BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri...
Transcript of BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri...
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI
(Jangka waktu : 9 sesi)
Sesi 1
Sudut Positif dan Sudut Negatif
Contoh
Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu
berada.
(a) 30˚ (c) 590˚
(b)
(d)
Penyelesaian
(a)
(b)
y
x 30°
y
x
3
4𝜋
(c)
(d)
Sinus, Kosinus, dan Tangen
y
x
7
3𝜋
c b
a
𝜃
sin𝜃 =𝑏
𝑐
kos 𝜃 =𝑎
𝑐
t n𝜃 =sin𝜃
kos 𝜃=𝑏
𝑎
Contoh
Jika t n =
, dengan 80° 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin dan
kos .
Penyelesaian
sin =
kos =
Sesi 2
Sekan, Kosekan, dan Kotangen
-5
-12 13
𝜃
c b
a
𝜃
sek 𝜃 =
kos𝜃=𝑐
𝑎
kosek 𝜃 =
sin𝜃=𝑐
𝑏
kot 𝜃 =
t n𝜃=𝑎
𝑏
Contoh
Diberi ialah sudut refleks dengan sek =
. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,
nilaikan
(a) kot
(b) kosek
(c) sin kos
Penyelesaian
sek =5
4
sek =
kos =
5
4
kos =4
5
(a) kot =
=
=
(b) kosek =
=
=
(c) sin kos
=
=
4
5 -3
𝜃
SUDUT PELENGKAP
sin = kos(90 )
kos = sin(90 )
t n = kot(90 )
sek = kosek(90 )
kosek = sek(90 )
kot = t n(90 )
SUDUT NEGATIF
sin( ) = sin
kos( ) = kos
t n( ) = t n
SUKUAN SETARA
[Sukuan II]
sin = sin( 80° )
kos = kos( 80° )
t n = t n( 80° )
[Sukuan III]
sin = sin( 80°) kos = kos( 80°)
t n = t n( 80°)
[Sukuan IV]
sin = sin(360° )
kos = kos(360° )
t n = t n(360° )
Sesi 3
Sudut-Sudut Khas ° ° °
Contoh
Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi
(a) sin 5°
(b) sek 660°
(c) sin 50° kot( 50°)
Penyelesaian
2
1
3
30°
60°
45°
1
1
sin 30° =
sin60° =
3
kos 30° = 3
kos 30° =
t n 30° =
3 t n 60° = 3
sin 45° =
kos 45° =
t n 45° =
(a) sin 5°
= sin 45°
=
(b) sek 660°
=
kos 660°
=
=
=
(c) sin 50° kot( 50°)
= sin 50°
t n( 50°)
= sin 50°
( t n 50°)
= sin 50°
t n 50°
= sin 30°
( t n 30°)
= sin 30°
t n 30°
=
=
=
5°
660°
50°
Sesi 4
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°.
(a) kos = 0 9063
(b) sin = 0 669
(c) sin =
(d) kosek
=
(e) 2 t n (
60°) 3 =
Penyelesaian
(a) kos = 0 9063
0° 360°
= 55° 05°
(b) sin = 0 669
0° 360°
0° 7 0°
= 4 ° 38° 40 ° 498°
= ° 69° 0 ° 49°
(c) sin =
sin =
0° 360°
= 45° 35°
5°
45°
(d) kosek
=
=
sin
=
0° 360°
0°
80°
= 60° 0°
= 0° 40°
(e) t n (
60°) 3 =
Contoh 2
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°.
(a) 3 sin kos =sin
(b) kot = t n( )
(c) 4 t n kot 3 = 0
Penyelesaian
(a) 3 sin kos = sin
3 sin kos sin = 0
sin (3kos ) = 0
sin = 0 3 kos = 0
= 0° 80° 360° kos =
3
0° 360°
= 70 53° 89 47°
= 0° 70 63° 80° 89 47° 360°
60°
(b) kot = t n ( )
kot = t n
(
t n ) = t n
= t n
t n =
t n = 4 4
0° 360°
= 54 73° 5 7° 34 73° 305 7°
(c) 4 t n kot 3 = 0
Sesi 5
Melakar graf fungsi trigonometri
= sin
= sin ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.
