ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE · Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Základní výpo...
Transcript of ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE · Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Základní výpo...
Přednáška č. 3
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc.
DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉM Ů
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
1. Úvod
2. Základní výpo čtový model v rotujícím prostoru
3. Základní výpo čtový model rotoru (Laval ův rotor)
4. Ukázka řešených aplikací
OBSAH
• Lagrangeovy rovnice
• Matematický model (pohybové rovnice):
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
• Základní výpočtový model (n = 2) v rotujícím sou řadnicovém systému
• Rotující systémy
• Složky rychlosti tělesa
• Kinetická energie
• Potenciální energie pružin
xyvyxv yx ωω +=−= ɺɺ ,
( ) ( )[ ]22
2
1xyyxmEk ωω ++−= ɺɺ
22
2
1
2
1ykxkE yxp +=
,0=∂
∂+
∂∂−
∂
∂x
E
x
E
x
E
dt
d pkk
ɺ0=
∂∂
+∂
∂−
∂∂
y
E
y
E
y
E
dt
d pkk
ɺ
( ) ,02 2 =−+− xmkymxm x ωωɺɺɺ ( ) 02 2 =−++ ymkxmym y ωωɺɺɺ
Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Přepis do maticového tvaru
• Matematický model v maticovém tvaru
pro
( ) 0qKKqGqM =−++�����
ɺɺɺ d2ωω
[ ] Tyx=q
=
−−
+
−+
0
0
0
0
02
20
0
02
2
y
x
mk
mk
y
x
m
m
y
x
m
m
y
x
ωω
ωɺ
ɺ
ɺɺ
ɺɺ
antisymetrická maticegyroskopických účinků
⇓provázanost pohybu
ve směrech x, y
není pozitivně definitní
⇓
nestabilita
( )⇒∗ ωK
>m
k
m
k yx ,min2ω
Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Základní výpočtový model rotoru (n = 2) v pevném sou řadnicovém systému
(Laval, teorie Jeffcott 1919)• Pohybová rovnice ve vektorovém tvaru (2.NZ)
• Parametry: m … hmotnost kotouček …. příčná tuhost hřídele
... excentricita
• Vztah mezi souřadnicemi středu hmotnosti (těžiště) kotouče S a středu hřídele H
• Matematický model rotoru
Soustava dvou nezávislých ODR 2. řádu
teyy HS ωcos+=
tezz HS ωsin+=
tmekyym HH ωω cos2=+ɺɺtmekzzm HH ωω sin2=+ɺɺ
SHe =
−=−=
=HS
HSS kzzm
kyymFam
ɺɺ
ɺɺ��HORNÍ LOŽISKO
OSA HŘÍDELE
KOTOUČ
SPODNÍ LOŽISKO
Úvod do modelování v mechanice (UMM)• Partikulární řešení pohybových rovnic
dráha středu hřídele je kružnice o poloměru rH
Amplitudy (maximální výchylky)
• Amplitudová charakteristika
• Kritické otáčky (pro ) ∞→= ZY
[ ] ,/ sradm
kkrit =ω
Zmk
meY =
−=
2
2
ωω
⇒==⇒== ZYrtZztYy HHH ωω sin,cos
tmetYktYm ωωωωω coscoscos 22 =+−
[ ]min/30
otn kritkrit ωπ
=
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
� APLIKACE
- Vytvořit model rotujícího olopatkovaného disku rotoru vysokotlakového díluturbíny JE Temelín
- Aplikovat metodu modelování založenou na dekompozici systému na dva subsystémy – disk (ANSYS) a olopatkování (MATLAB), modelování vazebmezi lopatkami a diskem a na redukci počtu stupňů volnosti
- Vyšetřit kmitání lopatek vyvolané proudem páry (MATLAB)
• Kmitání olopatkovaného disku vybuzené aerodynamickýmisilami proudem páry
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
• Schéma olopatkovaného disku
• Global matrix form of the system decomponated into subsystems disk
(D) and blade rim (R)
where matrices of the blade rim are compiled from the blade packet matrices
and vector of the aerodynamic forces is
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
,2
1 1,
1 1,
+
=
+
+
+
+++
∑∑
∑∑
= =
= =
tt
t
t
t
t
t
RC
D
R
Dp
s
b
j
Cjs
R
D
R
Dp
s
b
j R
DCjs
CP
R
D
R
D
f
0
f
f
q
qK
K0
0K
q
q
G0
0GBB
q
q
M0
0M
ωω
ω
ωɺ
ɺ
ɺɺ
ɺɺ
( ) ωKKKG,M,XXXXX ,,,...,,, ,ds
nnPPPR
RRRdiag =∈=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] tiR
TTpP
TP
TPR
ketttt ωfffff == ,2,1, ,....,,
