Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing
Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing
description
Transcript of Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing
![Page 1: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Višetaktna digitalna obradba Višetaktna digitalna obradba signalasignala
Multirate Multirate Digital Signal Digital Signal ProcessingProcessing
![Page 2: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Višetaktna digitalna obradba Višetaktna digitalna obradba signala signala
Temeljne operacije za promjenu frekvencije otipkavanja pretikpkavanje - koristi se za povećanje
frekvencije otipkavanja za cjelobrojni faktor
podotipkavanje – koristi se za smanjenje frekvencije otipkavanja za cjelobrojni faktor
![Page 3: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Pretipkavanje – up-samplingPretipkavanje – up-sampling
opis u vremenskoj domeni pretipkavanje, označeno s cjelobrojnim
faktorom L, generira izlazni niz čija je frekvencija otipkavanja L puta viša od frekvencije otipkavanja ulaznog signala x[n]
blok dijagram je
Lx[n] xprt[n]
![Page 4: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/4.jpg)
4
operacija pretipkavanja realizira se umetanjem L-1 jednoliko razmaknutih uzoraka vrijednosti nula između dva susjedna uzorka x[n]
PretipkavanjePretipkavanje
ulazno izlazna relacija
[ / ], 0, , 2 ,[ ]
0, inačeprt
x n L n L Lx n
![Page 5: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/5.jpg)
5
primjer pretipkavanje sinusnog niza frekvencije 0.12 Hz za faktor 3
PretipkavanjePretipkavanje
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.5
0
0.5
1Ulazni niz
Korak n
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.5
0
0.5
1Izlazni niz - pretipkavanje ulaznog niza za faktor 3
Korak n
Am
plitu
da
![Page 6: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/6.jpg)
6
u praksi se, u postupku pretipkavanja, uzorci vrijednosti nula zamjenjuju s odgovarajućim uzorcima različitim od nule - interpolacija - a što se postiže postupkom filtriranja
PretipkavanjePretipkavanje
![Page 7: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Podotipkavanje Podotipkavanje ((Down-SamplingDown-Sampling))
opis u vremenskoj domeni podotipkavanjem, označenim s cjelobrojnim
faktorom M, generira se izlazni niz čija je frekvencija otipkavanja M puta niža od frekvencije otipkavanja ulaznog signala x[n]
blok dijagram je
Mx[n] xpdt[n]
![Page 8: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/8.jpg)
8
operacija podotipkavanja realizira se zadržavanjem svakog M-tog uzorka x[n] te uklanjanjem preostalih M-1 uzoraka između njih
PodotipkavanjePodotipkavanje
[ ] [ ]pdtx n x nM
ulazno izlazna relacija
![Page 9: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/9.jpg)
9
primjer podotipkavanja sinusnog niza frekvencije 0.12 Hz za faktor 3
PodotipkavanjePodotipkavanje
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
Ulazni niz
Korak n
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-1
-0.5
0
0.5
1
Izlazni niz - podotipkavanjem za faktor 3
Am
plitu
da
Korak n
![Page 10: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/10.jpg)
10
period otipkavanja nije posebno naznačavan u blok dijagramima za operacije podotipkavanja i pretipkavanja to je uobičajeni način prikaza višetaktnih sustava no pri tome se mora voditi računa o frekvenciji otipkavanja svakog od podsustava eksplicitno se frekvencija otipkavanja naznačuje na slijedeći način:
PodotipkavanjePodotipkavanje
![Page 11: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Podotipkavanje Podotipkavanje ((Down-SamplingDown-Sampling))
Mx[n]= xa(nT) xpdt[n]= xa(nMT)
frekvencija otipkavanjaulaznog niza
frekvencija otipkavanjaizlaznog niza
1TF
T
1TT
FF
M T
![Page 12: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Pretipkavanje Pretipkavanje ((Up-SamplingUp-Sampling))
frekvencija otipkavanjaulaznog niza
frekvencija otipkavanjaizlaznog niza
1TF
