· Web viewSepertihalnya dalam Aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah persamaan...
Transcript of · Web viewSepertihalnya dalam Aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah persamaan...
BAB VI
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Bab VI buku ini membahas tiga hal pokok yang berhubungan dengan
persamaan trigonometri, antara lain (1) persamaan trigonometri sederhana (2)
persamaan trigonometri tipe khusus, dan (3) soal-soal.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami cara menentukan selesaian persamaan dalam trigonometri. .
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian persamaan trigonometri sederhana
2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian persmaan trigonometri tipe khusus.
Sepertihalnya dalam Aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah
persamaan triginomeri. Persamaan trigonometri bedakan menjadi dua jenis, yaitu
persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas dan persamaan
bersyarat. Persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas adalah
persamaan yang memenuhi suatu nilai yang belum diketahui, sedangkan
persamaan bersyarat adalah persamaan yang variabelnya dibatasi.
Persamaan trigonometri memuat suatu variabel yang belum diketahui, dan
variabel tersebut merupakan besaran suatu sudut yang satuannya dapat dinyatakan
dalam bentuk derajat atau radian. Variabel-variabel yang dapat ditentukan
nilainya tersebut akan merupakan suatu selesaian jika disubstitusikan ke dalam
persamaan maka variable tersebut memenuhi nilai persamaan. Pada umumnya
selesaian tersebut dapat dihubungkan dengan periode grafik dari fungsi
trigonometri, yaitu 3600=2 π radian untuk fungsi sinus dan cosinus, dan
1800=π radian untuk tangen, cotengen, secan, dan cosecan.
Trigonometri: Dwi Purnomo- 122
6.1 Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri
dari suatu sudut yang belum diketahui. Dengan demikian sin 2 x−tan x=1 adalah
persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya
dan sebagaimana telah diketahui bersama bahwa ukuran sudut adalah derajat atau
radian yang keduanya mempunyai hubungan 3600=2 π radian.
Sebaliknya, dalam trigonometri dikenal istilah persamaan triginometri invers.
Jika cos x=k adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan tersebut
mempunyai selesaian x=arccos k=cos−1k . Bentuk-bentuk persamaan
sin x=k ,cos x=k ,tan x=k ,cot x=k ,sec x=k .csc x=k disebut persamaan
trigonometri sederhana.
Selesaian persamaan trigonometri sebagaimana tersebut di atas dapat
diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Pertama, ubahlah persamaan
menjadi persamaan sederhana yang terdiri atas satu lebih persamaan, Kedua,
gunakan metode dalam Aljabar untuk menentukan varibel besarnya sudut yang
belum diketahui, misalnya dengan pemfaktoran atau cara lainnya. Ketiga, setelah
diperoleh variable yang belum diketahui tersebut, substitusikan ke persamaan
semula sebagai pengecekan nilai dalam persamaan.
Jika x adalah sebarang bilangan real yang memenuhi persamaan, maka
persamaan trignometri tersebut dapat ditentukan selesaiannya.
Perhatikan beberapa contoh persamaan trigonometri sederhana berikut ini.
Tentukan selesaian persamaan trigonometri:
1)sin2 x= 1
4
Jawab
Dengan cara memberikan tanda akar pada kedua bagian diperoleh
Trigonometri: Dwi Purnomo- 123
√sin2 x=√14
⇔sin x=±12
x=arcsin(±12 )
=π6
,5 π6
, 7 π6
, 11 π6
,. . .
Semua nilai sudut tersebut memenuhi persamaan di atas, sehingga
selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk
x=± π6+nπ ,n∈Z+
2) tan x+cot x=2
Jawab
Dengan mengganti cot x= 1
tan x
Maka persamaan
tan x+cot x=2
⇔ tan x+1tan x
−2=0
⇔ tan2 x−2 tan x+1=0⇔( tan x−1)( tan x−1)=0
Sehingga diperoleh
tan x=1x=arctan 1
x=π4
, 5 π4
, 9 π4
,,. . .
Secara umum selesaian persamaan tan x+cot x=2 adalah
Trigonometri: Dwi Purnomo- 124
x= π4+nπ=(n+ 1
4 )π
3) 3sin 2 x+2cos2x=2
Jawab
Karena
sin 2 x=2 sin x cos x ,cos2 x=1−sin2 x maka
3sin 2 x+2cos2 x=2⇔3 (2sin x cos x )+2(1−sin2 x )=2⇔6sin x cos x+2−2sin2 x=2⇔6sin x cos x−2 sin2 x=0⇔sin x (3cos x−sin x )=0
Sehingga diperoleh
sin x=0x=arcsin 0x=0 , π ,2 π ,3 π ,. . .
