاعين إلى بالنّسبةLP النّاتج الّشعاع يمثّل ه( ماذا

حقيقي بعدد شعاع جداء.3نشاط

AC=AB+AB بحيثC النّقطة أنشئ ثّم ،A ، B متمايزتين نقطتين (أ( علّم1 واالتجاه المنحى حيث منAC وAB الّشعاعين بين ب( قارن

والطويلة. )أيAB الّشعاع بداللةAC الّشعاع عن ج(عبّر (AC=…ABيأتي: ما أكمل

R ، S النّقطتين من كّل المقابل الّشكل في(2 على3 إلى1 بنسبة[LN] ،[LM] تقسمانالتّرتيب.

المنحى حيث منSR وMN الّشعاعين بين أ( قارنوالطويلة. واالتجاه

…=SRيأتي: ما أكمل )أيMN الّشعاع بداللة SR الّشعاع عن ب( عبّرMN)

االستقامية – - التوازي لشعاعين الخطي االرتباط.4نشاط منE ، F النّقطتين وعلّم ،O النّقطة مركزهABCD أضالع متوازي أ( ارسم

[BC]حيث CE = EF = FB. حيثG النّقطة ب( أنشئ

. عن تقول أن يمكنك ماذا ،AG الّشعاع بداللةAF الّشعاع عن ج( عبّر ؟A ، G ، F النّقط

248

المستوي وفي مستقيم، على المعلم.5نشاط

المقابل. الّشكل في كما(O ;I ,J) معلم في نقط ثالثA ، B ، C لتكنالّشكل. لهذا مثيال مسطّرة ورقة على أ( أنجز.A ، B ، C النّقط من كّل إحداثيي ب( اكتببطريقتين. إحداثييها وعيّن[AB] منتصف ج( علّم.OA ، BC الّشعاعين من كّل مركبتي د( اكتب ; – 4) إحداثييها التيD النّقطة ه( علّم

الّشعاعين من كّل مركبتي وعيّن ،(4AB ، DC، الّرباعي نوع استنتج ثّم

ABCD. OJ = j وOI = i و( نضع

النّقطة علّم Mبالعالقة: المعّرفةOM= 2 i – 3 j األشعة عن عبّر OA ، OC ، ABالّشعاعين بداللة i ، j

مستقيم معادلة.6نشاط

(O ;I ,J) بمعلم مزوّد المستوي بحثM(x ;y) النّقط مجموعة نعتبر(1

المجموعة. هذه من بنقط اآلتي الجدول أ( أكمل ؟ تالحظ وماذا ،A ، B ، C ، D النّقط ب( علّم

استقامية. فيA ، B ، C النّقط أّن بيّنAC وAB الّشعاعين ج( باستعمال ،E النّقطة علّم ؟ المعادلة تحّققE(3 ;2) النّقطة مركبتي د( هل

؟A ، B ، C ، D النّقط مع استقامية في هي وهل نقطةM(x ;y) ولتكن ،(AB) المستقيم وارسم ،A(-2 ;1) ، B(2 ;3) النقطتين علّم(2

(AB) من AM الّشعاع عنy وx بداللة أ( عبّر

، A ، B النّقط استقامية تترجمy وx بين عالقة ب( استنتجM.

لمجهولين خطيتين معادلتين ةجمل.7نشاط المعادلتين جملة نعتبر

تحقّق والتّي فقط،(E1) المعادلة تحقّق التّي بيّن اآلتية الثنائيات بين أ( من ،(0; 5) ،(1; 2) ،(2; 0)الجملة: تحقّق والتّي فقط،(E2) المعادلة

-(4 ;0)، (2 ;3)، (7 -;2)ّ ب( اكتب معلم في ارسم ثّم ،y = a x + b الّشكل عل(E2) ،(E1) المعادلتين من كال

(O ; i , j) المستقيمين (D1)، (D2)، تقاطعهما. نقطة إحداثيي وأوجد

الحساب الشعاعياألشّعة و.1 الّشعاع مفهوم

249

الـدّرس

1ريفتع A ، Bالثنائية أّن نقول المستوي من نقطتان (A ; B)شعاعا تعيّن v أوAB بالّرمز له نرمز النّقطة كانت إذا Aالنّقطة على منطبقة Bالشعاع فإّن ABمعدوما يصبح v = AA = 0 ونكتب المستقيم قطعة طول يسّمى [AB] الشعاع طويلة AB، :ونكتب ||AB || = AB كان إذا ABالشعاع منحى فإّن معدوم غير شعاعا ABالمستقيم منحى هو (AB) لشعاعين كان إذا v ، v'وبوضع المنحى، نفس v = ABو v' = AC :فإنّه

للشعاعين يكون v ، v'النّقطة كانت إذا االتجاه نفس Cنصف إلى تنتمي [ .AB) المستقيم

للشعاعين يكون v ، v'النّقطة كانت إذا متعاكسان اتجاهان Aقطعة إلى تنتمي .[AB] المستقيم

v ، v'االتجاه نفس لهما v ، v'متعاكسان اتجاهان لهما

منحى. المعدوم للشعاع ليسمالحظة: تساوي شعاعين

2ريفتع االتجاه، ونفس المنحى، نفس لهما كان إذا متساويان أنّهما شعاعين عن نقول

الطويلة. ونفس

مثال: v = AB = CD = EF

نتيجةلدينا: المستوي منA ، B ، C ، D نقط أربع كّل أجل من

AB = CD معناه [AD]و [BC]المنتصف نفس لهما

شعاعين مجموع 3ريفتع

والمعّرفv + u بالّرمز له نرمز الذي الّشعاع هوv وu شعاعين مجموعيأتي: كما

BC=v بحيثC نقطة ثّمAB=u بحيثB نقطة نعلّم كيفية، نقطةA بفرضAC v + u= يكون عندئذ

نتائج

250

AB = - BA أنّهما متعاكسان. نكتب: BA و ABنقول عن الّشعاعين

نقط ثالث كّل أجل من A ، B ، Cفإّن: المستوي منAB + BC = ACتسّمى ( شال( عالقة العالقة هذه

شعاعين مثّلنا إذا uو vالمبدأ نفس من A، مثال ( u=ABو v=ACفإّن ) v + u مجموعهما

أضالع. متوازيABDC حيث AD يساوي

كان إذا ABDCفإّن: أضالع متوازيAB + AC = AD

المتعاكسان الّشعاعانAB + BA = AA = 0فإّن: المستوي منA ، B نقطتين كّل أجل من4ريفتع

5تعريف معاكسu الّشعاع إلى نضيف التّرتيب، بهذاv وu الّشعاعين فرق لحساب

v الّشعاع

u – v = u + (– v )نكتب: مثال: لدينا: v = CB وu = AB ليكن

u – v = AB – CB = AB + BC = AC

جداء شعاع بعدد حقيقي 6تعريف

uو معدوم غير شعاعkمعدوم. غير عدديأتي: كما والمعّرفk u بالّرمز له نرمز الذي الّشعاع هوk بالعددu الّشعاع جداء

uو k uكان إذا االتجاه ونفس المنحي نفس لهما k > 0. uو k uكان إذا متعاكسان واتجاهان المنحي نفس لهما k < 0. الّشعاع طويلة k uطويلة جداء تساوي uبالعدد k أي k u = k v

k u = 0 وضع على نصطلحk = 0 أوu = 0 عندمامالحظة:أمثلة:

EF = – EG v = – 3 u

اآلتية الخواص نقبلخواص: u ، vو ، شعاعان k ، k'.عددان

k ( u + v ) = k u + k v k ( k' u ) = ( k k' ) u ( k + k' ) u = k u + k' u 1 u = u

k u = 0يكافئ [k = 0و ا u = 0] أمثلة:

251

5 AB + 5 BC = 5 ( AB + BC ) = 5 AC الخاصة بتطبيق عالقة ثّم شال

7 u – 5 u = ( 7 – 5 ) u = 2 u الخاصة بتطبيق

الخاصة بتطبيق ثّم الخاصة 2AM = 0يكافئ AM = 0 ، النقطتان وبالتالي Mو Aالخاصة بتطبيق منطبقتان

توازي شعاعين 7تعريف اآلخر جداء يساوي أحدهما كان إذا خطيا مرتبطان أنّهماv وu شعاعين عن نقول

حقيقي. بعدد . v = k u حيثk حقيقي عدد وجد إذا أي

u شعاع كّل أجل من شعاع. بالفعل أي مع خطيا مرتبط المعدوم مالحظة: الّشعاع u 0 = 0لدينا:

مباشرة نتيجة نفس لهما كان إذا وفقط إذا خطيا مرتبطين المعدومين غير الّشعاعان يكون

المنحى.

