Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr
Transcript of Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr
![Page 1: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/1.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Digitalna obradba signala
ProfesorBranko Jeren
11. listopada 2007.
1
![Page 2: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/2.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Otipkavanje vremenski kontinuiranog signala
• aperiodicni diskretni signal mozemo generirati izkontinuiranog aperiodicnog signala postupkom otipkavanja
• pokazuje se da je postupak otipkavanja ekvivalentanamplitudnoj modulaciji periodicnog niza impulsa
• signal x(t), koji se otipkava, mnozi se s nizom Diracovih δimpulsa kako bi se generirao novi signal xs(t)
xs(t) = x(t)combTs (t) = x(t)∞∑
n=−∞δ(t − nTs) =
=∞∑
n=−∞x(nTs)δ(t − nTs)
• postupak uzimanja uzoraka ili otipkavanja vremenskikontinuiranog signala mozemo interpretirati kaopridruzivanje, funkciji x(t), niza impulsa ciji je intenzitetproporcionalan njezinim vrijednostima na mjestu impulsa
2
![Page 3: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/3.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Otipkavanje vremenski kontinuiranog signala
3 sT− sT− sT 3 sT 5 sT5 sT−
( )sx t( )x t
t t
×
3 sT− sT− sT 3 sT 5 sT5 sT−
( )sT
comb t
t
(1)
3
![Page 4: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/4.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Spektar otipkanog signala
• odreduje se spektar signala xs(t)
• prije je pokazano kako periodicni niz Diracovih δ impulsamozemo prikazati Fourierovim redom
combTs (t) =1
Ts
∞∑k=−∞
e jkΩs t , Ωs =2π
Ts
pa xs(t) prelazi u
xs(t) = x(t)∞∑
n=−∞δ(t − nTs) = x(t)
1
Ts
∞∑k=−∞
e jkΩs t =
=1
Ts
∞∑k=−∞
x(t)e jkΩs t
4
![Page 5: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/5.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Spektar otipkanog signala
• primjenom svojstva frekvencijskog pomaka, mnozenje se jkΩs t u vremenskoj domeni rezultira u frekvencijskompomaku,
Xs(jΩ) =1
Ts
∞∑k=−∞
X (j(Ω− kΩs))
• do istog rezultata dolazi se primjenom svojstva mnozenja uvremenskoj domeni tj. konvolucije u frekvencijskoj domeni
• prije je pokazano kako je
FcombTs (t) =2π
Ts
∞∑k=−∞
δ(Ω− k2π
Ts)
5
![Page 6: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/6.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Spektar otipkanog signala
• pa je Fourierova transformacija produktaxs(t) = x(t)combTs (t)
Xs(jΩ) =1
2πX (jΩ) ∗ 2π
Ts
∞∑k=−∞
δ(Ω− k2π
Ts) =
=1
Ts
∞∑k=−∞
X (j(Ω− k2π
Ts)) =
1
Ts
∞∑k=−∞
X (j(Ω− kΩs))
• zakljucuje se kako Fourierova transformacija niza Diracovihδ impulsa, moduliranog s x(t), je periodicni kontinuiranispektar koji je nastao periodicnim ponavljanjem X (jΩ)
• slijedi prikaz postupka odredivanja spektra, koristenjemsvojstva mnozenja u vremenskoj domeni
6
![Page 7: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/7.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Otipkavanje vremenski kontinuiranog signala
sΩ
sΩ
s MΩ +Ω64748
s MΩ −Ω64748
2 sΩ
2 sΩs−Ω
s−Ω
0
00 MΩM−Ω
( )X jΩ1 sT
( )1( ) ( )s sks
X j X j kT
∞
=∞
Ω = Ω − Ω∑
( )2s
ks
kTπ δ
∞
=∞
Ω − Ω∑
1
∗ 1 2π
Ω
Ω
Ω
7
![Page 8: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/8.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Spektar otipkanog signala