Atau
3 cos x−sin x=0⇔3−tan x=0⇔ tan x=3⇔ x=arctan 3x=710 34 ',251031 ', .. .. .
Sehingga secara umum selesaian persamaan 3sin 2 x+2cos2 x=2 adalah
x=0+nπ , n∈Z+ atau x=710 34 '+nπ=710 34 ' +n(1800 )
4) sin x−2 cos x=1
Jawab
Trigonometri: Dwi Purnomo- 125
sin x−2cos x=1⇔sin x=1+2 cos x
Dengan mengkuadratkan masing-masing bagian, diperoleh
sin2 x=(1+2 cos x )2
⇔sin2 x=1+4 cos x+4 cos2 x⇔(1−cos2 x )=1+4 cos x+4 cos2 x⇔5 cos2 x+4 cos x=0⇔cos x(5cos x+4 )=0
Sehingga diperoleh
cos x=0x=arccos 0
x=±π2
,±3π2
,±5 π2
,±7 π2
,. .
Atau
5 cos x+4=0
⇔cos x=−45
⇔ x=arccos(−45 )
x=±1480 8 ',. . .
Setelah dicek ke dalam persamaan sin x−2 cos x=1 yang memenuhi adalah
untuk x=90 , x=−14308 '
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
x=0+n 2 π ,n∈Z+ atau x=−1430 8 '+n 2 π ,n∈Z+
5) sin 3 x+sin x=cos x
Jawab
Trigonometri: Dwi Purnomo- 126
sin 3 x+sin x=cos x⇔sin 3 x+sin x−cos x=0
⇔2 sin (3 x+x2 )cos (3 x−x
x )−cos x=0
⇔2 sin 2x cos x−cos x=0⇔cos x(2 sin 2 x−1)=0
Sehingga diperoleh
cos x=0x=arccos 0
x=±π2
,±3π2
,±5 π2
,±7 π2
,. .
Atau
2 sin 2 x−1=0
⇔sin 2 x=12
⇔2 x=arcsin (π2 )
2 x=π6
,5 π6
, .. . ..
Setelah dicek ke dalam persamaan yang memenuhi adalah untuk
x=π2
, 3 π2
, 5π2
,. . .
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
x=π2+n 2 π ,n∈Z+
6.2 Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus
Persamaan trigonometri tipe khusus dibedakan menjadi dibedakan menjadi dua
tipe.
1) acos x+b sin x=c , c2≤a2+b2
Kedua bagian dibagi dengan √a2+b2diperoleh
Trigonometri: Dwi Purnomo- 127
a√a2+b2
cos x+ b√a2+b2
sin x= c√a2+b2
Selanjutnya kita definisikan 0≤α≤2 π
Dengan sin α= a
√a2+b2dan
cos α= b√a2+b2
Sehingga
a√a2+b2
cos x+ b√a2+b2
sin x= c√a2+b2
⇔sin α cos x+cosα sin x= c√a2+b2
⇔sin (α+x )= c√a2+b2
⇔α+x=arcsin ( c√a2+b2 )
⇔ x=arcsin( c√a2+b2 )−α
Contoh1)
Tentukan selesian persamaan
3 cos x−√7 sin x=12
Jawab
Dengan membagi kedua bagian dari persamaan 3cos x−√7sin x=2Diperoleh
3cos x−√7sin x=2
⇔ 34
cos x−√74
sin x=12
Trigonometri: Dwi Purnomo- 128
Karena
sin α=34
, dan cos α=−√74
, α=1310 25 '
sin( α+x )=12
Sehingga
(α+ x )=arcsin ( 12 )=300 ,1500 , 3900 ,. ..
(α+ x )= 12
Karena
α=1310 25 '
Maka
x=180 35', 258035 ', .. ..
