Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208

Šablona:

III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_106

Jméno autora: Mgr. Iva Vrbová

Třída/ročník: 3.E/ třetí ročník

Datum vytvoření: 16. 1. 2013

Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení

Tematická oblast: Posloupnosti

Předmět: Matematika

Název učebního materiálu: Vlastnosti posloupností

Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny:

Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část, ale také názorné ukázky

na příkladech.

Klíčová slova: Posloupnost (ryze) monotónní; Posloupnost (ne)rostoucí; Posloupnost (ne)klesající; Posloupnost konstantní;

Posloupnost omezená zdola; Posloupnost omezená shora; Posloupnost omezená; Minimum hodnot; Maximum hodnot

Druh učebního materiálu: prezentace

Vlastnosti posloupností

Stejně jako u funkcí, můžeme u posloupností určovat

monotónnost• ryze monotónní posloupnost

(rostoucí či klesající posloupnost)• monotónní posloupnost,

(neklesající či nerostoucí posloupnost)

omezenost• shora omezená posloupnost,• zdola omezená posloupnost,• posloupnost omezená.

MonotónnostNechť je posloupnost reálných čísel, n N.

Jestliže platí

an < an+1, pak je daná posloupnost rostoucí,

an > an+1, pak je daná posloupnost klesající,

an an+1 , pak je daná posloupnost neklesající,

an an+1 , pak je daná posloupnost nerostoucí,

an = an+1 , pak je daná posloupnost konstantní.

1 nna

1) Posloupnost rostoucí: 1 nn aa

5 ;1 11 aaa nn

následující člen je větší než člen předchozí

například: 16n

n

3

–1

1

0

an

1 2 3 4 5

2

–2

–3

–4

–5

7 8 9 106

... ;2 ;3 ;4 ;5

Každé následující číslo je o jedničku větší:

Najdete rekurentní vzorec pro danou posl.?

2) Posloupnost klesající: 1 nn aa následující člen je menší než člen předchozí

například:

1

2

44

n

4

15 ;

4

1211

a

naa nn

... ;5 ;

4

9 ;0 ;

4

7 ;3 ;

4

15

n

3

–1

1

1 2 3 4 5

2

–2–3–4–5

4

76

an

Jedničku tomu, kdo najde rekurentní vzorec!

3) Posloupnost neklesající: 1 nn aa následující člen je větší nebo roven předchozímu

například: 1

4nn ... 10; ;8 ;6 ;4 ;4 ;4 ;4

n

6

2

0

an

1 2 3 4 5

4

7 8 9 106

8

10

12

4) Posloupnost nerostoucí: 1 nn aa následující člen je menší nebo roven předchozímu

například: 1

6 nn ... ;6;6 ;6;4;2;0 ;2 ;4

n0 1 2 3 4 5

2

–2

–4

–6

4

76

an

8 9 10

5) Posloupnost konstantní: 1 nn aa následující člen je roven předchozímu

například: 11 ... ;1 ;1 ;1 ;1 ;1

n

1

0

an

1 2 3 4 5 7 8 96

OmezenostNechť je posloupnost reálných čísel.

Jestliže existuje m R, že pro každé n N platí:

an m, pak je daná posloupnost zdola omezená.

Jestliže existuje M R, že pro každé n N platí:

an M, pak je daná posloupnost shora omezená,

Jestliže je posloupnost omezená shora i zdola, pak je daná posloupnost omezená.

• existuje takové K R+ (kde K je max. z hodnot |m|,| M|), že pro každé n N platí: |an| K,

• neboli m an M.

1 nna

každý člen je větší než „nějaká“ jistá hodnota

například:

1) Posloupnost zdola omezená: man

142n

m = a1 = – 2

... 6; ;4 ;2 ;0 ;2

n

3

–1

1

0

an

1 2 3 4 5

2

6

45

76

jsme schopni určit minimum ze všech hodnot

hodnoty stále narůstají – maximum neexistuje

–2

každý člen je menší než „nějaká“ jistá hodnota

například:

2) Posloupnost shora omezená:

124

n

Man

... ;1 ;

2

3 ;2 ;

2

5 ;3 ;

2

7

M = a1 = 7/2

n

5/2

13/2

0

an

1 2 3 4 5

2

1/2

3

76

jsme schopni určit maximum ze všech hodnot

hodnoty stále klesají – minimum neexistuje

7/2

8

všechny členy jsou mezi dvěma „nějakými“ jistými hodnotami

například:

3) Posloupnost omezená: Mam n

12

π cos n ... ;0 ;1 ;0 ;1 ;0 ;1 ;0

n0

an

1 2 3 4 5 6 7

m = – 1

M = 11

–1

8

maximum ze všech hodnot

minimum ze všech hodnot

Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 1, s. 7–20

JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5, s. 127–131