• razmotrimo jos jednom postupak “otipkavanja”postupkom modulacije niza Diracovih δ impulsa svremenski kontinuiranim signalom x(t)
xs(t) = x(t)combTs (t) =∞∑
n=−∞x(nTs)δ(t − nTs)
• rezultirajuci xs(t) je niz δ impulsa ciji su intenziteti(povrsine) jednake vrijednostima x(t) u trenucimatn = nTs
• ako izdvojimo vrijednosti ovih impulsa i slozimo ih u niznastaje vremenski diskretan niz uzoraka x(n) = x(nTs)
• zato mozemo kazati kako signal xs(t) predstavlja rezultatotipkavanja vremenski kontinuiranog signala x(t)
8
![Page 9: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/9.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Otipkavanje vremenski kontinuiranog signala
( ( ))sx T
( (2 ))sx T
( (3 ))sx T
( (4 ))sx T ( (5 ))sx T( (6 ))sx T
( (0))x( ( ))sx T−
( ( 2 ))sx T−
( ( 3 ))sx T−
( ( 4 ))sx T−
sT−2 sT−3 sT−4 sT− sT 2 sT4 sT 5 sT 6 sT
0 t
65432101−2−3−4− 7
(6)x(5)x(4)x
(3)x
(2)x
(1)x
(0)x( 1)x −
( 2)x −
( 3)x −
( 4)x −
( ) ( )s sx n x nT=
( ) ( ) ( )ss Tx t x t comb t=
n
9
![Page 10: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/10.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih signala
• pokazano je kako je spektar otipkanog signala periodican
• isto tako, pokazana je veza otipkanog vremenskikontinuiranog signala i diskretnog signala, x(n) = x(nTs),pa se zakljucuje kako je spektar periodican i jasno je da je,ali sada spektar, moguce prikazati s Fourierovim redom
• prije je pokazana veza frekvencijske karakteristike iimpulsnog odziva diskretnog sustava
H(e jω) =∞∑
m=−∞h(m)e−jωm
• pokazano, je nadalje, kako je frekvencijska karakteristikaperiodicna s periodom 2π
10
![Page 11: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/11.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala
• iz svega kazanog mozemo, za bilo koji diskretni signal1
x(n), definirati Fourierovu transformaciju, vremenskidiskretnih aperiodicnih signala, koja se prema engleskomnazivu naziva i DTFT – discrete–time Fourier transform
X (e jω) =∞∑
n=−∞x(n)e−jωn, ω ∈ Realni
• zakljucujemo kako je spektar• kontinuiran zbog aperiodicnosti signala u vremenskoj
domeni• periodican s periodom 2π jer je signal diskretan u
vremenskoj domeni
1za signale x i frekvencije ω za koje suma konvergira, sto je za gotovosve prakticne primjene, pa problem konveregencije ovdje ne razmatramo
11
![Page 12: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/12.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala
• kako je spektar periodican, izraz za DTFT predstavljaFourierov red, a x(n) koeficijente tog Fourierovog reda
X (e jω) =∞∑
n=−∞x(n)e−jωn, ω ∈ Realni
• koeficijente Fourierovog reda, dakle x(n), odredujemo,slicnim izvodom kao i prije u slucaju Fourierovog redaperiodicnih kontinuiranih signala, iz
x(n) =1
2π
∫ π
−πX (e jωn)e jωndω
sto predstavlja inverznu DTFT, dakle, inverznu Fourierovutransformaciju aperiodicnih diskretnih signala
12
![Page 13: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/13.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala
• zakljucno, par za Fourierovu transformaciju aperiodicnihvremenski diskretnih signala je
X (e jω) =∞∑
n=−∞x(n)e−jωn
x(n) =1
2π
∫ π
−πX (e jωn)e jωndω
• Parsevalova jednakost za aperiodicne diskretne signalekonacne energije je2