T
1T TF LF
T
Lx[n]= xa(nT)( / ), 0, , 2 ,
0 inačeax nT L n L L
y[n]
![Page 13: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Značajke blokova za promjenu Značajke blokova za promjenu frekvencije otipkavanjafrekvencije otipkavanja
blokovi za podotipkavanje odnosno pretipkavanje su linearni ali vremenski promjenljivi vremenski diskretni sustavi
ovdje ćemo pokazati vremensku varijantnost bloka za podotipkavanje
![Page 14: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Značajke blokova za promjenu Značajke blokova za promjenu frekvencije otipkavanjafrekvencije otipkavanja
neka je M faktor podotipkavanja bloka za podotipkavanje opisanog s y[n]=x[nM] njegov izlaz y1[n] na pobudu x1[n]= x[n-n0] je
1 1 0y n x Mn x Mn n
iz ulazno izlazne relacije bloka za podotipkavanje
0 0 0 1y n n x M n n x Mn Mn y n
![Page 15: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/15.jpg)
15
PretipkavanjePretipkavanje
opis u frekvencijskoj domeni razmotrimo pretipkavanje za faktor 2
[ / 2], 0, 2, 4,[ ]
0, inačeprt
x n nx n
![Page 16: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/16.jpg)
16
PretipkavanjePretipkavanje primjenom z - transformacije
2 2
( ) [ ] [ / 2]
[ ]
n nprt prt
n n
m
m
X z x n z x n z
x m z X z
![Page 17: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/17.jpg)
17
PretipkavanjePretipkavanje na sličan način može se pokazati da vrijedi
( ) LprtX z X z
isto tako na jediničnoj kružnici, za z=ejω, vrijedi
( )j j LprtX e X e
![Page 18: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/18.jpg)
18
PretipkavanjePretipkavanje
za L=2 slijedi
( )jX e
π
π
2π 3π-π-2π
-2π -π 2π 3ππ/2-π/2
ω
ω
2( )j jprtX e X e slika
![Page 19: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/19.jpg)
19
PretipkavanjePretipkavanje
kako je pokazano pretipkavanje (povećanje frekvencije otipkavanja) za faktor L=2 rezultira u kompresiji X(ejω) za faktor 2 te njegovom dvostrukom ponavljanju u osnovnom intervalu [0, 2π]
ovaj proces naziva se zrcaljenje budući da dobivamo dodatnu sliku (odraz) ulaznog spektra
![Page 20: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/20.jpg)
20
PretipkavanjePretipkavanje
slično i u slučaju pretipkavanja za faktor L postoji L-1 dodatnih slika ulaznog signala u osnovnom intervalu
filtriranjem xprt[n] s niskopropusnim filtrom uklanja se L-1 slika što kao efekt ima “upotpunjavanje” uzoraka vrijednosti nula u xprt[n] s interpoliranim vrijednostima uzoraka
![Page 21: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/21.jpg)
21
PretipkavanjePretipkavanje
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
daSpektar ulaznog signala
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=2
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=3
-1 -0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=4
![Page 22: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/22.jpg)
22
PretipkavanjePretipkavanje
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar ulaznog signala
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=2
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=3
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za L=4
![Page 23: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/23.jpg)
23
PodotipkavanjePodotipkavanje
opis u frekvencijskoj domeni razmotrimo podotipkavanje za faktor M
[ ]y n x Mn
primjenom z - transformacije
( ) [ ] n
n
Y z x Mn z
uvodi se pomoćni niz xpom[n]
![Page 24: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/24.jpg)
24
PodotipkavanjePodotipkavanje
[ ], 0, , 2 ,[ ]
0, inačepom
x n n M Mx n
xpom[n] se definira kao
/ 1/
( ) [ ] [ ]
[ ] ( )
n npom
n n
k M Mpom pom
k
Y z x Mn z x Mn z
x k z X z
tada je
![Page 25: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/25.jpg)
25
PodotipkavanjePodotipkavanje
[ ] [ ] [ ]pomx n c n x n
veza xpom[n] s x[n] se može definirati i kao
1, 0, , 2 ,[ ]
0, inače
n M Mc n
gdje je
![Page 26: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/26.jpg)