واالستقامية التوازي 1مبرهنة

إذا وفقط إذا متوازيين(CD) و(AB) المستقيمان يكونخطيا. مرتبطينCD وAB الّشعاعان كان

الّسابقة. والنتيجة للتّعريف مباشرة نتيجة هي المبرهنة هذهمالحظة:

2مبرهنة وفقط إذا استقامية فيA ، B ، C النّقط تكون

خطيا. مرتبطين AC وAB الّشعاعان كان إذا

المعلم للمستوي.2O ، I ، Jاستقامية في وليست المستوي من متمايزة نقط ثالث.

إّن التّرتيب O ، I ، J النّقطنقول للمستوي معلما تعيّن بهذا. O النّقطة مبدؤه

خطيا مرتبطين غيرJ وi الّشعاعين . إّنOI = i ، OJ = j نضع (O ; i , j) بالّرمز للمعلم ونرمز ، األساس أشعة نسّميهماالتّراتيب. محور(OJ) و الفواصل، محور(OI) ونسّميللمستوي المعالم من أنواع ثالثة توجدمالحظة:

متعامد معلممتعامد معلمكيفي معلم ومتجانس

252

(OI)(OJ) (OI)(OJ) طول( وحدةu )OI=OJ=1u و

شعاع مركبتا – نقطة إحداثيا

3مبرهنة. للمستوي معلما (O ; i , j) ليكن

األعداد من وحيدة ثنائية توجد ، المستوي منM نقطة كّل أجل ( من1 (x ;y) الحقيقيّة

OM = x i+ y j بحيث (x ;y) الحقيقيّة األعداد من وحيدة ثنائية توجد ،u شعاع كّل أجل ( من2

u = x i+ y j بحيث

برهان: (O ; i , j) نضع للمستوي، معلم i = OI و j = OJ

المستوي. من كيفية نقطةM ( لتكن1 (OJ) يقطع(OI) ويوازيM النّقطة يشمل الذي المستقيم

L النّقطة في (OI) يقطع(OJ) ويوازيM النّقطة يشمل الذي والمستقيم

P النّقطة في x حقيقي عدد يوجد ومنه خطيا، مرتبطانi وOP الّشعاعان

OP=x i حيث y حقيقي عدد يوجد ومنه خطيا، مرتبطانj وOL الّشعاعان

OL=y j حيث متوازيOPML الّرباعي )كون OM = OP + OL أّن وبما

أضالع( OM = x i+ y j بحيث(x ;y) الحقيقيّة األعداد من ثنائية توجد أنّه نستنتج وبالتّالي

المستوي. من كيفيا شعاعاu ( ليكن2 توجد السابق البرهان . حسبOM = u بالعالقة المعّرفة للنّقطةM بالّرمز نرمزu = x i+ y j أيOM = x i+ y j بحيث(x ;y) الحقيقيّة األعداد من ثنائية

الحقيقيّة األعداد من ( ثنائية2) ( و1) من كّل في (x ;y)ألنه: ، وحيدة 'y = y و'x = x فإّنx i + y j = x' i + y' j كان إذا

مثالOM = OP + OL = 3 i + 4 j

( 4;  3) إحداثياهاM النّقطة مركّبتاه OM الّشعاع

مركّباتهu الّشعاع ومنه u = 3 i + 4 j لدينا

253

نتائج: (O ; i , j) و ، للمستوي معلم uو ، مركّبتاه شعاع vمركّبتاه شعاع

حقيقي. عددk و ، 'y = y و'x = x] يكافئu = vشعاعين: تساوي(1.] هما u + v المجموع شعاعين: مركبتا مجموع (2

هماk u الّشعاع مركبتا (3 النتائج السابقة:برهان

. 'M = M يكافئ'OM = OM . لدينا'v = OM وu = OM حيث'M ، M ( نضع1 ['y = y و'x = x] وبالتالي

: لدينا( 2

: لدينا( 3

مثال: ومنه ، ،المقابل: الشكل في لدينا

. أي ومنه ،

مستقيم قطعة منتصف وإحداثيي شعاع مركبتي حساب

4مبرهنة . (O ; i , j) معلم في ، لتكن هماAB الّشعاع مركبتا(1

هما[AB] منتصفM إحداثيا(2

برهان:1) AB = AO + OB = OB – OA

( (1) محلولة وتمارين طرائق )أنظر OM = AB + AC 2 لدينا(2المطلوب. ومنه yM = yA + yB 2 و xM = xA + xB 2نجد: شعاعين تساوي من

لشعاعين الخطي االرتباط شرط

254

5مبرهنة . (O ; i , j) معلم في ، ليكن. x y' – x'y = 0 كان إذا فقط و إذا خطيا مرتبطينv وu الّشعاعان يكون

برهان: كان إذا u ، vحقيقي: بعدد اآلخر جداء يساوي أحدهما فإّن ، خطيا مرتبطين

( u = k v حالة في نبرهن الطريقة )وبنفسv =k u أّن نفرضx y' – x'y = x(ky) – (kx)y = 0 ومنه ،y' k y وx' = k x أّن

x y' – x'y = 0 فإّن خطيا مرتبطينv وu الّشعاعان كان وبالتّالي: إذا حيث ، كان إذا x y' – x'y = 0خطيا مرتبطان أنهما لنبيّن

حالتين: نميّزخطيا. مرتبطان فهما وبالتّالي ، معدومانu ، v : الّشعاعان(1) الحالة إحدى فإّن وبالتّالي ،u وليكن معدوم غيرu ، v الّشعاعين : أحد(2) الحالة

.(x حالة في نبرهن الطريقة وبنفس )y 0 ولتكن معدومة، غيرy أوx مركّباته فإّنx y' – x'y = 0 أّن بما

وبالتّالي و نجد وبوضعخطيا. مرتبطانv وu وبالتّاليv = k u ومنه

خطيا. مرتبطانv وu الّشعاعين فإّنx y' – x'y = 0 كان وبالتّالي: إذا

مثال: ، لدينا الّشكل في

v = –2 u وكذلك6(–1) –2(–3)=0 أن من التّحقّق نستطيع

مالحظة: أن ويمكن لشعاعين الخطي االرتباط شرطx y' – x'y = 0 المساواة تسّمىكاآلتي: تناسبية جدول في تترجم وهي x y' = x'y تكتب

نقطتين بين المسافة

6مبرهنة . (O ; i , j) ومتجانس متعامد معلم في ، ليكن

تساويB وA النّقطتين بين المسافة

مبرهنة باستعمال أّن على البرهان يمكن.ABC المثلّث في فيثاغورس

مثال: وB(1 ;3) وA(4 ;1) الّشكل في

لدينا

255

yx مركبتا الشعاعuy'x' مركبتاvالّشعاع

k

ومستقيممعادلة .3

(O ; i , j) بمعلم مزوّد نعتبرالمستوي سيأتي ما كّل في مستقيم توجيه شعاع

) منM نقطة كّل أجل ومن ،(AB) مستقيما تعينان متمايزتينB وA نقطتين كّلAB)فإّن ABو AMأّن خطيا. نقول مرتبطان ABللمستقيم توجيه شعاع هو (AB).