Ex =∞∑
n=−∞|x(n)|2 =
1
2π
∫ π
−π|X (e jω)|2dω
2izvod slican kao i u prijasnjim slucajevima13
![Page 14: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/14.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala – primjer
• odreduje se Fourierova transformacija aperiodicnogpravokutnog impulsa zadanog kao
x(n) =
A, 0 ≤ n ≤ L− 10, za ostale n
65432101−2−3−4− 7
( )x n
n
115
AL==
X (e jω) =∞∑
n=−∞x(n)e−jωn =
L−1∑n=0
Ae−jωn = A1− e−jωL
1− e−jω=
= Ae−j ω2(L−1) sin
(ωL2
)sin
(ω2
)• pa su amplitudni (paran jer je signal realan) i fazni spektar
(neparan jer je signal realan) kontinuirani i periodicni14
![Page 15: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/15.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala – primjer
X (e jω) =
|A|L ω = 0
|A|| sin(ωL2 )
sin(ω2 )| inace
∠X (e jω) = ∠A−ω
2(L−1)+
+ ∠sin
(ωL2
)sin
(ω2
)π
π−π−2π−3π− π 2π 3π0
ω →
π−2π− πω →
3π− 3π2π0
5AL =| ( ) |jX e ω
15
AL==
( )jX e ω∠
0
15
![Page 16: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/16.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• pokazano je kako je Fourierov red za vremenskikontinuiran periodican signal x(t), perioda T0,
x(t) =∞∑
k=−∞Xke jkΩ0t
• signal x(t) je prikazan beskonacnim brojem frekvencijskihkomponenti i njegov je spektar diskretan, pri cemu jerazmak izmedu susjednih komponenti 2π
T0
16
![Page 17: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/17.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• s druge strane, povezujuci kazano za periodicne i diskretnesignale, vrijedi
• DISKRETAN periodicni signal x(n) = x(n + N) imaPERIODICAN spektar (zbog diskretnosti signala uvremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih 2π ⇒ podrucjefrekvencija je (−π, π) ili (0, 2π)
• diskretni PERIODICAN signal x(n) = x(n + N) imaDISKRETAN spektar (zbog periodicnosti signala uvremenskoj domeni) pri cemu je razmak izmedu susjednihfrekvencijskih kompnonenti 2π
N radijana ⇒ Fourierov red zaperiodicni diskretni signal sadrzava najvise N frekvencijskihkomponenti
• dakle, za diskretni periodicni signal x(n) = x(n + N),perioda N, Fourierov red sadrzi N harmonicki vezanihkompleksnih eksponencijalnih funkcija
e jk 2πN
n, k = 0, 1, . . . ,N − 1
17
![Page 18: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/18.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• iz svega kazanog slijedi
x(n) =N−1∑k=0
Xke jk 2πN
n, n = 0, 1, . . . ,N − 1
sto je Fourierov red za vremenski diskretan periodicnisignal ili, prema engleskoj terminologiji DTFS –discrete–time Fourier series
• koeficijente Fourierovog reda, izvod slican izvodu zakontinuirane signale, izracunavamo iz
Xk =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−jk 2πN
n, k = 0, 1, . . . ,N − 1
18
![Page 19: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/19.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• iz izraza za koeficijente Fourierovog reda
Xk =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−jk 2πN
n, k = 0, 1, . . . ,N − 1
zakljucujemo kako koeficijenti Fourierovog reda Xk
omogucuju prikaz x(n) u frekvencijskoj domeni, tako daXk predstavljaju amplitudu i fazu vezanu uz frekvencijske
komponente e jk 2πN
n = e jωkn gdje je ωk = k 2πN
19