26
PodotipkavanjePodotipkavanje
21 1
0 0
1 1[ ]
knM Mj knMM
k k
c n e WM M
c[n] je pogodno prikazati kao
pa je
1
0
1[ ]
Mkn
pom Mk
x n x n c n x n WM
![Page 27: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/27.jpg)
27
PodotipkavanjePodotipkavanje
1
0
1 1
0 0
1( ) [ ] [ ] [ ]
1 1 [ ]
Mn kn n
pom Mn n k
M Mkn n k
M Mk n k
X z c n x n z W x n zM
x n W z X zWM M
slijedi
![Page 28: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/28.jpg)
28
PodotipkavanjePodotipkavanje
razmotrimo podotipkavanje za faktor M=2 ulaznog signala x[n] čije je spektar prikazan slikom
1/
1
0
( ) ( )
1( )
Mpom
Mk
pom Mk
Y z X z
X z X zWM
za M=2 iz
π 2π 3π-π-2π ω
( )jX e
![Page 29: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/29.jpg)
29
PodotipkavanjePodotipkavanje
12
1 1( )
2 2pomX z X z X zW X z X z
i iz 1/ 2( ) ( )pomY z X z
slijedi 1 2 1 21( )
2Y z X z X z
pa je 2 21( )
2j j jY e X e X e
![Page 30: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/30.jpg)
30
PodotipkavanjePodotipkavanje
iz 2 ( 2 ) / 2j jX e X e
slijedi
2 ( 2 ) / 21( )
2j j jY e X e X e
dakle, drugi član je dobiven pomakom prvog člana za 2π na desno
![Page 31: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/31.jpg)
31
PodotipkavanjePodotipkavanje
π 2π 3π-π-2π ω
( )jX e
π 2π 3π-π-2π ω
2 ( )jY e
π 2π 3π-π-2π ω
2( )jX e 2( )jX e
2 ( 2 ) / 21( )
2j j jY X e X ee
aliasing aliasing
![Page 32: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/32.jpg)
32
PodotipkavanjePodotipkavanje
-2 -1 0 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar ulaznog signala
-2 -1 0 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=2
-2 -1 0 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=3
-2 -1 0 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=4
![Page 33: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/33.jpg)
33
PodotipkavanjePodotipkavanje
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar ulaznog signala
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=2
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=3
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/
Am
plitu
da
Spektar izlaznog signala za M=4
![Page 34: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Ekvivalencije kaskadnih spojevaEkvivalencije kaskadnih spojeva
složeni višetaktni sustavi grade se spajanjem komponenti za podotipkavanje i pretipkavanje te komponenti koje predstavljaju vremenski stalne digitalne filtre
u mnogim primjenama koristi se kaskadni spoj
zamjenom redoslijeda komponenti u kaskadnom spoju često se dolazi do numerički efikasnijih realizacija
![Page 35: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Ekvivalencije kaskadnih spojevaEkvivalencije kaskadnih spojeva
da bi se realizirala necjelobrojna promjena takta koristi se kaskada blokova za podotipkavanje i pretipkavanje
dva su moguća kaskadna spoja
Lx[n] M y1[n]
Mx[n] L y2[n]
![Page 36: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/36.jpg)
36
0 10 20 300
1
2
3
4
5Ulazni niz
Am
plitu
da
0 10 20 300
1
2
3
4
5Pretipkavanje ul. niza za faktor 3
Am
plitu
da
0 10 20 300
1
2
3
4
5Podotipkavanje pom. niza za faktor 2
Am
plitu
da
Korak n
0 10 20 300
1
2
3
4
5Ulazni niz
0 10 20 300
1
2
3
4
5Podotipkavanje ul. niza za faktor 2
0 10 20 300
1
2
3
4
5Pretipkavanje pom. niza za faktor 3
Korak n
L
x[n]
M
y1[n]
M
x[n]
L
y2[n]
![Page 37: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Ekvivalencije kaskadnih spojevaEkvivalencije kaskadnih spojeva
redoslijed bloka za podotipkavanje s faktorom M i bloka za pretipkavanjem s faktorom L u kaskadnom spoju je slobodan, dakle, vrijedi
onda i samo onda ako M i L nemaju zajednički faktor koje je cjelobrojan i veći od jedan
1 2y n y n
![Page 38: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Filtri u višetaktnoj obradbi signalaFiltri u višetaktnoj obradbi signala
ako spektar kritično otipkanog signala zauzima cijelo Nyquist-ovo područje daljnja redukcija frekvencije otipkavanja nije moguća zbog pojave aliasinga