8تعريفالمستقيم. لهذا توجيه شعاع مستقيم، منحى له شعاع كّل يسّمى

مالحظة: غير شعاع فكّل ،(D) للمستقيم توجيه شعاعAB كان إذا

توجيه شعاع أيضا هوAB بالشعاع خطيا ومرتبط معدوم(D) للمستقيم

. (D) للمستقيم توجيه شعاع هوAB ، u ، v من مثال: كّل

9تعريف مركبته المستقيم لهذا توجيه لشعاع الثانية المركبة هو مستقيم توجيه معامل

واحد. تساوي األولى

.a العدد هو(D) توجيه معامل السابق الّشكل في التّراتيب محور يوازي مستقيم معادلةAو Bالفاصلة نفس لهما نقطتان aأي xA = xB = a نقطة . كّل M

يوازي(AB) المستقيم . إّنxM = a فاصلتها(AB) المستقيم منالتّراتيب. محور(AB) للمستقيم توجيه شعاع هو الّشعاع

7مبرهنة عددa وx = a الّشكل من معادلة له التّراتيب محور يوازي مستقيم كّل(1

حقيقي. محور يوازي مستقيم هي حقيقي عددa و x = a بحيثM(x ;y) النّقط مجموعة(2

التّراتيب. التّراتيب محور يوازي ال مستقيم معادلة

ال(AB) المستقيم فإّن xA xB أي مختلفتان فاصلتانB وA للنّقطتين كان إذا التّراتيب محور يوازي

8مبرهنة. y = a x + b الّشكل من معادلة له التّراتيب محور يوازي ال مستقيم كّل

برهان:

256

النّقطة ويشمل التّراتيب محور يوازي ال مستقيم(D) ليكنA(xA ; yA)، أّن (D)الّشكل من توجيه شعاع له .

أّن ،(x ;y) إحداثياها نقطةM لتكنخطيا. مرتبطانu و AM يكافئ(D) إلى تنتميMلدينا: يكافئ(D) إلى تنتميM ومنه

: أي الّشكل من المعادلة تصبح وبوضع

9مبرهنة

a ، bالنّقط حقيقيان. مجموعة عددان M(x ;y)مستقيم هي حيث (D) التّراتيب. محور يوازي ال

التآلفيّة للدّالة البياني التمثيل هو(D) المستقيمتوجيهه. معامل هوa العددو ،(D) للمستقيم توجيه شعاع هو الّشعاع

:1مثال

y = 4: (D3) معادلةy = 2 x + 5: (D2) معادلةx = - 2: (D1) معادلة

لِـ توجيه شعاع (D1) لِـ توجيه شعاع (D2) لِـ توجيه شعاع (D3)

0 هو توجيهه معامل2 هو توجيهه معاملالتوجيه معامل يوجد ال

الّشكل على تكتبx + 3 y = 12 4 : المعادلة2مثال توجيهه معامل(D) مستقيم معادلة فهي ،

هو = x + 3 y 4المعادلة: تحّقق(0; 3) و(4; 0) من كّل .(D) إلى تنتميانA(0 ;4) ، B(3 ;0) النّقطتين ومنه ،12

مستقيم توجيه معامل حساب

10مبرهنة ، حيث (O ; i , j) معلم في ،نقطتين كّل أجل من

. يساوي(AB) المستقيم توجيه معامل

257

برهان:

من معادلة فله وبالتّالي ، التّراتيب محور يوازي ال(AB) فالمستقيم أّن بماy = a x+b الّشكل

yB = a xB+b وyA = a xA+b فإّن(AB) إلى تنتميA ، B النّقطتين من كّل أّن وبما

. وبالتّالي ،yB - yA = a( xB - xA ) ومنه يساوي المقابل الّشكل في(AB) المستقيم توجيه مثال: معامل

(AB)يمكن الّشكل من معادلة له( بسهولة(b حساب

مستقيمين توازي شرط

11مبرهنة على'y = a x+b ، y = a' x+b معادلتاهما اللذان'(D) و(D) المستقيمان يكون

، التّرتيب '(D( // )D)التوجيه. أي: معامل نفس لهما كان إذا وفقط إذا متوازيين

. 'a = a يكافئ

برهان: توجيه شعاع هو و ،(D) للمستقيم توجيه شعاع هو لدينا

'(D) للمستقيم خطيا، مرتبطينu ، v الّشعاعان كان إذا وفقط إذا متوازيان'(D) و(D)المستقيمان

'1a = 1a أي.'a = a وبالتّالي

لمجهولين معادلتين خطيتين ةجمل.4 (0 ;0)'( a' ;b) و (0 ;0)( a ;b) نعتبر فيما يلي

10تعريف ،a حيث جملة كّل لمجهولين خطيتين معادلتين جملة نسّمي

b، c، a'، b'، c'معلومة. أعداد تحقّق التّي(x ;y) الثّنائيات إيجاد لمجهولين خطيتين معادلتين جملة بحل ونعني

واحد آن في المعادلتين

التفسير البياني لحل جملة معادلتين خطيتين لمجهولين

258

. معادلتينال جملة لتكن:a x + b y = c المعادلة

أجل من الّشكل على تكتب b = 0 أجل من الّشكل على تكتب b 0

هي'a' x + b' y = c إلى بالنّسبة وكذلك ،(D) مستقيم معادلة الحالتين في فهي.'(D) مستقيم معادلة

(x ;y)النّقطة أن معناه معادلتينال لجملة حل M(x ;y)من كّل إلى تنتمي متوازيان وإّما ، متقاطعان إّما هما المستقيمان وهذان ،'(D) و(D) المستقيمين

منطبقان. وإّما ، تماماوبالتّالي:

وإّما لها، حل ال وإّما ، وحيدا حال لها إّما معادلتينال جملة.'(D) و(D) للمستقيمين النّسبي الوضع حسب وذلك الحلول، من لها النهاية

عدد حلول جملة معادلتين خطيتين لمجهولين 12مبرهنة

. :(S) معادلتينال جملة لتكن كان إذا a b' b a' 0 الجملة فإّن (S)وحيدا. حال تقبل كان إذا a b' b a' = 0 فالجملة (S)الحلول. من لها النهاية وإّما لها، حل ال إّما

المبرهنة تفسيرa b' – b a' 0ab' – ba' =0

(D)، (D)'في متقاطعان M

xM ;y) وحيد حل لها الجملةM)

بين مشتركة نقطة توجد ال(D)، (D)'

حل لها ليس والجملة

(D) (D') من النهاية لها والجملة

الحلول

259

الشعاعي الحساب.1

شال( )عالقة شعاعين مجموع خواص استعمالA ، B ، C ، Dالمستوي من نقط أربع .

AB + DC = AC + DB أن بيّنAC + BD = AD + BC وكذلك

حّلتعاليق

عن التعبير في باستعمال شعاع شال عالقة

نقطا نستعمل بالنّظر مناسبة

هو ما إلىمطلوب.

لدينا: شال عالقة باستعمالAB = AC + CB و DC = DB + BC

نجد طرف إلى طرف بالجمعAB + DC = AC + DB + CB + BC

AB + DC = AC + DB فإّنCB + BC = CC = 0 أّن بما وكذلك:

AC + BD = AD + DC + BC + CDAC + BD = AD + BCألّن( DC + CD = DD = 0)

طريقة المجموع في المعروفة الخواص نفس تطبيق يمكن شعاعين مجموع في

والتّجميع. مثل: التبديل الجبري،

؟ شعاعية مساواة نبيّن كيفA ، B ، Cنقط ثالث ، Iمنتصف [BC].