![Page 20: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/20.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• slijedi vazno svojstvo periodicnosti Xk
• spektar diskretnog signala je periodican sto vrijedi i za Xk
koji je periodican s osnovnim periodom N
Xk+N =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−j(k+N) 2πN
n =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−jk 2πN
n = Xk
pa zakljucujemo:
• spektar periodicnog diskretnog signala x(n), osnovnogperioda N, je periodican niz s periodom N, sto znaci dabilo kojih N susjednih uzoraka signala ili njegova spektrasu dovoljni za potpuni opis signala u vremenskoj ilifrekvencijskoj domeni
20
![Page 21: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/21.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih periodicnihsignala
• zakljucno, par za Fourierovu transformaciju periodicnihvremenski diskretnih signala je
Xk =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−jk 2πN
n, k = 0, 1, . . . ,N − 1
x(n) =N−1∑k=0
Xke jk 2πN
n, n = 0, 1, . . . ,N − 1
• Parsevalova jedankost za periodicne diskretne signale3
Px =1
N
N−1∑n=0
|x(n)|2 =N−1∑k=0
|Xk |2
3izvod slican kao i u prijasnjim slucajevima21
![Page 22: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/22.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala – primjer
• odreduje se Fourierova transformacija periodicnogpravokutnog impulsa zadanog kao
510− 0
( )x n
n10 15 205−15−
N− N L− + L N N L+20−
Xk =1
N
N−1∑n=0
x(n)e−jk 2πN
n =1
N
L−1∑n=0
Ae−jk 2πN
n =
=
ALN k = 0
AN
1−e−jk 2πN
L
1−e−jk 2πN
k = 1, 2, . . . ,N − 1
22
![Page 23: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/23.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih aperiodicnihsignala – primjer
Xk =
ALN k = 0,±N,±2N, . . .
AN e−jk π
N(L−1) sin(k π
NL)
sin(k πN )
inace
0.25ALN
=
π
π−
1520
ALN
===
k →
k →302010010−20−30−
302010010−20−30−
23
![Page 24: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/24.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierova transformacija vremenski diskretnih signala –primjer
• usporeduju se spektri vremenski diskretnih aperiodicnih iperiodicnih signala
• moze se uociti kako je Xk = 1N X (k 2π
N ), dakle, spektarperiodicnog signala mozemo promatrati kao frekvencijskiotipkani spektar aperiodicnog signala
2010010−20−30−
2010010−20−30−
π−2π−3π− π 2π0
π−2π−3π− π 2π0
ω →
ω →
k →
k →
π
π
π−
π−
15
AL==
1520
ALN
===
24
![Page 25: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/25.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierove transformacije
( ) ( ) j tX j x t e dt∞
− Ω
−∞
Ω = ∫
1( ) ( )2
j tx t X j e dπ
∞Ω
−∞
= Ω Ω∫
0
00
1 ( ) jk tk T
X x t e dtT
− Ω= ∫
0( ) jk tk
kx t X e
∞Ω
=−∞
= ∑
( ) ( )j j n
nX e x n eω ω
∞−
=−∞
= ∑
1( ) ( )2
j j nx n X e e dπ
ω ω
π
ωπ −
= ∫
21
0
1 ( )N jk n
Nk
nX x n e
N
π− −
=
= ∑21
0( )
N jk nN
kk
x n X eπ−
=
= ∑
25
![Page 26: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/26.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Otipkavanjevremenskikontinuiranogsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Fourierove transformacije
0
0
0
0
0
0
t →
( )x t
| ( ) |X jΩ
Ω→( )x n
| ( ) |jX e Ω n→
ω →2πππ−2π−( )x t
0T−
ω →
0T t →kX
0 02 TπΩ =
n→
k →
N
N
N−
N−
kontinuiran
aperiodičan
diskeretan
aperiodičan
kontinuiran