prema tome, frekvencijsko područje kritično otipkanog signala mora, prije podotipkavanja, biti reducirano niskopropusnim digitalnim filtrom
![Page 39: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Filtri u višetaktnoj obradbi signalaFiltri u višetaktnoj obradbi signala
isto tako uzorci vrijednosti nula generirani postupkom pretipkavanja trebaju biti interpolirani s odgovarajućim vrijednostima za primijenjeno povećanje frekvencije otipkavanja
pokazuje se da se ova interpolacija jednostavno postiže filtriranjem niskopropusnim digitalnim filtrom
![Page 40: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Zahtjevi na filtarZahtjevi na filtar
postupkom pretipkavanja periodički se ponavlja temeljni spektar signala i neželjene slike u spektru pretipkanog signala xprt[n] trebaju biti uklonjene primjenom niskopropusnog filtra H(z) – inetrpolacijskog filtra
gornji sustav se naziva interpolator
x[n] y [n]H(z)Lxprt [n]
![Page 41: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Zahtjevi na filtarZahtjevi na filtar
gornji sustav se naziva decimator
x[n] y [n]H(z) M
s druge strane, prije postupka podotipkavanja, ulazni signal treba frekvencijski primjenom niskopropusnog digitalnog filtra ograničiti na područje / M tako primijenjeni niskopropusni filtar se tada naziva decimacijski filtar
![Page 42: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Zahtjevi na interpolacijski filtarZahtjevi na interpolacijski filtar
T0 je period otipkavanja
pretpostavimo da je x[n] rezultat otipkavanje vremenski kontinuiranog signala xa(t) s maksimalnom frekvencijom otipkavanja koja zadovoljava teorem otipkavanja neka su Xa(jΩ) i X(ejω) Fourierove transformacije gornjih signala i možemo pisati
0 0
1 2( )j
ak
j j kX e X
T T
![Page 43: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Zahtjevi na interpolacijski filtarZahtjevi na interpolacijski filtar budući je signal otipkan frekvencijom otipkavanja koja zadovoljava teorem opitpkvanja ne postoji preklapanje između pomaknutih spektara X(jω/T0)
ako se signal xa(t) otipka s puno višom frekvencijom otipkavanja T=T0/L dobivamo signal y[n] čija Fourierova transformacija Y(ejω) je vezana s Xa(jΩ) na slijedeći način
o o
1 2 2( )
/j
a ak k
j j k L j j kY e X X
T T T T L
![Page 44: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Zahtjevi na interpolacijski filtarZahtjevi na interpolacijski filtar
s druge strane ako se signal x[n] pretipka s faktorom L generira se signal xprt[n] pri čemu je odnos njihovih spektara dan s
iz toga slijedi kako će xprt[n] propušten kroz idealni niskopropusni filtar H(z) s graničnom frekvencijom na π/L i pojačanjem L biti identičan y[n]
( ) ( )j j LprtX e X e
![Page 45: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Zahtjevi na interpolacijski filtarZahtjevi na interpolacijski filtar
uporabom realnih filtara (tako osiguravamo ostvarivost i stabilnost), potrebno je uzeti u obzir prijelazno područje filtra
željeni niskopropusni filtar treba stoga imati graničnu frekvenciju pojasa gušenja ωs = π/L i graničnu frekvenciju pojasa propuštanja ωp što je moguće bližu ωs kako bi se reducirala distorzija spektra x[n]
![Page 46: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Zahtjevi na interpolacijski filtarZahtjevi na interpolacijski filtar
ako je ωc najviša frekvencija u x[n] koja treba biti očuvana tada je
zaključno: specifikacije na niskopropusni interpolacijski filtar su prema tome
/p c L
, /( )
0, /cj L L
H eL
![Page 47: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Zahtjevi na decimacijski filtarZahtjevi na decimacijski filtar
na sličan način definiraju se specifikacije za niskopropusni decimacijski filtar
1, /( )
0, /cj M
H eM
niskopropusni decimacijski i interpolacijski filtri mogu biti IIR ili FIR filtri i projektiraju su uobičajenim postupcima