- AB = OB فإّنO نقطة كّل أجل من أنّه بيّن(1OA

AI = AB + AC 2أّن: بيّن( 2

حّلتعاليقالّشعاعان AO و

OA متعاكسان AO = OA

الّشعاع عن نعبّر

ومنه AB = AO + OB شال عالقة حسب ( لدينا1AB = AO + OB= ( OA) + OB = OB OA

شال: عالقة حسب ( لدينا2AI = AB + BI AI = AC + CI

260

محلولة وتمارين طرائق

AIكّل باستعمال AB الّشعاعين من

، AC.

نجد: طرف إلى طرف وبالجمع2 AI = AB + AC + (BI + CI)

فإّن[BC] منتصفI ألّنBI + CI = 0 أّن وبما2 AI = AB + AC

طريقة إلى والوصول الطرفين أحد تفكيك يمكن شعاعية مساواة صحة إلثبات

وضعيات تترجم شعاعية وعبارات شال عالقة باستعمال اآلخر الطرفمثل: معطاة

BI + CI = 0أو BI = ICأو BC = 2 BI عن ... للتّعبير Iمنتصف [BC]. .ABC المثلّث في[AC] ،[AB] منتصفيM ، N عن للتعبير BC = 2 MN أو

في نقطا أّن على للبرهان األشعة )استعمال حقيقي بعدد شعاع جداء استقامية(

ABCDو ، أضالع متوازي Mمنتصف [AD]، و N

. بحيث نقطةاستقامية. فيB ، N ، M النّقط أّن بيّن

حّلتعاليقأّن سنبيّن

وBN الّشعاعينBMمرتبطان

خطيا.

من كّل عن نعبّر ، BN الّشعاعين

BM بداللة ،BAالّشعاعين

BC

شال: عالقة حسب لدينا( )ألّن

(1)... ومنه وكذلك:

( )ألّن ومنه نجد(1) من

مرتبطانBM ، BN والشعاعان فان وبالتاليخطيا. استقامية. فيB ، N ، M النّقط أن ونستنج

طريقة نقطا أن إلثبات B،N،Mمثل شعاعين أن إثبات يمكن استقامية في BNو BM

خطيا مرتبطان

التوازي( لبرهان األشعة استعمال) لشعاعين الخطي االرتباطABCDالنّقطة ، أضالع متوازي Nمنتصف [CD]،

.DM = 2 AD بالعالقة معّرفةM والنّقطة

261

متوازيان.(CM) و(BN) المستقيمين أّن بيّن

حّلتعاليقمن عالقة عن نبحث

CM = k BN الّشكل

CD = 2 CN ألّن N [CD] منتصف

شال عالقة حسبBN = BA + ANلدينا: =BA + AD + DN // =CD + DN + ADألّن( BA = CD)

BN = CN + AD ومنهBN = 2 CN + 2 AD 2 وبالتّالي

=CD + DM = CMطريقة

مثل مستقيمين أن إلثبات( (BN)و (CM)متوازيان ) الّشعاعين أن إثبات يمكن BNو CMخطيا. مرتبطان

المستوي وفي مستقيم، على المعلم.2 شعاع أومركبتي نقطة إحداثيي حساب

(O ; i , j) للمستوي معلم ، A(2 ;1)، ، .

A النّقطة صورة'A النّقطة إحداثيي احسبأ( .u شعاعه الذي باالنسحاب

OM =2 u 3 v حيثOM الشعاع مركبتي ب( احسب .

حّلتعاليقالّشعاع مركبتا AB

هما

شعاعين تساوي تساوي معناه

مركباتيهما.

أي فيكون ،A'(x ;y) أ( نفرض

y = 4 وx = 1 ومنه نجد AA' = u من

A'(1 ;4) وبالتّالي v = 4 i و u = i + 3 jب( لدينا:

OM =2 u 3 v ومنهOM =2 (i + 3 j ) 3 ( 4 i ) = 2 i + 6 j + 12 i

OM = 14 i + 6 j ومنه وبالتّالي

طريقة شعاعية مساواة ترجمة يمكن شعاع مركبتي أو نقطة إحداثيي عن للبحث

معادلتين جملة إلى يأتي كما عموديا إجراؤها يمكن األشعة مركبات على الحسابات لتبسيط

المثال: سبيل على أي ومنه ،

262

مستقيم معادلة .3

بنقطتين معّرف مستقيم معادلة عن البحث (O ; i , j) للمستوي معلما .A ، Bحيث نقطتان A(

3 ;1) ، B(4 ;2) .(AB) للمستقيم معادلة جدحّلتعاليق

المستقيم (AB)ال التّرتيب محور يوازي

جملة تشكيل يمكن عن للبحث معادلتين

a ، b.

على الحصول يمكن توجيه معامل

من(AB) المستقيمالعالقة:

فإّن الفاصلة نفس لهما ليسA ، B النّقطتين أّن بما .y=ax+b الّشكل من معادلة(AB) للمستقيم

ومنهy=ax+b المعادلة تحقّقA النّقطة إحداثيا1 = a(3) + bومنه b = 3 a + 1

ومنهy=ax+b المعادلة تحقّقB النّقطة إحداثيا2 = a(4) + bومنه b = 4 a + 2

أيa = 1 7 ومنه a + 1 = 4 a + 2 3 : وبالتّالي

71a

ومنه هي: عنها نبحث التّي والنتيجة: المعادلة

للمستقيم معادلة إيجاد يمكن (AB)باستعمال النّقطة حيثAM وAB للشعاعين الخطي االرتباط

M(x ;y)إلى تنتمي (AB). شرط طبّق ثّم ،AM ومركبتيAB مركبتي احسب

AM وAB للشعاعين الخطي االرتباط

طريقة اآلتية: الطرائق إحدى إتباع يمكن بنقطتين معّرف مستقيم معادلة إليجاد

يوازي ال المستقيم هذا كان إذاy=ax+b المعادلة فيa،b عن البحث(1). التّراتيب محور

يوازي ال المستقيم هذا كان إذا المستقيم توجيه معامل استعمال(2). التّراتيب محور

. لشعاعين الخطي االرتباط شرط استعمال(3)

معلومة نقطة يشــمل مســتقيم معادلة عن البحث معلوما مستقيما ويوازي

(O ; i , j) للمستوي معلما .(D)معادلته مستقيم y = 2 x + 3و Aحيث نقطة A(2 ;3) .

263

ويوازيA النّقطة يشمل الذي'(D)للمستقيم معادلة جد (D)المستقيم

حّلتعاليقهو الّشعاع

من لكل توجيه شعاع(D)، (D)'

النّقطة Aإلى تنتمي (D)'

لهما فإّن متوازيان'(D) و(D) المستقيمين أّن بماa = 2 التوجيه معامل نفس

y = 2 x + b الّشكل من معادلة'(D) للمستقيم y = 2 x + b المعادلة تحقّقA النّقطة إحداثيا

ومنه3 = 2 (2) + bومنه b = 7

y = 2 x + 7 هي: '(D) والنتيجة: معادلةطريقة

يمكن معلوما مستقيما ويوازي معلومة نقطة يشمل مستقيم معادلة إليجاد يأتي: ما استغالل

من معادلة في وتوظيفه ،a التوجيه المعامل نفس للمستقيمين(1).y=ax+b الشكل

الخطي االرتباط شرط واستعمال ، التوجيه شعاع نفس للمستقيمين(2)لشعاعين.