periodičan
diskretan
periodičan
0
0
26
![Page 27: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/27.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Digitalna obradba kontinuiranih signala
• digitalna obradba vremenski kontinuiranih signala sastojise od tri osnovna koraka
• pretvorba vremenski kontinuiranog signala u vremenskidiskretan signal
• obradba vremenski diskretnog signala• pretvorba obradenog diskretnog signala u vremenski
kontinuiran signal
• ovdje se pokazuje pod kojim uvjetima treba diskretizirativremenski kontinuirani signal kako bi se mogao obradivatikao vremenski diskretan signal
• takoder se pokazuje mogucnost rekonstrukcije vremenskikontinuiranog signala iz vremenski diskretnog
27
![Page 28: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/28.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala
• pokazano je kako se otipkavanjem kontinuiranog signalax(t) ciji je spektar X (jΩ), dobiva signal xs(t) ciji jespektar periodican i vrijedi
Xs(jΩ) =1
Ts
∞∑k=−∞
X (j(Ω−k2π
Ts)) =
1
Ts
∞∑k=−∞
X (j(Ω−kΩs))
dakle, spektar otipkanog signala Xs(jΩ) je periodicnoponavljani spektar X (jΩ) kontinuiranog signala
• pretpostavimo da je spektar X (jΩ) frekvencijski ogranicen
X (jΩ) = 0 za |Ω| > Ωmax
• razlicite frekvencije tipkanja signala Ωs = 2πTs
mogu uspektru Xs(jΩ) izazvati razlicite rezultate zavisno od togaje li Ωs − Ωmax > Ωmax ⇒ Ωs > 2Ωmax iliΩs − Ωmax < Ωmax ⇒ Ωs < 2Ωmax
28
![Page 29: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/29.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala –aliasing
0
0
0
| ( ) |sX jΩ
1 sT
maxΩmax−Ω
| ( ) |sX jΩ
sΩ Ω→
max2sΩ > Ω
max2sΩ < Ω
Ω→maxΩ sΩ
1 sT
• za frekvenciju otipkavanja Ωs < 2Ωmax , na donjoj slici,javlja se preklapanje ponavljajucih sekcija spektra, i ta sepojava naziva, prema engleskoj terminologiji, aliasing
29
![Page 30: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/30.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Shannonov teorem otipkavanja
• vremenski diskretni signal smatramo ekvivalentimkontinuiranom ako je moguce rekonstruirati izvorni signalx(t) iz otipkanog xs(t), odnosno, ako se iz spektra Xs(jΩ)moze dobiti originalni X (jΩ)
• postupak rekonstrukcije pretpostavlja izdvajanje osnovnesekcije spektra filtriranjem a to ce biti moguce samo ako jespektar X (jΩ) ogranicen na Ωmax te ako je frekvencijaotipkavanja Ωs > 2Ωmax
• gore kazano predstavlja Shannonov teorem i mozemo gaprecizno iskazati kao:4
Vremenski kontinuirani signal x(t), s frekvencijama nevecim od Fmax , moze biti egzaktno rekonstruiran iz svojihuzoraka x(n) = x(nTs), ako je otipkavanje provedeno sfrekvencijom Fs = 1
Tskoja je veca od 2Fmax
4teorem je iskazan, kao sto je uobicajeno, frekvencijom u Hz uzimajuciu obzir Ω = 2πF
30
![Page 31: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/31.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Antialiasing filtri
• aliasing koji se javlja pri otipkavanju frekvencijskineomedenog signala, izbjegava se filtriranjemkontinuiranog signala tzv. antialiasing filtrom
• antialiasing filtri su niskopropusni analogni filtri kojipropustaju komponente spektra frekvencija nizih od polafrekvencije otipkavanja, dok vise guse
• koriste se realni filtri koji imaju konacnu sirinu prijelaznogpojasa frekvencijske karakteristike i konacno gusenje upojasu gusenja