( ) [ ] tiTsjizsjizsjiysjiyjB
keFFiFFt ωψψϕϕ …… ;sincos;sincos; ,,,,, ++=f
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ..,2,1,,,,,,, 3,2,1,, == stttt TTB
TB
TBsP 0f0f0f0f
467,2467,9476,7478,1494,4496,6549,9552,6
661,6664,9742,2744,3831,2835,2969,1970,5
980,2981,0
Centrally clam
ped diskFixed blade rim
Flexible bladed disk
1,21737
11
429,50
1425,9
441,60
0
31747
02,3
456,81
2,3452,5
11
4,51775
24,5
466,62
4,5461,6
22
6,72006
36,7
484,63
6,7479,7
33
82303
0t8,9
541,54
8,9536,9
44
9,102491
410
593,50s
10583,3
605,70
0s
11,122752
1t11,12
655,25
11,12651,2
55
13,143190
513,14
732,61t
13,14734,2
00t
15,163746
2t15,16
827,16
15,16823,6
66
17,184036
617,18
10487
17,18963,7
11
19,248757
3t19,20
10532t
19968,1
974,30
0
21,224979
721,22
13058
20,21974,4
22
νν
νD
dD
dR
dR
d)
3000(
ν f)
0(ν f
)0(
ν f)
0(ν f
Eigenfrequencies of the subsystems and system
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000400
500
600
700
800
900
1000
k=8
9
10
11
12
13
14
151820253035404550k = 54f i [H
z]
ω [RPM]
f21
f20
f19
f18
f17
f16
f15
f14
f13
f12
f11
f10
f9
f8
f7
f6
f5
f4
f3
f2
f1
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
• Campbell ův diagram
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
- Vytvořit model automobilové převodovky Škoda MQ200 při zařazeném 2. převodovém stupni
- Vyvinout metodu modelování založenou na dekompozici systému na 4 subsystémy – hnací hřídel, předlohový hřídel, diferenciál s poloosami (MATLAB) a skříň převodovky (ANSYS)
- Modelovat ložiskové a zubové vazby (MATLAB)
- Vytvořit komplexní model převodovky s redukovaným počtem stupňůvolnosti a využití jej pro výpočet kmitání hřídelů a hluku vyzařovaného stěnami převodové skříně
• Modelování kmitání automobilové p řevodovky vybuzenékinematickými úchylkami p řevodového pom ěru
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Převodovka Škoda MQ200
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
- Rozšířit lineární model převodového ústrojí s ozubenými koly respektovánímnelinearit v ložiskových a zubových vazbách
- Vyvinout metodu modelování rozsáhlých systémů s nelineárními vazbami
- Vyšetřit hraniční křivky mezi lineárním a nelineárním (s rázy) kmitáním převodového ústrojí v závislosti na otáčkách a hnacím momentu motoru (MATLAB)
- Analyzovat vliv nelineárních jevů prostřednictvím fázových trajektoriía bifurkačních diagramů pro deformace ozubení (MATLAB)
• Modelování a po čítačová simulace nelineárních kmit ů
převodových ústrojí v d ůsledku rázových jev ů v ozubení
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Převodovka Škoda MQ200� Stupně volnosti modelu – před kondenzací N1=198, N2=140, N3=36, N4=166816;
po kondenzaci M1=32, M2=28, M3=14, M4=70 ⇒ M=144
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
� Rolling-element bearing model� forces transmitted at the contact
points between rolling element j of the bearing with centre i and the outerrace
where
… rolling-element deflection… parameters depending on
geometry,elastic modulus andPoission’s ratio (Krämer, 1993)
… Heaviside function correcting thecontact forces when the rollingelements are unloaded
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
� Constant gear mesh conditions
Map of constant second gear mesh Map of constant sixth gear mesh
Global map of constant gear mesh
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Bifurkační diagram deformace ozubení
� Influence of nonlinearities
Bifurcation diagram of the second gearing deformation
Phase trajectories of the second gearing deformation
Úvod do modelování v mechanice (UMM)