لمجهولين خطيتين معادلتين ةجمل.4

عنها والبحث لمجهولين خطيتين معادلتين جملة حلول عدد تعيينوجدْها. ، جملة كّل حلول عدد اآلتية: عيّن المعادلتين جمل نعتبر

حّلتعاليقنعتبر جملة كّل في

هي األولى المعادلة (D) مستقيم معادلة '(D) مستقيم والثانية

عدد من التحقّق يمكن (S1) الجملة حلول

– 'a b المقدار بحسابb a'

ab'–ba'=2(3)11=70

الجملة حل يمكن (S1) أساسا تعتمد بطريقة

(S1) الجملة إلى بالنّسبة(1:'(D) و(D) من لكل المختزلة المعادلة نكتب تكافئ لدينا

تكافئ و

'(D) و(D) المستقيمين فإّن أّن بما وحيدا حال تقبل(S1) الجملة ومنه ، متقاطعان

)من x = 3 y 3 فإّن(S1) لجملةل حل(x ;y) إذا((2) المعادلة = y( + y 3 3)2 نجد(1) المعادلة في وبالتّعويض

.y=2 تكافئ وهي8 . x = 3 نجد(2) المعادلة في وبالتّعويض

264

الجمع. على

الجملة حل يمكن (S1) يأتي: كما بيانيا

بيانيا التحقّق يمكن ال(S2) الجملة أّن منلها. حل

استعمال يمكن لحل البيانية الحاسبة

معادلتين جملةخطيتين.

( 2; 3) فهو وحيدا حال تقبل(S1) الجملة أّن وبما(S2) الجملة إلى بالنّسبة(2

ab'–ba'=(1) فنجد'a b' – b a المقدار نحسب(6)23=0من النهاية لها إّما فالجملة وبالتّالي

حل. لها ليس وإّما الحلول بقسمة تكافئ(S2) الجملة 3 على(2) المعادلة طرفي

في4 و6 يساوي x + 2y تجعل(x ;y) لِـ قيم توجد الواحد أن

لها. حل ال(S2) الجملة ومنه(S3) الجملة إلى بالنّسبة(3

ab'–ba'=(1) فنجد'a b' – b a المقدار نحسب(6)23=0من النهاية لها إّما فالجملة وبالتّالي

لها. حل ال وإّما الحلول بقسمة تكافئ(S2) الجملة 3 على(2) المعادلة طرفي

معادلته الذي(D) المستقيم من نقطة كّل .(S3) الجملة تحقّق إحداثياها

من الحلول من نهاية ال لها(S3) الجملة أّن نستنتجالّشكل:

حقيقي. عددx و طريقة المقدار حساب يمكن معادلتين جملة حلول عدد لمعرفة

ab' – ba ' بطريقة عنه نبحث وحيدا حال تقبل فالجملة ، معدوم غير كان فإذا

الجمع. أو التعويض الّشكل إلى المعادلتين جملة نحوّل معدوما، كان وإذا

'C=C حالة حل. في لها ليس الجملة' CC حالة في'C وC بين ونقارنالحلول. من النهاية للجملة

معلم؟ باستعمال للبرهنة طريقة تعلّمالهدف: ABCاألضالع متقايس مثلّث .M ، Nمنتصفا [AB]،

[AC]و ، التّرتيب على Lمنتصف [MN] . Pنقطة .AC=3AP بالعالقة معّرفة

استقامية. فيB ، L ، P النّقط أّن بيّن

265

الـبرهـنة تعـلّم

حّل . (B ;BC ;BA) المعلم نعتبر

، A(O ;1) ، C(1 ;0) فيه فيكون. P النّقطة إحداثيي حساب

( ،) ألن: ومنهAC = 3 AP لدينا

ومنه و أّن نجد

.L النّقطة إحداثيي حسابBC=2MN=2(2ML) لدينا

،) ألن: وبالتالي ، BC = 4 ML ومنه

ومنه و أّن نجد

:BL ، BP الّشعاعين مركبات و

خطيا. مرتبطانBL ، BP الّشعاعين فإّن أن بمااستقامية. فيB ، L ، P النّقط أّن نستنتجخالصة

فيه تكون معلم تعريف إلى اللجوء يمكن الهندسية المسائل بعض حل عند باستغالل فيه العمل ثّم بسيط، حسابها أو ، بسيطة الّشكل نقط إحداثيات

للمطلوب. إلثبات حسابية قواعد من التحليلية الهندسة توفره ما

استثمار إعادةABCDالنّقطة ، أضالع متوازي Mمنتصف [CD]،

. بالعالقة معّرفةN والنقطة فيM ، N ، B النّقط أّن مناسب معلم باستعمال بيّن

استقامية.

إكسال ) برنامج عن (EXCELمعلومات 65536 له جدول منExcel برنامج في الحساب ورقة تتكوّن

مرقّمة عمودا 256 و 65536 إلى1 من مرقّمة سطرا . فهيA ، B ، ... ، AB ، AC ، ... ، IV المنوال على بأحرف العمود برقم منها كّل تعّرف خلية 16777216 على تحتويالمقابل. الّشكل في كماB3مثل: الّسطر برقم متبوعا

بيانيا معادلتين جملة حل هو النشاط هذا من الهدفExcel برنامج باستعمال

266

B3الخلية

واالتصال اإلعالم تكنولوجيات استعمال

إدماجية مسألة حّل

المعادلتين جملة نعتبراكتب ّ y = a x + b الّشكل على المعادلتين من كالبرنامج في جديدة ورقة افتح Excel، الخاليا في اكتب ثّم A1 ، A2 ، A3من كّل xو

y=x + 2و y=x+4التّرتيب. علىالخلية في 3– العدد احجز B1الخلية في2- العدد و C1 الخليتين . حدّد B1 ، C1

+ رمز إلى فيتحولC1 الخلية اليمين على السفلى الّزاوية على الّزالق وضعL1 الخلية حتى واسحب للفأرة األيمن الّزر على انقر ثّم

الخلية في احجز B2العبارة =B1 + 2لمسة على انقر ثّم الخلية في احجز B3العبارة =B1 + 4على انقر ثّم

لمسةالخليتين حدّد B2 ، B3السفلى الّزاوية على الّزالق وضع

على انقر ثّم+ رمز إلى فيتحولB3 للخلية اليمين علىL العمود حتى واسحب للفأرة األيمن الّزر

من الخاليا مجموعة تحديد A1إلى L3 :

الخلية على انقر A1وبالمحافظة األيمن الّزر على الضغط وضع على

.L3 الخلية حتى اسحب للفأرة،

النّافذه لتفح البيانات معالج على اضغطعلى بالترتيب داخلها اضغط ثّم أدناه،

.(3) ثّم(2) ثّم(1)

أخرى نوافذ لفتح'(2) على الضغط يمكنلتحصل الّشكل عرض نوعية وتخصيص

يأتي: ما على النتيجة في

(O ; i , j) للمستوي. ومتجانس متعامد معلم ،A(2 ;2) ، OB=3 i + 5 j حيثA ، B ، C النّقط أ( علّم. أضالع متوازيABCD بحيثD النّقطة إحداثيي ب( عيّن

. 3CN= CA تحّققN والنّقطة ،[BC] منتصفM ج( النّقطة النّقط أّن بيّن D ، N ، Mاستقامية. في هي النّقطة تمثّل ماذا Nالمثلّث إلى بالنّسبة BCD؟

267

(1)(2)(3)

(2')

معالج البيانات

(AC) المستقيم ويوازيB النّقطة يشمل الذي للمستقيم معادلة د( اكتب 'D إحداثيي . احسب(CD) للمستقيم معادلة هي أّن من ه( تحقّق

(CD)و تقاطع نقطةنوعه. واستنتج ،ACE المثلّث أضالع أطوال احسبE(2 ;4) و( لتكن

حّلإحداثييها نحسبC النّقطة ولتعليم ،B(3 ;5) أ( النّقط

C(4 ;0) أي وبالتّالي ومنه لدينا

AD = BC معناه أضالع متوازيABCDب( فإّن أي و أن وبما

D(1 ;5) أي ومنه

أي إحداثياها[BC] منتصفM ج( النّقطة

ولدينا ومنه

3CN= CAتكافئ

أي ومنه

DN وDM للّشعاعين الخطي االرتباط ندرس

ومنه و لدينا

في هيD ، N ، M النّقط ومنه ، خطيا مرتبطانDN وDM لّشعاعينا فإّن وبالتالياستقامية.