| ( ) |H jΩ
1 pδ+1 pδ−
sδ
pΩ sΩ 31
![Page 32: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/32.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Antialiasing filtri
• zbog konacne sirine prijelaznog podrucja realnihantialiasing filtara potrebno je signal otipkavati nestovecom frekvencijom od dvostruke maksimalne frekvencijesignala
• kod digitalne obradbe glazbenih signala, cije frekvencijskopodrucje sirine 20kHz osigurava visoko vjernu reprodukciju,frekvencija otipkavanja (kod CD npr.) je 44.1 kHz sto jedakle nesto vise od dvostruke maksimalne frekvencije
32
![Page 33: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/33.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
• periodicni se spektar Xs(jΩ) moze dobiti i iz
xs(t) =∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
Xs(jΩ) =
∫ ∞
−∞xs(t)e
−jΩtdt =
=
∫ ∞
−∞
∞∑n=−∞
x(nT )δ(t − nT )e−jΩtdt =
=∞∑
n=−∞x(nT )e−jΩnT
u dobivenom izrazu se moze prepoznati Fourierov red zaperiodicni spektar Xs(jΩ)
33
![Page 34: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/34.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
| ( ) |sX jΩ
1 sT
maxΩmax−Ω sΩ Ω→
max2sΩ > Ω
Ω / 2s−Ω / 2s
Da bi se dobila osnovna sekcija spektra Xs(jΩ) odnosno pomogucnosti X (jΩ), potrebno je izvrsiti filtraciju Xs(jΩ) sfiltrom frekvencijske karakteristike Hr (jΩ),
Xc(jΩ) = Xs(jΩ)Hr (jΩ)
34
![Page 35: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/35.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
| ( ) |sX jΩ
1 sT
maxΩmax−Ω sΩ Ω→
max2sΩ > Ω
Ω / 2s−Ω / 2s
Ω( )rH j1
pretpostavimo kako je Hr (jΩ) idealan filtar
Ω→Ω / 2s−Ω / 2s
Ω( )rH j1
Hr (jΩ) =
1 |Ω| < Ωs
2 = πT
0 |Ω| > Ωs2 = π
T
ciji je impulsni odziv
hr (t) =1
2π
∫ ∞
−∞Hr (jΩ)e jΩtdΩ =
1
T
sin(Ωst/2)
Ωst/2=
1
T
sin(πt/T )
πt/T35
![Page 36: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/36.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
Neka je frekvencija otipkavanja Ωs > 2Ωmax , tako da unutarpojasa ponavljanja (−Ωs/2,Ωs/2) nema preklapanja sekcijaspektra. Tada je
Xs(jΩ)Hr (jΩ) =1
TX (jΩ)
uz prije izvedeno
Xs(jΩ) =∞∑
n=−∞x(nT )e−jΩnT
slijedi
1
TX (jΩ) = Hr (jΩ)
[ ∞∑n=−∞
x(nT )e−jΩnT
]
36
![Page 37: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/37.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
Inverznom Fourierovom transformacijom spektra X (jΩ) slijedi:
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞X (jΩ)e jΩtdΩ =
=T
2π
∫ ∞
−∞Hr (jΩ)
[ ∞∑n=−∞
x(nT )e−jΩnT
]e jΩtdΩ =
=T
2π
∞∑n=−∞
x(nT )
∫ Ωs/2
−Ωs/2e jΩ(t−nT )dΩ ⇒
x(t) =∞∑
n=−∞x(nT )
sin πT (t − nT )
πT (t − nT )
Kontinuirani signal x(t) rekonstruiran je iz uzoraka otipkanogsignala x(nT ) interpolacijom s funkcijom
1
T
sin(πt/T )
πt/T 37
![Page 38: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/38.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
Mozemo zakljuciti kako je vremenski kontinuirani signal x(t),koji ima frekvencijski omeden spektar tj. X (jΩ) = 0 za|Ω| > Ωs/2, jednoznacno odreden trenutnim vrijednostima ujednoliko rasporedenim trenutcima tn = nT = n 2π
Ωs.
Interpolacijska funkcija predstavlja impulsni odziv idealnog filtra
hr (t) =1
T
sin(πt/T )
πt/T
Idealni filtar ima nekauzalan odziv i prema tome je neostvariv.