![Page 48: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Filtri za necjelobrojnu promjenu Filtri za necjelobrojnu promjenu taktatakta
necjelobrojna promjena takta postiže se kaskadnim spojem decimatora za faktor M i interpolatora za faktor L, pri čemu su M i L cijeli brojevi
ovakva kaskada ekvivalentna je decimatoru s decimacijskim faktorom M/L ili interpolatoru s interpolacijskim faktorom L/M
![Page 49: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Filtri za necjelobrojnu promjenu Filtri za necjelobrojnu promjenu taktatakta
dva su moguća kaskadna spoja
Hd(z) M Hi(z)L
Hd(z) MHi(z)L
drugi spoj je efikasniji u realizaciji jer je dovoljan samo jedan od filtara Hi(z) ili Hd(z) koji može poslužiti i kao interpolacijski i decimacijski filtar
![Page 50: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Filtri za necjelobrojnu promjenu Filtri za necjelobrojnu promjenu taktatakta
željena konfiguracija za necjelobrojnu promjenu takta je prema tome
MH (z)L
pri čemu je granična frekvencija pojasa gušenja niskopropusnog filtra H (z) dana s
min ,s L M
![Page 51: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
već je kazano decimacijski ili interpolacijski filtri mogu biti realizirani ili kao FIR ili IIR filtri
u slučaju jednotaktne obradbe signala IIR filtri su u principu pogodniji od FIR filtara u pogledu broja potrebnih operacija pa time i efikasniji u primjeni tomu nije tako u slučaju višetaktne obrade signala
![Page 52: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
razmotrimo decimator za faktor M
ako je decimacijski filtar H(z) FIR filtar duljine N u direktnoj realizaciji tada vrijedi
H (z) Mx[n] v[n] y[n]
1
0
[ ] [ ] [ ]N
m
v n h m x n m
![Page 53: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
kako blok za podotipkavanje zadržava samo svaki M – ti uzorak dovoljno je u izračunavanju v[n] izračunavati samo uzorke od n koji su višekratnici od M dok se izračunavanja za preostale uzorke mogu jednostavno preskočiti
ovo vodi za uštedama u izračunavanju za faktor M
![Page 54: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
neka je H(z) IIR filtar reda K s prijenosnom funkcijom
gdje su
( ) ( )( )
( ) ( )
V z B zH z
X z A z
0
( )K
nn
n
B z b z
1
( ) 1K
nn
n
A z a z
![Page 55: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
direktna realizacija ovog filtra opisuje se s
kako se v[n] podotipkava s faktorom M dovoljno je izračunavati v[n] samo za vrijednosti n koje su cjelobrojni višekratnik od M
1 2
0 1
[ ] [ 1] [ 2]
...... [ ] [ ]
[ ] [ ] [ 1] [ ]K
K
w n a w n a w n
a w n K x n
v n b w n b w n b w n K
![Page 56: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
međutim, varijable stanje w[n] moraju biti izračunavane za svaki n
sukladno tome ušteda u broju operacija će svakako biti manja od faktora M
0 1[ ] [ ] [ 1] [ ]Kv M b w M b w M b w M K
tako, na primjer, u izračunavanju
još uvijek je nužno izračunati svih K+1vrijednosti w[n]
![Page 57: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
primjer – kompariramo broj računskih operacija za različite realizacije decimatora za faktor M
uspoređujemo broj množenja po sekundi, RM, za različite načine izvedbe algoritma decimiranja
neka je frekvencija otipkavanja FT
![Page 58: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
FIR H(z) duljine N: ,R M FIR TN F
FIR H(z) duljine N u kaskadi s blokom za podotipkavanje: ,R /M FIR DEC TN F M
IIR H(z) reda K: ,R (2 1)M IIR TK F
IIR H(z) reda K u kaskadi s blokom za podotipkavanje:
,R ( 1) /M IIR DEC T TK F K F M
![Page 59: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
u slučaju FIR filtara ušteda u broju množenja je faktor M
u slučaju IIR filtara ušteda u broju množenja je za faktor M(2K+1)/[(M+1)K+1] što nije značajno za velike K
za M=10 i K=9 ušteda je samo za faktor 1,9
dakako, postoje izvjesni slučajevi kada će se primjena IIR filtara pokazati efikasnijom
![Page 60: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Zahtjevi na broj operacijaZahtjevi na broj operacija