Secara umum selesesaian dari persamaan
3cos x−√7sin x=2
Adalah
x=180 35 ' +n(3600 ) dan x=2580 35 '+n(360o )
2) sin ax=cosbx , tan ax=cot bx , secax=cscbx
Persamaan triginometri bentuk di atas dapat diselesaikan dengan menggubah
salah satu bagian dari persamaan menjadi bentuk penjumlahan atau
Trigonometri: Dwi Purnomo- 129
pengurangan dua sudut sebegaiamana yang telah dijelaskan pada bab
sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini,
1. Tentukan selesaian persamaan
tan2 x=cot 3 x
Jawab
Dengan mengubah
cot 3 x= tan(900−3 x )
Persamaan
tan2 x=cot 3 x
⇔ tan 2x= tan(900−3 x )
Karena grafik fungsi tangen mempunyai periodik 1800
maka diperoleh
2 x=900−3 x ,2 x=2700−3 x ,2 x=4500−3x , 2 x=6300−3 x , 2 x=8100−3 x , . .. ..5 x=900 ,5 x=2700 , 5 x=4500 ,5 x=6300 ,5 x=8100 , .. .x=150 , 840 ,900 , 1260 , 1620 , . .. .
2. Tentukan selesaian persamaan
cos 4 x=sin 5 x
Jawab
Dengan mengubah
sin( 900−4 x )=cos 4 x
Trigonometri: Dwi Purnomo- 130
Persamaan
12 sin x+5cos x=13
⇔sin (900−4 x )=sin 5 x
Karena grafik fungsi sinus mempunyai periodik 360
maka diperoleh
5 x=900−4 x ,5 x=4500−4 x ,5 x=8100−4 x , .. . 5 x=(900+n 3600−4 x )9 x=900 ,9 x=4500 , 9 x=8100 , 9 x=(900+n. 3600 )x=100 ,500 , 900 , . ..(100+n . 400)