38
![Page 39: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/39.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog spektra signalaiz diskretnog
hr(t)
t
39
![Page 40: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/40.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Interpolator nultog reda
T
hr(t)
t
40
![Page 41: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/41.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Interpolator prvog reda
t
hr(t)
41
![Page 42: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/42.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
• spektar aperiodicnih kontinuiranih signala je kontinuiran
• spektar aperiodicnih diskretnih signala takoder jekontinuiran i jos k tome i periodican
• ovdje se razmatra postupak otipkavanja spektra tj.diskretizacija u spektralnoj domeni
• postupak koji cemo ovdje primjeniti identican je postupkuprimjenjenom kod otipkavanja vremenski kontinuiranihsignala
42
![Page 43: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/43.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
• diskretizaciju kontinuiranog spektra mozemo interpretiratikao modulaciju impulsnog niza
δΩo (Ω) =∞∑
k=−∞δ(Ω− kΩo)
funkcijom X (jΩ) dakle:
Xd(jΩ) = X (jΩ)∞∑
k=−∞δ(Ω−kΩo) =
∞∑k=−∞
X (jkΩo)δ(Ω−kΩo)
• periodican niz δΩo (Ω) nastaje ponavljanjem delta funkcijesvakih Ωo , i kao svaka periodicna funkcija se dadepredstaviti Fourierovim redom:
δΩo (Ω) =∞∑
n=−∞cne
jnTpΩ, Tp =2π
Ωo
43
![Page 44: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/44.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
• koeficijenti prethodnog Fourierovog reda su
cn =1
Ωo
∫ Ωo/2
−Ωo/2δ(Ω)e−jnTpΩdΩ =
1
Ωo
• pa se δΩo moze prikazati i kao
δΩo (Ω) =1
Ωo
∞∑n=−∞
e jnTpΩ
odnosno Xd(jΩ) kao
Xd(jΩ) = X (jΩ)δΩo (Ω) =1
ΩoX (jΩ)
∞∑n=−∞
e jnTpΩ
44
![Page 45: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/45.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Diskretizacija kontinuiranoga spektra
• inverznom Fourierovom Xd(jΩ) dobiva se kontinuiranisignal xd(t) koji odgovara otipkanom spektru
xd(t) =1
2π
∫ ∞
−∞Xd(jΩ)e jΩtdΩ =
=1
2π
∫ ∞
−∞
[1
ΩoX (jΩ)
∞∑n=−∞
e jnTpΩ
]e jΩtdΩ =
=1
Ωo
∞∑n=−∞
1
2π
∫ ∞
−∞X (jΩ)e jΩ(t+nTp)dΩ︸ ︷︷ ︸
x(t+nTp)
⇒
xd(t) =1
Ωo
∞∑n=−∞
x(t + nTp)
dakle, otipkavanje kontinuiranog spektra X (jΩ), signala x(t),rezultira u njegovom periodicnom ponavljanju svakih Tp = 2π
Ωo
45
![Page 46: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/46.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
• uz Xd(jΩ) prikazan kao:
Xd(jΩ) = X (jΩ)∞∑
k=−∞δ(Ω−kΩo) =
∞∑k=−∞
X (jkΩo)δ(Ω−kΩo)
xd(t) dobivamo inverznom transformacijom kao:
xd(t) =1
2π
∫ ∞
−∞Xd(jΩ)e jΩtdΩ =
=1
2π
∫ ∞
−∞
[ ∞∑k=−∞
X (jkΩo)δ(Ω− kΩo)
]e jΩtdΩ =
=1
2π
∞∑k=−∞
X (jkΩo)
∫ ∞
−∞δ(Ω− kΩo)e jΩtdΩ =
xd(t) =1
2π
∞∑k=−∞
X (jkΩo)e jkΩot , Ωo =2π
Tp
46
![Page 47: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/47.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