BCD المثلّث إلى بالنّسبة N النّقطة وضعيةBCD المثلّث ثقل مركز هيN ومنه أّن نالحظ

للمستقيم معادلةد( حيثa الميل نفس(AC) و للمستقيمين

الّشكل من معادلة للمستقيم ومنه

b= 6 ومنه ، فإّن إلى تنتميB أّن وبما للمستقيم معادلة هي فإّن وبالتّالي

268

ومسائل تمارين

: ( CD ) للمستقيم معادلة هي أّن من التحقّقه( و لدينا

، المعادلة تحّققD النّقطة وC النّقطة إحداثيي من كّل أّن أي(CD) للمستقيم معادلة فهي وبالتّالي

. ( CD ) و تقاطع نقطة إحداثيي حساب

D'(9 ;3) ومنه فنجد المعادلتين جملة نحل

ACE المثلّث أضالع أطوال و( حساب الطريقة وبنفس ، العالقة: من يحسب AC الطّول .CE وAE نحسب لدينا

و و AE = CE ومنه وحسب ، AE2 + CE2 = AC2 أي AC2 = 40 و AE2 + CE2 = 40 أّن نالحظ كما

.E في قائمACE المثلّث فإّن فيثاغورس نظرية عكسيةالّساقين. ومتساويE في قائمACE المثلّث أّن سبق مما نستنتج

؟ خطأ أم أصحيحـــــــــــــــــــــــــ

أو المتعاكسين للشعاعين.1الطويلة. نفس المتساويين

نفس 5 u وu للشعاعين.2االتجاه.

+ AB + BC + CD الّشعاع.3DE + EA .معدوم

+ AB + DC AC الّشعاع.4BD معدوم. غير

5.A ، B ، Cلدينا: نقط ثالث 5AB+AC=5AC

= u فإّن u= AB AC كان إذا.6AC

7.A ، B ، C ، Dفي ليست AB كان استقامية. إذا

269

+ CD = 0 الّرباعي فإّن ABCD أضالع. متوازي

[AB] إلى تنتميM النّقطة.8AM+MB=AB معناه

[AB] إلى تنتميM النّقطة.9AM+MB=AB معناه

المتعاكسان الشعاعان.10خطيا. مرتبطان

3|| فإّن u || = 7|| كان إذا.11u || = 21

في ليست نقط ثالث كّل.12 معلما تعيّن استقامية

للمستوي. ABCD األضالع متوازي في.13

E ، F والنّقط ،I مركزه الذي، G ، Hأضالعه منتصفات

: الّشكل. لدينا في كما AE =CGب( ، IB + ID = 0أ(

CD=2 HIج( EF = HGد(

لدينا: أدناه الّشكل في.14 ج( ، B(2 :1)ب( ،A(1 ;3)أ(

OC=3( i+j) نفسC وA د( للنّقطتين

الفاصلةAB = u ه(

بحيثx حقيق عدد يوجد.15 و

متساويان

بحيثx حقيق عدد يوجد.16 و

خطيا. مرتبطان ، الّشعاعان.17

مرتبطان خطيا.

، الّشعاعان.18 مرتبطان

خطيا. ،[AB] منتصفI كان إذا.19 x= 2 فإّنAI = x ABو

،[AB] منتصفI كان إذا.20 x= 1 فإّنAI = x IBو

هو الشعاع.21 ذي للمستقيم توجيه شعاع

المعادلة

المعادلة ذو المستقيم.22توجيه شعاع له ليس

x 2 المعادلة ذو المستقيم.23y = 5 المعلم. مبدأ يشمل

إلى تنتمي A(2 ;1) النّقطة.24 y=5x المعادلة ذي المستقيم

+ 11

إلى تنتمي A(3 ;3) النّقطة.25 y=5x المعادلة ذي المستقيم

+ 11 المعادلتين جملة.26

وحيد. حل لها

شعاعين تساويـــــــــــــــــــــــــشعاعين مجموع

علّم ثّم أدناه الّشكل انقل.27 L ، M ، N النّقط النّقط

270

، AM = uيأتي: كما المعّرفةBN= 2 u ، NC = 3 u

األشكال من كّل انقل.28 ، مسطّرة ورقة على اآلتية

M ، N ، L النّقط أنشئ ثّمحيث:

AM=u + v ، BN = u v ، ML = LN

على أدناه الّشكل انقل.29 علّم ثّم ، مسطّرة ورقة

: بحيثL ، M ، N النّقطOL = OA + OB + OC

OM = OA + 2 OB + OCON= OA ( OB + OC )

30.ABCDأضالع متوازي ، نظائر'A' ، B' ، C النّقط إلى بالنّسبةA ، B ، C النّقط

D النّقطة كّل التّي األشعة هي أ( ما ؟AB يساوي منها كّل التّي األشعة هي ب( ما ؟'AC يساوي منها

31.ABCأنشئ ، كيفي مثلّث المعّرفةD ، E ، F النّقط

BD=CB ، CE=ABيأتي: كما، BF=AC

AEBD الّرباعي أّن أ( بيّنأضالع متوازي E ، A ، F النّقط أّن ب( بيّن

استقامية في هي

u = 2 AC + DA CA ليكن.322 BC

v = CA + BC AC + AD و علىu ، v من كّل أ( اكتبممكن شكل أبسط

. u + v ب( احسب

33.A ، B ، Cليست نقط ثالث . أنشئ استقامية في

كما العّرفةM ، N النّقطتينيأتي:

AM + AB = AC ، AB + NC = AC + BC

34.A ، B ، Cليست نقط ثالث استقامية. في

N ، M النّقطتين أ( أنشئ اآلتيتين بالعالقتين المعّرفتين

، AN = 2 ABالتّرتيب: علىCM = 2 AB + AC

منتصفC النّقطة أن ب( بيّن[MN].

35.A ، B ، C ، Dنقط أربع أّن بيّن ، متمايزة

AB + CD = AD + CB 36.A ، B ، Cأي ، نقط ثالث

C تعني اآلتية المساويات ؟[AB] منتصف

-= CAب( ،AC =CB أ( CB ACد( ،AC + CB = 0 ج(

+CB =0 .AB = 2 ACهـ(

37.A ، Bمن نقطتان المستوي.

271

.[AB] منتصفI أ( بفرض نقطة كّل أجل من أنه بيّن

Mفإّن MA + MB = 2 MI MA + MB = 2 MI ب( بفرض

هيI النّقطة أّن بيّن[AB] منتصف

ما واحدة جملة في ج( صغ في صحته على برهنت

ب( أ( و الجزئين

38.ABCمثلّث . Gثقله مركز .A'منتصف [BC].

GB + GC أّن أ( بيّن= 2 GA' + GAأّن: ب( بيّن

GB + BC = 0

حقيقي بعدد شعاع جداء الخطي االرتباط

لشعاعينـــــــــــــــــــــــــ

39.ABCDأضالع متوازي O. M النّقطة مركزه

المستقيم ،[AB] منتصف D النّقطة يشمل الذي

يقطع(AC) ويوازي يشمل الذي المستقيم

في(BD) ويوازيC النّقطة.N النّقطة

فيM ، O ، N النّقط أّن بيّن استقامية.