Nilai maksimum bagi sin ialah 1 apabila = 70° 90° 450°
Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 450° 90° 70°
Amplitud =
= kos
= kos ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.
Nilai maksimum bagi kos ialah 1 apabila = 369° 0° 360°
Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 80° 80° 540°
Amplitud =
Amplitud
Kala
= sin
-2
-1
0
1
2
-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450
Kala
Amplitud = kos
= t n
= t n ialah satu fungsi berkala dengan kala 80° atau i n
= t n adalah tak tertakrif apabila = 70° 90° 90° 70° Maka, = t n
tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.
Graf bagi = t n menghampiri garis-garis menegak = 70° = 90° = 90° =
70° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.
Contoh 1
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 .
(a) = 3 sin
(b) = 3kos
(c) = |kos |
Penyelesaian
(a) = 3 sin
=
=
Asimptot
Kala
𝑦 = t n 𝑥
360° 80° 360° 80° 0
y
x
(b) = 3kos
=
=
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
= 3 sin
= sin
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
= 3kos
= 3kos
(c) = |kos |
=
=
Contoh 2
Lakarkan graf bagi = t n bagi 0° 360°.
Penyelesaian
-1
0
1
y
x
𝑦 = t n 𝑥
𝑦 = t n 𝑥
Contoh 3
Lakarkan graf bagi = |sin
| bagi 0° .
Penyelesaian
=
3
=
3
Sesi 6
Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf
Contoh (SPM 2011)
(a) Lakarkan graf bagi = 3 sin
untuk 0 [4 markah]
(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi
3 sin
= 0 untuk 0 . Nyatakan bilangan
penyelesaian itu. [3 markah]
Penyelesaian
(a) = 3 sin
=
3
=4
3
(b)
Identiti Asas
Pembuktian
=
( ) (
)
(
)
=
kos sin =
sin
kos
sin
sin
sin =
sin
kot = kosek
kos t n = sek
Contoh
Buktikan
(a)
= sek
(b) sin kos t n = kos
(c) t n kot = sek kosek
Penyelesaian
(a)
=
sin
=
kos
= sek (te ukti)
b c
a
𝜃
sin 𝐴 kos A =
kot A = kosek 𝐴
t n 𝐴 = sek 𝐴
1
1
1
(b) sin kos t n = sin kos (
)
= sin
= kos (te ukti)
(c)
Sesi 7
Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .
(a) t n sek = 3 t n
(b) kosek = kot 3
(c) 3 sin 5kos 5 = 0
Penyelesaian
(a) t n sek = 3 t n
t n t n = 3 t n
t n 3 t n = 0
( t n )(t n ) = 0
t n = 0 t n = 0
t n =
t n =
= 6 57° 06 57° = 45° 5°
= 6 57° 45° 06 57° 5°
(b) kosek = kot 3
( kot ) = kot 3
kot kot 3 = 0
kot kot = 00
( kot )(kot ) = 0
kot = 0 kot = 0
kot =
kot =
t n =
t n =
t n = t n =
= 6 57° 96 57° = 45° 5°
= 45° 6 57° 5° 96 57°
(c)
Contoh 2
Tunjukkan bahawa sek =
Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan
trigonometri
= 4 , untuk 0
Penyelesaian
sin
sin =
sin sin
sin
=
kos
= sek (te tun uk)
sin
sin = 4
sek = 4
sek =
kos =
kos =
kos = √
=
=
4 3
4 5
4 7
4