6.3 Soal-soal
Soal-soal
A. Tentukan selesaian persamaa berikut ini.
1) cos2 x=cos700
2) sin 2 x=sin π
3)tan3 x=tan 3 π
4
4)cos2 x= 1
2
5) tan2 x=√3
6)sin2 x=1
2
7) tan x+cot x=2
8) 3 sin 2 x+2 cos2x=2
9) sin x−2 cos x=1
10) sin 5 x+sin3 x=0
11) sin 3 x+sin x=cos x
12) 2 cos2 x+11cos x−6=0
13) 4 sin2 x=3
Trigonometri: Dwi Purnomo- 131
14) tan2 x=3
15) cot2 x=1
16) sec2 x=2
17) 2cos2 x=1
18) sin 3 x=1
19) 4 cos2 2 x=3
20) tan5 x=−1
21) cot 4 x=√3
22) sin 2 x=sin2
23) cot x=3 tan x
24) sec x=1+ tan x
25) 2cos2 x(1+sin x )=0
26) sin 2 x=cos x
27) sin 2 x=√2sin x
28) tan2 x−3 tan x=0
29) 2−3 cos x+cos 2x=0
30) sin 4 x=sin 2 x
31) cos x−cos2x=1
32)sin( x
2 )=1−cos x
33)cos ( x
2 )=1−cos x
34)tan ( x
2 )+cos x=1
35) sin x+2cos x=2
36) 8sin x+cos x=7
37) tan x−cot x−2=0
Trigonometri: Dwi Purnomo- 132
38) cot 2 xcot x=1
39) csc x+2 sin x=3
40) cos+cos5 x=cos2 x
41) 2 sin2 3 x−cos3 x=0
42)cos2 x+6cos2 ( x
2 )=4
43)sin4 x+cos4 x= 1
2
44) cos x+cos7 x=cos4 x
45) sin 3 x+sin x=cos x
46) sin 3 x+sin x=cos2 x csc x
47) sin 5 x+sin3 x+2cos x=0
48) cos5 x+cos3 x+cos x=0
49) sin 5 x−sin 3 x+sin x=0
50) tan3 x=tan x
51) sin 2 x+sin x=cos2 x+cos x
52) tan2 x−2 cos x=0
53) 5sin x−cos x=3
54) sin 3 x−4 sin2 x=0
55) tan2 x−3csc x=7
56) cos3 x+4 cos2 x=0
57) 4 sin 2x−3 cos 2x=4
58) tan 4 x=2 tan 2 x
59) 6 cot22 x=1+cos2 2x
60) cos 4 x+4sec2 x=4+cos2 2 x
61) 2 sin3 x−3 sin2 x−3sin x+2=0
62) 3 tan3 x+5 tan2 x−11 tan x+3=0
Trigonometri: Dwi Purnomo- 133
63) 3 sec4 x−4 sec2 x+1=0
64) csc4 x−csc3 x−csc2 x−2=0
65) tan x ( tan2 x−4 )=sec2 x−5
66) 6 sin3 x+17 sin 2 x−4 sin x=3
B. Tentukan selesaian persamaan trigonometri berikut ini.
1) sin x+√3 cos x=2
2) 4 sin x+3 cos x=5
3) 12 sin x+5cos x=13
4) 2 sin x−3 cos x=√5
5) 3 sin x−4 cos x=2
6) 4 sin x+5 cos x=5
7) sin x−5cos x=3
8) 3 sin x−7cos x=2
9) sin 3 x=cos2 x
10) sin 5 x=cos3 x
11) tan3 x=cot 2 x
12) sec5 x=csc x
13)cot(3 x
4 )= tan( 23 ) x
14)csc ( 3 x
5 )=sec ( 5 x8 )
Trigonometri: Dwi Purnomo- 134
6.4 Persamaan-persamaan Trigonometri Bersyarat
6.5 Invers Fungsi Trigonometri
6.6 Identitas dalam Invers Fungsi Trigonometri
Trigonometri: Dwi Purnomo- 135
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan
fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki
hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa
hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Daftar isi [sembunyikan]
1 Sejarah awal 2 Trigonometri sekarang ini 3 Hubungan fungsi trigonometri 4 Identitas trigonometri 5 Penjumlahan 6 Rumus sudut rangkap dua 7 Rumus sudut rangkap tiga 8 Rumus setengah sudut 9 Lihat pula
[sunting] Sejarah awalAwal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
[sunting] Trigonometri sekarang ini
Trigonometri: Dwi Purnomo- 136
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].
[sunting] Hubungan fungsi trigonometri
Fungsi dasar:
Trigonometri: Dwi Purnomo- 137
[sunting] Identitas trigonometri
[sunting] Penjumlahan
[sunting] Rumus sudut rangkap dua
[sunting] Rumus sudut rangkap tiga
[sunting] Rumus setengah sudut
Trigonometri: Dwi Purnomo- 138
IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan
b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan
¿ tan α=sin αcosα
¿cot α=cos αsin α
c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
⊗Cos2 α+Sin2 α=1⊗1+ tan2 α=sec2α⊗1+Cot 2 α=Co sec2α
Contoh 1Buktikan identitas berikut:
a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Trigonometri: Dwi Purnomo- 139
¿ tan α=sin αcosα
¿cot α=cos αsin α
Jawab:Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α
= Sin α . Cos α .
Sin αCos α
= Sin2 α = 1 – Cos2 α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan
Terbukti!b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β
Jawab:Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β
= Sin β .
Sin βCos β + Cos β
=
Sin2 βCos β
+Cos2 βCos β
=
1Cos β
=Sec β = Ruas Kanan Terbukti
2. Persamaan Trigonometria. Persamaan Trigonometri Sederhana
Jika Sin x = Sin αX1 = α + k . 360o
X2 = (180o – α) + k . 360o
Jika Cos x = Cos αX1 = α + k . 360o
X2 = - α + k . 360o
Jika Tan x = Tan αX = α + k . 180o
K Є bilangan bulat
Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
12 , 0o ≤ x ≤ 360o
Jawab:
Sin x =
12
Sin x = Sin 30o
x = 30o + k . 360o
untuk k= 1 ↔ x = 30o
untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o
= 150o
Trigonometri: Dwi Purnomo- 140
HP:{30o, 150o}
b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:
k Cos x (x - α) = c
dengan k = √a2+b2
α = arc tan
ba
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2
Contoh 3Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360oJawab:Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1
Sehingga diperoleh k = √a2+b2=√12+(−1 )2=√2
Tan α =
ab= 1
−1 = - 1 ↔ α dikuadran IV α = 315o
jadi Cos y – Sin y = 1
↔ √2 Cos (x – 315o) = 1
↔ Cos (x – 315o) =
12 √2
↔ Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔ (x – 315o) = 45o + k . 360o
↔ x = 360o + k . 360o
↔ x = 360o
Atau (x – 315o) = - 45o + 360o
x = 270o + k . 360o
x = 270o
HP:{270o, 360o}
Trigonometri: Dwi Purnomo- 141