وعلّم ،ABC مثلّثا ارسم.40 بحيثN وM النّقطتين

. AN=3ACو ) و(CM) المستقيمين أن بيّنBN).متوازيان

41.u ، vغير شعاعان خطيا. ومرتبطان معدومين

u +3 v 2 الّشعاعين أّن أ( بيّنخطيا مرتبطانu و

u + v الّشعاعين أّن ب( بيّن وذلك خطيا مرتبطانu و

عددين كّل أجل من. و حقيقيين

42.[AB]مستقيم قطعة

منها نقطة9cm . C طولها AC = 5cm حيث

AC حيثx الحقيقي العدد جدْ= x AB

43.[AB]مستقيم. قطعة تنتميM كانت إذا أنّه بيّن عدد يوجد فإنّه[AB] إلى

AM حيث 0 ;1 منk حقيقي= k AB

44.ABCالنّقط كيفي مثلّث . D ، E ، Fيأتي: كما معّرفة

BA =3 BEو CA = 4 CD و ] منتصفGو ،

CE]. (AF) و(DE) أّن بيّن

. G النّقطة في يتقاطعان ، BG الّشعاعين عن )إرشاد: عبّر

BD بداللة BCو BAوكذلك (AG ، AF للشعاعين بالنّسبة

272

45.A ، B ، Cليست نقط ثالث استقامية. في

المعّرفةM النّقطة أ( أنشئ بالعالقة

AM=3AB 2AC C ، B ، M النّقط أّن ب( بيّن

عن عبّر )إرشاداستقامية. في AB الّشعاعين بداللةCM الّشعاع

،AC )

46.(AX]و (AY]مستقيم نصفا .B ، Mمن نقطتان (AX ]، وC

، Nمن نقطتان (AYفي [ )كما أدناه( الّشكل AN = y و AM = x AB نضع

AC MN و BCكان إذا أنّه أ( بيّن

x=y فإّن خطيا مرتبطين فإّن x=y كان إذا أنّه ب( بيّنBC و MNمرتبطان

خطيا. التّي النظرية هي ج( ما

التّمرين هذا في عليها برهنت

47.Aو Bمتمايزتان. نقطتان إنشاء هو التّمرين من الهدف للعالقة المحققةM النّقطة

MA+MB = 0حالة في =2 .=3 و

MA + 3 2 كان إذا أنّه أ( بيّنMB = 0فإّن MAو MB

خطيا. مرتبطان MB وMA للشعاعين ب( هل

لهما وهل ؟ االتجاه نفس؟ الطويلة نفس ،AB بداللة AM عن ج( عبّر

.M النّقطة أنشئ ثّم

48.Aو Bمتمايزتان نقطتان ، Mبحيث نقطة

ثّم ،AB بداللة AM عن عبّر .M النّقطة أنشئ

مستقيم، على التّعليمالمستوي وفي

ــــــــــــــــــــــــ إلى49 رقم من التمارين في معلم إلى المستوي ينسب ،62 (O ; i , j)

A(3 ;1) ، OB = 2 i j ليكن.49OC = AB ، CD=OA+OB

.A ، B ، C ، D النّقط علّم

+ u = 4 i + j ، v = 2 i ليكن.503 j

من كّل مركبتي أ( احسباآلتية: األشعة

u + v ، u + 2 v ،

النّقطة مبدؤه ممثال ب( ارسمOالّسابقة األشعة من لكل

x لعدد قيمة أية أجل من.51 فيA ، B ، C النّقط تكون

الحالتين كّل في استقامية،اآلتيتين:

A(x ;3) ، B(4 ;5) ، C(7 ;6)أ( ، A(x ;5) ، B(x+4 ;3)ب(

C(7 ;1)

و النقطان لتكن.52 إحداثيي . احسب

يكون بحيثD النّقطة متوازيAOBD الّرباعي

. أضالع

، A(2 ;3) النّقط لتكن.53B(4 ;3) ، C(5 ;2)

273

ثّم ،A ، B ، C النّقط أ( علم D النّقطة إحداثيي احسب ABCD الّرباعي يكون بحيث

أضالع. متوازي O النّقطة إحداثيي ب( احسب

.ABCD مركز

، A(0 ;3) النّقط لتكن.54B(3 ;0)، C(1 ;2)، D(4;4)

) و(AB) المستقيمان أ( هلCD)؟ متوازيان . عيّن 4 فاصلتها نقطةMب(

يكون بحيثM ترتيبة (CM) و(AB) المستقيمان

متوازيين.

أّن يأتي فيما بيّن.55 مرتبطانv وu الّشعاعين

أحدهما عن عبّر ثّم خطيا،اآلخر. بداللة

و u = i + 3 jأ(

وب(

يأتي مّما كّل في عيّن.56 يكون بحيثx العدد

مرتبطينv وu الّشعاعانخطيا.

،أ(

،ب(

،ج(

، A(3 ;1) النّقطتان لتكن.57B(7;6) ، M1 فاصلتها نقطة .

بحيثM النّقطة ترتيب عيّن فيA ، M ، B النّقط تكون

استقامية.

، A(3 ;1) النّقطتان لتكن.58B(7;6)بين عالقة . أوجد xو y النّقطة تكون أجلها من والتّي

M(x ;y)المستقيم إلى تنتمي (AB) .

59.ABCDأضالع متوازي ، معّرفةE ، F ، G H النّقط

AD=3AE ، DC=3DFيلي: كماCB=3CG ، BA=3BH .

مناسبا. شكال أ( أنجز وHE الّشعاعين أن ب( بيّنGFواستنتج ، متساويان .EFGH الّرباعي نوع

نقطة كّل إحداثيي ج( عيّن فيE ، F ، G ، H النّقط من

ثّم ،(B ;BC ;BA) المعلم )ب( الجزء إجابة من تحق

باستعمال )أي تحليليااإلحداثيات(.

متعامد معلم في.60 علّم (O ; i , j) ومتجانس

، A(0 ;4) ، B(5 ;3) النّقطC(4 ;2) ، D(1 ;1)

ABCD الّرباعي أّن من تحقّقمربّع. هو

61.ABCDأضالع متوازي ، A النّقطة نظيرة'A النقطة ،D النّقطة إلى بالنّسبة .[CD] منتصفM النّقطة; B) اعتبار يمكن لماذا أ( بيّن

BC ;BA)للمستوي؟ معلما من كّل إحداثيي ب( عين

'A ، B ، C ، D ، M ، A النّقطالمعلم. هذا في

اإلحداثيات باستعمال ج( بين النّقطة أّن عليها المحصل

Mمنتصف هي [BA'].

62.ABCDالنّقطة ، مربّع M N والنّقطة ،[BC] منتصفCD=4 CN بالعالقة معّرفة

274

 B ;BC) اعتبار يمكن لماذا أ( بيّن;BA)متعامدا معلما

للمستوي؟ متجانسا AMN المثلّث أّن تحليليا ب( بيّن

.M في قائم

68 إلى64 من التّمارين في معلما (O ; i , j) نعتبر

ومتجانسا. متعامدا

، L(1;3) النّقط لتكن.63M(2 ;1) ، N(3 ;6).

أضالع أطوال أ( احسب.LMN المثلّث قائمLMN المثلّث أّن ب( بيّن

الّساقين. ومتساوي

، A(1;2) النّقط لتكن.64B(2 ;6) ، C(3 ;6) ، D(6 ;2)

؟ABCD الّرباعي نوع ما

إذاABEF الّرباعي نوع حدّد.65 A(1;2) ، B(2 ;6)أّن: علمت

، E(6 ;3) ، F(3 ;1)

، A(2 ;1) النّقط أ( علّم.66B(1 ;4) ، C(6 ;1)، أّن وبيّن

قائم.ABC المثلّث الدّائرة مركز إحداثيي ب( عيّن

ABC بالمثلث المحيطةقطرها. نصف واحسبM(1 ; النّقطة أّن من ج( تحّقق

الدّائرة إلى تنتمي(4 .ABC بالمثلث المحيطة

، A(3;1) ، B(3 ;1) لتكن.67M(x ;y)

، A النقطتين أّن من أ( تحقّقBإلى بالنّسبة متناظرتان

.O النّقط M أن: النّقطة ب( بيّن

عن المسافة متساوية y = 3 يكافئ[AB] طرفي

x حالة فيx قيم ج( عيّن

متقايسAMB المثلّثاألضالع.