• xd(t) je periodicna funkcija prikazana Fourierovim redom
• rekonstrukciju kontinuiranog spektra realizira seizdvajanjem samo osnovne sekcije od xd(t) sto se postizemnozenjem xd(t) s idealnim pravokutnim otvorom uvremenskoj domeni
w(t) =
1 |t| < Tp/20 |t| > Tp/2
ciji je spektar:
W (jΩ) = Tpsin(ΩTp/2)
ΩTp/2= Tp
sin(πΩ/Ωo)
πΩ/Ωo
47
![Page 48: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/48.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
• prvu sekciju signala dobivamo mnozenjem s w(t):
xd(t)w(t) =1
Ωox(t) =
[1
2π
∞∑k=−∞
X (jkΩo)e jkΩot
]w(t)
• spektar X (jΩ), izrazen uz pomoc X (jkΩo), slijedi iz
X (jΩ) =
∫ ∞
−∞x(t)e−jΩtdt =
=
∫ ∞
−∞
[Ωo
2π
∞∑k=−∞
X (jkΩo)e jkΩot
]w(t)e−jΩtdt =
=Ωo
2π
∞∑k=−∞
X (jkΩo)
∫ Tp/2
−Tp/2e−j(Ω−kΩo)tdt ⇒
48
![Page 49: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/49.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Obnavljanje kontinuiranog spektra iz diskretnog
• pa je spektar X (jΩ), izrazen uz pomoc X (jkΩo),
X (jΩ) =∞∑
k=−∞X (jkΩo)
sin(π(Ω− kΩo)/Ωo)
π(Ω− kΩo)/Ωo
dakle, spektar je X (jΩ) jednoznacno odreden iz njegovihuzoraka X (jkΩo) interpolacijom s funkcijom
W (jΩ) = Tpsin(ΩTp/2)
ΩTp/2= Tp
sin(πΩ/Ωo)
πΩ/Ωo
Zakljucak: kontinuirani spektar signala koji ima omedenotrajanje, x(t) = 0 za |t| > Tp/2, jednoznacno je odredensvojim uzorcima na jednoliko rasporedenim frekvencijamaΩk = kΩo = k/Tp
49
![Page 50: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/50.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Dimenzionalnost signala
• tipkanje signala u vremenskoj domeni ⇒ ponavljanjespektra s Ωs (aliasing u FD)
• tipkanje signala u frekvencijskoj domeni ⇒ ponavljanjesignala u vremenskoj domeni s Tp (aliasing u VD)
• relativna greska u FD i VD moze biti ocijenjena energijomsignala i spektra izvan izabranog trajanja signala Tp,odnosno frekvencijskog pojasa Ωs , prema ukupnoj energiji
εFD =2
∫∞Ωs/2 |X (jΩ)|2dΩ
2∫∞0 |X (jΩ)|2dΩ︸ ︷︷ ︸
relativna greska u FD
εVD =2
∫∞Tp/2 |x(t)|2dt
2∫∞0 |x(t)|2dt︸ ︷︷ ︸
relativna greska u VD
• greske se mogu ocijeniti poznavanjem brzine opadanjasignala i spektra za |t| > Tp/2 odnosno |Ω| > |Ωs/2
50
![Page 51: Digitalna obradba signala - dos.zesoi.fer.hr](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022012019/616884d3d394e9041f70298a/html5/thumbnails/51.jpg)
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Digitalnaobradbasignala
skolska godina2007/2008Predavanje
2.1.
ProfesorBranko Jeren
Frekvencijskaanalizavremenskidiskretnihsignala
Digitalnaobradbakontinuiranihsignala
Dimenzionalnost signala
• uz specificiranu dozvoljenu gresku aliasinga u FD i VDdobivamo Tp i Fs - trajanje i sirinu pojasa signala
• potreban broj uzoraka u VD
NTT = Tp = NT2π
Ωs⇒ NT =
TpΩs
2π= TpFs
• potreban broj uzoraka u FD
NΩoΩo = Ωs = NΩo
2π
Tp⇒ NΩo =
TpΩs
2π= TpFs
pa je dimenzija signala
NΩo = NT =TpΩs
2π= TpFs
51