Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208

Šablona:

III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_116

Jméno autora: Mgr. Iva VrbováTřída/ročník: 3.E/ třetí ročníkDatum vytvoření: 3. 3. 2013

Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení

Tematická oblast: Posloupnosti

Předmět: Matematika

Název učebního materiálu: Geometrická posloupnost – příklady II.

Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny:

Prezentace obsahuje řešené příklady na procvičení vztahu pro součet několika

prvních členů GP a příklady pro samostatné řešení (u složitějších je

přiložen návod) Klíčová slova: Geometrická posloupnost; Součet

členů GPDruh učebního materiálu: prezentace

Procvičení vzorce pro součet GP:

Sečtěte daný počet prvních členů GP? ,5 ,1 a) 101 sqa

11

1

q

qasn

n

1110

1 01

q

qas15151

10

01

s

406 441 2 01 s

hledáme součet 10 členů

115

1 5

q

qas

121

121

4

5

5

s

411

5 s

nejprve určete GP: 31 4 qaa

3421 q

3

81 q

21

q

? ,21 ,4 b) 541 saa

1 25 25 as

325 25 s

7525 s

nejprve určete GP: 1 01 aa

? ,3 ,3 c) 25101 saa

1

q

1 ansn

? ,16 ,4 d) 20108 saa

28 01 qaa

2416 q24 q2q

71 8 qaa

71 24 a

1284 1 a 1284 1 a

321

1 a321

1 a

1120

1 20

q

qas

GP1: a1 = 1/32, q = 2

1212

321 20

02

s

75 767,968 3220 s

GP2: a1/ = –1/32, q / = –2

12

12321 20

/20

s

25 922,656 10/20 s

? ,31 ,243 e) 101 sqa

460 993 858 ;4,4:GP1764 655 431 1 ;4,4:GP1

151

151

sqasqa

81524 29

10 s

? ,64 ,4 ) f 1531 saa

74,040 285 23 ;3,27/1:GP 201 sqa

? ,27 ,9 g) 2076 saa

405 441 2 ;5,1:GP 91 sqa? ,625 ,5 h) 952 saa

Příklady pro samostatné řešení

Geometrická posloupnost

Součet prvních jedenácti členů GP se rovná 683. Vypočítejte první a poslední člen, když q =1/2.

a1 = 1024; a11 = 1

Vyroste-li z jednoho zrna za rok průměrně 16 zrn, jaké množství zrn vyroste z jednoho zrna za 10 let?

s10 je přibližně 7,33 . 1010 zrn

Návod: Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady součet všech členů dané posloupnosti.

GP o šesti členech má součet všech členů roven 63 a součet sudých členů je 42. Určete tuto GP.a1 = 1; q = 2

Návod: Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady součet všech členů dané posloupnosti.

V sedmičlenné GP je součet prvních tří členů 26 a posledních tří 2 106. Určete tuto GP.GP1: a1 = 2; q = 3

GP 2: a1 = 26/7; q = –3

Mezi kořeny rovnice x2 – 325x + 1 600 = 0 vložte 5 čísel tak, aby vznikla GP.

Mezi kořeny rovnice x2 – 136x + 1 024 = 0 vložte 3 čísla tak, aby vznikla GP.

hledaná pětice: {10; 20; 40; 80; 160}

hledaná trojice: {16; 32; 64}

Mezi čísla 4 a 108 vložte 2 čísla tak, aby s danými čísly tvořila GP.hledaná dvojice: {12; 36}

Určete součet prvních pěti členů GP, jestliže krajní sčítance tvoří čísla 6 a 1 536.2 040

Určete součet prvních čtyř členů GP, jestliže krajní sčítance tvoří čísla 8 a 216. 320

Mezi čísla 2 a 4 096 vložte deset čísel tak, aby s danými čísly tvořila GP. Určete součet vložených členů.4 092

Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila GP a součet vložených členů byl 630.

n = 8: {5; 10; 20; 40; 80; 160; 320; 640}Návod: Opět použijte: qn–1 = qn . q–1, ale zároveň si uvědomte, že součet všech čísel získáme sečtením vložených a krajních členů dohromady, tzn. sn = 630 + a1 + an.

Kvádr, jehož hrany tvoří GP, má povrch 78 cm2 a součet hran, které procházejí jedním vrcholem, je 13 cm. Určete objem kvádru.

V = 27 cm3Návod: V = abc = a1 . a2 . a3 S = 2ab + 2bc + 2ac = 2a1 . a2 + 2a2 . a3 + 2a1 . a3 Nezapomeňte zafixovat délku prostřední hrany, protože pak a1 = a2/q a a3 = a2 . q.

Součet prvních n členů GP je 6 141, první člen je 3 a poslední 3 072. Vypočítejte počet členů součtu a kvocient dané posloupnosti.

q = 2; n = 11Návod: Použijte vzorec pro součet, pro n-tý člen a nezapomeňte, že platí i „staré“ vzorce pro mocniny: qn–1 = qn . q–1.

Součet prvních n členů GP je 16 400, poslední člen je 10 935 a kvocient 3. Vypočítejte počet členů součtu a první člen dané posloupnosti.

a1 = 5, n = 8

Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi členů je 82 krát větší než součet prvních čtyř členů?

Úloha má tři řešeníGP1: q = + 3, a1 R – {0}

GP2: q = – 3, a1 R – {0}

GP3: q = – 1, a1 R – {0}

Návod: s8 = 82 . s4 a q 1 (delší vzorec pro součet), protože pro q = 1 by platilo s8 = 2 . s4.Vzniklou rovnici řešte pomocí substituce: q4 = x.

Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi členů je 17 krát větší než součet prvních čtyř členů?

GP1: q = + 2, a1 R – {0}GP2: q = – 2, a1 R – {0}GP3: q = – 1, a1 R – {0}

Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 31–40

JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5, s. 138–147