مستقيم معادلةــــــــــــــــــــــــ

ينسب الموالية التمارين في , O ; i) معلم إلى المستوي

j)

68.(D)3 معادلته مستقيم x 5 y = 7 ، توجيه شعاع أوجد

وعيّن ،(D) للمستقيمتوجيهه. معامل

السابق التّمرين نفس.69 '(D) المستقيم إلى بالنّسبة

المعادلة ذي

70.(D)3 معادلته مستقيم x = 7 ، توجيه شعاع أوجد

(D) لِـ . هل(D) للمستقيم؟ توجيهه معامل

،(D1) المستقيمات ارسم.71(D2)، (D3)، (D4)، (D5)

حيث:(D1) :y = 3 x (D3):

(D2) :x = 4 (D4):

، A(1 ;3) النّقط لتكن.72B(3 ;1) ، C(3 ;4) .

275

مستقيم لكل معادلة اكتب) ،(AB) المستقيمات منBC)، (AC)الّشكل على

my+px=n، الشكل على ثّم y=ax+b

u = 2 i j وA(3 ;2) لتكن.73 الذي للمستقيم معادلة . جدْ

شعاعu وA النّقطة يشملله. توجيه

الذي للمستقيم معادلة جد.74 محور ويقطع توجيهه معامل

التّي النّقطة في التّراتيب .(5) ترتبيتها

75.(Dمستقيم ) معادلته معادلة اكتب ، يوازي ( الذي) للمستقيم محور يقطع ( وD) المستقيم التي النقطة في الفواصل.4فاصلتها

) للمستقيم معادلة أ( جد.76D)توجيهه معامل الذي

. A(2 ;3) النّقطة ويشملعيّن نقطة إحــــداثيي ب(ــ محـــــور مع(D) تقـــــاطع إحـــداثيي وكـــذا ، الفواصل

محــــــور مع تقاطعه نقطةالتّراتيب.

الحالتين من كّل في بيّن .77 و(D) المستقيمين أّن اآلتيتين

(D)'.متوازيان 2 x 3 y = 1: (D)أ( (D)' :

3 x + 7 = 0: (D)ب( )( :

خطيتين معادلتين ةجمل لمجهولين

ــــــــــــــــــــــــ ; O) معلم إلى المستوي ينسب

i , j)

جملة حل يأتي مما كّل في.78بيانيا. الحل مثّل ثّم ، المعادلتين

ب(أ(

22yx72yx

ج(

د(

0y26x232y

212x

:(S)المعادلتين جملة لتكن.79 k للعدد الممكنة القيم هي ما

حل(S) للجملة يكون بحيثوحيد.

: (S)المعادلتين جملة لتكن.80

)المعادلتين جملة أّن أ( بيّن

S)ال لها وإّما لها، حل ال إّما الحلول. من نهاية الممكنة القيمة هي ب( ما) للجملة يكون بحيثk للعدد

S)الحلول. من نهاية ال ، A(0 ;5) النّقط لتكن.81

B(6 ;2) ، C(7 ;4) ، D(2 ;1) (AB) المستقيمين أّن أ( بيّن

متقاطعان(CD)و نقطة إحداثيي ب( احسب

من وتحقق ، تقاطعهمابيانيا. ذلك

المعادلتين جملة حل نريد.82(S) :

t 2 = y و z 2 = x أ( بوضع '(S) المعادلتين جملة اكتب

. (S) للجملة المكافئة '(S) المعادلتين جملة ب( حل

. (S) الجملة حل واستنتج

276

المعادلتين جملة حل نريد.83(S) :

y 2 أّن وx 0 أّن أ( بيّن

و ب( بوضع '(S) المعادلتين جملة اكتب

. (S) للجملة المكافئة '(S) المعادلتين جملة ب( حل

. (S) الجملة حل واستنتج ،15 مجموعهما عددان.84

منهما كّل إلى أضفنا إذا نصف أحدهما صار3 العدد

العددين. هذين اآلخر. جدْ إلى انتقاله بمناسبة.85

وليمة يوسف نظّم الثّانوية قسمه. الحظ تالميذ إليها دعا تالميذ5 كّل يجلس لو أنه

ال منهم3 فإّن طاولة حول ولو للجلوس، أماكن لهم يجد

حول تالميذ6 كّل يجلس تبقى أماكن4 فإّن طاولة

شاغرة. الذين التالميذ عدد هو ما

عدد هو وما ؟ يوسف دعاهم؟ الطاوالت

86.ABCأطوال مثلّث AB=9cm ، BC=10cm أضالعه

AC=6cmزاوية . منصف في[BC] يقطعA الرأس الطّولين . احسبD النّقطة

BD و CD.

مسائلـــــــــــــــــــــــــ

أولر مستقيم.87ABCكيفي مثلّث ، Oمركز

مركزG به، المحيطة الدّائرة ، ارتفاعاته تالقي نقطةH ، ثقله

A' ، B'من كّل منتصفا [BC]، [AC]التّرتيب. على

التّيX النّقطة عن البحث(1: العالقة تحقّق

OX = OA + OB + OC ،' OB + OC = 2 OA أّن أ( بيّن

'AX=2OA أّن واستنتج تنتميX النّقطة أّن ب( استنتج

ABC المثلّث ارتفاع إلى.[BC] بالضلع المتعلق الطريقة بنفس ج( تحّقق

تنتميX النّقطة أّن الّسابقة ABC المثلّث ارتفاع إلى

بالضلع المتعلق.

فيX النّقطة تمثّل د( ماذا ؟ABC المثلّث

'GB + GC = 2 GA أّن أ( بيّن(2 = GA + GB + BC أّن ب( استنتج

0 OH = 3 OG أّن أ( بيّن(3

تستنتج أّن يمكنك ب( ماذا O ، G ، H النّقط إلى بالنّسبة

.يشمل * الذي المستقيم يسّمى

أولر. مستقيمO ، G ، Hالنّقط المسألة هذه من الهدف.88

طرائق بعدّة خاصة برهان هو الوسائل بتنويع وذلك

المستخدمة. الّرياضياتيّة

ABCDأضالع متوازي .E ، F [AD] ،[AB] ضلعيه منتصفا

) التّرتيب. المستقيمان على

277

CE)، (CF)يقطعان [BD]في الترتيب. علىG ، H النّقطتين

. BG = GH = HDأّن: بيّن خاصة باستعمال ( 1 ) الطريقة

مثلث ثقل مركز هيG النّقطة أّن أ( بيّن .ABC المثلّث ثقل مركز

BG الّشعاع عن ب( عبّر.GO الّشعاع بداللة

الّسابقة الطريقة ج( بنفس DH الّشعاع عن عبّر

.HO الّشعاع بداللة BG أّن سبق مما د( استنتج

= GH = HD ومنه المطلوب.

باستعمال ( 2 ) الطريقة( B ;BD ;BE) المعلم

النّقط إحداثيات أ( عيّن. الشكل في المسماة

من كّل مركبتي ب( احسب BG ،GH األشعة

HD BG أّن سبق مما ج( استنتج

= GH = HD ومنه . المطلوب

باستعمال ( 3 ) الطريقةأساسية هندسية خواص

.[CD] منتصفM أ( لتكن (AM) المستقيم أّن بيّن

.H النّقطة يشمل (AM) المستقيمان أّن ب( بيّن

متوازيين.(CE) و طالس نظرية ج( باستعمال

المثلّثين من كّل فيABHو DCGأّن: بيّن

BG = GH = HD

89.pليكن و ، حقيقي عدد معّرفا مستقيما

.y = x + p بالمعادلة مزوّد مستو في أ( ارسم

، المستقيمين بمعلم . كّل أجل من أنّه ب( بيّن

فإّن'p وp عددين(D) المستقيمين p ،

. متوازيان

p العدد بداللة ج( احسب Ap النّقطتين إحداثيي

المستقيم تقاطعBpو محور مع

ومحور الفواصلالتّرتيب. على التّراتيب

p العدد بداللة د( احسب Mp النّقطة إحداثيي

.[ApBp] منتصف عن مستقلة عالقة ه( جد

pالنّقطة إحداثيي بين Mp، المحل واستنتج

لمجموعة الهندسي. Mp النّقط

278