Rumus penambahan
sin( ) = sin kos sin kos
sin( ) = sin kos sin kos
kos( ) = kos kos sin sin
kos( ) = kos kos sin sin
t n( ) =t n t n
t n t n
t n( ) =t n t n
t n t n
Contoh
Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan
(a) sin 55° = ( )
(b) (b)t n 5° =
(c) sin( 60°) kos( 60°) =
(sin kos )
Penyelesaian
(a) sin 55° = sin 75°
= sin(45° 30°)
= sin 45°kos 30° sin 30° kos 45°
= *
( 3
)
(
)+
= * 3
+
= * 3
+
= ( 3 )
4 (te tun uk)
(b) t n 5° = t n(45° 30°)
=t n 45° t n 30°
t n 45° t n 30°
= (
3) (
3)
= ( 3
3) (
3
3)
= ( 3
3) (
3
3 )
= 3
3 (te tun uk)
(c) sin( 60°) kos( 60°)
= (sin kos60° sin 60° kos ) (kos kos 60° sin sin 60°)
=
sin
3
kos
kos
3
sin
=
sin
3
sin
kos
3
kos
= (
3
) sin (
3
) kos
= ( 3
) (sin kos ) (te tun uk)
Sesi 8
Rumus Sudut Berganda
sin = sin kos
kos = kos sin
= kos
= sin
t n = t n
t n
Rumus Sudut Separuh
sin = sin
kos
kos = kos
sin
= kos
= sin
t n = t n
t n
Contoh 1
Diberi kos =
dan ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai
(a) sin ( ) t n (e)kos
(b) kos ( )kos 4
Penyelesaian
(a) sin = sin kos
= (3
5) (
4
5)
= 4
5
(b) kos = kos
= ( 4
5)
= ( 6
5)
=3
5
=7
5
(c) t n =
= 4
5
7
5
= 4
5
5
7
= 4
7
(d) kos 4 = kos ( )
= kos
= (7
5)
= (49
6 5)
=98
6 5
= 5 7
6 5
3 5
-4
𝜃
(e)
Contoh 2
Diberi t n = dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.
Penyelesaian
kos = kos
= (
√ )
=
=
=
=
p
1
𝜃
Contoh 3
Tunjukkan bahawa
= t n .
Penyelesaian
sin
kos =
sin kos
( kos A )
= sin kos
kos
= t n (te tun uk)
Contoh 4
Buktikan
= kot
.
Penyelesaian
sin kos
sin kos
= sin
kos
kos
sin kos
( sin
)
= sin
kos
kos
sin kos
sin
= kos
(sin
kos
)
sin (kos
sin
)
= kot
(te ukti)
Sesi 9
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya
(a) 5 sin kos = 0
(b) kos sin = 0
(c) t n = 3 t n
Penyelesaian
(a) 5 sin kos = 0
5 sin kos =
sin kos =
5
( ) sin kos = 4
5
sin = 4
5
0° 360°
0° 360°
= 33 3° 306 87° 593 3° 666 87°
= 6 57° 53 44° 96 57° 333 44°
(b) kos sin = 0
sin sin = 0
sin sin = 0
( sin )(sin ) = 0
sin = 0 sin = 0
sin =
sin =
= 30° 50° = 70°
= 30° 50° 70
(c) t n = 3 t n
t n
t n = 3 t n
t n = 3 t n 3 t n
3 t n t n = 0
t n (3 t n ) = 0
t n = 0 3 t n = 0
= 0° 80° 360° t n =
3
t n =
3
= 30° 50° 0° 330°
= 0° 30° 50° 80° 0° 330° 360°
Contoh 2
Diberi sin( ) =
dan sin( ) =
, tunjukkan bahawa sin kos =
dan
kos sin =
. Seterusnya, buktikan bahawa 3 t n kot = 0.
Penyelesaian
sin( ) =
sin kos sin kos =
sin( ) =
sin kos sin kos =
Daripada : sin kos =
sin kos
Gantikan ke dalam :
sin kos
sin kos =
4
sin kos =
4
sin kos =
8
sin kos A =
(
8)
=3
8
1
2
1 3
3 2
3 t n kot =3 s n
kos
kos
sin
=3 sin kos
kos sin
=3 (
8)
38
= ( 3
8) (
8
3)
=
= 0 (te ukti)