slična argumentacija vrijedi u razmatranju filtara za interpolaciju
ako je H(z) FIR interpolacijski filtar tada je ušteda u broju računskih operacija za faktor L ( budući je v[n] ima L-1 nula između uzoraka različitih od nula)
i ovdje se pokazuje da su za IIR filtre moguće uštede u broju operacije znatno manje
![Page 61: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
funkcija decimate koristi se za redukciju frekvencije otipkavanja vektora ulaznog signala x za cjelobrojni faktor M
primjer programa za decimaciju niza za faktor M
primjenjuje se oblik funkcijey = decimate(x,M,'fir')
![Page 62: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
ovaj oblik funkcije decimate podrazumijeva podotipkavanje za faktor M primjenu niskopropusnog FIR filtra projektiranog uz pomoć MATLAB funkcije FIR1(30,1/M) – 30 uzoraka filtra i granična frekvencija 1/M koja ako nije drukčije naznačeno koristi Hamming-ov otvor
![Page 63: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
% Program Primjer_6% Ilustracija postupka decimacijeclf;M = input('Faktor decimacije = ');n = 0:99;x = sin(2*pi*0.043*n)+ sin(2*pi*0.031*n);y = decimate(x,M,'fir');subplot(2,1,1);stem(n,x(1:100));title('Ulazni niz');ylabel('Amplituda');subplot(2,1,2);m = 0:(100/M)-1;stem(m,y(1:100/M));title('Izlazni niz nastao decimacijom za faktor M');xlabel('Korak n');ylabel('Amplituda');
![Page 64: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2Ulazni niz
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 30 35-2
-1
0
1
2Izlazni niz nastao decimacijom za faktor 3
Korak n
Am
plitu
da
![Page 65: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Ulazni niz
Am
plitu
da
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1Izlazni niz nastao decimacijom za faktor 5
Korak n
Am
plitu
da
![Page 66: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
funkcija interp koristi se za povećanje frekvencije otipkavanja vektora ulaznog signala x za cjelobrojni faktor L
primjer programa za interpolaciju niza za faktor L
![Page 67: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/67.jpg)
67
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2
-1
0
1
2Ulazni niz
Am
plitu
da
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2Izlazni niz nastao interpolacijom za faktor 2
Korak n
Am
plitu
da
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
![Page 68: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/68.jpg)
68
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.5
0
0.5
1Ulazni niz
Am
plitu
da
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1Izlazni niz nastao interpolacijom za faktor 2
Korak n
Am
plitu
da
![Page 69: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
funkcija resample koristi se za promjenu frekvencije otipkavanja vektora ulaznog signala x za faktor L/M
kao filtar koristi se FIR filtar projektiran korištenje fir1 s Kaiserovim otvorom
![Page 70: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.5
0
0.5
1Ulazni niz
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1Izlazni niz nastao promjenom takta za faktor L/M
Korak n
Am
plitu
da
L/M=5/7
![Page 71: Višetaktna digitalna obradba signala Multirate Digital Signal Processing](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814ace550346895db7e889/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Promjena takta korištenjem Promjena takta korištenjem MATLAB-aMATLAB-a
% Program_8 - Ilustracija promjene takta za faktor L/Mclf;L = input('Faktor pretipkavanja = ');M = input('Faktor podotipkavanja = ');% Generiranje ulaznog nizan=0:49;f=.025;arg=2*pi*f*n;x=sawtooth(arg,.3);% Genreriranje interpoliranog izlaznog nizay = resample(x,L,M);% Prikaz ulaznog i izlaznog nizasubplot(2,1,1);stem(n,x(1:50));title('Ulazni niz');ylabel('Amplituda');subplot(2,1,2);m = 0:(50*L/M)-1;stem(m,y(1:50*L/M));axis([0 50*L/M -1 1]); title('Izlazni niz nastao promjenom takta za faktor L/M');xlabel('Korak n'); ylabel('Amplituda');